Previous

Фебруар 2024 (English ≽)

Next



ENIAC

Питање: Треба ли „теорију информације“ гледати тако широко, може ли се она заиста свугде примењивати као што наговештавате?

ENIAC

Одговор: Ко би рекао некада, док се расправљало о бесмислу онога што не видимо нити ћемо икада опажати, какве су потенцијалне бесконачности и из њих настали инфинитезимални рачун, да ће решавање тих диференцијалних једначина бити доминантна тема (1945) Електронског нумеричког интегратора и калкулатора, који се заправо бавио израчунавањем балистичких путања. Са тим тако баналним задатком артиљерије и убијања људи. Само је Бебиџова сарадница Ејда (Ada Lovelace, 1815–1852, енглеска математичарка и писац) својевремено можда предвиђала такав развој информатике, у време док је помагала у конструкцији и схватању првих аналитичких машина.

Информација није нека обична количина, она је структура свих других. Основа је простора, времена и материје, таква је поставка моје теорије, а са друге стране да је суштина информације неизвесност. Већ из реченог следи њена универзалност, па и у појавама о којима можда не умемо ни да маштамо. Физичка природа је ствар истина и само истина, верујемо, да бисмо бавећи се њоме тако озбиљном превидели њену другу страну.

Оно што видимо углавном није оно што јесте, јер буде тешко поверовати у очигледно (The Truth). Међутим, природне науке су упорне, методичне и успевају у својој доследности да откривају и оне нама мање привлачне делове природе; физичку природу која која зна само за голу истину, не уме да лаже, на примећује лажи и на њих не реагује. Али лажи су такође део света који нас окружује, према овој теорији информације — па опет дођемо на исто, да она гледа шире него што од обичне науке очекујемо.

Surface

Питање: Како да, на пример, површину схватим као информацију; да ли је то просто „вест о површини“ саопштена саговорнику?

Surface

Одговор: Да, између осталог, али „осталог“ има штошта. Објаснићу један од тих примера — који вам је вероватно непознат, можда на први поглед и небитан.

Сви смо чули за Кеплеров Други закон, да ће потег између Сунца и планете у једнаким временима брисати једнаке површине, што видимо на слици лево. Међутим, мање је познато да исти важи за све константне централне силе (Прилози теорији информације I, Централно кретање).

То имамо и у случају инерцијалног праволинијског кретања у одсуству силе (нулте силе), када тело у једнаким временима (Δt = const.) прелази једнаке путеве (d = AB). Тај пут тада узимамо за основицу троугла врха (C) било које тачке чија је удаљеност (h) до правца кретања константна. Површина троугла константна је, P(ABC) = hd/2 = const, док год се тело креће инерцијално, под дејством нулте силе.

Права линија, елипса, хипербола и парабола су „конике“ (пресек површи конуса и равнине), па се исти Кеплеров закон такође односи и на одбојне силе које су тачкасте (централне) и константне, који своје набоје покрећу по коникама. По хиперболама се одбијају истоимени набоји електрона, или протона. Исту форму (статистички, приближно) налазићемо и код сила вероватноће.

Та константна Кеплерова површина је „информација“ која би да буде што мања (начелно мањег дејства), али је из истог рахлога нико неће, то јој се не да (закон одржања), па је она мера количине неизвесности два набоја. Површина на тај начин мери количину комуникације између сила, онога на шта те силе делују, а тиме и сама постаје „количина опција“. Наведено тумачење не оспорава начело различитости; правило да не комуницира све са свачим у свему томе опстаје.

***

Постоји бијекција (обострано једнозначно пресликавање) од физичког дејства (производа енергије и времена) до информације (обима опција), па константност ових површина следи из принципа најмањег дејства у пакету са законом његовог одржања. Такође је и обрнуто, да из одржања „Кеплерове површине“ следе поменути закони. Претпоставимо ли један (било који), други изводимо. На аналоган начин, начело минимализма следи из чешћег догађања вероватнијих исхода, мање информативних.

Acceleration II

Питање: Како је могућа аналогија стања и процеса, ако простор има три димензије а временски ток је само један?

Acceleration II

Одговор: Оштроумно питање! Не би била довољно могућа да време нема онолико димензија колико и простор (Dimensions).

Већ је доказано (Простор-Време, 1.2.8 Вертикалан пад) да ће тело, током слободног гравитационог падања, због саме брзине имати онолико релативно спорији ток времена колико би и фиксирано имало у гравитационом пољу. Међутим, онај део релативно невидљивих догађаја, или времена, које тело губи, кажимо да пролази кроз различите временске димензије, аналогно шетању истог кроз просторне димензије. На претходној слици (Surface) ово се догађа са планетама у кретању око Сунца, са становишта далеких посматрача.

Са друге стране, ова теорија информације предвиђа да би и „само један“ временски ток требао мењати брзину (Acceleration), али претпостављам да то није тема овог питања. Иначе, када год имамо стање које се мења, подвргава неком процесу, онда је и сам процес дефинисан, треба рећи зависан на аналоган начин, од датог стања. Додатна „шетања“ времена теку псеудо-реалним путањама настајалим из могућих нерелаизованих исхода, иначе претпостављених овом теоријом.

Vectors II

Питање: Имате ли још неко објашњење процеса као „информације“?

Vectors II

Одговор: Питање је наивно, јер има их много, попут „саопштићу вам једну важну информацију о том и том процесу“. Али, имам и дубљих и интересантнијих веза.

Перцепција је комуникација:

a = (a1, a2, ..., an),
b = (b1, b2, ..., bn),

рецимо наведеног субјекта a са објектом b, које можемо дефинисати као векторе, или низове одговарајућих њихових независних особина. То могу бити парови (ak, bk) чулих перцепција попут интензитета (вид, вид), или (слух, слух), или (додир, додир), али и много других врста комуникација наших ћелија којих нисмо свесни.

Појам „перцепције“ са несвесних активности делова живих бића ширимо на саму физичку твар од које се она састоје и долазимо до општег израза

Q = a1b1 + a2b2 + ... + anbn,

уопште збира производа, а посебно информације перцепције. Формално то је скаларни производ перцепција a и b. Управо таква врста ермитских вектора и оператора је тачан опис стања и процеса квантне механике. На корак даље налазе се стања и процеси макро-механике.

Лепота ове приче је у дефиницији векторских простора, који нису једино „орјентисане дужи“ на којима се као на тренажерима обучавамо у таквој области алгебре у средњој школи, него су то и простори самих реалних бројева ℝ над реалним бројевима, или простори комплексних бројева ℂ над комплексним бројевима. Такође, низови степена 1, t, t2, ..., tk, ... над телом скалара Φ, обично реалних или комплексних бројева, сачињавају векторске просторе, па су онда и полиноми векторски простори.

Решења интегралне једначине

\[ \int_a^b K(t,s)f(s)\ ds = f(t) \]

где је K задата функција, чине векторски простор. Векторски простор су и решења парцијалних диференцијалних једначина другог реда, па затим и таласних једначина као њихове подврсте, потом Шредингерове таласне једначине квантне механике.

Алегебра изводи своје теореме доследно, у овом случају из релативно тек неколико аксиома векторских простора, не марећи на репрезентације од којих су неке горе поменуте. То значи да би свака од теорема могла бити једнако добро интерпретирана, само ако је једнако доследна аксиомама. Како су интерпретације вектора физичка стања, а линеарни оператори су такође вектори, то су онда и процеси врста стања. На тај начин и процеси су „информације“.

Harmonic

Питање: Када је „стање“ уједно и „процес“?

Harmonic

Одговор: Увек. На пример, стање друштва кроз узбудљива времена је очигледан процес. Али, обичан камен споро се мења и чини нам се превише једноставан, па ипак, у микро-свету он је мала васиона таласа у сталном кретању.

Попут стојећих таласа на слици десно, честице-таласи од којих се састоји физички простор, време и материја, врсте су хармоничких осцилатора. Те су честице „заробљене“ у стојећим таласима толико већих енергија колико су им чворови гушћи, све док их евентуална интеракција (комуникација) не „ослободи“, да би се тако стопили (интерферирали) са другим честицама-таласима, или претворили у неку трећу.

Број чворова таласног пакета је вектор |n⟩. Овде је n = 0, 1, 2, ..., а детаљан опис вектора за сада изоставимо. Могуће је избегавати решавање таласне једначине, а посебно Шредингерове једначине квантне механике и прећи на резултате. Једноставно речено, постоји оператор квантне механике еквивалент хамилтонијана класичне H = T + V, односно збира кинетичке T и потенцијалне V енергије датог система. Вредности константне укупне енергије рецимо тела у слободном паду.

На квантном нивоу, постоји основно стање енергије, вектор |0⟩, од којег је прво следеће веће |1⟩, затим следеће |2⟩, и тако даље колико се гушћа горе нацртани број чворова тог хармонијског осцилатора. Одговарајућа својствена, карактеристична једначина биће

|n⟩ = En|n⟩,

где En није оператор, већ скалар (број). То је величина која представља својствену вредност n-тог нивоа енергије тог стања, тог хамилтонијана којој припада својствени вектор |n⟩. Стижемо тако у линеарну алгебру којој диференцијалне једначине таласа више-мање не требају.

Када тражимо матричну репрезентацију хамилтонијана, израчунавамо коефицијенте методама алгебре користећи Диракове (бра-кет) ознаке, уобичајене у физици за скаларно множење:

m||n⟩ = ⟨m|En|n⟩ = Enm|n⟩ = Enδm,n = ℏω(n + 1/2)δm,n.

Овде смо користили налаз могућих енергетских нивоа En = ℏω(n + 1/2), који је израчунат из Шредингерове једначине и затим добро проверен експериментима, а δm,n = 1 када је m = n и δm,n = 0 када је mn. Тако налазимо матрицу оператора хамилтонијана

\[ \hat{H} = \hbar\omega\begin{pmatrix} \frac12 & 0 & 0 & 0 & ... \\ 0 & \frac32 & 0 & 0 & ... \\ 0 & 0 & \frac52 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & \frac72 & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \end{pmatrix}. \]

Овде је ℏ = h/(2π) ≈ 6,582×10-16 eV⋅s редукована Планкова константа, док је ω = 2πν кружна фреквенција ν из Планкове једнакости E = hν. Матрица је бесконачна, јер нема горњих ограничења за нивое енергије. Упоређено са горе наведеној карактеристичној једначини, налазимо:

\[ |0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix}, \quad |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix}, \quad |2\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \end{pmatrix}, \quad ... \]

Својствени вектори |n⟩ припадни својственим вредностима En оператора хамилтонијана ортонормирани су, норми један и узајамно су окомити. Штавише, облика су стандардне базе векторских простора.

У микро-свету хамилтонијан је оператор и процес. Тамо нема мировања, усред свеприсутних таласања и њихових значајних неодређености. Али у макро-свету, где доминирају усредњавања и стога законитости великих бројева, хамилтонијан је стање укупне енергије, H = T + V, кинетичке и потенцијалне. За нас нормални макро-системи, које видимо и сматрамо чврстим телима, непромењивим стањима, заправо су „васионе“ таласа и не дају се смирити.

Како су информације еквиваленти физичког дејства, промене енергије и протеклог времена, тако се најмањи делови хамилтонијана непрестано мењају, одржавајући (статистичку) средњу вредност, што ми видимо као нешто солидно.

Ladder

Питање: На микро нивоу енергија се стално мења?

Ladder

Одговор: Да, промена ће енергије ΔE током времена Δt произвести дејство ΔEΔt чији најмањи износ је квант, Планкова константа

h ≈ 6,626 × 10-34 J⋅Hz-1.

Теорија информације затим наћи ће да је ово дејство еквивалентно информацији. Претпоставком да је информација ткање простора, времена и материје и да је њена суштина неизвесност, долазимо до закључка да нема мировања енергије, нити има заустављања времена.

Када бацамо новчић у низу који се састоји од падања „писмо“ (енг. tail) и „глава“ (head) ретко ће се проналазити ова два узастопна и наизменично смењивана исхода. Међутим, статистичке правилности важе.

Фер новчић има исте вероватноће падања „писма“ и „главе“ p = q = 1/2. Према бинарној расподели, налазимо да у случају n ∈ ℕ бацања средња вредност броја „писама“ износи μ = np = n/2. Варијанса, односно средње квадратно одступање од μ, биће σ² = npq = n/4, а дисперзија σ је корен овог броја. По једном бацању, налазимо за ова расипања:

\[ \frac{\mu}{n} = \frac{1}{2}, \quad \frac{\sigma}{n} = \frac{1}{\sqrt{2n}}, \]

што значи да у случају великог броја бацања, n → ∞, очекујемо да тачно половина исхода буде „писмо“ и половина „глава“, а да је одступање од тога σ/n → 0.

Углавном на тај начин спонтано скачу нивои енергија, рецимо електрона у скоковима из орбите у орбиту атома. Детаљишући, погледајмо процесе, операторе смањења - и повећања + код најмањих промена енергије:

\[ \hat{a}^-|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle, \quad \hat{a}^+ |n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle. \]

Овај први пишемо и без минуса у гоњем индексу, = -, а тада овај други за индекс горе има бодеж † (енг. dagger). Као хамилтонијан (Harmonic), скаларним множењем излазе коефицијентии матричне репрезентације њих, лествиних (енг. ladder) оператора:

\[ \langle m|\hat{a}^-|m\rangle = \sqrt{n}\langle m|n\rangle = \sqrt{n} \ \delta_{m,n} \] \[ \langle m|\hat{a}^+|m\rangle = \sqrt{n+1}\langle m|n\rangle = \sqrt{n+1} \ \delta_{m,n}. \]

Те једнакости дефинишу матрицу оператора спуштања, анихилације

\[ \hat{a}^- = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & ... \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \end{pmatrix} \]

и матрицу оператора подизања, односно креације

\[ \hat{a}^+ = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & ... \\ \sqrt{1} & 0 & 0 & 0 & ... \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & ... \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \end{pmatrix}. \]

Као и матрица хамилтонијана, матрица ових је бесконачна због одсуства ограничења енергија са горње стране. Детаље о овоме наћи ћете у књизи Квантна Механика (1.4.9 Оператори осциловања).

Аналогно бацању новчића и падању „писма“ и „главе“, енергетски нивои квантног света у сталном су процесу тог „спуштања“ и „подизања“ својих енергетских нивоа. Њихове неизвесности се не дају зауставити. Међутим, макро-свет наступа са усредњавањем, законима великих бројева теорије вероватноће, из чега произилази смањење нестабилности и немогућност да ове флуктуације непосредно гледамо.

Giddy

Питање: Где је „информација“ у лествиним операторима (Ladder)?

Giddy

Одговор: Комутатор координата тачака A = (Ax, Ay) и B = (Bx, By) је повшина

[A, B] = AxBy - AyBy,

паралелограма разапетог између страница OA и OB. Еквивалентна површини (2-дим запремини) је информација (Surface), а уопште детерминанта матрице мери јој (n-дим) запремину. При томе је комутатор оператора (матрица)

\[ [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} = \hat{C} \]

такође оператор (матрица истог реда), детерминанте мере запремине и еквивалентом информације. Овако комуницирају само некомутативни оператори.

Лако налазимо да лествини оператори нису комутативни и да је:

\[ [\hat{a}^-, \hat{a}^+] = \hat{a}^- \hat{a}^+ - \hat{a}^+ \hat{a}^- = \hat{I}, \]

где је јединична матрица, квадратна са јединицама на дијагонали и свим осталим елементима нулама. Према томе је стално осциловање енергије најнижих нивоа физичке егзистенције потврда поседовања информације.

Momentum II

Питање: Лествини оператори нису ермитски, како су онда квантно-механички?

Momentum II

Одговор: Квантна механика користи ермитске операторе, једнаке себи транспоновано коњугованим, јер они имају реалне својствене вредности величине мере интензитете обзервабли.

Лествини оператори, - и +, реални су и транспоновањем један прелази у други, тако да постоје два једноставна начина од њих формирати само-адјунговане (ермитске) операторе:

\[ \hat{x} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat{a}^+ + \hat{a}^-), \quad \hat{p} = i\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}(\hat{a}^+ - \hat{a}^-). \]

То су збир и разлика лествиних оператора, при чему разлику морамо множити имагинарном јединицом (i² = -1) да коњуговањем поништи промену предзнака, па је:

\[ \hat{x}^\dagger = (\hat{x}^*)^\top = \hat{x}, \quad \hat{p}^\dagger = (\hat{p}^*)^\top = \hat{p}. \]

Коефицијенти испред заграда дају операторима физичке димензије положаја и импулса (Momentum). Сабирањем и одузимањем горњих матрица налазимо прво матрични облик оператора положаја

\[ \hat{x} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & ... \\ \sqrt{1} & 0 & \sqrt{2} & 0 & ... \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} & ... \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \end{pmatrix} \]

и друго, матрични облик оператора импулса

\[ \hat{p} = i\sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}}\begin{pmatrix} 0 & -\sqrt{1} & 0 & 0 & ... \\ \sqrt{1} & 0 & -\sqrt{2} & 0 & ... \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{3} & ... \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \end{pmatrix} \]

коме чешће наводимо диференцијални облик, јер свеједно је \( \hat{p}\psi = p\psi \), када је оператор положаја просто множење \( \hat{x}\psi = x\psi \).

Производ промене пута и импулса је дејство, па имамо два случаја

\[ \hat{x}\hat{p} = \frac{i\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\sqrt{1\cdot 2} & 0 & ... \\ 0 & 1 & 0 & -\sqrt{2\cdot 3} & ... \\ \sqrt{1\cdot 2} & 0 & 1 & 0 & ... \\ 0 & \sqrt{2\cdot 3} & 0 & 1 & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \end{pmatrix} \]

и множење обрнутим редоследом

\[ \hat{p}\hat{x} = \frac{i\hbar}{2}\begin{pmatrix} -1 & 0 & -\sqrt{1\cdot 2} & 0 & ... \\ 0 & -1 & 0 & -\sqrt{2\cdot 3} & ... \\ \sqrt{1\cdot 2} & 0 & -1 & 0 & ... \\ 0 & \sqrt{2\cdot 3} & 0 & -1 & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \end{pmatrix} \]

па је комутатор константан

\[ [\hat{x}, \hat{p}] = \hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x} = i\hbar\hat{I}, \]

где је јединична матрица. Комутатор је еквивалент „површини“, а ова „информацији“ и константан резултат iℏÎ значи одржање информације (кванта дејства) на најнижем нивоу.

Angular

Питање: Шта је са ангуларним моментом?

Аngular

Одговор: Слика десно приказује класични угаони моменат, или моменат импулса или моменат количине кретања. Та физичка величина изражава настојање материјалног тела да наставља кружење. Векторски је производ вектора положаја r и импулса p:

L = r × p,     L = rp⋅sin∠(r, p).

Вектор L окомит је на раван положаја и импулса, смера по правилу десне руке, или десног завртња, а интензитета површине паралелограма коју та два вектора разапињу.

Оператор угаоног момента квантне механике, због саме наведене макро-механичке дефиниције, врста је информације. У правоуглом Декартовом систему координата (Oxyz) компоненте вектора угаоног момента су:

Lx = ypz - zpy,   Ly = zpx - xpz,   Lz = xpy - ypx,

тако да је L = (Lx, Ly, Lz). Ове компоненте такође су „површине“. Излази да је угаони момент вектор површина, можемо рећи информација-вектор састављена је од информација-компоненти. Зато је

[Lx, Ly] = iLz,   [Ly, Lz] = iLx,   [Lz, Lx] = iLy,

што значи да из „површине“ (информације) коју разапињу (граде) прве две компоненте, La и Lb, следи вредност треће Lc и циклично.

Због простирања у све три димензије, не идемо непосредном применом горњих матрица (Momentum II), него матричне репрезентације момента налазимо заобилазно, путем аналитичких облика оператора положаја и импулса. Али, могуће је наћи их и као матрична (3 × 3) решења горњих једнакости. Укратко, то су:

\[ \frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \frac{\hbar}{\sqrt{2}i}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \hbar\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \]

редом Lx, Ly и Lz. Лако се проверава да је комутатор [Lx, Ly] = iLz, а даље такође циклично. Ова идеја се може поопштити.

Када поставимо услов \( [\hat{\sigma}_1, \hat{\sigma}_2] = 2i\hat{\sigma}_3 \) и даље циклично, за матрице другог реда (2 × 2) налазимо:

\[ \hat{\sigma}_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{\sigma}_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{\sigma}_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}; \quad \hat{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

То су Паулијеве матрице (Fredkin, 3). Ове помножене са имагинарном јединицом (i) дају кватернионе и одговарајуће комутаторске релације. Множене другим константама даваће аналогне формуле, изразе закона одржања „информације“ (Паулијеве матрице могу бити и вишег реда).

Observable

Питање: Шта су обзервабле?

Observable

Одговор: Обзервабла је оно што је могуће перципирати, посебно оно што осећамо, чујемо, видимо. У квантној механици, обзервабла је физички мерљива величина.

У обичном животу имамо многе необзервабилне појаве какве су емоције или идеје. Слично томе постоје и физички неизмерљиве величине које сматрамо реалним у теорији информације.

1. У квантној механици процеси су репрезентације ермитских оператора (A), а стања вектора (x). Својствене вредности (λ) дефинишу обзервабле карактеристичним једначинама (Ax = λx). Оне зависе од оператора као и припадних, тада кажемо, својствених вектора. Пожељно је да радимо са ортонормираним скупом својствених вектора, са низом x1, x2, ..., xn који чини базу векторског простора, када квадрати модула компоненти датог вектора одређују вероватноће мерења појединог стања, вектора xk датог опита квантног система апаратуре.

Када је збир квадрата модула (сваког) својственог вектора један, онда низ могућих исхода представља расподелу вероватноћа. Сваки такав вектор, низ назива се и суперпозицијом стања, па онда истим називамо и њихов збир, вектор стања x = λ1x1 + λ2x2 + ... + λnxn. Посебну улогу има матрица P = P[x1, x2, ..., xn] чије су колоне својствени вектори. Њоме израчунавамо дијагоналну матрицу D = P-1AP дате матрице A, која поред свих осталих нула коефицијената, на дијагонали има својствене вредности матрице A.

2. Оператор A је ермитски када је само-адјунгован, A = (A*) = A, што значи да је једнак себи коњуговано транспонованом. Како је:

(AB) = BA = BA,

за ермитске операторе A, B и C, и константу, те скалар α имамо:

[A, B] = (αC),

(AB - BA) = αC,

(AB) - (BA) = α*C,

BA - AB = α*C,

-[A, B] = α*C,

* = α = iβ,

где је i имагинарна јединица (i² = -1), а β је константан реалан број (али може бити и ермитски оператор). Дакле, комутатор ермитских оператора није ермитски оператор.

3. Другим речима, константна информација коју садрже комутатори, на пример лествиних оператора, или је садржана у комутирању положаја и импулса, није обзервабилно стање, нити је обзервабилан процес. Она је евентуална неодређеност са можда испоруком у некој интеракцији, када је предмет процеса попут мерења, а тек тиме актуелна информација (за учесника комуникације).

Orthonormal

Питање: Појасните ми „ортонормиране“ векторе у квантној механици?

Orthonormal

Одговор: Ортонормалан је скуп S вектора када је сваки вектор тог скупа интензитета један, а свака два вектора су узајамно окомити.

На слици десно виде се узајамно окомите две „орјентисане дужи“, вектори \( \vec{a} \perp \vec{b} \), које обично прве виђамо у средњој школи за прва знања о векторским просторима. Међутим, оне нису јединичних дужина, само су „ортогоналне“. Да би биле и „ортонормиране“, поред „ортогоналности“ морају бити и јединичних норми, дужина један.

1. Физика вектор \( \vec{a} \), или a пише на Дираков (бра-кет) начин |a⟩. Ермитска матрица (оператор) је само-адјунгована, A = (A)* = A. Транспоновањем и уједно коњуговањем ермитска матрица не мења вредност. Уопште, када су колоне матрице линеарно независни вектори (ортонормирани или не) њена је детерминанта различита од нуле и та је матрица „инвертибилна“ (постоји матрица A-1 таква да је A-1A = I, где је I јединична матрица).

Обзервабле процеса A и стања |a⟩ се дефинишу својственим вредностима λ у карактеристичним једначинама A|a⟩ = λ|a⟩, из какве следи:

A|a⟩ - λ|a⟩ = 0,

(A - λI)|a⟩ = 0,

det(A - λI) = 0.

Ова детерминанта се развија у полином по непознатој λ са коренима који су својствене вредности. Када је A ермитска матрица (или оператор) тада су сви корени овог (карактеристичног) полинома реални бројеви, а ако су сви корени међусобно различити, онда ће сви њима припадни својствени вектори, попут |a⟩, бити узајамно окомити.

2. Докажимо да је својствена вредност ермитског оператора реалан број. Из карактеристичне једначине A|a⟩ = λ|a⟩ коваријантним множењем са лева налазимо:

a|A|a⟩ = ⟨a|λ|a⟩ = λa|a⟩.

Ермитовањем ⟨a|A = ⟨a|λ*, због само-адјунговања, наћи ћемо такође:

a|A|a⟩ = ⟨a|λ*|a⟩ = λ*a|a⟩.

Упоређено са претходним, λ* = λ, што значи да је својствена вредност (λ) реалан број (једнак себи коњугованом).

3. Да су својствени вектори |a1⟩ и |a2⟩ ермитског оператора A окомити, ако припадају различитим својственим вредностима λ1 и λ2, може се доказати на следећи начин:

A|a1⟩ = λ1|a1⟩,   A|a2⟩ = λ2|a2⟩,

a1|λ1|a2⟩ = ⟨a1|A|a2⟩ = ⟨a1|λ2|a2⟩,

(λ1 - λ2)⟨a1|a2⟩ = 0,

одакле, ако λ1λ2, онда је вектор |a1⟩ окомит на |a2⟩. Овај аргумент се може проширити на случај поновљених својствених вредности; увек је могуће пронаћи ортонормалну базу својствених вектора за било коју ермитску матрицу.

4. На пример, матрицу

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 - i \\ 1 + i & 2 \end{pmatrix} \]

проверавамо адјунговањем, A = (A*) = A. Дакле, она је ермитска. Затим (Инваријантни подпростори, 1. Став) израчунавамо својствене вредности λ1 = 1 и λ2 = 4, редом:

det(A - λI) = 0,

\[ \det\left[\begin{pmatrix} 3 & 1 - i \\ 1 + i & 2 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right] = 0, \] \[ \det \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 1 - i \\ 1 + i & 2 - \lambda \end{pmatrix} = 0, \]

(3 - λ)(2 - λ) - (1 + i)(1 - i) = 0,

λ² - 5λ + 4 = 0,

λ1 = 1,   λ2 = 4.

Сада са познатим λ ∈ {1, 4} решавамо A|p⟩ = λ|p⟩, карактеристични систем једначина два пута (ознаке p испашће згодне). Налазимо њима припадне својствене векторе:

\[ |1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1 + i}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}, \quad |2\rangle = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1 + i}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}. \]

Делећи њихове коефицијенте са њиховим интензитетима свео сам их на јединичне, ⟨1|1⟩ = ⟨2|2⟩ = 1, а међусобни скаларни производ им је нула:

\[ \langle 1|2\rangle = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^*\frac{2}{\sqrt{6}} + \left(-\frac{1 + i}{\sqrt{3}}\right)^*\frac{1 + i}{\sqrt{6}} = 0. \]

То значи да ова два својствена вектора чине „ортонормиран“ скуп S.

5. Својствени вектори p1 и p2 матрице A колоне су посебне матрице:

P = P[p1, p2],   P-1P = 1,

\[ P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1+i}{\sqrt{3}} & \frac{1+i}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac{1-i}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \frac{1+i}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1+i}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}. \]

Матрица P-1 инверзна је матрици P, али приметимо да је

\[ P^{-1} = P^\dagger = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1-i}{\sqrt{3}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1-i}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}, \]

да је инверзна матрица помоћне једнака њеној адјунгованој. То је увек случај када су својствене вредности ермитске матрице A различите, тј. када су њени својствени вектори ортонормирани.

6. Дијагонална матрица D матрице A налази се помоћном матрицом P:

D = P-1AP,

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1-i}{\sqrt{3}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1-i}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 - i \\ 1 + i & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1+i}{\sqrt{3}} & \frac{1+i}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}. \]

Приметимо да из претходног својства (5) адјунговањем следи:

D = (P-1AP) = PA(P-1) = P-1AP = D,

дакле, да дијагонална матрица има реалне коефицијенте. То су, иначе, својствене вредности матрице A, а као што смо овде видели (2), оне су ермитским матрицама увек реалне.

7. Ево зашто је помоћна матрица P[1, 2, ..., n] баш таква каква је. Када је A ермитска матрица n-тог реда, а све њене својствене вредности λ1, λ2, ..., λn су различити (реални) бројеви, биће:

A|p1⟩ = λ1|p1⟩,   A|p2⟩ = λ2|p2⟩,   ...,   A|pn⟩ = λn|pn⟩,

A(|p1⟩, |p2⟩, ..., |pn⟩) = (λ1|p1⟩, λ2|p2⟩, ..., λn|pn⟩),

AP[1, 2, ..., n] = P[1, 2, ..., n]D,

P-1AP = D.

Када су колоне матрице P ортонормирани вектори, тада је збир квадрата њихових модула један. Према томе, квадрати модула такве матрице P су неке расподеле вероватноћа, а матрица је стохастичка (Марков ланац). Прецизније, ако је P = (pjk) помоћна матрица биће Q = (qjk) стохастичка матрица, где је свако qjk = |pjk|². Ако P није пермитација колона (врста) јединичне матрице, колоне матрице Q нису ортогоналне.

Diversity

Питање: Како стања дефинишу процесе?

Diversity

Одговор: На разне начине ће присуство магнета покретати металне опиљке, довођење ће топлоте топити лед, учесници произвести токове стања. А то нам је иначе јасно.

На елементарном (Harmonic) нивоу догађања, где својствена вредност значи енергију стања, њихова различитост дефинише линеарну независност стања и појава (Orthonormal, 3). Отуда значај најаве (макро-свету) разлика самих величина.

1. Скуп линеарно независних вектора S = {s1, s2, ..., sn} нормирамо (што је увек могуће) у векторе јединичног интензитета

\[ \textbf{p}_k = \frac{\textbf{s}_k}{\sqrt{\sum_{j=1}^n |\textbf{s}_j|^2}}, \quad k = 1, 2, ..., n \]

и добијамо ортонормиран скуп вектора, базу неког векторског простора. Нека су они колоне „помоћне“ матрице P = P[p1, p2, ..., pn], тј.

\[ P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & ... & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & ... & p_{2n} \\ ... & ... & ... & ... & \\ p_{n1} & p_{n2} & ... & p_{nn} \end{pmatrix} \]

где је (k = 1, 2, ..., n):

\[ \sum_{i=1}^n p_{ij}^*p_{ik} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \ne j \end{cases} \]

што је дефиниција ортонормираности. Зато адјунговањем и множењем добијамо PP = I = (δij), опширније:

\[ \begin{pmatrix} p_{11} & ... & p_{n1} \\ ... & ... & ... & \\ p_{1n} & ... & p_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p_{11} & ... & p_{1n} \\ ... & ... & ... \\ p_{n1} & ... & p_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... \\ 0 & ... & 1 \end{pmatrix}. \]

Приметимо да су адјунгована и инверзна матрица у овом случају једнаке P = P-1. Затим формирамо дијагоналну матрицу истог реда од ма каквих, али различитих и ненултих скалара (λk ∈ ℂ)

\[ D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_2 & ... & 0 \\ 0 & 0 & ... & \lambda_n \end{pmatrix} \]

и формирамо матрицу A = PDP. Матрица A сада је процес са својственим једначинама Apk = λpk, редом за k = 1, 2, ..., n, где су pk управо својствени вектори претходно произвољно задатих својствених вредности λk.

Помоћу задатих стања pk и уз то по вољи бираних параметара λk правимо процесе A који своју интерпретацију имају у квантним. Према томе, исти низови својствених вредности (λk) могу одговарати разним својственим векторима (pk) зависно од оператора (A).

2. Увек постоји оператор \( \hat{B}: \vec{p} \to \vec{q} \) који ће задати вектор, рецимо какав је један од претходних нормираних, пресликати у произвољан вектор. Када то пишемо матрично биће

\[ \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ ... \\ q_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q_1p_1^* & q_1p_2^* & ... & q_1p_n^* \\ q_2p_1^* & q_2p_2^* & ... & q_2p_n^* \\ ... & ... & ... & ... \\ q_mp_1^* & q_mp_2^* & ... & q_mp_n^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ ... \\ p_n \end{pmatrix}. \]

У слободној интерпретацији вектори \( \vec{p} \) и \( \vec{q} \) су слободно бирана стања, а \( \hat{B} \) је једнократни процес. То је неповратни процес, јер су редови те матрице пропорционални и њена је детерминанта нула.

Ова могућност подржава начело (моје) теорије информације према којој би, бар теоријски, свако стање са неком вероватноћом, укључујући нулте или инфинитезималне, могло прећи у свако друго стање. Јасно је зашто такви случајни догађаји нису реверзибилни, њихове матрице не морају бити инвертибилне. Доследно овом тумачењу, квантни процеси (A) који јесу реверзибилни, det(A) = det(PDP) = det(D) = λ1λ2⋅...⋅λn ≠ 0, ако су све својствене вредности λk ≠ 0, могу рецимо на основу садашњости утицати на прошлост.

3. Да догађај сада утиче на прошлост, на квантном нивоу, демонстрира тумачење интеракције. Још је Хајзенберг почетком 20. века приметио како путању електрона дефинише процес мерења. Сада установљујемо комуникацију и испоруку неизвесности електрона апаратури због чега његово претходно стање постаје извесније.

Brine Tank

Питање: Како повезујете непрекидне промене и дискретне матричне?

Brine Tank

Одговор: Једна од најпознатијих примена матрица у непрекидним (овде временским) променама су диференцијалне једначине. Овде ћу то протумачити на најчешћем школском задатку, равномерном мешању соли воде која каскадно тече из једне посуде у другу.

1. Вода тече једноликом брзином каскадно кроз три посуде задатих запремина, тако да су количници α, β и γ тих (брзина/запремина) нама једини релевантни. Поред равномерног мешање сваког резервоара, подразумева се и уједначена концентрација соли у сваком од резервоара (посуда), рецимо због довољно спорог тока, прелевања.

Нека су x1(t), x2(t) и x3(t) количине соли у тренутку t у сваком резервоару. Претпостављамо да се у првом резервоару додаје вода без соли, због чега се њена количина смањује у све три посуде и на крају губи из одвода. Ово каскадно отицање моделује се хемијском равнотежом, стопе или темпа

(промена) = (улаз) − (излаз).

Исто записујемо системом линеарних диференцијалних једначина:

\[ \begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = -\alpha x_1 \\ \frac{dx_2}{dt} = \alpha x_1 - \beta x_2 \\ \frac{dx_3}{dt} = \beta x_2 - \gamma x_3 \end{cases} \]

а ово можемо записати матрично

\[ \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\alpha & 0 & 0 \\ \alpha & -\beta & 0 \\ 0 & \beta & -\gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \]

сажето x' = Ax. И то је то, за почетак.

2. Нека су x1(0), x2(0) и x3(0) почетне количине соли из базена (посуда) редом. Решавамо прву, хомогену линеарну диференцијалну једначину (Првог реда) датог троугаоног система:

\[ \frac{dx_1(t)}{dt} = -\alpha x_1(t), \] \[ \frac{dx_1}{x_1} = -\alpha dt, \] \[ \ln \frac{x_1(t)}{x_1(0)} = -\alpha t, \] \[ x_1(t) = x_1(0)e^{-\alpha t}. \]

Решавамо другу, која је сада нехомогена линеарна диференцијална једначина првог реда

\[ \frac{dx_2(t)}{dt} = \alpha x_1(t) - \beta x_2(t). \]

Полазимо од претпоставке βα и облика решења

\[ x_2(t) = f(t) e^{-\beta t}, \]

па је:

\[ x_2'(t) = f'(t)e^{-\beta t} - f(t)\beta e^{-\beta t}, \]

одакле упоређивањем и интегрирањем налазимо:

\[ f'(t) = \alpha x_1(0) e^{(\beta - \alpha)t}, \quad f(t) = \frac{\alpha}{\beta - \alpha} x_1(0) e^{(\beta - \alpha)t} + C. \]

Уврштавањем у облик решења, излази:

\[ x_2(t) = \left[\frac{\alpha}{\beta - \alpha}x_1(0) e^{(\beta - \alpha)t} + C\right] e^{-\beta t}, \] \[ C = x_2(0) - \frac{\alpha}{\beta - \alpha} x_1(0), \] \[ x_2(t) = \frac{\alpha}{\beta - \alpha}x_1(0)(e^{-\alpha t} - e^{-\beta t}) + x_2(0)e^{-\beta t}. \]

Решавамо трећу, која је формално једнака претходној другој диференцијалној једначини и добијамо решење

\[ x_3(t) = e^{-\gamma t} \left[C + \beta\int x_2(t) e^{\gamma t} \ dt \right] = \] \[ = Ce^{-\gamma t} + \frac{\alpha\beta}{\beta - \alpha}x_1(0)\left(\frac{e^{-\alpha t}}{\gamma - \alpha} - \frac{e^{-\beta t}}{\gamma - \beta}\right) + \beta x_2(0)\frac{e^{-\beta t}}{\gamma - \beta}. \]

Из почетног услова (t = 0) налазимо константу

\[ C = x_3(0) - \frac{\beta}{\gamma - \beta}x_2(0) + \frac{\alpha\beta}{(\gamma - \alpha)(\gamma - \beta)}x_1(0). \]

Све ово је у случају да су α, β и γ различите величине.

3. Узмимо да је други базен два, а трећи три пута већи од првог. Нека је запремина првог базена 2 (литара, барела, или сличног) и нека протиче једна јединица воде у јединици времена. Тада је α = 1/2, β = 1/4 и γ = 1/6. Када су концентрације соли у почетном тренутку у сваком од три базена једнаке и у првом је њена укупна количина x1(0) = a, онда је у другом она била x2(0) = 2a, а у трећем x3(0) = 3a. Након времена t укупне количине соли у базенима су:

x1(t) = ae-t/2,

x2(t) = 2ae-t/4(2 - e-t/4),

x3(t) = 27ae-t/6/2 - 12ae-t/4 + 3e-t/2/2.

Brine Tank 2

На графу Oxy је количина соли y током времена x у првом (плав), другом (црвен) и трећем (зелен) базену, одоздо на горе. За почетни износ соли у првом базену стављено је a = 1. Видимо да је најбрже испирање соли кроз први базен, мало спорије кроз други, а много спорије током трећег, јер со из првог пролази кроз други и трећи базен.

4. Овај познати пример поучан је и због доње троугаоне матрице A, која би обрнутим поретком диференцијалних једначина била горња, а чији су дијагонални елементи (иначе су) својствене вредности. Приметићемо да различитост својствених вредности има важност за решења, јер ових не би било због тада делења нулом (називником γ - β, γ - α, или β - α).

Иначе се пример као модел може користити за „испирање“ било каквих флуида (гаса или течности) засићених „супстанцама“ за које важи закон одржања. Њиме се може анализирати и идеја смањивања информације садашњости на рачун растуће прошлости (Alignement, 2).

Cascades

Питање: На какво смањивање информације садашњости мислите?

Cascades

Одговор: На слици десно је шема енергетског „водопада“. Енергија убризгана у систем тече у велике структуре које се разбијају на све мање и мање токове који на крају умиру. Гледајући из садашњости, аналогно се дешава са све даљом прошлости.

1. Као у претходном одговору (Brine Tank), сада том новом применом, формирамо систем n линеарних диференцијалних једначина (k = 1, 2, ..., n), где је α0 = 0, па x0 није битно

x'k = αk-1xk-1 - αkxk

са константним коефицијентима αk. Матрично x' = x, то је

\[ \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\alpha1 & 0 & ... & 0 \\ \alpha_1 & -\alpha_2 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & -\alpha_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}, \]

где су све променљиве xk = xk(t) функције времена t. То је доња троугаона матрица која супротним редоследом писања једначина система прелази у горњу троугаону, не мењајући вредности решења. Коефицијенти αk чине низ монотоно растућих позитивних реалних бројева (0 < α1 < ... < αn), па су својствене вредности, дијагонални елементи матрице , све различити реални бројеви. Зато су својствени вектори, vk = -λkvk, прецизније

\[ \mathbf{v}_k = (0, ..., 1, \frac{\alpha_k}{\alpha_{k+1} - \alpha_k}, ..., \frac{\alpha_k...\alpha_{n-1}}{(\alpha_{k+1} - \alpha_k)...(\alpha_n - \alpha_k)})^\top \]

линеарно независни (Дијагонализација, 19. Став).

2. Опште решење тог система диференцијалних једначина (3. Теорема) је

\[ \textbf{x} = C_1\textbf{v}_1 e^{-\alpha_1 t} + C_2 \textbf{v}_2 e^{-\alpha_2 t} + ... + C_n \textbf{v}_n e^{-\alpha_n t}, \]

где су C1, C2, ..., Cn константе интегрирања. Како су αk позитивни бројеви, коефицијенти уз време (t) су негативни и сабирци експоненцијално теже нули. Сабирци решења брже стижу нули што је αk већи број, а тај је већи што је k већи, односно што је сабирак даље од почетног (α1).

Овако посматрамо „испирање“ које врши садашњост кроз масу опција, бирајући по један исход. По томе су αk степени реципрочног просечног неког броја могућности, тако да ће сабирци решења веома брзо опадати. Квантовање дејства (информације) чиниће тај низ коначним. За разлику од оваквог, посматрања искориштених опција, смањених неизвесности, систем диференцијалних једначина који другачије истиче опције могао би бити знатно једноставнији, до дијагоналних матрица. Друго је ствар тачности.

3. У датом питању била је интерпретација садашњости (првог сабирка) чија густина просечне (Шенонове) информације опада зарад све дуже прошлости (растућег n), да би укупни збир информација сада и из ње видљивих свих информација прошлости остао константан. Тумачење збира садашњости и прошлости на тај начин прихватљиво је теорији информације (мојој), а примена каскадних испирања један је покушај употребе једноставних система диференцијалних једначина, наравно, поред Марковљевих ланаца (Alignment).

Када приметимо да би ова интерпретација требала бити тачнија, јер би коефицијенти система једначина могли бити променљиве, приметимо сличну тешкоћу и у Марковом ланцу. Поруке се прилагођавају процесу, али се и процес прилагођава порукама које преноси. Међутим, силазак до дна да би се боље анализирале горње, сложеније структуре могућ је такође (Packages), па би тако и ово напипавање сложености које полази од једноставнијих модела могло имати смисла.

***

У наставку навешћу (скраћене) одговоре на неколико питања која сам добијао у вези са претходних пар одговора, или сличним. Захваљујем сарадницима који су ми јавили грешке претходног текста због чега су сада исправљене (тражили су анонимност, па имена не помињем).

Aquarium

Питање: Има ли примене ове методе на жива бића?

Aquarium

Одговор: Питање укључује решења система диференцијалних једначина са константним коефицијентима и својствене величине матрице система. Одговор је, наравно, позитиван и није непознат применама математике. Елаборираћу га на једном занимљивом примеру, управо због претходног захтева за повезивање непрекидних промена са дискретним матричним.

1. У посуди са водом је радиоактивни изотоп који се користити као траг за ланац исхране варијетета воденог планктона I и II, претходној слици, лево је фитопланктон, а десно је зоопланктон. Ове биљне и животињске врсте планктона су водени организми који плутају са струјама. Нека је:

  • ξ(t) — концентрација изотопа у води,
  • η(t) — концентрација изотопа у фитопланктону (I),
  • ζ(t) — концентрација изотопа у зоопланктону (II).

Типичне диференцијалне једначине тада су:

\[ \begin{cases} \xi'(t) = a_{11}\xi(t) + a_{12}\eta(t) + a_{13}\zeta(t) \\ \eta'(t) = a_{21}\xi(t) + a_{22}\eta(t) + a_{23}\zeta(t) \\ \zeta'(t) = a_{31}\xi(t) + a_{32}\eta(t) + a_{33}\zeta(t) \end{cases} \]

или матрично x' = x, односно:

\[ \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \\ \zeta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \\ \zeta \end{pmatrix}. \]

Тиме је задатак инфинитезималног рачуна сведен на алгебру вектора. На пример, a12 је фактор промене концентрације изотопа фитопланктона η у концентрацији изотопа у води ξ, у тренутку t.

Карактеристична једначина v = λv еквивалентна је са ( - λÎ)v = 0, а ова се своди на карактеристични полином по својственим вредностима. Он је опет једнак детерминантној det( - λÎ) = 0, на коју се обично упућујемо за израчунавање својствених вредности. Са једном по једном од својствених вредности враћамо се на карактеристичну једначину да би тада налазили одговарајуће својствене векторе.

2. Када су својствене вредности матрице различити бројеви, решење има облик (3. Теорема)

\[ \textbf{x} = C_1\textbf{v}_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 \textbf{v}_2 e^{\lambda_2 t} + C_3\textbf{v}_3 e^{\lambda_3 t}, \]

где су C1, C2 и C3 константе интегрирања дате са почетним вредностима концентрација изотопа, vk су својствени вектори припадни својственим вредностима λk дате матрице (vk = λkvk, за k = 1, 2, 3).

На пример, x' = x. Матрица тог система

\[ \frac{d}{dx} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \]

има својствене вредности λ1 = -5, λ2 = 3 и λ3 = 6 својствених вектора:

\[ \textbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \textbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad \textbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 16 \end{pmatrix}. \]

То проверавамо непосредним множењем, vk = λkvk, сва три k = 1, 2, 3. Отуда су решења диференцијалних једначина:

x = C1e-5tv1 + C2e3tv2 + C3e6tv3.

Константе интегрирања одређују почетни услови, али углавном важи да вектор решења (x) временом узима смер својственог вектора (v3) највеће својствене вредности (λ3 = 6), најдоминантнијег од доминантних.

3. Када су ове својствене вредности реални бројеви, онда и концентрације изотопа са позитивним (негативним) експонентима расту (падају) онда множене одговарајућим компонентама својствених вектора. Ако је нека од својствених вредности комплексан број (што може бити и са свим ajk реалним), онда због (6. Теорема) Ојлерове једнакости

eα + iβ = eα⋅(cos β + i⋅sin β),

добијамо периодично (косинусно и синусно) мењање концентрација у одговарајућим изотопима.

4. Ако је својствена вредност (реална или комплексна) поновљена, тада додајемо два својствена вектора таквој:

v = λv   и   = λu + v.

На пример, имамо ли λ1 = λ2 = λ и λ3λ, опште решење x' = x је

x = C1eλtv + C2(teλtv + eλtu).

Заиста, извод решења је

x' = C1λeλtv + C2(eλtv + tλeλtv + λeλtu),

а са друге стране једнакости је

x = C1eλtλv + C2[teλtλv + eλt(λu + v)].

Дакле, x' = x је тачно.

За још веће многострукости својствених вредности погледајте додатна објашњења (9. Став). Такви парови доминантних (λ, vk) равноправни су циљеви конвергенције решења (смер x ка vk), док су ови „дегенерисани“ вектори база једог „својственог простора“ (сваки вектор v тог простора задовољава v = λv).

5. Попут концентрације изотопа у наведеном примеру, њима типичне диференцијалне једначине изражавају промене које теку у смеру оног својственог вектора (простора) чија својствена вредност је највећа. Ако својственик није једнодимензионалан (простор је), сви његови правци равноправно су доминантни и процес има доминантни пакет смерова, који потсећа на пренос могућности живих бића током размножавања врсте.

Развој према „пакету смерова“ биће одржавање таквог пакета у случају комплексних својствених вредности, аналогно таквом случају матрица различитих комплексних својствених вредности. Тај начин отвараће и нове примене ове области математике за моделирање живих система, имитирајући њихове фазе рађања и умирања. Њих одавно користим у теорији информације, али о томе други пут.

Limes

Питање: Решење диференцијалних једначина садржи и „црну кутију“?

Limes

Одговор: Да, наравно. Ако имамо вектор x = x(t) функције времена t, или непрекидне променљиве и нека је систем диференцијалних једначина

x' = x,

онда је (3. Теорема) решење

x = c1eλ1tv1 + c2eλ2tv2 + ... + cneλntvn,

где су ck произвољне константе, λk различите својствене вредности дате матрице , а vk су им својствени вектори, редом за k = 1, 2, ..., n.

1. На пример, дупла стохастичка матрица

\[ \hat{A} = \begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix} \]

има својствене вредности λ1 = 1 и λ2 = 0,4 са одговарајућим својственим векторима (v = λv):

\[ \textbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \end{pmatrix}, \quad \textbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0,5 \\ -0,5 \end{pmatrix}. \]

Овај други није расподела вероватноћа, али свеједно учествује у решењу

x = c1etv1 + c2e0,4tv2

система диференцијалних једначина x' = x. Ово можемо писати

e-tx = c1v1 + c2e-0,6tv2c1v1,   t → ∞,

па ако нормирамо резултат, да буде расподела вероватноћа, тада решење постаје управо v1. Матрица којој би ово било сваки излазни вектор, је

\[ \hat{B} = \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \\ 0,5 & 0,5 \end{pmatrix}. \]

Са друге стране, заиста \( \hat{A}^s \to \hat{B} \) када s → ∞. Та је гранична стохастичка матрица „црна кутија“ управо Марковљевог ланца генерисаног дуплом стохастичком матрицом .

2. На пример, обична стохастичка матрица (7. Пример)

\[ A = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 & 0,2 \\ 0,2 & 0,7 & 0,2 \\ 0,0 & 0,1 & 0,6 \end{pmatrix} \]

има својствене вредности λ1 = 1, λ2 = 0,6 и λ3 = 0,5. Својствени вектори су:

\[ \textbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,4 \\ 0,1 \end{pmatrix}, \quad \textbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0 \\ -0,5 \end{pmatrix}, \quad \textbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0,5 \\ -0,5 \end{pmatrix}, \]

па за опште решење система, x' = Ax и x = x(t), важи:

x = c1etv1 + c2e0,6tv2 + c3e0,5tv3,

e-tx = c1v1 + c2e-0,4tv2 + c3e-0,5tv3c1v1,   t → ∞.

Нормирамо ли леву страну да буде расподела вероватноће и узмемо одговарајућу константу интегрирања, налазимо за гранични вектор резултата управо својствени v1. Одговарајућа матрица, која би сваку расподелу трансформисала у ову, је

\[ B = \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 & 0,5 \\ 0,4 & 0,4 & 0,4 \\ 0,1 & 0,1 & 0,1 \end{pmatrix}, \]

па је она и „црна кутија“ преноса порука.

Са друге стране, посматрамо ли матрицу A као генератор Марковљевог ланца и формирамо помоћну матрицу P[v1, v2, v3], колона својствених вектора дате, биће D = P-1AP дијагонална матрица са датим својственим вредностима на дијагонали и свим осталим нулама. Знајући својствене вредности и помоћну матрицу, пишемо A = PDP-1, а онда степенујући је As = PDsP-1, при чему је степен дијагоналне једнак дијагоналној степена елемената. Тако доказујемо лимес AsB када s → ∞. То је већ урађено (13. Пример).

3. Лако је видети да описана метода израчунавања „црне кутије“, помоћу система диференцијалних једначина, важи и за не-стохастичке матрице, штавише и за не-ермитске. Она ми је једно од упоришта генерализације теорије информације на квантна стања и процесе, затим интерпретације (физичких) стања и процеса помоћу вектора и оператора.

Заједничка поука ових интерпретација је прилагођавање стања процесу, тако да оно постаје својствено текућој промени. У мањој мери важиће и обрнуто, прилагођавање процеса стањима на која реагује. Сви ти заједно конвергирају фиктивној, сваки посебно некој, назовимо је „црној кутији“ космоса.

Limes II

Питање: Чему решење тежи у случају истих својствених вредности?

Limes II

Одговор: Опет имамо y = y(t), чије су компоненте функције времена t, или су непрекидне неке друге променљиве, као и систем једначина y' = y, које дефинишу изводе y' = dy/dt.

Када је једна или више међу својственим вредностима λ од матрице поновљена (9. Став), рецимо mn пута, а када има припадне својствене векторе u1, ..., um за које важи:

u1 = λu1,   u2 = λu2 + u1,   ...,   um = λum + um-1,

тада имамо посебна решења:

yk = [uk + tuk-1 + ... + (tk/k!)u1]eλt,   k = 1, 2, ..., m.

Њихова линеарна комбинација са произвољним константама c1, c2, ..., cm

y = c1y1 + c2y2 + ... + cmym

део је општег решења датог система.

1. На пример, када радимо са матрицом 1 реда n = 5, 6, 7, ..., троструке својствене вредности λ1 = λ2 = λ3 = 2 својствених вектора чије прве три координате су као у 8. примеру:

\[ \textbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ ... \end{pmatrix}, \quad \textbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ ... \end{pmatrix}, \quad \textbf{u}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ ... \end{pmatrix}. \]

Следеће две својствене вредности λ4 = λ5 = -1 нека су као у 7. примеру, са четвртом и петом координатом својствених вектора (2):

\[ \textbf{u}_4 = \begin{pmatrix} ... \\ 1 \\ 1 \\ ... \end{pmatrix}, \quad \textbf{u}_5 = \begin{pmatrix} ... \\ 0 \\ 1 \\ ... \end{pmatrix}, \]

са свим осталим својственим вредностима мањим од 2. Опште решење је

y = u1e2t + (u2 + tu1)e2t + (u3 + tu2 + t²u1/2)e2t + u4e-t + (u5 + tu4)e-t + ...

= [(1 + t + t²/2)u1 + (1 + t)u2 + u3]e2t + [(1 + t)u4 + u5]e-t + ...,

e-2ty = [(1 + t + t²/2)u1 + (1 + t)u2 + u3] + [(1 + t)u4 + u5]e-3t + ...

→ [(1 + t + t²/2)u1 + (1 + t)u2 + u3],   t → ∞.

Овај израз има сабирке који дивергирају. Просто нормирање, какво је у претходним случајевима (Limes), сада не води конвергенцији.

2. Међутим, када највећа својствена вредност дате матрице система није дегенерисана (нема их две или више истих), онда постоји конвергенција решења и имамо ситуацију аналогну претходној. На крају, та се решења крећу у смеру најдоминантнијих од доминантих парова (λ, v).

На пример, матрица

\[ \hat{A} = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} & \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix} & (3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \hat{A}_1 & 0 & 0 \\ 0 & \hat{A}_2 & 0 \\ 0 & 0 & \hat{A}_3 \end{pmatrix} \]

је блок-дијагонална. На дијагонали има матрице из (1) првог 1 и другог 2 примера и још једну матрицу број 3. Овој трећој својствена вредност је λ6 = 3, број већи од свих пет претходних ламбди.

Зато поменуто решење (e-2ty) конвергира својственом вектору ове шесте својствене вредности, v6 = (0, 0, 0, 0, 0, 1). Доследно, постоји гранична матрица, на пример

\[ \hat{B} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

која би сваки нормиран вектор (расподеле вероватноћа) трансформисала у један те исти v6. Зависно од константи интегрирања и према потребама нормирања вектора са којима радимо, ова гранична матрица може бити и другачија.

Curvature

Питање: Имате ли још примера променљивих коефицијената матрица?

Curvature

Одговор: Да, колико год треба, али држимо се интересантних овој теорији. Ако је ред извода променљивих (Aquarium) само један корак већи, он постаје

x'' = x',

дакле, израз убрзања x'' помоћу брзина x' где је x = x(t), а вектор

x = (x1, x2, ..., xn)

означава положај дате тачке у тренутку t. Оно решење сада је брзина x' = x'(t). Конвергенција (Limes) тада има једноставно објашњење: најдаље иду тачке са највећом својственом вредношћу (λ), односно оне најбрже (v = λv).

1. У свету физичког простор-времена, константни коефицијенти матрице = (ejk) значе константне прираштаје брзине. Међутим, оно није могуће, јер брзину светлости c = 300 000 km/s није могуће премашити. Колико се материјална тачка приближава тој брзини она тако успорава. Одржавање сталног прираштаја тражи улагање све веће погонске енергије, а коначно да улог постаје бесконачан.

На претходни начин речено, стање се прилагођава процесу и околности новом нивоу кретања, тако да се коефицијенти ejk мењају. Они се мењају све брже са већим брзинама, непропорционално, односно нелинеарно са кретањем ближем светлосном. Код мањих брзина коефицијенти матрица неприметних су нам промена, а значајних тек у брзинама уз светлосне.

2. Простор-време теорије релативности је 4-димензионално, али изворно геометријски, на слици горе лево, замишљамо га као 2-дим површ. Нека су радијалне јединице дужина до центра ових кружница све краће, док се окомите на њих (по кружницама) не мењају. За тако дефинисан простор кажемо да је „закривљен“ и он је био предмет проучавања нееуклидских геометрија, пре осталих од Гауса (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855, немачки математичар) и Лобачевског (Nikolai Lobachevsky, 1792-1856, руски), да би им се касније придружили и други.

Покушајмо разумети да тада директна спојница AB, црвена испрекидана дуж на слици, може бити дужа од лука, плавог испрекиданог кружнице. Можемо посматрати два система координата такве слике. Први налик је еуклидском, који би покушао игнорисати промене јединица дужина, док је други криволинијски и тачно опонаша дефинисане јединице дужина.

Ричијев тензор Rαβ је величина попут матрице типа n × n, са n = 1, 2, 3, ... бројем димензија посматраног простора. Овај тензор представља разлику елемента запремине датог места закривљеног простора и еуклидског. Те компоненте Ричијевог тензора описују како се елеменат запремине мења дуж положаја геодетске линије (путање најкраће удаљености AB) у било ком правцу. Према томе, горње диференцијалне једначине неће имати константне коефицијенте код матрице током тих путања закривљеног простора, када представљају кретања.

3. Ајнштајн је (1916) дошао на идеју да ове промене запремина, у 4-дим физичком простор-времену, посматра као енергије. Написао је

Gμν + Λgμν = κTμν

где први сабирци, тензора геометрије Gμν са 4 × 4 компоненти, садрже Ричијев тензор и мере закривљеност простора, а на десној страни стоји тензор енергије Tμν. Стављајући једнакост између „закривљености“ и „енергије“ простора, Ајнштајн је одустао од претходне Њутнове „силе“ гравитације, откривши формуле за још тачнија предвиђања класичне небеске механике. Космолошка константа Λ, метрички тензор gμν са константом κ фино подешавају те једначине опште релативности.

Brachistochrone

Физички модел те криволинијске геометрије, поред три просторне димензије (x1, x2, x3) садржи пут који имагинарна светлост пређе за време t, што прави временску координату (x4 = ict), па најкраћи путеви нису увек најбржи. Такав случај описује Брахистохронова крива на слици десно.

Куглица која пада равном, или било којом плавом линијом на слици, спорије стиже до другог краја од оне која иде (средњом) црвеном Брахистохроном. Свугде у физици трајекторије су последице принципа најмањег дејства, па и овде. Он укључује најкраће удаљености и најмања трајања, када та два нису у колизији. Иначе, општа теорија релативности такође је изведива из самог тог принципа (Минимализам Информације, 2.5 Аjнштаjнове опште jедначине), да тела настоје минимално трошити дејство (производ промењене енергије и протеклог времена).

4. Тела се у гравитационом пољу крећу тако да имају најмање дејства, а то значи интеракција, односно комуникације са околином. Потенцијал енергије нижих места поља мањи је, па у условима једнаких временских интервала настаје ефекат ниже информације тих, штедње дејства и при слободном паду тело се креће тим смером. Али ту је и закон одржања, и мањак потенцијалне енергије тело надомешта повећањем кинетичке те брзином. Зато се дешавају и кретања по елипсама, рецимо планета око сунца по Кеплеровом закону (Surface).

Места јаче гравитације релативно су мање информативна. Тамо су тела гоњена начелним минимализмом. Привлачан је релативно спорији ток времена, а који се на циљаном месту не опажа, па тела неуморно круже. Оно што се са других места не опажа су делови информација које се тек додају у другим временским димензијама, ван релативних перцепција. Тако, као због неких халуцинација, тела се покрећу у слободан пад и по орбитама. Сталне различитости, које су суштина теорије информације, разлог су променљивости коефицијената матрице .

Конвергенција (Limes) сада има такође једноставно објашњење, најдаље се доспева са највећом својственом вредношћу (λ) која значи истакнутије извесности. Уједначене вероватноће стварају веће густине информације (Екстреми), па стања иначе теже извеснијим и држе се „као пјан плота“ оних најизвеснијих — природних закона.

Energy II

Питање: Енергија је информација?

Energy II

Одговор: Боље је рећи, промена енергије помножена протеклим временом је информација. Нема овог света без временског тока, а нема га ни без енергије, па та два чиниоца обједињена говоре нам о информацијама.

Колико је далекосежно то начело минимализма, да природа штеди емисије информације, да тежећи стањима мањих тих емисија, она успешно описује светове око нас, видимо из Ајнштајнове формуле E = mc², или из грумена песка чија зрна нашим чулима не откривају ни најмање од све огромне сложености своје структуре, уколико познајемо те структуре.

Међутим, енергија и импулси су компоненте 4-вектора импулса простор-времена теорије релативности, рецимо (p0, p1, p2, p3) где су p0 = iE/c иза чега су импулси просторних координата (апсцисе, ординате и апликате). Да би се разликовао од просторног импулса, вектора p = (p1, p2, p3), овај 4-вектор се означава на тензорски начин са pμ. Отуда је укупни импулс, односно енергија, производ ко и контра-варијантних координата:

\[ \sum_{\mu=0}^3 p_\mu p_\mu = p_\mu p^\mu = -\frac{E^2}{c^2} + p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 = -\frac{E^2}{c^2} + p^2. \]

Обзиром да је овај једнак Лоренцовом скалару -m²c², налазимо

\[ E = \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2}. \]

То је израз за укупну енергију који је веома тачан и утолико користан за физику уопште. Уз то иду 4-вектори координата (x0, x1, x2, x3), где имамо x0 = ict, а остале су просторне координате вектора r = (x1, x2, x3), рецимо x, y и z-осе. Означимо ли овај 4-вектор са sμ, онда је:

sμsμ = -c²t² + x1² + x2² + x3² = r² - (ct

дужина „догађаја“ 4-дим простор-времена.

У макро-свету елементарне особине могу бити веома добро прикривене, са новим макро особинама које, пак, није лако препознати у микро-свету. Зато нагласимо да су то мале величине, када са таквима радимо, а на које из макро-света можемо гледати и као на инфинитезимале. Тада дужину догађаја примерније пишемо као интервал простор-времена

ds² = dx² + dy² + dz² - c²dt²,

који је инваријантан (не мења се са трансформацијама координата), јер је производ ко и контра-варијантних. Доследно овоме, 4-дејства су Δpμ⋅Δxμ, појединачно Δpx⋅Δx, Δpy⋅Δy, Δpz⋅Δz и ΔE⋅Δt. Ти производи су еквиваленти информација.

Са становишта примене алгебре (Aquarium) имамо такође интересантан расплет. Као што знамо (Квантна Механика, (1.5), или (1.431)), еволуцију вектора стања |ψ⟩ описује временски зависна Шредингерова једначина

\[ \hat{H}|\psi\rangle = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle. \]

Она се лако преводи у алгебарски начин x' = x, где је = iℏ∂t оператор енергије, о којој сам и недавно писао (Harmonic), а вектор x = |ψ⟩. Јасно је сада зашто су својствене вредности (λ) и својствени вектори (v), тада алгебарске једначине (v = λv), делови решења

\[ \textbf{x} = c_1\textbf{v}_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 \textbf{v}_2 e^{\lambda_2 t} + ... + c_n\textbf{v}_n e^{\lambda_n t}, \]

јер представљају суперпозицију квантних стања честице-таласа. Сабирци су ортогонални вектори, обзервабилна квантна стања, а физички смисао решења постоји само ако је оно таквима писано.

Previous

Фебруар 2024 (English ≽)

Next

Тема:

Део ових питања су из сумњи о ширини примена „теорије информације“ (онако како је излажем), а онда се тичу и појава које редовно не виђамо. Значајан домен тих су процеси, саме промене физичких стања временом, али и уопште функције апстрактнијих променљивих величина.

Као и увек, новије прилоге овде додајем доле и стрелицом лево, а старији остају изнад и десно.