June 2023 (English ≽)

Sufficiency

Питање: Зашто имамо различите теорије које говоре о истим истинама?

Одговор: Ово је питање прво довољности, а затим и обиља. Покушајмо га разумети путем математичких истина, помоћу Раселовог парадокса скупова и њиме инспирисане Геделове теореме немогућности, затим теоријом информације.

Раселов парадокс (1903) лакше је разумети помоћу замишљеног „села са брицом који брије све оне који се не брију сами“. Парадокс те ситуације је да брицо не може бријати себе, јер такве он не брије, али онда мора бријати себе је све такве он брије. Он не може остати необријан, приметимо, јер оне који се не брију он брије.

Замислимо даље да појам „бријања“ замењујемо са разним апстрактним идејама „припадања“ које не фале областима математике. Долазимо тако до немогућег скупа свих скупова који нису сами чланови. Отуда је и сама идеја „скупа свих скупова“ контрадикторна. Варијација овога је запажање да не постоји нити „теорија свих теорија“ које је открио Гедел (1931).

Математика је „биће истина“ у које одлажемо и које нам враћа истине и само истине. Најмање јединице таквих су аксиоме, које бирамо тако да су узајамно независне и довољне за дату област математике, а из којих ћемо комбиновањем, резоновањем добијати закључке, све сложеније ставове, теореме дате гране. За поједину аксиому замислимо „област ставова која се без дате аксиоме не може извести“ и ето нас у Раселовом парадоксу, а заправо у Геделовој немогућности „теорије свих теорија“.

Поменуто биће математике не може нам рећи неистину, на пример да је 2 = 3. Али оно нам може рећи да нам не може рећи ту неистину. Дакле, оно је „свесно“ неистина, у смислу да их може претпостављати, штавише да без њих не може постојати. О овом последњем сведочи сваки доказ методом контрадикције, да претпостављајући тачност нечега и сводећи га на противречност добијемо његову нетачност. У неком другом избору аксиома то „нешто“, тамо одбачено, било би математички прихватљиво.

Да не идемо даље овде од различитих аксиома паралелности и бар три типа геометрија, у којима је однос обима и пречника круга мањи, једнак, или већи од π, приметимо да је појам „истине“ поред некомплетности, хроничне допуњивости, уједно и на свој начин релативан. Није само да немамо истину „свега о свему“, већ немамо ни истину „свега о нечему“. Са друге стране, изменом само једне аксиоме од датих можемо добити друго лице истине оних осталих.

Дакле, имамо различите теорије које говоре о „истим истинама“, јер оне имају различита лица. Оне су слојевите јер припадају свету неизвесности (моје) теорије информације, без које нема како физичких појава (рецимо простора, времена и материје) тако ни апстрактних.

Аbundance

Питање: А сада ми објасните питање „обиља“?

Одговор: У мојим скриптама, на пример на крају Информатичке Теорије III, наћи ћете неколико потешких теорема о матрицама канала преноса података које ћу сада покушати објаснити лагано, али не банално.

Укратко, природа спонтано тежи минимализму па настоји избећи расподеле вероватноћа једнаких шанси. Зато се јављају неједнаке шансе средина, прво експоненцијалног облика које имају максималну средњу информацију за задато очекивање (μ), затим расподеле Гаусових врста (звонасте) мање информације, али максималне за задату дисперзију (σ), па онда и даље распарчаване и разређене. Зато се множе различитости, стиском тежње за мањом датом информацијом и закона одржања укупне информације.

Пример 1. Једнолика расподела n = 2, 3, 4, ... исхода била би једнаких вероватноћа p₁ = ... = p_n = 1/n и средње (Шенонове) информације

\[ S_1 = -p_1 \log_b p_1 - ... - p_n \log_b p_n = \] \[ = \frac{1}{n} \log_b n + ... + \frac{1}{n} \log_b n = \log_b n \]

која расте логаритамски са бројем исхода n. Када \(n \to \infty\), тада \(S_1 \to \infty\). Са базом логаритма \( b = 2 \) јединица информације биће „бит“ (енг. binary digit). □

Пример 2. Ако расподела постане експоненцијална, као бесконачна:

\[ p_1 = \frac12, \ p_2 = \frac{1}{2^2}, \ p_3 = \frac{1}{2^3}, ..., \ p_k = \frac{1}{2^k}, ... \]

имаће збир \(\sum_{k=1}^\infty p_k = 1 \) и коначну средњу информацију:

\[ S_2 = -\sum_{k=1}^\infty p_k \log_2 p_k = \] \[ = \frac12 \log_2 2 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} \log_2 2^3 + ... + \frac{1}{2^k} \log_2 2^k + ... \] \[ = \frac12 + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + ... + \frac{k}{2^k} + ... \] \[= \frac12 \left( x + x^2 + x^3 + ... + x^k + ... \right)'_{x = 1/2} = \] \[ = \frac12\left( \frac{1}{1 - x} \right)'_{x = 1/2} = \frac12 \left.\frac{1}{(1 - x)^2}\right|_{x=1/2} = 2 \]

у бинарним јединицама (bit). □

Раслојавањем настају многострукости где год је то могуће и то је спонтан процес. Метафорички речено, природа не воли једнакости (Equality). Али ова теорија не важи само за материјални аспект реалности, физички, већ се односи и на апстракције попут математичких. При томе не мора бити претеране аналогије између материјалног и апстрактног, али везу та два феномена можемо приметити већ приликом примене таблице множења, или учењем првих закона механике.

Целине постају све више „своје“, разуђене и другачије, индивидуалне све више што су више одређене. Системи тежећи све већој извесности постају детаљнији и многобројнији, али са друге стране не могу отићи у потпуну расутост од које такође беже. Оптимум разлика је ту негде, у могућности доказа чисто геометријских ставки такође тачним алгебарским методама (рецимо аналитичке геометрије), или математичком анализом, или пак из аксиома теорије вероватноће.

Све оно што се дешава истина је, па и оно што се може десити истина је, те и оно што можемо доказати да се може десити, а онда долазимо и до горе поменутог „математичког бића“ због којег бисмо могли прихватати и неке претпоставке као врсте истина. То је начин да разумемо ширење слојевитости и на мешане светове истина и лажи (The Truth).

Наглашавам још једном, природа не лаже, она буквално следи принцип најмањег дејства (Ојлер-Лагранжове једначине) из којег се могу извести све трајекторије данас познате физике. Лагање и пркошење законима су одлике виталности.

Meanings

Питање: Шта сте мислили под „изменом једне аксиоме мењамо смисао осталих“, зар је у математици истина релативна?

Одговор: Да, истина је такође појава која подлеже законима информације, својим личним правилима. Она је тај „брицо“ Раселовог парадокса скупова (Sufficiency) „који брије оне и само оне који се не брију сами“. Односно „истина регулише све оно што се не регулише само“. Наставак је исти закључак, да нема свеобухватне истине, ни свега нити нечега.

На слици лево видећемо два лица, или вазу, сматрајући да двосмисленост стиже од мање информација него што је потребно. Али, теорија информације (моја) открива нам нешто друго, да променом једне аксиоме мењамо смисао осталих, а да оне саме могу бити толико универзалне да су бесмислене, на неспоран начин. На пример, аксиома инциденције из Хилбертовог заснивања геометрије (1899), каже да „постоје бар две тачке на правој“. Његова „права“ може бити кућа а „тачке“ прозори, или је текст детаљ о ногама врсте животиња неке приче.

То је типична математичка универзалност на основу које ћемо рећи да нема ништа практичније од добре теорије. Апстрактне истине најдубље су због ширине покривања како чулног тако и оног из чула изведеног умовањем. Тај обухват са правом нас подсећа на мерење неизвесности, која је утолико већа што се односи на већи обим исхода.

Друга важна сличност истинитости и неизвесности је слојевитост. Када бисмо напредовали у разумевању значења неких истина, као што смо видели, налазили бисмо се у ситуацији учења, проучавања, разгртања неизвесности. Попут ловца који лови дивљач тада несвесну ловачких замки, можемо имати више или мање истине о нечему, као што ћемо бити у већој или мањој неизвесности у датој ситуацији.

Поред све те релативности, слојевитости, па и објективности истине и неизвесности, прве као реализације друге, њих две су попут антитезе и тезе, узајамне негације. Једне без друге не би било, јер информација не чини ткиво само простора, времена и материје у буквалном, огољеном физичком смислу, већ и истине.

Axioms

Питање: Наведите пример наопаке а опет тачне аксиоме?

Одговор: Лобачевски је 1823. г. објавио по њему данас називан модел геометрије који ондашња Академија Сан Петербурга није ценила, па нам је познат након објављивања у Паризу 1837. Он говори о „наопакој“ еуклидској геометрији, где се из тачке ван дате праве могу повући бар две праве паралелне датој.

Еуклидска геометрија настала у Древној Грчкој темељи се на пет постулата често оспораваних од којих је нарочито пети изгледао незграпно, опширно и сувишно. Међутим, векови у покушајима пролазили су али никоме није успевало извести тај постулат на основу претходних. Почетна идеја Лобачевског била је уместо тог узети њему супротно тврђење и у новој геометрији пронаћи контрадикцију. То би значило да се негде некако и тај може извести из осталих.

Реч је о правама које су паралелне ако су у истој равни и без заједничких тачака или се поклапају. Изворни пети постулат утврђује да је кроз дату тачку ван дате праве могуће повући једну и само једну праву паралелну датој. Пети постулат Лобачевског гласи да је кроз тачку ван дате праве увек могуће повући бар две праве паралелне датој. Након неуспешног дугог тражења контрадикције, Лобачевски је приметио да тетиве датог круга, виђене као „праве линије“, испуњавају постулате геометрије коју развија. Он је тај налаз генијално поентирао.

Како су кругови и тетиве елементи еуклидске геометрије, а нова, његова геометрија се на њих може свести, онда из тачности древне произилази тачност нове геометрије. Приметио је да и „седласте површи“ опонашају његову геометрију, када „праве линије“ сматрамо најкраћим растојањима између датих тачака у кретањима где се та повш не напушта. Због таквог модела називамо је хиперболном геометријом, а из поменутог и сличних утапања закључујемо да су стара и нова геометрија еквиваленти, једнако су тачне, или нетачне.

Проверавајући по околним брдима да ли је збир углова троугла мањи, једнак или већи од 180^o, Гаус је наводно негде у исто време покушавао наћи у којој од геометрија (хиперболној, равној, или сферној) живимо. Оно чега ми бисмо данас могли бити свесни је неизбежност последица аксиоматике којој припадамо, али што лакомислено држимо апсолутно тачним и једином могућом физичком реалношћу.

Занимљив пример „наопаке а опет тачне аксиоме“ имамо и у Зермеловој теорији скупова (1908). Он и касније Франкел открили су да је између две бесконачности, пребројиве и континуума, могуће постулирати, уметнути или не, још једну бесконачност, а да добијене теорије у два случаја буду једнако тачне.

Знамо да су Кантор и Дедекинг (1870-их) развили идеју скупова и разних бесконачности, кардиналних бројева њихових елемената. Природних је бројева пребројиво бесконачно много (ознаке ℵ_o), нашли су, а континуум им је била бесконачност реалних бројева. Били су опрезни да не тврде да између таквих нема других бесконачности.

Formation

Питање: Верујете ли да се апстрактни свет развија налик материјалном?

Одговор: Да, али „веровање“ није најбољи назив налажења решења задатака. Хладна претпоставка и теза које се треба држати, знање и опрезност да поента не побегне бољи су опис.

Крајња постава свеобухватности информације у структури нашег света била би управо то, учешће информације и у развоју рецимо закона математике. За разлику од физике, која се такође бави временом али као додатим феноменом, теорија информације време ставља испред свега. Поновљена вест више није она претходна, ако је уопште вест, већ је нека еволуција првобитне. Суштина информације је неизвесност, коју и та еволуција мора имати.

На пример, када чекамо исход извлачења бројева лото бубња, саопштење „добитнички бројеви су xyz“ код нас као учесника игре покреће емоције у скали од тешког разочарења до великог одушевљења, док би та иста вест за организатора игре оне могле бити од забринутости до олакшања. Вест је еквивалент дејству, а емоције су њени ефекти који повратно дефинишу њу саму. Неизвесност свега деловања неће дозвољавати да предвиђамо тачне исходе, па према томе нити тачне повратне реакције. Није могуће крајње дефинисање ни саопштене информације нити њених последица.

На поновљено саопштење о исходу извлачења лото бројева, ни учесник игре као ни организатор не могу више реаговати истим интензитетом, па ни врстом емоција, јер можда већ смишљају планове на основу затечених последица, па та „иста вест“ поготово више није иста. Даље приметимо да је пуно тога у овој простој реченици „добитнички бројеви су xyz“ заправо апстрактног, а са друге стране и принудног.

Свака емисија информације нека је реализација неизвесности. Било да је то бацање коцке са шест могућности и једним исходом информације која по количини одговара почетној неизвесности, или је то финансијска вест која би нас веома узбудила. Последице неизвесности трају због одржања информације, али се раслојавају и локално постају све веће извесности. То је процес и настанка апстракција, односно појава које беже из опсега наших основних чула.

Погледајте још једном објашњење „обиља“ (Аbundance). Ми се налазимо у бесконачности опција од којих је само мали део релевантан и на основу којег су се наша чула формирала, као и веровање да других могућности ни нема. Међутим, раслојавање, које можемо разумети и путем начелног минимализма, води стања неизвесности једносмерним улицама унапред непредвидљивим, али затим ка раскрсницама са све мање гранања. Сила привлачења мањих избора расте до енормне, попут оне између кваркова, заробљавајући и усмеравајући даље процесе.

Овакав део еволуције васионе у овој (хипо)тези био би доминантнији у њеним ранијим фазама, можда чак и (скоро) завршен у време настанка првих фермиона.

Recursion

Питање: Јавља ли се облик материјалних тела у формама процеса, или у апстрактним структурама?

Одговор: Наравно, то се рецимо збива у свим интерпретацијама математике у физици. Кад боље размислимо, памћење телеснога имамо у физичком простору, јер све оно што гледамо око себе су прошли догађаји. Они су стари тачно онолико времена колико светлости треба да од њих дође до нас.

На слици десно је недавно откриће физичара са МИТ-а и другде, фракталних образаца у квантном материјалу који показује чудно електромагнетно понашање на атомској скали величина. Иначе, фрактал је геометријска фигура коју је могуће разложити на мање делове тако да је сваки њен део, макар приближно, умањена копија целине. Још се каже да је фрактал лик који је сам себи сличан. Израз је извео Манделброт (1975) из латинске речи fractus која значи сломљен, разломљен.

Линија обале има облик фрактала, стога и парадокс обале, да нема добро дефинисану дужину. Измерена дужина обале зависи од начина мерења и размере карте, а она код фракталних структура повећањем размере може неограничено расти и поред приближно непроменљиве површине острва (Британије). Кохова пахуља је фрактал облика грађеног дописивањем све мањих троуглова, која тежи коначној површини и бесконачном обиму.

Сличан појам фракталу је рекурзија, значења „дефиниције самим собом“. Она је постала моћан алат у писању алгоритама, а долази непосредно из математике. На пример, Фибоначијев низ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... дефинишемо рекурзивном функцијом \( f(n) = f(n-1) + f(n-2) \) и са две почетне вредности \(f(0) = 0\) и \(f(1) = 1\) за \(n = 0\) и \(n = 1\), а затим је \(f(2) = f(1) + f(0) = 1\), па \(f(3) = f(2) + f(1) = 2\) и даље редом.

Визуелно својство фрактала да су делови умањене копије целине, ма како на први поглед они сложено изгледали, говори нам о начину понављања природе кроз скалу величина. Одлазећи у свет све већих вредности неки образци микро света као да се понављају, упркос рецимо закона великих бројева вероватноће, или чињенице да запремина тела (углавном) расте са кубом а површина са квадратом дужине.

Очигледне су сличности са овом у ситуацијама удаљавања у простору или времену. У космичким размерама ће далеке галаксије и ондашњи свемир свеједно, одражавати наше текуће законе физике, а опет имаће упоредо и видљиве разлике са данашњим. Међусобне удаљености тела и структура, такође и ентропија васионе, мењају се, али као да стално све остаје скоро исто. У теорији информације налазим да и извесности расту временом и да је то „сазревање“, или рецимо „старење“ садашњости попут аналогног пораста повећањем броја опита.

Laxity

Питање: Избегавате ли да тумачите повећања запремине и површине тела (углавном) кубом и квадратом дужине?

Одговор: Ово је добро запажање из претходног одговора! Разлог је сложеност. То је једно крупно питање на које се има пуно тога додати теорији информације.

Квадрат ивице дужине a имаће обим 4a и површину a², а коцка површине 6a² је запремине a³. За све веће дужине a налазимо колико ова друга мера надраста прву. Њиховом односу стаје на пут начелни минимализам информације због чега те растуће структуре постају растресите.

Велике ће масе постајати гравитационе силе ширећи своју информацију у додатне просторно-временске димензије, тако је разређујући у текућој реалности да јединице запремине постају дефицитарне, успореног тока времена и на тај начин привлачне. Мањкови који настају упоредиви су са шупљинама троуглова Сјерпињског, које идући самим њиховим чврстим деловима не бисмо примећивали, али рачун би откривао мањак у односу на комплетан простор.

Троугао Сјерпињског (2Д) у корацима одстрањивањем све више својих делова добија на дужини ивица (обиму) а губи на површини, тако да у граничном случају прва дивергира а друга конвергира нули. Верзија у три димензије биће све више шупљикаво тело — неограничено растуће површине и запремине која исчезава. То је процес који омогућава све интензивније везе шупље са пуном околином, односно повећава шансе још већој растреситости.

Мера храпавости, или фрактална димензија коју је у математику увео Хаусдорф (1918) генерализује појам димензије векторског простора са унутрашњим производом, проширујући га на бројеве који нису цели. У том смислу фрактална геометрија превазилази релативистичку и њену просту допуну у (овој) теорији информације, али је поучан пример.

Hausdorff

Питање: Појасните ми Хаусдорфову дефиницију димензије?

Одговор: Важи се, рецимо једно једноставно али не банално објашњење ове апстрактне мере „храпавости“ било би кроз примере. Прво, видимо генерисање прва четири корака Кохове пахуље на слици горе, а затим троугла Сјерпињског на претходној.

1. Први Кохов троугао једнакостраничан је, рецимо странице 1, из којег настаје други додавањем 4 таква 3 пута мања на сваку од 3 стране. Обим првог је \(p_1 = 3\), другог \(p_2 = p_1\cdot\frac{4}{3}\), а уопште \(k\)-тог \( p_k = p_{k-1}\cdot \frac43 \), тј.

\[ p_k = 3\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{k-1}. \]

Обратимо пажњу на овај разломак, бројник N = 4 — број себи сличних објеката и називник S = 3 — фактор размере Хаусдорфове димензије

\[ D_1 = \frac{\log N}{\log S} = \frac{\log 4}{\log 3} \approx 1,26. \]

2. Уочимо сада прелаз са другог на трећи корак од пет сличица троугла Сјерпињског. Он се карактеристично понавља. У сваком црном троуглу, којих је три пута више (N = 3), издубљује се дупло мањи од датог (S = 2), па је Хаусдорфова димензија

\[ D_2 = \frac{\log N}{\log S} = \frac{\log 3}{\log 2} \approx 1,58. \]

3. У еуклидском простору пратимо прелазе: дуж --> квадрат --> коцка, са увећањем димензије D = 1, 2, 3. Ако се јединица дужине уситњава, постаје 1/S корацима S = 1, 2, 3 у сваком просторном правцу, мера ће се \( N = S^D \) пута увећавати.

Наиме, када дужину преполовимо (S = 2), квадрат се раставља на четири квадрата (N = 2²), а коцка на осам коцки (N = 2³). Када се дужина разбије на три дела (S = 3), од квадрата настаје девет квадрата (N = 3²), а од коцке 27 коцки (N = 3³). Уопште, ако уочимо S-ти део јединице дужине, онда ће квадрат имати N = S² квадрата, а коцка N = S³ коцки.

Логаритмујући једначину \( N = S^D \) налазимо \( D = \log N / \log S \) и при томе избор базе логаритма, \( b > 1 \), није битан, јер \( \log_b N/ \log_b S = \log_S N\). И то је то, Хаусдорфова дефиниција димензије. Она генералише еуклидску.

Lessons

Питање: Можете ли рећи неке поуке које извлачите из Хаусдорфове дефиниције димензије за теорију информације?

Одговор: Могу, а нешто од тога и хоћу. Пре свега његове димензије ирационалне су и такве се односе на фрактале, ликове саме по себи сличне. То је блиско дефиницији бесконачности.

Скуп је бесконачан, кажемо, акко може бити еквивалентан неком свом правом подскупу. Рецимо, између свих природних бројева (n = 1, 2, 3, ...) и самих непарних бројева (2n - 1 = 1, 3, 5, ...) стоји бијекција (n --> 2n - 1) и скуп N природних бројева сматрамо да је бесконачан.

Ту поуку придружујем закључку о крајњој подели информације (Packages), која постаје неизбежна када прихватимо закон одржања информације. Нема дословних фрактала у природи, тада, они се мало по мало пресликавањем у себе мењају. Многе природне појаве су цикличне, периодичне или таласне, али сада знамо да ће се њихове периоде макар мало кад-тад мењати.

Са друге стране, када покушамо дефинисати скуп свих оних и само оних ликова себи не сличних, супротност фракталима, наилазимо на Раселов парадокс „брице који брије све који се не брију сами“ (sufficiency). Тада долазимо у ситуацију да ликова има али и у немогућност да их ухватимо све. Овако или онако свет нам је бесконачан, ако није контрадикторан — поука је фрактала.

Друга лекција тиче се постепености, путем ирационалности Хаусдорфове димензије, бежања информација у светове паралелних целих димензија васионе. Када је већи број N себи сличних ликова у јединици датог, тада имамо брже уситњавање, али можемо рећи и већу амплитуду понављања фрактала. Хаусдорфова димензија сразмерна је логаритму тог броја. Њих две, N и D, понашају се као број једнако вероватних исхода (вероватноћа појединог) и информација, када је фактор размере (S) константан.

Сећамо се да моја теорија информације говори о развојности васионе, па додајмо да се она може дешавати и у постепеном крчењу путева текућих стварности кроз разломљене вредности димензија ка целобројнима.

Следећа лекција наставак је ове, у запажању да већи кораци уситњавања фрактала (N) и, према томе, њима логаритамски растуће димензије (D), представљају врсту амплитуда. Тај ће део приче ићи у прилог таласним функцијама квантне механике, на пример слободне честице (још увек га држим за себе), када фракталне димензије, или тополошке, проширимо на комплексне бројеве.

Даљи примери, тзв. поуке, били би превише фантастични за јавност, до даљњег. Нешто од тога послао сам саговорнику уз молбу да их задржи за себе, осим ако их успешно разради.

Ripples

Питање: Нисте ме убедили са бесконачностима, али можда да покушате опет објаснити „путовање садашњости кроз континуум“?

Одговор: Знам, све што се каже коначности су о бесконачном. А што се тиче другог, оно се добро уклапа, али у спекулативну идеју. Прича је ипак занимљива.

Замислите садашњост, сву нашу реалност, као мрешкање воде у мору. Не може да траје, јер чине је информације, а закон одржања не да јој да нестане. Она је зато циклична, или замало периодична јер се полако растаче, а гони је сила неизвесности. Удаљава од неизвесности и све више је у извесности. Таква је наша садашњост.

Овај концепт „кретања садашњости кроз неизвесност“ не подразумева потпуну непредвидљивост околине, као уосталом ни многе друге нама познате појаве, него њену променљивост и постепено смањивање. Раст извесности, путем у стања веће вероватноће и штедње комуникације, ће резултирати релативним успоравањем времена гледано са становишта прошлости те садашњости. Као да ток времена губи замах, расипа се и учвршћује по околним димензијама.

Трепћући кроз време садашњост напредује дискретно у опажањима било којег њеног појединог учесника, али из њиховог мноштва то изводимо у Кошијев низ. Са позиције једног посматрача догађаји чине пребројиво бесконачан скуп, кардиналног броја ℵ₀, који у бесконачно много стања има бар два могућа исхода. Посматрач живи у само по једној од таквих реализација, али њих има у бесконачном низу множења 2⋅2⋅... = 2^ℵ₀, тј. континуум 𝔠 — следећа већа бесконачност. Пут нас води континуумом могућности (Values).

Теорије скупова откриле су да континуум као следећу већу бесконачност након пребројиве можемо допунити претпоставком о бесконачности која би била уметнута између њих две. Једнака тачност таквих говори нам о потенцијалној егзистенцији још неких светова около који нас се заправо не тичу и не морају да нас занимају. Чини се да је тако и са свим осталим бесконачностима.

Space II

Питање: Укапирао сам! Ваш „простор“ је врста магацина сећања и зато је све већи, јер је историја васионе све дужа. Да ли сам нешто пропустио?

Одговор: Простор памти, али и сам је врста меморије. Тако је то у (мојој) теорији информације. А што гледамо брзином светлости је стизало из своје, боље речено из наше заједничке прошлости. Изучавање геометрије физичког простора проучавање је процеса.

Простора има све више просто зато што меморије има све више, а она је растућа јер је извесност текуће садашњости све већа! То је поента за коју ми је дуго требало, која је сама срж ове приче.

Оно што називам „ергодичком теоремом“ нема само један облик, рецимо у скрипти „Информатичка Теорија II“ (61.2.), него је читав низ сличних у та три тома. Реч је о иначе познатим штетама на информацијама које се преносе каналима, у мојој интерпретацији. Поруке су стања, или вектори, које процес преноса пресликава даље, а оне се изобличују и конвергирају својственим вредностима подметнутог им канала. Након дугих преноса, у граничном случају, канал постаје „црна кутија“; на основу излаза немамо сазнање о улазу.

Посматрање далеких галаксија пример је таквих трансформација. Зато и имамо космички „хоризонт догађаја“, јер имамо ограничење ергодичком теоремом. Секундарно, имамо га због све веће брзине удаљавањем од нас све даљих галаксија, тако да оне иза брзине светлости ни не видимо. Оно друго је питање, о разлогу и последицама могућности да имамо све дуже памћење, једнако је круцијално. Укратко, прочитајте претодни одоговор (Ripples), а за мало детаљније описе читајте „Сећања“.

Black Box

Питање: Видите ли неку аналогију између космоса и кванта?

Одговор: Наравно, има их много колико и примена математичких форми. Требало би нам превише времена и текста да их попишем, а до тада ево једног занимљивог примера.

Далеки објекти космоса у дубокој су прошлости, тако да ту информацију која нам од њих стиже веома полако кваре. Она постаје својствена након бар 13,8 милијарди година — колико васиону сматрамо старом. Спорост оштећења информације процеса преноса космичких размера произилази из закона великих бројева (теорије вероватноће), али микро свет физике нуди нам нешто сасвим друго.

Једна типична својствена једначина \(\hat{K}\vec{v} = \lambda \vec{v} \) у интерпретацији матрица другог реда дата је на слици горе десно. То је дупла стохастичка матрица, где је \(p\) вероватноћа да ће сигнал бити тачно пренешен, а \( q = 1 - p \) је да се то неће десити. При томе је \( x\) вероватноћа да ће сигнал бити послат, а \( y = 1 - x\) да неће. Једначина са слике лако се решава.

Две својствене вредности \(\lambda_1 = 1\) и \(\lambda_2 = 2p - 1\) воде редом на једначине својствених вектора \(q(x_1 - y_1) = 0\) и \(q(x_2 + y_2) = 0\). Прва даје \(x = y \), из друге следи \(q = 0\) и да је матрица тада јединична. Већ оваквим простим примером препознајемо горе поменуту ергодичку теорему. Својствени је вектор безличан и, ако пренос потраје, такве постају све излазне поруке.

Из искуства знамо да су математички ставови крајње синхронизовани, како међусобно тако и са свим опажајима или умовањима помоћу њих изведенима, па нам је утолико теже знати да ли се пре 13,8 милијарди година стварно десио „Велики прасак“ васионе, или је он привид изашао из ергодичке теореме. Како год било, микро свет процесе веома убрзава, односно чини их неизвесним, огољеним од законитости великих бројева космичких размера.

Другим речима, прелазак послате поруке у својствену веома је брз процес у микро свету, он је онај колапс из стања суперпозиције који је и још увек мучи квантне физичаре. Зато су обзервабле (мерљиве величине) квантне механике увек и својствене вредности одговарајућих оператора, јер стање које бисмо да посматрамо веома је узурпирано мерним уређајима. Ми му подмећемо окружење мање информације и наводимо спонтаној емисији, комуникацији са апаратуром (иначе противно начелном минимализму).

Микро свет има још један начин деловања који ретко виђамо у великом, или нашем свету. У њему су чешћа „обилажења“, такође због истих већих неизвесности, па и употреба комплексних бројева тамо има више смисла. Као што видимо, теорија информације физици нуди једноставна решења за њене тешке дилеме, али тражи и искорак у апстрактнију тзв. реалност.

Reception

Питање: Зашто не видимо додатне димензије?

Одговор: Не комуницира све са било чим, не преноси се порука ономе ко је не зна читати. Томе додајмо да окружење дефинише предмет комуникације, да стања теже ка мање информативнима, да важи закон одржања.

Постављам сто информатичком тумачењу, али биће их и других, такође тачних. Многострукост је у природи математике.

Када се једна од опција изјасни, она покупи сву претходну неизвесност. Тако је количина неизвесности пре бацања фер коцке log 6, колика је и (количина) информација након бацања, када падне рецимо „тројка“. То значи, ако се дата честица (неизвесност) изјасни у једној реалности, она постаје одређена, њена путања се дефинише. Елементарна честица тада може предмету интеракције рећи све о себи колико може тако да је, или њене појаве, на стари начин — више нема.

Одређивање на овај начин је процес који траје и траје, дефинишући нашу реалност. При томе велика тела, са пуно прича и саговорника, могу бити дуговечна и слабо зависна од појединаца. Оно што они заједнички граде у нашој стварности су дефинисање канала преноса, профилирање исхода свих учесника (Black Box). То је стални процес и, попут јавног мишљења, увелико је одлучујући за исходе појединих учесника.

Другим речима, реалност у којој живимо не да нам да видимо ону другу. У прошлост не можемо, јер је изјашњена и непријемчива, а будућност је „далеко“ као и паралелна реалност. Хоћу рећи, ми немамо одговарајући „канал преноса“ који би нас као своју својствену вредност пребацио у та друга времена. Они тамо такође не могу овамо. У свету малих величина, ослобођеном од закона великих бројева (теорије вероватноће), такви су прелази лакши (Bypass).

Укратко, наша реалност гради такав канал преноса информација (нас) којем су оно што преноси својствене вредности и могуће обзервабле. А другој структури оне то нису.

Past

Питање: Зашто мислите да је прошлост „непријемчива“, како?

Одговор: У смислу „путовања садашњости кроз континуум“ (Ripples) прошлост би остала у стањима мање вероватноће. По „аналогији космоса и кванта“ (Black Box), прошлост би била у потрошеном или превазиђеном стању „канала преноса“ за стања садашњости. Нова су недовољно својствена да би се тамо једнако реализовала.

Међутим, имам и старија запажања (Информација Перцепције, стр. 58) и даље актуелна. Телу у релативном кретању време је спорије. Када нам оно долази садашњости су нам све ближе једна другој да би се у мимоилажењу изједначиле. То значи да је до тренутка мимоилажења то тело било у нашој будућности. Обрнуто стање настаје када се тело затим настави удаљавати од нас, оно тада одлази у нашу прошлост.

Овај пример специјалне теорије релативности са Доплеровим ефектом, који каже да ће таласне дужине рецимо светлости извора у кретању бити краће у доласку а дуже у одласку, интерпретирам вероватнијим будућим стањима од садашњих, а поготово од прошлих. Веће таласне дужине су више размазани положаји честица-таласа и дефинишу позиције мањих густина вероватноћа.

Просто зато што је прошлост мање вероватна, садашњост се креће ка будућности. Али овако или онако сви се такви разлози своде на начело минимализма информације.

Eigenvector

Питање: Шта је својствена вредност процеса и зашто је тако важна?

Одговор: Ово је једно од чешћих питања ми (Eigenvalue) и уједно од најзахвалнијих за различите апспекте одговора. Када будете (ако икада) ишли на предавања из више алгебре, или анализе, наћи ћете колико се својствене вредности оператора опширно и нимало једноставно проучавају у математици, али могло би вам ипак промаћи оно што ћу вам сада испричати.

Својствене вредности су резултати процеса које ми можемо опажати, или мерити. У мноштву опција којима процес (оператор) може одвести стања (векторе) које проучавамо, својствена су она стања која се мењају слабо или никако. То значи да су баш она та чврста места у кошмару за која се можемо хватати. У теорији квантне механике таква су тако рећи једина за експерименталне физичаре данас достојна пажње.

На пример, на слици лево горе приказана је \(\psi\) једна једноставна таласна функција, решење Шредингерове једначине за слободну честицу. Рецимо да се она простире дуж апсцисе (x-осе). Процес који мења њене положаје описујемо оператором \(\hat{x}\), тако да је \(\hat{x}\psi = x\psi\). Отуда је \(\psi = \psi(x)\) својствена функција (она је и вектор) оператору положаја чија својствена вредност је управо положај \(x\) честице-таласа.

Други пример, иста таласна функција коју пишемо детаљније \(\psi = e^{ipx/\hbar}\), где је \(p\) импулс честице-таласа, а \(\hbar\) је редукована Планкова константа, са оператором импулса \(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) даће \(\hat{p}\psi = p\psi\). Другим речима, иста \(\psi\) је својствене функција и оператора импулса, сада са својственом вредношћу импулсом \(p\).

Трећи пример, опишимо мерење импулса и положаја, односно положаја и импулса таласне функције:

\[ \hat{x}\hat{p}\psi = \hat{x}(\hat{p}\psi) = \hat{x}p\psi = p(\hat{x}\psi) = px\psi, \] \[ \hat{p}\hat{x}\psi = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}(x\psi) = -i\hbar \psi + xp\psi. \]

Одузимањем налазимо:

\[ (\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})\psi = [\hat{x}, \hat{p}]\psi = i\hbar\psi, \] \[ [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar, \]

а то су Хајзенбергове релације неодређености положаја и импулса.

Мерећи импулс и положај различитим редоследима, добијамо различите резултате. Односно, уколико тачније меримо положај честице користећи гама зраке мањих таласних дужина али већег импулса, толико нетачније сазнајемо њен импулс. Према овоме, немогућност тачног мерења уопште (у теорији информације) није инжењерски проблем, него долази из саме некомутативности неких оператора.

Све се у физици врти око мерења, па су својствене вредности важније и у математици. Међутим, у теорији информације оне постаће израз начела минимализма. Процес који мења стање изискује вишкове дејства, просто зато.

Dispersion

Питање: Како својствене вредности пренети информацији перцепције?

Одговор: Рецимо као дисперзију. То је „опсег“ (енг. range), проста разлика крајњих вредности. Или је „варијанса“, средње квадратно одступање од средње вредности

\[ \sigma^2 = \sum_{k=1}^n p_k(x_k - \mu)^2 \]

где је \(p_k\) вероватноћа варијабле \(x_k\) са \(n = 2, 3, ...\) могућих исхода, а

\[ \mu = \sum_{k=1}^n p_k x_k \]

је средња вредност, тзв. математичко очекивање (енг. mean). Корен варијансе \(\sigma\) у статистици се назива „стандардна девијација“, а често је подразумевана „дисперзија“.

У књизи „Квантна механика“ (1.4.4 Принцип неодређености) наћи ћете да се и како Хајзенбергове неодређености дефинишу „подразумеваном“ дисперзијом, реченом стандардном девијацијом, тј. кореном варијансе. Те се статистичке процене лако преносе на векторски простор снабдевен скаларним производом, а тако и на операторе (који су врста вектора). А ево једног примера са операторима у књизи детаљно рађенима.

Замислимо да у датим околностима, стања \(\psi\) околине, имамо играче \(A\) и \(B\) који се надмећу стратегијом, било врхунском (Reciprocity) или другом. Током игре они воде процесе \(\hat{A}\) и \(\hat{B}\), који су иницијативе, или реакције на акције опонента, а ми израчунавајмо дисперзије њихових узвраћања, па процењујемо вредност игре. Случајне варијабле су из неког скупа \(X\), који нека је континуум вредности (реалних или комплексних бројева).

Варијансе ових оператора биће:

\[ \overline{(\Delta\hat{A})^2} = \int_X \psi^* |\hat{A} - \mu_A|^2\psi, \quad \overline{(\Delta\hat{B})^2} = \int_X \psi^* |\hat{B} - \mu_B|^2\psi, \]

где су \(\mu_A\) и \(\mu_B\) средње вредности ових оператора. Иначе, вероватноће обзервабле су производи коњуговано комплексних стања, таласних вектора \(\psi^*\psi\), овде густине вероватнће. Рачун који сам навео у књизи, на крају даје:

\[ \sqrt{\overline{(\Delta\hat{A})^2}} \cdot \sqrt{\overline{(\Delta\hat{B})^2}} \ge \left|\frac{[\hat{A}, \hat{B}]}{2}\right|, \]

где је комутатор \( [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \) ових оператора. Он није нула када оператори нису комутативни, што они углавном и нису.

За операторе положаја и импулса (претходно питање) је \( [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar \), а комутатор времена и енергије је \( [\hat{t}, \hat{E}] = -i\hbar \), па претходна неједнакост генералише Хајзенбергове релације неодређености у принцип. Када год процесе изводе некомутативни оператори (битног редоследа примене), неизвесност једног расте ако неизвесност другога опада. У примеру који сам навео, тада није могуће предвидети тачан исход игре.

Информација перцепције је израз оваквих израчунавања. У дискретном случају пишемо је \(S = a_1b_2 + a_2b_2 + ...\), упрошћено, али подразумевамо да овај збир може бити и интеграл. Такође, фактори у сабирцима могу бити и неодређености, \( \sigma_A = \Delta A = \overline{(\Delta\hat{A})^2} \), налик Хајзенберговим. Занимљивост ове методе је да у њој сабирци комутативних оператора (процеса) не доприносе информацији перцепције.

Commutation

Питање: Можете ли ми појаснити како и када је комутативност процеса знак одсуства њихове узајамне комуникације?

Одговор: То је врх леденог брега. Интуитивно, комутативност била би врста симетрије при употреби оператора, независност промена сваког од њих на процесе другог, окомитост, или паралелност њих у одговарајућем простору.

Сваку од ових очекивања могуће је прецизирати, али изабрао сам демонстрацију приказану сликом горе лево. Пронађимо површину троугла OAB и приметимо је као информацију, а затим сагледајмо још понешто около.

1. Уочимо да се тај, шрафирани, троугао добија сабирањем површина једног троугла и правоуглог трапеза и одузимањем површине другог троугла:

\[ S(OAB) = S(OB_xB) + S(B_xA_xAB) - S(OA_xA) = \] \[ = \frac12 B_xB_y + \frac12 (A_y + B_y)(A_x - A_y) - \frac12A_xA_y \] \[ = \frac12 (A_xB_y - A_yB_x) = \frac12 [A, B]. \]

Та површина је „комутатор“ који одавно користим у геометрији (Троугао) и који ми је био инспирација у проучавању сила (Conics), али и за много тога у теорији информације. Пратите наведене линкове (текстове) ако би да видите колико је опширна, издашна тема начета питањем.

2. На основу исте слике, интензитети вектора \(\vec{a} = \overrightarrow{OB}\) и \(\vec{b} = \overrightarrow{OA}\) одређују површину троугла на старински начин:

\[ a^2 = \|\vec{a}\|^2 = A_x^2 + A_y^2, \quad b^2 = \|\vec{b}\|^2 = B_x^2 + B_y^2, \] \[ S(OAB) = \frac12 ab\sin \varphi, \] \[ ab\sin\varphi = [A, B], \]

где је \(\varphi = \angle AOB\) угао између датих вектора.

3. Из овога израчунавамо:

\[ \cos^2\varphi = 1 - \sin^2\varphi = 1 - \left(\frac{[A, B]}{ab}\right)^2, \] \[ a^2b^2\cos^2\varphi = a^2b^2 - [A, B]^2 = (A_xB_x + A_yB_y)^2, \] \[ ab\cos\varphi = \{A, B\}, \]

где је \( \{A, B\} = A_xB_x + A_yB_y\) антикомутатор.

4. Коначно формирамо и Ојлерову функцију

\[ e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi = \frac{1}{ab}([A, B] + i\{A, B\}). \]

То је основна форма таласних функција квантне механике (Free particle), која садржи вероватноћу обзервабле и информацију честице-таласа.

Из ових неколико примера видимо колико не-нулта комутативност, или макар антикомутативност, значи за присуство узајамне информације два стања (процеса), за њихово узајамно опажање, или комуникацију.

Tempo

Питање: Како налазите n-ти степен матрице?

Одговор: Питање није имало везе са теоријом информације, али ће одговор имати. Инструкције из математике у начелу не држим и ретко се деси да тумачим понеки такав (сматрам лакшим) задатак.

На пример, узмимо стохастичку дуплу матрицу другог реда (Black Box). Она је симетрична, а такве множењем дају опет симетричне матрице. Наиме:

\[ \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ap + bq & aq + bp \\ aq + bp & ap + bq \end{pmatrix}. \]

Сада тражимо n-ти степен овакве матрице у облику:

\[ \hat{A}^n = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} A_n & B_n \\ B_n & A_n \end{pmatrix}, \] \[ \hat{A}^{n+1} = \begin{pmatrix} aA_n + bB_n & aB_n + bA_n \\ aB_n + bA_n & aA_n + bB_n \end{pmatrix}, \] \[ \begin{cases} A_{n+1} = aA_n + bB_n \\ B_{n+1} = aB_n + bA_n \end{cases} \]

Сабирањем и одузимањем налазимо:

\[ \begin{cases} A_{n+1} + B_{n+1} = (a + b)(A_n + B_n) = ... = (a + b)^{n+1} \\ A_{n+1} - B_{n+1} = (a - b)(A_n - B_n) = ... = (a - b)^{n+1} \end{cases} \] \[ \begin{cases} A_n = \frac12 [(a + b)^n + (a - b)^n] \\ B_n = \frac12 [(a + b)^n - (a - b)^n] \end{cases} \]

Када је \(a \in (0, 1)\) вероватноћа да ће се одређени исход десити, а \(b = 1 - a\) вероватноћа да се такав неће десити, биће \(a + b = 1\) и ставимо \(a - b = \alpha \). Тада за степен ове матрице важи:

\[ \hat{A}^n = \begin{pmatrix} \frac{1 + \alpha^n}{2} & \frac{1 - \alpha^n}{2} \\ \frac{1 - \alpha^n}{2} & \frac{1 + \alpha^n}{2} \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & \frac12 \end{pmatrix}, \]

када \(n \to \infty \). Ова завршница тиче се теорије информације.

Видимо да композиција матрица \(\hat{A}\), која је облика \(\hat{A}^n\), полако клизи у безличну, црну кутију, која ће сваку расподелу пресликати у безличну:

\[ \begin{pmatrix} \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & \frac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac12 \\ \frac12 \end{pmatrix}, \]

а то је оно што је претходно (Black Box) објашњено на други начин. На овај начин гледајући на исти проблем, налазимо да је брзина преласка дупле стохастичке матрице у безличну утолико већа што је она (већ у почетку) била ближа безличној, уколико је разлика \( \alpha = a - b\) мања.

Напомињем још једном да су овакве ситуације макро света са реалним бројевима коефицијентима матрица, за разлику од којих у микро свету имамо и комплексне бројеве, па зато додатне и нове концепте. Ево још неколико сличних примера.

Induction II

Питање: Зар не користите математичку индукцију за налажење n-тог степена дате матрице?

Одговор: Такозвана математичка индукција погодна је када имамо претпостављена решења чије се тачности требају доказивати. Она иде на следећи начин.

Имамо неограничен низ тврђења \(T_1, T_2, ..., T_n, ...\) у којем првом члану непосредно проверавамо тачност, а затим проверавамо и тачност импликације \(T_n \Rightarrow T_{n+1}\) за индекс \(n = 1, 2, 3, ...\) уопште.

Приметимо да је доказ импликације често лакши од непосредног доказа. Тако је, рецимо, лакше изрећи „када бих стајао на Месецу видео бих да је Земља округла“, него отићи на Месец и то проверити. Ево примера.

1. Докажимо методом математичке индукције да је:

\[ \hat{A}^n = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} a^n & b(a^{n-1} + a^{n-2}c + ... + ac^{n-2} + c^{n-1}) \\ 0 & c^n \end{pmatrix}. \]

Први корак индукције, за \(n = 1\), очигледно је тачан, јер \(\hat{A}^1 = \hat{A}\).

У другом кораку индукције претпостављамо да је тврђење тачно за опште \(n\) и проверавамо тачност за \(n + 1\):

\[ \hat{A}^{n+1} = \hat{A}\hat{A}^n = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^n & b(a^{n-1} + a^{n-2}c + ... + ac^{n-2} + c^{n-1}) \\ 0 & c^n \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} a^{n+1} & b(a^n + a^{n-1}c + ... + ac^{n-1}) + bc^n \\ 0 & c^{n+1} \end{pmatrix}, \]

а то је тачно n + 1 степен дате матрице. Како су оба корака математичке индукције проверена, то је проверена тачност наведеног тврђења.

2. Сведимо дату матрицу на (обичну) стохастичку, стављајући \(b = 1 - a\) и \(c = 1\), при чему је \( a \in (0, 1)\) вероватноћа тачног преноса (првог) сигнала:

\[ \hat{A}^n = \begin{pmatrix} a^n & (1 - a)(a^{n-1} + a^{n-2} + ... + 1) \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^n & 1 - a^n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Када би вероватноћа a била било који број осим 1, онда се информатичко тумачење овог примера своди на претходни (Tempo). Тада \( a_n \to 0 \), када \( n \to \infty \), па

\[ \hat{A}^n \to \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \]

што је такође безлична матрица преноса информација, црна кутија, јер сваки сигнал саопштава као други, односно грешку.

Приметимо да ергодичка теорема („Информатичка Теорија II“, 61.2.) обе ове „безличне“ матрице препознаје, поред осталих њима сличних.

Nothing

Питање: Како „нешто“ може настати из „ничега“?

Одговор: Тако што укупно „свега“ остаје како је било. „Ништа“ тако разлажемо на +1 и -1, јединицу у интензитет јединичног вектора, јединичну матрицу на производ две унитарне.

То су процеси који се у микро свету чешће догађају, а најлакше их посматрамо у вакууму где се до сада већ рутински откривају:

\[ 0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0. \]

Описани је процес креације и анхилације који се квантном свету стварно, насумично дешава. Физика у свакој овој фази има своје ознаке:

\[ 0 = \langle 0| 1 \rangle = \langle 0| \hat{I} |1\rangle = \langle 0| \hat{\sigma}_x \hat{\sigma}_x |1\rangle = \langle 1| 0 \rangle = 0. \]

Овде је \(\hat{\sigma}_x\) прва од три Паулијевих матрица (Квантна Механика), које се дефинишу тако да им је квадрат јединична матрица. Ова ће ко и контра-варијантне векторе \(|0\rangle\) и \(|1\rangle\) трансформисати један у други.

Лако је на овај начин комбиновати и добијати „шта год“ хоћемо. Заправо то су само привремене појаве, али било којих честица, ако се при томе не нарушавају основни закони физике, првенствено закони одржања.

June 2023 (English ≽)