Новембар 2024 (English ≽)

George Boole » eng

Питање: Има ли Булова алгебра везе са теоријом информације?

Одговор: Да, а то је једна дуга и интересантна прича. Џорџ Бул (1815–1864) је први математичар коме је пало на памет, а затим и успео израчунавати тачност (⊤) као и нетачност (⊥).

„Исказ“ је математичка реченица која може бити једино тачна или нетачна. Реченица A ∨ B је тачна ако је бар један од исказа A или B тачан и назива се „дисјункција“. A ∧ B је „конјункција“ која је тачна само када су оба исказа A и B тачни. Затим имамо исказ A ⇒ B, ако је A онда је B, увек тачан осим када је A тачно а B нетачно, који називамо „импликација“. Негација тачног (¬⊤) је нетачно, а негација нетачног (¬⊥) је тачно.

Бинарних логичких операција има 2⁴ = 16, колико и комбинација тачно-нетачно на 2×2 = 4 позиције, али се све оне могу записати дисјункцијом, конјункцијом и негацијом. На пример, импликација A ⇒ B једнака је са исказом ¬A ∨ B, што је лако проверити непосредним уврштавањем свих (четири) могућности A, B ∈ {⊤, ⊥}. Поливалентне логиге, са вредностима тачно, нетачно и бар једним можда, колико су корисне за једноставност неких исказа, толико нису потребне, јер се сваки њен исказ може свести на исказе бинарне, Булове алгебре логике.

Скоро век од открића, Булова алгебра била је непримећена или небитна, све до појаве компјутера. Тада је тачност и нетачност постала „има струје“ или „нема струје“, обично представљана бинарним бројевима 1 и 0. Ту је и још непримећени велики корак у схватању „неистине“ као еквивалента „истини“, веома користан у овој теорији информације. Као додатак томе, приметимо да истовременим заменама „тачног“ и „нетачног“, ⊤ → ⊥ ако и ⊥ → ⊤, тачни искази постају нетачни и обрнуто, а све таутологије (увек тачни) постају контрадикције (увек нетачни).

Међутим, истина и лаж, као присуство дејства и одсуство дејства, у бити су различите појаве. Прва траје, а друга нестаје. Првој је обавезан закон одржања и не мора се обазирати на ову другу, а другу лако заборављамо, могуће је чак и експоненцијалном брзином (Dissonance). Ипак, својства ове друге незамењива су првом, од изградње виталности до могућности разумевања математике.

Consensus » eng

Питање: Може ли се десити да лаж буде истина?

Одговор: Метафорички, када се мисли у пренесеном смислу, да. Такође, ако постоји конзензус око, рецимо, прошлости каква нам се можда и није дешавала. Треће, када својевољно или не пристајемо на лажи којима се усмеримо у нову реалност.

Када писац фикције, користећи измишљене ликове и догађања, изговара забрањене или тешко схватљиве истине, то је на начин импликације ⊥ ⇒ ⊤, која је тачан исказ. Дешава се и да говоримо двосмислено, намерно нетачно наводећи саговорника да између редова чита истине. Или, ако кажемо, да наравно да звезде висе на небу као на лампе на плафону. Не очекујући да би неко поверовао у оно што причамо. Али, ово није у пуном смислу „лаж која је истина“.

Фикција и када настави приповедати неистине, на свој ће начин, постати стварност (Pinocchio). Када стиже до својих читаоца прича може пронаћи своје место у нашој виталности, у нашим сећањима која трају у везама са физичком реалношћу. Подсећам, оно што је реално може бити опажано, траје и истинито је (Relationship). Тако може и сама фикција, као „чиста“ неистина бити истина.

Група људи у међусобној сагласности може да живи у својој „реалности“, да необично дуго траје у својој „истини“. Таква је способност живих бића уопште, захваљујући вишку информације (количине неизвесности) коју поседују, а са друге стране је веза тих опција са стварношћу. Прва страна је виталност која им даје способност бирања, већу од оне коју дозвољава принцип најмањег дејства, а друга је супстанца која им даје постојаност, дакле истинитост. Раздвајањем, прва нестаје а друга опстаје.

Физичка стварност неумољиво иде својим путем не примећујући фикције и пре или касније стиже до раскола са полуистинама које би трајале. Зато питање преживљавања прелази на способност прилагођавања и на умеће виталности (свесно или не) да се увек у критичним тренуцима налази на правим местима. Еволуција живих бића на земљи као да је „утврдила“ да виталност нема толику вештину трајања, па се са одржавања индивидуа премештала на одржавања биолошких врста. Могуће је живети у лажи „као да је истина“ али не толико дуго као да је истина.

Коначно, могуће је пркосити природи и мењати је. То је суштина „вишка опција“, виталности, у надметањима (Стратегије), у економији, у науци и технологији. Самим својим физичким присуством комуницирамо, тако и мењамо ствари, а делујући својим вишком воље на тело, околину додатно прилагођавамо. То је оно, треће, када својевољно или силом пристајемо на лажи које ће нас водити у тако измењену реалност. На то исто можете гледати и као слабост појединаца због које њима други управљају.

Када снови постану стварност, лаж постаје истина. Дакле, може се десити да лаж буде истина. Толико што се тиче макро-света. У оном малом-свету ово „претварање“ је много чешћа, замало нормална појава.

Quantum World » eng

Питање: Шта је са истином и лажи у квантном свету?

Одговор: Екстремно мали свет физике комуницира у пакетима најмањег дејства, интеракцијама којима размењује информације. Свака од таквих размена за њих је џиновски догађај, као судари планета нашег света. Међутим је и много ређа појава.

Честице квантног света „живе“ у великој неизвесности, толикој да „путању електрона одређује мерење“, како је својевремено приметио Хајзенберг изазивајући тиме претходно, класично физичко становиште. Након предаје информације апарату у процесу мерења, електрон остаје са мањом неизвесношћу и тиме већом извесношћу којом његова путања постаје боље дефинисана — објашњење је „чудне“ изјаве Хајзенберга са становишта ове теорије информације.

Претпостављена објективна неизвесност ове теорије значи да било које мерењем нађено стање електрона пре мерења је могло и бити и не бити. Ово „јесте“ и „није“ говори о реалности, односно о истини и неистини, а једно од њих је да „лаж“ пре мерења постаје „истина“ након. Занимљиво је да мереним појавама увек припадне „истина“ и закон одржања, док се све остало сведе на недостатак тога (Quantum Nature Experiment).

Настављајући ову идеју приметимо да мерење мења прошлост електрона. Доследно информатичком тумачењу (Relationship), реалност постоји као трајање (законом одржања) и развој историје. Реални затворени системи садрже константну збирну информацију садашњости и њене прошлости, па електрон након првог мерења и комуникацијом може поново запасти у стање веће неодређености. Слично размишљање открива испрекидано постојање електрона. Не само да му се „лаж“ претвара у „истину“, него се таквом догађа и обрнуто.

Нема непрекидности у егзистенцији појединих квантних честица. Њихов простор и време су „ћелијски“, испрекидани и дати најмањим „пакетима“ информације, аналогно квантима за физичка дејства. Али, те позиције су сопствене, а кретања су релативна, па је проширено становиште простор-времена важније. У средњем, дискретне позиције постају непрекидне, па исто кажимо, потенцијал простор-времена је је без прекида.

Дискретност (испрекиданост) општег простор-времена нестаје као што се смањују случајности преласком из света малог у свет мноштва. Тај ефекат закона великих бројева из теорије вероватноће видимо и из чињенице да „Месец не нестаје када га не гледам“, што је својевремено био „аргумент“ против Хајзенберговог „непостојања путање електрона пре мерења“. Јер велика тела комуницирају са мноштвима одједном, за постојаност им је небитан поједини саговорник.

Vacuum » eng

Питање: Где видите бесконачности у физици?

Одговор: Неизвесност, рецимо, путање електрона пре мерења, садржи оно што отуда можемо добити као информацију. Ово није могуће оспоравати као ни тврђење „бело је бело“, а затим приметимо шта казује Борељ-Кантелијева лема. Када је ред вероватноћа конвергентан:

\[ \sum_{k = 1}^{\infty} \Pr(A_k) \lt \infty, \]

онда је највише коначно догађаја A_k збирне вероватноће један. Другим речима, било случајних исхода бесконачно много или не, актуелних има само коначно много. На овај начин није могуће негирати бесконачности бар онолико колико их у физици није могуће ни прихватати.

Наставак наведене леме утврђује како дивергентан ред са вероватноћом један реализује бесконачно много догађаја. Између та два становишта је празнина која не емитује случајне догађаје, или их емитује веома ретко, са вероватноћама блиским нули. То су неизвесности из којих не следују информације, или се појављују толико ретко да не смета веровати како такве не постоје. Узгред, већ постоје експериментом виђене „немогуће“ емисије честица из вакуума.

Колико је научника заиста видело Андромеду, или неку даљу галаксију (List of galaxies), а били би веома наивни ако бисте тврдили да такве не постоје. Хоћу рећи, одавно смо прерасли „бебаћи период“, односно сва незрела веровања да има смисла бавити се само оним што видимо, што можемо опипати, појести. Тако стоје ствари и са бесконачностима. Ово нарочито зато јер имамо математичке доказе о њима. Доказе који су се превише често показали јачима од наших уверења, интуиције и чула.

Modal matrix » eng

Питање: Шта је то дијагонализација оператора?

Одговор: Догађаји ω_k ∈ Ω, где су k = 1, 2, 3, ..., чине расподелу ако су дисјунктни (када се деси један неће други) и дешава се по један. По потреби, додамо расподели и догађај ω₀ да се није десио нити један догађај. Описане (Vacuum) расподеле дају еквиваленцију са суперпозицијом квантне физике.

Линеарност (замало друго име) суперпозиције и њених промена чини их подесним за стања и процесе. Означимо их са x и A као примене вектора и оператора линеарних простора. Нарочито је прикладно када су вектор x и оператор A такви да задовољавају карактеристичну једначину Ax = λx, где је λ неки број (реалан или комплексан). Такво је λ својствена вредност оператора A, а x им је одговарајући својствени вектор.

Вектори и линеарни оператори, посебно векторских простора коначне n димензије, имају своје матричне репрезентације. Тада је x = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n) вектор-врста, а x^† вектор-колона, коњуговано транспоновани x. Вектор x је коваријантан, а вектор x^† је контраваријантан. Први и други могу бити интерпретације дуалних простора (Variance). Свеједно, матрични записи оператора зависе од избора базе простора, а само у стандардним базама вектора (низ нула и 1 на k-том месту) те матрице су дијагоналне.

Квадратна матрица A има дијагоналну матрицу D ако постоји P, помоћна матрица (modal matrix), таква да D = P^-1AP. Матрица P = P[x₁^†, x₂^†, ..., x_n^†] постоји када су својствени вектори x_j једначине Ax_j^† = λ_jx_j^†, за j = 1, 2, ..., n, линеарно независни, када су и све својствене вредности λ_j различите. Ова матрица P има колоне својствене векторе. Инверзна P^-1 = Q[x₁, x₂, ..., x_n] је P^† матрица која њом множена даје јединичну матрицу, QP = I. Уздуж дијагонале јединична матрица има јединице и све остале нуле.

Приметимо да својствени вектори (x_j) одговарају стањима којима њихови процеси (A) не мењају смер, па промене интензитета (λ_j) можемо виђати као обзервабле. Како је AP = [λ₁x₁^†, λ₂x₂^†, ..., λ_nx_n^†], биће QAP = D матрица са својственим вредностима λ₁, λ₂, ..., λ_n на дијагонали и осталим нулама. То значи да се дијагонализацијом матрице векторска база стандардизује док се обзервабле оптимизују.

Ове трансформације координата не утичу битно на стања и промене. То се види применом резултирајуће дијагоналне матрице:

\[ D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_2 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & ... & \lambda_n \end{pmatrix} \]

на стандардну базу векторског простора:

\[ e_1^{\top} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix}, \quad e_2^{\top} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix}, \quad ..., \quad e_n^{\top} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ 1 \end{pmatrix} \]

која је тада скуп својствених вектора, јер је D e_k^† = λ_k e_k^† за исте својствене вредности λ_k редом свих индекса k = 1, 2, ..., n. Наиме:

\[ \lambda_k = x_kAx_k^{\dagger} = x_kPDP^{\dagger}x_k^{\dagger} = (x_kP)D(x_kP)^{\dagger} = e_kD_k^{\top} = \lambda_k. \]

Подразумева се x_kx_k^† = ∥x_k^†∥² = 1, да су својствени вектори нормирани.

Својствени вектори интерпретирани у теорији информације, иначе такви да је x_kx_k^† = 1 и x_kx_j^† = 0 када k ≠ j, су нарочити узорци нормираних стања који узајамно не комуницирају. Они су узорне структуре догађаја које се међусобно толеришу.

Lipschitz » eng

Питање: Какав је однос опажања p-норми које нису дуалне?

Одговор: Питање је из разговора о применама функционела као и јединствености учесника васионе (Conjugated). То је веома далеко од онога чиме се бавио Липшиц (1832-1903) математичар родом из Кенигсберга, а опет је сасвим добро за одговор на питање, ако узмемо Липшицов критеријум и еквиваленцију.

Норме ∥⋅∥_a и ∥⋅∥_b векторског простора V су Липшиц еквивалентне ако постоје константе μ, ν > 0 да је ∥x∥_a < μ ∥x∥_b и ∥x∥_b < ν ∥x∥_a за све x ∈ V. Отуда, налазимо Липшиц еквиваленцију метрика d = ∥x - y∥, када:

d_a(x, y) < μ d_b(x, y)   ∧   d_b(x, y) < ν d_a(x, y)     ∀x, y ∈ V,

за неке константе μ, ν > 0. Може се доказати да је свака норма на ℝⁿ овако еквивалентна еуклидској норми:

\[ \|x\|_2 = \sqrt{|\xi_1|^2 + |\xi_2|^2 + ... + |\xi_n|^2}, \]

где је x = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n). Отуда дефинишемо и еуклидску метрику.

Поента у позадини ове приче је могућност свођења p-норми на еуклидске 2-норме, а она је и одговор на питање. Неким сразмерама две дате норме се своде на еуклидске и у истим односима се нађу интензитети предмета опажања. Долази до померања која могу произвести нове дуалне парове.

Апстрактни простори нису само за употребу оних физичких. Примењују се на изузетно много различитих начина које је неке нама свима тешко схватити, а верујем да их је могуће применљивати и на начине нама за сада потпуно несхватљиве. А само једна група тих примена односи се на теорију опажања.

Фокус субјеката норми које нису дуалне објекту посматрања замагљен је — рећи ће примарни субјекат. Али не — може му одговорити секундарни — јер оно што ја видим ти не видиш. Ово обухвата од разних фреквенција светлости, или звука, које појединци могу опажати, па све до перцепција уопште, укључујући и разумевање доказа, или примена теорема. То што утврђују теореме истине су, наглашавам, појаве изнад пуких фикција.

Horizon II » eng

Питање: Где још видите додир бесконачности и конкретног?

Одговор: Ово питање долази из претходних разговора (Vacuum), али ћу га надоградити са управо претходним (Lipschitz). Кренимо од Сколемове теореме (Actual vs Ideal), да се теорије увек јављају неограничено копиране. Додаћу, оне су неодвојиви делови праксе која је, у крајњем, јединствена.

Јединственост је особина праксе, односно субјеката „информације перцепције“, овде утврђивана и нашироко расправљана. Тако се намеће и занимљиво питање, како је могуће имати јединствене конкретне појаве у евентуално коначном броју и при томе бесконачне шаблоне дедуктивних теорија Сколема. Одговор нагађамо, прво, у бесконачној сложености тих конкретних појава, или, друго, у бесконачности самих конкретних појава. Укључујући бар једну, али не искључујући ни обе могућности заједно.

Међутим, прва претпоставка је на климавим ногама. Прво због коначних дељивости физичког дејства и информације (Packages), а осим тога, јер је онда утврђена бесконачност садржаја свих, па и „најмањих“ пакета. Горе понуђена друга од могућности заправо је сасвим у складу са намером да физички мерљиво, комуникативно, одрживо и истинито стрпамо у исти кош са ознаком „Реално“.

Са друге стране је огромна стално ширећа васиона око нас. Ако већ нема краја будућем времену, што је још једна (потенцијална) бесконачност из свакодневнице, онда остају теорије о физици са оне стране граница нама видљивог космоса. Свемир има 92 милијарде светлосних година (дужина пута светлости за толико година) у пречнику, али му је старост само 13,8 милијарди година. Апсурдно, али сматра се да се свемир у свом почетку (инфлације) ширио брже од светлости. Додатно, знаном космологијом, набирањем и истезањем простора могуће су његовим деловима и брзине веће од светлости у вакууму (c ≈ 300 000 km/s).

Истражујући теорију информације, пак, приметићемо да пренос порука има губитке (Марков ланац) због шума канала и дезинформација, да би на крају постао „црна кутија“. Након пуно карика, које би могле бити те 13,8 милијарде година од Велике експлозије до данас, излазна је порука увек иста без обзира каква је била улазна. Али тај теоријски „фантомски излаз“ управо је оно што видимо као „прапочетак“ свемира (Big Bang).

Та моја теорија (још увек немам сараднике) предвиђа смањивање густине информације садашњости зарад све дуже прошлости из које се она затим допуњава. Све старија прошлост све је слабија попуна садашњости, да би она најстарија била из времена Великог праска. Другим речима, видимо оно што нам та „црна кутија“ дугог ланца преносника приказује. Основно у овој теорији је да оно што видимо не мора бити оно што јесте, па ћемо и тај прапочетак сматрати климавом идејом. На страну што је ова „илузија“ изведена математички и не може јој се доскочити доказима нижег нивоа.

Проређена информација садашњости значи мање догађаја и успоравање тока времена, што даље значи још брже ширење све даљих галаксија, јер их због ограничене брзине светлости видимо из прошлих времена. Тако долазимо до васионе која се не рекреира (прераспоређује једне исте своје елементе), него се стално помало креира никада не бивајући иста. Стална таква промена још је једна најава бесконачности, поред управо отворене могућности да је сам свемир једна бесконачност у тренутном ширењу.

Life II » eng

Питање: Како настаје и опстаје живот?

Одговор: Ово је за „Информацију Перцепције“ питање теорије која је иначе веома апстрактна и само тако „површно“ ћу га третирати, обзиром на претежне евентуалне читаоце блога. Већином недавно, у блогу јануара 2022, су основни делови одговора на исто питање (Life) које сада само објашњавам за нову тему.

Лаж је разблажена истина, а истина је сама по себи мање информативна од неизвесности. Према овој теорији (минимализам), обе су привлачне, иако не у истој мери. У неким комбинацијама дешава се да истина лажи не буде одбојна, да је физичка супстанца зароби, па настаје живот. Како, не питајте ме. То би било као да од Дарвина (1809 – 1882) тражите опис генома човека чију идеју је тек наговестио Шредингер (1887 – 1961), али се откриће генома приписује Вотсону и Крику (1953).

Физичка реалност подлеже законима одржања. Те количине се могу тако дефинисати да буду свевременске; свевременске су такође истине, а лажи своју прошлост за њих везују. Фикције и неистине не трају другачије. Она лаж која се удружи, попут виталности, добија привид трајања и учествује у опадању у садашњости ради све дуже прошлости. Тако се додатно тањи, разблажује и губи почетне предности удруживања.

Спрегнуте, стварност и фикцију, држи претходни сплет околности, али и спонтана тежња система ка мањој информацији. Када би лаж имала неки самосталан континуитет, таква разблажена, мешавини (живом бићу) она би била привлачнија. Али, она нестаје чим се одвоји и тиме овакве смеше чини додатно умирујућим. Са друге стране, када би лаж могла опстајати и сама, она би била истина. Трајност дефинише физичку реалност. Бар је што се тиче ове теорије.

Existence » eng

Питање: Како дефинисати непостојање интеракције?

Одговор: Помаже ортогоналност на начин алгебре. Интерпретирај стања као векторе, а то су обично низови, или функције. Скаларни производ затим је информација перцепције.

Конкретно, скаларни производ функција f₁(x) = cos(x) и f₂(x) = cos(2x) на интервалу x ∈ [-π, π] је:

\[ S = \langle f_1, f_2\rangle = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(x)\cos(2x)\ dx = \] \[ = \int_{-\pi}^{\pi} \cos x(1 - 2\sin^2x)\ dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos x \ dx - 2\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \sin^2 x\ dx \] \[ = \Biggl. \sin x \Biggr|_{-\pi}^{\pi} - 2\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2x\ d(\sin x) = 0 - 2\cdot 0 = 0. \]

Међутим, збир ових функција, приказаних на претходној слици лево, је:

\[ \cos(x) + \cos(2x) = 2\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2} \]

што је нула само са апсцисама x = ±π и x = ±π/3. Осим у тим тачкама овај збир није нула, када га тумачимо као могућности комуникације, односно интеракције два стања f₁ и f₂. Иако оне у датом интервалу постоје, оне не комуницирају, не интерагују — јер им је скаларни производ нула.

Суперпозиција (Modal matrix) је група таласа који интерферирају, или су пакет неодређености који може колабирати у исход квантне физике. Ове елементе обично представљамо ортогоналним стањима на које се пакет може разлагати. Могућност распакивања таквих пакета, па чак и када су они неизвесности, говори да је њихов садржај трајан и физички реалан. Елементи су им истинити.

Cancellation » eng

Питање: Може ли се десити непостојање интеракције са поништавањем стварних стања?

Одговор: Да. Помоћу слике десно покушајмо разумети један такав случај. Подсетимо се, функција:

y(x) = a⋅sin(μx + φ)

представља синусоиду амплитуде a, таласне дужине λ = 1/μ, фазног помака φ. Графови синусоида су:

y₁(x) = sin(x),   y₂(x) = sin(3π/4 + x),   f(x) = y₁(x) + y₂(x),

редом плава, црвена и зелена. Упоређивањем лако налазимо амплитуду, реципрочну таласну дужину и фазни помак, за прву a₁ = 1, μ₁ = 1 и φ₁ = 0, а за другу a₂ = 1, μ₂ = 1 и φ₂ = 3π/4. Смичемо ли црвену тако да јој фазни помак постаје φ₂ = π, зелена ће се приближавати апсциси и постати f = 0, права линија. Тада је:

y₁(x) = sin(x),   y₂(x) = sin(π + x),   f(x) = 0.

Настаје деструктивна интерференција таласа, њихово поништавање или отказивање. За разлику од претходног случаја (Existence), ови спрегнути елементи тада не постоје.

Да ови гранични таласи на интервалу x ∈ [-π, π] неће интераговати, или неће комуницирати, проверавамо помоћу скаларног множења:

\[ \langle y_1, y_2\rangle = \int_{-\pi}^{\pi} y_1(x) y_2(x)\ dx =\] \[ = \int_{-\pi}^{\pi} \sin(x)\sin(\pi + x)\ dx \] \[ = -\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x + \pi/2)\cos(\pi/2)\ dx = 0, \]

јер је cos(π/2) = 0. Ова стања су ортогонална, дакле, без интеракције. Али, елементи овог пакета (y₁ и y₂) суперпозиције, непостојећи су, лажни су.

Друго је питање како се поменутим „смицањем“ може физичка реалност, постојеће стање превести у непостојећа. Рецимо само да је у питању тачно толика потребна потрошња енергије за „смицање“ колику су имала стања пре нестанка. То је посебна тема.

Complex II » eng

Питање: Важе ли ови закључци о ортогоналности и интерференцијама и за комплексне функције?

Одговор: Комплексни скалари се подразумевају. Такви, Φ ∈ {ℝ, ℂ}, када су комплексни бројеви, тада скалари из скупа ℂ, одавно имају примену у квантној механици.

Тада користимо Ојлерову, скоро названом „cis“ (косинус и синус) функцијом и претходни пример (Cancellation) иде са формулом:

y(x) = ae^{i(φ + μx)} =
= a[cos(φ + μx) + i⋅sin(φ + μx)],

где за имагинарну јединицу важи i² = -1. Слично имамо и са претходним претходног случаја (Existence). Детаљније о могућностима комплексних бројева погледајте у мом прилогу (Complex Numbers), онда (February 20, 2016) писан за боље ученике Гимназије.

Прилог је можда потежак, али свакако је математички опширнији него што треба преласку са оних реалних примера на комплексне. Међутим, ту нема дела теорије вектора о ортогоналности база. Додатно је видите, рецимо у прилогу постављеног линка. Погледајте (Modal matrix) како се дијагонализација оператора може разумети интуитивно, без рутинског рачунања, као пример свођења на ортогоналну базу.

За квантну механику „база“ углавном је скуп међусобно ортогоналних, окомитих вектора, по један за сваку „димензију“ простора. Они су тада представници обзервабли, или квантних стања у суперпозицији опција од који се једна може појавити мерењем. Обично су то вектори дужина, интензитета, односно норми један. Не-нормирани ови вектори, такође оператори (дуални простор), нису погодни у функционалној анализи и они су нешто што желимо избећи већином времена.

Ако су два стања ортогонална, то значи да је ⟨y₁|y₂⟩=0. Њихов скаларни производ је нула. Физички то значи да ако је систем у стању |y₁⟩ онда не постоји могућност да истим мерењем пронађемо систем и у стању |y₂⟩, и обрнуто. Укратко, два стања се међусобно искључују. Ово важно својство оператерима значи да су резултати мерења недвосмислени. Са позиције теорије информације додајмо: стања која не комуницирају неће повући једна друго у колапс, у тај јединствен исход.

Још конкретније, када својствена стања оператора нису ортогонална тај оператор није хермитски и није опсервабилан. У ствари, нехермитски се оператори „појављују“ све време, али не делују непосредно на класично подручје. Додатна је појава, у теорији информације о којој расправљамо, што су комплексни бројеви такође неке истине, те стога неке реалности. Начин да то разумемо је помоћу „заобилажења“.

Collapsing » eng

Питање: Објасните ми прелазак неизвесности у информацију?

Одговор: Ако бацамо фер новчић оба исхода су исте вероватноће: „писмо“ p = 1/2 и „глава“ q = 1/2. Средња вредност неизвесности:

S₂ = -p⋅log_b p -q⋅log_b q

износи 2 бита, бинарног система са базом логаритма b = 2. Тачно колика је и информација исхода (Шенонова), којег год од та два. Није могуће да падне и „писмо“ и „глава“, јер је са једном од њих укупна неизвесност истрошена. За информацију и претходну неизвесност важе закони одржања. Штавише, они се понашају као разни облици енергије који мењају своја стања са константном укупном количином, са битном разликом: када може систем прелази у стање веће извесности.

Ова законитост важи и за бацање нефер новчића, тада је p ≠ q, p + q = 1 и p, q > 0, у произвољном систему јединица (b > 0 и b ≠ 1) када су количине неизвесности и испоручене информације исходом бацања једнаке. Рачун се понавља и са расподелама више вероватноћа p₁, p₂, ..., p_n, позитивних бројева укупног збира један. Неизвесност и информација тада износе:

S_n = -p₁⋅log_b p₁ - p₂⋅log_b p₂ - ... - p_n⋅log_b p_n.

Формула је Шенонова информација, средња вредност логаритама, или очекивање Хартлијевих информација. Сваки од исхода носиће једнаку информацију, али предност имаће онај веће вероватноће.

Квантни систем је репрезентација векторског простора, квантно стање је вектор, а квантни процес је оператор (в. претходни одговор). Еквивалент расподели је суперпозиција, интерференција више исхода, коју пишемо:

|ψ⟩ = c₁|1⟩ + c₂|2⟩ + ... + c_n|n⟩.

Овде су c_k неки комплексни бројеви, а |k⟩ су вектори, за k = 1, 2, ..., n, при чему су |c_k|² вероватноће расподеле обзервабли (физички мерљивих). Ти вектори су ортонормирани, ⟨j|k⟩ = δ_j,k. Формула је линеарна комбинација датих базних вектора, а вектор |ψ⟩ је стање мереног система.

Урушавање суперпозиције у неко базно стање вероватноће p_k = |c_k|² иста је прича са претходном. Због закона одржања, информација истрешена у мерне апарате потрошила је неизвесност и стога нема дуплирања исхода. Процес је линеарни оператор, такав се може интерпретирати квадратном матрицом, а оне разумети као композиција мањих, блок матрица. Ово ће подржати укрупњење вероватноћа p_k налажења k-те обзервабле мерењем као дејства пакета могућности.

Тако је свако p_k = q_1k + q_2k + q_3k + ..., збир мањег или већег броја других вероватноћа. За наставак не губимо на општости ако претпоставимо да претходни број исхода неограничено расте, n → ∞. Тада је свака из низа вероватноћа веома мали број, p_k → 0, којем тежи Шенонов сабирак. Из Лопиталовог правила следи:

\[ -p\cdot\ln p = -\frac{(\ln p)'}{\left(\frac{1}{p}\right)'} = -\frac{\frac{1}{p}}{-\frac{1}{p^2}} = p, \]

дакле, да је гранична вредност сабирка (-p⋅ln p) једнака вероватноћи (p), када су те вероватноће мали бројеви. То је један од разлога зашто одавно (Exponential II) у информацији перцепције, тј. збиру производа, факторе понекад третирам као вероватноће.

Расподеле у неизвесности су бесконачне (Vacuum) и шансе да се нека од њих деси су ништавне. Чак и да исходи не долазе у пакетима морали би се реализовати. Али, исходи су груписани у сабране могућности, па нам изгледа да избора и нема много. Зато имамо пакете кванта са енергијом, на пример фотона, E = hν, са Планковом константом h = 6,626070×10⁻³⁴ J Hz⁻¹ (Joule-second) небројених фреквенција ν. Или, рецимо, производе неодређености положаја и импулса честице-таласа, Δx⋅Δp ≈ h, увек реда величине Планкове константе, али безбројних смерова простор-времена и интензитета фактора.

***

Таласна функција |ψ⟩ је камен темељац квантне механике, стално почев од њеног настанка, а колапс те функције, иако у бити мутан, централни је концепт те физике. Од времена откривања (Шредингер, 1935), стоји као још увек необјашњен проблем мерења. Увођењем идеја информације то питање постаје тривијално, као што се може видети из прилога.

Diversification » eng

Питање: Како може фикција да делује на материју (живог бића)?

Одговор: Физичка реалност више него често игнорише полуистине, што се за почетак може разумети помоћу фотоелектричног ефекта (Ајнштајн, 1905), али то није све.

Неистине и припадне „фикције“, које помињете у питању, заједно са физички нереалним појавама, сврставам у ефекте који не следе закон одржања. Рецимо, такве су бесконачности које дефинишемо тиме да могу бити сопствени прави делови. Из таквих долазе и безбројне могућности „насртања“ на реалност, или, са друге стране „настајања“ из саме реалности овој невидљива.

Подразумеване „фикције“ су неистине за разлику, на пример, од опажане коњуговане реалности, па то даље нећу подвлачити. Такве су недоследне, дедукцијом бисмо их доводили у противречности, а уз то су и несталне да би озбиљнији рад на њима могао бити неизводив.

Пуно тога симулира „нула простор“ алгебре. Линк помиње матрице:

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \]

иначе репрезентације линеарних оператора. Процесе тумачимо таквим операторима који би, у овом случају, сами себе поништавали. Множење ових матрица самим собом резултира нула матрицама A² = 0 и B² = 0, а то значи несталност процеса које представљају. Ове њихове матрице их откривају као „фантомске процесе“, који нестају када су изоловани, али трају комбиновани, удружени:

\[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Тако је (AB)(AB) = (AB)² = AB, процес који се не гаси, а тако и (BA)² = BA. Штавише, њихов збир је јединични оператор, AB + BA = I, изометрија, тј. оператор који чува норме, односно процес за који важи закон одржања.

Наизглед веома различит начин разумевања истог је помоћу Парондовог парадокса. Налазимо га у комбинациjама не-добитничких игара коjе даjу добитничку игру. Погледајте овај линк ка мом прилогу, али и линк слике горе лево који говори о применама у економији. Ево још једне примене.

Рецимо да са придруженим стањем A задати систем S са сваким следећим кораком (интервалом времена) губи 1 поен неког „дејства“. Небитно је да ли систем S ту промену уопште опажа. Када му је придружено стање B то реагује на залиху „дејства“, па када је она паран број додају се 3 јединице тога, а ако је непаран одузима му се 5 јединица. Са стањем C збива му се наизменично флип-флоп, добија 1, па губи 1.

Настављајући само са A или самим B систем губи 100 бодова након тачно 100 момената (корака). Држећи се самог C, након n = 100 корака остајаће са почетном вредношћу, јер вероватноће (p = q = 1/2) добитака и губитка су једнаке, са варијансом σ² = npq = 25, односно дисперзијом око средње вредности σ = 5. То је биномна расподела.

Међутим, ако систем поседује наизменично прво па друго стање, у низу ABABAB..., а полазећи са 100 бодова, након првог корака A остаjе му 99 поена и у првом кораку B губи jош пет. Остаjе му 94 поена, опет паран броj због чега у следећем циклусу AB губи jош шест бодова и остаjе му опет паран броj 88. Након 16 циклуса AB губи 16 ⋅ 6 = 96 бодова, па ако настави иде у минус.

Обрнуто, када наступа наизменично са другим па првим стањем, нижући BABABA..., након првог B има 103 бода. Са првим А губи jедан и остаjе са 102 бода. То jе такође паран броj због чега у следећем циклусу BA добиjа jош два бода. Након сваког циклуса BA добиjа по два бода тако да ће иза k = 1, 2, 3,... циклуса BA имати K = n₀ + 2k бодова. Након k = 50 циклуса и почетних n₀ = 100 бодова, достиже K = 200 бодова. Ова комбинациjа два губитничка придруживања постала jе добитничка.

Комбинујмо ово гомилање бодова (потенцијалног дејства) са поменутим фотоелектричним ефектом и ето једног од одговора на питање. Међутим, не очекујем да је још увек могуће тек тако налазити добре одговоре, без будуће физиологије, или можда непознате науке о ткивима живих бића.

Quiescence » eng

Питање: Мења ли се садашњост везивањем фикција за реалност?

Одговор: Према оваквој теорији информације, феномени квантне спрегнутости и релативност тока садашњости иду заједно. То прво поновимо.

Спрегнутост фотона је једна међу првим мереним. Са „каскадном“ транзицијом то су урадили Ален Аспект и колеге раних 1980-их, и Џон Клаузер и Антон Зилингер. Тим експериментима ставља се много атома калцијума у веома побуђени енергетски ниво где је електрону забрањено да се враћа у основно стање емитовањем једног фотона. Он се распада емитујући по два фотона идући кроз средње стање са кратким животним веком. Емисију једног фотона у року од неколико наносекунди пратиће емисија другог. Биће то у оквиру неодређености производа енергије и времена. Након једног знате да би и други требао бити негде у близини. Док се разни фотони емитују у свим правцима, они супротних смерова су квантно спрегнути. Таквима се збир импулса, као и спина поништава.

Један такав спрегнути фотон је, рецимо, Алиса други је Боб. То формира један свет истовремених. Међутим, садашњост Алисе и Боба опажана је од различитих посматрача где су присутни у различитим тренуцима. И тако долази до „фантомског деловања на даљину“, јер су спинови Алисе плус Боба нула, иако су појединачно до мерења насумични.

Унапред не можемо знати који од два спина A = +1, или A = -1 има Алиса, или Боб, B ∈ {+1, -1}, али је због одржања спина A + B = 0. Мерећи први A, информација те садашњости је исцрпила неизвесност и известан је други B = -A. Алиса и Боб могу у том тренутку бити веома удаљени, ипак ће Боб реаговати „фантомски“ равнајући се мерењем Алисе, брже него светлост која би ишла између њих.

Наравно, такав опис квантне спрегнутости није познат физици данас, јер га држим у приватности. Пређимо сада на питање.

Стварност је оно за шта важи закон одржања. Почев од таквих исказа ова је теорија информације јединствена, још увек непозната физици и, надам се, због њих остаће непротивречна. Стварност је оно што се бар посредно може опажати, такође оно што је истинито. Према томе, када се фикција, за коју не важи закон одржања, везује за стварност на начине да постане одржива, приметна и истинита (Pinocchio), она уноси немир или увећава устаљену информацију (количину опција) садашњости. Стварни добитак је праћен губитком нечег сличног у садашњости, или прошлости.

Грубо подељене, три су ситуације садашњости. Прву описују Алиса и Боб, која предаје информацију о спину Алисе вањском посматрачу (уређају за мерење) што одређује и спин Боба. Губитак неизвесности из садашњости. Друга је „оживљавање“, када се фикција везује за реалност бришући неки доказ прошлости, чувајући количину садашњости. Трећи облик било би „оживљавање“ самим повећањем информације садашњости, без гушења дотока информација из прошлости. Усложњене су комбинације ових.

Ову слику даље компликују многострукости света. Сваки субјекат опажа неку коњуговану слику објеката (Lipschitz), који нису исти за различите посматраче. Слепи мишеви имају посебно чуло слуха, птице вида, а пси, медведи или слонови имају изузетна чула њуха. Међутим, не допиру све фреквенције звука свима, или боје светлости, или хемикалије. Мачке су кадре видети боје, али нарочито плаву и жуту док су им црвена и зелена као нијансе сиве. Свака од оваквих има коњуговане перцепције са својим садашњостима које, на свој начин, подлежу наведеним поделама.

Reality » eng

Питање: Зар је „реално“ све што је логички тачно?

Одговор: Тако је у концепту ове теорије. Јединствена „суштина“ у класичном филозофском смислу не постоји, односно таквих има много. Све су оне равноправне, када су интерпретације тачних теорија.

Већ интуитивно спознајемо како оно што перципирамо није оно што јесте, али смо и путем функционалне анализе нашли да су и најбоље перцепције „реалности“ сами коњуговани простори објеката и субјеката, безбројни и често међусобно равноправни. Не постоји једна реалност коју ми сви посматрамо као гледаоци филма у неком светском биоскопу. Међутим, далеко смо од тога да сваки субјекат може примећивати различите нијансе пројекција код других, а још даље од моћи спознаје публике да не постоји јединствен филм за све. Свако од њих је тако заиста јединствен и равноправно „центар свега“.

Паралелне су праве ако леже у истој равни и не секу се. У геометрији оне имају три могућности, да се кроз дату тачку ван дате праве може повући једна, бар две и ниједна права паралелна датој. Прва одређује еуклидску геометрију где су збирови углова у сваком троуглу 180°, а односи обима и пречника свих кругова π = 3,14...; друга хиперболну геометрију код које су збирови углова у троугловима увек мањи од 180°, а количници обима и пречника кругова увек већи од π; трећа сферну геометрију са већим од 180° збировима углова троугла и односима обима и пречника круга увек мањим од π.

Модел прве геометрије је еуклидска раван. Али праве линије су најкраће између тачака где је у другом случају „раван“ седласта површ, а у трећем сфера. Зато што површи постоје у еуклидском простору, знамо да је свака од ове три геометрије тачна бар колико и еуклидска. Обрнути модели су такође нађени, еуклидске у нееуклидској равни, па имамо равноправност тачности три геометрије. Штавише, имамо апсолутну геометрију која ће избор захтева о паралелама препустити кориснику.

Ово препуштање избора кориснику заправо је присутно већ код простих алгебарских једначина попут a + b = 5. Наиме, бирајући a = 1 уједно смо бирали b = 4 да би остајали у оквиру тачности. Бирајући a = 2 неизбежно бирамо и b = 3, а даље тих могућности је безброј. Могућности бирања су „суштина“ ове теорије информације. У томе сам толико доследан да исту преносим и на „реалност“ свега што је логички тачно. Приметно је да се, при томе, алгебарске тачности понашају као садашњости знане физичке реалности.

Уосталом, зар након доказа додатних димензија времена треба „ставити кључ у браву“ и рећи не идемо даље. Нарочито после можда и физичких потврда паралелних реалности (Pseudo-reality). Искрено речено, такве не очекујем нити сматрам да оне могу нешто заиста доказати или оспорити овој, у основи, математичкој теорији.

Adhesive » eng

Питање: У том тумачењу „реалности“ тачних теорија, где је материја?

Одговор: У покушају подвођења неких информација на физичка дејства, на производе промењене енергије ΔE и утрошеног времена Δt, иначе величине око Планкове константе, ΔE⋅Δt ≈ h, поступајмо са законитостима на исти начин као са материјом.

Доследан корак у том правцу је прихватање гравитације као последице принципа најмањег дејства. Ово је завршено поглавље, у што се можете уверити у књизи „Минимализам Информације“ (2.5 Аjнштаjнове опште jедначине). На исто се надовезује мање познато начело чешћег догађања вероватнијих исхода као узрочно принципу најмањег дејства, а вероватнији исход је мање информативан. Према томе, дубоки узрочник привлачења је начелна тежња система ка мање информативним стањима, извеснијим и, зато, ка правилима.

Једна од препрека на том путу је погрешно тумачење ентропије, какво се вуче кроз физику од самог времена Шенона (1948). Укратко, смиривање осцилација молекула хлађењем гаса процес је смањивања информације, а не повећања (што је уобичајено схватање ентропије). Крхотине стакла чаше која је пала са стола и разбила се, неред су за домаћицу, али су ред попут војника на смотри. Термодинамички процеси спонтано увећавају ентропију идући тако ка мањој информацији.

У гравитицији, приметио је то једном и сам Ајнштајн, привлачна су места споријег тока времена. Када имамо константне производе неодређености ΔE⋅Δt = const, то значи, привлачнији су они кванти са мањим променама енергије у дужим интервалима времена, односно најпривлачније су тада свеприсутне (Δt → ∞) бескрајно мале енергије (ΔE → 0). Покушавајући да подведемо информације под физичка дејства, ове граничне вредности ће бити законитости природе. Биће привлачне оним природним појавама са којима комуницирају.

Не комуницира све са свачим, нити такви што интерагују то чине једнако интензивно, па су и закони природе исто селективни. Изложени начин је заокружено свођење неких информација на физичка дејства, од крајњих неизвесности до крајњих извесности. Појаве и законитости нису дуални начином адјунговања, или коњуговања у алгебри или анализи, него пре су разни облици истог. Рецимо да су реалности лепљене у танке слојеве.

Expanse » eng

Питање: Може ли се разговарати о настанку тих законитости и тачних теорија?

Одговор: Ту смо сада на терену бесконачности, а фантастично изненађење је да је одговор на ово питање позитиван. Дуго су филозофија и математика биле збуњене настојећи продирати у тајне неограничених величина, да би то коначно успело Њутну уједно и Лајбницу са открићем инфинитезималног рачуна. Затим је ту тему продубио Кантор открићем различих кардинала, бесконачних бројева елемената скупова.

Држећи се колоквијалног размишљања, антички грчки филозоф Зенон из Елеје (490–430) је „доказао“ да нема кретања, јер ми прво прелазимо пола пута, па пола од друге половине, па опет пола осталог, а томе нема краја. Логично је он припадао елејској школи коју је основао Парменид.

Инфинитезимала је бесконачно мали „број“, апсолутне вредности мање од било ког позитивног реалног броја. Такве „бројеве“ је први употребио Архимед из Сиракузе (287–212) и успешно израчунао површину круга и запремину лопте, иако није веровао у њихово постојање. Много касније Њутн (1643—1727) и Лајбниц (1646—1716) поново, сваки за своје потребе, проналазе инфинитезимални рачун уједно откривајући анализу. Њутн за прорачуне кретања небеских тела под дејством гравитације, а Лајбниц у тражењу универзалног језика.

Корак даље у откључавању бесконачности постигнуће је Кантора (1845–1918). Еквивалентним је прогласио оне скупове међу чијим елементима постоји бијекција (обострано једнозначно придруживање), па је за такве сматрао да имају и једнак број елемената, односно једнаке „кардинале“ када су ти бројеви бесконачни. Доказао је да пребројиве бесконачности (ознаке ℵ₀) имају скупови природних бројева (ℕ), целих бројева (ℤ), или рационалних бројева (ℚ), али скуп реалних бројева (ℝ) је непребројиво бесконачан, континуум.

Када разумемо доказ (2. Став) да реалних бројева из интервала (0, 1) има више од природних, применимо резултат на начин записивања реалних бројева тог интервала у бинарном систему 0,b₁b₂b₃..., цифара b_k ∈ {0, 1}. На свакој позицији тог пребројиво бесконачног низа цифара b_k, индекса k ∈ ℕ, могу бити две вредности. Њихових комбинација је 2⋅2⋅2⋅... → 2^ℵ₀, а то је кардинал континуума 𝔠 = 2^ℵ₀ > ℵ₀.

Међутим, видимо да тако можемо формирати све веће кардинале 𝔠₁ = 2^𝔠, 𝔠₂ = 2^𝔠₁, ..., односно да је набрајање тих кардинала аналогно природним бројевима. Еквивалентно се дају низати по величини. Штавише, између било која два монотоно поредана суседна кардинала опционо је могуће уметнути трећи, различит од оба. Аналогија кардинала са рационалним бројевима неће нас даље изненађивати, након Сколемове теореме, да се теорије увек јављају неограничено копиране.

Овај дуги увод у „откровење“ бесконачности путем математике помоћи ће, надам се, да и њу сматрамо „реалном“. У смислу опажљивом нашим (макар само интелектуалним) перцепцијама и тачном. Необична је моћ виђења бесконачности, нас из жабље перспективе и окованих коначним физичким интеракцијама, али природа истине не да се. Тако ја то видим, да истина зна показати себе. Не постоји стабилан, трајан, непротивречан, илити доследан систем лажи, за разлику од истине.

Елем, када бисмо бесконачности могли гледати из птичије перспективе, могли бисмо гледати настанак законитости и тачних теорија. Међутим, ми смо једва у стању препознати еволуцију биолошких врста на земљи, па о генези свевременских појава нема коме причати. То би била „бајка“ о низању, али и још гушћем гомилању стварних бесконачних појава, од којих су само неке међу законитостима (математике, наука, филозофије, или сличних) нама познатим.

Новембар 2024 (English ≽)