Овде сам само пописао основне појмове потребне за рад у линеаној алгебри, које ћу у даљен тексту позивати и тамо их допуњавати. Претпоставка је да их већ познајемо, а да овде усклађуемо ознаке.

1. Скалари

Скаларе чини тело \(\Phi\), обично реалних \(\mathbb{R}\) или комплексних \(\mathbb{C}\) бројева, а структуру тела такође имају и рационални \(\mathbb{Q}\) бројеви са уобичајеним операцијама сабирања и множења. Иначе се комутативно тело назива поље, а тело је прстен са особином да скуп свих од нуле различитих елемената, из скупа Φ\{0}, образује групу са операцијом множења. Јединични елеменат групе множења означавамо са 1.

Прстен је адитивна Абелова група G са бар два различита елемента у којем је сваком уређеном пару те групе (a, bG) придружен само један елеменат те групе (a ⋅ bG), производ тих елемената. Множење прстена испуњава законе асоцијације, те леве и десне дистрибуције у односу на сабирање.

Група G са операцијом множења (или сабирања) зове се комутативна или Абелова, ако је a ⋅ b = b ⋅ a, у случају множења или a + b = b + a у случају сабирања, за сваки пар елемената a, bG. Иначе, група је увек асоцијативна a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c, има неутрални, јединични елеменат такав да је e ⋅ a = a ⋅ e = a за сваки aG и има инверзни елеменат, такав да је a' ⋅ a = a ⋅ a' = e.

Из саме дефиниције групе следи да може имати само једну јединицу и да било који елеменат не може имати више од једног инверзног. Наиме, када би e1 и e2 била два јединична елемента групе, тада би на основу дефиниције било: e1 = e1e2 = e2. Ако су a' и a'' два инверзна елемента елементу a, онда имамо: a' = a' ⋅ e = a' ⋅ (a ⋅ a'') = (a' ⋅ a) ⋅ a''= e ⋅ a'' = a''.

Лако се проверава инверз производа (a ⋅ b)' = b' ⋅ a'. Наиме, је (a ⋅ b) ⋅ (b' ⋅ a') = a ⋅ (b ⋅ b') ⋅ a' = a ⋅ a' = e и (b' ⋅ a') ⋅ (a ⋅ b) = b' ⋅ (a' ⋅ a) ⋅ b = b' ⋅ b = e. Уопште је (a1a2 ⋅ ... ⋅ an)' = a'n ⋅ ... ⋅ a'2a'1. Из a ⋅ x = a ⋅ y биће x = y. Исто важи и у случају обрнутог множења.

Скалари су Абелова група у односу на операцију сабирања, али су обична група у односу на множење. То значи да они могу бити и регуларне матрице, тј. квадратне инвертибилне матрице истог реда, али не морају бити комутативног множења. Ово је нарочито важно за информацију перцепције, док није потребно за уобичајене примене вектора, нити у квантној физици. Касније ћу се задржавати на овој могућности, али сада обратимо пажњу на најважније, или бар најчешће скаларе, који су комплексни бројеви.

2. Комплексни

Комплексни број z је уређен пар (x, y) реалних бројева које представљамо збиром z = x + iy, при чему за имагинарну јединицу важи i2 = -1. Особине сабирања и множења реалних бројева се подразумевају, па препознајемо важност коњугованог комплексног броја z* = x - iy, јер је z* ⋅ z = x2 + y2 реалан број. Тај се број зове модуо датог комплексног броја и означава \(|z| = \sqrt{z^*z} = \sqrt{x^2 + y^2}\).

2.1. Множење комплексних бројева можемо видети као множење првог коњугованог са другим. Тада за уређене парове \(A = (a_x, a_y) = a_x + ia_y\) и \(B = (b_x, b_y) = b_x + ib_y\) имамо:

\[ A^*\cdot B = (a_x, -a_y) \cdot (b_x, b_y) = (a_x - ia_y)(b_x + ib_y) = (a_xb_x + a_yb_y) + i(a_xb_y - a_yb_x), \] \[ A^*\cdot B = \langle A, B \rangle + i[A, B] = (\langle A, B \rangle, [A, B]), \]

где стоји \(\langle A, B\rangle = a_xb_x + a_yb_y\) и \([A, B] = a_xb_y - a_yb_x\). Лако се проверава:

\[ (A^*\cdot B)^* = A\cdot B^*, \quad iA\cdot B^* = [A, B] + i\langle A, B\rangle. \] Kompleksni brojevi

2.2. На слици десно видимо комплексне бројеве у комплексној равни. Очигледно је:

\[ \overline{OA} = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}, \quad \overline{OB} = b = \sqrt{b_x^2 + b_y^2}, \] \[ \angle(xOA) = \alpha, \quad \angle(xOB) = \beta, \quad \angle(AOB) = \theta, \] \[ a_x = a\cos\alpha, \quad a_y = a\sin\alpha, \] \[ b_x = b\cos\beta, \quad b_y = b\sin\beta. \]

Даље лако израчунавамо:

\[ \langle A, B \rangle = ab\cos\theta, \quad [A, B] = -ab\sin\theta, \]

затим налазимо и:

\[ A^*\cdot B = ab(\cos\theta - i\sin\theta), \quad A\cdot B^* = ab(\cos\theta + i\sin\theta). \]

Наиме:

\[ \langle A, B\rangle = a_xb_x + a_yb_y = ab(\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) = ab\cos (\alpha - \beta) = ab\cos\theta, \] \[ [A, B] = a_xb_y - a_yb_x = ab(\cos\alpha \sin\beta - \sin\alpha \cos\beta) = ab\sin(\alpha - \beta) = -ab\sin\theta. \]

Такође можемо писати:

\[ A^*\cdot B = abe^{-i\theta}, \quad A\cdot B^* = abe^{i\theta}. \]

При томе, непосредно множење комплексних бројева даје:

\[ A\cdot B = (a_x + ia_y)\cdot (b_x + ib_y) = (a_xb_x - a_yb_y) + i(a_xb_y + a_yb_x) = \] \[ = ab(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i(\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta) \] \[ = ab\cos(\alpha + \beta) + i ab\sin(\alpha + \beta) = abe^{i(\alpha + \beta)}, \]

из чега видимо да је множење комплексним бројем A (односно B) ротација производа у комплексној равни другог за угао α (или првог за β), при чему се модули множе.

3. Низови

Низ \( x = (x_1, x_2, ..., x_n)\) је уређена n-торка бројева, скалара, бесконачна када \(n \to \infty\). Када су скалари Φ комплексни бројеви ℂ, уобичајен производ низова истих дужина n = 1, 2, 3, ... је скалар:

\[ x^*\cdot y = \langle x, y\rangle = x_1^*y_1 + x_2^*y_2 + ... + x_n^*y_n \]

где је \(z^*\) коњугован комплексан број \(z\), а низ \(y = (y_1, y_2, ..., y_n)\).

Kompleksni brojevi

3.1. На слици лево видимо интерпретацију низа дужине n = 3 у Декартовом правоуглом систему координата. Можемо писати:

\[ \overline{OA} = a = \sqrt{a_x^*a_x + a_y^*a_y + a_z^*a_z}, \] \[ a = \sqrt{|a_x|^2 + |a_y|^2 + |a_z|^2} \in \mathbb{R}, \]

јер множећи коњуговано комплексние чланове низа \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) добијамо квадрате модула, ненегативне реалне бројеве. Ту стрелицу изнад ознаке низа писаћемо по потреби, како би низ разликовали од скалара.

Аналогно комплексним бројевима, даље имамо:

\[ \angle(xOA) = \alpha_x, \quad \angle(yOA) = \alpha_y, \quad \angle(zOA) = \alpha_z, \]

па је у реалном простору \( a_x = a\cos\alpha_x\), \(a_y = a\cos\alpha_y\) и \(a_z = a\cos\alpha_z \), где је a дужина дијагонале квадра на слици. Отуда је:

\[ \cos^2\alpha_x + \cos^2\alpha_y + \cos^2\alpha_z = 1, \]

па квадрате ових косинуса, углова датог низа према координатним осама, можемо интерпретирати као вероватноће расподеле. Управо то имамо у квантној механици (Born rule), где се ради са комплексним низовима али реалних скаларних производа. Резултати се лако проширију на ограничене дуже низове и не увек једнако на бесконачне.

3.2. Унакрсни производ низова \(\vec{a} = (a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n)\) и \(\vec{b} = (b_1, b_2, ..., b_{n-1}, b_n)\) је

\[ \vec{a}^* \times \vec{b} = [\vec{a}, \vec{b}] = (a_2^*b_3 - a_3^*b_2, a_3^*b_4 - a_4^*b_3, ..., a_n^*b_1 - a_1^*b_n, a_1^*b_2 - a_2^*b_1) \]

који називамо и векторским производом, ако низове сматрамо векторима.

Kompleksni brojevi 2

У случају низова дужине n = 3, имамо познату интерпретацију векторског производа, на слици десно. То је реалан Декартов правоугли систем координата, десне орјентације, при чему је \(\vec{a}\times\vec{b}\) вектор окомит на раван паралелогама којег ти фактори разапињу, интензитета једнаког површини паралелограма.

Аналогно, биће компонента \([\vec{a}, \vec{b}]_k = a_{k+1}^*b_{k+2} - a_{k+2}^*b_{k+1}\) када је \(k < n - 1\) и доследно за последње две. Ако су те компоненте реалне, представљаће површине. Компоненте биле реалне или не, увек је \(\vec{a}^*\times \vec{a} = 0\). Проверите!

Не знам (нисам много тражио) да ли негде постоје баш овакве интерпретације основа линеарне алгебре, али биће згодне мом начину. У међувремену, погледајте и мешовити производ вектора на начин тензорске анализе.

4. Вектори

Векторски простор над телом Φ је адитивна Абелова група \(X = \{x, y, z, ...\} \) у којој је дефинисано множење с елементима из Φ, тако да за сваки пар \(x \in \Phi\) и \(\lambda \in \Phi\) постоји \(\lambda x \in X\), при чему важи:

  1. \( \alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y \)
  2. \( (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x \)
  3. \( \alpha(\beta x) = (\alpha \beta)x \)
  4. \( 1 \cdot x = x \)

за све векторе \(x, y \in X\) и све скаларе \(\alpha, \beta \in \Phi \).

Елементе векторског простора зовемо векторима. Примери вектора су бројеви, низови, матрице, па полиноми, решења диференцијалних једначина, или таласне функције квантне механике, линеарни оператори. Попис могућих векторских простора био би веома дугачак и зато је проучавање последица ове четири аксиоме тако значајно.

На пример, функција f је линеарна акко (ако и само ако) за све скаларе α, β и векторе x, y датог пара Φ, X важи f(αx + βy) = αf(x) + βf(y). Јасно је да за такве функције на истом векторском простору важе све четири аксиоме 1-4, па и оне чине неки векторски простор. Посебно, парцијални изводи су линеарна пресликавања, \(\partial_x (af + bg) = a\partial_x f(x) + b\partial_x g(x)\), па према томе и они чине један векторски простор. Коефицијенти полинома истог реда сабирају се као вектори, јер је

\[ \sum_{k=0}^n (\alpha a_k + \beta b_k)x^k = \alpha \sum_{k=0}^n a_kx^k + \beta \sum_{k=0}b_kx^k, \]

па су на тај начин и полиноми врста векторског простора.

Низови су вектори, док вектори не морају бити низови. Дочим, увек постоје изоморфизми (обострано једнозначна пресликавања вредности и структура) између датих вектора и неких низова, па се до свих општих ставова о векторима може доћи само помоћу низова. Али, о том-потом.

5. Матрице

Матрица \( A = (a_{jk})_{m,n}\) је уређена m × n шема скалара, бесконачна када бар један \(m, n \to \infty\). Збир две матрице истог типа m × n је збир њихових одговарајућих коефицијената:

\[ \alpha A + \beta B = (\alpha a_{jk}) + (\beta b_{jk}) = (\alpha a_{jk} + \beta b_{jk})_{m,n} \]

из чега следи да су матрице (било којег, али истог типа) линеарни оператори и да могу бити вектори. Међутим, матрице се множе тако да низ j-те врсте множимо низом k-те колоне формирајући елеменат нове матрице у j-тој врсти и k-тој колони:

\[ A_{m,n}\cdot B_{n,p} = C_{m,p}, \] \[ \sum_{k=1}^n a_{jk}b_{kl} = c_{jl}, \quad j = 1, ..., m, \ l = 1, ..., p. \]

То значи да прва матрица мора имати онолико колона (n) колико друга има врста, иначе нема ништа од множења.

Квадратна реда n je када је m = n, множива је са матрицом истог реда, па и са самом собом. Таква реда n = 1 је обичан број. Постоје два броја ±1 чији квадрат је 1. Јединична матрица другог, трећег или већег реда на дијагонали има јединице и све остале коефицијенте нуле; она неће мењати матрицу истог реда множећи је. Међутим, постоје четири матрице другог реда чији квадрат је јединична матрица. Поред јединичне, то су следеће три Паулијеве матрице (Spin II):

\[ s_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad s_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad s_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. \]

Постоје три кватерниона другог реда чији су квадрати минус јединична матрица (Quaternions):

\[ q_1 = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad q_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad q_3 = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}, \]

или краће писано \(q_k = is_k\), где је k = 1, 2, 3, а \(i^2 = -1\). Четврта таква кватернионска матрица била би јединична множена имагинарном јединицом, iI.

6. Тензори

Тензори су величине попут скалара и вектора и њихова су генерализација. Скалар је тензор нултог ранга, вектор је тензор првог ранга, а матрица тензор другог ранга. Ранг (или ред) тензора је одређен бројем праваца (димензионалношћу низа) потребних за његово описивање.

Множење јединичног вектора скаларом мења му дужину али смер остави непромењен. Ако желимо променити интензитет и правац датог вектора множење скаларом више није довољно. Формирање унакрсног производа са другим вектором такође није довољно осим ако не желимо да ограничимо промену правца на праве углове. Морамо пронаћи и користити другу врсту математике, а тај други „ентитет“ је тензор.

На пример, у 3-дим простору, својства која захтевају један правац (први ранг) могу се у потпуности описати вектором колоне 3×1, а својства која захтевају два правца (дијада) требају тензор другог ранга 32 = 9 бројева, као матрица 3×3. Тензор трећег ранга (тријада) има три правца и 33 = 27 бројева. Као такав, генерално, тензор n-тог ранга може се описати са 3n коефицијента.

Потреба за тензорима другог ранга долази када разматрамо више од једног правца да бисмо описали, рецимо једно од физичких својстава. Пример је опис електричне проводљивост општег, анизотропног кристала. Знамо за изотропне проводнике који поштују Омов закон j = σE. То значи да густина струје ј буде паралелна примењеном електричном пољу, Е, и да је свака компонента ј пропорционална свакој компоненти Е, рецимо ј1 = σЕ1.

Међутим, у анизотропном материјалу, индукована густина струје не мора бити паралелна затеченом електричном пољу због преферираних праваца струјања унутар кристала (нпр. у графиту). То значи да генерално свака компонента вектора густине струје може зависити од свих компоненти електричног поља:

\[ \begin{cases} j_1 = \sigma_{11}E_1 + \sigma_{12}E_2 + \sigma_{13}E_3 \\ j_2 = \sigma_{21}E_1 + \sigma_{22}E_2 + \sigma_{23}E_3 \\ j_3 = \sigma_{31}E_1 + \sigma_{32}E_2 + \sigma_{33}E_3 \end{cases} \]

Дакле, генерално, електрична проводљивост је тензор другог ранга и може се специфицирати са 9 независних коефицијената, који се могу представити матрицом 3×3 (трећег реда)

\[ \boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{pmatrix}. \]

Иначе, контраваријантни тензори другог ранга су објекти који се трансформишу као

\[ \bar{A}^{ij} = \frac{\partial \bar{x}_i}{\partial x_k} \frac{\partial \bar{x}_j}{\partial x_l} A^{kl}, \]

где се сабира по поновљеном горњем и доњем индексу. Коваријантни тензори другог ранга су објекти који се трансформишу као

\[ \bar{B}_{ij} = \frac{\partial x_k}{\partial \bar{x}_i}\frac{\partial x_l}{\partial \bar{x}_j}B_{kl}. \]

Мешовити тензори другог ранга су објекти који се трансформишу као

\[ \bar{C}_j^i = \frac{\partial \bar{x}_i}{\partial x_k}\frac{\partial x_l}{\partial \bar{x}_j} C_l^k. \]

Када два тензора имају исти ранг и исте коваријантне и контраваријантне индексе, исти тип, онда се могу сабирати на уобичајен начин, додавањем одговарајућих коефицијената. Више о тензорима има њихова анализа.