Скаларни производ реалних низова a = (a1, a2, ..., an) и b = (b1, b2, ..., bn), и конволуција истих су:
Ови низови могу бити неограничени (n → ∞) ако су тада конвергентни, као и следећи интеграли ако су дате функције тада интеграбилне. У случају интеграла пишемо:
\[ (f\cdot g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t)g(x-t) \ dt, \quad (f*g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)g(x-t) \ dt, \]где су f и g реалне функције.
1. Пример Нађимо конволуцију (f ∗ g)(x), где је f(x) = sin x и g(x) = cos x у интервалу од 0 до t.
Решење: Израчунавамо редом:
\[ (f*g)(t) = \int_0^t f(t - \tau)g(\tau)\ d\tau = \int_0^t \sin(t-\tau)\cos\tau\ d\tau = \] \[ = \int_0^t (\sin t \cos\tau - \sin\tau \cos t)\cos\tau \ d\tau \] \[ = \int_0^t \sin t \cos^2\tau \ d\tau - \int_0^t \cos t \sin\tau \cos\tau \ d\tau \] \[ = \frac12\sin t \int_0^t(1 + \cos 2\tau)\ d\tau - \cos t \int_{\tau = 0}^{\tau = t} \sin \tau \ d\sin \tau \] \[ = \frac12\sin t \ (\tau + \frac12 \sin 2\tau)\Bigg|_0^t - \cos t \ (\frac12 \sin^2 \tau)\Bigg|_0^t \] \[ = \frac12 \sin t \ (t + \frac12\sin 2t) - \cos t \ (\frac12 \sin^2 t) \] \[ = \frac12 t \sin t + \frac14\sin t \sin 2t - \frac12 \cos t \sin^2 t \] \[ = \frac12 t \sin t + \frac12 \sin^2 t \cos t - \frac12 \sin^2 t \cos t, \]поништавају се задња два сабирка и добијамо:
\[ (f*g)(t) = \int_0^tf(t-\tau)g(\tau)\ d\tau = \int_0^t \sin(t-\tau)\cos\tau\ d\tau, \] \[ (\sin * \cos)(t) = \frac12 t \sin t. \]То је конволуција коју је требало наћи. □
Ови низови и функције могу бити и комплексни. Извод једне и друге је:
\[ \frac{\partial}{\partial x} (f\cdot g)(x) = (f'\cdot g)(x) + (f\cdot g')(x), \quad \frac{\partial}{\partial x} (f * g)(x) = (f * g')(x). \]Први није овде тема, а овај други резултат, извод конволуције препознаћемо у примерима „смицања“.
1. Смицање
1.1. Када бацимо пар коцки, може се десити један од 6×6 = 36 исхода приказаних сликом десно. Ако желимо да је збир тачака пара x, узимаћемо их са једне од 11 споредних (узлазних) дијагонала тога графа. На пример, за x = 5 то су парови (1,4), (2,3), (3,2) и (4,1). Писани усправно они су:
\[ \binom{}{6}, \binom{}{5}, \binom{1}{4}, \binom{2}{3}, \binom{3}{2}, \binom{4}{1}, \binom{5}{}, \binom{6}{}. \]Приметимо их као два реда 1, 2, 3, 4 и 4, 3, 2, 1 подписаних бројева чији вертикални збирови дају 5. Смицањем доњег десно, или горњег лево добили бисмо:
\[ \binom{}{6}, \binom{1}{5}, \binom{2}{4}, \binom{3}{3}, \binom{4}{2}, \binom{5}{1}, \binom{6}{} \]са збиром 6. Дакле, пар бачених коцки може дати збир 5 на четири различита начина, док збир 6 на пет начина. Другим речима, вероватноће баченог пара фер коцки да им збир буде 5 износи 4/36, а 6 су вероватноће 5/36.
1.2. Пример овог смицања имамо код болничког лечења. Замислите управљање неком болницом која лечи пацијенте са једном болешћу. Третманом [3] сваки пацијент добија 3 јединице лека првог дана и имамо листу пацијената [1 2 3 4 5] која означава број особа 1 у понедељак, 2 у уторак, итд. Дневни број лекова добијамо конволуцијом [3] ∗ [1 2 3 4 5] = [3 6 9 12 15].
Рецимо да болест мутира и захтева вишедневно лечење. Правимо нови третман [3 2 1]. Тај план значи 3 јединице лека првог дана, 2 другог и 1 трећег дана. Обзиром на исти распоред пацијената [1 2 3 4 5], користимо методу смицања:
Понедељак ---------------------------- Собе 3 2 1 Пацијената 5 4 3 2 1 Лекова 3
Следећи дан померамо у лево собе и добијамо:
Уторак ---------------------------- Собе 3 2 1 Пацијената 5 4 3 2 1 Лекова 6 2 = 8
У доњем реду (лекова) множимо и сабирамо 3×2 + 2×1 = 8. Затим опет померамо у лево собе:
Среда ---------------------------- Собе 3 2 1 Пацијената 5 4 3 2 1 Лекова 9 4 1 = 14
Број лекова је 3×3 + 2×2 + 1×1 = 14. Сутрадан је нови план:
Четвртак ----------------------------- Собе 3 2 1 Пацијената 5 4 3 2 1 Лекова 12 6 2 = 20
Коначно, план за последњи дан ове групе је:
Петак ----------------------------- Собе 3 2 1 Пацијената 5 4 3 2 1 Лекова 15 8 3 = 26
Типична дневна употреба лекова изгледа овако, писано на енглеском (Mon, Tue, Wed, Thu, Fri) и са суботом (Sat) и недељом (Sun):
Plan * Patient List = Total Daily Usage
[3 2 1] * [1 2 3 4 5] = [3 8 14 20 26 14 5]
M T W T F M T W T F S S
Овај прорачун је конволуција плана и листе пацијената. То је „фенси“ множење између листе улазних бројева и „програма“ уобичајено у неким болницама (Library of Medicine). Максимална подела лека је постигнута у петак.
2. Вероватноћа
2.1. Занимљива је примена конволуције замућење дигиталне слике. На следећој слици лево приказана је редом скица извора пиксела (црвени квадрат), језгра конволуције (плави квадрат) и нове вредности пиксела (зелено поље). Први оригинал, дигитална слика, скенира се квадрат по квадрат 3×3 пиксела, кораком свака поједина колона и ред по ред, обзиром да је језгро (енг. kernel) фиксно и те је величине. Резултат је збир (овде 4) у једном пикселу десно.
Треба знати да се дигиталне слике представљају матрицама бројева које кодирају, дефинишу боје и интензитете „тачака“ (пиксела) на екрану. Тај лево, црвени квадрат, поставимо испод средњег плавог да сабирамо помножене парове бројева који се преклапају, ред по ред:
Резултат збира производа ових 9 парова пиксела је 4 и то је вредност одговарајућег пиксела нове слике. Мењајући бројеве језгра добијаћемо различите ефекте слике, а посебност је када они чине бројеве расподеле вероватноћа. Тај резултат је нека средња вредност (математичко очекивање μ) вредности оригиналног квадрата, уопште n×n фиксираног n ∈ ℕ.
То је начин да конволуцију разумемо као математички начин комбиновања два сигнала за формирање трећег, што је позната најважнија техника у дигиталној обради сигнала. Кориштење таквих начина за разлагање импулса, системе описује сигналом који се назива импулсни одзив.
2.2. На горњој се слици (1.1), или десној сличној, лако можемо разумети како, рецимо, постоји 21 начин да две бачене фер коцке имају збир мањи од 8. Таква су бацања представљена са по једним пољем изнад и лево од (укључујући) дијагонале седмица, зелене боје. Број свих тих поља је 21.
Занимљива ситуација настаје ако коцке нису фер. Другим речима, ако два низа расподела имају по 6 вероватноћа p = (p1, ..., p6) и q = (q1, ..., q6), онда их можемо сматрати нефер коцкама и опет имати слику десно. Тако, трећи ред друге колоне тачака 5 има вероватноћу p3q2. То је познато.
2.3. Мање је позната (сем Информатичка Теорија, 03. Матрица канала Q) интерпретација вредности страна коцки тако да њихови квадрати (модула) чине вероватноће. Тада их можемо замишљати и попут вектора у Декартовом правоуглом систему кооридната, при чему су они квази-вероватноће, нпр. u = (cos α1, ..., cos α6) и v = (cos β1, ..., cos β6) са угловима алфа и бета нагиба редом u и v према координатним осама. Важи матрична једначина
\[ \begin{pmatrix} \cos \beta_1 \\ \cos \beta_2 \\ ... \\ \cos \beta_6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\beta_1\cos\alpha_1 & \cos\beta_1\cos\alpha_2 & ... & \cos\beta_1\cos\alpha_6 \\ \cos\beta_2\cos\alpha_1 & \cos\beta_2\cos\alpha_2 & ... & \cos\beta_2\cos\alpha_6 \\ ... \\ \cos\beta_6\cos\alpha_1 & \cos\beta_6\cos\alpha_2 & ... & \cos\beta_6\cos\alpha_6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha_1 \\ \cos\alpha_2 \\ ... \\ \cos\alpha_6 \end{pmatrix}, \]или краће v = Qu. Ова је матрица Q јединствена за дате векторе u и v, који су опет јединствено задати нагибним угловима алфа и бета, а какви год да су увек су ко- и контра-варијантни производи вектора инваријантни, ових u⊤u = v⊤v = 1.
2.4. Тако се Шенонова (1948) информација Sn = -p1 log p1 - ... - pn log pn такође може представљати као конволуција расподеле вероватноћа p1, ..., pn Хартлијевих (1928) информација -log p1, ..., -log pn. Знамо да су све ове поједине вероватноће pk ∈ [0, 1], са укупним збиром 1, а примери вероватноћа су примери слобода.
Мало другачији приступ била би Физичка Информација (2019), начин дефинисања који ће поштовати закон одржања информације. То се постиже узимањем у Шеноновим сабирцима вероватноће pk али са репрезентима hk за одговарајуће Хартлијеве факторе. На пример, тако за биномну расподелу имаћемо вероватноће и репрезенте (Теорема 2.3.6):
\[ p_k = \binom{n}{k}p^{n-k}(1-p)^k, \quad h_k = p^{n-k}(1-p)^k. \]Физичка информација је:
\[ L_n = -\sum_{k=0}^n p_k \log_2 h_k = -\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^{n-k}(1-p)^k \log_2[p^{n-k}(1-p)^k] = \] \[ = n(-p \log_2 p - q \log_2 q) = nL_1, \quad q = 1 - p, \]где је L1 = S1. У свим осталим (n > 1) случајевима је Sn < Ln, али увек је Lm+n = Lm + Ln.
3. Полиноми
Конволуција је основна операција у дигиталној обради сигнала. Када дигиталне секвенце третирамо као коефицијенте полинома, онда је њихова конволуција заправо производ одговарајућих полинома. На пример, нека су дати полиноми другог и трећег степена:
\[ f(x) = a_0 + a_1x + a_2 x^2, \quad f(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + b_3x^3. \]Њихов производ је полином:
\[ h(x) = f(x)\cdot g(x) = (a_0 + a_1x + a_2 x^2)(b_0 + b_1x + b_2x^2 + b_3x^3) = \] \[ = a_0b_0 + (a_0b_1 + a_1b_0)x + (a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0)x^2 \] \[ + (a_0b_3 + a_1b_2 + a_2 b_1)x^3 + (a_1b_3 + a_2b_2)x^4 + a_2b_3x^5, \] \[ h(x) = (f * g)(x). \]То је дискретна конволуција. Уопште, конвергенција није проблем за коначне низове. Међутим, то постаје битно за рецимо IIR филтере јер њихов импулсни одзив има бесконачан број чланова. Тада, може се доказати, да конволуциони збир конвергира када низови ak и bk конвергирају.
3.1. У општем случају коначних полинома:
\[ f(x) = \sum_{i=0}^m a_ix^i, \quad g(x) = \sum_{j=0}^n b_jx^j, \]њихов производ је:
\[ h(x) = f(x)g(x) = \left(\sum_{i=0}^m a_ix^i\right) \left(\sum_{j=0}^n b_jx^j\right) = \sum_{i=0}^m \sum_{j=0}^n a_ib_jx^ix^j. \]Уредимо ли резултат као полином растућег степена, стављајући i + j = k, налазимо:
\[ h(x) = \sum_{k=0}^{m+n} \left( \sum_{j=0}^k a_j b_{k-j}\right)x^k = (f*g)(x), \] \[ h(x) = \sum_{k=0}^{m+n} c_k x^k, \quad c_k = a_0b_k + a_1b_{k-1} + ... + a_kb_0, \]са збировима ck унутар заграде који су дискретне конволуције коефицијената датих полинома.
4. Лапласова трансформација
Лапласова трансформација (Pierre-Simon Laplace, 1749 – 1827, француски математичар) је интегрална трансформација \( \mathcal{L} : f(t) \to F(s) \), која дату функцију f(t) пресликава из временског домена у функцију F(s) комплексног домена
\[ \mathcal{L}(f)(s) = \int_{0}^\infty f(t)e^{-st}\ dt . \]На пример, \( \mathcal{L}(1) = \frac{1}{s} \), јер је:
\[ \mathcal{L}(1)(s) = \int_0^\infty 1\cdot e^{-st}\ dt = -\frac{1}{s} \int_{t=0}^{t \to \infty} de^{-st} = - \frac{1}{s} \lim_{t\to \infty} \left[ e^{-st} \right]_{t=0}^{t\to \infty} = \frac{1}{s}. \]Други пример, \( \mathcal{L}(t) = \frac{1}{s^2} \), јер је:
\[ \mathcal{L}(t)(s) = \int_0^\infty t e^{-st}\ dt = -\frac{1}{s} \int_{t=0}^{t \to \infty} t \ de^{-st} = \] \[ = -\frac{1}{s} \left( te^{-st} - \int e^{-st}\ dt \right)_{t=0}^{t\to \infty} = \frac{1}{s^2}, \]јер први израз у загради тежи нули, а други се понавља у претходном примеру.
Чести примери су:
\[ \mathcal{L} : \cos(\omega t) \to \frac{s}{s^2 + \omega^2}, \quad \mathcal{L} : \sin(\omega t) \to \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}, \]са ω ∈ ℝ у оба, или у другом s > Im(ω). Лапласове трансформације обично се дају таблицама. Чешће је користим него што о њој пишем, а нема је на нижим предавањима инфинитезималног рачуна. Када се броју (-st) у експоненту придружи информација, тако да експонент exp(-st) постаје вероватноћа, онда Лапласова трансформација постаје „средња вредност“ дате функције (оригинала).
Функција t → f(t) је погодна за Лапласову трансформацију и назива се оригиналом ако је интеграбилна на сваком коначном интервалу t осе, за свако t < 0 је f(t) = 0 и постоје реални бројеви M и s0 такви да је увек \( |f(t)| \le Me^{s_0t} \).
4.1. Помоћу Лапласове трансформације можемо доказати да је
\[ \int_0^\infty \frac{t}{e^t - 1}\ dt = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}, \]где је
\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x - 1}\ dx, \quad \Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\ dx, \]тзв. Риманова зета функција. Наиме:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty te^{-nt}\ dt = \int_0^\infty \frac{t}{e^t - 1}\ dt, \]где прва једнакост следи из претходног примера, а друга из таблице Лапласових трансформација (или је израчунамо). Коначно, \( \zeta(2) \) је решење и Базеловог проблема.
4.2. Теорема конволуције каже да је узимање конволуције две функције (f ∗ g)(t), а затим Лапласа, исто као прво узмање Лапласових трансформација (функција одвојено) ℒ{f} = F и ℒ{g} = G, па множење две Лапласове трансформације ℒ{f ∗ g} = F(s)G(s).
Ограничавамо се на (каузалне функције) ненегативне функције, f(t) = 0 и g(t) = 0 за t < 0, чиме ћемо бесконачне интеграле моћи написати као коначне. Друго, претпоставимо да можемо размењивати интеграле, да би промена променљивих омогућавала поделу интеграла на производ две Лапласове трансформације (LibreTexts).
Доказ: Са наведеним претпоставкама израчунавамо:
\[ \mathcal{L}\{f * g\} = \int_0^\infty \left[\int_0^t f(u)g(t-u) \ du \right]e^{-st}\ dt = \] \[ = \int_0^\infty \left[ \int_0^\infty f(u)g(t-u)\ du\right]e^{-st} \ dt \] \[ = \int_0^\infty f(u) \left[ \int_0^\infty g(t-u)e^{-st}\ dt\right]\ du. \]Даље уводимо смену τ = t - u, па налазимо:
\[ \mathcal{L}\{f * g\} = \int_0^\infty f(u)\left[\int_0^\infty g(\tau)e^{-s(\tau + u)}\ d\tau\right]\ du = \] \[ = \int_0^\infty f(u)e^{-su}\left[\int_0^\infty g(\tau)e^{-s\tau}\ d\tau\right]\ d\tau \] \[ = \left[\int_0^\infty f(u)e^{-su} \ du \right] \left[\int_0^\infty g(\tau)e^{-s\tau}\ d\tau \right] \] \[ = F(s)G(s). \]Тиме је теорема конволуције, са датим ограничењима, доказана. ∎
Из теореме конволуције следи и инверзно (f ∗ g)(t) = ℒ-1{F(s)G(s)}. На пример, у 1. примеру видели смо конволуцију синусне и косинусне функције, а затим овде и њихове Лапласове трансформације. Кратко записано:
\[ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s) \}, \quad g(t) = \mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}, \] \[ \mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\} = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}*\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}. \]Применимо то на речене функције:
\[ \mathcal{L}^{-1} \Big\{\frac{2s}{(s^2 + 1)^2} \Big\} = \mathcal{L}^{-1} \Big\{2\cdot \frac{1}{s^2 + 1}\cdot \frac{s}{s^2 + 1} \Big\} = \] \[ = 2 \cdot \mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s^2 + 1}\Big\}*\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{s}{s^2 + 1} \Big\} = 2(\sin * \cos)(t) = t\sin t. \]Дакле, инверзна Лапласова трансформација ове конкретне функције је
\[ \mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{2s}{(s^2 + 1)^2} \Big\} = t\sin t. \]Инверзно писано то исто ℒ{h(t)} = H(s) биће
\[ \mathcal{L}\{t\sin t \} = \frac{2s}{(s^2 + 1)^2}. \]То је Лапласова трансформација функције h(t) = 2f(t)g(t) израчуната помоћу конволуције.
5. Фуријеова трансформација
Фуријеова трансформација (Joseph Fourier, 1768 – 1830, француски математичар) је трансформација која претвара функцију у облик који описује фреквенције у њој присутне. Резултат трансформације је функција фреквенције комплексне вредности и проширење је Фуријеовог реда, који у свом општијем облику уводи употребу сложених експоненцијалних функција. За дату функцију f(t) фреквенције ν и кружне фреквенције ω = 2πν, Фуријеова трансформација је комплексна функција:
\[ \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\ dt, \quad F(i\omega) = \hat{f}(\omega). \]Њен модуо назива се спектрална густина амплитуда, а аргумент спектрална густина фаза. Када се време (t) мери у секундама, онда се фреквенција (ν) мери у херцима. Обрнуто писано
\[ f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(i\omega)e^{i\omega t}\ d\omega, \]је инферзна Фуријеова трансформација.
За комплексне коефицијенте a, b ∈ ℂ из h(t) = af(t) + bg(t) следи линеарност ове трансформације: да је увек H(iω) = aF(iω) + bG(iω). Друга важна особина Фуријеове трансформације је транслација: за било који реалан број x0 ∈ ℝ, ако је h(t) = f(t - t0), биће H(iω) = exp(iωtt0)F(iω).
Обе те трансформације, Лапласова и Фуријева, излазе из комплексног броја z = s + iω у експоненту, где реални део Re(z) = s иде првој, а имагинарни Im(z) = ω иде другој. Имагинарна јединица (i² = -1) другој даје периодичност.
5.1. Теорема конволуције за ову трансформацију утврђује да је под погодним условима Фуријеова трансформација конволуције две функције (или сигнала) тачкасти производ њихових Фуријеових трансформација. Уопштеније, конволуција у једном домену (нпр., временском домену) је једнака множењу по тачкама у другом домену (нпр. фреквенцијском домену). Постоје и другачије верзије теореме конволуције које су применљиве на другачије дефинисане Фуријеове трансформације.
Нека су дате Фуријеове трансформације (s ∈ ℝ):
\[ G(s) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)e^{-2\pi i sx}\ dx, \quad H(s) = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)e^{-2\pi i sx}\ dx. \]Конволуција је дефинисана са:
\[ r(x) = (g*h)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} g(\tau)h(x - \tau)\ d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} g(x - \tau)h(\tau)\ d\tau. \]Теорема конволуције каже да Фуријеова трансформација функције r(x) је
\[ R(s) = G(s)H(s). \]Уведемо ли курзив ознаке ℱ за директну и ℱ-1 инверзну Фуријеову трансформацију, биће:
\[ \mathcal{F}\{g*h\} = \mathcal{F}\{g\}\cdot \mathcal{F}\{h\}, \quad (g*h)(s) = \mathcal{F}^{-1}\{G\cdot H\}, \]директна и инверзна теорема конволуције за Фуријеову трансформацију. Тачком означавамо обично множење (необавезно), а звездицом конволуцију (обавезно).
5.2. Конволуција дискретних временских сигнала x и y дефинише се са
\[ (x * y)(n) = \sum_{k=-\infty}^\infty x(k)y(n-k). \]Ова се понекад назива ацикличком конволуцијом за разлику од цикличне конволуције која се користи за секвенце ограничене дужине. Фуријеове трансформације дискретних временског сигнала x(n) и y(n) су функције (кружне) фреквенције ω ∈ ℝ, дефинисане са:
\[ X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n) e^{-i\omega n}, \quad Y(\omega) = \sum_{n=-\infty}^\infty y(n) e^{-i\omega n}. \]Лако је видети да важи једнакост X(ω + 2π) = X(ω) и аналогно за другу, да су ове функције периодичне са периодом 2π (радијана). Када је x(n) реална, онда је X(-ω) = X*(ω), за све ω. Наиме:
\[ X^*(\omega) = \left(\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e{-i\omega n}\right)^* = \sum_{-\infty}^\infty x^*(n)e^{i\omega n}, \]где звездица горњи индекс значи коњуговање. Ово је симетрија фреквенције. Важи и друга, симетрија времена, да за x(n) реалну, из x(-n) = x(n) за све n, онда је X(ω) реална. Наиме:
\[ X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i\omega n} = x(0) + \sum_{n=1}^\infty [x(n)e^{-i\omega n} + x(-n)e^{i\omega n}] = \] \[ = x(0) + \sum_{n=1}^\infty x(n)[e^{-i\omega n} + e^{i\omega n}] = x(0) + \sum_{n=1}^\infty x(n)\cdot 2\cos(\omega n) \in \mathbb{R}. \]Теорема померања (shift theorem) каже да је кашњење у временском домену еквивалентно линеарном фактору померања фазе у домену фреквенције. Нека је y(n) кашњење m узорака, тј. y(n) = x(n - m), за све n. Тада је Y(ω) = exp(-imω)⋅X(ω). Доказ препуштам читаоцу.
Теорема дискретне конволуције. Нека су x1(n) и x2(n) два дискретна временска сигнала. Ако је
онда је
Доказ:
\[ Y(\omega) = \sum_{n=-\infty}^\infty y(n)e^{-i\omega n} = \sum_{n=-\infty}^\infty \left( \sum_{m=-\infty}^\infty x_1(m)\cdot x_2(n-m)\right)e^{-i\omega n} = \] \[ = \sum_{m=-\infty}^\infty x_1(m)\left( \sum_{n=-\infty}^\infty x_2(n-m)e^{-i\omega n}\right) = \sum_{m=-\infty}^\infty x_1(m)\left(e^{-i\omega m}X_2(\omega)\right) \] \[ = X_2(\omega)\sum_{m=-\infty}^\infty x_1(m)e^{-i\omega m} = X_2(\omega)X_1(\omega), \]а то је и требало доказати. ∎
Горе је доказ теореме конволуције Лапласове трансформације у интегралном облику, а ово је доказ теореме конволуције Фуријеове трансформације у дискретном облику. Препуштам читаоцу да сада самостално изведе доказе остала два облика, дискретног Лапласове и интегралног Фуријеовог, или нека се бар позове на претходно запажање. Све те трансформације, Лапласове и Фуријеве, излазе из комплексног броја z = s + iω у експоненту — који у неком ширем смислу поопштава средњу вредност експоненцијалне расподеле случајне променљиве случајних варијабли које ове трансформишу.