Trag i determinanta

Даље остајемо са операторима \( T \in \mathcal{L}(V) \), више у комплексним коначно-димензионалним векторским просторима V али мање везани за унутрашње производе. Ознаке тела скалара су као пре, слова 𝔽, или Φ (односно ℝ или ℂ), а за основни векторски простор V може и ознака X, или слична.

1. Траг

1.1. Дијагонална матрица n × n, где је n ∈ ℕ, са јединицама на главној дијагонали а свим около нулама

\[ I = \begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & 1 \end{pmatrix} \]

назива се јединична матрица. Квадратна матрица A је инвертибилна ако постоји матрица B истог типа таква да је AB = BA = I, а тада матрицу B називамо инверзном матрици A и означавамо је са A^-1.

Подсетимо се да са \(\mathcal{M}(T) = \mathcal{M}(T, \vec{x}, \vec{y})\) означавамо матрицу оператора T који вектор \(\vec{x}\) пресликава у вектор \(\vec{y}\). Користили смо још краће означавање истог \(\hat{T}\vec{x} = \vec{y}\). Даље, приметимо да за произвољне три базе истог простора, када су u₁, ..., u_n и v₁, ..., v_n и w₁, ..., w_n базе простора V, а оператори \(S, T \in \mathcal{L}(V)\), важи множење матрица:

\[ \mathcal{M}(ST, (u_1, ..., u_n), (w_1, ..., w_n)) = \] \[ \mathcal{M}(S, (v_1, ..., v_n), (w_1, ..., w_n)) \mathcal{M}(T, (u_1, ..., u_n), (v_1, ..., v_n)). \]

Поједностављено, помоћу вектора од вектора: \(\hat{S}\hat{T}\vec{u} = \hat{S}(\hat{T}\vec{u}) = \hat{S}\vec{v} = \vec{w}\). Приметимо да се k-та колона матрице \(\mathcal{M}(I, \vec{u}, \vec{v})\), идентичног матричног пресликавања низа вектора u_i у низ вектора v_j (другачије записан исти вектор), састоји од скалара за писање вектора u_k као линеарне комбинације v₁, ..., v_n.

На пример, база u₁ = (4, 2), u₂ = (5, 3) и стандардна база v₁ = (1, 0), v₂ = (0, 1) простора 𝔽² дају матрицу

\[ M = \mathcal{M}(I, [(4, 2), (5, 3)], [(1, 0), (0, 1)]) = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \]

јер је I(4, 2) = 4(1, 0) + 2(0, 1) и I(5, 3) = 5(1, 0) + 3(0, 1). Инверзна матрица овој је

\[ M^{-1} = \mathcal{M}(I, [(1, 0), (0, 1)], [(4, 2), (5, 3)]) = \begin{pmatrix} \frac32 & -\frac52 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \]

тако да је MM^-1 = M^-1M = I.

1. Став. Нека су u₁, ..., u_n и v₁, ..., v_n базе простора V. Тада су матрице \( \mathcal{M}(I, (u_1, ..., u_n), (v_1, ..., v_n)) \) и \( \mathcal{M}(I, (v_1, ..., v_n), (u_1, ..., u_n)) \) инвертибилне, а свака од њих две је инверзна оној другој.

Доказ: У претходној формули, заменимо w_j са u_j, а заменимо S и T са I, добићемо

\[ I = \mathcal{M}(I, (v_1,...,v_n), (u_1, ..., u_n)) \mathcal{M}(I, (u_1, ..., u_n), (v_1, ..., v_n)). \]

Мењајући улоге u и v добијамо

\[ I = \mathcal{M}(I, (u_1,...,u_n), (v_1, ..., v_n)) \mathcal{M}(I, (v_1, ..., v_n), (u_1, ..., u_n)). \]

Ове две једначине су тражени резултат. ∎

1.2. Када матрица оператора T мења базу, низ вектора \( u = (u_1, ..., u_n) \) у низ вектора \( v = (v_1, ..., v_n) \), пишемо \( \mathcal{M}(T, u, v) \). Ако су низови базних вектора једнаки (u = v), писаћемо кратко \( \mathcal{M}(T, u) \).

2. Став. Нека је \( T \in \mathcal{L}(V) \), a низови вектора \( u = (u_1, ..., u_n) \) и \( v = (v_1, ..., v_n) \) су базе у V. Када је \( A = \mathcal{M}(T, u, v) \), тада је \( \mathcal{M}(T, u) = A^{-1}\mathcal{M}(T, v) A \).

Доказ: У горњој матричној једначини заменимо w_j са u_j и S са I, добијамо \( \mathcal{M}(T, u) = A^{-1}\mathcal{M}(T, u, v) \), где је употребљен 1. став. Поново, у истој матричној једначини заменимо w_j са v_j, а заменимо T са I и заменимо S са T, добијамо \( \mathcal{M}(T, u, v) = \mathcal{M}(T, v)A \). Смењујући ово у претходну једнакост добијамо тражени резултат. ∎

Подразумевамо да је \( T \in \mathcal{L}(V) \) линеарн оператор векторског простора V димензије n = dim V, а нека је λ његова својствена вредност многострукости (Декомпозиција оператора, 2.1) димензије генералисаног својственог простора G(λ, T) која је једнака dim null (T - λI)ⁿ. А комплексни простор V многострукости, свих својствених вредности T, има укупно n.

Збир својствених вредности, где се свака λ_j понавља онолико, d_j пута, колика јој је многострукост, биће d₁λ₁ + ... d_mλ_m. Када евентуално исте својствене вредности наводимо различитим индексима, онда исти претходни збир можемо писати просто λ₁ + ... + λ_n. То је увод у следећу дефиницију.

2.3. Траг оператора \( T \in \mathcal{L}(V) \) је:

• Збир својствених вредности T где се свака понавља са својом многострукошћу, ако је 𝔽 = ℂ;
• Збир својствених вредности T_c где се свака понавља са својом многострукошћу, ако је 𝔽 = ℝ.

Траг оператора T означавамо са tr T, ређе са trace T.

3. Пример. Оператор \(T \in \mathcal{L}(\mathbb{C}^3) \) чија је матрица

\[ \hat{T} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & - 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \]

има својствене вредности λ₁ = 2 + 3i, λ₂ = 2 - 3i и λ₃ = 1, где је i² = -1. Дакле, tr T = 5. □

Колико је траг оператора уско повезан са својственим вредностима видимо из карактеристичног полинома оператора, који са поновљеним својственим вредностима пишемо (z - λ₁)…(z - λ_n). Ако развијемо овај полином, добијамо zⁿ - (λ₁ + ... + λ_n)z^n-1 + ... + (-1)ⁿ(λ₁...λ_n). Отуда следећи резултат.

4. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \) и n = dim V, онда је траг T једнак негативном коефицијенту уз z^n-1 карактеристичног полинома оператора.

У наставку описујемо начине израчунавања трага оператора из матрице независно од базе. Ако је V комплексан простор, бирајмо базу блок дијагоналних матрица (Декомпозиција оператора, 20. став). Траг оператора T једнак је збиру дијагоналних елемената те матрице \(\mathcal{M}(T)\). Иста формула важи за 3. пример овде, чији је траг 5, иако та матрица није горња троугаона.

2.4. Траг квадратне матрице A, ознаке tr A, је збир дијагоналних елемената матрице. Траг оператора и матрице толико су једнаког садржаја да је \( \text{tr}(T) = \text{tr}(\mathcal{M}(T)) \), без обзира на базу матрице. У то ћемо се сада уверити.

5. Став. Ако су A и B квадратне метрице истог реда, онда је tr(AB) = tr(BA).

Доказ: Нека је:

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ & \dots & \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} b_{11} & \dots & b_{1n} \\ & \dots & \\ b_{n1} & \dots & b_{nn} \end{pmatrix}. \]

Производ матрица AB има j-ти дијагонални елеменат \( \sum_{k=1}^n A_{jk}B_{kj} \) па је:

\[ \text{tr}(AB) = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n A_{jk}B_{kj} = \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^n B_{kj}A_{jk} = \text{tr}(BA). \]

Тиме је доказ завршен. ∎

Даље, покажимо да је збир дијагоналних елемената матрице независан од избора базе у односу на коју се матрица датог оператора израчунава.

6. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \), а u₁, ..., u_n и v₁, ..., v_n су базе V, биће траг матрице \(\mathcal{M}(T, (u_1, ..., u_n)) \) једнак трагу матрице \( \mathcal{M}(T, (v_1, ..., v_n)) \).

Доказ: Нека је \( A = \mathcal{M}(I, (u_1, ..., u_n), (v_1, ..., v_n)) \). Тада је:

\[ \text{tr}[\mathcal{M}(T, (u_1, ..., u_n))] = \text{tr}[ A^{-1} \mathcal{M}(T, (v_1, ..., v_n)) A] = \] \[ = \text{tr}[\mathcal{M}(T, (v_1, ..., v_n))AA^{-1}] = \text{tr}[\mathcal{M}(T, (v_1, ..., v_n))], \]

где прва једнакост долази из 2. става, а друга једнакост из 5. става. ∎

Следећи резултат повезује претходне ставове у најављени један, да је траг оператора једнак трагу његове матрице и то без обзира на базу у којој се матрица израчунава.

7. Став. За \(T \in \mathcal{L}(V) \) је \( \text{tr}T = \text{tr}\mathcal{M}(T) \).

Доказ: Из 6. става, траг \(\mathcal{M}(T)\) не зависи од избора базе V. Да би показали да важи \( \text{tr}(T) = \text{tr}(\mathcal{M}(T)) \) за сваку базу V, треба показати да важи за неку. Али, то смо већ имали (Декомпозиција оператора, 20. став), избор базе даће тај резултат. Ако је V реалан векторски простор, примена комплексификације T_c (која се користи за дефинисање трага T) даје жељени резултат. ∎

Када знамо матрицу оператора у комплексном векторском простору, овај резултат каже нам да знамо збир својствених вредности без налажења појединих од њих. Да је траг адитиван је став који следи иза примера, а онај иза тога да не постоје матрице чији комутатор је јединична матрица.

8. Пример. Оператор T у ℂ⁵ има матрицу

\[ \mathcal{M}(T) = \begin{pmatrix} 0& 0 & 0 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

за који сада знамо да има збир својствених вредности нула, иако их појединачно не знамо. □

9. Став. Ако је \( S, T \in \mathcal{L}(V) \), онда је tr(S + T) = tr(S) + tr(T).

Доказ: Узмимо базу из V и имамо:

\[ \text{tr}(S + T) = \text{tr}\mathcal{M}(S + T) = \text{tr}(\mathcal{M}(S) + \mathcal{M}(T)) = \text{tr}(S) + \text{tr}(T), \]

због 7. става. ∎

10. Став. Не постоје оператори \( S, T \in \mathcal{L}(V) \) такви да је ST - TS = I.

Доказ: Ако је \( S, T \in \mathcal{L}(V) \), онда је:

\[ \text{tr}(ST - TS) = \text{tr}(ST) - \text{tr}(TS) = 0 \ne I, \]

због 5. и 9. става. ∎

2.5. Када је дефинисана норма оператора T, траг одређујемо додавањем дијагоналних елемената матричне репрезентације оператора:

\[ \text{tr}(T) = \sum_j \langle v_j | T | v_j \rangle, \]

где користимо ко и контра-варијантне (Invariant) координате записа вектора помоћу Диракових бра и кет ознака, где су v_j јединични својствени вектори. Наиме, ⟨v_j|T|v_j⟩ = ⟨v_j|λ_j|v_j⟩ = λ_j⟨v_j|v_j⟩ = λ_j, а збир свих својствених вредности λ_j је траг оператора. Траг има следеће важне особине:

1. Ако је T = T^† (само-адјунгован), онда је tr T реалан број;
2. tr(aT) = a tr(T);
3. tr(S + T) = tr(S) + tr(T);
4. tr(var>ST) = tr(BA).

Поред трага, друга важна функција оператора линеарних векторских простора је детерминанта. Док се обе, траг и детерминанта, најчешће процењују у матричном представљању, оне су независне од избора базе.

2. Детерминанта

Детерминанта оператора се овде дефинише на начин који подсећа на траг, где производ својствених вредности замењује збир својствених вредности.

2.1. Детерминанта оператора \( T \in \mathcal{L}(V) \), ознаке det(T), је:

• Производ својствених вредности T поновљених многострукости, ако је 𝔽 = ℂ;
• Производ својствених вредности T_c поновљених многострукости, ако је 𝔽 = ℝ.

Дакле, детерминанта оператора T, својствених вредности λ₁, ..., λ_m многострукости редом d₁, ..., d_m, је

\[ \det(T) = \lambda_1^{d_1}...\lambda_m^{d_m}. \]

Ако својствене вредности наводимо понављајући их, овај производ пишемо

\[ \det(T) = \lambda_1...\lambda_n. \]

11. Пример. Детерминанта, из 3. примера, оператора чија је матрица

\[ \hat{T} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & - 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \]

са својственим вредностима λ₁ = 2 + 3i, λ₂ = 2 - 3i и λ₃ = 1 је \( \det(\hat{T}) = (2 + 3i)\cdot(2 - 3i)\cdot 1 = 13 \). □

2.2. Непосредно видимо колико је детерминанта везана за карактеристични полином

\[ (z - \lambda_1)...(z - \lambda_n) = z^n - (\lambda_1)z^{n-1} + ... + (-1)^n(λ_1...λ_n) \]

одакле следећи закључак.

12. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \) и n = dim V, онда је det T једнако производу (-1)ⁿ са константним чланом карактеристичног полинома.

Комбинујући овај резултат са 4. ставом добијамо следећи резултат.

13. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \) и n = dim V, онда се карактеристични полином може писати

\[ z^n - (\text{tr} \ T)z^{n-1} + ... + (-1)^n (\text{det} \ T). \]

Отуда и релативно лак доказ следећег става.

14. Став. Оператор на V је инвертибилан ако и само ако је његова детерминанта различита од нуле.

Доказ: Прво претпоставимо да је V комплексан векторски простор и \( T \in \mathcal{L}(V) \). Оператор је инвертибилан (када и његова дијагонална матрица) ако и само ако 0 није његова својствена вредност, што непосредно значи det T ≠ 0.

Сада размотримо случај када је V реалан векторски простор и \( T \in \mathcal{L}(V) \). Опет, оператор је инвертибилан акко 0 није његова својствена вредност, што ће бити акко 0 није својствена вредност T_c (са којим има једнаке својствене вредности, Комплексификација, 4. став). Тиме је став доказан. ∎

15. Пример. Ротација око исходишта за угао φ има матрицу R, својствене вредности λ_1,2 са припадним својственим векторима x_1,2:

\[ R = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}, \quad \lambda_{1,2} = e^{\pm i\varphi}, \quad x_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ i \end{pmatrix}, \quad x_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, \]

што је лако проверити непосредним множењем, Rx = λx. Са друге стране, из претходних ставова следи tr(R) = λ₁ + λ₂ = (cos φ + i sin φ) + (cos φ - i sin φ) = 2⋅cos φ и det(R) = λ₁⋅λ₂ = 1. □

16. Пример. Оператор има матрицу A трећег реда, својствених вредности λ_1,2,3 и припадних својствених вектора x_1,2,3:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix}, \quad \lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = -1, \quad \lambda_3 = 8, \] \[ x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad x_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad x_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}, \]

што је лако проверити непосредним множењем, Ax = λx. Са друге стране, из претходних ставова следи tr(A) = λ₁ + λ₂ + λ₃ = 9, а det(A) = λ₁⋅λ₂⋅λ₃ = -16. □

17. Пример. Приметимо да се претходна матрица (A) може писати као блок матрица

\[ B = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \end{pmatrix}, \]

где су својствене вредности првог дијагоналног елемента, тј. прве дијагоналне матрице λ₁ = 2, а друге дијагоналне матрице λ₂ = -1 и λ₃ = 8. Тако је:

\[ \text{tr}(B) = \text{tr}(2) + \text{tr}\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = 2 + (-1) + 8 = 9 = \text{tr}(A), \] \[ \det(B) = \det(2)\cdot \det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \lambda_1\cdot(\lambda_2\cdot\lambda_3) = 2\cdot(-1\cdot 8) = -16 = \det(A). \]

Разбијањем на блок матрице не мења траг и детерминанту. □

Запажања ових примера, нарочито 17, корисна су нам за проширивање разумевања „информације перцепције“, односно „збира производа“, на случај када су фактори матрице. Подсећам још једном, скаларе представља тело Φ чија друга операција, множење, не мора бити комутативна.

2.3. Да се карактеристични полином оператора може дефинисати помоћу детерминанте оператора каже следећи став.

18. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \), онда је карактеристични полином T једнак det(zI - T).

Доказ: Прво претпоставимо да је V комплексан векторски простор. Ако λ, z ∈ ℂ, онда је λ својствена вредност T акко (ако и само ако) је z - λ својствена вредност zI - T, због -(T - λI) = (zI - T) - (z - λ)I. Ако обе стране ове једначине степенујемо са dim V, а онда узмемо нула простор обе стране, видимо да је многострукост λ као својствене вредности T једнака многострукости z - λ као својствене вредности оператора zI - T.

Означимо са λ₁, ..., λ_n својствене вредности T укључујући понављања. Тада су z - λ₁, ..., z - λ_n својствене вредности оператора zI - T укључујући понављања. Детерминанта је производ својствених вредности, det(zI - T) = (z - λ₁)...(z - λ_n). Десна страна ове једначине је карактеристични полином, чиме је комплетиран доказ за комплексни векторски простор.

Када је V реални векторски простор, применимо комплексни случај на V_c, и имамо доказ. ∎

Следећи задатак је израчунававње детерминанте из матрице обзиром на дату базу. Једноставан случај је (Декомпозиција оператора, 20. став) блок дијагонална матрица са горњим троугластим блоковима. У таквој бази, на дијагонали T су својствене вредности заједно са многострукостима. Таква, det(T), је производ дијагоналних елемената матрице T. Нажалост, у општем случају, детерминанта је сложенија од трага.

2.4. За општу квадратну матрицу A тражимо детерминанту det(A), која је детерминанта матрице \( \mathcal{M}(A) \) независно од избора базе простора. Погледајмо прво неке специјалне случајеве.

19. Пример. Нека су a₁, ..., a_n ∈ 𝔽 и матрица

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & & & & a_n \\ a_1 & 0 & & & \\ & a_2 & 0 & & \\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & & a_{n-1} & 0 \end{pmatrix}, \]

где су сви елементи матрице 0 осим у горњем десном угу и испод главне дијагонале. Нека је v₁, ..., v_n база простора V и \( T \in \mathcal{L}(V) \), a матрица \(\mathcal{M}(T, (v_1, ..., v_n)) = A\). Тражимо det(T).

Решење: Прво претпоставимо да је a_j ≠ 0, за свако j = 1, ..., n. Тада низ v₁, Tv₁, T²v₁, ..., T^n-1v₁ постаје једнак v₁, a₁v₂, a₁a₂v₃, ..., a₁...a_n-1v_n. Ти су вектори линеарно независни, јер a-ови нису нуле. Отуда, ако је p монички полином степена највише n - 1, биће p(T)v₁ ≠ 0. Тако минимални полином T не може бити степена мањег до n.

Из Tⁿv_j = a₁...a_nv₁ за свако j, проверите, имамо Tⁿ = a₁...a_nI. Дакле, zⁿ - a₁...a_n је минимални полином T. Због n = dim V и јер је минимални полином производ минималних полинома (Комплексификација, 14. став), биће zⁿ - a₁...a_n такође карактеристични полином T. Из 12. става сада следи

\[ \det A = (-1)^{n-1} a_1...a_n. \]

Ако је неко a_j = 0, тада је Tv_j, из чега следи да је 0 својствена вредност T, те је det T = 0, па је претходно опет тачно. □

За даље одређивање детерминанте из матрице општијег облика требаће нам појашњење појма замене места (пермутовања) елемената скупа. У комбинаторици, пермутације су они низови код којих се сваки из скупа елемената појављују највише једном, али нису увек искоришћени сви елементи скупа. Овде ће то бити пермутације елемената колона (врста) дате матрице.

2.5. Дефиниција пермутације:

• Пермутација (1, ..., n) је низ (m₁, ..., m_n) који садржи сваки од бројева 1, ..., n тачно по једном;
• Скуп свих пермутација (1, ..., n) означавамо perm n.

На пример, (2, 3, 1) ∈ perm 3. Један елеменат скупа perm n је испремештан низ природних бројева. Погледајмо сада пример који поопштава 19. пример.

20. Пример. Дати су скалари a₁, ..., a_n ∈ 𝔽, база простора v₁, ..., v_n ∈ V и на следећи начин задата пермутација (p₁, ..., p_n) ∈ perm n. Раздвојмо (1, ..., n) у низове узастопних целих бројева и у сваком од низова први члан преместимо на крај низа. На пример, раздвајањем (1, 2, 3), (4, 5, 6, 7), (8, 9) настаје низ (2, 3, 1, 5, 6, 7, 4, 9, 8).

Нека је \( T \in \mathcal{L}(V) \) такав оператор да је Tv_k = a_kv_pk за k = 1, ..., n. Тражимо det T.

Решење: Како је (p₁, ..., p_n) пермутација (2, 3, ..., n, 1), то је оператор T исти као онај из 19. примера. У односу на базу v₁, ..., v_n, матрица оператора T је блок дијагонална матрица

\[ A = \begin{pmatrix} A_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & A_n \end{pmatrix}, \]

где је сваки блок квадратна матрица форме матрице 19. примера. Отуда је V = V₁ ⊕ ... ⊕ V_M, где је сваки подпростор V_j инваријантан под T и сваки T|_Vj је облика оператора 19. примера. Тада имамо да det V = (det T|_V1)...(det T|_VM), а отуда det T = (-1)^n₁-1...(-1)^n_M-1a₁...a_n, где је V_j димензије n_j и одговарајућа A_j квадратна матрица тог реда. □

Број (-1)^n₁-1...(-1)^n_M-1 који се појављује као фактор испред називамо знаком одговарајуће пермутације (p₁, ..., p_n) и привремено означавамо sign(p₁, ..., p_n). Да израз буде независан од поједине пермутације (p₁, ..., p_n), нека A_j,k означава члан j-тог ретка и k-те колоне матрице A из 20. примера. Тако је

\[ A_{j,k} = \begin{cases} 0 & \text{ако} \ j \ne p_k; \\ a_k & \text{ако} \ j = p_k. \end{cases} \]

На тај начин писано је

\[ \det A = \sum_{(m_1,...,m_n)\in \text{perm}(n)}(\text{sign}(m_1,...,m_n))A_{m,1}...A_{m,n} \]

где је сваки сабирак нула осим оних који припадају пермутацијама (p₁, ..., p_n). У наставку ћемо видети да се детерминанта сваке квадратне матрице може исказати у овом облику.

2.6. Дефиниција знака пермутације:

• Знак пермутације (m₁, ..., m_n) је 1, ако број парова (j, k) целих бројева 1 ≤ j < k ≤ n којим се мањи индекс појављује испред већег у датом низу има паран број, а -1 ако је тих парова непаран број;
• Другим речима, знак пермутације је 1 ако је природни поредак промењен паран број пута, а једнак је -1 ако је природни поредак промењен непаран број пута.

Знак пермутације пишемо sign(m₁, ..., m_n), или само sign када се зна о којој пермутацији је реч.

На пример, једини пар целих бројева (j, k), са j < k, где се j појављује после k у низу (2, 1, 3, 4) је (1, 2). Таква пермутација има знак -1. Други пример, у пермутацији (2, 3, ..., n, 1) једини парови (j, k) са j < k који се јављају у промењеном редоследу су (1, 2), (1, 3), ..., (1, n), којих има n - 1, па је знак (-1)^n-1.

21. Став. Замена места два члана пермутације, знак пермутације множи са -1.

Доказ: Нека имамо две пермутације од којих је друга добијена из прве заменом места два елемента. Ако су земењени у њиховом природном редоследу у првој пермутацији, онда то они нису у другој и обрнуто. ∎

Следи дефиниција детерминанте матрице да би касније доказали да је она једнака детерминанти оператора, без обзира на базу простора у којој је оператор представљен матрицом.

2.7. Детерминанта матрице

\[ A = \begin{pmatrix} A_{1,1} & ... & A_{1,n} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{n,1} & ... & A_{n,n} \end{pmatrix} \]

је

\[ \det A = \sum_{(m_1,...,m_n) \in \text{perm}(n)} \text{sign}(m_1,...,m_n)A_{m_1,1}...A_{m_n,n}. \]

22. Примери. Ако је A само 1×1 матрица (A_1,1), онда је det(A) = A_1,1, јер perm(1) има само један елеменат знака 1. Детерминанта матрице типа 2×2 је

\[ \det\begin{pmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} \\ A_{2,1} & A_{2,2} \end{pmatrix} = A_{1,1}A_{2,2} - A_{2,1}A_{1,2} \]

јер perm(2) има два елемента (1,2) и (2,1), први знака 1 а други -1. □

Скуп perm(3) има шест елемената, а уопште perm(n) садржи n! = 1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n елемената. Покушајте сада написати детерминанту матрице 3×3 користећи само управо наведену дефиницију.

23. Пример. Израчунајмо детерминанту горње триангуларне матрице

\[ A = \begin{pmatrix} A_{1,1} & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & A_{n,n} \end{pmatrix}. \]

Решење: Пермутација (1,2,...,n) има знак 1 и садржи члан A_1,1A_2,2...A_n,n, а све остале садрже бар једну нулу (јер је матрица горња троугаона). Према томе det A = A_1,1A_2,2...A_n,n. □

2.8. У наставку, поред још неких, доказујемо особине детерминанти:

• Заменом колона детерминанта матрице мења знак (24. став);
• Детерминанта са две једнаке колоне је нула (25);
• Детерминанта је линеарна функција сваке од колона (27);
• Детерминанта производа матрица једнака је производу њихових детерминанти (28);
• Детерминанта матрице оператора не зависи од базе (29);
• Детерминанта оператора једнака је детерминанти његове матрице (30);
• Детерминанта изометрије је апсолутне вредности један (33).

24. Став. Ако је A квадратна матрица, а B је матрица добијена од A заменом две колоне, онда за њихове детерминанте важи једнакости det A = -det B.

Доказ: Следи непосредно из дефиниције (2.7) и одговарајућег збира det B. ∎

25. Став. Ако је A квадратна матрица са две једнаке колоне, онда је det A = 0.

Доказ: На основу претходног става, det(A) = -det(A), а отуда det(A) = 0. ∎

26. Став. Пермутацијама колона матрице A, знак њене детерминанте мења се сагласно знаку пермутације (2.6).

Доказ: Могуће је трансформисати матрицу (A_*,m1 ... A_*,mn) у A низом корака. Сваким кораком замењујемо две колоне и множимо детерминанту са -1. Број потребних корака једнак је броју замена пермутације (m₁, ..., m_n) у пермутацији (1, ..., n). ∎

27. Став. Детерминанта је линеарна функција сваке колоне.

Доказ: Линеарност следи лако из дефиниције (2.7) где сваки члан збира садржи тачно један елеменат k-те колоне A. ∎

Следећи резултат први су доказали француски математичари 1812. године Бинет (Jacques Binet, 1786 - 1856) и Коши (Augustin-Louis Cauchy, 1789 - 1857).

28. Став. Детерминанта производа матрица једнака је производу детерминантни матрица, другим речима det(AB) = det(BA) = (det A)(det B).

Доказ: Пишимо A = (A_*,1 ... A_*,n), где свако A_*,k представља по једну колону матрице A. Такође пишемо \[ B = \begin{pmatrix} B_{1,1,} & ... & B_{1,n} \\ \vdots & & \vdots \\ B_{n,1} & ... & B_{n,n} \end{pmatrix} = (B_{*,1} \ ... \ B_{n,n} ), \]

где свако B_*,k представља матрицу n×1, неку колону матрице B. Нека e_j представља матрицу колону (типа n×1) у којој j-та врста садржи 1 док су све остале компоненте 0. Приметимо да је Ae_k = A_*,k као и Be_k = B_*,k. Штавише, \(B_{*,k} = \sum_{m=1}^n B_{m,k}e_m \).

Прво ћемо доказати да је det(AB) = (det A)(det B). На основу дефиниција матричног множења имамо AB = (AB_*,1 ... AB_*,n). Тако је:

\[ \det(AB) = \det(AB_{*,1} \ ... \ AB_{*,n} ) = \] \[ = \det(A(\sum_{m_1 = 1}^n B_{m_1,1}e_{m_1}) \ ... \ A(\sum_{m_n = 1}^n B_{m_n,n}e_{m_n})) \] \[ = \det(\sum_{m_1 = 1}^n B_{m_1,1}Ae_{m_1} \ ... \ \sum_{m_n = 1}^n B_{m_n,n}Ae_{m_n}) \] \[ = \sum_{m_1=1}^n ... \sum_{m_n=1}^n B_{m_1,1} ... B_{m_n,n} \det(Ae_{m_1} \ ... \ Ae_{m_n}), \]

где последња једнакост долази из поновљене примене линеарности детерминанте као функције колона, 27. става. У последњем збиру, сви чланови за које m_j = m_k за неко j ≠ k могу бити игнорисани, јер детерминанта матрице са две једнаке колоне је нула. Тако, уместо збира по свим m₁, ..., m_n, где сваки m_j узима вредности 1, ..., n, ми можемо сабирати само пермутације са различитим вредностима m-ова. Другим речима:

\[ \det(AB) = \sum_{(m_1,...,m_n) \in \text{perm}(n)} B_{m_1,1}...B_{m_n,n}\det(Ae_{m_1} \ ... \ Ae_{m_n}) = \] \[ = \sum_{(m_1,...,m_n)\in \text{perm}(n)} B_{m_1,1}...B_{m_n,n}(\text{sign}(m_1,...,m_n))\det(A) \] \[ = \det(A) \sum_{(m_1,...,m_n)\in \text{perm}(n)} (\text{sign}(m_1,...,m_n)) B_{m_1,1}...B_{m_n,n} \] \[ = (\det A)(\det B), \]

где друга једнакост долази из 26. става.

Тиме смо доказали det(AB) = (det A)(det B). Заменом ових матрица добијамо det(BA) = (det B)(det A), чиме је доказ става завршен. ∎

Даље ћемо доказати да је детерминанта матрице оператора независна од базе у којој се матрица рачуна, на начин сличан доказу аналогног резултата о трагу матрице, 6. става.

29. Став Нека је оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \), а u₁,...,u_n и v₁,...,v_n су базе V. Тада је

\[ \det \mathcal{M}(T,(u_1,...,u_n)) = \det\mathcal{M}(T,(v_1,...,v_n)). \]

Доказ: Из \( A = \mathcal{M}(I, (u_1,...,u_n), (v_1,...,v_n)) \) следи:

\[ \det \mathcal{M}(T, (u_1,...,u_n)) = \det(A^{-1}(\mathcal{M}(T,(v_1,...,v_n))A)) = \] \[ = \det((\mathcal{M}(T,(v_1,...,v_n))A)A^{-1}) = \det \mathcal{M}(T,(v_1,...,v_n)), \]

где прва једнакост следи из 2. става, а друга из 28. става, а трећа комплетира доказ. ∎

30. Став Детерминанта оператора једнака је детерминанти матрице, \(\det T = \det \mathcal{M}(T) \).

Доказ: Из претходног, детерминанта матрице не зависи од базе, па је \(\det T = \det \mathcal{M}(T) \) за сваку базу. Ако је простор комплексан, онда је избор базе (Декомпозиција оператора, 20. став) то што треба. Ако је простор реалан, онда комплексификацијом T_c (којим дефинише det T) даје тражени резултат. ∎

Сада знамо израчунати производ својствених вредности без познавања појединих фактора, ако знамо матрицу оператора. Тај производ једнак је детерминанти матрице.

31. Пример. Оператор T на ℂ⁵ има матрицу

\[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

чија је детерминанта -3. Производ својствених вредности овог оператора је -3. □

Аналогно мултипликативности детерминанти оператора важи и мултипликативност детерминанте матрица, каже се у следећем тврђењу.

32. Став. Ако је \(S, T \in \mathcal{L}(V) \), онда det(ST) = det(TS) = (det S)(det T).

Доказ: Бирамо базу V, па имамо:

\[ \det(ST) = \det \mathcal{M}(ST) = \det (\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)) = \det(\mathcal{M}(S))(\det\mathcal{M}(T)) = (\det S)(\det T), \]

где прва и последња једнакост долазе од 30. става, а трећа из 28. става. Заменом места ових оператора и у случају комутативности множења скалара, добијамо det(TS) = det(ST) = (det S)(det T). ∎

Детерминанте се ретко употребљавају у озбиљним нумеричким израчунавањима, али се често користе у теоријским излагањима. За разлику од овог приступа, где детерминанте упознајемо на крају приче, оне се обично дефинишу на почетку и користе за развој и тумачења линеарне алгебре. Детерминанте имају важну улогу и у израчунавању запремина и интеграла. Та полази од следећег става.

33. Став Детерминанта изометрија је један. Другачије речено, ако је V простор са унутрашњим производом и \( S \in \mathcal{L}(V) \) је изометрија, онда |det S| = 1.

Доказ: Прво размотримо случај када је V комплексан. Тада све својствене вредности имају вредност 1, па је и детерминанта изометрије, као њихов производ, вредности 1.

Сада претпоставимо да је V реалан (простор са унутрашњим множењем). Комплексификацијом добијамо V_c, а на њему изометрију V_c. Тако добијамо, као и у комплексном случају, |det S_c| = 1. ∎

Овај се доказ може извести и на други начин, помоћу ортонормалне базе V у којој је \(\mathcal{M}(S)\) блок дијагонална матрица, где су на дијагонали 1×1 или матрица 2×2 (Скаларни производ, 18. став)

\[ \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, \]

где је угао θ ∈ (0, π). Детерминанта ове матрице је 1, због cos²θ + sin²θ = 1, па је производ таквих блокова ±1. Дакле, |det S| = 1.

2.9. Реална спектрална теорема (Спектрална теорема, 23. став) утврђује да само-адјунговани оператор T има ортонормалну базу која се састоји од својствених вектора. У односу на ту базу, број појављивања својствене вредности на дијагонали је њена многострукост, а тако да је det T производ тих својствених вредности, рачунајући поновљене. Након следећег примера, став који га следи је тривијалан. Видимо њих прво, а затим обратимо пажњу на геометријско значење детерминанте.

34. Пример. Сетимо се (Поларна декомпозиција, 35. став): ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \), онда постоји изометрија \( S \in \mathcal{L}(V) \) таква да је \( T = S\sqrt{T^\dagger T} \). Сада је \( \det T = (\det S)(\det \sqrt{T^\dagger T}) \), где је |det S| = 1. □

35. Став. Ако је V простор са унутрашњим производом и \( T \in \mathcal{L}(V) \), онда је \( |\det T| = \det \sqrt{T^\dagger T} \).

Доказ: На основу поларне декомпозиције постоји изометрија \( S \in \mathcal{L}(V) \) таква да је \( T = S\sqrt{T^\dagger T} \). Отуда |det T| = \( |\det S| \det \sqrt{T^\dagger T} = \det \sqrt{T^\dagger T}\), чиме је став доказан. ∎

36. Пример. Следећа матрица другог реда B има својствене вредности λ ∈ {λ_a, λ_b} и карактеристични полином p(λ) = det(λI - B), 18. став. Припадни својствени вектори су \( \vec{a} = (a_x, a_y)\) и \(\vec{b} = (b_x, b_y) \):

\[ B = \begin{pmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{pmatrix}, \] \[ p(\lambda) = \det(\lambda I - B) , \] \[ p(\lambda) = \begin{vmatrix} \lambda - a_x & -b_x \\ -a_y & \lambda - b_y \end{vmatrix} , \] \[ p(\lambda) = \lambda^2 - (a_x + b_y)\lambda + a_xb_y - a_yb_x . \]

Знамо да је \( \lambda_a + \lambda_b = a_x + b_y \) траг, а \( \lambda_a\lambda_b = a_xb_y - a_yb_x \) детерминанта матрице B. Овај други број, производ својствених вредности, је комутатор и значи површину паралелограма којег разапињу вектори \( \vec{a} = (a_x, a_y)\) и \(\vec{b} = (b_x, b_y) \). Површина је нула када је \( \vec{a} \| \vec{b}\), а тада је det B = 0. □

37. Пример. Следећа матрица трећег реда C има својствене вредности λ ∈ {λ_а, λ_b, λ_c} и карактеристични полином p(λ) = det(C - λI). Припадни својствени вектори су \( \vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\), \(\vec{b} = (b_x, b_y, b_z) \) и \( \vec{c} = (c_x, c_y, c_z) \):

\[ C = \begin{pmatrix} a_x & b_x & c_x \\ a_y & b_y & c_y \\ a_z & b_z & c_z \end{pmatrix}, \] \[ p(\lambda) = \det(\lambda I - C), \] \[ p(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda - a_x & -b_x & -c_x \\ -a_y & \lambda - b_y & -c_y \\ -a_z & -b_z & \lambda - c_z \end{pmatrix}, \] \[ p(\lambda) = \lambda^3 - (a_x + b_y + c_z)\lambda + ([\vec{a},\vec{b}]_z + [\vec{b},\vec{c}]_x + [\vec{c},\vec{a}]_y)\lambda - (a_x [\vec{b},\vec{c}]_x + a_y [\vec{b},\vec{c}]_y + a_z [\vec{b},\vec{c}]_z), \]

где је комутатор \( [\vec{a},\vec{b}]_z = a_xb_y - a_yb_x \) и остали даље циклично. Слободни члан полинома (у загради) препознајемо као мешовити производ вектора, \( [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) \), скаларни производ векторског производа вектора, који је једнак запремини паралелепипеда којег разапињу вектори \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \). Тај слободни члан карактеристичног полинома, као што знамо, је детерминанта матрице C. □

2.10. Настављамо са питањима запремине у ℝⁿ. Нека је позитивни цели број у експоненту фиксиран, а разматрамо само реалне просторе са стандардним унутрашњим множењем. Посебно, ако је степен два, n = 2, ова „запремина“, коју означавамо са Ω и подскуп је скупа ℝⁿ, назива се површина (36. пример). Посебно, тај подскуп се назива „кутија“, тада страна паралелних координатним осама.

Кутија у ℝⁿ је скуп \( \{ (y_1,...,y_n) \in \mathbb{R}^n : \ x_j < y_j < x_j + r_j, \ j = 1,...,n \} \), где су r₁, ..., r_n позитивни бројеви које називамо бочне дужине кутије, а вектор (x₁, ..., x_n) ∈ ℝⁿ.

Запремина кутије B у ℝⁿ страница r₁, ..., r_n дефинише се као производ r₁⋅ ...⋅r_n. Она се често означава са volume B. Запремину произвољног подскупа Ω скупа ℝⁿ, краће пишемо Ω ⊂ ℝⁿ, сматрамо унијом много малих кутија.

Запремина подскупа Ω ⊂ ℝⁿ, ознаке volume Ω, је инфимум од volume B₁ + volume B₂ + ..., који се узима по свим низовима B₁, B₂, ... кутија из ℝⁿ чија унија садржи Ω. Ово је област математичке анализе коју алгебра само преузима, на интуитивном нивоу.

Функција T домена скупа Ω има кодомен T(Ω) = {Tx : x ∈ Ω}. За \( T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n) \) и Ω ⊂ ℝⁿ тражимо формулу за volume T(Ω) помоћу T и volume Ω. Почињемо од позитивних оператора.

38. Став. Позитивни оператори мењају запремину множењем детерминантом. Нека је \( T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n) \) позитиван оператор и Ω ⊂ ℝⁿ. Тада volume T(Ω) = (det T)(volume Ω).

Доказ: Колико је ово тврђење тачно прво се уверимо кроз пример позитивних бројева λ₁, ..., λ_n и оператором \( T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n) \) дефинисанима са T(x₁, ..., x_n) = (λ₁x₁, ..., λ_nx_n). Тај оператор развлачи j-ти вектор стандардне базе фактором λ_j. Ако је B кутија у ℝⁿ са ивицама дужина r₁, ..., r_n, онда је T(B) кутија запремине λ₁...λ_nr₁...r_n. Према томе, volume T(B) = (det T)(volume B) за сваку кутију B у ℝⁿ. Зато што запремину Ω апроксимирамо збиром запремина кутија, биће volume T(Ω) = (det T)(volume Ω).

Даље, размотримо произвољан позитивни оператор \( T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n) \). На основу реалне спектралне теореме (тамо 23. став), постоји ортонормална база e₁, ..., e_n ∈ ℝⁿ и ненегативни бројеви λ₁, ..., λ_n да је Te_j = λ_je_j за j = 1, 2, ..., n. У посебном случају, када је e₁, ..., e_n ∈ ℝⁿ стандардна база, овај оператор је исти као и претходни. За произвољну ортонормалну такву базу, овај се оператор понаша као у горњем параграфу и развлачи j-ти вектор те базе фактором λ_j. Остало о запремини такође одговара интуицији. ∎

Још једну занимљиву примену детерминанти, у области стратегија информације перцепције, можете видети у прилогу о блок матрицама (тамо 9.1).

2.11. Следећи резултат каже да изометрија S не мењају запремину, а онај следећи да оператор T мења запремину сразмерно |det T|.

39. Став. Нека је \( S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n) \) изометрија и Ω ⊂ ℝⁿ. Тада volume S(Ω) = volume Ω.

Доказ: За x, y ∈ ℝⁿ биће ∥Sx - Sy∥ = ∥S(x - y)∥ = ∥x - y∥. Другим речима, изометрија S не мења удаљеност између тачака. То је већ на први поглед оно што каже став.

Ако хоћемо јаче убеђивање, онда разложимо S у мање делове, где је сваки део идентитет на неком подпростору, или је множење са -1, или ротација на 2-дим подпростору. Ништа од тога не мења запремину. ∎

40. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n) \) и \( \Omega \in \mathbb{R}^n \), тада је volume T(Ω) = |det T|(volume Ω).

Доказ: На основу поларне декомпозиције (тамо 35. став) постоји изометрија \( S \in \mathcal{L}(V) \) таква да је \( T = S\sqrt{T^\dagger T} \). Ако \( \Omega \in \mathbb{R}^n \), тада \( T(\Omega) = S(\sqrt{T^\dagger T}(\Omega))) \). Даље је:

\[ \text{volume}\ T(\Omega) = \text{volume} \ S(\sqrt{T^\dagger T}(\Omega)) = \text{volume} \ \sqrt{T^\dagger T}(\Omega) = \] \[ = (\det \sqrt{T^\dagger T})(\text{volume} \ \Omega) = |\det \sqrt{T^\dagger T}|(\text{volume}\ \Omega), \]

где друга једнакост долази зато што изометрија не мења запремину, трећа једнакост долази из 38. става, а четврта из 35. става. ∎

Ове резултате и детерминанте користимо за промену варијабли код израчунавања интеграла са више променљивих. И даље радимо интуитивно, јер су интегрирање и диференцирање област математичке анализе више него алгебре.

2.12. Интеграл функције f реалне вредности на Ω ⊂ ℝⁿ, ознаке ∫_Ω f dx дефинише се разбијањем Ω у довољно мале делове да је f скоро константно у сваком том делу. Такве делове множимо (скоро константним) вредностима f са запремином дела, затим сабирамо све те бројеве, свих делова, добијајући апроксимацију до интеграла, која постаје утолико тачнија што је Ω финије подељена.

Скуп Ω у горњој дефиницији мора бити прихватљив, на пример отворен и мерљив, а функција f уз то рецимо непрекидна или мерљива. Такође, приметимо да је x у изразу ∫_Ω f dx слепа варијабла и може бити замењена било којим другим симболом.

2.13. Деривација функције g по x са отвореног подскупа Ω ⊂ ℝⁿ на ℝⁿ постоји, ако постоји оператор \( T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n) \) такав да је

\[ \lim_{y \to 0} \frac{\|g(x+y) - g(x) - Ty \|}{\|y\|} = 0. \]

Ако постоји деривација, тај јединствени оператор \( T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n) \) који задовољава горњи лимес, граничну једнакост, означавамо са g'(x) и кажемо да је функција g диференцијабилна. У случају n = 1 деривација је оператор на ℝ са уобичајеним значењем извода једне варијабле. Идеја деривације је да за фиксирано x и мало ∥y∥ буде g(x + y) ≈ g(x) + (g'(x))(y), што има смисла јер g'(x) припада операторима простора ℝⁿ.

Нека је Ω отворени подскуп ℝⁿ и g је функција са Ω на ℝ. Тада парцијалном деривацијом g_j у односу на k-ту координату означавамо са D_k g_j. Израчунавајући парцијалну деривацију у тачки x ∈ Ω налазимо D_k g_j(x). Ако је g диференцијабилна у x, онда матрица g'(x) у односу на стандардну базу из ℝⁿ садржи D_k g_j(x) у j-том ретку и k-тој колони. Другим речима,

\[ \mathcal{M}(g'(x)) = \begin{pmatrix} D_1g_1(x) & ... & D_ng_1(x) \\ \vdots & & \vdots \\ D_1g_n(x) & ... & D_ng_n(x) \end{pmatrix}. \]

2.14. Сада је лако прећи на формулу промене варијабли интеграла. Тај се резултат назива „променом варијабли“, јер се тако може посматрати једнакост y = g(x).

41. Став. Нека је Ω отворени подскуп ℝⁿ и g : Ω → ℝⁿ диференцијабилна у свакој тачки Ω. Ако је f реална функција дефинисана на g(Ω), онда је

\[ \int_{g(\Omega)} f(y) \ dy = \int_\Omega f\left(g(x)\right)|\det g'(x)|\ dx. \]

Доказ: Нека је x ∈ Ω и Γ мали подскуп Ω који садржи x тако да је f приближно једнако константи f(g(x)) на скупу g(Γ).

Додајући фиксиран вектор, попут g(x), сваком вектору скупа, добијамо други скуп исте запремине. Тако ова апроксимација показује volume g(Γ) ≈ volume [(g'(x))(Γ)]. Из 40. става примењеног на оператор g'(x) следи volume g(Γ) ≈ |det g'(x)|(volume Γ). Нека је y = g(x) и помножимо леву страну те једначине са f(y) а десну страну са f(g(x)), добијамо f(y) volume g(Γ) ≈ f(g(x))|det g'(x)|(volume Γ).

Разбијмо Ω у мале парчиће и додајмо одговарајуће облике горње једначине. Отуда тврђење става. ∎

На крају погледајмо два примера, са поларним и сферним координатама, због обавезног укључивања |det g'(x)| у рачун интеграла приликом супституције y = f(x), тј. прелазака са једних координата (x, са овде правоуглих) на друге (y, поларне и сферне).

42. Пример. Дефинишимо g : ℝ² → ℝ² поларним координатама \( g(r,\theta) = (r\cos \theta, r\sin\theta) \). Горња матрица парцијалне деривације је

\[ \begin{ \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}, \]

што се лако проверава непосредним израчунавањем. Детерминанта ове матрице је r, па је

\[ \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y) \ dy dx = \int_0^{2\pi} f(r\cos\theta, r\sin\theta)r \ dr d\theta, \]

где се интегрира функција f по диску у ℝ². □

43. Пример. Функција g : ℝ³ → ℝ³ сферних координата \( g(\rho, \varphi, \theta) = (\rho\sin\varphi\cos\theta, \rho\sin\varphi\sin\theta, \rho\cos\varphi) \) има горњу матрицу парцијалне деривације

\[ \begin{pmatrix} \sin\varphi\cos\theta & \rho\cos\varphi\sin\theta & -\rho\sin\varphi\cos\theta \\ \sin\varphi\sin\theta & \rho\cos\varphi\sin\theta & \rho\sin\varphi\cos\theta \\ \cos\varphi & -\rho\sin\varphi & 0 \end{pmatrix}, \]

што се лако проверава непосредним израчунавањем. Детерминанта ове матрице је \( \rho^2\sin\varphi\), израз који се појављује као обавезан фактор израчунавања интеграла у сферним координатама. На пример,

\[ \int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}} f(x,y,z) \ dz dy dx = \] \[ = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi \int_0^1 f(\rho\sin\varphi\cos\theta, \rho\sin\varphi\sin\theta, \rho\cos\varphi)\rho^2\sin\varphi \ d\rho d\varphi d\theta, \]

где се интегрира функција f по лопти у ℝ³. □