Sloboda

1. Бинарно тражење

Замислио сам један број (6), не знате који осим да је један од првих осам (1 - 8) и постављате ми питања да га откријете. Она почињу са „Да ли...“, а тачан одговор може бити „Да“, или „Не“.

• Прво питање је: „Да ли је замишљени број један од прва четири {1, 2, 3, 4}“? Одговор је: „Не“.
• Друго питање је: „Да ли је замишљени број један од прва два {5, 6}“? Одговор је: „Да“.
• Треће питање је: „Да ли је замишљени број 5“? Одговор је: „Не“.
• Замишљени број је 6.

У случају да је замишљен један од првих 2ⁿ природних бројева, биће потребно на овај начин, бинарним тражењем, n = 1, 2, 3, ... питања да се скривени број открије.

Број могућности је m = 2ⁿ, информација коју оне носе има количину n. Када је дат број равноправних могућности m, тада „количина могућости“ износи n = log_b m. Називамо је „Хартлијева информација“ (1928), или просто „информација“. База логаритма, број b > 1, одређује јединицу мере информације. Када је b = 2 та јединица је bit (енг. binary digit), за b = 10 та јединица је decit, за b = e = 2,71828... та је јединица nit или nat.

2. Бинарни систем

Бит је једна бинарна цифра, 0 или 1. Бајт је 8 бита, уређен низ позиција са 2⁸ = 256 могућности. Већа јединица информације је килобајт са 2¹⁰ = 1024 бајта, односно 2¹⁸ = 262144 бита. За број могућности износа m = 2ⁿ, информација коју оне садрже је количине n = log_b m, где у бинарном систему бројева имамо базу логаритма b = 2.

На слици десно су бинарно писани бројеви, декадно редом 0, 1, ..., 15. Из њихове правилности, уређености и поретка, можемо их лако прерачунавати у декадне:

\[ 1101_2 = 1\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 8 + 4 + + 0 + 1 = 13_{10} \]

Обрнуто, декадни запис броја преводимо у бинарни тражећи остатке делења:

13 : 2 = 6 (1)
6 : 2 = 3 (0)
3 : 2 = 1 (1)
1 : 2 = 0 (1)

У обрнутом редослеру, од најмањих количника читамо и пишемо остатке, добили смо превод 13₁₀ = 1101₂.

У бинарном запису на n = 1, 2, 3, ... позиција може стати m = 2ⁿ различитих бројева. Другим речима, број равноправних могућности m одређује информацију n = log_b m као меру „количине могућности“. То је можда мало збуњујуће док се не сетимо да већ имамо различите мере истих појава свугде около нас. На пример, имамо висину, површину, запремину, тежину, брзину и слично тела.

3. Бацање новчића

Бацање фер новчића има једноставну расподелу вероватноћа: Pr(писмо) = p = 0,5 и Pr(глава) = q = 0,5. Узастопна бацања, или бацања више новчића одједном, независни су догађаји. Следе три примера.

3.1. Два пута смо бацили новчић узастопно, или смо бацили два новчића одједном, па сакупили четири једнако вероватна исхода {ПП, ПГ, ГП, ГГ}, сваки вероватноће \(\frac14\). Узимам један од тих, а једино ја знам који, па вас питам: „Ако је један од два исхода које држим писмо, колика је вероватноћа да је и други писмо“? Ово је питање из условне вероватноће. Обзиром на дати скуп, само су три једнако вероватне могућности {ПП, ПГ, ГП}. Доследно, тачан одговор је „трећина“, вероватноћа да је и други исход био писмо је \(\frac13\).

Пример је поучан, прво да нас упозори да тешкоће са рачуном вероватноћа не подцењујемо, а друго је да приметимо да додатни услов, или информација о исходу — мења вероватноћу.

3.2. Низ n = 1, 2, 3, ... бацања новчића дефинише расподелу n једнаких вероватноћа \( p_k = \frac1n\), истих за свако k = 1, 2, ..., n. Ова се расподела зове равномерна, униформна. Хартлијева информација појединог исхода је стално иста \( h = - \log_2 \frac1n = \log_2 n\), па је и њихова средња вредност s = n. Наравоученије је, што је мања шанса да се нешто деси већа је вест када се деси!

3.3. Наставимо затим бацања и израчунавајмо редом, да ће у првом бацању пасти глава вероватноћа је \(p_1 = \frac12\), да ће у првом бацању пасти писмо а у другом глава \(p_2 = \frac12\cdot\frac12\), ..., да ће тек у n-том бацању иза низа писама пасти глава је \(p_n = (\frac12)^n\). Не престајући добијамо другачију расподелу вероватноћа:

\[ p_1 = \frac12, \ p_2 = \left(\frac12\right)^2, \ ..., \ p_n = \left(\frac12\right)^n, ... \]

чији збир је, наравно, опет један. Хартлијева информација поједине ових је логаритам вероватноће:

\[ h_n = -\log_2 \left(\frac12\right)^n = n\cdot\log_2 2 = n, \]

па је средња вредност, тзв. математичко очекивање, свих:

\[ S = p_1h_1 + p_2 h_2 + ... + p_n h_n + ... = \frac12 + \frac{2}{2^2} + ... + \frac{n}{2^n} + ... = \] \[ = \frac12\left(1 + x + x^2 + ... + x^n + ...\right)_{x=1/2}' = \frac12\left(\frac{1}{1-x}\right)'_{x=1/2} = 2. \]

Оваква, средња вредност Хартлијевих, назива се Шеноновом информацијом (1948). Поука нама је да различитост шанси расподеле средњу информацију смањује!

4. Бацање коцке

Фер коцка са шест једнако вероватних исхода, сваки по \(\frac16\), Хартлијеве информације сваког \(h = \log_2 6\), и њој једнаке просечне (Шенонове) информације расподеле свих шест исхода, може боље од новчића демонстрирати „индикатор“ догађаја који ћу сада објаснити.

4.1. Вероватноћа да падне жељени број је \(p = \frac16\), а вероватноћа да се то не деси је \(q = \frac56\). Шенонова, тј. средња информација такве, прве праве расподеле је

\[ S_1 = -p\log_2p -q\log_2q. \]

Она обухвата и бацање новчића, када ставимо \(p = q = \frac12\) и добијемо \(S_1 = 1\), али и бацање коцке када је \(S_1 \approx 0,65 \). Различите шансе исхода смањују средњу информацију расподеле. Детаљe овога видите у Конзервирању.

4.2. Вероватноћа да се жељени исход први пут јави у n-том покушају (бацању коцке), је \(p_n = q^{n-1}p\), па опет имамо расподелу вероватноћа, због:

\[ p_1 + p_2 + p_3 + ... + p_n + ... = p + qp + q^2p + ... + q^{n-1}p + ... = \] \[ = p(1 + q + q^2 + ... + q^{n-1} + ... = p\cdot \frac{1}{1-q} = \frac{p}{p} = 1, \]

јер је p + q = 1. Расподелу дефинише јединични збир свих вероватноћа, од којих је свака ненегативна.

4.3. Шенонова (средња) информација ове расподеле је:

\[ S = - p\log_2p - pq\log_2(qp) - q^2p\log_2(q^2p) - ... - q^{n-1}p\log_2 (q^{n-1}p) - ... = \] \[ = - p[(1 + q + q^2 + ... + q^{n-1} + ...)\log_2p + (1 + 2q + 3q + ... + (n-1)q^{n-2} + ...)q\log_2q] \] \[ = - p [\frac{1}{1 - q} \log_2p + (1 + q + q^2 + ... + q^{n-1} + ...)'q\log_2q] \] \[ = -\log_2p - \frac{pq}{(1-q)^2}\log_2q = \frac{-p\log_2p - q\log_2q}{p} = \frac{S_1}{p}. \]

Дакле, вест (S) утолико је већа што је очекивани исход мање вероватан (p).

Наиме, за низ бацања новчића и \(p = \frac12 \) овде је \(S = 2\), што је једанако претходном резултату (3.3). У случају низа бацања коцке, \(p = \frac16 \), биће \(S \approx 3,90 \). Када би очекивали да се деси супротни, нежељени догађај, вероватноће пет пута веће, ова информација била би пет пута мања, приближно 0,78.

5. Интелигенција

Из до сада написаног приметимо да „слободу“, да не кажем информацију у класичном смислу, можемо разумети као неку количину опција. Она је, рецимо ознаке Q, растућа функција броја опција, при чему не подразумевамо да свака од могућности даје једнаке доприносе.

Интелигенција је способност стицања и примене знања и вештина, или је прикупљање информација војне или политичке вредности, свеједно, до даљњег сматрајмо је и „количином“ привремене ознаке I. Интуитивно разумемо да је интелигенција пропорционална „слободама“ Q а обрнуто пропорционална „ограничењима“, ознаке H по „хијерархији“. Укратко, I = Q/H, односно Q = I ⋅ H.

Посматрајмо, даље, ове слободе као адитивне величине одвојених појава. Када имамо низ независних догађаја \(\omega_1, ..., \omega_n\), сваку са могућностима интелигенције \( I_k = I(\omega_k)\) и хијерархије \(H_k = H(\omega_k)\), где је k = 1, ..., n редом, онда постоји и низ расположивих слобода \(Q_k = I_k \cdot H_k\) са збиром \(Q = Q_1 + ... + Q_n\). Овај ћемо збир производа називати „информација перцепције“.

6. Стратегије

Природан је „принцип најмањег дејства“ у физици у којој је свеприсутан (утицаји), па је у том смислу неприродан „пркос“. Међутим, на тој супротној страни су све типично биолошке појаве, економија и уопште надигравања (виталност), а затим и множење низова \(Q = x_1y_1 + ... + x_ny_n\) у збиру производа који представља „информацију перцепције“. Право на отпор тим „другима“ даје вишак информације (количине опција) у односу на мртву твар физике од које се и они састоје.

6.1. Може се видети да тај вишак вредности Q, са истим низовима \(x = (x_1, ..., x_n)\) и \(y = (y_1, ..., y_n)\), расте пермутацијом чланова низа тако да више већих буде множено са већим (од преостајалих редом). Када такви производи представљају количине неизвесности супротстављених у надигравању, мериће поремећај који подиже ниво игре (на победу), односно вредност Q. Са становишта појединог играча и најуспешније стратегије (реципроцитет) то значи процењивати вредности свих иницијатива опонента, па већим негативним доделити своје сразмерно веће негативне као оспоравања, а већим позитивним већа одобравања. Што је већи збир таквих производа Q, виши је ниво игре, бољи сте играч.

6.2. Ако варијанти потеза има превише, или имате премало времена, онда Фон Нојманова „минимакс“ стратегија није практична. Такође, игре сличне шаху које се развијају једнодимензионално (ја па ти па ја па ти ...) траже другачије концепте од овога. Сада говоримо о вишедимензионалним разигравањима, нападима и одбранама на пуно начина и места одједном. Једноставно је упутство за такав случај, да се „залепите“ реакцијама на акције опонента и када год се тај „одлепи“ од вас отвара вам корак ка победи. Стварност је, наравно, увек сложенија него што мислимо, па и сличности ових метода веће су него што би нам се то на први поглед могло учинити. Сетимо се, сви делови тачних теорија могу се усклађивати једни са другима, као класична и координатна геометрија, или обе са теоријом вероватноће.

6.3. Класичне теорије игара своје процене аранжирају помало другачије, али погледајмо да се у основи ради о веома сличним вредновањима. Познато је да се тзв. игра са нултом сумом за две особе своди на матрицу. Та матрица има онолико редака колико играч I има стратегија и онолико колона колико их има играч II. Тада „исплата“, када играч I изабере i-ту стратегију и играч II узме за своју j-ту стратегију, је елемент a_ij у i-том реду и j-тој колони матрице. Играчи су заинтересовани за избор бољих стратегија у смислу оптимизације њихове исплате, да првом број a_ij буде што већи, другом што мањи.

На пример, следеће две матрице:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \]

представљају две ситуације са по два могућа потеза сваког од играча. Ако играч I у ситуацији A, левој, бира други ред са могућом му исплатом 2 у првој колони и 3 у другој, играч II бираће мању од те две и први ће ипак бити у добитку 2. Први играч је у добитку, јер је бирао редак (потез игре) чији је најмањи елеменат максималан, али се уједно показало да је такав минималан по колонама истог ретка. Има ли срећу да је такав елеменат и позитиван, ето играчу I напретка.

Такве среће у другој матрици нема. Максимални елементи првог и другог ретка су 3 и 2, али они нису минимални у својим колонама, па ако их и бира први играч, други то неће. Када постоји, позицију a_ij називамо „тачком равнотеже“ ако и само ако доноси највећу вредност у својој (j-тој) колони и најмању у свом (i-том) реду. Елемент ове врсте се назива и „седло“. Бирајући седласте елементе када год је тако нешто могуће, најбоља је стратегија. То је чувена „минимакс“ теорема коју је открио Фон Нојман (1928) и потом засновао математичку теорију игара.

6.4. Погледајмо сада исто са становишта информације перцепције. Тада можемо дозволити превелике матрице типа A и B за класичну теорију игара, или сложеније, више димензионалне и компликованије начине напада и одбране, али имајмо у виду и њихов најједноставнији модел. По одређеним местима у датом тренутку опонент наступа са иницијативама које нам могу бити корисне (позитивне вредности), или штетне (негативне), утолико позитивније (негативније) што им је интензитет већи. По препоруци информације перцепције, најбоља стратегија није далеко од иначе познате најуспешније тит-фор-тат, ако ову другу можемо сматрати дефинисаном ево како. Први и најтежи део је процена позиције. Њој у компјутерској ситуацији треба давати највећи приоритет и често је обављати.

Затим свакој од могућих иницијатива опонента додељујемо специфичну тежину, већу када је опасност (корист) за нас већа, или мању ако је та мања или је ситуација којој припада матрица типа B, или којих би се требали клонити. На пример, матрице (ситуације) са негативним елементима треба избегавати, а тежити онима са већим позитивним. Након доделе специфичних тежина опоненту, исто треба урадити са могућностима (снагом) својих одговора. Након тога је следећи најважнији део, симулацијама рађен помоћу метричких простора, али верујем да можете наћи и друге начине.

Уколико би сви користили „супериорну“ стратегију, настале би опште равнотеже, мртвила сукоба, реми позиције. Физичка природа није таква и зато се развија. Она нема виталност, пушта силу и обрнуто, и увек следи принцип најмањег дејства.

Настојимо да укупни интензитет могућности \(\|x\|\) распоредимо у реакцијама \(x_1 : x_2 : x_3 : ...\) колико толико сразмерно акцијама опонента \(y_1 : y_2 : y_3 : ...\), без обзира на његову укупну снагу \(\|y\|\). Чак до односа почетних капацитета 100:1 против нас победићемо, уколико успемо боље следити речену тактику „реакције на акцију“. У тој фази тражимо минималну добит, тј. \( m_i = \min_j(a_{ij})\), сваког ретка, а међу њима бирамо онај ред чији тај број је највећи, \( M_k = \max_i(m_i)\). Изабрани потез, односно (k-ти) ред матрице, је онај који се у ситуацији те матрице бира за одговор на иницијативу, а припада рецимо ℓ-том члану низа \(x = (x_1, ..., x_n)\) којем додељујемо вредност производа специфичне тежине тог места и броја M_k.

Ако вам ово изгледа тешко, тек да видите како је компликован читав код (модула) те симулације. А ово је само блажа варијанта, са значајно мање опција да би била упоредива са минимакс сратегијом. Већ и она се на тестирањима показивала (скоро) непобедива, али оно што је овде важније, препознајемо је као варијацију класичне. Напомињем да након бирања метрике, сада норме \(\|x\| = \max_t|x(t)|\), треба бити доследан до краја. Како описано можемо препознати као продужење познате теорије, једнако га видимо и као поједностављење резултата горе изведеног из информације перцепције.

6.5. У још сложенијим сукобима, када у неким ситуацијама немамо појма шта опонент може да учини нити он шта ми, након процене позиције, приоритети су правовременост одговора, њима одмереност, макар доза непредвидљивости. Многи се углавном слажемо око прва два приоритета, али грешимо у трећем и не разумемо важност четвртог. На пример, на „добро“ узвратићемо превеликом „добротом“ прецењујући емпатију противника или не разумевајући важност победе, или бивамо више „зли“ идући на страх опонента и подцењујући његову одважност или мотиве отпора. Међутим, сваки од случајева неодмерености наше реакције биће прилика противнику.

Неизвесност је фундаментална сила у (мојој) теорији информације. Прикривена је и зато јој је значај остајао непримећиван генерацијама пре нас. Најтежи део ове теорије заправо је убеђивање некога да неизвесност заиста постоји, да „сила неизвесности“ стоји иза свих физичких сила, па наших страхова, као и сваке животности. Приметимо да нема праве игре, надигравања без праве неизвесности, или да је пред противника боље стављати више наших опција да бисмо га више развукли и ослабили, и нека то буде све за сада.

7. Мерење

Мерење је чин интеракције, односно комуникације мерног апарата са датим процесом. У тренутку дође до преноса информације о мереном стању, па опет до преноса путем посредника да би на крају мериоц опазио појаву. Овај наизглед једноставан низ догађаја једна је од највећих загонетки науке, филозофије и уопште умовања одвајкада. Моја теорија информације томе додаје свој прилог.

7.1. Као што је микро-физика расчланила макро-ствари, па верујемо да се и оне састоје од молекула, кванта дејства, најмањих материјалних порција физичких стања или процеса, без обзира на додатне законитости великог света (рецимо законе великих бројева), тако нема разлога за сумњу у вредности линеарне алгебре. Одлучна примена те древне области математике је недавну кванту механику извела у до данас најтачнију област науке уопште.

Пре света, била је то репрезентација линеарних оператора (A : x → y) као квантних процеса који стања (вектор x) квантног система (векторски простор X) преводе у нека стања (вектор y). То означавамо са Ax = y. Ово је формула, скраћени запис система обичних линеарних једначина (из средње школе), али и диференцијалних, интегралних, или сличних. Примећено је да све оне следе неколико једноставних правила линеарних функција и у простом апстрактном разматрању не бавимо се више детаљисањем по њиховим огранцима и применама. То раде Линеарне функције.

7.2. У мерењу хватамо изводе из процеса за које верујемо да трају, да су део непромењеног стања тока, па претходну „магичну“ формулу линеарне алгебре сводимо на Ax = λx. Ово је тзв. карактеристична, сопствена, или својствена једначина линеарног оператора A, где је λ својствена вредност (eigenvalue) тог оператора, а x је својствени вектор (eigenvector) задатог оператора те посебне својствене вредности. Прецизније речено, дати оператор A коначно-димензионалног векторског простора X има својствених вредности λ₁, λ₂, ..., λ_n колика му је димензија, а свака од њих, посебно λ_k редом за свако k = 1, 2, ..., n, има свој својствени вектор x_k. При томе различите својствене вредности имају (линеарно) независне својствене векторе. Начин изражавања је одлика алгебре.

Језик алгебре до те мере је посебан и добро дефинисан, да се оваквих прича не смемо држати као пјан плота, него као детаља из прилога попут Карактеристичне вредности. Иначе би нам промакли докази једнакости броја својствених вредности датог оператора (процеса), па и броја припадних својствених вектора (стања) са бројем димензија простора (квантног система). Пропустили бисмо примећивати и њихове изоморфизме (обострано једнозначна пресликавања елемената и релација) са квантовањем физичког дејства, изворно производа промењене енергије и протеклог времена, односно импулса и пута, што би овде значило емисија и апсорпција информација.

7.3. Елем, тренутак мерења је онај када датом процесу издвојимо једну k = 1, 2, ..., n од више његових могућих својствених једначина Ax_k = λ_kx_k. Најмањи физички ниво дејства је елементарна „честица“ (осцилација, поремећај квантог поља). То је посебан недељив пакет неодређености или информације који у физици називамо „суперпозицијом“, а овде можемо и „расподелом верованоћа“. У тренутку предаје информације мерењем, мноштва неизвесности пре — постају јединствени исходи после, као суперпозиције шест могућности коцке пре бацања које колабирају у само једну након бацања.

На нивоу квантног света не можемо знати шта ћемо убости својственом једначином Ax = λx. Међутим, оно λ које добијемо веће је ако је била већа шанса да у датом процесу (A) испадне баш стање (вектор x) које припада нађеном ламбда. Показује се да је управо |λ|² вероватноћа да ће у датом процесу бивати измерено дато стање. Издвајањем било које од више могућих својствених вредности мереног процеса добијамо „обзерваблу“ (мерљиву величну) и неодређено стање процеса пре мерења губи неизвесност. Тек чином мерења електрона дефинишемо његову путању — приметио је својевремено Хајзенберг (1926) — установљујући то као једно од до данас „несхватљивих“ чуда квантне механике.

У макро-свету кванте неизвесности подвргавају се закону великих бројева теорије вероватноће. Оне се тек ту и тамо испољавају, па их толико занемарујемо и подцењујемо колико и атоме и молекуле до 19. века. Али ова алгебра процеса остаје, тада толико усложњена да превазилази наше моћи, стрпљења и занимања. Она у мноштву добија и другачије аспекте од пуког статистичког усредњавања.

7.4. Када је |λ|² + |λ|² + ... + |λ|ⁿ = 1, тада својствене вредности оператора чине расподелу вероватноћа, па је у случају мерења известан неки од исхода. Доследно начелној штедљивости емисија информације (минимализам), то значи да је чин мерења у датим околностима био „боља“ опција. Он се дешавао у тежњи система за вероватнијим стањем, нижем нивоу информације, мањем дејству.

Уопште колапс суперпозиције квантног стања у исход дешава се путевима ниже комуникације. Као бачен новчић који пада у нижи потенцијал гравитације, заправо у мање информативна стања, све до дна и у само једно од своја два могућа исхода. То су промене које се, поред закона одржања, држе и принципа најмањег дејства.

Други начин је колапс из суперпозиције у мерни процес, у део припадне својствене вредности, а опет ту су и интеракције као ова на слици лево. Ту Фајнманов дијаграм приказује прелазак виртуелног фотона (γ) са једног електрона (e^-) на други, при чему се поред енергије преноси и импулс фотона због чега се два електрона одбијају, удаљавају.

Напомињем да сам овај „скок у непознато“ виртуелног фотона, који се по Фајнману догађа по правцу, у теорији информације заменио ширењима „виртуелних сфера“ у таласима око сваког од електрона, са све мањим изгледима интеракције што су пречници тих свера већи и њихове амплитуде мање. Тек приликом комуникације поједине сфере са другим електроном дешава се „Фајнманова интеракција“ када би први електрон остајао са толико мањом информацијом колико и пријемчивији за евентуалну информацију од виртуелне сфере другог електрона. Ово даље води у квантну спрегнутост (Истовременост).

8. Ентропија

Ентропија је мера топлотне енергије система по јединици температуре (S = Q/T) која је недоступна за обављање корисног рада. Промену ентропије (dS = δQ/T) система (не укључујући околину) дефинише промена топлоте која се преноси подељену температуром система.

8.1. Након открића парне машине и кружног процеса топлоте (Sadi Carnot, 1824) немачки физичар и математичар Клаузијус (Rudolf Clausius, 1850) истраживао је те процесе формулама користећи згодну скраћеницу за разломак, количник топлоте и температуре који му се у тим изразима често јављао. Он је ту супституцију назвао „ентропијом“, по грчкој речи έντροπή (обрт ка унутра), не дајући јој посебан значај. Установио је први и други закон термодинамике, први о одржању енергије, а други о изменама топлоте и опадању температуре због спонтаног раста енетропије.

Аустријски је физичар Блоцман (Ludwig Boltzmann, 1877) развио је идеју ентропије даље и нашао да се гасови и околна тела састоје од молекула чије вибрације носе њихову топлоту и температуру.

Болцман је установио формулу о ентропији сразмерној логаритму броја микростања (S = k_B ln W) и, или густине вероватноће честица флуида (гаса, или течности). Био је то ослонац Планковом (1900) открићу квантовања зрачења, па и Ајнштајновом (1905) тумачењу фото-електричног ефекта.

8.2. На слици десно приказано је ширење (разређивање) молекула чврстог тела у течно па гасовито. Њих прате одговарајуће промене ентропије (S), зависно од измена топлотне енергије (Q) и температуре (T) датог система, односно тела, приликом прелазака из првог у друго стање, или рецимо из првог у други резервоар, према Клаузијусу

\[ \Delta S = S_2 - S_1 = \frac{Q_2}{T_2} - \frac{Q_1}{T_1}. \]

У затвореном термодинамичком систему нема промене ентропије ΔS = 0, када је Q₂ : Q₁ = T₂ : T₁, што значи да је топлотна енергија пропорционална температури. Без промене укупне топлотне енергије, Q₂ = Q₁, ентропија ће спонтано расти, ΔS > 0, али на уштрб опадања температуре, T₂ < T₁. Тело се тада хлади, Болцман је објаснио, преносом енергије осциловања молекула гаса на зидове посуде. Са друге стране гледано, систем врши користан рад трошећи топлотну енергију, Q₂ < Q₁. То добијамо напором одржавања сталне температуре (топлотне машине), T₂ = T₁, по цену губитка ентропије ΔS < 0.

8.3. Исказано и још пуно тога произилази из наведене Клаузијусове формуле. Поента је да, модерно речено, нема бесплатног ручка, а показатељ трошка је заустављање ентропије у њеном настојању да расте. То је у реду, али није да ентропију треба гледати као меру „нереда“ термодинамичког система, што је уверење које траје и дан данас у многим важећим уџбеницима физике.

Признајем да сам и сам био преварен схватањем ентропије као „количине насумичности“ топлотног система, па сам је тако приказивао током 80-их пишући књигу „Математичка теорија информације и комуникације“, која је штампана десетак година касније (1995). Та ентропија расте са информацијом система (водећи физичари у то још увек угавном верују), због чега би било да информација спонтано расте, односно да се спонтано чешће реализују мање вероватни догађаји. Међутим, стварна догађања су обрнута, када ентропија расте информација опада!

8.4. Друго слабије примећено својство је ограничење ентропије на материјалне честице. Информација је та „количина насумичности“ која прожима простор, време и материју, са суштином у неизвесности, док се ентропија понаша као њена супротност, или допуна, али само у области хемијске супстанце. И управо зато имамо законитост спонтаног ширења ентропије гасова или течности на суседна тела, или зидове посуде, коју треба разликовати од исијавања топлоте. Смањујући своје осцилације молекуле ће умањивати своју насумичност. Оне се зато гурају, јер је неизвесност сила, вишак који оне теже давати другоме, а у том процесу разређују се и удаљавају ако могу, смањујући амплитуде.

Број микростања (W) чија енергија одговара енергији система, а чији логаритам је мера ентропије по Болцману, заправо повећава се са међусобним удаљавањем молекула. Оне добијају на простору около себе, умањене или одгурнуте молекуле постају комотније. Са мањим вибрацијама (амплитудама) број S = k_B ln W, који представља Болцманову ентропију, може расти. Било како било, са падањем просека енергије осциловања, у константним интервалима времена, физичка дејства (ΔE⋅Δt) молекула опадају и опада информација коју носе, јер је информација са дејством еквивалентна.

9. Перцепције

Говоримо о дефиницији „опажања“ са становишта величина, пропорција, једноставних формула, али циљајући на далеко, на биологију. Тако сам пре књиге „Информације Перцепције“ (2016) фантазирао згодније одређивање „интелигенције“ и временом нисам проналазио боље. Ова је „интелигенција“ (I) просто пропорционална „количини опција“ (које тек треба дефинисати), назовимо њих слободама (S), али обрнуто је пропорционална ограничењима, хијерархији (H). У неком тесном окружењу, неживом свету физике, са k = 1, 2, ..., n могућих независних утицаја, обзервабли, ова формула постаје S_k = I_k⋅H_k, детаљ k-те интеракције честице-таласа, а онда и блок-елеменат, цигла, већих грађевина макро-света физике. Укупна слобода објекта је збир S = S₁ + ... + S_n са можда толико многобројним сабирцима, да нам остаје само њен теоријски значај. За почетак, то је збир производа.

9.1. Ради једноставности, држимо се линеарне алгебре док је то могуће. Показује се да би независност обзервабле могла постојати, стања као независних вектора, али ма колико да је велики број димензија (n = 1, 2, 3, ...) система у којем приказујемо такве, два вектора разапињу само 2-дим простор.

На слици лево приказан је скаларни производ таквог пара вектора \( \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi \), који је скалар (углавном ненегативан реалан број), а чини га производ интензитета првог вектора, \(|\vec{a}|\) са дужином ортогоналне пројекције OB' другог вектора на први, \(|\vec{b}|\cos\varphi\).

Та дефиниција скаларног производа примењена на осе ортогоналног система координата, где су ови вектори \( \vec{a} = (a_1, ..., a_n) \) и \( \vec{b} = (b_1, ..., b_n) \), чини да јединични вектори истих оса дају један, \( \vec{e}_j\cdot\vec{e}_j = 1 \), а различитих нулу, \( \vec{e}_j\cdot\vec{e}_k = 0 \). Тако добијамо \( \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi = a_1b_1 + ... + a_nb_n \).

Када се угао између вектора смањује, тада се косинус тог угла повећава до један, а скаларни производ расте. Успемо ли компоненте вектора дефинисати појединим врстама перцепција и производ постаће укупна слобода, количина могућности спреге субјекта и објекта, или њихова заједничка информација перцепције. То је приближавање, рецимо адаптација субјекта објекту. Тада се коефицијенти вектора сразмерно усклађују тако да се већи првог множи већим другог и обрнуто мањи мањим, а повећава се укупна вредност збира производа. Супротна је адаптација смањивањем вредности збира производа, повећавањем угла између вектора. Прву карактерише пораст животности, а другу њено опадање.

9.2. У макро-свету неке појаве занемарујемо, ситнице на које квантна физика мора рачунати, која нам открива да су компоненте поменутих вектора комплексни бројеви. Физички смисао квадрата модула тих коефицијената тада су вероватноће налажења обзервабле (на датом месту у дато време) присутног вектора, чија интерпретација је стање квантног система. Таква се стања мењају у процесима који чине репрезентације ермитских линеарних оператора. Све њихове својствене вредности су реални бројеви и управо оне су те вредности које представљају обзервабле. Њима припадни својствени вектори су стања затечених обзервабли.

Када су оператори A и B ермитски (само-адјунговани) онда је A^† = A и B^† = B, међутим:

\[ \langle (AB)^\dagger u, v\rangle = \langle u, ABv\rangle = \langle A^\dagger, Bv\rangle = \langle B^\dagger A^\dagger, v\rangle, \]

што значи (AB)^† = B^†A^†. Тада, ако би комутатор оператора такође био ермитски, [A, B] = AB - BA = C, где је и C^† = C, биће C^† = (AB - BA)^† = B^†A^† - A^†B^† = BA - AB, па из C^† = C следи AB = BA. Дакле, таквих некомутативности нема. Када су оператори A и B комутатора C = [A, B] ермитски, онда је комутатор анти-ермитски, C^† = -C. Такав је комутатор положаја и импулса квантне механике, [x, p] = iℏ.

Својствене вредности само-адјунгованог, тј. ермитског оператора су реалне (10. став), а они множени имагинарном јединицом (i² = -1) постају анти-ермитски, па су својствене вредности анти-ермитских оператора чисто имагинарне. Према томе, комутатори представљају чисте информације, до даљњег неизјашњене.

Обзервабле су „мерљиве физичке величине“, што сматрамо „способним за интеракције“, па извлачимо закључак да „у међувремену“ нема комуникација. Емисија информације је „скупа појава“, супротна је начелној штедљивости природе и тежњи ка минималном дејству, или чешћим исходима вероватнијих могућности. Чини се у реду да, бар апстрактно, можемо разматрати стања и процесе између реалних, јер постоје оператори који их одражавају. Сваки се оператор да разложити на композицију (множење) два или више, па тако и ермитски на производе не-ермитских. Видели смо да постоји и обрнут процес, слагање ермитских оператора у не-ермитске, у комутатор. Управо ови „недовршени процеси“ отварају могућности за некомутативност и путовање информације, на начин линеарне алгебре (Unimprovable).