Јули 2025 (English ≽)

Relativistic II » eng

Питање: Имам два питања. Зашто је Њутнова једначина (Relativistic, 7) права линија, а не елипса и напокон зашто се светлост прелама?

Одговор: Указујете на једаначину путање светлости, не неке масене честице. Иначе, елипса, на слици десно, има поларну једначину:

\[ r = \frac{\varepsilon\cdot p}{1 - \varepsilon\cdot\cos\theta}, \]

где је p = Fd = 2 и ε = 0,5. Фокус је F, тачка D је на директриси d, а T је на елипси. Када је ε < 1 граф је елипса, када је ε = 1 граф би била парабола, са ε > 1 хипербола.

1. У наведеном линку стоји смена u = 1/r. Узимајући изводе, налазимо:

\[ \frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{1}{\varepsilon p}. \]

То је диференцијална једначина другог реда за путање масених честица Њутновог поља. Очигледно је различита од тамо наведене, где на десној страни стоји нула и која се односи на праве линије, путеве светлости.

Када ексцентрицитет елипсе тежи јединици и при томе расте удаљеност фокуса од директрисе, ε → 1 и p → ∞, тада велика полуоса елипсе расте у односу на малу и елипса постаје пљосната, односно дуга ломљена линија и коначно права линија. Она тада пролази и кроз фазе преламања светла гравитацијом масе M са центром у фокусу F. Напротив, када ε⋅p → a > 0, при чему ε → 0, тада r → a = const. и граф тежи кружници пречника 2a.

2. У случају Ајнштајнове гравитације, једначина светлости била је:

\[ \frac{d^2u}{du^2} + u = \frac{1}{\varepsilon p}u^2, \]

са 1/εp = 3GM/c² и u² = 1/r². На великим удаљеностима, r → ∞, када личи на пљоснату елипсу (ε → 1 и p → ∞) и постепено постаје права линија, она одговара путањи светлости у Њутновом пољу. На ближим удаљеностима набоја (T) од центра поља (F) решења те диференцијалне једначине нису елипсе и, обзиром да нису конике, то више није поље константне центра-лне силе са константним брзинама (c, светлости) ширења дејства пољем.

Овакво поље прелама светлост и, на пример, на мањим би удаљеностима имали прецесију. Међутим, овде посебно имамо гравитациону константу G = 6,674×10^-11 m³⋅kg^-1⋅s^-2, затим масу Сунца M = 1,988×10³⁰ kg и брзину светлости c = 2,998×10⁸ m⋅s^-1, па је 3GM/c² ≈ 4,429×10³. Полупречник је Сунца r = 6,963×10⁶ m, стога је u² = 1/r² = 2,063×10^-14 па ће десна страна горње једначине, већ од површине Сунца надаље, бити вредности мање од (3GM/c²)⋅u² = 9,134⋅10^-11. Дакле, зрака светлости предалеко је и нема шансе уђе у сунчеву орбиту и прецесију.

3. Толико о првом питању, може се рећи о разлици старе и нове теорије гравитације. Друго је питање зашто се „напокон“ светлост прелама, што разумем као тражење „информатичког“ узрока у тој иначе ретко виђено добро истраженој појави. Не само физика, него и наука уопште, још увек не препознају „начело минимализма“ са којим овде увелико радим, па је прилика да преламање видимо са тог становишта.

Наиме, неизвесност је увек одбојна, а у ситуацијама где постоје излази ка вероватнијим стањима, она ће се спонтано налазити. То су исходи мањих густоћа могућности, дакле и обична стања али успорених токова времена. Налазе се и на сферама све мањих полупречника са центрима у изворима гравитационог поља и, можда, поред флуида у бржем кретању (Bernoulli II). Како за светлост, ово објашњење би се могло преносити на све таласе, ако бисмо њихове таласне дужине разликовали по способности размене информације (интеракције) са средином. Знамо да не комуницира све са свачим и само је један корак до тог преноса, уопштења.

4. На пример, звук брзине v = λν даље стиже ако је веће таласне дужине λ и мање се троши, па ћемо сада кажимо да боље чува информацију (In and Out). Такав мање реагује на околину, јер има мању фреквенцију ν, сматра се са мање врхова најачег интензитета интеракција. Сада рецимо, јер има мање шанси, попут је светлости наспрам средине споријег тока времена.

Када би преламање звука било само због „мање врхова“, онда би средина мање брзине, v₁ < v због λ₁ν₁ < λν у редовном случају λ₁ < λ и ν₁ = ν имала једнако врхова и звук не би скретао у средину мање брзине. Међутим, то скретање се догађа због преласка на путању мање неизвесности, коју има мања дужина λ. Тада прича о начелном минимализму постаје убедљивија од познате нам из физике. Ова објашњење има и обрнути исход са истим разлогом у случају Комптоновог расејања (Простор-Време).

5. Коначно, зато што „игра“ најслабију стратегију (Traits), природа је тако „победива“ од стране нас виталних. Смртних у надметању против велике неуништивости. Говорим о дефиницији реалности, у којој подразумевам опажљивост укључујући нашу способност разумевања закона природе, а које, додатно, посматрам као њене врсте, њене саставне делове. Описима наших перцепција, ово се своди на: „Знам човека који се чуо са једним да је неки тамо то стварно видео.“ Узимајући у обзир истину и само истину, која је трећа особина реалности, ова иначе погрдна изјава у случају њене перцептибилности има далекосежне особине.

Adaptation II » eng

Питање: Зашто се тела крећу тако да пролазе сва места између?

Одговор: Претпоставка је да овде не желите популарне приче врсте „адаптивне стратегије“, попут оне низ линк слике лево, еволуирања жирафа, него би пре неки дубоки одговор. Фундаменталан и ретко познат, тако да бисмо обе стране били једнако заинтересовани за исту тему. Информатички осврт?

1. Неколико пута сам то објашњавао, а опет као да остаје незапажено, да природа спонтано тежи вероватнијим стањима, мање информативнима (Adaptation). Рецимо, позната је теорема (Emergence II) да узета средња вредност по једној расподели вероватноћа (p_k) информација неке друге (H_k = - log q_k) даје најмању вредност збиром (Σ_k p_k⋅H_k) ако и само ако су две расподеле једнаке (p_k = q_k редом за све k = 1, ..., n). Природа просто тежи да удружује вероватноће са припадним информацијама, идући ка мање информативним, дакле, вероватнијим исходима.

2. Ланцима Маркова се мало другачије приступа, али се налази сличан резултат. То је процес који узастопце преноси поруку, вектор расподеле вероватноће вишеструко пресликаван стохастичком матрицом, рецимо ознаке M. За сваку Марковљеву матрицу постоји један вектор v који ће она пресликати у исти, Mv = v, који се тада зове својствени вектор дате матрице. Елем, сваки други вектор пресликаван овом матрицом више пута постајаће све сличнији овом својственом. Изузимам ту јединичне матрице којима је сваки вектор својствени.

На пример, ланац Маркова је природни процес, развој догађаја који ми сагледавамо са становишта садашњости при чему више карика узимамо што идемо дубље у прошлост (Believing). Ми верујемо да то што сећања, форензика, или археологија могу откривати стоји као стварна прошлост, али информација коју отуда добијамо низ је копирања и лош оригинал. Све даља „прошлост“ тако сликана постаје све сличнија v, својственом стању матрице M канала преносника. Прошлост коју можемо спознати, била она илузија или не, такође се адаптира. Бира вероватније исходе и поруку прилагођава каналу преноснику.

3. Будимо конкретнији са матричним једнакостима, узевши x = (1/2, 1/2) вектор расподеле са највећом могућом информацијом и задатог ланца:

Mv = v,     Mx = y,

\[ \begin{pmatrix} 0,7 & 0,4 \\ 0,3 & 0,6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4/7 \\ 3/7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/7 \\ 3/7 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0,7 & 0,4 \\ 0,3 & 0,6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0, 55 \\ 0,45 \end{pmatrix}. \]

Шенонове (1948) информације вектора x и y су:

S(x) = -0,50⋅log₂0,50 - 0,50⋅log₂0,50 = 1,00 bit,

S(y) = -0,55⋅log₂0,55 - 0,45⋅log₂0,45 = 0,99 bit.

Дакле, пресликавање M : x → y прави мању информацију, при чему је она вагнула ка својственом вектору v = (4/7, 3/7) матрице канала. На пример, у четвртом кораку биће M⁴x = (0,57; 0,43), из чега се види и постепеност у приближавању својственом вектору низањем карика овог ланца.

4. Кретање између две позиције може се посматрати као процес, низ пресликавања стања, па сам тиме одговорио на постављено питање, сводећи путању на веће шансе ближих позиција.

Са друге стране, одржавање тог правца путовања опет је слична прича, незнатно другачија. Она се види на слици десно, ефекта који се за сада на помиње уз Комптоново расејање. Укратко, да би фотон долазећи слева и ударајући у електрон променио правац за угао θ и своју таласну дужину λ → λ' увећао за износ:

\[ \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_ec}(1 - \cos\theta), \]

потребан је судар, односно деловање силе. Овде је h Планкова константа, m_e је маса електрона и c је брзина светлости. При томе се таласна дужина повећава за што је потребан судар, односно дејство силе. Другим речима, нема спонтаног скретања на већу таласну дужину, односно ка правцима у ход по већим неизвесностима. То није вероватно.

Unnatural » eng

Питање: Да ли сте грешком, наопако поредали процес низајући догађаје од садашњости ка прошлости?

Одговор: Развој тако видимо. Ту стварност непосредно налазимо да бисмо је затим замишљали и сводили у „токове прошлости ка садашњости“, у даљу фикцију.

Природни, спонтани токови иду према начелу минимализма, ка вероватнијим стањима, ка мање информативним, мањем дејству. Неприродни, посебно вештачки, могу и пуно тога чега у природи нема. То ми је одредница, лакмус папир, спонтаног и неспонтаног, али и неживог физичког стања од оног снабдевеног виталношћу.

1. Марковљев ланац је преносник порука који (углавном) има сметње. То се назива шум канала који резултира „дезинформацијама“. Оне смањују, повећавају, или преузимају полазне информације оштећујући првобитну поруку да је коначно, након низа карика, сасвим изгубе. Свака ће објава на крају постати својствена датог канала, постепено се прилагођавајући њој, чинећи на крају ланац „црном кутијом“. Значење ове је да на основу излаза не знамо шта је био улаз.

Тако описиван процес копирања вештачки је и у том смислу неприродан. Физичка реалност не уме да лаже, далеко је од алатки математике и њене резултате „препознаје“ на начине сасвим другачије од нас. Међутим, када већ користимо ове производе фикције у примарном гледишту може бити тражење прошлости са становишта „данас“ у смеру „јуче“, у секундарном у смеру од „јуче“ ка „данас“. Оба су нестварна, а овај други је поправљање чинећи фикцију од фикције, ради „прилагођавања“ стварности.

2. Узмимо мало општији (Adaptation II, 3) пример Марковљеве матрице:

Av = v,     Ax = y,

\[ \begin{pmatrix} a_1 & b_2 \\ b_1 & a_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{b_2}{b_1 + b_2} \\ \frac{b_1}{b_1 + b_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{b_2}{b_1 + b_2} \\ \frac{b_1}{b_1 + b_2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} a_1 & b_2 \\ b_1 & a_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1p + b_2q \\ b_1p + a_2q \end{pmatrix}. \]

Колоне матрице A су расподеле, позитивни бројеви збира један, као и оба вектора x, y. Посматрајмо разлике ∥x - v∥ и ∥y - v∥ у простору 1-норме:

∥x - v∥ = |p - b₂/(b₁ + b₂)| + |q - b₁/(b₁ + b₂)|,

∥y - v∥ = |a₁p + b₂q - b₂/(b₁ + b₂)| + |b₁p + a₂q - b₁/(b₁ + b₂)|.

После краћег уређивања налазимо да су то једнакости:

∥x - v∥ = 2|pb₁ - qb₂|/(b₁ + b₂),

∥y - v∥ = 2|pb₁ - qb₂||a₁ - b₂|/(b₁ + b₂),

односно:

∥y - v∥ = |a₁ - b₂|⋅∥x - v∥.

Дакле, када год је |a₁ - b₂| < 1 биће копија ближа својственој вредности канала. То је увек осим ако је A изометрија, тј. јединична или матрица добијена пермутацијом колона јединичне матрице.

3. Непосредна последица из овога излази да би начелно минимализма било нарушено, ако би својствена вредност Марковљеве матрице била блиска максималној информацији. У овом случају, имали бисмо:

\[ \begin{pmatrix} 1 - b_1 & \frac{a}{b}b_1 \\ b_1 & 1 - \frac{a}{b}b_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \]

што се множењем лако проверава. То је иста претходна карактеристична једначина Av = v, сада написана помоћу коефицијената a и b, позитивних бројева збира један, својственог вектора v матрице A и било којег реалног броја b₁ ∈ (0, 1).

Када је v блиско униформној расподели, a ≈ b, односно |a - b| ≈ 0, тада је Шенонова информација:

S(v) = -a⋅log₂a - b⋅log₂b ≈ 1 bit.

Свака друга бинарна информација мања је од ове (Екстреми, 1.5), тако да адаптација ка овој значи пораст информације, што се противи спонтаном току природних процеса обзиром на начело минимализма. Ти процеси су вештачки, неспонтани, или насилни и у том смислу неприродни.

4. Математичке теореме су истините, трајне и опажамо их. Према томе, оне су „реалности“. Међутим, поступак налажења теорема је „фикција“, јер захтева употребу неистина. Зато се налазимо у апсурдној ситуацији, да знамо да радимо са стварношћу, али не успевамо да је заиста такву опажамо и увек у проценама промашујемо. Требало би то бити утешно што „стварност“ сваки субјекат перципира на себи посебан, јединствен начин и ниједан на „прави“ начин.

Completion » eng

Питање: У каквом односу са овим је информација перцепције?

Одговор: Природан, или спонтан ток начелно је минимализам. Ка вероватнијим стањима је, мање информативним, мањем дејству. То одређује дејство као физичку информацију. На такав се начин комуникација посматра методом прво квантних, а затим и уопште физичких интеракција. Тиме смо између класичне теорије информације и идеје информације перцепције.

1. Изворно, Информација Перцепције (2016), настајала је из неуспешног мог убеђивања других да интелигенција I = S/H воли слободе S али не и ограничења H. Односно да је слобода S = I⋅H сразмерна „интелигенцији“ I, у смислу способности опажања и дејства субјекта, као и хијерархији H, тј. ограничењу објекта, окружења или опонента. Ова слобода ми је тада изгледала слична „видљивости“. Обе сам разматрао као збирове:

S = S₁ + S₂ + ... = I₁⋅H₁ + I₂⋅H₂ + ...

различитих могућности опажања, односно деловања.

2. Поједноставимо то помоћу слике десно, а фокусирајмо се на један од сабирка од парова производа информације перцепције S = I⋅H. Меримо ову спрегнуту информацију S ординатом, а уздуж апсцисе допуњавајмо интелигенцију I и хијерархију H до један. Отуда имамо I = x и H = 1 - x, а S = f(x) = x(1 - x). Граф показује да највећу „слободу“ постиже уједначен однос способности и ограничења. То је новина информације перцепције.

Отуда стижу и нека сазнања недоступна класичној теорији информације. На пример, биће огромних способности опажања у условима без икаквих ограничења једнако је неслободно као неко без тих способности опажања у веома ограниченим условима. Другим речима, огромна моћ без избора једнако је неслободна као никаква моћ у изобиљу опција. То уз захтев да је информација ткање простора, времена и материје, са изборима које су јој суштина, води закључку да су поменуте крајности неприродне. Дакле, не одступамо од нађеног: информисање значи деловање.

3. Било да S представља „слободу“ (количину опција) или је „видљивост“ (шанса информације), она је прво збир производа, па скаларни производ низова, уз то и функционела. Сва ова тумачења морају бити усклађена са познатим из квантне механике, са инваријантама макро света и коначно са теоријом информације. Јасно је да таква „информација перцепције“ не може стати у оквир класичне информације, али уопште говориће колико једно стање „належе“ на друго.

Скаларни производ вектора каже нам колико су два вектора паралелни. Интензитети вектора a и b су |a| = a и |b| = b, а означимо ли јединичне векторе њиховог смера са u_a = a/a и u_b = b/b, биће коефицијент њихове паралелности u_a⋅u_b ∈ (-1, 1). Ако је производ нула, вектори су међусобно окомити, а када је екстреман (±један) они су паралелни. Интерпретација овог коефицијента израз је „сагласности“ стања која упоређујемо. Некад је то моћ комуникације, ниво стратегије, некад унутрашње информације.

4. У физици бисмо за интерпретације „информације перцепције“ писали подугачку листу (Meaning). На пример, узмимо да имамо честицу у стању \(|\psi\rangle = (\sqrt{\frac23}, \sqrt{\frac13})\) при мерењу неке опсервабле са припадним оператором која има својствено стање \(|\phi\rangle = (\sqrt{\frac25}, \sqrt{\frac35})\). Све ово је у стандардној бази квантног система, који може бити у стању |1⟩ = (1, 0)^⊤ или |2⟩ = (0, 1)^⊤, па је њихов скаларни производ:

⟨ψ|φ⟩ = ⟨ψ|1⟩ ⟨1|φ⟩ + ⟨ψ|2⟩ ⟨2|φ⟩ =

\[ = \sqrt{\frac23}\cdot \sqrt{\frac25} + \sqrt{\frac13}\cdot \sqrt{\frac35} \approx 0,964 \]

Квадриран тај број, |⟨ψ|φ⟩|² ≈ 0,929, представља вероватноћу налажења, мерења жељене опсервабле. Са овим вероватноћама лако се сналазимо и у класичној информацији.

Polarization » eng

Питање: Не рекосте ми (Completion) чему спонтано тежи „информација перцепције“?

Одговор: Е, па такво што зависи од вероватноће, на пример као у случају својствених вектора из матрице Маркова (Unnatural). Другачији, сличан пример је оријентација амплитуда светлости и Малусов закон. Линеарно поларизована светлост јачине I₀ на излазу из идеалног поларизатора, тј. решетке линијских отвора које са улазном поларизацијом заклапају угао θ, на излазу ће имати интензитет I = I₀⋅cos²θ. На слици видимо нанизана три таква поларизатора.

На улазу у први светлост није поларизована и пролази око половине свег интензитета, cos²45° = (√2/2)² = 1/2, претежно вертикалне оријентације. Други поларизатор је нагет за 45° у односу на први, па пролази још пола интензитета од те половине. Трећи поларизатор је нагнут опет за 45° али у односу на други и пропушта још пола, тј. 1/8 јачине полазне светлости. Парадоксално је, али наилазећи на само два поларизатора окомита један на други, на излазу уопште не би било светла, јер из првог кроз други би прошло cos²90° = 0 светла, у пракси као и по Малусовом закону.

1. Закон поларизације светлости откривен је (Étienne-Louis Malus, 1808) пре квантне механике и Борновог правила (1926), који каже да је густина вероватноће за проналажење честице на датој позицији пропорционална квадрату амплитуде таласне функције система на тој позицији. Доказе и објашњења наћи ћете у књизи Квантна Механика. То је у случају алгебре квантне механике када су коефицијенти вектора комплексни бројеви.

2. Покушајмо Борново правило прво видети са лаким примером, на слици лево, у случају реалног правоуглог Декартовог система. Квадар дијагонале OA = d нагиба према осама под угловима α, β и γ има ивице дужина x = OA⋅cos α, y = OA⋅cos β и z = OA⋅cos γ. Према Питагориној теореми је:

x² + y² + z² = OA²,

а отуда, уврштавањем и делењем са d² добијамо, редом:

OA²⋅cos² α + OA²⋅cos² β + OA²⋅cos² γ = OA²,

cos² α + cos² β + cos² γ = 1,

а то је аналогно Борновом правилу у реалном простору и његовој претечи у Малусовом закону.

Замислимо сада тај квадар у комплексном систему координата, 2-норме, са јединичном дијагоналом ∥OA∥ = 1. Осе као ортогоналне векторе (a ⊥ b акко a ⋅ b = 0), а скаларне производе дијагонале OA са осама као квадрате косинуса углова и вероватноће.

3. Ови квадрати косинуса демонстрирају тешкоће настале упрошћавањем у објашњењима вероватноће. Интуиција би сама тешко дозволила горње „скретање иза угла“, када трећа поларизација од 45° између две окомите даје вишак светлости, у односу на саме две окомите, а то је само детаљ из „чуда“ закона случајних догађаја. Није од лакших ни „замах крампа“, или улагање потенцијала у користан рад, у следећем примеру.

4. Одавно знамо за „несхватљив“ пад Шенонове информације у паметним текстовима (Letter Frequency) у односу на насумично низање слова. Неке знакове, звукове или мирисе интелигентна комуникација чешће користи него што се природно појављују у мртвој природи. Тако знамо да рецимо делфини разговарају, или да би евентуалне сличне расподеле сигнала из свемира можда дошле од разумних бића. Имамо вишкове слободе да би налазили законитости са ње мање. Тако пишемо како бисмо усмеравали машту читаоца у нашу фабулу, или спознали природне законе нашавши ред у нереду, у еурека ефекту изненадно схваћеног сужавања опција.

5. Позиција већег знања и владања законима природе стање је повећања „видљивости“, као и информације перцепције (Completion). То разумемо непосредно, или схватајући да нам је развој цивилизације омогућио како веће слободе (рецимо путовања нашом и другим планетама) тако и већу уређеност (друштвену, саобраћајну, правописну и друге). Међутим, није да информација перцепције тежи спонтано, свугде и увек, равнотежи и комплетирању опција и реда, ако је виђамо у случају развоја људи. Ове вредности не теже спонтано повећању информације перцепције.

Уколико би се живот појављивао и развијао тамо где може, у еволуцији на Земљи смо сведоци колико је наша интелигенција реткост, јер њоме су живели милиони врста којима интелигенција није била потреба нити циљ. Живот се развија и узложњава из потребе учесника да немају вишка опција, али је гужва на терену и сви би хтели то исто, па нежељене терете гурају у заједнице стварајући све сложеније облике виталности. Слободе се одричемо зарад сигурности и ефикасности. Тако настају системи већих информација перцепције, заправо из тежње ка мањој информацији. Као што олује настају због потребе за смиривањем.

Choices II » eng

Питање: Кажите нам и нешто о шансама реализације случајних догађаја у фиктивним реалностима?

Одговор: Признајем, добро сте то исказали „фиктивне реалности“. Реалност је опсервабилна, трајна и истинита, а „фикција“ оно што има једну или највише две од те три особине, бар док смо унутар ове теорије информације. Иначе, исход ће бити све што има макар неку шансу да то буде.

1. Узимајући у обзир релативност истовремености и неодређеност времена и енергије, посматрамо парчиће садашњости као дискретан низ који се никада не завршава. Аналогно као низ природних бројева, или позиција само једног бинарног броја, рецимо 0,110100... ∈ (0, 1), којих у интервалу од 0 до 1 има континуум бесконачно много 𝔠 = 2^ℵ₀, иако бесконачан низ има само пребројиво много (ℵ₀ = log 𝔠) елемената. Налазимо да фиктивних реалности има бар континуум много.

2. На горњој слици десно је линк на аксиому избора. Она констатује да из било које групе непразних скупова можемо бирати по елеменат из сваког без правила који узимати, чак и из бесконачно много група. Према томе, постоји свака функција избора из чега налазимо да сваки скуп може бити добро уређен, чији би сваки подскуп имао најмањи елеменат. Као што их има скуп природних бројева, или као што би сваки временски исечак из сваке од фиктивне реалности имао свој ток, редослед.

На пример, када је задат скуп три скупа S = {{1, 2, 3}, {3, 4}, {5}}, онда три једнакости f{1, 2, 3} = 3, f{3, 4} = 4 и f{5} = 5 дефинишу једну од „функција избора“ на S. Друга је g{1, 2, 3} = 2, g{3, 4} = 4 и g{5} = 5 и тако даље, има их 3!⋅2!⋅1! = 12. Тачке системa координата одређују једну функцију избора својих координатних оса. Уколико важи аксиома избора, биће континуум фиктивних реалности насталих из једног јединог тока садашњости.

3. Алтернатива аксиоми избора је аксиома детерминисаности. Односи се на тополошке игре ω међу којима један од два опонента има победничку стратегију. Аксиом избора каже, на пример, у продавници слаткиша сте са бесконачно великим теглама за слаткише и можете узети који хоћете по један слаткиш из сваке тегле и све их ставити у другу теглу. Аксиома детерминисаности тврди да је свака игра одређена. Односно, таква игра, без обзира који низ потеза вукли, резултира неким победником.

У случају детерминисаности, постоји непразна победничка стратегија и ако је бирамо друга страна остаће без потеза (губи игру) и нема јој више избора. Зато су те две аксиоме супротности, негације једна друге. У овој теорији то би значило да васиона без аксиоме избора има по ћорсокак у свакој варијанти фиктивне реалности сем једној. То би била супротност претпоставци објективне случајности, то је противречност овој теорији информације.

4. Развој логике од 20. века утврдио је да аксиома избора није зависна од општеприхваћених аксиома теорије скупова радом Цермела и Френкела. Наиме, Zermelo–Fraenkel теорија скупова са аксиомом избора (ZFC), као и таква теорија скупова без аксиоме избора (ZF¬C) једнако су логичне и конзистентне теорије. Међутим, много математичара прихвата аксиому избора као истиниту и користи је када је потребно.

Packages II » eng

Питање: Можете ли ми сада објаснити Банах-Тарски парадокс?

Одговор: Ово је питање упућено ми од једног сада дипломираног инжењера поводом разговора о „пакетима“ некада док је он био студент. Иначе, сви ови блогови написани су месецима пре горе насловљеног. Радило се о доказу атомске, или квантне структуре физичке информације.

Даље из претпоставке да је она структура физичке реалности, то је доказ атомизирања материје уопште (разговарамо о математичком доказивању нечега што је експериментима давно утврђено). Линк на слици горе лево сигурно је лепше препричан „Банах-Тарски парадокс“ од начина како ћу ја то сада урадити. Међутим, мој прилог је утолико важнији због поенте која тим познатим објашњењима и овом видеу недостаје.

1. Прво приметимо да су бројеви писани децималама које се периодично понављају рационални, из скупа ℚ разломака целих бројева у бројнику и називнику. Ево примера како их преводимо у разломке:

x = 0,450450450... /⋅1000
1000⋅x = 450,450450450...
1000⋅x = 450 + x
999⋅x = 450
x = 50/111

Међутим, постоје ирационални бројеви, део реалних бројева ℝ из којих су одстрањени рационални, чији децимални записи нису периодични. Број √2 = 1,41421... и сви корени који нису цели бројеви, или количник обима и пречника круга π = 3,14159, ирационалан је и број e = 2,71828..., такође и непребројиво много других реалних бројева. Рационални бројеви чине пребројиво бесконачан скуп кардиналности ℵ₀, као и скуп ℕ = {1, 2, 3, ...} природних бројева, који се очигледно може (бесконачно) пребројавати. Ирационалан број је и тај чије децимале су исходи случајних догађаја.

2. Из претходног следи да ће збир целог и ирационалног броја увек бити неки ирационалан број. Додајући на вектор ирационалне дужине његово парче целобројне дужине добија се вектор ирационалне дужине. Такође, ако тачку кружнице целобројног полупречника померамо дуж лука увек за јединичну дужину, она ће долазити стално на нове и нове позиције да би кружећи све гушће попуњавала линију кружнице никада не стижући у места на којима је претходно била.

Бирајући неки други почетак те кружнице и додајући стално по тачку на јединичној удаљености лука од претходне, исцртавали бисмо још једном свуда густу линију њених тачака. Али, могуће је да се никоје две тачке из првог и другог исцртавања не поклопе, зависно од удаљености почетних тачака. То је идеја Банах-Тарског парадокса. Вадећи тачке из првог, па из другог исцртавања, испада да од полазне једне правимо две једнаке такве кружнице.

3. Сада када смо разумели овај концепт, неизмерно мање (ℵ₀) пребројиве бесконачности целих и рационалних бројева наспрам кардиналног броја елемената континуума (𝔠 = 2^ℵ₀), ирационалних и реалних бројева, лако је правити варијансе. На пример, идући по правоуглом Декартовом систему координата за дате ирационалне дужине вектора оса, крећући од разних тачака, можемо цртати једнака све гушћа тела мултиплицирајући их. Ове фигуре које тако добијамо свуда су густи скупови тачака, али пребројиви, за разлику од континуума који је непребројив скуп тачака.

Даље лако разумемо када и зашто су комбинаторне игре детерминисане. То су отворене игре и са наизменичним потезима два играча, као шах, го, ним (наизменичног узимања предмета из неколико гомила), или крстић-кружић. То су дискретне игре (са највише пребројиво бесконачно потеза) и, према горњем, немају могућност Банах-Тарског парадокса, који и није „парадокс“ већ је математичка извесност када има испуњене предуслове. Играч низајући своје потезе може исцрпити могућности опонента и тако га оставити без одговора у оквиру правила игре.

4. Светови „паралелних времена“ (фиктивних реалности) непребројиво су бесконачни. Они су стога подложни парадоксу Банах-Тарског и могу себе неограничено мултиплицирати. Зато нема смисла говорити нити о њиховој запремини, јер парадокс Банах-Тарског није могућ у васионама где важи аксиома детерминисаности. У таквим световима сваки подскуп реалних бројева је мерљив (тј. има добро дефинисану запремину), а овај парадокс захтева немерљиве скупове.

Са друге стране, гледајући уситњавања и поделе у све мањи микро-свет, исти концепт овог парадокса тражио би аксиому избора, дакле негацију аксиоме детерминисаности, чиме би водио у немерљивост. Према томе, слојеви микро-светова у којима би важила аксиома избора негирали би законе одржања и не би били реални на начин овде дефинисан. Отуда и атомизираност, или ако хоћете квантованост информације и материје на њој заснованој.

Zorn lemma » eng

Питање: Прича се о многобројним применама аксиоме избора. Можете ли навести неке?

Одговор: Пре свега, нагласимо да је аксиома избора независна. Она се може једнако и претпоставити и забранити. У првом ће случају важити парадокс Банах-Тарског и светови „паралелних времена“ су непребројиво бесконачни, а у другом, када важи њој супротна аксиома детерминисаности, сви микро светови појединих токова времена су квантовани, њима су информације коначно дељиве.

То је као када са извесне гомиле смемо узети колико год узмемо предмета, или ако кажемо да је дозвољено узети само два. Нема противречности. Обе опције су применљиве зависно од околности. Друго је питање које од тих околности су нам се показале чешће, или корисније.

1. Еквивалент аксиоме избора је став да сваки векторски простор X (над било којим телом Φ) има базу. Ово се може лакше разумети када видимо да тачке системa координата одређују једну од „функција избора“ својих координатних оса. Иначе, тачка која не би имала координату неке од оса не би се разлагала на вектор те осе; он не би био у бази и не би га било у линеаној комбинацији те тачке, вектора. Надам се да је такво тумачење довољно да не цитирам строги доказ.

Међутим, када разматрамо једну историју света и радимо са пребројиво бесконачним низом садашњости (њиховим парчићима), онда неће бити аксиоме избора и, према томе, радимо са некомплетним стањима унутар некомплетних (квантних) система, тј. интерпретацијама некомплетних векторских простора. Комплетирање таквих је могуће тек након ширења текуће на остале паралелне (фиктивне) реалности. Исто је сматрамо ли немогућим издвајање само једне особине из пакета инфомација, кванта дејства.

Простор слободних честица може се сматрати континуумом, али то није нека компензација када ми радимо са квантним системима (векторским просторима) наглашено квантних стања и процеса (вектора). У најбољем случају, такав налазимо за неку ширу подлогу „фиктивних реалности“ у којој се оне преламају, или премоштавају и међусобно опажају.

2. Еквивалент аксиоме избора је и исказ да свака сурјекција има са десне стране инверзну функцију. Сурјекција f : A → B, или „на“ пресликавање f, прекрива сав кодомен B.

У првом смеру доказа, претпостављамо сурјекцију f и ∀b ∈ B посматрамо f^-1(b). Тиме одређујемо неки подскуп домена, тј. A_b ⊆ A. За различите b су ти скупови дисјунктни. Аксиома избора даје g : B → A тако да за свако b је g(b) ∈ f^-1(b). Али тада је f∘g идентитет, па f има десни инверз. Обрнуто, са претпоставком да имамо колекцију дисјунктних скупова {A_i} и одредимо функцију из унији свих тих, она ће бити сурјекција. Њен десни инверз је тада функција избора за колекцију {A_i}.

Посматрање прошлости на основу налаза из садашњости (археолошких, форензичких, сећања) врста је пресликавања из садашњости у прошлост. Међутим, због „сметњи преноса“, рецимо шума Марковљевог ланца, није могуће имати увид у све што се тада десило, па оне нису нити инверзивне сурјекције у односу на пресликавања те прошлости у нашу садашњост. То значи да у временским процесима аксиома избора не важи.

3. Еквивалент аксиоме избора је и Зорнова лема. Она каже да делимично уређен скуп који садржи горње границе за сваки ланац, тј. сваки потпуно уређен подскуп, нужно садржи најмање један максимални елемент.

Поједностављено, покушајмо ово разумети помоћу реалних бројева. Нека је то отворени интервал од нуле до један. За сваки број 0 < x < 1 постоји и неки од њега већи, а још увек у том интервалу, нпр. x₁ = (x + 1)/2 ∈ (0, 1). Број 1 не припада датом интервалу, не може се бирати и не важи Зорнова лема. Са друге стране, у случају затвореног интервала реалних бројева, са 0 ≤ x ≤ 1, то је скуп који садржи горњу границу, постоји максимални број 1 који можемо бирати и важи Зорнова лема.

Мало сложенији пример је скуп више интервала, рецимо од 0 до 2, па од 1 до 3, ..., од a до b и даље. Када су сви ови интервали затворени, тада они имају пуно локалних максимума (2, 3, ..., b и даље), али немају највећи од њих, или максимални елеменат, ако не можемо бирати ℵ₀, кардинал који је „број“ пребројиве бесконачности. У теорији скупова имамо ординале и кардинале; први говоре о поретку а други о количинама.

Поредати можемо појмове попут: горко, слано, слатко. У математици би радије радили са скуповима, са поретком {a, b} ⊆ {a, b, c} ⊆ {a, b, c, e} ..., или без поретка {a, b} ⊈ {a, c}. Чак и таквима можемо делити вредности, на пример kard{a, b} = 2, kard{a, b, c} = 3, или слично. Могуће је (не увек) и обрнуто, па је рецимо -3 ≼ 33 ≼ ℵ₀ ≼ 𝔠 ..., са овим ланцма који нису увек коначни. Штавише, који надилазе идеју скупа (нема скупа свих скупова).

Зорнова лема је утолико интересантнија уколико су примене екстремни-је. Коначни скупови су тривијални примери њеног важења, као и важења аксиоме избора. То се види на слици горе десно и линку у објашњењу.

4. Када мало боље размотримо горње примере, видећемо и „компромисе“ аксиоме избора и њене негације у нашој реалности. На пример, у вакууму и са слободним честицама можемо бирати произвољне положаје, такође и произвољне таласне дужине, што наводи на закључак да су они конти-нуум. Тада нема губитака сећања, нема неодвојивих делова као података из кванта дејства, свако стање или процес (вектор) има јасно разлагање на опсервабле (базу). Међутим, даље налазимо и на неразлучивости, или рецимо на принцип неодређености.

Thoughtful » eng

Питање: Оно што је мисаоно испада да је мање информативно, па како то? Куда иде та теорија информације?

Одговор: Мисаоне ствари појаве су виталности и утолико су даље од мртве природе. Умеће писане речи по томе наликује одвајању из камена скулптуре клесара, са налажењем скривене вредности својствене интелекту а напором вишка слобода коју поседујемо наспрам неживе физичке твари.

1. За дубље разумевање реченог, прво приметимо да униформна расподела има највећу информа-цију (Екстреми, 1.5). На пример, расподеле са једнаким бројем исхода:

a = (0,25; 0,25; 0,25; 0,25) и b = (0,40; 0,30; 0,20; 0,10)

имају различите (Шенонове, 1948) информације:

S(a) = -0,25⋅log₂(0,25) - ... - 0,25⋅log₂(0,25) = 2,00 bit,

S(b) = -0,40⋅log₂(0,40) - ... - 0,10⋅log₂(0,10) ≈ 1,85 bit.

Мисао чини напор зарањања испод површине, испод нормалног стања мртве природе, у области правила које она иначе несвесно следи.

2. Према једном истраживању (Letter Frequency, 2022) фреквенције слова обичног српског текста са 3283 знакова нађена је опадајућа заступљеност 30 слова азбуке редом А, И, Е, О, ..., слично горњој b расподели. Превод у енглески језик даје опадајуће френквенције 26 слова тог алфабета редом E, I, T, N, O, ..., што такође потврђује смисленост садржаја. Информација њихових неравномерних расподела мања је од информације насумице и једнако вероватно бираних слова истих дужина текста.

Показала би се и неједноликост расподеле речи датих језика, или идеја уопште, у случајевима интелектуалне садржајности, у односу на сасвим случајне изборе речи, односно идеја. У таквим налазима били би много већи бројеви могућности од поменутих 30 и 26, али са сличним ставом, да смисао тексту смањује информацију. Распореди тих фреквенција су својеврстан „отисак прста“ садржаја и аутора текста.

3. Квантитет мисаоних напора можемо тражити помоћу Чебишевљеве неједнакости и прилога у наставку тог блога, сада када знамо да су они последице сила неизвесности. У апстрактном простору вероватноћа са којима је могуће дефинисати метрику, у местима већих вероватноћа су централне силе чија привлачност опада са квадратом удаљености. Као Њутнова и Кулонова сила, оне могу имати различите константе испред (гравитације и електро силе), али нема једино физика право на њихове примене. Аналогно физици, такве централне силе настојаће покретати своје набоје по коникама (елипсама) када своја дејства шире брзином светлости.

4. Сви би хтели стићи до стања веће вероватноће, од најмањих атома све до највећих тела. У том гурању у конкуренцији многи из окружења чине тежим и рад креативности. У том смислу мисаони рад је борба. Погон и снагу даје јој вишак опција у односу на мртву супстанцу коју иста добија удружена са виталношћу. Шансе за успех у надигравању затим повећава и виши ниво стратегије недоступан мртвој природи (Win Lose) која увек „пропушта јачег и гура слабијег“, не марећи што је то најслабија игра од свих и не „плашећи“ се пораза због своје неуништивости. Она удружена са виталношћу почиње да пркоси спонтаности и успева да је побеђује.

Existence II » eng

Питање: Парадоксално је и мени немогуће што се жива бића састоје од неживог света. Можете ли то објаснити?

Одговор: Одговор у овој теорији стоји упорно пред нама, али авај, колико год се трудим показати га толико читаоцу понестане пажње да ухвати поенту. Покушаћу исто објашњење поновити сада споро и разложно са надом у успех.

1. Три су ствари кључ разумевања „постојања“ на начин ове теорије. Прво, информација је у садржају простора, времена и материје, са неизвесношћу њеном суштином. То подразумева непостојаност, краткоћу живота информације; бајата вест није више првобитна вест. Вероватноћа се показује као какво такво средство за праћење понашања информација.

2. Друга од важних ставки је одређивање реалности са три претпоставке: перцептибилност, одрживост и тачност. Овако кратко исказане превише су поједностављене да се примети њихова повезаност. Наиме, прва значи да A може (необавезно) опажати A₁ а ово опажати A₂ ... а ово опажати B, а сви заједно су узајамно реални. Тиме подразумевамо и постојаност, па из постојаности излази истинитост, јер неистину сматрамо непостојаном.

Све три заједно наведене претпоставке дефинишу „реалност“. Сматрам је „постојећом“ поред појава које би испуниле само један, или два од та три предуслова, а које ради разликовања називам „фикцијама“. Претходно са овим описује микро-свет реалности као фикцију. То је онај збуњујући део ове теме који је тешко објашњив и уз који ће тек понеко уздахнути: „Аха, сад капирам, па то је савршено јасно! Како је могуће да ово раније нисам разумео?“

3. Трећа важна ставка је еквивалентност света истина и неистина, једнак њихов кардинални број. Наиме, кроз бијекцију (обострано једнозначног пресликавања) заменом ⊤ ↔ ⊥, на пример, за дисјункцију:

∨	⊤	⊥
⊤	⊤	⊤
⊥	⊤	⊥

налазимо еквивалент:

¬∨	⊤	⊥
⊤	⊥	⊥
⊥	⊥	⊤

Негација овим придруживањем остаје, (⊤, ⊥) ↔ (⊥, ⊤), али таутологије (увек тачни искази) замењују се са контрадикцијама (са увек нетачним исказима), као на пример: (A ∨ ¬A) ↔ (A ¬∨ ¬A). Проверите!

4. Из једнакости количина (3) и одржања те вредности (2) лако разумемо да да је макро-свет фикција одржив колико и стварност. Са друге стране, већ је поменуто да микро-свет реалности (2) због (1) чине фикције. Такви на границама својих светова они би могли имати заједничке особине које би их лако спајале, односно не би раздвајале онолико колико нам далеко иначе изгледају. То је и одговор на питање.

T-symmetry » eng

Питање: Да ли је могућ преокрет времена?

Одговор: Говорим у мојој теорији информације без освртања према истраживањима попут тих линка слике лево или сличним, или без евентуалне закривљености самих времена (бар три димензије су).

1. Преокрет времена као стварни ток догађаја уназад — није могућ, без кршења начелне неизвесности, на начин који нарушава објективност случајности, основу природних појава ове теорије информације.

2. Други разлог исте немогућности, рецимо њена последица је континуум могућности (кардиналности 𝔠) и такво бесконачно мноштво паралелних реалности око наше „само“ пребројиво бесконачне (ℵ₀). Посебно у малом свету кванта, где су такве могућности најизгледније, шансе да се догађаји враћају у претходно стање истог временског тока су ништавне. Једнаке су вероватноћи да се на интервалу реалне осе бројева извуче баш један дати ирационалан број, што је (скоро) равно тачној нули.

3. Време је у овој теорији зато важно, јер је носилац информације и стога је не-реверзибилно. Штавише, постоји сила која садашњост гура из било је у биће. Називам је сила вероватноће, или начелни минимализам. Лако је откривамо у чешћим реализацијама вероватнијих догађаја, евентуално када смо изложени таквима. У макро-свету је веома пригушена законом великих бројева вероватноће. Овим тумачењима пристају „заобилажења“ која нам наводно долазе и у „Менделином ефекту“, путем масовног хода тамо и овамо кроз паралелна времена. За разлику од немогућности (2).

4. Према томе, теоријски није немогуће да налетимо на неко тело које је „залутало“ у свом ходу ка будућности, али је мало вероватно. Утолико би такав догађај био мање могућ што би тело било веће, при чему су шансе још мање да би оно остало у колосеку свог временског тока. Ова теорија, дакле, предвиђа да у нашем окружењу, у нашој стварности теку и други процеси које не можемо опажати јер припадају паралелним временима (Free fall, 6).

Isometry » eng

Питање: Постоје ли неке друге симетрије времена?

Одговор: Да, симетрије су основе физичке стварности, изометрије како бисмо називали те промене које одржавају растојања између тачака. Добар пример оваквих је сопствено, или право време τ. То је оно које нам тече једнако било да мирујемо на станици, или смо у ма каквом кретању.

1. Међутим, то сопствено време ће други видети у интервалима:

\[ dt = \frac{d\tau}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \]

када се крећемо брзином v у односу на њих, где је приближно c = 300 000 km/s брзина светлости. Аналогна дилатација времена у гравитационом је пољу иста та након смене v² = 2GM/r, где је G гравитациона константа, M је маса поља, а r је удаљеност посматраног места од центра поља (Спрега Информација, Пример 115). Израз се иначе пише краће, dt = dτ⋅γ, помоћу тзв. Лоренцовог коефицијента γ, односно dτ = dt/γ.

2. Производ примењене енергије и протеклог времена је дејство:

E₀ ⋅ dτ = E₀ ⋅ dt/γ,     E₀ = m₀c²,

\[ E_0\cdot d\tau = m_0c^2 \cdot \frac{dt}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \approx m_0c^2(1 - \frac12\frac{v^2}{c^2})dt = (m_0c^2 - \frac12m_0v^2)dt, \]

где је E₀ и m₀ својствена (у мировању) енергија и маса тела, а приближна вредност је утолико тачнија што је однос брзина (v/c ≈ 0) мањи. Иначе је разлика кинетичке (T = m₀v²/2) и потенцијалне енергије (U = m₀c²) тела Лагранжијан, па је она сразмерна промени својственог током релативног времена:

\[ L = -E_0\ \frac{d\tau}{dt} = -E_0\ \dot{\tau} = -\frac{E_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \approx T - U. \]

Нема ове промене, L = const, када нема промене релативне брзине тока времена, јер тада нема промене дејства.

3. Збир кинетичке и потенцијалне енергије (H = mv²/2 + U), познат и као Хамилтонијан, остаје укупно исте вредности током промена. Ово је закон одржања енергије који на следећи начин повезујемо са чувањем дејства:

\[ \frac{d}{dt}(\frac12mv^2 + U) = 0, \] \[ \frac{d}{dt}[mv^2 - (\frac12mv^2 - U)] = 0, \] \[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v}v - L\right) = 0, \] \[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v}\right)v + \frac{\partial L}{\partial v}\frac{d v}{d t} - \frac{dL}{dt} = 0. \]

Обзиром да је:

\[ \frac{dL}{dt} = \frac{dL}{dx}\frac{dx}{dt} + \frac{dL}{dt}\frac{dv}{dt}, \]

уврштавајући у нађено, излази:

\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v}\right)v - \frac{dL}{dx}v = 0, \]

за сваку брзину v, што значи да је:

\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v}\right) - \frac{dL}{dx} = 0, \]

а то је позната Ојлер-Лагранжова једначина (Lagrangian II) из које налазимо путање (свих) кретања теоријске физике. Значење овог извођења је у важењу закона одржања енергије и дејства.

4. Други смисао Ојлер-Лагранжове једначине видимо лакше када је пишемо у облику:

\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) = \frac{dL}{dq}, \]

где је наглашено да q не мора бити праволинијска координата, а \(\dot{q} = \frac{dq}{dt}\) је брзина померања по тој координати. Када је десна страна ове дифере-нцијалне једначине нула, таква је и лева, и обрнуто. Другим речима, ако нема промена енергије променом положаја, нема промена ни временом, и обрнуто.

Мало дубље значење овога уочила је Еми Нетер (Приче о Информацији) 1915. године, када је приметила да Ојлер-Лагранжова једначина говори о симетријама. Када год имамо непроменљивост да имамо и одговарајућу постојаност. На тај начин иста једначина говори и о „реалности“ како је овде дефинишем. Поред тога, што она изражава немогућност постојања физичког простора без времена (и обрнуто), она нам говори да васионе нема без прошлости. Наиме, простор је депо бивших догађаја.

Existence III » eng

Питање: Шта је са трајекторијама и принципом најмањег дејства на граници светова реалности и фикције?

Одговор: То је питање (Existence II) границе прво реалности чији микро-свет чине фикције, затим границе макро-света фикција са реалностима. Ево како повезати два принципа најмањег дејства.

1. Дат је функционал f(y). Ово је нека функција f функције y(s), а коју бисмо максимизирали или минимизирали избором путање y(s). Тражимо екстрем функционала f(y) у односу на аргумент y(s) налазећи први извод који ћемо изједначавати са нулом. Биће f '(y₀) = 0, где је f₀ = f(y₀) највећа, или најмања, вредност функционала.

2. Функционал је облика:

\[ f(y) = \int_a^b g(y, y')\ ds. \]

То је интеграл по параметру s ∈ [a, b] функције g која зависи од путање y(s) и њеног извода y'(s) = dy/ds и тражимо путању највећег (најмањег) броја y₀. Другим речима, тражимо екстрем функционала f.

3. На слици горе лево видимо на типском примеру оно што се у наставку може видети и уопште аналитички, да променом аргумента за исти мали износ апсисе Δx₁ = Δx₂ настаје мање померање ординате Δf₁ < Δf₂ када се узима у близини екстрема, максимума или минимума свеједно али тачке где је тангента на граф паралелна апсциси.

Наиме, посматрајући мале варијације за δx око тачке x, помоћу Тејлорове формуле добијамо:

\[ \delta f = f(x + \delta x) - f(x) = f'(x)\delta x + \frac12 f''(x)(\delta x)^2 + ... \]

али у околини екстрема је f '(x₀) = 0, па преостаје:

\[ \delta f = \frac12 f''(x)(\delta x)^2 + ... \]

где се сабирци са вишим степенима овог малог броја δx могу занемарити, а такође је δx значајно мање од (δx)² из чега следи да би резултати као на слици могли бити општа појава.

4. Ево какве ово има везе са постављеним питањем. Фикција је нестална, као и лаж она не траје, али у целини увек је има једнако као истине. Тако се фикција, као целина, понаша попут стварности. Обрнуто, стварноост се састоји од информација које чим се појаве више то нису. Елементи су стварности нестални попут фикција.

Елем, на мале стазе, начело минимализма тера и једне и друге да се држе што мањих флуктуација. Фикције просто зато што дугопругашке неће ни стизати до циља и њихово постојање неће успевати, а реалности јављаће се, пливаће даље, као да су склоне минимализму.

Genesis III » eng

Питање: Можете ли ми појаснити ту надоградњу реалности из фикције?

Одговор: Овде разматрамо увид у најситније делове стварности, са тек узгред напоменом о њиховој вези са највећим (Genesis II).

Информација је ткиво простора, времена и материје, а њена бит је неизвесност. Дакле, састојимо се од делића који не трају, јер дата вест више то није, па ће на том најмањем нивоу стварност бити фикција у смислу постојаности, односно непостојаности.

1. Када говоримо о елементима сетимо се оних лакших хемијских, или на пример, молекула воде која је мање густине од убаченог камена због чега тај тоне а она остаје изнад. Стога избегавајмо говорити о буквално доњим фикцијама и горњим стварностима, јер оне специфично лакше истиснуте стизаће у све висине. Међутим, на скалама тежине и суптилности утицаја има смисла фикције сматрати лакшим појавама.

2. На граници реалности, где емитована информација престаје бити вест и остаје „само“ њен утицај, промена коју је испорука проузроковала, биће преломно место опажања, трајања и истине. Прво се постигло променама услед испоруке, друго јер су те промене већ закорачиле у реалност, а онда имамо и треће, јер у физичкој реалности се не збива нешто што би заиста било доказиво као нетачно. Дакле, на граници фикција-стварност поред вагања (не)сталности (Existence III, 4) имамо и преламање (не)опажања и (не)истине.

3. Недоследни спојеви остају фикције, да не кажемо полу-свет, или полу-информације. Формално га представља рецимо језгро или нула-простор пресликавања (процеса). Обзиром да се такве „честице“, овде назване (1) „лакше“ појаве, могу налазити којекуда, проналазе се и везане са мртвом физичком твари којој дају виталност. Својом недоследношћу те фикције повећавају „количину опција“ стварности њихове спреге, која више неће следити трајекторије добијене из Ојлер-Лагранжове једначине теоријске физике. То напуштање разликује жива од неживих бића.

4. Бијекцијом ⊥ ↔ ⊤ доказујемо да је „свет лажи“ једнако бројан као „свет истина“, али то нам ништа не казује о њиховим распоредима. Ове прве су непостојане и често незапажене, али претпостављам привлачне обзиром на начело минимализма, па би то требао бити важнији разлог за њихово присуство. Конструкција истине од лажи зна бити зановетна и показаће се као вишак напора у особа које лажу са намером да се то не примети, а иначе лаж је привлачна, јер је из света полу-информација. Такве постоје као разређене информације и надаље привлачне осталима.

5. Природа није склона догађајима који „не памте“ (који понављају исто, в. Dissipation, 2), због начелног отпора већој информацији, а то је уједно и усмерење природе реалности, односно тежњи фикција да буду трајне, у смислу да имају прошлост. Оне половичне зато „пристају“ стати уз целе информације када то околности дозвољавају. Отуда наиђу чудне спреге жељених (фикција) са нежељеним (стварним) појавама и жива бића. Ту несклоност природе једнакости препознајемо и у закону великих бројева теорије вероватноће.

Наиме, мноштво и разноврсност (различитих исхода из понављања) као да исцрпљују неизвесност из целине у закон великих бројева, који говори о релативној вероватноћи случајног догађаја која се приближава његовој вероватноћи када се случајни експеримент понавља велики број пута. То је већ концепт одржања реалности (не помиње се тако у литератури) који даље чини да све већи макро таласи постају попут глатких синусоида, док су им микро облици заправо дискретни таласи вероватноћа.

Exhaustion » eng

Питање: Занимљиво је рећи да „мноштво исцрпљује неизвесност у закон великих бројева“, али колико је то коректно?

Одговор: Та „занимљивост“ мени је инспирација пре него метода, а закон великих бројева није сам у сличном „исцрпљивању“. Стање неизвесности је „реалност“, што се тиче ове теорије, па је и стога потрошива појава. Необично је гледати „потрошивост“ на такав начин, у таквим околностима те зато, за сада, избегавам да такву досетку прогласим правилом. Не због оптерећености новинама овде, већ начелно ради избегавања срљања.

1. Уз примедбу коју наводите иде (Dissipation, 2) склоност природе према догађајима који се „памте“, што овде значи да „трају“ и да су „реални“. То даље објашњава пуно тога. На пример, отвара могућност фикцији, која је привлачна реалности због свог мањка информације, да јој реалност није одбојна колико би могла бити због самог начела минимализма. А дубљи узрок поменуте склоности заправо је избегавање једнакости.

Информација је ткање природе, почев од њених најмањих до свих других садржаја, па је стална промена неизбежност. Са једне стране неизвесност је садржана у сваком делу и свакој целини, стања или процеса свеједно, а са друге је трајање њихових укупних количина. Звучи занимљиво колико и тешко решив проблем ове теорије информације, али не и противречно. Природа „не воли“ једнакост, јер „живи“ неизвесност.

2. Једноставан процес за гарантовану сталну промену је непрестани пад густине информације садашњости, уз гомилање прошлости која јој тада служи као допуна до одржања укупних количина. Не постоје две честице сасвим идентичне обзиром на њихова окружења, јер нема ни идентичних окружења у односу на два различита места, нити довољно једнаких у два различита тренутка. То можемо видети као „исцрпљивање“ садашњости и „лагеровање“ њених трошкова у прошлост, или у даљине. Простор је у том приказу и врста „стоваришта“ прошлости.

3. Исцрпљивање садашњости и таложење стечених потрошености у њену прошлост могли бисмо гледати као рад машине за размену информација да није и других примера у који се тај не уклапа. Такво је одвајање шанси нагомиланих неизвесности у „унутрашње и вањске“ информације (In and Out), рецимо код већих таласних дужина λ које на тај начин постају мање пријемчиве вањским посматрачима и, заузврат, мање потрошиве, већих домета. Међутим, ова идеја „трошења“ информације садашњости њеним „сагоревањем“ у тешком раду остаје занимљивост за посебне прилике.

4. Опет, сакривање вишкова неизвесности у „унутрашње“ информације је облик испољавања начела минимализма. Избегавања претеривања оних емисија и комуникација којима би то лакше ишло. Сетимо се да „начелни минимализам“ долази из „начелне штедљивости“ интеракција. На такве начине нагомилане масе материје беже делом у паралелна времена чиме остају и у дефициту ка текућој садашњости, да би затим апсурдно постале још више гравитационо привлачне другој вањској супстанци. Говорим о објашњењу гравитације на начин типичан за ову теорију информације.

Defiance IV » eng

Питање: Не помињете „исцрпљивање“ виталности. Шта ту додати?

Одговор: Важна карактеристика „виталности“ је пркос, није сама, али овде ћу је једину помињати.

Нежива природа, појаве физичке реалности, добија вишак слобода везујући за себе фикције назване тада „виталност“. Поред осталог, то је и способност лагања, али са друге стране, добија немогућност трајања.

Са становишта теорије игара али информације перцепције (Traits) виталност може надиграти мртву природу која користи искључиво стратегију III лиге (добрица) најслабију по тој класификацији и редовно победиву од игача II (манипулатора), па поготово I лиге (злоћа). Физичка природа се не уме играти, она слепо иде за принципом најмањег дејства, а то значи пропушта јачег и напредује у слабо. Заузврат, мртва супстанца, њена материја и енергија са импулсом (линијским, угловним, спином) неуништива је и нема потребу да брине због изгубљених партија. Насупрот томе, виталност нас чини смртним и борбеним. Десило се да законитости побеђивања иду у прилог виталних, па у својим потрошивим периода живота они могу подредити невиталне.

Памћење није одлика фикција, па оно настаје као компромис са реалним уз виталност и никада у крајњим могућностима. Сећања и изјаве сведока непоуздане су у односу на форензичке доказе и уопште налазе наука. То значи да снагу меморије не треба прецењивати у учешћима виталности у надигравању природе. Шимпанзе имају боље краткорочно памћење него људи (Chimps ). Са друге стране, трајање такође није одлика фикција, па способност памћења није у корелацији са дужином живота јединке. Тако, према једној класификацији (Best Memory) делфини, слонови, вране ... и даље тим редоследом, имају најбоље меморије у животињском свету, али немају у истом поретку и просечне дужине живота.

Очигледно је да не треба потцењивати меморију у еволуцији живота, па ово претходно кажем да не одемо у другу крајност. Пуно тога у вештини надигравања врти се око равнотежа, оптимума акција и реакција. Тај ко чешће претерује губи партију, било да се ради о пребачају или подбачају. Практично, ко на добру (или лошу) намеру опонента узвраћа са превише подршке (оспоравања) спушта свој ниво игре (в. Reciprocity). Као терет у чамцу који се једнако може преврнути ако је сав на једној страни, а онда и када оде сав на другу страну.

Креативност је истакнутија особина коју доноси виталност. Она исказује увећање слободе (количине опција) јединке, продорности ка непознатом и отпорност на силe неизвесности које нас иначе гурају ка рутинама, или лењости. Корелација између меморије уопште са креативношћу невелике су, па се у истраживањима покушава наћи нешто значајније са појединим врстама меморија (Memory and Creativity). Креативност разликујемо и од интелигенције, од опште способности слобода. Још увек трају предагања бољих дефиниција и корелација те две (Intelligence and Creativity).

Начин одређивања „слободе“ S = a₁⋅b₁ + a₂⋅b₂ + a₃⋅b₃ + ... овде се помало разликује од сваког уобичајеног. Грубо речено, уочавамо низ опсервабли ω₁, ω₂, ω₁, ... доступних обема и субјекту A и објекту B који могу, али и не морају, комуницирати интензитетима a_k и b_k са опсерваблом ω_k, редом за k = 1, 2, 3, ... То је скаларни производ S = a⋅b два вектора a = (a₁, a₂, ...) и b = (b₁, b₂, ...) узајамно коњугованих (дуалних простора). Што је већи овај производ S то је већа информација перцепције ова два, односно већа је њихова унутрашња информација, већа је виталност те спреге. Отуда та нова рангирања стратегија игара на победу (Win Lose).

Када су компоненте вектора a и b константне, али угао φ = ∠(a, b) између њих се мења онда је информација перцепције са мањим углом већа, јер је S = a⋅b cos φ, где су a = ∥a∥ и b = ∥b∥ интензитети ових вектора, а косинус мањег угла је већи. Другачије описано, када су стања (вектори) учесника комуникације усклађенија (паралелна) њихова информација перцепције је већа. То је смисао савета за бољу игру: правовремених, сразмерних али креативних одговора и то „добрим на добро и злим на зло“. Креативност, односно непредвидљивост, потребна је као основна сила (неизвесности) која може резултирати победом. Други су јој само предуслови да делује.

Коначно стижемо до одговора на питање. Информација перцепције (Co-mpletion) расте са слободама појединих сабирака. Међутим, та се увећана слобода повлачи у себе, она постаје унутрашња информација такмичара, или учесника спрегнутих у комуникацији. Попут већих таласних дужина које носе већу неизвесност положаја таласа и ипак слабије комуницирају са околином, већа виталност спрегнутих није и већа им комуникација о ономе што раде, са околином. Можемо рећи и да је њихова комуникација превелика да би је остатак света могао пратити. Као партија велемајстора пацерима. Нема „исцрпљивања“ њихове вештине којекуда.

Measurement III » eng

Питање: Можете ли ми још једном објаснити мерење?

Одговор: Мерење је поучан пример примене информације перцепције. У квантној физици се опсервабле A описују својим ермитским оператором Â са својственом базом |a_k⟩, редом k = 1, 2, ..., n до димензије n простора, одговарајућих својствених вредности a_k тако да је Â|a_k⟩ = a_k|a_k⟩.

1. Рецимо да је честица у квантном стању |ψ⟩. Она се увек може писати у својственој бази Â линеарним развојем:

\[ |\psi\rangle = \sum_k \psi_k |a_k\rangle, \quad \psi_k = \langle a_k | \psi\rangle. \]

2. Постулат мерења у квантној механици говори о мерењу опсервабле A када је P_k = |ψ_k|² вероватноћа мерења a_k након чега систем колабира у стање |a_k⟩.

3. Мало прецизније исто је исказано и у ранијем објашњењу (Measurment II), али ово се може још поједноставити. Узмимо за пример један реалан симетричан оператор који личи на адјунгован (ермитски), јер се не мења адјунговањем (транспоновањем па коњуговањем). Он такође има реалне својствене вредности.

4. Пример. На слици лево су:

|a₁⟩ = (2, 1)^⊤,     |a₂⟩ = (-1, 2)^⊤

два вектора писана у стандардној бази |e₁⟩ = (1, 0)^⊤ и |e₂⟩ = (0, 1)^⊤. Та два разапињу исти, димензије два, простор. И они су узајамно окомити, али нису јединични. Ту је и стање, вектор:

|ψ⟩_e = (3, 4)^⊤,

писан у стандардној бази. Тражи се оператор Â датих својствених вектора |a₁⟩ и |a₂⟩, па њихове својствене вредности a₁ и a₂ који ће представљати одговарајућу опсерваблу A.

Решење: Помоћна матрица (Modal matrix) матрице дате опсервабле A је P[|a₁⟩, |a₂⟩] са колонама својственим векторима, стањима опсервабле. А отуда матрице за A = PDP^-1, односно:

\[ \hat{A} = \hat{P}\hat{D}\hat{P}^{-1}, \] \[ \hat{A} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & a_2 \end{pmatrix}\cdot \frac15\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \]

где за a₁ и a₂ у дијагоналној матрици можемо узети било које својствене вредности датих стања. Налазимо:

\[ \hat{A} = \begin{pmatrix} \frac{4a_1 + a_2}{5} & \frac{2a_1 - 2a_2}{5} \\ \frac{2a_1 - 2a_2}{5} & \frac{a_1 + 4a_2}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac65 & -\frac25 \\ -\frac25 & \frac95 \end{pmatrix}, \]

где је за својствене вредности бирано a₁ = 1 и a₂ = 2. Проверите за ове две да је заиста Â|a₁⟩ = |a₁⟩ и Â|a₂⟩ = 2|a₂⟩.

Даље разложимо дато стање у квантном стању |ψ⟩ на два дата својствена вектора, упоређујући запис у две базе:

|ψ⟩_e = (3, 4)^⊤,     |ψ⟩_a = (x, y)^⊤ = x|a₁⟩ + y|a₂⟩,

\[ \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \] \[ \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x -y \\ x + 2y \end{pmatrix}, \] \[ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 2y = 4 \end{cases} \]

x = 2,     y = 1,

|ψ⟩_a = (2, 1)^⊤.

До тачке |ψ⟩ стиже се и са два вектора |a₁⟩ и само једним |a₂⟩. Коначно, из |ψ⟩ = 2⋅|a₁⟩ + 1⋅|a₂⟩ следи ⟨a₁|ψ⟩ = 2 и ⟨a₂|ψ⟩ = 1. ∎

5. У квантној механици ови вектори могу бити комплексни, али би увек били нормирани и са реалним својственим вредностима. Тада квадрати интензитета |⟨a_k|ψ⟩|² редом свих k = 1, 2, ... би били вероватноће распо-деле налажења опсервабле A у k-том стању.

6. У примеру, као и у општем случају, скаларни производ вектора, ⟨a|ψ⟩, је мера пружања једног по другом. Квадрат модула ∥a∥²∥ψ∥²cos²φ таквог пружања, |⟨a|ψ⟩|², све је већи што је угао φ = ∠(|a⟩, |ψ⟩) мањи. Али, што је тај угао мањи, тада је сваки од тих вектора мање присутан (усмерен) у даљим околинама (правцима) другог.

Projection II » eng

Питање: Ми на вежбама ове карактеристичне вредности (Measurement III, 4) израчунавамо обрнутим редоследом, али разумљиво је. Питање је како објаснити (2) и посебно колабирање у стање |a_k⟩?

Одговор: Три теме су начете овим питањем. За прву ћу навести пример „школског“ решавања проблема својствених вредности (Eigenvalues), а друга је разматрана у недавном одговору (Polarization, 2). Остаје трећа, колабирање суперпозиције, коју је и Шредингер (1926) навео као једно њему од најтежих питања квантне механике. И дан данас (22.04.2025) оно је остало отворено.

1. Пример. Покажимо да:

\[ \hat{A} = \begin{pmatrix} 1,4 & -0,8 \\ -0,8 & 2,6 \end{pmatrix} \]

има својствене вредности a₁ = 1 и a₂ = 3 са припадним својственим векторима:

|a₁⟩ = (4, 2)^⊤,     |a₁⟩ = (1, -2)^⊤,

приказаним на слици десно.

Решење: Решавамо карактеристичну једначину:

Â|a⟩ = a|a⟩,

Â|a⟩ - Îa|a⟩ = 0,

\[ [\begin{pmatrix} 1,4 & -0,8 \\ -0,8 & 2,6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}]|a\rangle = 0, \] \[ \begin{pmatrix} 1,4 - a & -0,8 \\ -0,8 & 2,6 - a \end{pmatrix} |a\rangle = 0, \] \[ \begin{vmatrix} 1,4 - a & -0,8 \\ -0,8 & 2,6 - a \end{vmatrix} = 0, \]

(1,4 - a)(2,6 - a) - 0,8² = 0,

a² - 4a + 3 = 0,

a₁ = 1,     a₂ = 3.

Матрица Â је симетрична и има реалне својствене вредности a ∈ {1, 3}.

Даље, поново решавамо карактеристичну једначину, сада два пута са две познате својствене вредности:

\[ \begin{pmatrix} 1,4 & -0,8 \\ -0,8 & 2,6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \] \[ \begin{cases} 1,4x - 0,8y = ax \\ -0,8x + 2,6y = ay \end{cases} \] \[ a_1 = 1, \ |a_1\rangle = \begin{pmatrix} 2\alpha \\ \alpha \end{pmatrix}; \quad a_2 = 3, \ |a_2\rangle = \begin{pmatrix} \beta \\ -2\beta \end{pmatrix}; \]

са произвољним параметрима α и β. ∎

2. Пример претходног одговора казао нам је да дати својствени вектори иду уз различите матрице са њиховим својственим вредностима, а сада видимо да датој матрици и њеним својственим вредностима одговарају различити својствени вектори. Знајући да оне описују опсервабле, биће да је перцепција опсервабли ствар стања посматрача. То је на другачији начин поглед јединствености субјеката опажања. Објашњавао сам је и у недавној књизи (Спрега Информација), али сваки осврт има свој увид.

Приметимо да је на истој горњој слици честица у „квантном“ стању:

|ψ⟩ = ψ₁|a₁⟩ + ψ₂|a₂⟩ = |a₁⟩ - |a₂⟩ = |1⟩ - |3⟩.

Њено евентуално опажање ове опсервабле нема колебања уколико ове векторе, стања |1⟩ и |3⟩, посматрамо само нормирана. У томе је смисао преносивости перцептибилности, трајности и истинитости „реалности“. Међутим, са становишта различитих субјеката шири гледане околности нису јединствене. Дели их ограничена брзина светлости и даљине, онда углови гледања, па времена, јер не гледају сви у исте прошлости.

3. У простору еуклидске норме (L₂), која се и једина користи у физици, а нормираних базних вектора, пројекције стања дате честице су косинуси углова које она заклапа, чији збир квадрата је један. Ту је горе поменуто објашњење другог дела питања. Треће и најтеже покушајмо разумети из два дела.

Први део, помоћу пројекције која када постане опажена опсервабла све алтернативне су окомите на њу и стога недоступне јој. Затим са помоћи Шенонове информације, која је иста за неизвезвесност пре реализације као и за исход након. Ово скупа са законом одржања неизвесности неће дозволити два или више исхода (колабирања) претходне неизвесности (суперпозиције), не у истој реалности.

Directions » eng

Питање: Зашто стања представљамо векторима?

Одговор: То је једно од основних питања које није могуће укратко разјаснити, посебно јер задире у необичне научне новине. Прво, стања су вектори јер су збирови квантних стања, репрезентација вектора. Друго, јер добро описују смерове, јачине и расподеле.

1. Између осталог, вектори могу бити низови чије компоненте су носиоци различитих опсервабли (физички мерљивих особина), а чији већи број значи „снажнију“ усмереност стања, или већу посвећеност неком правцу, његово вероватније опредељење. Што више чланова такав низ има, његово стање гледаћемо као боље утемељено, приземљено, или вероватније усмерено. Ову „посвећеност правцу“ требамо разликовати од интензитета вектора као, рецимо дисперзију од математичког очекивања случајне променљиве.

2. У разговору сам се неспретно (није моја тема) дотакао хромозома, тих малих пакета информација које из зачећа дефинишу развој невероватне сложености одраслог живог бића. Тако хумани геном има три милијарде база које су заузеле своја места у 24 различита хромозома. Од таквих, 22 хромозома су аутозоми поредани од највећег (сложени једарни геном од преко 99% укупног генома) ка најмањем (мали митохондријски геном), а преостала два хромозома су полни: X и Y.

Ових 23 разних хромозома су у паровима па кажемо да има 46 хромозома код људи. Мајмуни их претежно имају 48, за два хромозома више од нас, а тај број варира од врсте до врсте (List). Разоткривањем тајни генома још боље, надам се, њихов концепт биће бољи пример поменуте усмерености вектора-низа. Мали број њихових компоненти у огромном броју могућих комбинација биваће пример почетног импулса у развоју сложене одрасле јединке на основу скромних почетних упута.

3. Веома поједностављено све ово о чему бисмо причали већ имамо у квантној механици. На пример, на слици десно је приказ таласне функције слободне честице:

ψ(x) = Ae^-ikx + Be^ikx,

где константе A и B одређују дати услови. Ово i² = -1, а таласни број k² = 2mE/ℏ². Маса m и енергија E припадају честици, а ℏ = h/2π је редукована Планкова константа. Лако је проверити да је ова функција решење Шредингерове једначине:

\[ \frac{d^2\psi}{dx^2} + k^2\psi = 0. \]

Планкова константа h и фреквенција ν дефинишу енергију E = hν. Даље помоћу угаоне фреквенције ω = 2πν налазимо:

\[ E = h\frac{\omega}{2\pi} = \hbar\omega = \frac{\hbar^2k^2}{2m}, \]

где је ω = ℏ²k²/2m. Независна решења Ae^-ikx и Ae^ikx ове, Шредингерове временски независне, једначине суперпозицијом дају опште ψ(x), а сва три су вектори.

4. У књизи Квантна Механика, од стране 307. па даље наћи ћете детаљна решавања оваквих задатака за сложенија квантна стања.

На пример, на слици лево је тзв. потенцијална јама, дуж апсцисе (x-осе) где се може наћи честица енергије E > U₀. Потенцијал U(x) је U₀ свугде на интервалима x < 0 и x > a, док је U = 0 на интервалу x ∈ [0, a]. Решења Шредингерове једначине дају таласну функцију у три дела, за сваку од области:

\[ \begin{cases} \psi_1(x) = A_1e^{ik_1x} + B_1e^{-ik_1x} & x \lt 0 \\ \psi_2(x) = A_2e^{ik_2x} + B_2e^{-ik_2x} & x \in [0, a] \\ \psi_3(x) = A_3e^{ik_1x} & x \gt a \end{cases} \]

Таласни бројеви у првој и трећој области (I и III на слици) једнаки су k₁, а таласни број друге области је k₂. Већ из поређења са претходним (3) лако препознајемо:

\[ k_1 = \frac{1}{\hbar}\sqrt{2m(E - U_0)}, \quad k_2 = \frac{1}{\hbar}\sqrt{2mE}. \]

Прецизније израчунавање ових бројева није сада тема, нити је то анализа константних амплитуда A и B. Довољно је приметити да су такве таласне функције вектори. Њих чине линеарне комбинације ортонормиране базе четири вектора e^±ik₁x и e^±ik₂x.

5. Када имамо суперпозицију веома много оваквих (4) базних вектора, а њих заиста веома много може бити у предмету који држимо у руци, тада је удио појединог веома мали, биће:

e^ikx = cos ikx + i⋅sin ikx ≈ 0.

Тако нестаје имагинарност (i² = -1) микро-света у макро-свету, а са тиме нестају и њихова заобилажења.

Са друге стране, квадрати модула коефицијената испред таквих вектора, |A|², су вероватноће. Повезано са њима Борељ-Кантелијева лема налази, када редови вероватноћа неке расподеле конвергирају, са вероватноћом један се може реализовати само коначно много тих догађаја.

Јули 2025 (English ≽)