Primene

1. Аномалије

Оно што би за детерминистичку физику била нормалност овде је аномалија и обрнуто, али то немојте узимати баш буквално. На пример, Хајзенбергове релације неодређености су нормалност, али њихова правилност Δx ⋅ Δp ≥ h била би чудна. Хаос (ефекат лептира) је нормалност, а ненормалност је што су је оснивачи (Едвард Лоренз, 1963) сматрали „детерминистичком теоријом“ хаоса. Овде расправљамо о појави правилности у свету иницијалне неправилности.

Стања се спонтано развијају ка мање информативним, на разне начине бежећи од неизвесности. Тако су многобројнија тела у односу на величину мање склона случајности, све мање величине све чистије су неизвесности све до најмањих пакета информације, којима одузимајући неизвесност затим поново бисмо (ако би то физички могли) налазили све веће извесности.

Са становишта детерминизма, аномалија је да паметније изражавање буде мање информативно. Али такво је повећање организованости, ефикасности, као и спонтаности. Природа тежи мањој количини опција које када уносимо у већу мудрост или опакију усмереност, требамо да захватимо из већег. Или, на пример, то је попут тешког предмета којег треба дизати да са веће потенцијалне енергије падањем добија кинетичку енергију и обавља користан рад.

Необичност постулирања неизвесности у теорији информације је пре у сагласности многих резултата са детерминистичким светоназором, него у овим „уврнутим“ тумачењима. Претпостављам да постоји дубља веза случајности и узрока (Accordance). Непосредно је не примећујемо као што, гледајући само са ливаде, планета Земља може нам изгледати равна плоча. Случајности би нам биле видљивије када би били део малог света попут бацила, ако бисмо тада могли о њима размишљати, кривине Земље да смо дивови већи од планина.

1.1. Тежња вероватнијим догађањима и мања информација таквих чини да неизвесност интензивније „бежи“ из већих система. То је „објашњење“ закона великих бројева, ако хоћете баш и такво нешто са становишта (ове) теорије информације. Другачије речено, неизвесностима је најбоље да се размашу у микро свету. Међутим, тамо где им је најудобније место, управо чистоћа од извесности ограничава их и долазимо до парадоксалне ситуације, да тамо где могу побећи од неизвесности — она их чека у свом најјаснијем облику. На тај, мало другачији, начин виђени „пакети“ опет су логична појава.

1.2. Познати ставови о екстремима (1.5) утврђују да униформне расподеле, рецимо речи текста, имају највећу информацију. Када је текст осмишљенији, усмеренији и без нејасноћа, или паметнији, биће и мање средње (Шенонове) информације. То ће потврдити компјутерске симулације (Letter Frequency). Међутим, неће свака редукција опција изаћи на нешто интелигентно, дешаваће се случајно. Спонтан развој информације затвореног система стјешњен је између тежње ка минимализму и конзервације. Углавном је то њено разређивање, ширење у времену и простору, уситњавање. Локално су мање њене емисије, а укупна количина остаје очувана.

Последица овога је повећање памћења. Чак је и просторно ширење такво, јер простор је кондензатор сећања. Хоризонт догађаја васионе све је даљи, по овој теорији, просто зато што њена сећања дебљају, а она су богатија јер јој извесност расте, а ова, пак, расте јер системи теже ка мањој информацији. То што се видљиви свемир шири брзином светлости можемо разумети и као постепен чешћи прелазак фермиона у бозоне, него обрнуто, или можда тачно и помоћу „тамне енергије“, односно на различите коректне начине, као што можемо разумети или доказати теореме геометрије помоћу алгебре, анализе или вероватноће. Истина има много лица, а то је такође концепт ове теорије.

1.3. Промене околности мењају правила. Рећи ћемо да су то законитости исте теорије, ако је то могуће. Међутим, нема скупа свих скупова (Раселов парадокс) и нема теорије свих теорија (Геделова теорема немогућности), па се питање промене „правила игре“ космоса своди на промене које настају из тежње ка мањој информацији a које би евентуално испале из оквира. То је филозофски отворена тема, али не толико колико би у овој теорији информације била. Подсећам, овде сам постулирао да је информација ткиво простора, времена и материје, а неизвесност њена суштина.

2. Инверзија

Раст извесности система који нас окружују укључује и саму васиону. То „бежање“ од неизвесности је и део питања промена самих закона света, верујем, а парче одговора наслућује се из горњег пасуса (1.3), или из ранијих текстова (Axioms). Укратко, начелна тежња природе мање информативним исходима као да може довести до прерастања скоро сваког унапред датог оквира теорије, а онда отићи и даље, у новом допуњеном контексту, неке старе ставове релативизовати, чинити их небитним, или нетачним. Такво једно од најекстремнијих места која би искушавала теорију информације некада сам себи цртао и још увек је отворено питање.

2.1. На пример, на слици лево су неке бинарне операције алгебре логике преокренуте у супротне, заменом „тачно“ (1) са „нетачно“ (0) и тако су опет добијене неке операције исте логике.

AND (конјункција) прешла је у NAND, затим OR (дисјункција) постала је у NOR, потом EX-OR (ексклузивна дисјункција) иде у EX-NOR. Свих 2⁴ = 16 бинарних операција ово може.

У више наврата описивао сам те „инверзије“ (Untruth). Један код њихових ефеката је смањивање концентрације информације, а овде важнији је акценат на односу таутологије (става који је увек тачан) и контрадикције (који је увек нетачан). На пример реченица „A OR A = A“ тачна је за свако A ∈ {0, 1}, а „A NOR A = A“ нетачна је за свако А. Прва је таутологија, друга је контрадикција. Круцијално питање овде је, ако су употребљиве све могуће логичке операције (16 бинарних), да ли су слично употребљиве и све контрадикције, или неупотребљиве све таутологије — негде у овој или другој васиони? Ово је тема теорије информације која чека разраду.

2.2. Рефлексије су други поучан пример. Знамо из геометрије да се све изометријске трансформације (које чувају удаљеност тачака) своде на неке ротације. Тако се транслација (праволинијско померање фигуре) може свести на две централне симетрије, а свака централна симетрија на ротацију око центра за 180^o.

Осна симетрија постаје ротација око осе за 180^o, а огледање ротација око огледалске равни за 180^o у новој димензији простора. Апстрактна просторна (3Д) рефлексија била би такође нека одговарајућа ротација за 180^o у даљим новим димензијама. Ми већ имамо ротације реалности еквивалентне тим апстрактним, али право питање је шта je са оним другима, такође апстрактним, које немају пандан реалним, за сада?

У раној васиони, убрзо након „великог праска“, сав простор, време и материја могли су бити у једној тачки. За разлику од фермиона (електрона, протона, атома) који не могу једнаки бити у истом стању, бозони то могу. Ови други су попут честица простора, а њихова каша била је једина твар у том почетном периоду. Постојали су, а и данас постоје распади, преласци честица једних врста у друге, у тадашње доба сиромашнијих варијација.

Хигсови бозони јављали су се масовно и распадали у друге бозоне и онда прве фермионе. Васиона је постајала сложенија не само честицама, већ и, на пример, силама. Иза тада јединствене електрослабе силе настале су две, електромагнетна и слаба. Према (хипо)тези теорије информације, извесност која расте пратило је усложњавање, разблаживање информације, а онда и успоравање временског тока које свакако има своје последице. На пример, промену (успоравање) брзине светлости, а можда и измене неких других „универзалних константи“ физике. Уосталом, ширењем стварног простора, шире се и времена, како она по дубини (сећања), тако и у ширини (паралелне реалности).

2.3. Различите су брзине промена, као уосталом брзине много чега. Разблаживање и раслојавање, као што је речено, начини су одржавања количине глобалне и смањивања локалне информације. Додатак различитих, а ограничених брзина уз настанак све већих удаљености томе само иде у прилог. Сетимо се да (ова) теорија информације предвиђа развој случајности кроз усклађивање свих новина у крајње коректне целине, екстремне тачности попут области математике. Међутим, очекивана су и заостајања неких. На пример, начело вероватноће, да се вероватнији исходи догађају чешће — мало је вероватно да ће се мењати.

Друге неке „реалне промене“ неће се догађати уопште. Наиме, претходним развојем неке могућности су превазиђене, оне реализоване постале су нечија историја, непоновљива другде, а вратимо ли се до самих почетака васионе испадају неке промене „реалне“ а „немогуће“. Толико смо мали у свему да нам је ову ширу слику „стварности“ тешко замислити.

3. Перцепције

У васионама о којима говоримо није више битно каква су стања по себи, јер таква могу бити било шта, него каква су у односу на субјекте опажања. То је становиште доследно теорији у којој је информација ткање свега, а помоћу неизвесности. Такође, перцепције одражавају многа својства информације „по себи“, укључујући и јединственост.

3.1. Квантна физика ради са векторима у најопштијем облику, са низовима бројева који могу бити и комплексни. Она их интерпретира као суперпозиције стања квантних система. Преведено на обични језик, то су записи шанси у шта се могу изродити честице-таласи, односно објекти посматрања, који се показују предвиђањима толике тачности којој нема равне у науци уопште. Слично је и са линеарним операторима, тада процесима који таква стања мењају. Закони одржања налажу да оператори буду јединичне норме (Hermitian), а закони вероватноће да и вектори буду нормирани (Unitary spaces).

Постоје дубоке овисности вектора и оператора који на њих делују. Неће различите природне појаве на рецимо електрон деловати као његово поље, нити ће обрнуто, иста појава једнако процесуирати разна стања. Те паралеле иду толико далеко да постоји строги алгебарски дуализам између вектора и њима одговарајућих оператора, који су (зато) такође врста вектора. Посебна врста дуализма била би она која постоји између вектора и оператора који их пресликавају у бројеве, тзв. функционела. Укратко, њихове интерпретације су „информације перцепције“.

3.2. Векторски простори и њихове физичке интерпретације доказ су да постоје обоје и независна стања и независни процеси. Колико једних, толико других, за сваку од прилика. Колоквијално рећи ћемо да „све од свега зависи“, или да „ништа није случајно“, али заправо то су неистине. Ма каквим кретањем по правој линији нећемо скренути у раван, нити можемо кретањима у равни отићи у дубину (висину) простора. Векторски простори нису само то, орјентисане дужи, али њихове једноставне представе нам помажу да разумемо сложеније.

Ако је дат низ независних вектора x₁, ..., x_n, који разапиње неких n = 1, 2, 3, ... димензија, онда, што се тиче бројева a_k, једнакост \(a_1x_1 + ... + a_nx_n = 0\) има само једно решење \(a_1 = ... = a_n = 0\). Називамо га тривијалним. Наиме, када би рецимо било \(a_1 \ne 0\), тада би био могућ израз

\[ x_1 = -\frac{a_2}{a_1}x_2 - ... - \frac{a_n}{a_1}x_n\]

и, према томе, први вектор би се могао изразити као линеарна комбинација осталих, тј. он не би био независан од њих. Отуда јединственост записа \(S_a = a_1x_1 + ... + a_nx_n\), због чега сваки низ независних вектора можемо сматрати базом, скупом који разапиње исти простор из којег су они бирани.

3.3. Отуда и јединственост „информације перцепције“. Наиме, ако низ вектора x_k за k = 1, ..., n, чини независна стања неког објекта, а низ бројева a_k одговарајући низ перцепција одређеног субјекта, то значи да не постоји неки други низ перцепција b_k такав да би могла укупна информаија перцепције \(S_b = b_1x_1 + ... + b_nx_n\) бити једнака претходној. Наиме, из S_a = S_b следи:

\[ (a_1 - b_1)x_1 + ... + (a_n - b_n)x_n = 0, \] \[ a_1 = b_1, ... \quad a_n = b_n, \]

јер су вектори x_k независни. Другим речима, опажање објеката од стране субјеката јединствено је, а може се показати и обрнуто, да су сами субјекти у својим могућим стањима јединствени у односу на околне објекте.

У овом запажању немојмо пропустити приметити суштинско неразликовање субјеката и објеката. Зато рећи „меримо стање електрона“, исто је што и рећи на пример „електрон комуницира са апаратуром“ и слично. Формализам је у питању, апстакција, па у том контексту нећемо говорити о опажању у смислу размишљања, или свести тих субјеката/објеката.

4. Утицаји

Из изложеног произилази да сви утицаји субјект-објекат долазе од перцепција. У теорији вероватноће и овде, уз речи „сваки“ и сличног универзалног значења подразумевају се префикси „скоро“, па их и не пишем. То видимо већ из најпростије информације перцепције елементарне честице Δp ⋅ Δx, односно ΔE ⋅ Δt, где су Δp и ΔE промене импулса и енергије, а Δx и Δt распони њеног положаја и времена. Они имају физички смисао кванта, у случају најмањег дејства. Обзиром да ће рад силе F на путу Δx пратити промена енергије ΔE = FΔx, то ни најмање дејство FΔx ⋅ Δt не може проћи без одговарајуће силе.

4.1. Другим речима, начелна штедња информације долази из попуштања силама, тако да универзални „принцип најмањег дејства“, из којег знамо извести све трајекторије данас познате физике, није ништа друго до штедња комуникације у њеном крајњем облику по којем разликујемо неживу твар физике од остале. Физичке системе са вишком дејства, можемо слободно рећи са вишком „количине избора“, или информације, сматрајмо виталнима. Такви нису предмет физике, већ рецимо биологије, психологије и социологије, или теорије игара, па и економије.

Са друге стране, да физичка дејства имају везе са неизвесношћу видимо из физичког смисла величине попут Δx која представља таласну дужину, рећи ћемо размазаност честице-таласа на њеном путу. То је еквивалент густини вероватноће њеног налажења на датом месту апсисе (x-осе). Приметимо, као таква она је интерпретирана већ у Де Бројевом (1924) тумачењу таласне структуре материје, а нарочито мало касније код Хајзенберга при открићу релација неодређености, али и овде при тумачењу Комптоновог ефекта (Collision).

4.2. Физичко дејство је пораст кинетичке на уштрб потенцијалне енергије, лагранжијан L = E_k - E_p. Збирно дејство на путу, од тренутка t₁ до t₂, је (Feynman Lectures):

\[ S = \int_{t_1}^{t_2}L\ dt. \]

Даље се у физици ради са тзв. генералисаним координатама положаја q (уместо ознаке x), а импулси остају уобичајене ознаке p. Тако је извод пута по времену брзина \(\dot{q}\), док је промена импулса сила \(\dot{p}\). Ту је \( L = (\dot{q}(t), q(t), t) \). Затим се варирају вредности координате q и тражи најмања вредност дејства S на датом путу:

\[ \delta S = \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}\delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{d}{dt} \delta q\right)\ dt = \] \[ = \int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\ \delta q dt + \frac{\partial L(t_2)}{\partial \dot{q}} \delta q(t_2) - \frac{\partial L(t_1)}{\partial \dot{q}} \delta q(t_1) \]

где су δq неке промене (варијације) координате q. Овде је δq poput diferencijala dx, у смислу да мале промене δq генеришу мале δS, тако да δq = 0 повлачи δS = 0. Углавном можемо бирати путању дату фиксним крајевима, односно да је \(\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0\), па имамо

\[ \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\ \delta q dt \]

и тражимо да буде δS = 0. Тако долазимо до

\[ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) = 0 \]

а то су чувене Ојлер-Лагранжове једначине (The Lagrangian). Дајући пригодне вредности лагранжијану у различитим теоријским ситуацијама и решавајући ове једначине добијамо све трајекторије из данас познате физике.

4.3. Да је на сличан начин могуће изводити и релативистичку гравитацију погледајте детаљно у књизи Минимализам Информације (2.5 Аjнштаjнове опште jедначине). Тако, држећи се принципа најмањег дејства, уместо релативистичких, добијамо Ајнштајнов резултат (1916). Јасно је да се тиме на још један начин потврђује универзалност минимализма дејства, али, према реченом, исто је и потврда начелне штедљивости информације.

5. Живот

Живот је „неприродна“ појава у односу на принцип најмањег дејства физике. Тежећи ка нижем нивоу комуникације са околином, субјекат упада у такво организовано стање које му отежава ослобађање од вишка опција, односно информације коју поседује. Упада у врсте клопки, или закључавања стања која сусрећемо у разним спонтаним токовима природе и зато их називам наводно неприроднима.

5.1. Тек рођено живо биће гладно је информација, као и енергије, хране, воде, или ваздуха. Може нам изгледати да нема концентрацију зато, јер поновљена вест више није вест. Сазревајући оно добија на искуству и рутинама, а то је процес који прво достиже, затим и престиже стицање „количине опција“. Док год је живо биће, та количина већа је од оне коју би имало мртво физичко тело.

Фројд је повезницу наше дубоке психе нашао у сексуалном, али биће и начина за још дубље повезивање наших емоција и универзума помоћу „минимализма“.

Међутим, принцип мањег (само код мртвих тела то је „најмањег“) дејства, такође можемо рећи информације, ради и даље. Види се у лењости, свим врстама инерције, жељама за удруживањем, нагонима за смрћу. Супротно том „бекству од слободе“ делује виталност и конзервација информације облицима „жеље за изборима“. Често би се живо биће могло брже отарасити својих вишкова слободе — да их има ко или шта преузети. Али то не пролази, јер сва околина има исте жеље и дешавају се наизглед апсурдна удруживања у још сложеније нивое. Ту спада и емергенција. Подређивање јединке уређењу врста је губитка личне одговорности зарад ефикасности, сигурности и мирноће.

5.2. Слично индивидуама, њихов колектив временом постаје преуређен. Свако озакоњивање колико повећава ефикасност утолико смањује виталност заједнице. Објашњавао сам тај процес и на примеру демократије. Занимљиво је да ни историјска наука нити савремена политичка филозофија не види ту зависност смрти цивилизација и преозакоњивања. Али то и није лако приметити, као ни сталност одузимања брзине камену док узлеће према небу.

Моћ виталности крије се у потенцијалу информације пре све концентрације, организације и шиљења према циљу, да би одузимајући опције она постајала извршна као ефикасна или интелигентна. Томе је сличан користан рад који се постиже спуштањем тела, крадући тако нешто од гравитације. Штавише, може се показати да је то исти принцип учинка којим виталност долази до своје успешности, јер је и кретање небеских тела условљено таквим.

6. Суперпозиција

Када меримо честицу-талас квантне механике она може да иде рецимо лево или десно, да је у стањима \(|\leftarrow\rangle\) или \(|\rightarrow\rangle\), а да је пре мерења била у оба стања, рецимо ознаке \(|\leftrightarrow\rangle\). Причамо о суперпозицији за коју теоријска физика још увек нема задовољавајуће објашњење, сматра се. Колапс таласне функције још увек нема смисла за квантну физику, иако функционише. То је следећа и једна од тема са којом (моја) теорија информације нема познатих тешкоћа у схватању.

Шредингер (1887 – 1961) је својевремено говорио: „Потпуно нам је необјашњиво зашто честица-талас одједном, у неким ситуацијама колабира, зашто из стања суперпозиције (разних могућности) прелази у обзерваблу (оно што можемо мерити)“. Отуда и прича о „Шредингеровој мачки“, која „стварно“ (када би била квантних димензија) може бити жива или мртва пре нашег сазнања у којем је од та два стања. Хајзенберг се сложио са Копенхагенском интерпретацијом, да честица-талас тек мерењем добија своју путању. То је објашењење које ћемо овде допунити „информатичким“ (још увек незваничним).

6.1. Стање више могућности пре исхода упоредићемо са суперпозицијом, а исход са обзерваблом. Прве су одавно расправљена питања расподела математичке теорије вероватноћа, па отуда и суперпозиција ради. Дакле, суперпозиција функционише тако што једнака количина неизвесности фер новчића, пре бацања и након бацања има исту информацију \(I(2) = \log 2\). Исход случајног догађаја садржи једнаку информацију количине садржане у неизвесности пре реализације.

Када бацамо фер коцку имамо три пара бинарних исхода аналогних новчићу, па је информација пре или после исхода \(I(2\cdot 3) = \log (2\cdot 3) = \log 2 + \log 3\). Ова адитивност логаритама, на начин сабирања комбинација, потврђује конзервацију (закон одржања) информације. Поред конзервације, једнако је важно начело информације и њена штедљивост (Минимализам). Ово друго чини да појава из стања суперпозиције одлази у обзервабилну.

6.2. Када бацимо новчић он ће падати на тло привучен гравитацијом, што је у овом тренутку довољно да приметимо дубоку вероватносну природу земљине теже. Наглашавам, новчић иде да се изјасни у једну од своје две могућности, писмо или глава, прелазећи у вероватнија стања. Слично је са бацањем коцке, или са извлачењем куглице из лото бубња, или уопште са било којим физичким догађајем који је увек последица неке интеракције, дејства. Оно се, пак, увек дешава у тежњи мање информативном, односно вероватнијем стању. Прецизније речено, чешће се дешавају вероватнији исходи, а због тога је природна склоност стањима мањег дејства.

Ставка да је физичко дејство еквивалент физички емитованој информацији и извођење Ајнштајнових општих једначина помоћу принципа најмањег дејства (Минимализам Информације, 2.5 Аjнштаjнове опште jедначине), предвиђају да ће се на неки (рецимо за сада непознат) начин гравитација „десити“ због неизвесности и закона вероватноће. Штавише, све нама познате трајекторије теоријска физика одавно изводи баш из принципа најмањег дејства.

6.3. Остаје нам да проверавамо да ли се и међусобне суперпозиције, или бар интерференције, дешавају по законима вероватноће, односно информације. Посматрајмо слободну честицу таласне функције:

\[ \psi(x, t) = ae^{i\alpha} = \psi(\alpha), \quad \alpha = (px - Et)/\hbar, \]

где посматрамо (пројектујемо) кретање по апсциси. Број a је амплитуда честице-таласа, за имагинарну јединицу важи једнакост i² = -1, импулс p и положај x узимани су дуж x-осе, а E и t су енергија и време честице-таласа.

Када би једна честица-талас била сама своја расподела вероватноћа, онда би амплитуда била |a| = 1, а њена информација \( I(\alpha) = -\log \psi\). Логаритам је тада комплексна и зато периодична функција, управо каква је и информација честице у њеном таласном, периодичном кретању. Са два таква таласа дешава се њихова интерференција:

\[ \psi(\alpha) + \psi(\beta) = e^{i\alpha} + e^{i\beta} = \] \[ = (\cos\alpha + i\sin\alpha) + (\cos\beta + i\sin\beta) = \] \[ = (\cos\alpha + \cos\beta) + i(\sin\alpha + \sin\beta) \] \[ = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} + 2i\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} \] \[ = 2 \cos\frac{\alpha - \beta}{2} \left( \cos\frac{\alpha + \beta}{2} + i \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \] \[ = 2 \cos\frac{\alpha - \beta}{2} \psi\left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right). \]

Када су периоде у истој фази, α = β, тада cos 0 = 1, па је таласна функција \(2\psi(\alpha)\), али ако су смакете, а фазе им се разликују за угао π/2, овај косинус испред биће нула и таласна функција исчезава (\(\psi = 0\)). Валови се тада „поништавају“ (нису доступни мерењу).

7. Истовременост

Истовремени догађаји они су међу којима нема неизвесности. У теорији информације коју следим је постулирана реалност неизвесности и присутан је закон одржања (конзервације) њене количине, из чега произилази да након бацања новчића није реалност истовремено падање и „писма“ и „главе“. А таква подразумева још штошта непосредног чега ћу део овде расправити.

7.1. Ајнштајн (1905) је у својим првим радовима приметио релативност истовремености. Чувен је његов „мисаони експеримент“ са путником који кресне шибицу у средини вагона у покрету и посматрача који стојећи на насипу гледа тај воз у кретању. Брзина светлости не зависи од брзине извора, па за путника светлост шибице стиже истовремено до предњег и задњег зида вагона. Али вагон одмиче посматрачу са насипа и за њега иста светлост прво стиже до задњег зида.

Даље анализирајући ову појаву у „специјалној теорији релативности“ коју је на тај начин откривао, он примећује да системи координата у инерцијалном, једноликом и праволинијском кретању могу имати сопствену „садашњост“, истовремене тренутке на различитим положајима. Ајнштајн то детаљно гледа кроз премештање светлости у сопственом систему појединог релативног посматрача. То је сагласно са схватањем реалности ове теорије информације.

У Ајнштајновој (1916) „општој теорији релативности“ у гравитационим пољима више нема дотадашње сопствене садашњости у ширем смислу, сем у инфинитезималном окружењу. Неко је брзо приметио, мислим Лав Ландау, да му енергија зато „цури“ из гравитационог поља, што је парадокс који су аутор као и неки следбеници наводно разумели и прихватили, али и игнорисали. Исти више није „незгода“, већ напротив потврда самих основа (нове) теорије информације. Инспирисао ме је у окрићу додатних димензија времена (Dimensions).

7.2. У вези са Ајнштајном (1935) вреди поменути и „АПР Парадокс“. У свом чувеном открићу квантне спрегнутости, који су први приметили (Ајнштајн, Подолски и Розен), аутори су сматрали да се ради о „доказу“ грешке због примене алгебре у квантној механици. Они су посматрали мерење исте појаве из два система I и II, изражено формулом

\[ \Psi(x_1, x_2) = \sum_{n=1}^\infty \psi_n(x_2)u_n(x_1). \]

Варијабла x₁ описује први, а варијабла x₂ описује други систем. Коефицијенти ортогоналних уједно и својствених вектора, односно квантних стања, \(u_n(x_1)\), су \(\psi_n(x_2)\). Одговарајуће својственим векторима су својствене вредности a₁, a₂, a₃, ... које мери процес (оператор) A и налази a_k. За разумевање језика алгебре читајте рецимо Скаларни производ, посебно Ортогоналност.

Елем, Ајнштајн примећује да након мерења први систем остаје у стању \(u_k(x_1)\), а да други систем остаје у стању \(\psi_k(x_2)\). То је процес редукције таласног пакета, каже, да се пакет дат горњим збиром своди на сабирак \(\psi_k(x_2)u_k(x_1)\). Како се овај збир може добијати и на други начин, са другачијим својственим вредностима b₁, b₂, b₃, ... и њима одговарајућим (другачијим од претходних) својственим функцијама, тренутно, без реалних преноса активности између два система, без обзира како ова два система били физички удаљени, то такво „фантомско деловање на даљину“ не може постојати — закључио је. Више деценија касније демантован је његов закључак, али АПР Парадокс није објашњен.

7.3. Ајнштајн је веровао у детерминизам, да нема различитих исхода истих стања. Међутим, показује се да претпостављена објективност неизвесности води до изванредно истих његових формула. Појава тог (АПР) парадокса може се гледати и са позиције паралелних времена, из псеудо-реалности кроз које се простиру други исходи у нашој нереализовани. Из њих „посматрачи“ ортогоналности, нашу реалност доживели би попут окомитости z-осе на све праве xy равни. Догађаји нашег 4-дим простор-времена би таквима били истовремени, иако су нама веома удаљени (Pseudo Euclid).

Да би била могућа таква истовременост, са „фантомским деловањем на даљину“, приметимо да горњој формули треба и другачији растав на збир \(\Psi(x_1, x_2)\), са другом својственом вредношћу b_k. То је могуће ако се рецимо честица распада симетрично, када њени делови A и B одлазе у супротним смеровима, са истом брзином и поштујући све законе одржања (конзервацију масе, енергије, импулса). Постижући и стање „истог тренутка“ свих делова система и одсуство неизвесности, доказује се квантна спрегнутост (entanglement) начинима експерименталне физике.

Укратко, треба бити могућ реални „посматрач“ за којег би догађање спрегнутости било истовремено, јер такву ситуацију алгебра предвиђа. Поред поменуте честице која се симетрично распада, спрегнута би могла бити и „виртуелна сфера“ фотона која се шири око електрона до евентуалне интеракције са другим електричним набојем (Мерење, 7.4). Трећи ниво (псеудо)реалности истовремености односи се на паралелне реалности, где спадају и догађаји из наше прошлости. Уопште, спрегнутост се протеже на све догађаје које можемо посматрати безвременски, односно као да су сви у једном тренутку. Међу таквима нема неизвесности.

7.4. Информација је ткање простора, времена и материје, а неизвесност је њена суштина. Безвременост тако је чиста извесност, са вероватнијом извесношћу унутар краћих трајања. Таква теоријска поставка информације не иде са идејом „време не постоји“, сем ако не мислимо рецимо на апсолутну тачност и предвидљивост неких аспеката математике, у којима се неизвесност проналази у недоказивости неких дилема (Геделова непотпуност) или немогућности „теорије свих теорија“ (Концепти).

На крају, приметићу, димензије времена нису нам видљиве попут просторних, не „зато што су мале“ (како додатне димензије простора разуме теорија струна), већ зато што би стварно гледање њих, или гледање нас из њих, било посматрање стварности, штавише потврда егзистенције све реалности, али без присуства неизвесности.

8. Сила вероватноће

Ово је прилог о детаљима „силе вероватноће“ којима није било места у расправи о „сили неизвесности“ (Uncertainty Force), иако су оба аспекта неодвојива као две стане истог новчића. Једна од таквих сила је привлачна само зато што је друга одбојна и обрнуто. Сматрам их дубљим узроком познатих физичких сила, иако нам ове још увек нису познате. Штавише, овакве расправе можемо узимати за инспирацију тражењу „теорије физичких сила“ на основама теорије вероватноће.

Као што су многи пре мене приметили (Шредингер, на пример), велика открића не налазимо само где нико никада није био, него и у ономе што смо сви стално гледали, а нисмо видели. Тако треба гледати на следећих неколико пасуса.

8.1. У класичној теорији, вероватноћа p ∈ (0, 1) је реалан број између нуле и јединице. Вероватноћу ће 0 имати немогућ, а 1 сигуран догађај. Када радимо са n = 2, 3, ... опција од којих се увек дешава тачно једна, вероватноће расподељујемо по сабирцима. Листа сабирака биће n-торка ненегативних реалних бројева збира један, или вектор \( \vec{p} = (p_1, p_2, ..., p_n) \), где је свако p_k ∈ (0, 1) и ∑_k p_k = 1. То нам је давно познато. Искорак даље даје сама нарав ових бројева, да их можемо посматрати као квадрате модула комплексних бројева.

Заправо на такве гледам као на квадрате интензитета општих вектора, али да не компликујемо овде их размотримо само у облику p = |x + iy|². Уобичајено, за имагинарну јединицу важи i² = -1, а реални (x) и имагинарни (y) део комплексног броја z = x + iy су реални бројеви. Приметимо да се реални бројеви, рецимо r ∈ ℝ⁺, дају на безбројне начине писати као квадрати модула комплексних бројева r = |z|², јер су позитивни. На пример, r = |1 + 2i|² = |2 + i|² = 5, а дељење таквих једнакости са 5 даје вероватносне облике на које даље циљамо. Узгред, поопштење расподеле су и оператори изометрије.

8.2. Замислимо да понављамо опит n независних исхода. Имамо расподелу на вероватноће p₁, ..., p_n, од којих смо сваку компоненту даље разложили на квадрате модула комплексних бројева, p_k = |z_k|², где је поједино z_k = z'_k + iz''_k са k = 1, ..., n и (замало природним) бројевима z'_k, z''_k ∈ ℝ. Рецимо да се са сваким кораком (понављањем опита) по један од ових 2n бројева увећава за (приближно) један. Дакле, радимо са комплексним бројевима који су „комплексни индикатори“ случајних догађаја.

Међутим, хипотенуза правоуглог троугла краћа је од збира катета (квадрата је збира квадрата катета) па је |z₁|² + ... + |z_n|² ≤ (|z₁| + ... + |z_n|)². Узимамо то у обзир. Укупни број m понављања опита даваће статистичке вероватноће P_k (број реализованих исхода m'_k и m''_k подељен бројем свих покушаја m):

\[ P_k = \left|\frac{m'_k}{m} + i\frac{m''_k}{m}\right|^2 = |m'_k + im''_k|^2/m^2, \]

па је збир ∑_k P_k ≤ 1 и све је мањи од један што је n већи број. Овај „дефицит вероватноће“ посебно нам је занимљив. Објашњавам га „заобилажењем“ (Bypass), затим и „разблаживањем“ текуће садашњости све дебљим памћењем кроз коју се развлачи информација доследно начелној њеној штедљивости, а у немогућности да се избегне закон одржања. Али, то није тема овде.

Приметимо само да би у сличној причи исти дефицит био мера „силе вероватноће“. Рецимо, да бисмо достигли јединичну вредност збирне расподеле, увођењем коефицијента f = f(m) који је функција бар броја понављања опита, учинили бисмо прелазак са класичних вероватноћа на поменуте комплексне мање видљивим. Такав би дефинисала једнакост f⋅∑_k P_k = 1, или још боље ∑_k f_k⋅P_k = 1, што је заправо низ коефицијената и читава ствар постаје (за сада) превише компликована.

8.3. Када нам је потребна таква прецизност каква је корисна за рад са величинама микро света, згодни су комутатори. Обратимо пажњу на слику лево, где су из n димензија два вектора извучене две. Иначе, ма колико да је димензионалан систем координата, два вектора увек су у једној равни.

Ту се вектори расподела крећу по некој кривој, а \( \vec{z}' = \vec{z} + \Delta\vec{z} \). Комутатор тог пара је њихова константна површина:

\[ [\vec{z}, \vec{z}'] = \text{const}, \] \[ z_1z_2' - z_2z_1' = \text{const}, \] \[ z_1(z_2 + \Delta z_2) - z_2(z_1 + \Delta z_1) = \text{const}, \] \[ z_1\Delta z_2 - z_2\Delta z_1 = \text{const}. \]

Већим вероватноћама, \( z_1 \ge z_2 \), дешаваће се већи прираштаји исхода, \(\Delta z_1 \ge \Delta z_2 \), па је могуће да добијена разлика, у којој се множи већи са мањим, за дати пар координата (вероватноћа тих исхода) остане константна. Штавише, можемо је и постулирати константном квантујући је.

8.3.1. За додатно објашњење (тражено ми) погледајте прво симулацију (Распоређивање). Тамо је задат низ вероватноћа, \(\vec{p} = (p_1, ..., p_n)\), који представља опит са редом ω₁, ..., ω_n могућих исхода, сваки неке вероватноће Pr(ω_k) = p_k. Опит понављамо m пута и сваки пут када се реализује неки од ω_n додајемо по 1 одговарајућем члану z_k низа реализација \( \vec{z}(m) = (z_1, ..., z_n) \). Са повећањем броја опита поједини ће елементи низа \(\vec{z}\) расти, интензитет тог вектора све је већи иако он има увек исти број компоненти (n). Са растућим бројем m, очекујемо да z_k/m → p_k, за свако k = 1, ..., n. Симулација показује да се и догађа то очекивано.

У две различите серије понављања m и m' посматрајмо две различите z_j и z_k' одговарајуће компоненте низова исхода \( \vec{z}\) и \( \vec{z} \)'. Горњи комутатор говори о једнакости површина које разапињу таква два z-низа, ако је прираштај Δm = m' - m константан. Неће се обе компоненте једнако повећавати, него ће бити:

\[ z_j' = z_j + \Delta z_j, \quad z_k' = z_k + \Delta z_k, \] \[ z_j z_k' - z_k z_j' = \text{const}, \] \[ z_j \Delta z_k - z_k \Delta z_j = \text{const}. \]

Међутим, када m → ∞, тада:

\[ z_j \to mp_j, \quad z_k \to mp_k, \] \[ mp_j \Delta z_k - mp_k \Delta z_j = \text{const}, \]

па ако ову једнакост делимо са m, десна страна исчезава и остаје пропорција

\[ p_j : p_k = \Delta z_j : \Delta z_k, \]

која потврђује очекивање. То је оно што и симулација показује, наравно, са статистичком „тачношћу“. Тако су „једнаке“ површине које пребрише случајни вектор \( \vec{z}\) мењајући се једнаким корацима Δm. Ово даље значи да те „константне површине“ ипак конвергирају нули, уосталом као што би се догађало и са планетама веома веома удаљеним од Сунца.

8.4. Ако у квантном свету честице могу шетати кроз имагинарности, у макро свету то не примећујемо толико да можемо сматрати занемарљивим. Према закону великих бројева, статистичке вероватноће ће у великом броју понављања опита тежити математичким, P_k → p_k ако m → ∞, а мањак вероватноће можемо занемарити. Тако можемо и статистичке вероватноће P_k сматрати количником реализованих исхода m_k и свих покушаја m, сада свесни да део појаве занемарујемо. Грешку правимо и када тежину нечега на висини једног и два метра сматрамо једнаком, иако то није, а рачун нам испадне добар.

Према реченом, можемо посматрати и вектор расподеле вероватноће \(\vec{m} = (m_1, ..., m_n)\) чија дужина \( m = \|\vec{m}\| = m_1 + ... + m_n \) је просто збир свих реализација. Према истом закону великих бројева сваки од ових сабирака ће тежити стварној вероватноћи множеном бројем свих покушаја, m_k → m⋅p_k. Тако m₁ + ... + m_n → m⋅p₁ + ... + m⋅p_n = m⋅(p₁ + ... + p_n) = m, што је такође тачно. Даље приметимо да у том апстрактном n-димензионалном простору вероватноћа вектор \( \vec{m} \) постаје све дужи, али све мањег угла \(\varphi = \angle (\vec{m}, \vec{p})\) према правцу вектора \(m\vec{p} = (mp_1, ..., mp_n) \). Површина коју таква два вектора разапињу остаје константна.

8.5. Да ће се у равни коју разапиње са вектором \( m\vec{p} \) врх вектора \( \vec{m} \) кретати по хиперболи, следи из Чебишевљеве неједнакости

\[ \Pr\{|X| \ge r\} \le \frac{E(X^2)}{r^2}, \]

коју сам доказивао рецимо у Корелацији (8.5). Овде је E(X²) константна дисперзија дате расподеле случајне променљиве X, а r је било која њена вредност. Када управо ову удаљеност r посматрамо као границу вероватноћа, њене слободе одступања опадају са квадратом удаљености, што овде помињем као аналогију са гравитационом и Кулоновом силом из физике.

У Прилозима теорији информације писао сам о константним централним силама, где је извор силе тачкаст и не мења се временом, попут поменутих из физике. Показује се да набој покретан таквима путује линијама које су конике (праве, елипсе, параболе и хиперболе), те да потег од центра силе до набоја у једнаким временима пребрише једнаке површине. Те две наизглед неповезане последице својство су свих константних централних сила. Штавише, ту спада и њихово опадање са квадратом удаљености, ако им се дејство шири брзином светлости.

8.6. На „експериментални начин“, генеришући случајне бројеве у серијама по m пута, према задатој расподели \(\vec{p}\), добијамо потврду горњег „теоријског налаза“ на неколико начина. Неке од тих начина детаљно сам описивао у скриптама Информатичка Теорија I, II и III део, а њихов извод преведен на енглески већ је поменут (Uncertainty Force). Идеја је била, коју је симулација потврдила, да ће серије све већих бројева m понављања датог опита, увећаване за константно Δm, генерисати те узастопне векторе који су све дужи, али (статистички) све ближи, тако да су површине које разапињу једнаке.

Mноге природне силе, па и физичке попут гравитационе или Кулонове су „силе вероватноће“. Оне су које чешће реализују вероватније исходе, или које би стања „спонтано“ водиле ка мање информативнима, мањој комуникацији, односно мањем дејству.

Разликујем два начина којима сам се тамо бавио. Један је израчунавање скаларног производа вектора, где је \( \vec{m}'\cdot \vec{m}'' = m'm''\cos\varphi \), из којег налазимо синус угла и површину \( \Pi = m'm''\sin\varphi\) коју ови вектори разапињу. Други је посматрање корелације генерисаног вектора \( \vec{m} \) са теоријском путањом која би изражавала тестирану константност површине. У оба случаја тачност хипотезе утврђује статистичко одступање. Затим је ту и дилема о процени синуса и косинуса у новој метрици, или како уопште дефинисати површину? Ова поређења у својим детаљима постају занимљива нова питања.

Дубљи разлог за тражење тако „чудних“ релација је Кеплеров други закон, да ће потег сунце-планета током једнаких временима брисати једнаке површине. Знамо да тај указује на присуство константне централне силе, не само од познатих физичких (доказ је крајње теоријски). Јача би аналогија довела гравитациону, Кулонову и сличне силе на апстрактне просторе случајних варијабли. Физичке силе и све оваквима сродне увела би на тај начин у теорију информације.

9. Блок матрице

Блок дијагоналне матрице део су стандардног курса алгебре (овде) којег сада надовезујемо на (нову) теорију информације. Пре тога приметимо да тело скалара Φ, обично реалних ℝ или комплексних ℂ бројева, не мора имати комутативну операцију множења и зато га могу сачињавати и инвертибилни линеарни оператори. Посебно, то су регуларне матрице.

9.1. Отуда прво проширујемо збир производа на Q = A₁B₁ + ... + A_nB_n где су парови множени у сабирке A_j, B_j сада и вектори, па и матрице. У случају вектора збир је скаларни производ, Q = ⟨A, B⟩, писано на начин Диракових бра-кет заграда, али могуће је и комбиновано множење, као и матрично. Множење једноставних вектора није новост (Differences II). Тако, функционелу f на коначно-димензионалном векторском простору V дефинише свакако јединствен вектор u ∈ V такав да је f(v) = ⟨v, u⟩ за свако v ∈ V. Интерпретација овог (Рисов став) у (мојој) теорији информације је јединственост субјеката.

Са тумачењем „збира производа“ као „информације перцепције“, већи збир Q значи већу виталност те интензивнију интеракцију, односно међусобну комуникацију страна A и B. Тај интензитет постаје мера мајсторства игре (Win Lose) када се ради о виталним субјектима. На пример, у низу компоненти првог играча могу се десити две супротне, A' = 3 - 2i и A'' = -3 + 2i, чији збир је нула. Хтијући повећавати ниво игре, други играч може им супротставити B' = 2 - i и B'' = -2 + i, такође нултог збира, држећи се најбоље стратегије (позитиван са позитивним, негативан са негативним, сразмерно већим са већег а мањим на мањег). И биће у праву, мајсторство игре диже се за A'B' + A''B'' = 2A'B', скалар ненултог модула.

У случају матрица (низова A и B), претходно називани „интензитет скалара“ постаје „запремина“ блока или кутије (Детерминанта, 2.10). Тако, код матрица првог реда (1×1, бројева) таква „запремина“ постаје дужина, за матрице другог реда (2×2) она је површина, а само у случају матрица трећег реда (3×3) она је запремина у уобичајеном смислу.

Наравоученије је да треба „рећи бобу боб, а попу поп“, да постигнемо већу виталност комуникације. Са друге стране, слично раздвајање нема тај ефекат када компоненте нису супротне. Погледајмо, рецимо, разлагање ове компоненте:

\[ (5 + 3i)\cdot(2 + i) = 7 + 11i, \] \[ (3 + 2i)\cdot(1 + i) + (2 + i)\cdot 1 = 3 + 6i, \]

којој се након уситњавања модул тако рећи преполовио. Поента је да за бољу информацију перцепције треба раздвајати позитивне од негативних утицаја, док напротив истоимене покушати држати заједно. Другим речима „завади па владај“ (лат. divide et impera), а своје снаге концентриши (Emergence II), ако хоћеш победу.

9.2. У аналогији са алгебром квантне механике (в. Hermitian), са скаларним множењем ортонормалних вектора ради одређивања обзервабли, сада бисмо имали сабирке A_jB_j где је први од фактора матрица а други је вектор (или обрнуто, обрнуте варијантности) који су узајамно окомити вектори. Ортогонални подпростори таквих су алгебарски коректни, а повезивање са претходним је једноставно. Аналогне су и упуте за најбољу стратегију, при чему се тумачења могу преносити на надметања са променама, или на корак од њих. Стања су репрезентације вектора, а процеси оператора. Међутим, оператори су врсте вектора и аналогија је алгебарски ваљана.

Информација перцепције тако, заједно са (овом) теоријом информације познаје лаж као и истину (The Truth), жива и нежива бића (Виталност), значај димензија времена. Простор, време и материја састоје се од информација, а њихова суштина је неизвесност, али њена „стварност“ нису само физичка, мртва супстанца. Тако на питање „постоји ли дрвени дечак коме нос расте када лаже“ (Пинокио), одговарамо позитивно, јер идеје, процеси, као и стања, информатички су реални. Теорија информације шира је од модерне физике.

9.3. Оператор \( T \in \mathcal{L}(V)\) векторског простора V са унутрашњим (тј. скаларним) производом назива се „нормалан“ (Спектрална теорема) ако комутира са адјунгованим (коњуговано-транспонованим) T^†, тј. само ако је TT^† = T^†T, а то је само ако је ∥Tv∥ = ∥T^†v∥ за сваки вектор v ∈ V. Специјално, сваки ермитски (само-адјунгован) оператор је нормалан. Нормалан и њему адјунгован оператор имају исте својствене векторе, а они који одговарају различитим његовим својственим вредностима су ортогонални.

Подсећам, у једначини Tv = λv, је λ поједина од својствених вредности оператора T, њој којој припада својствени вектор v. Пример је оператор диференцирања, (d/dx) exp(λx) = λ exp(λx), где је λ својствена вредност, а exp(λx) одговарајући својствени вектор. Својствених вредности може бити више (не више од броја димензија простора). Оне могу бити једнаке (дегенерисане), са заједничким од њих зависним својственим вектором, v = v(λ).

Оператор T је нормалан ⇔ простор V има ортонормирану базу која се састоји од својствених вектора T ⇔ T има дијагоналну матрицу у односу на неку ортонормирану базу простора V. Сада знамо операторе који се могу дијагонализовати. Матрице таквих могу се писати у облику производа T = PDP^-1, где је P матрица чије колоне су својствени вектори датог оператора, P^-1 је њој инверзна матрица, дијагонална D има различите од нуле само елементе главне дијагонале који су својствене вредности оператора.

Посебно, ермитски (само-адјунговани), оператори квантне механике су такви. Уопште је:

\[ T^2 = (PDP^{-1})(PDP^{-1}) = PD(P^{-1}P)DP^{-1} = PDIDP^{-1} = PD^2P^{-1}, \] \[ T^3 = T^2T = (PD^2P^{-1})(PDP^{-1}) = PD^3P^{-1}, \] \[ \dots \] \[ T^n = PD^nP^{-1}, \]

редом за n = 1, 2, 3, ..., при чему се на дијагонали n-тог степена дијагоналне матрице налазе n-ти степени елемената дијагоналне матрице

\[ D^n = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} \lambda_1^n & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & \dots & \lambda_n^n \end{pmatrix}. \]

Детерминанта таквог оператора је det T = det(PDP^-1) = det(P) det(D) det(P^-1) = det D = λ₁...λ_n. А и иначе једнака је производу својствених вредности оператора.

9.4. Занимљив пример спектралне теореме су стохастичке матрице (овде). То су матрице чије колоне су расподеле вероватноћа, а ако су им такве и врсте онда их називамо дупле стохастичке матрице. Оне пресликавају, тј. преносе расподеле вероватноћа, односно информације. Њихове својствене вредности нису веће од један. Када је нека од |λ| < 1, биће |λ|ⁿ → 0 када експонент n неограничено расте и ланац је ергодички (Трансформације). Композиција тог случаја матрица, каскадни преносник информације, постаје „црна кутија“. Она је наводни преносник из чијег излаза се не може разабрати улаз.

На пример, дата је матрица другог реда Mv = λv са две својствене вредности и њима одговарајућа два својствена вектора:

\[ M = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}, \quad \lambda_1 = a + b, \quad \lambda_2 = a - b, \] \[ v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \]

што је лако проверити. Према претходном, имамо M = PDP^-1, детаљно:

\[ \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a + b & 0 \\ 0 & a - b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}, \]

што је такође лако проверити непосредним множењем.

Када је a ∈ (0, 1) и a + b = 1, ово је (дупла) стохастичка матрица, са својственим вредностима, првом увек λ₁ = 1 и другом λ₂ = a - b. У ергодичком случају:

\[ M^n = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}^n = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (a-b)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1 + (a-b)^n}{2} & \frac{1 - (a-b)^n}{2} \\ \frac{1 - (a-b)^n}{2} & \frac{1 + (a-b)^n}{2} \end{pmatrix}, \] \[ N = \lim_{n \to \infty} M^n = \begin{pmatrix} \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & \frac12 \end{pmatrix}, \quad ab \ne 0, \] \[ Nu = \begin{pmatrix} \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & \frac12 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac12 \\ \frac12 \end{pmatrix}, \quad \forall u = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \]

где су компоненте вектора u вероватноће расподеле. То је случај неких шанси обе могућности (ab ≠ 0).

Када је a ∈ (0, 1) и a + b = 1, али ab = 0, имамо две могућности. Прво, a = 0 и b = 1. Тада је (n = 1, 2, 3, ...):

\[ M^1 = M^3 = M^5 =...= M^{2n-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \] \[ M^2 = M^4 = M^6 = ... = M^{2n} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I. \]

Друга могућност је a = 1 и b = 0 и M = I, а то је јединична матрица. Њен је сваки степен опет јединична матрица. Поред горњих ергодичких, њени својствени вектори су и сви други вектори. Међутим, немају само „нормални“ оператори дијагоналне матрице.

9.5. Посматрајмо сада две стохастичке матрице другог реда:

\[ A = \begin{pmatrix} 0,2 & 0,7 \\ 0,8 & 0,3 \end{pmatrix}, \quad A' = \begin{pmatrix} 0,6 & 0,5 \\ 0,4 & 0,5 \end{pmatrix}. \]

Оне нису „нормалне“, јер AA^† ≠ A^†A, а тако је и за другу. Из следећих њихових деловања на вектор:

\[ \begin{pmatrix} 0,2 & 0,7 \\ 0,8 & 0,3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0,6 \\ 0,4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,4 \\ 0,6 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0,6 & 0,5 \\ 0,4 & 0,5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,6 \\ 0,4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,56 \\ 0,44 \end{pmatrix}, \]

видимо да прва „дезинформише“, а да друга информацију једва преноси. Детерминанте матрица „дезинформатора“ су негативне, а „црних кутија“ нуле.

Уопште, елеменат a_jk из стохастичке матрице A = (a_jk) преноси j-ту поруку у k-ту, а дијагонални a_jj преноси j-ту у j-ту. Према томе, најбољи преносник је матрица која на дијагонали има саме јединице (највећу вероватноћу), а још увек је добра ако су јој дијагонални елементи већи од 0,5. Обрнуто, она је добар дезинформатор када су јој сви дијагонални елементи мањи од 0,5 — из којег је још увек могуће читати улаз на основу излаза. У оба случаја, када је дијагонални елеменат већи (мањи) од збира свих осталих вероватноћа те расподеле, има каквог-таквог преноса података и детерминанта матрице није нула. У једном одговору у блогу (Channel, Теорема) имате формални доказ да је (апсолутна) вредност сваког дијагоналног елемента произвољне матрице већа (или да је свака мања) од збира осталих довољан услов да детерминанта те матрице није нула.

9.6. Својствене величине горе датих матрица су:

\[ A: \quad \lambda_1 = 1, \ v_1 = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \end{pmatrix}, \quad \lambda_2 = -\frac12, \ v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \] \[ A': \quad \lambda'_1 = 1, \ v'_1 = \frac19 \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \lambda'_2 = \frac{1}{10}, \ v'_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}. \]

Њихови својствени вектори нису окомити, а само је по први од њих расподела вероватноће. Када формирамо матрицу P чије колоне су пропорционалне датим својственим векторима и њој инверзну матрицу P^-1, знајући њихове својствене вредности, које су елементи дијагоналне матрице D, можемо писати A = PDP^-1, или исто детаљније:

\[ \begin{pmatrix} 0,2 & 0,7 \\ 0,8 & 0,3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 8 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -0,5 \end{pmatrix} \cdot \frac{-1}{15}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -8 & -7 \end{pmatrix}. \]

Аналогно је и са A'.

9.7. Са горњим матрицама формирајмо блок дијагоналну матрицу:

\[ B = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & A' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,2 & 0,7 \\ 0,8 & 0,3 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0,6 & 0,5 \\ 0,4 & 0,5 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,2 & 0,7 & 0 & 0 \\ 0,8 & 0,3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0,6 & 0,5 \\ 0 & 0 & 0,4 & 0,5 \end{pmatrix}. \]

Матрица B је четвртог реда и такође је стохастичка, са истим је својственим вредностима λ₁, λ₂, λ'₁, λ'₂ и одговарајућим својственим векторима:

\[ v_1 = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad v'_1 = \frac19 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad v'_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}. \]

Могуће је матрице A и A' посматрати као „својствене вредности“ (када тело скалара Φ то дозвољава), а дијагоналну блок матрицу B као процес чије „обзервабле“ су процеси A и A'. Својствене вредности тек тих дијагоналних процеса тада су физички мерљиве величине.

9.8. Када имамо инвертибилну матрицу S, онда за матрицу B кажемо да је слична матрици C = SBS^-1. Из B = PDP^-1, што је са претходним C = SPDP^-1S^-1, односно C = (SP)D(SP)^-1, следи да сличне матрице, овде C и B, имају исте својствене вредности са дијагоналном матрицом D, али немају међусобно исте својствене векторе. Својствени вектори матрице B су колоне матрице P, а својствени вектори матрице C су колоне матрице SP.

Да је (SP)^-1 = P^-1S^-1 проверавамо множењем I = (SP)^-1(SP) = P^-1S^-1SP =P^-1P = I. Ради даљег проверавања, предвиђања, или прављења лакших примера горњих навода можете користити једнакости:

\[ B = PDP^{-1} = \] \[ = \begin{pmatrix} v_1 & u_1 \\ v_2 & u_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_2 & -u_1 \\ -v_2 & v_1 \end{pmatrix}\frac{1}{v_1u_2 - v_2u_1} = \] \[ = \begin{pmatrix} v_1 & u_1 \\ v_2 & u_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_2\lambda_1 & -u_1\lambda_1 \\ -v_2\lambda_2 & v_1\lambda_2 \end{pmatrix}\frac{1}{v_1u_2 - v_2u_1} = \] \[ = \begin{pmatrix} v_1u_2\lambda_1 - v_2u_1\lambda_2 & -v_1u_1\lambda_1 + v_1u_1\lambda_2 \\ v_2u_2\lambda_1 - v_2u_2\lambda_2 & v_1u_2\lambda_2 - v_2u_1\lambda_1 \end{pmatrix} \frac{1}{v_1u_2 - v_2u_1}. \]

На пример, узимајући \(\lambda_1 = 1\), \(v_1 = \frac{7}{15}\), \(v_2 = \frac{8}{15}\), затим \(\lambda_2 = -\frac12\), \(u_1 = 1\), \(u_2 = 1\), ова формула даје

\[ B = \begin{pmatrix} 0,2 & 0,7 \\ 0,8 & 0,3 \end{pmatrix}, \]

а то је горња матрица A са њеним својственим величинама. Множећи ову са две стране матрицама S и S^-1 добићемо њој „сличне“ матрице, истих њених својствених вредности, али зависно од S другачијих својствених вектора.

Аналогно, сличне су матрице B и C = SBS^-1, када су генерисане блок дијагоналном матрицом D = P^-1BP. Интерпретација је слична претходној, да „својствене вредности“ таквих могу постајати процеси онда са својственим вредностима обзерваблама (физички мерљивим величинама).

Наставиће се ...