Не очекујем да теореме ове, још увек уводне, области алгебре сматрате тешким, па их наводим као задатке са решењима. У попису он-лајн књига десно можете наћи више о њима.

1. Линеал

Линеарна комбинација вектора x1, ..., xnX је вектор x = α1x1 + ... + αnxn, где су α1, ..., αn ∈ Φ. Тада кажемо да је векторски простор X, разапет скаларима Φ када имамо линеал, или распон (енг. span) као најмањег од подпростора који садржи линеарна комбинација вектора x1, ..., xnX, тј. span{x1, ..., xn}.

Пример 1. Вектор x = (-4, 13, 9) је линеарна комбинација вектора x1 = (2, 4, -6) и x2 = (-2, 3, 5) у 3-дим векторском простору X3 над скаларима Φ = ℝ, јер је x = 2x1 + 3x2. Вектор x је у подпростору разапетом од вектора x1 и x2. То припадање краће пишемо x ∈ span{x1, x2}. Међутим, вектор x' = (-4, 13, 7) у телу реалних бројева није линеарна комбинација наведених x1 и x2, јер не постоје скалари λ1, λ2 ∈ Φ такви да је x' = λ1x1 + λ2x2. Вектор x' не налази се у том подпростору, који разапињу вектори x1 и x2. Писано краће x' ∉ span{x1, x2}. □

1.1. Линеал листе вектора x1, ..., xnX је најмањи подпростор из X који садржи све векторе листе.

Доказ: Линеал, распон листе вектора x1, ..., xnX је подпростор од X, јер је 0x1 + ... + 0xn = 0 ∈ X. Затим, распон је затворен на операцију сабирања и множења скаларом, јер:

\[ (\alpha_1 x_1 + ... + \alpha_n x_n) + (\beta_1 x_1 + ... + \beta_n x_n) = (\alpha_1 + \beta_1)x_1 + ... + (\alpha_n + \beta_n)x_n, \] \[ \lambda (\alpha_1 x_1 + ... + \alpha_n x_n) = \lambda \alpha_1 x_1 + ... + \lambda \alpha_n x_n. \]

То према аксиомама векторског простора, значи да имамо векторски (под)простор.

Даље, сваки xk је линеарна комбинација дате листе (ставите αk = 1, а све остале алфе нуле). Обрнуто, пошто је подпростор затворен на скаларно множење и сабирање, сваки подпростор X-а који садржи све векторе листе садржи распон те листе. Према томе, тај је распон најмањи подпростор који садржи све векторе листе. □

Када је „линеал“ листе вектора једнак векторском простору, кажемо да листа вектора „разапиње“ тај простор.

Вектори e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en = (0, 0, ..., 1) разапињу простор Xn, јер сваки вектор тог простора може се на јединствен начин записати помоћу својих скалара, α1, α2, ..., αn ∈ Φ, у облику x = α1e1 + α2e2 + ... + αnen. Ова јединственост је тема следећег поднаслова, а до тада погледајмо неколико појмова који ће нам бити од користи.

Векторски простор је коначно-димензионалан ако нека коначна листа вектора у њему обухвата сав тај простор. Векторски простор се назива бесконачно-димензионалан ако није коначно-димензионалан. На пример, простор полинома је бесконачно-димензионалан, а ево како.

Функцију \(p(\lambda) = \alpha_0 + \alpha_1\lambda + \alpha_2\lambda^2 + ... + \alpha_m\lambda^m\) називамо полинономом, ако постоје \(\alpha_0, \alpha_1, ..., \alpha_m \in \Phi\) да наведена једнакост важи за свако \(\lambda \in \Phi\). Рецимо, \(\mathcal{P}(\Phi)\) је скуп свих полинома са коефицијентима у \(\Phi\). Скуп полинома је векторски простор над \(\Phi\), а подпростор је свих функција \(f : \Phi \to \Phi\).

Број \(m\ \in \mathbb{N}\) биће степен полинома \(p \in \mathcal{P}(\Phi)\) само ако постоје скалари \(\alpha_0, \alpha_1, ..., \alpha_m \in \Phi\) са \(\alpha_m \ne 0\), а такви да је \(p(\lambda) = \alpha_0 + \alpha_1\lambda + \alpha_2\lambda^2 + ... + \alpha_m\lambda^m\) за све \(\lambda \in \Phi\). Тада пишемо \(\deg p = m\). Ако је полином идентички једнак нули кажемо да има степен \(-\infty\), тако да се и 0 полином налази у скупу \(\mathcal{P}_m(\Phi)\), свих полинома степена не већег од \(m\). Приметимо да низ степена \(1, \lambda, ..., \lambda^m\) може представљати векторе који разапињу \(\mathcal{P}_m(\Phi)\). Тада, за свако дато \(m\) биће \(\mathcal{P}_m(\Phi)\) коначно-димензионалан векторски простор, али је скуп свих полинома \(\mathcal{P}(\Phi)\) бесконачно-димензионалан векторски простор.

2. Независност

Линеарна независност вектора x1, ..., xnX значи да постоји само један низ скалара припадног тела \(\Phi\) и да је то \(\alpha_1 = ... = \alpha_n = 0\), за који важи једнакост \(\alpha_1x_1 + ... + \alpha_nx_n = 0\).

Примери 2. Листа од једног јединог вектора x је „линеарно независна“ акко \(x \ne 0 \). Свака два вектора су линеарно независна акко ни један није скаларни умножак другога. Вектори (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1) линеарно су независни у X3. Ако се неки вектори уклоне из линеарно независне листе, преостаје листа која је такође линеарно независна. □

Задатак 3. Покажимо да се линеарна независност своди на егзистенцију једино тривијалног решења припадног му система линеарних једначина.

Наиме: нека простор \(X^n\) скалара \(\xi_{ij} \in \Phi\) има низ (коваријантних) вектора:

\[ x_1 = (\xi_{11}, \xi_{12}, ..., \xi_{1n}), \quad x_2 = (\xi_{21}, \xi_{22}, ..., \xi_{2n}), \quad ..., \quad x_m = (\xi_{m1}, \xi_{m2}, ..., \xi_{mn}). \]

Краће га пишемо \(x_k = (\xi_{k1}, \xi_{k2}, ..., \xi_{kn})\), где је \(k = 1, 2, ..., m\). Множећи редом са скаларима \(\lambda_k \in \Phi\) и сабирањем, да бисмо проверававали њихову линеарну независност, налазимо:

\[ \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + ... + \lambda_m x_m = 0, \] \[ \lambda_1 (\xi_{11}, \xi_{12}, ..., \xi_{1n}) + \lambda_2 (\xi_{21}, \xi_{22}, ..., \xi_{2n}) + ... + \lambda_m (\xi_{m1}, \xi_{m2}, ..., \xi_{mn}) = 0, \] \[ \begin{cases} \lambda_1\xi_{11} + \lambda_2\xi_{21} + ... + \lambda_m\xi_{m1} = 0 \\ \lambda_1\xi_{12} + \lambda_2\xi_{22} + ... + \lambda_m\xi_{m2} = 0 \\ ... \\ \lambda_1\xi_{1n} + \lambda_2\xi_{2n} + ... + \lambda_m\xi_{mn} = 0, \end{cases} \]

а то је систем једначина по непознатима \(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m\). Када би за неко \(\lambda_k \ne 0\) нека од ових једначина била тачна (j = 1, 2, ..., n), онда бисмо могли писати

\[ x_k = -\frac{\lambda_1}{\lambda_k}x_1 - ... - \frac{\lambda_{k-1}}{\lambda_k} x_{k-1} - \frac{\lambda_{k+1}}{\lambda_k} x_{k+1} - ... - \frac{\lambda_m}{\lambda_k} x_m \]

што значи да је низ датих вектора линеарно зависан. Према томе, дати вектори биће линеарно независни акко горњи систем има само тривијално решење, \(\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_m = 0\). □

Задатак 4. Нека је \(x_k\), где је \(k = 1, 2, ..., m\), линеарно зависан низ вектора у \(X^n\). Прво, тада постоји индекс j = 1, 2, ..., m такав да је xj линеарна комбинација вектора \(x_1, ..., x_{j-1}\). Друго, ако се j-ти члан уклони линеал преосталих вектора биће једнак линеалу почетних.

Доказ: Зато што је низ \(x_k\) линеарно зависан, постоје бројеви \(\alpha_1, ..., \alpha_m \in \Phi\), који нису сви нуле, такви да је \(\alpha_1x_1 + ... + \alpha_mx_m = 0\). Нека је j највећи од индекса за који је \(\alpha_j \ne 0\). Тада

\[ x_j = -\frac{\alpha_1}{\alpha_j}x_1 - ... - \frac{\alpha_{j-1}}{\alpha_j}x_{j-1}, \]

чиме је доказано Прво.

Друго, претпоставимо да вектор y разапињу вектори \(x_1, ..., x_m\). Тада постоје бројеви \(\beta_k \in \Phi\) такви да је \(y = \beta_1 x_1 + ... + \beta_m x_m\), па у горњој једнакости заменимо \(x_j\) са десном страном те једнакости. То значи да и \(y\) припада распону (линеалу) преосталих вектора. □

Задатак 5. Доказати да је у коначно-димензионалном векторском простору дужина сваке линеарно независне листе вектора мања или једнака дужини сваке листе вектора која тај простор разапиње.

Доказ: Нека су вектори y1, ..., ymX линеарно независни и нека x1, ..., xn разапињу X. Доказујемо да је \(m \le n\). Идемо следећим низом корака, у сваком додајући један y и уклањајући један x.

Корак 1. Како x1, ..., xn разапињу X, додајући им било који вектор учинићемо тај низ зависним, па је и y1, x1, ..., xn низ зависних вектора. Према претходном (пример 4) можемо уклонити један од \(x_k\).

Корак j. До листе почетних x-ова, дужине n a која разапиње X, стижемо из j - 1 корака. Она сада садржи векторе \(y_1, ..., y_{j-1}, x_j, ..., x_n\) и разапиње X. Додајући јој било који вектор биће тај низ зависан, па је и y1, ..., yj, xj, ..., xn низ зависних вектора. Када стигнемо до m биће mn. □

У контексту теорије информације, приметимо да независност вектора оштро дефинише шта од чега зависи у свету стварности. Обзиром да је физичко стање интерпретација вектора, почев од квантне механике као дна па ка све сложенијим системима, видимо да је колоквијално „све од свега зависи“ веома климава прича, да „зависност“ није наивна појава, али да се ипак може „ухватити за рогове“ у иначе веома сложеном окружењу.

Пример 6. Низ од четири вектора, на пример (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6), биће линеарно зависан унутар простора \(R^3\), којег разапињу три вектора, попут (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Ово примећујемо као непосредну последицу претходног примера. □

Када је векторски простор X разапет са n независних вектора, то наглашавамо означавајући га са Xn. Ако су скалари реални, или комплексни бројеви, написаћемо редом \(\mathbb{R}^n\) и \(\mathbb{C}^n\), или \(R^n\) и \(C^n\). Први називамо реалним, а други комплексним векторским простором.

Сваки подпростор коначно-димензионалног векторског простора је коначно-димензионалан.

3. Базе

База векторског простора X је скуп вектора простора X који су линеарно независни и разапињу X.

Примери 7. Вектори e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en = (0, 0, ..., 1) чине базу простора Xn. Три вектора (1, 2), (2, 3) и (3, 5) разапињу X2, али нису у том простору база јер они нису независни. Два вектора (1, -1, 0) и (0, 2, 3) јесу независни у X3 и нису база том простору, јер га не разапињу.

3.1. Низ вектора \(v_1, ..., v_n \in X\) је база тог простора акко сваки \(v \in X\) може бити на јединствен начин написан као \(v = \alpha_1v_1 + ... + \alpha_nv_n\), где \(\alpha_1, ..., \alpha_n \in \Phi\).

Наиме: Нека је vk база у X. Тај низ вектора разапиње простор, па је дати приказ v могућ. Ако мислимо да постоји још један \(v = \beta_1v_1 + ... + \beta_nv_n\), онда одузимањем следи \( 0 = (\alpha_1 - \beta_1)v_1 + ... + (\alpha_n - \beta_n)v_n\), па је свако \(\alpha_k - \beta_k = 0\), јер је низ вектора независан. Дакле, дати запис је јединствен.

Обрнуто, нека се сваки vX може на јединствен начин представити датим збиром, то значи да низ vk разапиње X. Ако \(\alpha_1v_1 + ... + \alpha_nv_n = 0\), јединственост (узимајући v = 0) повлачи α1 = ... = αn = 0, а то је независност. □

Примећујемо понављање у методама линеарне независности при доказима, али приметимо и јединственост стања у разапетом систему у интерпретацијама.

Вектори који разапињу векторски простор не морају бити база када нису линеарно независни. Међутим, сваки низ који тај простор разапиње може (не мора) имати сувишне векторе за одбацивање након чијих уклањања преостаје линеарно независна скуп вектора који још увек разапињу (обухватају) векторски простор.

На пример, у X2 из (1, 2), (2, 3), (3, 4) и (4, 5) можемо избацити два вектора и имати базу тог простора.

3.2. Сваки скуп вектора који разапиње векторски простор да се свести на базу векторског простора.

Наиме: Полазимо од вектора \(x_1, ..., x_n \in X\) који разапињу простор и идемо следећим корацима. Све нулте векторе бришемо. Ако је xj зависан од претходних j - 1 бришемо и њега, а корак понављамо са све мањим j. □

Непосредна последица овог резултата је да сваки коначно-димензионални векторски простор има базу. Лакши је и закључак да сваки линеал можемо редуковати до базе, односно да се свака линеарно независна листа вектора у коначно-димензионалном векторском простору може проширити до базе векторског простора.

Ово друго радимо додајући датим векторима прво неку стандарну базу, попут ek из примера 7, а затим радимо редукцију као у доказу (3.2). На пример, два вектора (1, 2, 3) и (2, 3, 4) простора X3 допунимо вектором, рецимо (0, 1, 0), и имамо базу.

3.3. Када су \(Y_1, Y_2, ..., Y_m\) подпростори \(X\), онда се сваки елеменат њиховог збира може писати у облику \(y_1 + y_2 + ... + y_m\), где сваки \(y_j \in Y_j\). Посебан случај, када се сваки вектор збирног простора представља збиром оваквих вектора, називаћемо директна сума и означавати \(Y_1 \oplus Y_2 \oplus ... \oplus Y_m\).

На пример, ако вектори \(e_1 = (1, 0, 0)\) и \(e_2 = (0, 1, 0)\) разапињу подпросторе редом \(Y\) и \(Z\) простора \(X^3\), тада је \(Y + Z\) такође подпростор \(X^3\). Када \(Y\) чине вектори облика \((x, x, y, y)\), а \(Z\) чине вектори облика \((x, x, x, y)\), онда \(Y + Z\) чине вектори облика \((x, x, y, z)\). Вектори облика \((x, y, 0)\), \((0, y, y)\) и \((0, 0, z)\) су подпростори редом \(Y_1\), \(Y_2\) и \(Y_3\) простора \(X^3\), али њихов збир \( Y_1 + Y_2 + Y_3\) није „директна сума“.

Задатак 8. Показати да је \(Y_1 + ... + Y_m\) најмањи подпростор \(X\)-а који садржи сабиране подпросторе.

Доказ: Лако се налази \(0 \in Y_1 + ... + Y_m\) и да су сабирци затворени на скаларно сабирање и множење, па је њихов збир такође подпростор \(X\)-а. Како се сваки од \(Y_k\) налази у њиховом збиру, а и обрнуто, сваки подпростор који садржи све ове сабирке садржи њихов збир, то је овај збир, \(Y_1 + ... + Y_m\), најмањи подпростор простора \(X\). □

Задатак 9. Ако су \(Y_1, ..., Y_m\) подпростори \(X\), онда је \(Y_1 + ... + Y_m\) директна сума акко је једини начин да се напише 0 као збир \(y_1 + ... + y_m\) где је сваки \(y_k \in Y_k\) и \(y_k = 0\). Доказати.

Доказ: Ако је \(Y_1 + ... + Y_m\) директна сума, онда по дефиницији нула (вектор) је збир нула, сваке из појединог подпростора. Обрнуто, ако једини начин да се добије нула сабирањем нула свих појединих подпростора и \(y = y_1 + ... + y_m\), где сваки \(y_k \in Y_k\), а при томе постоје и \(z_k \in Y_k\) да је \(y = z_1 + ... + z_m\), биће \( 0 = (y_1 - z_1) + ... + (y_m - z_m)\). Како сваки \(y_k - z_k \in Y_k\), ова једнакост значи да је свако \(z_k = y_k\). □

Пример 10. Ако су \(Y\) и \(Z\) подпростори од \(X\). Доказати да је \(Y + Z \) директна сума акко \(Y \cap Z = \emptyset\).

Доказ: Ако је \(Y + Z \) директна сума, а \(v \in Y \cap Z\), онда из претходног примера \(0 = v + (-v)\) где \(v \in Y\) и \(-v \in Z\), што повлачи \(z = 0\). Отуда \(Y \cap Z = \emptyset\).

Обрнуто, нека је \(Y \cap Z = \emptyset\) и \(y \in Y\), а \(z \in Z\), али \(0 = y + z\). Међутим тада \(y = z = 0\). □

Збир подпростора аналогија је уније скупова, а директна сума подпростора дисјунктне унијe скупова. Иначе, нема дисјунктних векторских подпростора, јер сваки садржи нулу. Другачија аналогија, ових сума или скупова, са независним случајним исходима исто је занимљива.

Пример 11. Сваки подпростор X-а део је његове директне суме. Ако је X коначно-димензионалан, а Y му је подпростор, онда постоји подпростор Z такав да је \(X = Y \oplus Z\).

Доказ: Зато што је X коначно-димензионалан, постоји база \(y_1, ..., y_m \in Y\), линеарно независних вектора X. Тај се низ може продужити векторима \(z_1, ..., z_n\) до базе \(X\). Нека ови \(z_k\) разапињу \(Z\) и, према претходном примеру, треба само показати да је \(X = Y + Z\) и \(Y \cap Z = \emptyset\).

За доказ прве, збира, нека \(x \in X\), па је \(x = a_1y_1 + ... + a_my_m + b_1z_1 + ... + b_nz_n\), тј. \(x = y + z\) где \(y \in Y\) и \(z \in Z\). Отуда \(X = Y + Z\). За доказ друге, пресека, нека је \(x \in Y \cap Z\). Тада постоје скалари \(a_j, b_k \in \Phi\) да је \( x = a_1y_1 + ... + a_my_m = b_1z_1 + ... + b_nz_n\), па је \(\sum_j a_jy_j - \sum_k b_kz_k = 0\). Због линеарне независности \(y_j\) и \(z_k\) биће свако \(y_j = z_k = 0\), тј. \(x = 0\). □

4. Димензија

Димензија векторског простора је дужина базе, ознаке \( \dim X \) код коначно-димензионалног векторског простора X.

Задатак 12. Доказати да дужина базе не зависи од избора базе. Све истог коначно-димензионалног векторског простора имају исту дужину.

Доказ: Нека је \( \dim X \) коначне димензије, а \(B_1\) и \(B_2\) су две његове базе. Тада је \(B_1\) линеарно независна у \(X\) и \(B_2\) обухвата \(X\), тако да је дужина \(B_1\) највише дужине \(B_2\) (задатак 5). Замењујући улоге \(B_1\) и \(B_2\), такође видимо да је дужина \(B_2\) највише дужине \(B_1\). Дакле, ове дужине су једнаке. □

Реални векторски простор ℝ2 има димензију 2, а комплексни векторски простор ℂ има димензију 1. Као скупове, ℝ2 можемо поистоветити са ℂ (сабирање је исто на оба простора, али и скаларно множење реалним бројевима). Према томе, димензија векторског простора увелико зависи од избора тела Ф.

Према томе, димензија dim X коначно-димензионалног векторског простора X је дужина сваке базе векторског простора. Тако је \(\dim \mathbb{C}^n = n\), а \(\dim \mathcal{P}_n(\mathbb{C}) = n + 1\) јер база полинома (\(1, \lambda, ..., \lambda^n\)) садржи \(n + 1\) елеменат.

Задатак 13. Ако је Y подпростор X, онда је dim Y ≤ dim X.

Доказ: Нека је X коначно-димензионалан и Y његов подпростор. База Y је линеарно независан низ у X, а база X разапиње X. Зато је (задатак 5) Y ≤ dim X. □

Задатак 14. Свака линеарно независна листа вектора коначно-димензионалног простора X дужине dim X база је тог простора. Доказати.

Доказ: Нека је dim X = n, а \(x_1, ..., x_n\) је линеарно независан низ у X. Тај се низ може проширити до базе у X. Међутим, свака база тог простора има дужину n, тако да је у овом случају проширење није потребно, ниједан елемент није придружен \(x_1, ..., x_n\). Ови \(x_k\) су база, а то је и требало доказати. □

На пример, доказати да два вектора (1, 2) и (2, 3) чине базу у ℝ2 значи проверити да су они независни, да ни један није умножак другога са реалним бројем (скаларом), што је очигледно тачно. Међутим, у случају дужег низа вектора (задатак 3) треба проверавати регуларност припадног система линеарних једначина.

Задатак 15. Превести вектор из једне базе у другу (истог простора X димензије n).

Решење: Нека је прва база \(e_1 = (1, 0, ..., 0)\), \(e_2 = (0, 1, ..., 0)\), ..., \(e_n = (0, 0, ..., 1)\), а друга:

\[ b_1 = (\beta_{11}, \beta_{12}, ..., \beta_{1n}), \quad b_2 = (\beta_{21}, \beta_{22}, ..., \beta_{2n}), \quad ..., \quad b_n = (\beta_{n1}, \beta_{n2}, ..., \beta_{nn}), \]

где је \(b_k = \beta_{k1}e_1 + \beta_{k2}e_2 + ... + \beta_{kn}e_n\), за \(k = 1, 2, ..., n\). У првој бази \(x = (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n) \in X\), а у другој тај исти вектор писаће се \(x = \eta_1b_1 + \eta_2b_2 + ... + \eta_nb_n \in X \), па је:

\[ x = \eta_1(\beta_{11}, \beta_{12}, ..., \beta_{1n}) + \eta_2(\beta_{21}, \beta_{22}, ..., \beta_{2n}) + ... + \eta_n(\beta_{n1}, \beta_{n2}, ..., \beta_{nn}) = \] \[ = (\eta_1\beta_{11} + \eta_2\beta_{21} + ... + \eta_n\beta_{n1}) + \] \[ + (\eta_1\beta_{12} + \eta_2\beta_{22} + ... + \eta_n\beta_{n2}) + \] \[ ... \] \[ + (\eta_1\beta_{1n} + \eta_2\beta_{2n} + ... + \eta_n\beta_{nn}) = \] \[ = \begin{pmatrix} \eta_1 & \eta_2 & ... & \eta_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_{11} & \beta_{12} & ... & \beta_{1n} \\ \beta_{21} & \beta_{22} & ... & \beta_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ \beta_{n1} & \beta_{n2} & ... & \beta_{nn} \end{pmatrix} = yB. \]

Исти вектор у две базе има различите коефицијенте, па му дајемо ново име. Да би се тај други запис могао вратити у први матрица \(B\) мора бити инвертибилна, па је тада \(y = xB^{-1}\). □

Дакле, регуларна матрица (чија детерминанта није нула) трансформације вектора из једне базе у други низ вектора гаранција је да је и тај други нека база. Практично, након овог превода, из „лаке“ базе у општу, даљим композицијама трансформација, или матричним множењем, можемо и „теже“ базе преводити по жељи.

Пример 16. Ако су \(X_1\) и \(X_2\) два подпростора коначно-димензионалног векторског простора, тада је димензија њиховог збира \(\dim (X_1 + X_2) = \dim X_1 + \dim X_2 - \dim(X_1 \cap X_2)\).

Тој имамо еквивалентну код скупова, или \( \Pr(A \cup B) = \Pr(A) + \Pr(B) - \Pr(A\cap B)\) примењено у теорији вероватнће. Постоји скоро изоморфизам (бијекција стања и процеса) између векторског простора и расподеле вероватноћа.