May 2023 (English ≽)

Euclidean

Питање: Како је могуће да различити догађаји на различитим местима буду истовремени, када чак и светлости треба неко време да стигне од једног до другог (Entanglement)?

Одговор: Подсетимо се прво 3-Д Питагорине теореме, затим 4-Д, па ће одговор на питање добрим делом доћи сам по себи.

Десна слика приказује квадар. То је правилна 4-страна призма која има 8 темена са по три узајамно окомите ивице и омотач од шест правоугаоника, од којих су свака два супротна подударна.

У доњем правоугаонику ABCD квадрат дијагонале BD² = AB² + AD², или што је исто w² = x² + y², према ознакама на слици. Правоугаоник BB'D'D има квадрат дијагонале l² = w² + z², па је исти l² = x² + y² + z², изражен помоћу ивица квадра. То је 3-Д Питагорина теорема.

Замислимо сада исти квадар у временском току t и светлост која прелази пут l брзином c. Низ положаја светлости на том путу дефинише један 4-Д простор-време Минковског, апстрактни простор догађаја, односно низа догађања светлости. Фотон који таласа, да не кажем кликће на путу DB' ван временска је честица, за њега самога време стоји.

Зато додефинишемо и 4-Д Питагорину теорему s² = x² + y² + z² - (ct)², интервалом нулте дужине (s = 0) ако говоримо о поменутом фотону на његовом путу. Затим посматрамо мале парчиће таквих путева:

Δs² = Δx² + Δy² + Δz² - (cΔt)²,
ds² = dx² + dy² + dz² - (cdt)²

а испод су и мањи, инфинитезимални путеви. То је „интервал“ догађаја специјалне теорије релативности.

Догађај на месту D у тренутку t = 0 налази се на „истој позицији“ као и догађај B у тренутку t = l/c. Њихова удаљеност мерена релативистичким интервалима је нула (s = 0). Слично су и догађаји у местима A и C' нулте удаљености, или D' и B, односно A' и C.

Слажем се да би то било (математички) неприхватљиво када светлост не бисмо сматрали ванвременском и уједно време њеног путовања разумели релативно, додато од стране посматрача, односно као његов доживљај.

Pseudo Euclid

Питање: Добро, нека буде ок за одговор, али преформулисати ћу прво питање у: како је могуће да „псеудо сфера“ виртуелних фотона буде све већа, а истовремена (Entanglement)?

Одговор: Не можемо бити сигурни да су два фотона која би нама на први поглед истовремено кренула и стигла путујући дужинама дијагонала DB' и AC' квадра на слици из претходног одговора, јер током времена Δt = l/c, њиховог путовања са тачке гледишта једног, догађаји нису истовремени за многе друге посматраче у истом 4-дим простор-времену Минковског.

Међутим, математички је замисливо окомито „време“ на 3-дим физички простор, а можда су такве димензије и стварне, у којем је сав тај простор „истовремен“. Он је зато и логичан, непротивречан, јер постоје алгебре таквих векторских простора и отуда нам право и обавеза да га озбиљно разматрамо и у домену физике. Што се тиче теорије вероватноће, или информације, то више није спорна територија.

Могуће је конструисати, назовимо их временске димензије, које би биле ортогоналне на физичко 4-дим простор-време. Оне би биле независне од различитих посматрача нашег континуума а, као и линеарна независност вектора, задржавале би својство „истовремености“ у односу на било којег од њих. Такве би „псеудо сфере“ заиста биле „виртуелне“ (попут фотона Фајнманових дијаграма) ширећи се из једног набоја (електрона) све док се не деси евентуална интеракција са другим.

На тај начин можемо разумети и квантну спрегнутост поменутог питања, односно „фантомско деловање на даљину“ — које је тренутно у односу на било којег посматрача, а уједно је без преноса информације.

Vectors

Питање: Кажете „вектори“, какве везе имају они са „геометријом димензија“?

Одговор: Векторски простори су пример и демонстрација логичке могућности више димензија. Око нас су скоро свуда у применама.

У школи векторе прво учимо као „орјентисане дужи“. На слици десно их видимо као „стрелице“ које представљају исти вектор када имају једнак правац (паралелне су), смер (једнаку окренутост, лево-десно, или горе-доле) и интензитет (исте су дужине). Тако да их можемо паралелно померати (транслирати) и сабирати надовезивањем.

Када би у заједничком исходишту вектора a и b на слици био стуб који може да мери правац, смер и интензитет силе која на њега делује, а ови вектори интерпретирали те силе, онда би здружено деловање два вектора резултирало вектором дијагонале приказаног паралелограма. Често због тога кажемо да се вектори сабирају по „паралелограму сила“.

Међутим, вектори a и b могу представљати и (правац, смер, интензитет) брзине, рецимо мирне реке у односу на обалу и чамца у односу на воду реке. Резултанта a + b тада представља вектор брзине чамца у односу на обалу. Приметимо да за векторе важи закон комутације (a + b = b + a), што се чини битнијем за сабирање ових брзина него претходних сила. А за три вектора важи и закон асоцијације, (a + b) + c = a + (b + c), што је лако проверити одговарајућом сликом у случају орјентисаних дужи.

Продужавање вектора истим представља множење целим бројем, а онда је пропорционално повећање односно смањење вектора његово множење реалним бројем већим или мањим од један. Множење негативним бројем значи и промену смера вектора. Врсту бројева за множење датих вектора можемо бирати, а када то једном учинимо бројеве називамо скаларима.

Скалари морају чинити математичку структуру коју називамо „телом“ (нем. Körper) по немачком математичару Дедекинду који је ту структуру први описивао, или „пољем“, а коју има рецимо скуп реалних бројева ℝ, или комплексних бројева ℂ, да би у случају баш таквог избора векторски простор називали реалним или комплексним. Често се дати векторски простор и њему придружено тело скалара посебно означавају, рецимо словима X и Φ.

Тиме се поједностављује писање (само) четири аксиоме које дефинишу векторски простор:

1. α(x + y) = αx + αy,
2. (α + β)x = αx + βx,
3. α(βx) = (αβ)x,
4. 1⋅x = x,

где су произвољани скалари α, β ∈ Φ и вектори x, y ∈ X, као и записивање разних последица.

Користећи ове аксиоме, лако се доказује да тачке Декартовог правоуглог система координата Oxyz можемо представљати као векторе. На пример тачку A(a_x, a_y, a_z) као орјентисану дуж са исходиштем у O и врхом у A, па и као вектор a = (a_x, a_y, a_z). Затим и уопште уређене низове, налик овим координатама, можемо посматрати као векторе. Број узајамно окомитих координатних оса Декартовог система зовемо бројем димензија, којему одговарају дужине низова, односно број компоненти припадних вектора.

Постоји изоморфизам, или обострано једнозначно пресликавање између објеката класичне и аналитичке геометрије заједно са особинама, а отуда и појма „векторских димензија“ у „геометријске димензије“. Прецизније речено, изоморфизам је пресликавање заједничке структуре између две математичке форме истог типа које би се могло преокренути инверзним пресликавањем. Само корак даље је примена ових простора у физици.

Examples

Питање: Шта све могу бити вектори?

Одговор: На слици лево је вектор a = (x, y, z), или орјентисана дуж из тачке O до тачке A = (x, y, z) система три координате. Збир два таква је:

a₁ + a₂ =
= (x₁, y₁, z₁) + (x₂, y₂, z₂)
= (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)
= (x, y, z) = a,

где се сабирају компоненте:
x = x₁ + x₂, y = y₁ + y₂, z = z₁ + z₂.

Међутим, сами реални бројеви такође су вектори са скаларима по жељи. Такође и комплексни бројеви. Уређени низови са по n + 1 коефицијената a = (a₀, a₁, ..., a_n) полинома f(x) = a₀ + a₁x + ... + a_nxⁿ датог n-тог степена чине n + 1 димензионални векторски простор. Векторски простор C(α, β) је тако и скуп свих реалних на сегменту [α, β] непрекидних функција, где λx (за реални параметар λ) представља функцију y(t) = λx(t), док z = x + y значи z(t) = x(t) + y(t).

Решења диференцијалне једначине p₀(t)y⁽ⁿ⁾ + p₁(t)y^(n-1) + ... + p_n(t)y = 0 чине векторски простор, са уобичајеним сабирањем и множењем. Скуп решења u = u(x, y) једначине титрања жице a²∂²u/∂x² = ∂²u/∂y², такође са уобичајеним сабирањем и множењем, биће векторски простор. Према томе, таласи се понашају као вектори, интерференција амплитуде таласа сабира као векторе.

Решења Шредингерове једначине (парцијалне диференцијалне другог реда) такође чине векторски простор. То је простор таласних функција чије су физикалне репрезентације квантна стања. Међутим и линеарни оператори, чије репрезентације су процеси који делују на квантна стања, врста су векторских простора. Постоји нарочита веза између процеса (оператора) и стања (вектора) на које они делују, па кажемо да су први (векторски простори оператора) дуални овим другима.

Ово су познати примери алгебре векторских простора, поред многих других, и нема потребе овде понављати њихове поједине доказе које можете налазити на редовној настави математике тог нивоа.

Детаље о њима, наравно, наћи ћете у линеарној алгебри (Вектори).

Dot Product

Питање: Моћно изгледају ти вектори, али какве везе они имају са „информацијом перцепције“?

Одговор: Посматрајмо Декартов 2Д правоугли систем координата Oxy на слици десно и у њему два вектора a = (a_x, a_y) и b = (b_x, b_y) који разапињу угао ∠AOB = φ.

Пројекција вектора b на вектор a, B --> B', износи OB' = b⋅cos φ, а обрнута, пројекција вектора a на вектор b била би a⋅cos φ, где су
a = |a| и b = |b| интензитети.

Скларни производ два вектора дефинише се као производ пројекције првог на други и интензитета другог (свеједно је обрнуто) са:

a⋅b = ab⋅cos φ = a_xb_x + a_yb_y.

Друга једнакост произилази из разматрања окомитих вектора. Наиме, нека су e_x, e_y јединични вектори координатних оса, тзв. ортови. Тада је e_x⋅e_x = 1⋅1⋅cos 0^o = 1, e_x⋅e_y = 1⋅1⋅cos 90^o = 0, e_y⋅e_y = 1, e_y⋅e_x = 0. Међутим:

a = a_xe_x + a_ye_y,   b = b_xe_x + b_ye_y,
a⋅b = (a_xe_x + a_ye_y)⋅(b_xe_x + b_ye_y) = a_xb_x + a_yb_y.

Доследно томе, множећи векторе саме са собом налазимо интензитете:

a = |a| = √(a_x² + a_y²),     b = |b| = √(b_x² + b_y²).

Како кажете „моћни вектори“ сада дају „моћно множење“ које ће векторе претварати у скаларе и у правим репрезентацијама давати „информацију перцепције“.

На пример, смањивањем угла φ вектори се приближавају, издужује се пројекција првог на други и њихов (скаларни) производ постаје већи. А добром интерпретацијом оно постаје тумачење „адаптације“, узајамног прилагођавања субјеката опажања, које попут тражења „кључа за браву“ постаје пут у „емергенцију“. Тим формализмом заправо објаснишмо део спонтаних процеса смањивања укупне информације јединке.

Inner Product

Питање: Неки скаларни производи (Dot Product) нису информација перцепције, кажете, а опет како то ако је та информација „структура ствета“?

Одговор: Многе интерпретације информације перцепције веома су нам неочигледне. Привидно их нема и то тако да ова теорија није била видљива пре механике Архимеда, нити у моћи тимског рада, или снази емоција. Али у корену таквих појава су заправо њене законитости, информације перцепције.

Друго, на слици лево види се на Веновом дијаграму математика коју овде препричавам. Њен мали део је „унутрашњи производ простора“ са множењима x⋅y = ❬x, y❭. Шира теорија од те је „нормираних простора“ ∥x∥ = √❬x, x❭, а нормом дефинишемо метрику d(x,y) = ∥x - y∥, међутим не и дискретну или неке друге егзотичне. Заправо, постоје и разлике између „скаларних простора“ (простора унутрашњих производа) код различитих аутора, који постају стандарди, али се овде нећемо бавити тим детаљима.

„Векторски“ и „метрички“ простори разликују се такође у детаљима и зато су инклузије са дијаграма тачне. Међутим, постоје и други оквири, рецимо тополошких простора који су без метрике уопште. Облици, или графови, на пример, математичке су форме које појмовно нису величине, количине. Међутим, све оне неке су информације.

„Унитарни простор“ је векторски простор X над пољем Φ реалних ℝ или комплексних бројева ℂ, на коме је дат унутрашњи (скаларни) производ вектора који задовољава следеће аксиоме за све векторе x, y, z ∈ X и све скаларе λ ∈ Φ:

1. ❬x, y❭ = ❬y, x❭^*
2. ❬λx, y❭ = λ❬x, y❭
3. ❬x + y, z❭ = ❬x, z❭ + ❬y, z❭
4. ако x ≠ 0, онда ❬x, x❭ > 0,

где је z^* = a - ib коњуговано комплексан броју z = a + ib ∈ ℂ, за a, b ∈ ℝ и имагинарну једининцу i² = -1. Приметимо да је производ ❬x, y❭ ∈ Φ, дакле уопште комплексан број, у комплексном простору. Четврта аксиома каже да је скаларни квадрат ненултог вектора позитиван реалан број. Реалан унитаран простор називамо и еуклидским векторским простором.

Због 2. и 3. аксиоме производ ❬x, y❭ је линеарни функционал по првом аргументу, ❬αx + βy, z❭ = α❬x, z❭ + β❬y, z❭, а антилинеаран функционал по другом аргументу, ❬z, αx + βy❭ = ❬αx + βy, z❭^* = α^*❬z, x❭ + β^*❬z, y❭.

На пример, векторски простор са „обичним“ скаларним производом (Dot Product) врста је унитарних простора. Наиме, ако је X простор усмерених дужи 3-дим, на начин како смо то демонстрирали у 2-дим, у правоуглом координатном систему Oxyz за векторе a = (a_x, a_y, a_z) и b = (b_x, b_y, b_z) добијамо a⋅b = a_xb_x + b_yb_y + a_zb_z. Уопште, аналогно ће n-дим векторски простор X орјентисаних дужи бити реални унитарни са унутрашњим производом ❬a, b❭ = ∑_k a_kb_k где се сабира по свим k = 1, 2, ..., n.

Теорија унитарних простора била ми је оквирна за књигу „Информација Перцепције“, а други оквир била је у физици позната примена излагана књигом „Квантна Механика“. Међутим, пуно тога остало је недореченог, како тад тако и сад.

Operators

Питање: Оператори су вектори?

Одговор: Да, очигледно је да за линеарне операторе важе четири аксиоме векторских простора (Vectors). Иначе они су функције, пресликавања која за све векторе на које делују и њима припадне скаларе одржавају хомогеност и адитивност, редом A(λx) = λA(x) и A(x + y) = A(x) + A(y). Укратко, те се особине називају линеарност коју дефинише A(αx + βy) = αA(x) + βA(y), за свако α, β ∈ Φ и x, y ∈ X.

Ова универзалност оператора и вектора њиховог домена дозвољава нам да користимо сличне ознаке за обе, осим у посебним потребама које ће бити посебно наглашене. Посебан случај је, рецимо, производ ❬x, y❭ као линеарни оператор по првом аргументу, који потврђује 2. и 3. аксиома унитарних простора (Inner Product).

Импликација ове истоврсности је исти третман „процеса“ као и „стања“ већ препознат у квантној механици и типичан за „теорију информације“ (моју, незваничну). Зато, након доказа бар шест димензија васионе, те смештања у њих вектора облика x = (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆), где је x_k = i_kct_k, при чему су имагинарне јединице (i_k² = -1) дефинисане кватернионима и могу бити међусобно различите, а c је брзина светлости у вакууму. Такав је кватернион q = iσ, где је σ Паулијева матрица (Квантна Механика).

Занимљивост ове идеје је да од шест координата васионе можемо узети било које четири од којих ћемо три сматрати просторним, r = (x, y, z), а четврту временском ict. То је за сада наравно само теорија, али која је на нивоу унитарних простора логички неспорна. Шта год, унифицираност стања и промена значиће неодвојивост појмова простор и време, ма како се физика даље развијала.

Invariant

Питање: Шта се догађа у косоуглим системима координата?

Одговор: Нека је φ = ∠xOy угао између апсцисе и ординате (Ox, Oy-осе редом), на слици лево, а угао између апсцисе и вектора a тачке A је α = ∠xOA. Користићу скрипту „Прилози II“, и наслов „Коси систем“ у „15. Варијантни вектори“, овде укратко.

Ако су e_x и e_y јединични вектори ових оса, онда вектор дате тачке A(x, y) пишемо a = xe_x + ye_y. Ово су „коваријантне“ координате. А када исту тачку пишемо окомитим пројекцијама на дате осе A = A'(x', y'), онда радимо са „контраваријантним“ координатама. Међутим, углавном коваријантне и контраваријантне координате означавамо спуштеним и подигнутим индексима, на пример A(a₁, a₂) и A'(a¹, a²). Када радимо са матрицама, коваријантне су врсте (реци, редови), а контраваријантне су колоне (ступци, стубови).

Косинусна теорема даје a² = x² + y² + 2xy cos φ, за удаљеност тачке од исходишта у коваријантним ознакама на слици, где a = OA = |a| = ∥a∥ зависно од начина означавања дужине. Обзиром на трансформације ових координата:

x' = x + y cos φ,   x = (x' - y' cos φ)/sin²φ
y' = x cos φ + y,   y = (-x' cos φ + y')/sin²φ

квадрат исте дужине неће бити једнако записан и у контраваријатним координатама. Али може се доказати a² = xx' + yy', што је у поменутој скрипти опширно елаборирано у 2-Д системима координата.

Штавише, након ротације за угао θ датог косоуглог система координата око његовог исходишта мењају се износи ових координата, али квадрат удаљености остаје исте форме (a² = xx' + yy'). Остаје исти смисао контра односно ко-варијантности, јер је ротација изометријска трансформација (не мења удаљености између тачака), тако да је и удаљеност тачке A од исходишта O непромењена. Детаљи су у прилогу.

Дакле, у косоуглим системима координата догађају се „инваријантности“ записивања удаљености скаларних производа ко и контра-варијантних координата. Уопште у n-димензионалном косоуглом систему координата исту тачку пишемо ко и контра-варијантно:

A = (a₁, a₂, ..., a_n) = (a¹, a², ..., aⁿ)
OA² = a² = a₁a¹ + a₂a² + ... + a_naⁿ.

Ово сазнање даје додатни смисао и „информацији перцепције“. Наиме, ако су фактори у сабирцима ових „перцепција“ ко и контра-варијантне координате, онда оне изражавају неке њима инхеренте и непромењиве особине. То су својства „самоспрегнутости“.

Basis

Питање: Како матрица представља линеарни оператор?

Одговор: То је једно елементарно питање. Тада је важан избор базе као и начин деловања оператора на базне векторе. Радимо сада са регуларним трансформацијама n димензионалних простора, а што значи да низ e₁, ..., e_n првих иде у низ e'₁, ..., e'_n вектора друге базе истог простора. На слици лево је општа матрична репрезентација пресликавања A : v --> u неког 3-дим простора.

1. Базни вектори нису обавезно узајамно окомити, али су за сваку од база узајамно независни, обично их сводимо на јединичне и узимамо довољно за представљање било којег од вектора датог простора. Тако да је

v_k = b_k1e₁ + b_k2e₂ + b_k3e₃ = ∑_l b_kle_l,

редом за индексе k, l = 1, 2, 3 вектора са слике. Тада је:

u_j = a_j1v₁ + a_j2v₂ + a_j3v₃ = ∑_k a_jkv_k = ∑_kl a_jkb_kle_l.

Када су индекси j, k, l = 1, 2, ... n исто важи. Тај нам збир говори све битно о матричним репрезентацијама линеарних оператора. Сами допишите и матричну једначину e' = Be која трансформише базе и додатно покушајте разумети начине множења вектора матрицом, као и матрице матрицом. Ово потоње рецимо из записа u = ABe.

2. Наставак приче су својствене вредности (λ) и одговарајући својствени вектори (x) линеарног оператора (A), такви да је:

Ax = λx,
(A - λI)x = 0,
det(A - λI) = 0,
λⁿ + p₁λ^n-1 + ... + λp_n-1 + p_n = 0.

Ово је полиномска једначина n-тог степена по λ, непознатој својственој вредности, са решењима λ₁, ..., λ_n. Потсећам, претпостављен је регуларан оператор, па је матрица инвертибила, а ова решења су различита. Свака од својствених вредности (λ_k) даће својствени вектор (x_k) који задовољава почетну карактеристичну једнакост (Ax_k = λ_kx_k).

3. Слика представља симетричну матрицу трећег реда (3×3) са три својствене вредности λ_k ∈ {3, 6, 7} и њима припадним векторима x_k. Генерално, за било коју матрицу, сопствени вектори нису обавезно ортогонални. Али, симетричним матрицама сопствене вредности су увек реалне и одговарајући сопствени вектори узајамно окомити, тј. скаларни производи различитих су нуле (x_j⋅x_k = 0, ако j ≠ k).

Покушајмо то разумети помоћу варијантности вектора (Invariant). Када је матрица симетрична, једнака је себи транспонованој (колоне замењене врстама), па коваријантно множење слева те матрице даје исти резултат као контраваријанто множење сдесна, а оба резултирају инваријантним квадратом интензитета, реалним бројем.

Својствени вектори придружени различитим својственим вредностима линеарно су независни, па такви чине колоне матрица које разапињу дати простор. Посебно из Ax'₁ = λ₁x'₁ и x₂A = λ₂x₂ са различитим ламбда, множењем једначина добијамо λ₁x₂x'₁ = λ₂x'₁x₂, што код симетричних матрица значи једнакост производа ових вектора. То је онда могуће само ако је производ вектора нула, дакле када су они узајамно окомити.

4. Једноставније од овога писао сам раније о својственим вредностима (Eigenvalue), а сада је прилика да тим објашњењима додам и понешто о симетричној матрици. У линеарној алгебри, реална симетрична матрица представља самопридружени оператор представљен у ортонормираној бази над реалним унутрашњим (скаларним) производом простора. За комплексан простор одговарајућа је Ермитова матрица која је једнака њеној коњугованој транспонованој, а тада је контраваријантни вектор транспонован и коњугован коваријантни.

5. У преносу информација, симетричност (a_jk = a_kj) матрице A канала има значење једнаке условне вероватноће преноса j-тог у k-ти сигнал као и обрнутог k --> j, сваког пара (j, k). Зато и степеновањем такве матрице Aⁿ, када експонент n = 1, 2, 3, ... расте, симетричност остаје, остају исти својствени вектори расподела (независних, комплетних исхода) тада све равномернијих вероватноћа, те реалне својствене вредности.

Можда можете интуитивно разумети и даље, без доказа израчунавањем, да производ две симетричне матрице (композиција канала) неће бивати симетрична матрица у случају некомутативности и тада неодређености.

Питање: Можете ли ми појаснити (1), координате вектора у различитим базама?

Одговор: У произвољним базама e = (e₁, ..., e_n) и e' = (e'₁, ..., e'_n) се вектор x = (ξ₁, ..., ξ_n) = (ξ'₁, ..., ξ'_n) може се писати као збир x = ∑_k ξ_ke_k = ∑_j ξ'_je'_j. Нека је дат линеарни оператор A који прву базу пресликава у другу, тако да e'_k = Ae_k = ∑_j a_jke_j, редом за k = 1, 2, ..., n. Тада је:

∑_j ξ_je_j = ∑_k ξ'_ke'_k = ∑_k ξ'_k ∑_j a_jke_j,
∑_j(ξ_j - ∑_k a_jkξ'_k)e_j = 0,
ξ_j = ∑_k a_jkξ'_k.

Означимо ли са x(e) матрицу вектора x у бази e и са x(e') матрицу истог вектора у бази e', а са A(e) = (a_ij) матрицу оператора A у бази e, тада:

x(e) = A(e)x(e'),
x(e') =[A(e)]^-1x(e).

Дакле, имамо оператор A : e --> e' и његову инверзну матрицу која старе координате преводи у нове A^-1 : x(e) --> x(e').

Нека је B : e' --> e'' оператор који преводи даље, другу у трећу базу, онда је x(e) = A(e)B(e')x(e''), а оператор C = BA преводи базу (e) непосредно у базу (e''), те је:

x(e) = C(e)x(e''),
[C(e) - A(e)B(e')]x(e'') = 0,
C(e) = A(e)B(e').

Матрице оператора множе се у супротном поретку од оператора и узете су у различитим базама.

6. У основи ових доказа је линеарна независност вектора. За два или више вектора {x₁, ..., x_n} каже се да су „линеарно независни“ ако било који од њих није могуће писати као линеарну комбинацију осталих, тј. када из α₁x₁ + ... + α_nx_n = 0 нужно следи α₁ = ... = α_n = 0. Базни вектори линеарно су независни, а регуларност оператора (матрица) значи пре свега да такве преводе опет у неке такве, а затим да из других можемо извести прве.

Постојање линеарно независних вектора у „теорији информације“ биће оправдање (хипо)тезе да постоје одговарајућа независна стања. Да није „све зависно од свега“ како се колоквијално обично мисли, затим следи да постоје „објективне неизвесности“, па до охрабривања да постоје и „објективне случајности“.

Hermitian

Питање: Које операторе користи квантна механика?

Одговор: Стандардна квантна механика користи eрмитске (линеарне, комплексног тела скалара) операторе, реалних својствених вредности, скупа ортонормираних својствених вектора потпуног скупа. На слици десно је пример једне Ермитске матрице. Њене су дијагоналне вредности реалне и транспоновани (симетрични) елементи су јој комплексно коњуговани.

Обзервабле, мерљиве величине, својствене су вредности Ермитских оператора. Мерењем, рецимо енергије, систем се нађе у стању иза којег нема преласка у друго стање са другом енергијом. Ермитски оператори згодно дају ову особину у облику ортогоналности својствених стања, а са својственим вредностима процењујући вероватноће исхода мерења.

Када својствена стања (вектори) опсервабилног нису ортогонална, још увек постоји један начин преласка на квантну механику и додељивања вероватноћа, ако дати оператор (који представља процес, или мерење) има комплетан скуп својствених стања реалних својствених вредности. За представљање физичких посматраних вредности потребне су реалне својствене вредности и потпуна својствена стања. Појам ортогоналности може се ублажити и заменити слабијим захтевом „би-ортогоналности“. Изведена квантна теорија зове се биортогонална квантна механика.

Biorthogonal

Питање: Шта је то „би-ортогоналност“, зашто?

Одговор: Када имамо Ермитски оператор, све његове својствене вредности су реални бројеви који дефинишу вероватноће исхода. Одговарајући својствени вектори линеарно су независан и потпун скуп који одређује сва потребна стања. Међутим, ако својствене вредности садрже и међусобно истих, онда својствене функције (вектори) Ермитовог оператора нису ортогоналне.

Када скаларни (Inner) производ није нула, у случају не-ортогоналних вектора, настају рачунске тешкоће и ограничења која се могу делом савладати помоћном, би-ортогоналном базом. Идеја је да се сваком вектору базе e = (e₁, ..., e_n), дакле својствених оператору који симулира дати процес (експерименат), придружи по један окомити вектор нове базе e' = (e'₁, ..., e'_n). То кратко пишемо ❬e_i, e_j❭ = δ_ij, помоћу Кронекеровог делта симбола.

Да не само једна биортогонална база увек постоји и да су њени вектори такође линеарно независни, можемо разумети и помоћу горње слике. У теменима O и O' су углови са окомитим крацима, а такви су увек једнаки или су суплементни. Са подножјем нормала њихова темена чине тетивни четвороугао OAO'B и, као што видимо, има их безброј у равни угла ∠AOB. Излазећи из равни угла правимо искорак у нову димензију.

Колико год да је крака попут OA, OB, на којима леже вектори базе e, било која два чине овакву једну слику са оваквим могућностима. Једноставно речено, n-димензионални простор (дегенерисаних) својствених вектора Ермитског оператора не морамо замишљати сав (ако је већи од 3-дим), али можемо у паровима. Скицираних кружница, попут k на слици, има сваки пар својствених вектора који лежи у n(n + 1)/2 пресека равнина са n-дим сфером за коју знамо да постоји иако нам је незамислива.

Елем, биортогонални вектори леже на крацима окомитих углова датим и чине базу e', при чему је ❬e_i, e'_j❭ = δ_ij, редом за све индексе i, j = 1, 2, ..., n. Биортогоналну базу не чине међусобно ортогонални вектори, штавише углови међу новим векторима увек су једнаки угловима између старих одговарајућих, али ортогоналности у паровима са датима помоћи ће у рачуну.

Поред рачунске згоде, типично математичке логичности и необичне тачности предвиђања квантних појава, која се узима здраво за говото, егзистенција биортогоналних база нарочито добро се слаже са мојом теоријом информације. Пре свега због тезе да нашу реалност генерише текући развој васионе, а она остаје окружена морем опција међу којима има највише невероватних, понешто од свега мало вероватних, а све се врти око малобројних извеснијих. Зато можемо живети са релативно мало чула (вид, слух, њух, додир, укус, ...).

Dual Space

Питање: Можете ли ми објаснити „дуални простор“ вектора?

Одговор: Просто речено, дуални, или придружен (adjoint) простор садржи посебну врсту функција, функционела, које пресликавају векторе у скаларе, \(f : X \to Φ \). А њихова посебност је линеарност, \( f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) \), за све \( x, y ∈ X \) и \( α, β ∈ Φ \). За дати простор вектора \(X\) ћемо простор функционела означавати са \(X^*\) и он ће такође бити неки векторски простор, дуалан датом.

Променом система координата мењају се записи вектора, али остају неки њихови узајамни односи. Тако и дечија играчка на горњој слици може прелазити из руке у руку, отићи у другу собу, али остају непромењене могућности шарених геометријских фигура да прођу кроз одговарајуће рупе. Слично томе, вектори који леже у једној равни, трансформацијом координата биће и даље неки вектори који припадају извесној истој равни. Променама координатног система потпростор прелази у одговарајући потпростор, а то ће својство сачувати линеарност коју поседују функционеле \(X^*\) датог векторског простора \(X\).

На пример, ако имамо 3-Д реални векторски простор \(X = \mathbb{R}^3\), тада је \( f(x,y,z) = 3x - 4y + 5z \) члан \( X^* \).

Други пример, када је \( X \) простор квадратних (другог степена) полинома облика \( p(x) = ax^2 + bx + c \), онда рецимо први од придружених простора чине функционеле \( f_1(x) = p(1) \), па је \( f_1(x^2 - 3x + 5) = 3 \). Функционеле облика \( f_2(x) = p(2) \) једнако формирају дуалан простор са \( X \) и у њему ће такође бити \( f_2(x^2 - 3x + 5) = 2^2 - 3⋅2 + 5 = 3 \), међутим он није једнак (дуални) простор претходним функционелама, јер различите полиноме датог векторског простора те две функционеле пресликаваће углавном у различите бројеве (скаларе).

Трећи пример, када је \( X \) простор квадратних матрица трећег реда (3×3), фунцкционела f може бити траг матрице

\[ f\left(\begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 5 & -6 \\ 7 & -8 & 9 \end{matrix}\right) = 1 + 5 + 9 = 15, \]

јер је траг матрице линеарно пресликавање.

Дуал је интуитивно простор „лењира“ (или мерних инструмената) датог векторског простора. Његови елементи премеравају векторе. Мерење је оно што дуални простор чини тако важним, рецимо, у диференцијалној геометрији.

Тако, одсуство канонског изоморфизма (независног од избора базе, или изоморфизма који не зависи од система координата) између векторског простора и његовог дуала, можемо разумети као потребу за баждарењем мерењу. Не постоји канонски (независан од избора система координата) начин да се обезбеди једно скалирање за простор. Међутим, ако меримо инструменте за мерење, тада постоји канонски начин за посао — ако их судимо по начину деловања на оно што би требали да мере. Упућујемо их на суштину тада, као у горњем примеру играчака, или потпростора.

Према томе, дуалан простор дуалног простора, који означавамо \( X^{**} \), је као „мерење мерења“ и он је канонски изоморфан са \( X \), иако нема тако строгог изоморфизма између самих \(X\) и њему првог дуала \(X^*\). Због ове велике сличности, те „друге дуале“ у многим ситуацијама третирамо као једнаке просторе, тада пишемо \( X^{**} = X \).

Conservation III

Питање: Постоје ли пресликавања која чувају скаларни производ?

Одговор: Да, такви су унитарни оператори, \( U : X \to X\), за које вреди \( \langle U(x), U(y)\rangle = \langle x, y \rangle\), за све \( x, y ∈ X\). Свеприсутни су у квантној механици јер добро представљају процесе за које важе закони одржања.

Тривијалан унитарни оператор је идентичка функција. Ротација у \( \mathbb{R}^2 \) је један од најпростијих унитарних оператора. Комплексна раван \(\mathbb{C}\) сличан је векторски простор реалном, али у којем је множење бројем облика \( e^{iθ}\) за \( θ \in \mathbb{R}\) унитарни оператор. Унитарни је и оператор импулса \( \hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \) квантне механике, или оператор енергије \( \hat{E} = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \), поред многих.

Пре свега требамо видети да ли је и када је на основу горње дефиниције унитарни оператор — линеаран и бијекција („1-1“ и „на“ пресликавање).

1. Да то откријемо, уочимо вектор \( v = U(αx + \beta;y) - αU(x) - βU(y) \) и нека је \( z \in X \) произвољано. Тада, скаларни производ:

\[ \langle U(αx + βy) - αU(x) - βU(y), U(z) \rangle = \] \[ = \langle U(αx + βy), U(z)\rangle - α \langle U(x), U(z)\rangle - β \langle U(y), U(z)\rangle \] \[ = \langle αx + βy, z\rangle - α\langle x, z\rangle - β\langle y, z\rangle = 0, \]

значи да је \( v \) окомит на све векторе датог простора, а посебно и на самог себе, тј. \( U(αx + \beta;y) = αU(x) + βU(y)\). Отуда \(U\) је линеаран оператор. Овај доказ линеарности важи и за просторе бесконачне димензије, али да је \(U\) бијекција остаје само за коначно димензионалне X. ∎

За просторе унутрашњег производа коначних димензија, свака инјекција („1-1“ пресликавање) је изоморфизам, а унитарни оператори су нарочити изоморфизми који чувају дужине и унутрашње производе. Међутим, код простора квадратно сабирљивих низова (ℓ²), на пример, имамо оператор померања у десно који јесте инјекција али није сурјекција. Он сваки низ из свог опсега започиње нулом. Иако унитарни оператор чува скаларне производе и у бесконачно димензионалном простору, тамо не мора бити бијекција („1-1“ и „на“ функција), ни јединствен, нити реверзибилан.

Примењено на „реалност у мору неизвесности“, која би могла бити делом теорије информације, излази да треба преиспитати апсолутну повратност текућих процеса. Али о том - потом.

Из саме дефиниције унитарних оператора \( \langle Ux, Uy\rangle = \langle x, y\rangle \) произилази значај својствених једначина \( Ux = \lambda x\). Постоји договор да функционеле пишемо са аргументом у загради, \( f(x)\), а остале линеарне операторе без заграда, па тако радимо у наставку. Иначе, користимо и бра-кет ознаке, Диракове заграде, за ко и контра-варијантне векторе, које договореном писању постају веома практичне.

2. Својствена вредност унитарног оператора јединичне је норме. Наиме, \(Ux = λx\) и \( \langle x, x\rangle = \langle Ux, Ux\rangle = \langle λx, λx \rangle = \|\lambda\|^2 \langle x, x\rangle \), дају \( \|λ\| = 1 \). ∎

Својствене вредности унитарних оператора, дакле, су уномодуларне, тј. модула су 1, а облика \( λ = e^{iφ} = \cos φ + i\sin φ \), за \( φ \in \mathbb{R}\). Покажимо даље да својствени вектори унитарних оператора који одговарају различитим својственим вредностима, као код Ермитових, бивају ортогонални.

3. Ако је \( Ux = e^{iα} \) и \( Uy = e^{iβ} \), имамо редом:

\[ \langle x, y\rangle = \langle Ux, y\rangle = e^{iα}\langle x, y\rangle \] \[ \langle x, y\rangle = \langle x, Uy\rangle = e^{-iβ}\langle x, y\rangle \] \[ \langle x, y\rangle^2 = e^{i(α - β)}\langle x, y\rangle^2 \] \[ α \ne β \iff \langle x, y\rangle = 0. \]

То значи да су припадни својствени вектори различитих својствених вредности узајамно окомити. ∎

Унитарни простори су они који садрже унитарне операторе, а такви су снабдевени скаларним множењем. Већ стога окосница су информације перцепције, а додатна њихова важност (каснијој) теорији информације тек ће доћи због закона одржања информације, још увек упитног.

Norms

Питање: Шта се све сматра „интензитетом“ вектора?

Одговор: Пре свега, то је дужина „орјентисане дужи“, па онда даље аналогно све што ће задовољити минимум тога, следеће аксиоме:

1. \( \|x\| ≥ 0 \),
2. \( \|x\| = 0 \iff x = 0) \),
3. \( \|λx\| = |λ| \|x\| \),
4. \( \|x + y\| \le \|x\| + \|y\| \),

за произвољне векторе \(x, y \in X \) и сваки скалар \(λ \in \Phi \). Векторски простор у којем је сваком вектору \(x\) придружен број \(\|x\|\) са особинама 1-4, зове се нормиран векторски простор.

На слици видимо „паралелограм сила“. Њиме демонстрирамо позитивне дужине вектора (1-2. аксиома), сразмерна повећања њихових дужина (3) и неједнакост троугла (4). Сменом \(z = x + y\), четврта даје

\[ \|x\| - \|y\| \le \|z\| \le \|x\| + \|y\|, \]

тј. свака страница троугла мања је од збира остале две а веће од њихове разлике. Са слике се види да је \( \|x - y\| \) растојање AB, а \( \|x + y\| \) растојање OC, па је:

\[ \frac12(\|x + y\| - \|x - y\|) \le \|x\| \le \frac12(\|x + y\| + \|x - y\|) \]

неједнакост троугла O,2A,C. Много се добија из мало ових аксиома.

Релацијом \( \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} \) се из унитарних може прећи на нормиране просторе. Према томе, у истом векторском простору могуће је имати бар онолико врста норми колико је врста скаларних производа. Надаље:

\[ \|x + y\|^2 = \langle x+y, x+y\rangle = \langle x,x\rangle + \langle x,y\rangle + \langle y,x\rangle + \langle y,y\rangle \] \[ \|x - y\|^2 = \langle x-y, x-y\rangle = \langle x,x\rangle - \langle x,y\rangle - \langle y,x\rangle + \langle y,y\rangle \]

а одатле сабирањем, за све \(x, y \in X\), налазимо:

\[ \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 \]

„једнакост паралелограма“, познату из геометрије. Израчунавајући:

\[ \|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 = \] \[ = \langle x + y, x + y \rangle - \langle x - y, x - y \rangle \] \[ = 2\langle x, y \rangle + 2\langle y, x\rangle \]

видимо да у реалном векторском простору (\( \Phi = \mathbb{R} \)) важи једнакост

\[ \langle x, y\rangle = \frac14(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2), \]

а у комплексном (\( \Phi = \mathbb{C} \))

\[ \langle x, y\rangle = \frac14(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2) + \frac{i}{4}(\|x + iy\|^2 - \|x - iy\|^2). \]

Тако се може дефинисати скаларни производ помоћу норме, знајући да норма задовољава само наведену релацију паралелграма (без потребе за горњим аксиомама).

Међутим, постоје и нормирани простори из којих није могуће извести скаларни производ. Такав је C_[-1,1], простор непрекидних функција из интервала [-1, 1] са нормом

\[ \|x\| = \max_{-1 \le t \le 1} |x(t)|. \]

Заиста, за функције:

\[ x(t) = \begin{cases} t & \quad 0 \le t \le 1 \\ 0 & \quad -1 \le t < 0 \end{cases} \] \[ y(t) = \begin{cases} 0 & \quad 0 \le t \le 1 \\ -t & \quad -1 \le t < 0 \end{cases} \]

важиће \( \|x\| = \|y\| = \|x + y\| = \|x - y\| = 1 \), па за њих не важи једнакост паралелограма. Према томе, у C_[-1,1] нема скаларног производа таквог да је \( \max_{-1 \le t \le 1} |x(t)| = \sqrt{\langle x, y\rangle} \).

На крају погледајмо неколико најпознатијих, или најчешће кориштених норми, попут еуклидске реалне и комплексне, \(\ell_p\)-норме и max-норме.

1. Апсолутна вредност \( \|x\| = |x| \) је норма 1-дим векторских простора, реалних или комплексних бројева. Апсолутна вредност реалног броја \(x \in \mathbb{R}\) је број без предзнака, његова позитивна вредност. Комплексни број \( z = a + ib \), где \(a, b \in \mathbb{R}\), има апсолутну вредност \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) називаном и модулом броја \(z\). Лако је доказати (горње) аксиоме норме ових.

2. У простору \( R_p^n \) реалних низова \( \vec{x} = (\xi_1, ..., \xi_n)\) дужине \(n = 1, 2, 3, ...\) и параметра \(p > 1\), норме су облика \( \|x\| = (|\xi_1|^p + ... + |\xi_n|^p)^{1/p} \). Посебно за \(p = 2\) називамо је еуклидском реалном нормом и краће означавамо са \( R^n\) а за \(n = 1\) пишемо само \(R\).

3. Слично је у простору \( C_p^n \) низова комплексних бројева \( \vec{z} = (\zeta_1, ..., \zeta_n)\) дужине \(n \) и параметра \(p > 1\). Норме су облика \( \|z\| = (|\zeta_1|^p + ... + |\zeta_n|^p)^{1/p} \), где је \( |\zeta|\) модуо броја \( \zeta \in \mathbb{C}\). За \(p = 2\) назива се еуклидска комплексна норма и пише краће \( C^n\), а за \(n = 1\) само \(C\).

Прве три аксиоме за последња два случаја очигледно су тачне, а четврта следи из неједнакости Минковског (Квантна Механика, Теорема 1.3.4), а слично је и са следећим.

4. Вектори \( \vec{z} = (\zeta_1, \zeta_2, ...)\) простора \(\ell_p\) параметра \(p > 1\) бесконачни су низови бројева такви да ред \( \sum_{k=1}^\infty |\zeta_k|^p \) конвергира. Норма се уводи са \[ \|z\| = \left(\sum_{k=1}^\infty |\zeta_k|^p\right)^{1/p}. \] Уместо ℓ₁ пишемо ℓ.

5. Када у претходном \( p \to \infty\) тада „ℓ_∞“ норма прелази у „max“ норму

\[ \|z\| = \max_{1\leq k < ∞} |\zeta_k|. \]

Обе последње односе се једнако на реалне и комплексне низове. Међу наведеним примерима, само у 2. и 3. важиће релација паралелограма и само те две, еуклидска реална и комплексна норма, имају одговарајуће скаларне производе.

То је упозорење на ограничења линеарне алгебре у домету информације перцепције. Интуитивно очекивано, да је простор скаларних производа потпростор нормираних (Inner Product), или рецимо да природа штеди комуникације (минимализам), па да „не комуницира све са свачим“.

Norms II

Питање: Знате ли нешто о норми оператора?

Одговор: Линеарни оператори о којима је реч врста су вектора и стога могу имати „интензитет“, тј. норму. Одређујемо је помоћу односа норми лика и слике, или оригинала и копије попут кино пројекције целулоидне траке на филмско платно.

Разрађујући сцену геометријски, упоредили бисмо је са конусним пресеком (Conics), пројекције из уског извора светлости под углом према зиду, која поприма облике елипсе, параболе и хиперболе. Тако да лакше видимо и ограничен оригинал са неограниченом копијом.

Полазећи од скаларног производа у простору вектора \(X\) правимо други векторски простор \(X \to X\) свих линеарних оператора који је нормиран, али није унитаран. Још више, нека су \(X\) и \(Y\) унитарни простори скалара тела Φ са скаларним производима \(\langle x, x'\rangle_x\) и \(\langle y, y'\rangle_y\), са ортонормираним базама \( e_1, ..., e_n \in X\) и \( f_1, ..., f_n \in Y\) редом, па посматрајмо линеарни оператор \(A : X \to Y\). Имамо:

\[ Ae_j = \sum_{i=1}^m \alpha_{ij}f_i, \quad (j = 1, ..., n) \] \[ x = \sum_{j=1}^n \xi_je_j \implies \|x\|_x = \sum_{j=1}^n |\xi_j|^2 \]

за произвољан вектор \(x \in X\). Његова слика је \(y = Ax \in Y\), при чему је:

\[ y = Ax = \sum_{i=1}^m (\sum_{j=1}^n \alpha_{ij}\xi_j)f_i \] \[ \|y\|_y = \sum_{i=1}^m\left|\sum_{j=1}^n \alpha_{ij}\xi_j\right|^2 \le \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n |\alpha_{ij}|^2\right) \left(\sum_{j=1}^n |\xi_j|^2\right). \]

Примењена је Коши-Шварцова неједнакост, \( |\langle x, y\rangle|^2 \le |x|⋅|y|\), где стоји знак једнакости акко су вектори линеарно зависни. Отуда:

\[ \|Ax\|_y \le M\|x\|_x \quad (x \in X) \] \[ M = \left(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij}|^2\right)^{1/2} \] \[ \left| A\frac{x}{\|x\|_x}\right|_y \le M. \]

Узмемо ли све јединичне векторе \(\|x\|_x = 1\) простора \(X\), тада оператор \(A\) преводи ту једничну сферу у ограничен скуп простора \(Y\), полупречника \(M \ge \|y\|_y \) вектора \(y \in Y \). Тада је \( \|Ax\|_y \le M\), за све јединичне векторе простора \(X\), па ни супремум (најмање горње ограничење) не прелази \(M\). Према томе, операторска норма оператора \(A\) је:

\[ \|A\| = \sup \|Ax\|_y \le \|A\|⋅\|x\|_x \quad (\|x\|_x = 1) \]

Поред тога \( \|A\|\) је најмањи од бројева за који важи наведена неједнакост, а у случају коначне димензионалности ових оператора имамо процену

\[ \|A\| \le \left(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij}|^2\right)^{1/2}. \]

Лако се доказује да оваква „норма оператора“ задовољава аксиоме норме вектора (Norms) и тиме да је заиста векторска норма.

1. Погледајмо сада исто кроз пример норме \( \|x\|_1 = \sum_{j=1}^n |\xi_j|\), оператора „збир колоне“. Нека је вектор \(x \neq 0\), па имамо:

\[ \|Ax\|_1 = \sum_{i=1}^n\left|\sum_{j=1}^n \alpha_{ij}\xi_j\right| \le \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij}||\xi_j| = \] \[ = \sum_{j=1}^n |\xi_j| \sum_{i=1}^n |\alpha_{ij}| \le M \sum_{j=1}^n |\xi_j| = M \|x\|_1. \]

Употребљена је неједнакост троугла за апсолутне вредности, а треба нам процена броја \(M\). Из добијеног \( \|Ax\|_1 \le M \|x\|_1 \) следи:

\[ M = \max_{1 \le j \le n } \sum_{i=1}^n |\alpha_{ij}| = \sum_{i=1}^n |\alpha_{ik}|, \]

за неко \(k \in \{1, ..., n\} \). Такво \( \|A\| = M\) је норма датог оператора.

2. За општу матрицу другог реда

\[ \hat{A} = \left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right) \]

по (горњој) дефиницији тражимо операторску норму:

\[ \|\hat{A}\| = \max\{ \|\hat{A}x\|^2 : \|x\| = 1 \} = \] \[ = \max\{(ax + by)^2 + (cx + dy)^2 : x^2 + y^2 = 1\} \] \[ = \max\{(b^2 + d^2) + 2(ab + cd)x\sqrt{1-x^2} + (a^2 - b^2 + c^2 - d^2)x^2 \}, \]

под условом \( 0 \le x \le 1\), а то је даље задатак тражења условног максимума функције, најчешће методом Лагранжових мултипликатора.

3. Исти претходни задатак, налажења норме оператора матричне форме, решава и корен највеће својствене вредности производа транспоноване и дате матрице:

\[ \hat{A}^\tau \hat{A} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + c^2 & ab + cd \\ ab + cd & b^2 + d^2 \end{pmatrix}, \] \[ \begin{vmatrix} a^2 + c^2 - \lambda & ab + cd \\ ab + cd & b^2 + d^2 - \lambda \end{vmatrix} = 0. \]

На пример, за \( (a, b, c, d) = (1, 2, 3, 4) \) је \(\lambda^2 - 30\lambda + 4 = 0\), са решењима \(\lambda_1 \approx 29,866 \) и \(\lambda_2 \approx 0,134 \), што значи да је \( \|\hat{A}\| = \sqrt{\lambda_1} \approx 5,465 \).

Објашњење тражења норме оператора својственом величинама види се укратко из једнакости:

\[ \|\hat{A}\| = \max_{\vec{x} \ne 0 } \frac{\|\hat{A}\vec{x}\|}{\|\vec{x}\|} = \max_{\vec{x} \ne 0 } \frac{\sqrt{\|\vec{x}^\tau \hat{A}^\tau \hat{A} \vec{x}\|}}{\|\vec{x}\|} = \max |\lambda| \]

при чему је \( \hat{A}\vec{x} = \lambda \vec{x} \), а производ \( \hat{A}^\tau \hat{A}\), транспоноване и дате матрице, је симетрична матрица са реалним својственим вредностима \(\lambda\).

4. Матрице реда 3×3:

\[ \hat{A} = \hat{B} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \implies \|\hat{A}\| = \|\hat{B}\| = 1, \] \[ \hat{A}\hat{B} = \hat{A}^2 = 3\hat{A}, \quad \|\hat{A}\hat{B}\| = 3. \]

показују да норме оператора нису мултипликативне.

На крају додајмо да су физичка стања (вектори на које оператори делују) просторне репрезентација, а процеси (оператори који делују на векторе) временске репрезентације апстрактних векторских простора, те да су оне сасвим у складу са „теоријом информације“, незваничном. Ове аналогије одраз су „објективности случајности“ и последица (Dimensions) каквих нема у досадашњој физици.

Cauchy sequence

Питање: Шта су то Банахови и Хилбертови простори?

Одговор: Простор у којем нема празнина, тачније речено у коме сваки Кошијев низ конвергира, зове се потпун простор. Потпун нормирани простор је Банахов простор, а потпун унитаран је Хилбертов простор.

За низ вектора \(x_n \in X\) кажемо да је конвергентан (n = 1, 2, 3, ...) те да конвергира вектору \(x_0\), ако за свако \(\varepsilon > 0\) постоји \(N(\varepsilon) \in \mathbb{N}\) такав да је \(\|x_n - x_0\| < \varepsilon \), за свако \(n \ge N(\varepsilon) \). То пишемо „\( x_n \to x_0\), када \(n \to \infty\)“ и

\[ \lim_{n \to \infty} x_n = x_0. \]

За низ вектора \(x_n \in X\) кажемо да је Кошијев низ (n = 1, 2, ...), ако за свако \(\varepsilon > 0\) постоји природан број \(N(\varepsilon) \) такав да ће бити \(\|x_m - x_n\| < \varepsilon\) за све \(m, n \ge N(\varepsilon) \). Простор називамо „потпуним“, или Кошијевим простором, када сваки Кошијев низ конвергира тачки (вектору) која се налази у том простору.

Међутим, хоће сваки конвергентан низ бити уједно и Кошијев низ, али неће бити и обрнуто. На пример, низ рационалних бројева \( q_k \in \mathbb{Q}\) који конвергира ирационалном броју \(\sqrt{2}\), у простору рационалних бројева је неконвергентан Кошијев низ. Према томе, простор рационалних бројева је „непотпун“, он има празнина, а „комплетира“ се допуњавањем лимеса, бројева којима рационални могу конвергирати, када постаје реалан (\(\mathbb{R}\)).

Типичан пример Банаховог простора (потпуног нормираног) је простор \(C_{[0,1]}\) непрекидних функција \(x(t)\) за \(t \in [0, 1]\) и норме \( \|x\|_b = \max |x(t)|\). Допуњавање простора \(C_{[0,1]}\) до Хилбертовог (потпуног унитарног) нормe

\[ \|x\|_h = \left[ \int_0^1 |x(t)|^2 \ dt\right]^{1/2} \]

скаларног производа

\[ \langle x, y\rangle = \int_0^1 x(t)y^*(t)\ dt \]

где је \(y^*\) коњугован комплексан број \(y\). То је Хилбертов простор \(L_2(0,1)\) (велико ел два) теорије мере. Еквивалентан њему је Хилбертов простор \(\ell_2\) (мало ел два) бесконачних низова \(x = (\xi_1, \xi_2, ...)\), скалара \(\xi_k \in \Phi \) да

\[ \sum_{k=1}^\infty |\xi_k|^2 < +\infty, \]

дакле да им збир апсолутних квадрата конвергира.

Знамо да има појава које можемо мерити, али не и опажати видом. Такав је рецимо звук којег чујемо. Али постоје и звуци које не осећамо слухом а таквих су ниских фреквенција да их ипак можемо осетити као вибрације телом. Постоје и таква трешења од којих се руше зграде, али има и таласа које попут неутрина једва комуницирају са околином.

Теорија са којом се бавим прихвата такве и још „чудније“ појаве, ради са њима као стварнима, јер су (у математичком смислу) тачне иако каткад изван домена физике. Када говоримо о неизвесности, или о преношењу информације, потом о комуникацији, уместо о суперпозицији, дејству и интеракцији, то би могле бити те „неприродне“ ситуације. Разлике међу њима сличне су, штавише веома аналогне, разликама међу векторским и метричким просторима које нас сада можда збуњују.

Metrics

Питање: Шта сматрате мерењем и колико од тога има у алгебри?

Одговор: Може се мерити успех, дужина, информација, али треба разликовати мерљивост уопште од интеракције којом би једна од страна перципирала другу. Тако треба гледати на овај проблем и разумети колико га је алгебра до сада тек загребала.

У алгебри се до аксиома метрике стиже из нормираног векторског простора \(X\) и скалара \(\Phi\) реалних или комплексних бројева, придружујући паровима вектора један реалан број функцијом \(d(x, y) = \|x - y\| \). Тако добијен „метрички простор“ није обавезно линеаран, па је самим тим шири појам од нормираног простора (истих елемената из \(X\)). Добијена дефиниција мерења једнака је оној из функционалне анализе, а лежи на само четири аксиоме:

1. \(d(x, y) \ge 0\) за све \(x, y \in X\);
2. \(d(x, y) = 0\) онда и само онда, ако је \(x = y\);
3. \(d(x, y) = d(y, x)\) за све \(x, y \in X\);
4. \(d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y)\) за све \(x, y, z \in X\).

Из 1. аксиоме видимо да меримо ненегативним реалним бројевима, из 2. да је то нека узајамна неприлагођеност двају вектора, а из 3. да она није попут (не)симпатисања, јер је увек обострано једнака, симетрична. Али тек 4. аксиома, неједнакост троугла, утврђује да је ово „мерење“ аналогно мерењу дужина. Оно је, дакле, неприкладно за мерење комуникације, на пример, међутим видећемо да није и неприменљиво.

1. Свака од поменутих норми (Norms) има одговарајућу метрику. Тако је:

\[ d(x, y) = \left(\sum_{k=1}^n |\xi_k - \eta_k|^p\right)^{1/p} \quad (1 \le p < \infty)\]

метрика у простору низова \(x = (\xi_1, ..., \xi_n)\) и \( y = (\eta_1, ..., \eta_n)\). Када сви \(\xi_k, \eta_k \in \mathbb{R}\) ову метрику означавамо са \(R_p^n\), а ако су скалари комплексни бројеви са \(C_p^n\). У случају \(p = 1\) зовемо их еуклидске метрике, реалном и комплексном, а када \(p \to \infty\) добијамо „max-метрику“:

\[ d(x, y) = \max_{1 \le k \le n} |\xi_k - \eta_k| \]

коју означавамо и са \(R_\infty^n\), односно \(C_\infty^n\).

2. У простору бесконачних низова, \(n \to \infty\), горње метрике се означавају \(\ell_p\), ако редови \(\sum_{k=1}^\infty |\xi_k|^p\) конвергирају. Уместо \(\ell_1\) пишемо \(\ell\).

3. Уобичајено се ове метрике доказују помоћу неједнакости Минковског:

\[ \left(\sum_{k=1}^n |\alpha_k + \beta_k|^p\right)^{1/p} \le \left(\sum_{k=1}^n |\alpha_k |^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{k=1}^n |\beta_k|^p\right)^{1/p} \]

где је \(p \ge 1\), а коју препознајемо као „неједнакост троугла“. Једнакост важи акко \(\alpha_1 : \alpha_2 : ... : \alpha_n = \beta_1 : \beta_2 : ... : \beta_n\). Неједнакост доказујемо помоћу Хелдерове неједнакости \((p^{-1} + q^{-1} = 1)\):

\[ \sum_{k=1}^n |\alpha_n \beta_n| \le \left(\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^n |\beta_k|^p\right)^{1/p} \]

коју бисмо могли једнако називати и „мултипликативном“ неједнакошћу троугла, односно Минковског. Једнакост важи акко \(a_k^p : b_k^q =\) const, за све \(k = 1, 2, ..., n\). Када је \(p = q = 2\) она постаје неједнакост Коши-Шварца. Докази су у књизи Квантна Механика, у делу „1.3.1 Метрички простор“, такође.

За ову прилику предугачак би био попис иоле познатијих метрика, па ћу демонстрације ради навести само две од необичних, једну познату и једну непознату.

4. Простор \(s\) бесконачних низова \(x = (\xi_1, \xi_2, ...)\) и \(y = (\eta_1, \eta_2, ...)\) има растојање дато изразом:

\[ d(x, y) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k}\frac{|\xi_k - \eta_k|}{1 + |\xi_k - \eta_k|}. \]

Релација троугла следи из неједначине

\[ \frac{|\alpha + \beta|}{1 + |\alpha + \beta|} \le \frac{|\alpha|}{1 + |\alpha |} + \frac{|\beta|}{1 + |\beta|}, \]

где стављамо \(\alpha = \xi_k - \zeta_k\) и \(\beta = \zeta_k - \eta_k\), па користимо чињеницу да је функција \(t/(1 +t)\) монотоно растућа за \(t \ge 0\).

5. У књизи Физичка Информација, Економски институт Бања Лука 2019, под насловом „2.3 Биномна расподела“ наћи ћете тумачење Бернулијеве расподеле \(\mathcal{B}(n, p) \) и Шенонове информације \(S_1 = -p \log p - q \log q \), када је \( n = 1 \) и \(q = 1 - p \in (0, 1)\), рецимо у случају бацања (нефер) новчића који има вероватноће падања и не-падања писма \(p\) и \(q\).

Конструисао сам тамо другачију информацију ознаке \(L_n\), исте биномне расподеле \(\mathcal{B}(n, p) \), за коју важи \(L_1 = S_1\), али \(L_n = nL_1\). Назив „физичка“ је због имитирања закона одржања, а њену адитивност овде користимо за дефиницију метрике. Рецимо, ако су \(x\) и \(y\) тачке „простора“ биномних расподела, са \(m\) и \(n\) бројем понављања опита, онда је

\[ d(x, y) = |L_m - L_n| = |m - n|S_1 \]

метрика.

6. Два метричка простора \(X\) и \(Y\) су изометрична, ако између њих постоји биунивока коресподенција \(f\) таква да је за сваки пар тачака \(x_1, x_2 \in X\)

\[ d_y(y_1, y_2) =d_x(x_1, x_2), \]

где \(y_1 = f(x_1)\) и \(y_2 = f(x_2)\). Функција \(f : X \to Y\) је изометрија између простора \(X\) и \(Y\).

Последња дефиниција (6) показује се веома корисна код упоређивања разних метричких простора због њиховог мноштва, у ситуацијама када треба уочавати, или преносити њихове заједничке особине.

Contraction

Питање: Можете ли ми појаснити те алтернативне теорије гравитације?

Одговор: Друга је особа, али је слично питање (Freefall), па ће одговор бити допуна, као нова ставка тамо, и мало детаљнија. Наглашавам, алтернативни су само путеви, не и резултати.

Замислимо тело масе \(m\) које из стања мировања почиње лагано и све брже да пропада ка центру гравитације масе \(M\). Оно A креће се инерцијално и у односу на почетну позицију B у тренутку \(t\) на удаљености \(r\) од центра има брзину \(v\). У телу које пада не осећају се силе, док ће релативни посматрач ово релативно убрзано кретање моћи интерпретирати дејством силе \(F = GMm/r^2\), а ми, C, кажемо да силе мењају вероватноће и да ће тело зато релативно убрзавати, јер те вероватноће за A и B нису исте.

На питање ко је у праву, одговор је — све троје, A, B и C. Контракција дужине (Простор-Време, 1.4.1 Лоренцове трансформациjе) дуж правца кретања је \(\Delta r = \Delta r_0 \gamma\), где је Лоренцов коефицијент

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \approx 1 + \frac12\frac{v^2}{c^2}, \]

са \(v\) радијалном брзином тела и \(c \approx 300\ 000\) km/s брзином светлости у вакууму. Oбим кружнице око центра исти је за оба посматрача A и B, а радијална дужина већа за падајућег, што значи да је за њега (A) однос обима и пречника круга (са центром у центру гравитације) постаје све мањи од \(\pi = 3,14159...\), те да је гравитациони простор све веће сферне кривине. Јединице времена падајућег све су дуже, \(\Delta t = \Delta t_0 \gamma\), у односу на релативног посматрача.

У наставку поменуте књиге (Простор-Време, Теорема 1.4.4.) изведене су Лоренцове трансформације и у малој (инфинитезималној) околини тела које пада и показано да је тада Лоренцов коефицијент

\[ \gamma_g = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2GM}{rc^2}}} \approx 1 + \frac{GM}{rc^2}, \]

што одговара претварању потенцијалне енергије у кинетичку тела A које пада у односу на релативног посматрача B. Таква релативна контракција дужина \(\Delta r = \Delta r_0/\gamma_g\), успоравање времена дилатацијом \(\Delta t = \Delta t_0 \gamma_g\), па и пораст масе \(m = m_0\gamma_g\), али и енергије тела које пада \(E = E_0\gamma_g\), слажу се са једначинама опште релативности. Текст је преузет из мог неколико година ранијег (Times in Relativistic Motion).

Из тих инфинитезималних Лоренцових трансформација, у књизи ознаке (1.199), добија се метрика (1.205)

\[ ds^2 = (\gamma_g dr)^2 + r^2(\sin^2\theta d\varphi^2 + d\theta^2) - (cdt/\gamma_g)^2, \]

која је тачно једнака Шварцшилдовој (1.137). То је нама познато решење Ајнштајнових општих једначина релативности за централно симетрична гравитациона поља.

Приметимо да кинетичка енергија добијена слободним падом одговара промени потенцијалне \(E_k = mv^2/2 = GMm/r \), а њена промена путем \(r\) одговара раду силе (\(dE = Fdr\)). Отуда закључак да промену вероватноће „под дејством силе“ можемо сматрати сразмерном потенцијалу. Зато има смисла рећи, а и према претпоставци теорије информације такође је, да „сила мења вероватноће“. Штавише, резултати нас упућују и на релације између силе и вероватноће.

Тело „пада“ ка центру гравитације крећући се према мањим јединицама дужине, држећи се већих густина вероватноћа места (Комптонов ефекат, Collision). Оно се креће ка споријем току времена (ређим реализацијама случајности), према већој извесности.

Universe

Питање: Бавите ли се метриком васионе?

Одговор: Помало и то теоријски једино. Поред релативности, која се необично добро уклапа у моју теорију информације, додуше не са начелима какве би и Ајнштајн прихватао, изведене су космичке теорије из ње зеру шкрипаве.

При томе мислим на Фридманов модел

\[ ds^2 = \left(\frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2\right)R(t)^2 - c^2dt^2, \]

где је \( d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\phi^2 \), а бездимензиона величина \(R(t)\) временом све је већа и одражава величину универзума. Ротирајући универзум (Rotating Universe) сам посебно анализирао, не замишљајући да се сав тај простор заиста окреће око нас, него из разлога које ћу у наставку објаснити. Међу уврнутим моделима са којима сам се играо био је и торусни.

Полазећи од неизвесности у основи (скоро) свега, те понашања природе као да себе такву не жели, можемо замишљати један врх реалности, свега у једној тачки. Таква је могућа у свету самих бозона, рецимо на почетку света, пре 13,8 милијарди година у време Велике експлозије. Спонтани развој догађаја ишао би ка растерећењу густине неизвесности и то су тренуци настанка првих фермиона, распадом Хигсових бозона.

Кажем могло би изгледати тако, а тако не бити, јер имамо и ергодичку теорему (Информатичка Теорија II, 61.2.), због које би тако изгледало како год да је било. Свеједно, обе су помало фикције, као што је таква и прошлост коју данас гледамо телескопима.

Елем, неизвесност се разређује данас постепеним (чешћим) настајањем бозона из фермиона, чинећи галаксије све даљима, а са простором који памти и расте (Growing). Простор акумулира сећања, њему специфична неизвесност (по јединици запремине) све је мања, па време успорава. У мојој теорији информације брзину протицања времена дефинише цела количина (случајних) исхода.

Успоравање времена текуће садашњости не примећујемо, јер нам се и јединице времена таман толико скраћују да брзину светлости опажамо константном. Оба ефекта (контракцију дужина и дилатацију времена) могли бисмо приметити када бисмо из прошлости могли посматрати будућност, или из садашњости прошлост. Ово друго лакше је од првог, али је недовољно разговетно због стварног нарастања простора између галаксија и њиховог измицања.

Како уз закон одржања информације важи аналоган за енергију, па онда и масу, посматране из прошлости оне би се релативно увећавале заједно са успоравањем времена, да би све „невероватно“ личило на тај слободан пад тела у гравитационо поље у претходном одговору (Contraction). Отуда метрика васионе

\[ ds^2 = (dr/\gamma_g)^2 + r^2 d\Omega^2 - (\gamma_g cdt)^2. \]

Нема коефицијента испред \(d\Omega\), као у Фридмановом моделу, да аналогија са пропадањем у гравитационо поље буде већа. Али нема га и зато јер би се променом тог броја \(R\) свемир около нас скупљао (ширио) по обиму па се галаксије не би од нас удаљавале праволинијски. Фридманов модел је без тога, јер нема промена тока времена садашњости.

За разлику од ротирајућег универзума, где би све даљим местима од нас време текло све спорије и која би стога била привлачнија, овде се догађа обрнуто. Даљим местима време тече брже, али она се и крећу брже па им време тече спорије. Два ефекта могла би се компензовати да време даљих галаксија иде једнако брзо као и наше, што није могућност ротирајућег модела.

Овако, прошлост се од нас одбија и просторним (средњим статистичким) удаљавањем галаксија, али такође и принципијелном спонтаном тежњом садашњости ка мањој информацији.

Metric II

Питање: Шта је метрички тензор?

Одговор: Метрички тензор g_μν је метрика малих растојања. Основ је тензорског рачуна. Другог реда је тензор, два пута коваријантан, а тензор је врста генерализације скалара, вектора, или матрице.

Посматрајмо тачке A = (A_x, A_y) и B = (B_x, B_y) у Декартовом систему координата Oxy, па исте пишимо у поларним координатама Orφ, а трансформације кооридината:

x = r cos φ,   y = r sin φ

разумећемо са слике. Наиме, за тачку A је x = A_x и y = A_y, док је r = a = OA и φ = ∠A_xOA. Слично би било за тачку B, међутим, ставићемо затим да је ∠B_xOB = φ + Δφ и OB = r + Δr, па прећи на инфинитезимале \(\Delta r \to dr\) и \(\Delta\varphi \to d\varphi\) .

Метрику Декартовог правоуглог система дефинише Питагорина теорема, коју затим преводимо у метрику поларног диференцијалним рачуном:

\[ AB^2 \to d\ell^2, \] \[ dx^2 + dy^2 = [d(r\cos\varphi)]^2 + [d(r\sin\varphi)]^2 = \] \[ = (\cos\varphi\ dr + r\sin\varphi\ d\varphi)^2 + (\sin\varphi\ dr - r\cos\phi\ d\varphi)^2, \] \[ d\ell^2 = dx^2 + dy^2 = dr^2 + r^2\ d\varphi^2. \]

Уопште је

\[ d\ell^2 = g_{11}\ d\xi^1d\xi^1 + g_{12}\ d\xi^1d\xi^2 + g_{21}\ d\xi^2d\xi^1 + g_{22}\ d\xi^2d\xi^2, \]

у систему (контраваријантних) координата \(O\xi^1\xi^2\), што је у Декартовом метрика \(g_{11} = g_{22} = 1\) и у поларном \(g_{11} = 1, g_{22} = r^2\). Приметимо да ове метрике немају мешовите метричке тензоре, \(g_{12} = g_{21} = 0\). Увек ће бити без мешовитих метричких тензора ако су координате датог пара узајамно окомите. Иначе, \(g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu} \) уз услов \(\mu \ne \nu\), због симетрије метрике. Када је \(d\ell = 0 \) тачке су на истом месту.

На пример, у 3-Д систему Декарта, Питагорина је теорема

\[ d\ell^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2. \]

Пренесимо је на сферне координате \(Or\theta\varphi\) трансформацијама:

\[ \begin{cases} x = r\sin\theta\cos\varphi \\ y = r\sin\theta\sin\varphi \\ z = r\cos\varphi \end{cases} \]

и радећи као у поларном стижемо до метрике

\[ d\ell^2 = dr^2 + r^2\ d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta\ d\varphi^2. \]

Обзиром да и овде нема коефицијената метричког тензора мешовитих индекса, сферни је систем такође ортогоналан.

Временску координату додајемо као имагинарну дужину ξ = ict коју за време t светлост пређе брзином c. Интервал је тада \(ds^2 = d\ell^2 - c^2dt^2 \), када израз „на истом месту“ постаје „истовремени“. Са такви додацима метрички тензор није увек „позитивно дефинитан“, није тензор за чију детерминанту важи неједнакост \( g_{11}g_{22} - g_{12}^2 > 0 \).

May 2023 (English ≽)