|
|
|
Collective
Питање: Реците нешто о потреби за колективним?
Одговор: Информација система већа је код веће расутости опција, већег броја и више уједначених шанси избора. Та је информација налик потенцијалној енергији предмета којег подижемо да би спуштањем вршио користан рад. Она смањивањем може постајати организованост, ефикасност, или паметна (Letter Frequency).
Начелна штедљивост природе у емисији информације, њен минимализам, чиниће да системи спонтано губе потенцијалну информацију. То се дешава и кроз раслојавање, или разблаживање, а не само уређивањем или са фокусирањем специфичне информације, тј. количине могућности. Она је еквивалентна принципу мањег дејства, који у физици буквално значи најмањег, а који виђамо и код живих бића као потребу за неделовањем. Када будемо расправљали „силе минимализма“, биће то као да причамо о „сили неизвесности“.
У нашим крајевима још увек постоји изрека „куд сви Турци туд и мали Мујо“, аналогна једној ангегдоти Марка Твена. Наводно, двојица се срећу и једног интересује чиме се други бави, а када он каже да је фармер, први га упита: „Три краве су на пропланку, а две гледају у једном правцу, куда гледа трећа?“ — „Па то је глупо питање, откуд знам“, одговорио је. — Слаб си ти фармер ако не знаш да и трећа гледа у истом правцу, мисли први.
Лик Монтањије је на једном скупу, а пред сам крај свога живота, поводом неслагања са кампањом вакцинације тада наводне „епидемије короне“, а у жару борбе против корпорација викнуо „Антиваксери ће спасити свет!“ Његов је усклик очајника који би хтео да слобода остаје у „потенцијалној информацији“ (мој израз, њима непознат) уместо да се троши на зараду корпорација, а опет као врста припадања тад мање првима него новима другима.
Ми ћемо остајати заробљеници минимализма информације, знајући нешто о овој теорији или не, скоро свеједно, баш као што смо остали у гравитацији и након што су је Њутн или Ајнштајн раскринкали. Нагон колективног понашања настаје прво везивањем еволуције за физички, телесни минимализам, а затим кроз успехе растућих наслага такве везе остаје уверење да су емоције ту примарне. А како природа није на њега имуна нећемо бити ни ми.
Layering
Питање: Где се све дешава раслојавање и разблаживање информације, које помињете, можете ли мало прецизирати?
Одговор: Данас настаје једна све актуелнија слојевита технологија у софтверском инжењерству, као у фазама на слици лево. Програм прелази са једног слоја на други у којима обрађује другачије врсте задатака до завршетка, иза чега иде на следећи. Ефикасност која се постиже иде са прегледношћу кода и лакшим програмирањем.
Дифузија постоји и у анатомији и физиологији живих бића, као на пример у хомеостази (тежњи да се одрже повољнији унутрашњи услови). Ово сматрамо важним начином биолошких тела у регулисању концентрације супстанци да би се јони, молекуле и једињења лакше кретала и спуштала низ градијенте концентрације.
Постављање политички погодних на руководећа места којима би добро одговарали и стручнији, многима је познатији пример раслојавања него претходна два. Популарни изабраник се отима за углед међу сличнима поседовањем моћи положаја, да би им саопштавао „видите где сам, или ко сам и шта све могу, па знате шта вам је чинити“, запостављајући саму ефикасност система којим руководи, повремено. Мало по мало, дешава се раслојавање његове друштвене и стручне успешности. Оно је могуће компензовати утезањем система власти, али и то само донекле.
Дакле, овде не разговарамо само о ширењу свемира, тачније простора и повећању његовог капацитета памћења услед спонтних токова ка већим вероватноћама, односно природног следа догађаја од неизвеснијих ка извеснијима, већ о веома универзалном принципу. Реч је о поопштеној инертности, тежњи нечињењу, нагону смрти, али прецизније говоримо тада о минимализму информације. Даљи описи ишли би у формуле (а оне нису за саговорника).
Rotation II
Питање: Информација нестаје чим настане. Каквом математиком то решавате?
Одговор: Ротацијом, синусоидом, осциловањем. Због закона одржања, информација чим нестане мора и да настане, а преноси се количина која се одржава временом. Нова се јавља тамо где јој је највероватније. Дакле, треба нам и теорија вероватноће, али на крају многи поступци своде се на енергије, импулсе и силе.
Током времена τ појављује се енергија E = hf са фреквенцијом нестајања и настајања f = 1/τ, где је h ≈ 6,626 × 10-34 m2 kg/s Планкова константа. А свака појава поседује импулс p = h/λ размазан таласном дужином λ = cτ, где је c ≈ 300 000 km/s брзина светлости у вакууму. Говорим о фотонима, али слично је и са сложенијим честицама, сложенијег осциловања.
Промена импулса p током времена τ класични је опис силе. Међутим, та сила је и огољена сила неизвесности, заправо онај дубљи узрок познатих физичких сила који се открива кроз теорију информације.
Тако информације које нестају опстају. Оне трају, јер и из наше позиције њихово следеће појављивање вероватније је у следећем тренутку. Свет се мења и није свако од његових стања једнако погодно, па би закашњела информација могла бити неподобна, мање прихватљива. Светлост нам зато изгледа у непрекидном кретању, због закона одржања, вероватноће и промена.
A blur
Питање: Можете ли ми мало појаснити „адаптацију информације“ о којој сте причали?
Одговор: Овај је разговор вођен у време рада на текстовима књиге „Информација Перцепције“. То је скаларни производ два низа узајамних комуникација, \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), вреднованих са одговарајућим интензитетима акција-реакција \(S = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n\). Када су ови парови фактора оба низа монотоно растући (опадајући) информација \(S\) је максимална, а иначе је све мања што је један више опадајући док је други растући.
Поентирао сам то запажање закључком да ће системи у комуникацији (фактори у \(S = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n\)) тежити неотпору један другоме, спонтано се „адаптирајући“ тако да се мањи коефицијенти упарују са већима и обрнуто. Томе неприродан процес био би „пркос“ који сам приписао „виталности“. Та књига није требала имати формула, па се нисам позивао на иначе раније познату ми „ергодичку теорему“, из моје прве књиге „Математичка теорија информације и комуникације“.
Ергодичка теорема говори о истом процесу адаптације на свој начин. Канал преноса података када понаљамо и понављамо, надовезујемо у тзв. Марковљев ланац, излазна порука постаје својствена том каналу, тада једна те иста ма шта тамо на почетку било послато. То је прича о „црној кутији“, односно гушењу полазне информације дезинформацијама (шумом канала) тако да ју је на излазу немогуће дешифровати. Али, приметимо, она говори и о адаптацији, коју је онда можда примерније називати „замућењем“.
Дакле, у том разговору износио сам идеју о „Великом праску“, о времену настанка наше васионе пре око 13,8 милијарди година, које се можда и није десило. Шта ако је оно што таквим видимо илузија коју нам ствара ергодичка теорема процеса развоја васионе, преноса ондашњих стања кроз еоне процеса до нас данас? Нисам тој сумњи давао велики значај, подцењивао сам њене могућности, искрено речено, све до недавно док нисам приметио да она није слепи пут.
Cache
Питање: Где сте приметили отварање идеје „црне кутије“, рекосте ли код памћења информација?
Одговор: Да, а саму идеју није тешко разумети, иако је веома необична. Покушајте прво део процесa „замућења“, почев иза оригинала па све до црне кутије, видети као памћење поруке.
Замислимо да је порука попут дигиталног показивача броја 8, са седам цртица од којих су три хоризонталне, а четири могуће вертикалне. Додајући једну од две недостајуће вертикалне цртице броја 5 он постаје 6 или 9, а додајући му обе добијамо 8. Тако делују сметње на каналу преноса информација. Шум „оштећује“ поруку додавањем (кажу ергодичке теореме), а не, како се обично мисли, одузимањем.
Лако се у то уверити када приметите да тотални шум (црна кутија) има максималну информацију датог канала, за разлику од смислене поруке чија информација је увек мања (Letter Frequency). Али, то је тек почетак ове приче.
Perspective
Питање: Постоји ли просторно-временски пример идеје „заборављања“ у развоју „црне кутије“?
Одговор: Нешто као аналитичка, тј. координатна геометрија, или геометријска вероватноћа (нпр. Бифонова игла), таква ће ускоро бити и геометрија информације.
Са друге стране, једну већ имамо, јер је физички простор магацин сећања — бар колико се тиче моје теорије информације. Такав депо учиће нас колико може и брзина, поред средине, бити битна у процесима сећања. Колико нас перспектива подсећа на заборављање и колико сами процеси „замућења“ могу постати правилни, да статистички могу бити скоро детерминистички.
Што је праг пруге (преграда лествице) даље мањи је, са правилностима о којима говоримо од једноставне Талесове теорема сличних троуглова па до дворазмере и принципа дуалности (Конусни пресеци, 3.4.4 и 3.4.5). А места у бесконачности паралелних правих, које пројективна геометрија назива недогледима, аналогије су потпуног заборава.
Међутим, просторне перспективе само један су од облика удаљавања од садашњости. За сада су неиспричани романи, а тако великог обима који немојмо подцењивати. Поред тога, ово је питање сасвим необично, ново да већ и увод у одговор морам раздвајати на оволике делове, да би нам целина била питкија. Елем, погледајмо даље.
Size
Питање: Шта је битно за обим меморисања?
Одговор: Величина система, али и сложеност структуре, густина информације. Имамо различите начине дефинисања „величине“ нечега, али смањивањем рецимо дужина тела у начелу смањују се шансе и потребе за памћењем.
Памћење свемира је нека горња граница. Свеукупност доступна нама је 13,8 милијарди година, или колико год да је већа, биће ограничење величина и горња мера за све остале. Дно микро света квантне механике је друга крајност. Тај танки и убрзани свет је слаб или никакав за памћење. У међупростору су, на пример, микро чипови изненађујуће великих распона обраде или чувања података, као можда и неке појаве многострукости природе које би наука тек могла откривати.
На крају без могућности памћења, налази се експоненцијална расподела у случају задатог очекивања случајних варијабли (μ), где се информација треба дефинисати једноставно као логаритам (комплексних бројева) тих стања са свим последицама. А нама познате последице су периодичност њихових логаритама, затим и својствене вредности обзервабли њихових процеса.
Новости, која се тичу питања, су у обраћању пажње на брзину догађања у микро свету обзиром на макро свет, а због ограничења брзине светлости. Тај мали свет као да живи у журби у односу на нас велике. То бива заиста тако и због немогућности памћења, тада и њене непотребности.
Оно што је васиона развлачила у 13,8 милијарди година и, због начелног минимализма, још увек развлачи, међу елементарним честицама дешава се у делићу секунде. Оне великом брзином пролазе све фазе „замагљења“ и из суперпозиције колабирају у исход — као обзервабле и квантна стања, односно својствене вредности и својствени вектори.
Delivery
Питање: Постоје ли процеси без својствених стања?
Одговор: Када је квантно стање (вектор) у таквом окружењу које неће комуницирати, на пример, нижег је нивоа информације као вакуум за честицу-талас, догађа се да стање траје и траје, кажемо осцилује. Информација остаје, не испоручује се другој страни јер та неће да је прихвати. То је физика процеса без својственог стања.
Алгебра може испратити ту тезу „теорије информације“ (моје), ево како. На слици лево је карактеристична једначина, где је A линеарни оператор (процес), v својствени вектор (стање), λ својствена вредност (обзервабла). Квантна физика подразумева да је λ реалан број, као мерљива физичка величина, док процеси и стања могу имати комплексне компоненте. Али, нема реалних својствених вредности процеса који морају да трају.
Кејли-Хамилтонова теорема бави се решавањем ове једначине. Видимо то на примеру оператора датог квадратном матрицом другог реда:
\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \] \[ \begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \hat{0}, \] \[ \begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{vmatrix} = 0, \] \[ (a - \lambda)(d - \lambda) - bc = 0, \] \[ \lambda^2 + \alpha_1 \lambda + \alpha_2 = 0. \]То је тзв. корактеристични полином дате матрице, који је n-тог реда за матрице истог реда, а Кејли-Хамилтонова теорема утврђује да ће свака квадратна матрица поништавати свој карактеристични полином. Према томе, матрица ће имати бар једну својствену вредност, а онда и бар један својствени вектор, ако и само ако карактеристични полином има бар један корен.
Основна теорема алгебре придодаје да свака полиномска једначина n-тог степена са реалним или комплексним коефицијентима има n решења, тј. корена, у комплексним бројевима. Међу решењима може бити реалних, али и не мора, па ако их нема онда процес нема обзервабле. До изражаја тада долази лепота математике у ергодичкој теореми којој су процеси са таквим трајањем изузетци.
Lasting
Питање: Наведите пример трајања процеса без коначног испоручивања информације?
Одговор: Као што смо таблицу сабирања или множења свугде употребљавали, слично згодну имамо ротацију координата за осциловања, као на слици десно.
Тада карактеристичну једначину добијамо на следећи начин:
\[ (\hat{A} - \lambda \hat{I})\vec{v} = 0, \] \[ \det (\hat{A} - \lambda \hat{I}) = 0, \] \[ \begin{vmatrix} \cos\theta - \lambda & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta - \lambda \end{vmatrix} = 0, \] \[(\cos\theta - \lambda)^2 + \sin^2\theta = 0, \] \[ (\cos\theta - \lambda)^2 = - \sin^2\theta, \] \[ \lambda_{1,2} = \cos\theta \pm i\sin\theta = e^{\pm i\theta}. \]Својствена вредност је комплексан број, осим када \( \theta \in \{0, \pm \pi, \pm 2\pi, ...\} \), када је \(\lambda = \pm 1\) и „ротација“ постаје нулта или централна симетрија.
Уврштавамо својствену вредност у полазну једначину и израчунавамо својствени вектор:
\[ \begin{pmatrix} \cos\theta - e^{i\theta} & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta - e^{i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0, \] \[ \begin{pmatrix} -i\sin\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & -i\sin\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0, \] \[ (x \pm iy)\sin\theta = 0. \]Према томе, својствени вектор је нула вектор (\(x = y = 0\)), када год синус није нула, тј. када \(\theta \notin \{0, \pm \pi, \pm 2\pi, ...\} \). Исто добијамо за угао \(-\theta\).
То је типичан рачунски део оваквих задатака. Оно што је у овоме новост је информатичка интерпретација, да честица-талас квантне физике, коју би таквим ротацијама могли симулирати, не може предати информацију (интераговати), јер околина је није жељна, игнорише је.
Када се деси интеракција (прихватање), наглашавам, тада уместо процеса ротације имамо неки други — са реалним својственим вредностима.
Momentum
Питање: Објасните ми укратко импулс честице-таласа са становишта теорије информације, односно ових својствених вредности?
Одговор: Ми овде често мешамо појмове „моменат“ са „импулсом“ силе, иако постоји разлика међу њима. Зато прво њу погледајте у једноставном видеу Physics.
Класичне дефиниције физичких величина преносимо у квантне и као линеарне операторе. Место x осе тако је оператор положаја \(\hat{x}\) као просто множење са x, а овако линеарни моменат са слике лево постаје оператор импулса
\[ \hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}. \]Решавањем Шредингерове једначине налазимо таласну једначину, прво за слободне честице
\[ \psi(x, t) = e^{\frac{i}{\hbar}(px - Et)} \]где је p импулс у x-смеру, а E је енергија честице. Отуда узимањем извода по апсциси, које је иначе познати линеарни оператор, добијамо
\[ \frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{ip}{\hbar} \psi. \]Могућност да ово буде карактеристична једначина линеарног оператора импулса користимо и конструишемо га у горе наведеном облику. Пример који потврђује коректност ове изведбе су и релације неодређености, овде објашњаване у више наврата.
Међутим, поступак конструкције оператора занемарио је нови моменат у микро свету ове физичке величине који откривају непосредно претходни одговори. Не постоји тачан импулс честице-таласа тог нивоа величина до првог изјашњавања, или опажања, односно мерења. Информација коју та неодређеност преда — дефинише је. Оно што од количине неизвесности преостане, ако нешто остане, биће извесније. Једноставно тако.
Пре мерења не постоји тачна путања честице, приметио је својевремено и Хајзенберг (1927), па Шредингер популарно препричао својим примером мачке у кутији. Таквим „мистичним“ појавама теорија информације даће (када буде прихваћена) једноставно рационално објашњење, да процеси који представљају таласе-честице нису исти уочи и током изјашњавања. Они први немају реалне својствене вредности, а други имају.
Ово пре свега значи да у процесу мерења апаратуру морамо уређивати у складу са начелним минимализмом, тако да буде комуникације мерног и мереног. Да спонтано уређај прихвата информацију честице-таласа, или уопште квантног стања, доследно горе реченом (Delivery).
Harmonic
Питање: Свет се своди на покушаје информације да се не изјасни и њене неуспехе у томе? Можете ли ми нешто рећи и о преласку са класичног на квантни хармонијски осцилатор?
Одговор: Духовито али прилично тачно речено. Слажем се, јер је информација оно што имаш кад немаш и немаш кад имаш. Такво је једно недавно моје објашњење стеге информације између њеног кратког даха и закона одржања. Али авај, сва је природа од такве саткана.
Када те ствари разматрамо мало озбиљније, инжењерски, виђамо углавном таласање, хармонијске осцилације. Електрично поље фотона индукује магнетно, затим магнетно индукује електрично, па опет магнетно и процес траје (Lasting) до евентуалног изјашњења (Delivery). А слично таласа и остала материја, али и простор и време. Таква је природа света информације.
Слично смењивању потенцијалне и кинетичке енергије у хармонијском осцилатору говоримо о потенцијалној и изјашњеној информацији. Томе слично говоримо о дифракцији, интерференцији или тајмингу пружања информација, јер то је тако-рећи иста прича.
Према Хуковом закону, сила опруге пропорционална је истегнутости, или прецизније \( m\ddot{x} + kx = 0 \), примењено на x-осу. За константу силе \(k > 0\) решење ове диференциjалне jедначине jе синусна функциjа. У класичноj физици се зна да jе \( k = m\omega^2\), при чему jе \(m\) маса честице која осцилује, а \(\omega\) је тзв. угловна фреквенциjа осцилациjа. Тако долазимо до енергије хармонијског осцилатора:
\[ E = \frac12 mv^2 + \frac12 kx^2 = \frac{p^2}{2m} + \frac12 m\omega^2 x^2, \]која у класичној физици може имати било коју вредност.
У квантноj механици ту енергиjу представља Хамилтониjан, оператор:
\[ \hat{H} = \frac{\hat{p}_x^2}{2m} + \frac12 m\omega^2\hat{x}^2, \]где су оператори импулса \(\hat{p}_x\) апсцисе и положаjа \(\hat{x}\), оба у координатноj репрезентациjи (Квантна Механика, 1.4.8 Хармониjски осцилатор), дефинисани своjим деловањем на таласну функциjу \(\psi = \psi(x)\):
\[ \hat{p}_x\psi = -i\hbar\frac{d}{dx}\psi, \quad \hat{x}\psi = x\psi. \]Први сабирак Хамилтониjана је кинетичка енергиjа честице-таласа, а други њена потенциjална енергиjа. Смисао оператору Хамилтониjана даjе примена, опет на таласну функциjу
\[ \hat{H}\psi = E\psi, \]где је \(E\) енергија честице-таласа. То је диференцијална једначина другог реда, а њена решења су (n = 0, 1, 2, ...):
\[ \psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\cdot\left(\frac{m\omega}{\hbar \pi}\right)^{1/4}\cdot e^{-m\omega x^2/2\hbar}\cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\cdot x\right), \]где су \(H_n\) Ермитови полиноми. Дискретне својствене вредности
\[ E_n = \hbar \omega \left(n + \frac12\right) = (2n + 1)\frac{\hbar}{2}\omega \]су одговарајући нивои енергије.
Када хоћете прецизност, квантна механика постаје веома тешка због саме тежине математике и начина припреме експеримената, али она тад бива и нешто најтачније што физика и наука уопште имају.
Ladder
Питање: Значи, тако долазимо до „лествичиних оператора“?
Одговор: Да, тај хармонијски осцилатор је један од начина да се дефинише оператор спуштања и подизања, или анихилациjе и креациjе. Рачунски је проблем врло захтеван, али можда га могу појаснити а да не будем баналан.
Горњи Хамилтонијан можемо писати
\[ \hat{H} = \frac{\hbar\omega}{2}(\hat{p}^2 + \hat{q}^2) \]помоћу два jедно-димензиона оператора, импулса и положаjа:
\[ \hat{p} = \frac{\hat{p}_x}{\sqrt{m\omega \hbar}}, \quad \hat{x} = \frac{\hat{q}}{\sqrt{m\omega/\hbar}}. \]Дефинишимо и два не-Ермитска оператора:
\[ \hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{q} + i\hat{p}), \quad \hat{a}^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{q} - i\hat{p}), \]коjи ће се показати да представљаjу смањење и повећање индекса \( n \to n \mp 1\), односно операторе спуштања и подизања.
Пре свега, приметимо да је:
\[ \hat{a}^\dagger \hat{a} = \frac12(\hat{q} - i\hat{p})(\hat{q} + i\hat{p}) = \frac12(\hat{q}^2 + \hat{p}^2) + \frac{i}{2}[\hat{q}, \hat{p}], \]што због комутатора \( [\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar \) и Хамилтонијана даје:
\[ \hat{a}^\dagger \hat{a} = \frac12(\hat{q}^2 + \hat{p}^2) - \frac12, \] \[ \hat{H} = \hbar\omega(\hat{N} + \frac12), \quad \hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a}, \]где jе \(\hat{N}\) нови оператор, очигледно Ермитски, коjи називамо оператор броjа.
Приметимо да jе Ермитски оператор линеаран са оператором броjа те да они комутираjу. Зато они имаjу скуп заjедничких својствених стања, која означавајмо Дираковом нотациjом са \( |n\rangle \) и називајмо својственим стањима енергиjе, па имамо:
\[ \hat{N}|n\rangle = n|n\rangle, \quad \hat{H}|n\rangle = E_n |n\rangle. \]Из тога следи
\[ E_n = (n + \frac12)\omega\hbar, \]а то су горе наведени нивои енергије хармонијског осцилатора. У настави се рутински проверава да jе n ненегативан цели броj.
Leveling
Питање: Знам да је лако, али не иде ми. Можете ли ми показати како радите са „лествичиним операторима“?
Одговор: У реду, погледајте овај видео десно и још неки сличан, па покушајте проћи кроз вежбе редом доле наведене.
1. Комутатори ових оператора са Хамилтонијаном су:
\[ [\hat{a}, \hat{H}] = \hbar\omega\hat{a}, \quad [\hat{a}^\dagger, \hat{H}] = -\hbar\omega\hat{a}^\dagger. \]Отуда излази:
\[ \begin{cases} \hat{H}(\hat{a}|n\rangle) = (\hat{a}\hat{H} - \hbar\omega\hat{a})|n\rangle = (E_n - \hbar\omega)\hat{a}|n\rangle, \\ \hat{H}(\hat{a}^\dagger|n\rangle) = (\hat{a}^\dagger\hat{H} + \hbar\omega\hat{a}^\dagger)|n\rangle = (E_n + \hbar\omega)\hat{a}^\dagger|n\rangle. \end{cases} \]Према томе, \(\hat{a}|n\rangle\) и \(\hat{a}^\dagger|n\rangle\) су својствена стања оператора \(\hat{H}\) са својственим вредностима редом \(E_n + \hbar\omega\) и \(E_n - \hbar\omega\). У томе је смисао да операторе \(\hat{a}|n\rangle\) и \(\hat{a}^\dagger|n\rangle\) редом називамо операторима спуштања и подизања, једном речју лествичним операторима.
2. Комутатори оператора \(\hat{a}\) и \(\hat{a}^\dagger\) са оператором броjа су:
\[ [\hat{a}, \hat{N}] = \hat{a}, \quad [\hat{a}^\dagger, \hat{N}] = -\hat{a}^\dagger, \]па је \(\hat{N}\hat{a} = \hat{a}(\hat{N} - 1)\) и \(\hat{N}\hat{a}^\dagger = \hat{a}^\dagger(\hat{N} + 1)\). Затим добијамо:
\[ \begin{cases} \hat{N}\hat{a}|n\rangle = \hat{a}(\hat{N} - 1)|n\rangle = (n - 1)\hat{a}|n\rangle, \\ \hat{N}\hat{a}^\dagger|n\rangle = \hat{a}^\dagger(\hat{N} + 1)|n\rangle = (n + 1)\hat{a}^\dagger|n\rangle. \end{cases} \]Ове релациjе показуjу да су \(\hat{a}\) и \(\hat{a}^\dagger\) својствена стања \(\hat{N}\) са својственим вредностима (n − 1) и (n + 1) редом. Када \(\hat{a}\) и \(\hat{a}^\dagger\) делуjу на \(|n\rangle\) редом смањуjу и повећаваjу n за jединицу, тако да jе \(\hat{a}|n\rangle = c_n |n - 1\rangle\), где константе \(c_n\) тек треба одредити.
3. Одредимо константе \(c_n\) из захтева да стања \(|n\rangle\) буду нормирана. У том правцу, приметимо да из претходног следи:
\[ (\langle n|\hat{a}^\dagger)\cdot(\hat{a}|n\rangle) = \langle n|\hat{a}^\dagger\hat{a}|n\rangle = |c_n|^2 \langle n - 1 | n - 1\rangle = |c_n|^2, \] \[ (\langle n|\hat{a}^\dagger)\cdot(\hat{a}|n\rangle) = \langle n|\hat{a}^\dagger \hat{a}|n\rangle = n\langle n|n\rangle = n. \]Комбиновањем добијамо \(|c_n|^2 = n\). То значи да број n, који је једнак норми \(\hat{a}|n\rangle\), не може бити негативан. Смена даје \(\hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}|n - 1\rangle\).
4. У наставку лако је показати да \( \hat{a}^\dagger |n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle\), те да поновљена примена \(\hat{a}^\dagger\) на \(|n\rangle\) генерише бесконачан низ својствених вектора \(|n + 1\rangle\), \(|n+2\rangle\), \(|n+3\rangle\), ..., а како jе n позитиван цели броj, спектар енергиjе хармониjског осцилатора jе дискретан:
\[ E_n = \left(n + \frac12\right)\hbar\omega, \quad n = 0, 1, 2, ... \]а то је потврда претходно нађеног.
5. Лако је проверити:
\[ |n\rangle = \frac{1}{\sqrt{n}}\hat{a}^\dagger |n-1\rangle = \frac{1}{\sqrt{n(n-1)}}(\hat{a}^\dagger)^2|n-2\rangle = ... = \frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}^\dagger)^n|0\rangle. \]6. У координатној репрезентацији матрице лествиних оператора су:
\[ (\hat{a}) = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & ... \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & ... \\ ... \end{pmatrix}, \quad (\hat{a}^\dagger) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & ... \\ \sqrt{1} & 0 & 0 & ... \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & ... \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & ... \\ ... \end{pmatrix}. \]Они не комутирају са \(\hat{N}\), па им матрице нису дијагоналне.
7. Стања \(|n\rangle\) су удружена ортонормирана својствена стања оператора \(\hat{N}\) и \(\hat{H}\), и репрезентациjе ових оператора у тоj бази су бесконачне диjагоналне матрице:
\[ \hat{N} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & ... \\ 0 & 2 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 3 & ... \\ ... \end{pmatrix}, \quad \hat{H} = \frac{\hbar\omega}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & ... \\ 0 & 3 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 5 & ... \\ ... \end{pmatrix}. \]8. Из приложеног и на основу дефиниција:
\[ \hat{x} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat{a}^\dagger + \hat{a}), \quad \hat{p}_x = i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}(\hat{a}^\dagger - \hat{a}) \]саставите сами матрице положаја и импулса.
Delta
Питање: Шта је то Диракова делта функција и како се до ње долази?
Одговор: У теоријској физици, Диракова делта (δ) расподела, називана и јединични импулс, генерализована је функција над реалним бројевима вредности нула свуда осим на нули, а чији интеграл преко целе реалне праве је један.
Деловање оператора импулса \(\hat{p} = -i\hbar\frac{d}{dx}\) на таласну функцију \( \psi(x) \) је њен извод. Уметањем комплетног стања положаја пишемо:
\[ \hat{p}\psi(x) = \langle x|\hat{p}|\psi\rangle = \int\langle x|\hat{p}|x'\rangle \langle x'|\psi\rangle \ dx' = \int \langle x|\hat{p}|x'\rangle \psi(x')\ dx', \]па ако ставимо:
\[ \langle x|\hat{p}|x'\rangle = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\delta(x - x') = i\hbar \frac{\partial}{\partial x'}\delta(x - x'), \]онда можемо користити парцијалну интеграцију:
\[ \hat{p}\psi(x) = i\hbar\int\frac{\partial}{\partial x'}\delta(x-x')\psi(x')\ dx' = -i\hbar\int \delta(x-x') \frac{d\psi(x')}{dx'} \ dx' \]и добити коректно
\[ \hat{p}\psi(x) = -i\hbar \frac{d\psi(x)}{dx}.\]Наведени су линкови и најмање три начина објашњења Диракове делта функције, а потреби у физици за њом може се додати још један увид, са становишта теорије информације.
У претходним одговорима видели смо матричне интерпретације неких дискретних физичких величина (положаја, импулса, енергије) у стањима хармонијског осцилатора. Ту су рецимо и електрони са нивоима енергије у корацима (дискретним) по љускама атома, или ситуације апсорпције и емисије фотона из електрона и слично. Али, слободне честице-таласи ће бити у много већем броју стања, када са сабирања низова требамо прећи на интегрирање и на Диракову делта функцију.
За поједине честице садашњост „трепћући“ кроз време иде дискретно у опажањима (Ripples), али из њиховог мноштва то изводимо у Кошијев низ. Радимо са највише пребројивом бесконачношћу појединих исхода унутар континуума свих могућности. Прецизније, рекли бисмо, постоји ограничење физике на мерења и, стога, немогућност те „праве“ физике да прихвати појаве пре и између интеракција. Тада ускачу математичка физика и Диракова делта.
Angular
Питање: Вашим једноставним описима иначе тешких места квантне физике ... (хвали ме колега), можете ли додати и угловни моменат?
Одговор: Проблематику „угаоног момента“ решавао сам по књизи „Квантна Механика“ (1.4.10), али која је на жалост претешка широј публици, иначе опширна и затим недотерана и необјављена. Ипак је вреди читати, јер у препискама (и овде) не могу ићи у детаље.
Тежиште ове приче је, наравно, на проблемима информатичког и квантног аспекта, али свеједно погледајте и прилог у линку на слици десно. А квантни бројеви су други корак. Ево како.
Класични, тренутни ангуларни моменат \(\vec{L} = \vec{r}\times \vec{p}\) постаје операторски:
\[ \hat{L} = \hat{r} \times \hat{p} = -i\hbar(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}) \times \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right), \]одакле добијамо \( \hat{L}_z = -i\hbar\left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial z}\right) \) и циклично за остала два. Они су оператори са дискретним спектром својствених вредности \(\sqrt{j(j+1)}\), где је \( j = 0, \frac12, 1, \frac32, 2, ...\), а смисао ове обзервабле је површина, односно информација (Commutation) у равни окомитој овде на z-осу. Иначе су и пројекције ангуларног момента на дату (овде z) осу квантоване, а за дато j, вредности које могу узимати су \(m = -j, -j + 1, ..., j\).
Као и линијски, класични ови моменти могу узимати вредности реалних бројева без ограничења. Разлика микро и макро света у том питању ствар је закона великих бројева теорије вероватноће, а дискретност у квантном питање је информације (Packages). Томе кумује ограниченост обзервабли на реалне бројеве, као што смо видели, одлучно нам бранећи непосредан увид у континуум око нас.
Spin II
Питање: Спин је логичан наставак излагања о ангуларном моменту?
Одговор: Углавном, формално је спин важан део приче угловног импулса. На слици лево видимо начин мерења спина електрона. Пропушта се њихова зрака кроз магнет и бележи скретање горе или доле (± један z-осе).
Својствене вредности квадрата величине спина оператора су
\[ S^2 = s(s+1)\hbar^2, \]где је за електрон \(s = \frac12\), па је \( S^2 = \frac34\hbar^2\). Елементарне честице за које су ови \(s = \frac12, \frac32, ...\), називају се фермиони, а елементарне честице којима су ти бројеви \(s = 0, 1, 2, ...\) називају се бозони. Како су својствене вредности реалне ту је могућност мерења.
Према томе, основну матрицу спина електрона дефинишемо једнакошћу \(\hat{S}^2 = \frac34\hbar \hat{\sigma}^2\), са два базна вектора „горе“ и „доле“, \(\binom{1}{0}\) и \(\binom{0}{1}\), и матрицом \(\hat{\sigma}\) другог реда чији квадрат је јединична матрица, \(\hat{\sigma}^2 = \hat{I}\). Три су решења корени јединичне матрице другог реда, сем ње саме:
\[ \hat{\sigma}_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{\sigma}_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{\sigma}_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \]што је лако проверити квадрирањем. Зову се Паулијеве матрице.
Обзиром да су квадрати сваке од ових јединична матрица, свака има само по две својствене вредности ±1, па им налазимо својствене векторе:
\[ \vec{x}_\pm = \frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{\pm 1}, \quad \vec{y}_\pm = \frac{1}{\sqrt{2}}\binom{i}{\pm i}, \quad \vec{z}_\pm = \binom{1}{0}, \binom{0}{1}, \]што је такође лако проверити множењем. Спин је фундаменталан појам међу обзерваблама, јер за њега важи закон одржања и његове својствене вредности нису само наше фикције. Фундаментално је и наелектрисање, или енергија, маса, а заједничка им је мерљивост, перципирање.
Доследно начелној тежњи ка мањој информацији и скретању електрона при мерењу спина, могуће је говорити о мањку количине неизвесности који спин представља у магнетном пољу као узроку таквих кретања. Оно што спин представља је информација, шта год ми даље мислили о њему.
Quaternions
Питање: За шта сте употребљавали кватернионе?
Одговор: Кватернионе је нашао Хамилтон (1843) као методу за множење, делење, ротирање и истезање вектора. Појединачно они су различити имагинарни бројеви са лаким матричним репрезентацијама. Кватернион \(\hat{q} = i\hat{\sigma}\), где је \(i^2 = -1\), а сигма је Паулијева матрица. Тако имамо:
\[ \hat{q}_x = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{q}_y = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{q}_z = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & - i \end{pmatrix}. \]Ове сам детаљније излагао у Квантној Механици (1.2.4), али кватерниони се могу изводити и са квадратним матрицама вишег реда. Они се јављају као решења матричне једначине \( \hat{q}^2 = -\hat{I}\), дуално спин матрицама које су решења једначине \(\hat{\sigma}^2 = +\hat{I}\).
Због особине да му је квадрат негативна јединична матрица, кватернион има две својствене вредности \(\pm i\) и редом својствене векторе:
\[ \vec{x}_\pm = \frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{\pm 1}, \quad \vec{y}_\pm = \frac{1}{\sqrt{2}}\binom{i}{\pm i}, \quad \vec{z}_\pm = \binom{1}{0}, \binom{0}{1}. \]То су дакле они исти вектори (стања) као код спина. Међутим, њихове их имагинарне својствене вредности одвајају од процеса обзервабли. Отуда кватернионионима смисао временских димензија (Простор-Време, 1.4.3).
Претпоставка објективности случајности води до паралелних реалности (Dimensions) са онолико временских димензија колико има просторних. Тада се сама по себи јавља идеја кватерниона као носиоца, представника временских димензија.
Scopes
Питање: Шта је последица заједничких својствених вектора спина и кватерниона?
Одговор: Проблем је физике што је ограничена на исходе мерења, сматрам. Тај постаје наглашено видљив у информатичком увиду у реалност, када оно пре мерења са мереним постаје драматично различито.
У микро свету квантне физике имамо колапс суперпозиције у обзерваблу, налик претварању шест могућности исхода пре у један након бацања коцке. Сличан пример је прелазак кватерниона ка спинском процесу и обрнуто.
Скуп квантних честица је „стање“, а њихова промена је „процес“, што је интерпретација вектора и оператора који га пресликава. Због показане велике тачности у мерењима оваквих репрезентација и дуалне природе оператора и вектора, процесе сматрам стањима такође. Посебност им је апстрактност, али она не искључује њихову објективност, посебну врсту реалности, као претпоставку оној „стварној“, мерљивој.
Основна идеја матричне механике лежи у могућности писања било којег спинског стања електрона као линеарне комбинације двају измерљивих: горе и доле, u и v. Суперпозиција ових ψ = αu + βv, неизјашњено је стање пре мерења, где бројеви испред вектора дефинишу вероватноће |α|2 или |β|2 обзервабли. Они представљају шансе скретања електрона горе, или доле у датом мерењу. Базни вектори u и v су својствени, углавном \(\vec{z}_\pm\), а заједнички су спину и кватернионима.
Другим речима, формално не разликујемо спинску од кватернионске репрезентације стања ψ, али прву можемо док другу не можемо мерити. Отуда ми закључак да ова друга представља исто, али је у зони са којом не комуницирамо, са којом наша апаратура не интерагује, односно која буде у „паралелној реалности“. Надовезивањем кватернионског процеса, \(\hat{q}^2 = -\hat{I}\), \(\hat{q}^3 = -\hat{q}\), \(\hat{q}^4 = \hat{I}\), ..., у четворотактном ходу смењују се мерљива са немерљивим стањима (множимо ове стањем ψ).
У разним приликама овакве појаве препознајемо као „заобилажења“ реалности (Bypass), иначе карактеристичне за (моју) интерпретацију теорије информације.
Uniqueness
Питање: Различити вектори представљају различита стања, слажем се, али зар то није превише апсолутно становиште у свету информација где перцепције дефинишу све?
Одговор: Разумео сам питање, надам се. Оно што вас мучи је јединственост перцепција код сваког од субјеката опажања у случају произвољог фиксног објекта и обрнуто. Потврдан одговор долази нам од једне иначе добро познате теореме функционела (Dual Space).
Ако је \(f : X \to \Phi\) функционела на n-димензионалном векторском простору \(X\), онда постоји један и само један вектор \(y \in X\) такав да је \(f(x) = \langle x | y\rangle\) за све \(x \in X\).
Једнозначност вектора \(y\) је очигледна, јер за \(f(x) = \langle x|y\rangle = \langle x|z\rangle\) за све \(x \in X\) повлачи \(\langle x | y - z\rangle = 0 \) за све \(x \in X\), па онда и за \(x = y - z\) што даје \(|y - z| = 0\), тј. \(y = z\). Постоји и доказ егзистенције функционеле \(f(x)\) у облику \(\langle x|y\rangle\), али тренутно није битан (Ортогоналност, 22. став).
Дакле, не постоје два вектора \( y = (\eta_1, ..., \eta_n)\) и \(z = (\zeta_1, ..., \zeta_n)\), објекта или стања, које би субјекат \(x = (\xi_1, ..., \xi_n)\) могао дефинисати једнаким информацијама перцепције \(\xi_1\eta_1 + ... + \xi_n\eta_n\) и \(\xi_1\zeta_1 + ... + \xi_n\zeta_n\). Ове две за исто x, а различите y и z, једног векторског простора, биће две различите функционеле \(f_y(x) = \langle x|y\rangle\) и \(f_z(x) = \langle x|z\rangle\), различите појаве. Исто је и обрнуто, што можемо добити променом редоследа множења.
Ово питање извукао сам из контекста приче о „близанцима“. Немогуће је постојање таквог субјеката датог простора стања (стварности) које би два различита објекта опажања једнако дефинисала. Важи и обрнуто, да није могуће имати такав објекат исте стварности којег би различити субјекти опажали потпуно једнако.
Онај други део теореме (неисказаног доказа) утврђује да за сваки субјект постоји неки објект дате стварности који га (јединствено) дефинише, на начин информације перцепције.
Self-adjoint
Питање: Шта су и шта нису Ермитске (Hermitian) матрице?
Одговор: Ермитска матрица (самоадјунгована) је квадратна матрица комплексних чланова која је једнака својој конјуговано транспонованој матрици. Њен је елеменат r-тог ретка (врсте) и k-те колоне једнак комплексно конјугованом елементу k-тог ретка и r-те колоне, за све индексе r и k. Коњуговану и транспоновану матрицу \(\hat{A}\) означавамо са \(\hat{A}^\dagger = (\hat{A}^*)^\tau = (\hat{A}^\tau)^*\), или са \(\hat{A}^H\).
У наставку, због једноставности, матрице пишем без капица, а векторе без стрелица, осим када би то довело до забуне.
1. Ако је \(A = (\alpha_{rk})\) Ермитска матрица, тада је \(\alpha^*_{rk} = \alpha_{kr}\) за сваки пар индекса, што за дијагоналне елементе значи \(\alpha^*_{kk} = \alpha_{kk}\), дакле, да су реални бројеви.
2. Дупла стохастичка матрица је Ермитска, за разлику од обичне стохастичке. Њихови сви коефицијенти су ненегативни бројеви, а збирови сваког ретка и сваке колоне дупле износе тачно један, док обична има јединичне збирове редова, или колона, али не обоје.
3. Елементи стохастичке матрице условне су вероватноће. Као канал она преноси поруке које су расподеле вероватноћа \( p = (p_1, ..., p_n)\). Елементи поруке, коефицијенти вектора, су ненегативни (реални) бројеви збира један. Када је \(\alpha_{rk}\) вероватноћа да се k-сигнал поруке преноси као r-ти, ретци ће такође бити неке (различите) расподеле. Тада \( q = A p \) значи излазну расподелу контра варијантно писану.
Транспоновањем, од стохастичке матрице редака добијамо стохастичку матрицу колона, вектори колоне биће вектори редци, па исту једначину пишемо коваријантно \( q^\tau = p^\tau A^\tau \). Када није симетрична, стохастичка матрица није Ермитска.
4. Нека је \(m_r\) најмањи, а \(M_r\) највећи члан r-тог ретка неке стохастичке матрице редака, тада, због неједнакости:
\[ m_r \le q_r = \sum_{k=1}^n \alpha_{rk}p_k \le M_r \]биће расподела \( q = A p \) сужена када год је \(m_r \ne 0\) или \(M_r \ne 1\). Пролазом поруке кроз више канала рашће сметња и порука ће се уједначавати, ако та матрица има више ненултих чланова. То је смисао ергодичке теореме.
Дакле, и када нису Ермитске, стохастичке матрице имаће реалне обоје, и својствене вредности и својствене векторе. Први су 1, а други униформне расподеле. Све већим степеновањем \( A^n\) тежимо „црној кутији“, матрици која сваки улаз претвара у својствени.
5. Реалне матрице, са реалним коефицијентима, могу имати комплексне својствене вредности и векторе. Такве су, на пример, ротације. Међутим, реална матрица са реалном својственом вредношћу имаће одговарајући бар један реалан својствени вектор.
Наиме, из \( A x = \lambda x \) следи \( A^* x^* = \lambda^* x^* \), па \( A x^* = \lambda x^* \). Отуда сабирањем \( A(x + x^*) = \lambda (x + x^*) \). Збир коњуговано комплексних бројева је реалан, а овај је и својствени вектор.
Када је реална матрица непарног реда, њен карактеристични полином је непарног степена и имаће бар један реалан корен. То значи, матрица ће имати бар једну реалну својствену вредност и бар један њој одговарајући реалан својствени вектор.
6. Реална симетрична матрица је Ермитска. Њеним деловањем на који год од два вектора, њихов скаларни производ остаје исти. Својствене су јој вредности реалне, а својствени вектори ортогонални. Ево доказа.
Наиме, \(\langle Ax|y\rangle = \langle x | A^\dagger y\rangle = \langle x|Ay\rangle\), односно \((Ax)\cdot y = x\cdot(Ay)\). Даље, из \(Ax = \lambda x\) и \( x \ne 0\) следи \(Ax^* = \lambda^* x^*\) и \(x^\dagger A = \lambda^* x^\dagger\), па множећи ову са \(x\) налазимо \(\lambda^* x^\dagger \cdot x = x^\dagger \cdot Ax = x^\dagger \cdot \lambda x = \lambda x^\dagger \cdot x\), а због \(x^\dagger\cdot x > 0\), биће \(\lambda^* = \lambda\), што значи да је \(\lambda\) реалан број.
За доказ ортогоналности својствених вектора \(x_1, x_2\) одговарајућим различитим својственим вредностима \(\lambda_1, \lambda_2\), израчунавамо:
\[ \lambda_1 x_1^\dagger \cdot x_2 = x_1^\dagger \cdot A^\dagger x_2 = x_1^\dagger \cdot Ax_2 = \lambda_2 x_1 \cdot x_2 \] \[ (\lambda_1 - \lambda_2)x_1^\dagger\cdot x_2 = 0, \]а отуда \(x_1^\dagger \cdot x_2 = 0\), што значи \(x_1 \perp x_2\), ортогоналност вектора.
7. Ермитска матрица има реалне својствене вредности и ортогоналне својствене векторе. Опет имамо \(Ax = \lambda x\) и \(x \ne 0\), али коефицијенти матрице су комплексни бројеви за које важи \(\alpha^*_{rk} = \alpha_{kr}\). Даље је:
\[ x^\dagger\cdot Ax = x^\dagger \cdot \lambda x = \lambda (x^\dagger \cdot x) = \lambda \|x\|^2, \] \[ x^\dagger \cdot Ax = (Ax)^\dagger\cdot x = \lambda^*x^\dagger \cdot x = \lambda^*\|x\|^2, \]а отуда \(\lambda^* = \lambda\), што значи да је својствена вредност \(\lambda\) реалан број.
Нека је \(Ax_k = \lambda_kx_k\) за k = 1, 2, па у случају \(\lambda_1 \ne \lambda_2\) докажимо да су својствени вектори \(x_1, x_2\) ортогонални:
\[ (Ax_k)^\dagger = x_k^\dagger A^\dagger = \lambda_k x_k^\dagger = x_k^\dagger A, \quad k = 1, 2. \]Како је \(x_1^\dagger\cdot Ax_2 = x_1^\dagger \cdot \lambda_2x_2 = \lambda_2(x_1^\dagger\cdot x_2)\) скалар, то је даље:
\[ \lambda_2(x_1^\dagger \cdot x_2) = (x_1^\dagger \cdot Ax_2)^\dagger = x_2^\dagger\cdot Ax_1 = x_2^\dagger \cdot \lambda_1x_1 = \lambda_1(x_2^\dagger\cdot x_1), \]а отуда:
\[ \lambda_1(x_1^\dagger\cdot x_2) = \lambda_2(x_2^\dagger\cdot x_1), \] \[ (\lambda_1 - \lambda_2)\langle x_1 | x_2\rangle = 0, \]па је \(x_1\cdot x_2 = 0\), јер је \(\lambda_1 - \lambda_2 \ne 0\).
|
|
|