Unutrašnji operatori

Тема ове странице су дубљи резултати унутрашњих простора вектора. То су оператери на векторским просторима снабдевеним скаларним множењем и неке важније последице. Ознаке F или Φ (бројева ℝ или ℂ) за тело скалара су, а за основни векторски простор V или X. Са U и W, односно Y и Z означавамо повремено остале, такође коначно-димензионалне просторе унутрашњег производа над F, или Ф. Са \( \mathcal{L}(V, W)\) означавамо скуп свих линеарних пресликавања T : V → W, а када су то оператори (T : V → V) пишемо краће \( T \in \mathcal{L}(V) \).

1. Адјунговање

Када је линеарни оператор \( T \in \mathcal{L}(X, Y) \), њему адјунгован (енг. adjoint — прилагођен, придружен) је \( T^\dagger : Y \to X \) такав да важи једнакост унутрашњих (скаларних) производа \( \langle Tx, y \rangle = \langle x, T^\dagger y \rangle \) за свако \( x \in X \) и свако \( y \in Y \).

1.1. Да ова дефиниција има смисла видимо према Рисовом ставу. Он утврђује да постоји јединствен вектор са чијим скаларним производом је дата линеарна функционела дефинисана. Тада линеарна функционела у X пресликава вектор \( x \in X\) у скалар \( \langle Tx, z\rangle \) и даје јединствени вектор T^†z. Другим речима, T^†z је јединствени вектор из X такав да је ⟨Tx, z⟩ = ⟨x, T^†z⟩.

1. Задатак . Нека је са \( T(x_1, x_2, x_3) = (2x_2 + 3x_3, 5x_1) \) дато пресликавање са ℝ³ на ℝ². Наћи њему адјунговано пресликавање T^†.

Решење: За свако (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³, имамо:

\[ \langle (x_1, x_2, x_3), T^\dagger (y_1, y_2)\rangle = \langle T(x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2)\rangle = \] \[ = \langle (2x_2 + 3x_3, 5x_1), (y_1, y_2)\rangle = 2x_2y_1 + 3x_3y_1 + 5x_1y_2 \]

па је \( T^\dagger (y_1, y_2) = (5y_2, 2y_1, 3y_1) \). □

Други задатак је делом поопштавање првог, а следећи проширење оба. Две врсте ознака користим иначе и, надам се, неће ми њихово смењовање бити проблематично у неком каснијем читању (ови текстови, пре свега, за приватну употребу су).

2. Задатак. Дато је линеарно пресликавање \( T \in \mathcal{L}(X, Z) \) са \( Tx = \langle x, y\rangle v \). Наћи \( T^\dagger z \).

Решење: За y ∈ X и z, v ∈ Z и свако x ∈ X имамо:

\[ \langle x, T^\dagger z\rangle = \langle Tx, z\rangle = \langle \langle x, y\rangle v, z\rangle = \] \[ = \langle x, y\rangle \langle v, z\rangle = \langle x, \langle z, v\rangle y\rangle. \]

Према томе, \( T^\dagger z = \langle z, v\rangle y \). □

3. Задатак. Адјунговано пресликавање је линеарно, ако \( T \in \mathcal{L}(V, W)\) онда \( T^\dagger \in \mathcal{L}(W, V)\). Доказати.

Доказ: Дато је \( w_1, w_2 \in W \), па за \( v \in V\) имамо:

\[ \langle v, T^\dagger(w_1+w_2)\rangle = \langle Tv, w_1+w_2\rangle = \langle Tv, w_1\rangle + \langle Tv, w_2\rangle = \] \[ = \langle v, T^\dagger w_1\rangle + \langle v, T^\dagger w_2\rangle + \langle v, T^\dagger w_1 + T^\dagger w_2 \rangle, \]

зато је \( T^\dagger (w_1 + w_2) = T^\dagger w_1 + T^\dagger w_2 \). Тиме је доказана адитивност.

Фиксирајмо \(w \in W\) и \(\lambda \in F\), па за \(v \in V\) имамо:

\[ \langle v, T^\dagger (\lambda w)\rangle = \langle Tv, \lambda w\rangle = \lambda^*\langle Tv, W\rangle = \] \[ = \lambda^* \langle v, T^\dagger w\rangle = \langle v, \lambda T^\dagger w\rangle, \]

отуда је \( T^\dagger(\lambda w) = \lambda T^\dagger w \). Тиме је доказана и хомогеност. □

4. Став. Важе следеће особине адјунговања:

1. \( (S + T)^\dagger = S^\dagger + T^\dagger \),
2. \( (\lambda T)^\dagger = \lambda^* T^\dagger \),
3. \( (T^\dagger)^\dagger = T \),
4. \( I^\dagger = I \), где је I јединични оператор,
5. \( (ST)^\dagger = T^\dagger S^\dagger \), за све \( S \in \mathcal{L}(W, U) \),

за све \(S, T \in \mathcal{L}(V, W) \), за унутрашњи простор U над F, и све λ ∈ F.

Доказ: 1. \( \langle v, (S + T)^\dagger w\rangle = \langle (S + T)v, w\rangle = \langle Sv, w \rangle + \langle Tv, w\rangle = \)

\[ = \langle v, S^\dagger \rangle + \langle v, T^\dagger w\rangle = \langle v, S^\dagger w + T^\dagger w\rangle . \]

Дакле, \( (S + T)^\dagger w = S^\dagger w + T^\dagger w \), што се и тврди.

2. \( \langle v, (\lambda T)^\dagger \rangle = \langle \lambda Tv, w \rangle = \lambda \langle Tv, w\rangle = \lambda \langle v, T^\dagger w \rangle = \langle v, \lambda^* T^\dagger w\rangle \). Дакле, \( (\lambda T)^\dagger = \lambda^* T^\dagger w\).

3. \( \langle w, (T^\dagger)^\dagger v\rangle = \langle T^\dagger w, v\rangle = \langle v, T^\dagger w\rangle^* = \langle Tv, w\rangle^* = \langle w, Tv\rangle \). Дакле, \( (T^\dagger)^\dagger v = Tv \).

4. \(\langle v, I^\dagger u \rangle = \langle Iv, u\rangle = \langle v, u\rangle \), па је \( I^\dagger u = u\).

5. \( \langle v, (ST)^\dagger u\rangle = \langle STv, u\rangle = \langle Tv, S^\dagger u\rangle = \langle v, T^\dagger (S^\dagger u)\rangle \), па је \( (ST)^\dagger u = T^\dagger (S^\dagger u) \). ∎

1.2. Подсетимо се да је ker T нула простор (Домени), а T(V) кодомен функције T : X → Y, те да користимо ознаке V и W за домен и кодомен. Исказ A ⇔ B значи: „A је ако и само ако је B“.

5. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V, W) \), онда је:

1. \( \ker T^\dagger = (T V)^\perp \),
2. \( (T V)^\dagger = (\ker T)^\perp \),
3. \( \ker T = (T V)^\perp \),
4. \( T V = (\ker T^\dagger)^\perp \).

Доказ: (1) w ∈ W. w ∈ ker T^† ⇔ T^† w = 0 ⇔ ⟨v, T^† w⟩ = 0 (∀v ∈ V) ⇔ ⟨T v, w⟩ = 0 (∀v ∈ V) ⇔ w ∈ (T W)^⊥.

Ако узмемо ортогонални комплемент (Комплемент, 27. пример) обе стране (1) добијамо (4). Заменом T са T^† у (1) добијамо (3), помоћу 4. став 3. Коначно, заменом T са T^† у (4) добијамо (2). ∎

Адјунговање линеарних оператора нам говори о могућности различитих стаза, или процеса приликом којих би се неке вредности могле чувати непромењене.

Када линеарно пресликавање T : X → Y интерпретирамо процесом, који стања из X преводи у Y, а збир производа Q = ⟨x, y⟩ информацијом перцепције, онда ће ⟨T x, y⟩ = ⟨x, T^†y⟩ постати једнакост узајамних перцепција након и пре процеса. Адјунговање се понаша као неко псеудо-враћање назад промена, тако да и неповратне процесе, попут ланца Маркова (класични стохастички), има смисла адјунговати.

Процеси су стања (оператори су вектори), па и они могу представљати информацију перцепције, а зато бити и јединствени (Uniqueness). Отуда за јединствени процес A постоји и јединствен ретро-процес A^†. Узгред откривамо и, назовимо га, псеудо-реверзибилност таквих процеса.

1.3. Да је адјунгована матрица коњуговано транспонована, проверићемо следећим примером, а затим се уверити општим разлагањем.

6. Пример. Посматрајмо матрицу A и адјунговану A^† у дефиниционом производу:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2i \\ 3 & i \end{pmatrix}, \quad A^\dagger = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2i & -i \end{pmatrix}. \]

Израчунавамо скаларни производ, редом:

\[ \langle Ax, y \rangle = \langle \begin{pmatrix} 1 & -2i \\ 3 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \rangle = \] \[ = \langle \begin{pmatrix} x_1 - 2ix_2 \\ 3x_1 + i x_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \rangle = (x_1 - 2ix_2)y_1^* + (3x_1 + ix_2)y_2^* \] \[ = x_1(y_1^* + 3y_2^*) + x_2(-2iy_1^* + iy_2^*) = \langle \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 + 3y_2 \\ 2iy_1 - iy_2 \end{pmatrix}\rangle \] \[ = \langle \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2i & -i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \rangle = \langle x, A^\dagger y \rangle. \]

Дакле, испуњена је дефинициона једнакост адјунговања. □

Приметимо да ове матрице нису комутативне:

\[ AA^\dagger = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 10 \end{pmatrix}, \quad A^\dagger A = \begin{pmatrix} 10 & i \\ -i & 5 \end{pmatrix}, \]

што би инверзне биле, увек је AA^-1 = A^-1A = I.

7. Став. Адјунгована матрица је коњуговано транспонована, \( A^\dagger = (A^*)^\tau \).

Доказ: Ако је матрица A типа m × n, са m редова (врста) и n колона (стубаца):

\[ \langle Ax, y\rangle = \langle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_m \end{pmatrix} \rangle = \langle \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^n a_{1k}x_k \\ \sum_{k=1}^n a_{2k}x_k \\ ... \\ \sum_{k=1}^n a_{mk}x_k \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_m \end{pmatrix} \rangle = \] \[ = (\sum_{k=1}^n a_{1k}x_k)y_1^* + (\sum_{k=1}^n a_{2k}x_k)y_2^* + ... + (\sum_{k=1}^n a_{mk}x_k)y_m^* = \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n a_{jk}x_ky_j^*. \]

Адјунгована матрица A^† = B типа је n × m, да би било могуће множење са другим вектором, па је скаларни производ десне стране једнакости \( \langle Ax, y\rangle = \langle x, By \rangle \):

\[ \langle x, By\rangle = \langle \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1m} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2m} \\ ... \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{nm} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1^* \\ y_2^* \\ ... \\ y_m^* \end{pmatrix} \rangle = \langle \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^m b_{1j}y_j \\ \sum_{j=1}^m b_{2j}y_j \\ ... \\ \sum_{j=1}^m b_{nj}x_j \end{pmatrix} \rangle = \] \[ = x_1(\sum_{j=1}^m b_{1j}y_j)^* + x_2(\sum_{j=1}^m b_{2j}y_j)^* + ... + x_n(\sum_{j=1}^m b_{nj}y_j)^* = \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^m b_{kj}^*x_k y_j^*. \]

Дакле, из једнакости \( \langle Ax, y\rangle = \langle x, By \rangle \), за свако \( x \in X\) и \(y \in Y\), даље следи:

\[ \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n a_{jk}x_ky_j^* = \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^m b_{kj}^* x_k y_j^*, \] \[ \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n (a_{jk} - b_{kj}^*)x_k y_j^* = 0, \] \[ a_{jk} = b_{kj}^*, \quad \forall j = 1, 2, ..., m, \ \forall k = 1, 2, ..., n, \]

јер су вектори x и y произвољни. Другим речима, адјунгована матрица заиста је коњуговано транспонована, \( B = (A^*)^\tau = A^\dagger \). ∎

8. Пример. Следећа матрица (A) и њој адјунгована (A^†) су стохастичке:

\[ AA^\dagger = \begin{pmatrix} 0,7 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 \\ 0,2 & 0,3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,7 & 0,1 & 0,2 \\ 0,1 & 0,6 & 0,3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,50 & 0,13 & 0,17 \\ 0,13 & 0,37 & 0,20 \\ 0,17 & 0,20 & 0,13 \end{pmatrix}, \] \[ A^\dagger A = \begin{pmatrix} 0,7 & 0,1 & 0,2 \\ 0,1 & 0,6 & 0,3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,7 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 \\ 0,2 & 0,3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,54 & 0,19 \\ 0,19 & 0,46 \end{pmatrix}. \]

Њихови производи нису комутативни, нити су оне узајамно инверзне, штавише нису ни квадратне.

Будућа стања (левог производа) и прошла (десног) нису иста, али су њихове информације перцепције једнаке. Оне су заправо сведочења конзервације кроз различитости.

Матрица A шири 2-дим вектор x у 3-дим простор не мењајући му (јединични) збир компоненти, док адјунгована 3-дим спушта u 2-дим раван скраћујући га. Али другој страни једнакости ⟨A x, y⟩ = ⟨x, A^† y⟩ су ближи вектори и скаларни производи лево и десно су једнаки. □

У случају да A сматрамо процесом који стање из тренутка X преводи у неко од будућих стања, из скупа могућности Y, онда је A^† повратни процес који будуће стање враћа у неко прошло. При томе, долазећа стања првог процеса и полазна другог нису (не морају) бити иста, иако су вредности производа ⟨A x, y⟩ и ⟨x, A^† y једнаке. Адјунговање је такво „псеудо-враћање“, за разлику од правих инверзних функција.

1.4. Коњуговано транспонована од матрице m×n је матрица n×m добијена заменом колона и редова и коњуговањем свих елемената. Посебно, простора реалних скалара (Φ = ℝ) коњуговано транспонована матрица је иста као и њена транспонована, она је тада матрица добијена заменом редова са колонама. Адјугант (adjoint) линеарног пресликавања не зависи од избора базе простора. Зато назив адјунговање линеарних пресликавања стоји пре коњуговано транспонованих матрица.

Следећи доказ потврђује оно што смо већ видели у 7. ставу, осим што је исказан на мало апстрактнији начин и са уобичајеним општијим резултатом.

9. Став. Дати су линеарни оператор \(T \in \mathcal{L}(V, W)\) и ортонормиране базе домена \(e_1, ..., e_n \in V\) и кодомена \(f_1, ..., f_m \in W\). Тада се матрица \(\mathcal{M}(T^\dagger, (f_1,...,f_m), (e_1,...,e_n))\) добија коњуговањем и транспоновањем матрице \(\mathcal{M}(T, (e_1,...,e_n), (f_1,...,f_m))\).

Доказ: Поменуте матрице пишемо краће \(\mathcal{M}(T^\dagger)\) и \(\mathcal{M}(T)\), када нема забуне, а k-ту колону ове друге пишемо Te_k, као линеарну кокмбиналију f_j-ова. Скалари те линеарне комбинације тако постају k-та колона \(\mathcal{M}(T)\). Јер је \(f_1, ..., f_m \in W\) ортонормирана база, биће \(Te_k = \langle Te_k, f_1\rangle f_1 + ... + \langle Te_k, f_m\rangle f_m\). Тако унос у j-ти ред k-те колоне од \(\mathcal{M}(T)\) постаје \(\langle Te_k, f_j\rangle\).

Замењујући \(T\) са \(T^\dagger\) и замењујући улоге e-ова и f-ова, видимо да унос у j-ти ред k-те колоне од \(\mathcal{M}(T^\dagger)\) постаје \(\langle T^\dagger f_k, e_j\rangle\), што је једнако \(\langle f_k, Te_j\rangle\), а ово једнако са \(\langle Te_j, f_k\rangle^*\) које је коњуговано комплексан упис у k-ту ред j-те колоне \(\mathcal{M}(T)\). Другим речима, \(\mathcal{M}(T^\dagger)\) коњуговано транспонована \(\mathcal{M}(T)\). ∎

У наставку прелазимо са адјунговања линеарних пресликавања T : V → W на само-адјунговање линеарних оператора T : V → V.

1.5. Оператор \(T \in \mathcal{L}(V)\) је само-адјунговани (self-adjoint) ако \(T = T^\dagger\). Другим речима, \(T \in \mathcal{L}(V)\) је само-адјунгован ако и само ако је \(\langle Tv,w\rangle = \langle v, Tw\rangle\) за све \(v, w \in V\).

Често користимо и израз ермитски, уместо само-адјуновани, у част француског математичара Ермита (Charles Hermite, 1822 - 1901), који је 1873. године објавио први доказ да e није нула ниједног полинома са целим коефицијентима. Под тим називом су познати као оператори квантне механике (Hermitian).

На пример, за следећу матрицу важи

\[ \begin{pmatrix} a & b +ic \\ b - ic & d \end{pmatrix}^\dagger = \begin{pmatrix} a & b + ic \\ b - ic & d \end{pmatrix}, \]

када год је \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \), па је она тада ермитска (само-адјунгована).

Лако је видети (користећи 4.став) да је збир или разлика само-адјунгованих (ермитских) оператора само-адјунгован оператор и да је производ таквог са реалним бројем само-адјунговани оператор. У складу са тиме се адјунговање, у простору оператора, понаша попут коњуговања, па често пишемо коњугован оператор, \(T^*\) подразумевајући и транспоновање, уместо \(T^\dagger\).

10. Став. Својствне вредности само-адјунгованог оператора су реалне.

Доказ: Следи из \( \lambda \|v\|^2 = \langle \lambda v, v\rangle = \langle Tv, v\rangle = \langle v, Tv\rangle = \lambda^*\|v\|^2 \). ∎

На пример, претходна матрица има карактеристични полином det(A - λI) = 0, затим :

\[ \det\begin{pmatrix} a - \lambda & b + ic \\ b - ic & d \end{pmatrix} = 0, \] \[ \lambda^2 - (a + d)\lambda + ad - (b^2 + c^2) = 0, \]

а дискриминанта ове квадратне једначине је \( (a - d)^2 + 4(b^2 + c^2) \ge 0 \), што значи да су њена оба решења λ_1,2, иначе својствене вредности те матрице, реални бројеви.

11. Став. За V комплексан векторски простор са унутрашњим производом и оператор \(T \in \mathcal{L}(V)\) важи једнакост \(\langle Tw, w\rangle = 0\) ако и само ако T = 0.

Доказ: Разлажемо скаларни производ на четири сабирка

\[ \langle Tv, u\rangle = \frac{\langle T(v + u), v + u\rangle - \langle T(v - u), v - u\rangle}{4} + \frac{\langle T(v + iu), v + iu\rangle - \langle T(v - iu), v - iu\rangle}{4}, \]

што важи за све v, u ∈ V. Свака од ових четвртина је облика \( \langle Tw, w\rangle \), па из \( \langle Tv, u\rangle = 0 \) следи свако \( \langle Tw, w\rangle = 0 \), a отуда T = 0. ∎

Код реалних простора ово тврђење може важити, као у случају стохастичких матрица (8. пример). Али, на пример, нетачно је у случају ротације за 90° око исходишта, \( T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2) \). Тада имамо T(x, y) = T(-y, x) па јесте Tv ⊥ v и уједно T ≠ 0. У комплексном простору оператор сваки пут радикално заокреће вектор.

Процеси комплексног простора стања искључиви су. Они свако реално стање преводе у псеудо, а отуда понеко врате реалном свету физике.

Збир производа над телом комплексних бројева могуће је генерализовати и на информацију перцепције, ако бисмо прихватили идеју „заобилажења“ (Bypass). Међутим, само када би укључивали процесе реалних стања у имагинарни простор попут нечег „стварног“, али остваривог макар на нивоу микро физике.

Следећа теорема дубљи је разлог привржености квантне физике ермитским операторима. На пример, зато што „садашњост“ увек има неко трајање кроз неодређеност времена у Хајзенберговим релацијама, или да би гледање прошлости остало у оквиру реалности — казали бисмо у складу са (мојом) теоријом информације перцепције.

12. Став. Када је V комплексан векторски простор са унутрашњим производом и \( T \in \mathcal{L}(V) \), биће T само-адјунгован (ермитски) оператор ако и само ако \( \langle Tv, v\rangle \in \mathbb{R} \) за свако v ∈ V.

Доказ: Ако је v ∈ V, тада је:

\[ \langle Tv, v\rangle - \langle T v, v \rangle^* = \langle Tv, v\rangle - \langle v, Tv\rangle = \langle Tv, v\rangle - \langle T^\dagger v, v\rangle = \langle (T - T^\dagger)v, v\rangle. \]

Ако \( \langle Tv, v\rangle \in \mathbb{R} \) за свако v ∈ V, онда је почетак горњих једнакости нула, па је \( \langle(T - T^\dagger)v, v\rangle = 0 \) за сваки вектор v ∈ V. Отуда и због претходног става, \( T - T^\dagger = 0\). Дакле, T је само-адјунгован.

Обрнуто, ако је T само-адјунгован, онда је последње горњих једнакости нула, па је и прво нула, што значи \( \langle Tv, v\rangle \in \mathbb{R} \) за свако v ∈ V. То је све што је требало доказати. ∎

Једноставан пример овог става је претходна матрица, ⟨Av, v⟩. Имамо:

\[ \langle \begin{pmatrix} a & b + ic \\ b - ic & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rangle = \langle \begin{pmatrix} ax + (b + ic)y \\ (b - ic)x + dy \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rangle = \] \[ = [axx^* + (b + ic)yx^*] + [(b - ic)xy^* + dyy^*] = \] \[ = a|x|^2 + b(yx^* + xy^*) + ic(yx^* - xy^*) + d|y|^2, \]

а сваки од ових сабирака је реалан број, посебно \( yx^* + xy^* = 2\Re(yx^*) \) и \( ic(yx^* - xy^*) = -2c\Im(yx^*) \).

Видели смо (11. став) да у комплексном векторском простору V било који ненулти оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \) не може учинити вектор ортогоналним, за разлику од реалног простора, а сада ћемо видети да је могућ и реални такав, али ако је оператор само-адјунгован.

13. Став. Ако је T = T^† и ⟨Tv, v⟩ = 0 за све v, тада је T = 0. Другим речима, ако је T ермитски оператор на V, такав да је ⟨Tv, v⟩ = 0 за све v ∈ V, биће T = 0.

Доказ: Пођимо од доказа 11. става, за све v, u ∈ V и од

\[ \langle Tv, u\rangle = \frac{\langle T(v + u), v + u\rangle - \langle T(v - u), v - u\rangle}{4} \]

што је сада тачно, јер је оператор само-адјунгован. Даље је закључак исти, да је T = 0. ∎

1.6. Оператор простора са унутрашњим производом назива се нормалан ако комутира са адјунгованим. Другим речима, \( T \in \mathcal{L}(V) \) је нормалан ако TT^† = T^†T. Посебно, сваки ће ермитски (само-адјунговани) оператор бити нормалан, јер је T = T^†.

Да обрнуто не важи, да оператор може бити нормалан N иако није ермитски, видимо из следећег:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}, \]

па је NN^† = N^†N, а није N = N^†.

14. Став. Оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \) је нормалан ако и само ако \( \|Tv\| = \|T^\dagger v\| \) за све \( v \in V \).

Доказ: Из \( T \in \mathcal{L}(V) \) и низа еквиваленција: Ако је T нормалан \( \Leftrightarrow TT^\dagger - T^\dagger T = 0 \Leftrightarrow \)

\[ \Leftrightarrow \ \langle (TT^\dagger - T^\dagger T)v, v \rangle = 0 \ \Leftrightarrow \ \langle TT^\dagger v, v \rangle - \langle T^\dagger T v, v \rangle = 0 \ \Leftrightarrow \ \|Tv\|^2 = \|T^\dagger v\|^2, \]

за свако v ∈ V. ∎

Оператор \( TT^\dagger - T^\dagger T \) је само-адјунгован и то објашњава овај став обзиром на изузетак из претходног. Приметимо да је скуп својствених вредности адјунгованог оператора једнак коњуговано комплексним својственим вредностима оператора, \( \lambda \|v\|^2 = \langle Tv, v\rangle = \langle v, T^\dagger v\rangle = \lambda^*\|v\|^2 \), а даље видимо да нормални и адјунговани оператори имају исте својствене векторе.

15. Став. Ако је T нормалан, онда T и T^† имају исте својствене векторе.

Доказ: Ако је T нормалан, онда је такав и T - λI. Затим је:

\[ 0 = \|(T - \lambda I)v\| = \|(T - \lambda I)^*v\| = \|(T^\dagger - \lambda^* I)v\|. \]

То значи да је v својствени вектор оба оператора, T и T^†. ∎

16. Став. Ако је оператор нормалан, својствени вектори који одговарају различитим његовим својственим вредностима су ортогонални.

Доказ: Нека су α и β различите својстене вредности нормалног оператора T којима припадају својствени вектори u и v. Из Tu = αu и Tv = βv следи T^†v = β^*v , па:

\[ (\alpha - \beta)\langle u, v\rangle = \langle \alpha u, v\rangle - \langle u, \beta^* v\rangle = \langle Tu, v\rangle - \langle u, T^\dagger v\rangle = 0. \]

Због α ≠ β биће u ⊥ v. ∎

Зато што су сви само-адјунговани оператори нормални, овај став важи и за њих, ермитске операторе. Отуда у квантној физици различитим својственим вредностима можемо давати вероватноће налажења различитих, независних обзервабли. Обзервабла је физички мерљива величина, чин интеракције, или комуникације мерног апарата са датим процесом (Мерење), па је и стање, интерпретација вектора.

2. Спектрална теорема

Спектрална теорема је резултат о условима под којима се линеарни оператор или матрица може дијагонализовати (в. Дијагонализација).

17. Пример. Нормални оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \) из претходног примера, у стандардној бази, је матрица

\[ T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \ \rightarrow \ D = \begin{pmatrix} 1 - 2i & 0 \\ 0 & 1 + 2i \end{pmatrix} \]

са својственим вредностима λ_1,2 = 1 ∓ 2i које дијагонализирају ту матрицу у бази својствених вектора x_1,2 = (±i, 1)^⊤. Наиме, Tv = λv, отуда det(T - λI) = 0, па карактеристични полином, квадратна једначина (1 - λ)² + 4 = 0, са решењима наведеним λ_1,2. Затим налазимо и својствене векторе x_1,2. □

2.1. Основни облик „спектралне теореме“ је следећи, у вези са нормалним операторима, таквима који комутирају са себи адјунгованим (коњугованим и транспонованим).

18. Став. У комплексном векторском простору V за оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \) еквивалентне су ставке:

1. T је нормалан;
2. V има ортонормирану базу која се састоји од својствених вектора T;
3. T има дијагоналну матрицу у односу на неку ортонормирану базу V.

Доказ: Ако је (III) тачно, матрица T^† у истој бази је коњуговано транспонована T, па је дијагонална. Те две дијагоналне матрице комутирају, па су нормалне, тј. важи (I).

Ако је (I) тачно, према Шуровој теореми (Ортогоналност, 20. став), постоји ортонормирана база \(e_1, ..., e_n \in V\) у којој T има горњу троугаону матрицу. Ево како се она може дијагонализовати:

\[ \mathcal{M}(T, (e_1,...,e_n)) = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ & \ddots \\ 0 & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}, \] \[ \|Te_j\|^2 = |a_{jj}|^2, \quad \|T^\dagger e_j\|^2 = |a_{j1}|^2 + ... + |a_{jn}|^2. \]

Пошто је T нормалан, \( \|Te_j\| = \|T^\dagger e_j\| \), па идући редом са j = 1, 2, ..., n, налазимо: сви су \(a_{jk}\) нуле осим можда \(a_{jj}\). Отуда је прво (II), па и (III) тачно. ∎

2.2. Нормалан је оператор који комутира са себи адјунгованим, па се према управо доказаном 18. ставу може дијагонализовати. Међутим, симетричне матрице (Basis) такође подпадају под такву спектралну теорему, јер се реална или комплексна матрица A назива „симетричном“ када је она само-адјунгована, када је \( A^\dagger = A\). Тада за све коефицијенте те матрице \( A = (a_{jk})\) важи \( a_{jk} = a_{kj} \). Овакве имају реалне све својствене вредности и ортогоналне припадне својствене векторе и, наравно, могу се дијагонализовати (Spectral theorem). Ево једног типичног доказа за „симетричне“.

19. Став. Све својствене вредности реалне n×n симетричне матрице A су реалне.

Доказ: Нека је λ ∈ ℂ својствена вредност матрице A са одговарајућим својственим вектором v ∈ ℂⁿ. Тада је:

\[ \lambda v^\tau v^* =(Av)^\tau v^* = v^\tau A^\tau v^* = v^\tau (Av^*) = v^\tau(Av)^* = v^\tau(\lambda v)^* = \lambda^* v^\tau v^*. \]

Добили смо \( (Av)^\tau v^* = \lambda^*v^\tau v^* \) из чега следи \(\lambda^* = \lambda \), односно λ ∈ ℝ. ∎

2.3. Матрица једнака себи транспонованој је симетрична (Инваријантни подпростори, 1.4), видели смо. Даље, у реалном простору, посебно за коефицијенте b² < 4c квадратног тринома имамо:

\[ x^2 + bx + c = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4}\right) > 0 . \]

Тада на неки (уврнути) начин можемо рећи да је x² + bx + c инвертибилан број, јер није нула и постоји њему реципрочан. То је начин лакшег разумевања следећег става.

20. Став. Ако је оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \) само-адјунгован и реални бројеви b, c ∈ ℝ су такви да је b² < 4c, тада је оператор T² + bT + cI инвртибилан.

Доказ: Нека је v ∈ V произвољан ненулти вектор. Тада је (неједнакост је Шварцова):

\[ \langle (T^2 + bT + cI)v, v\rangle = \langle T^2v, v\rangle + b\langle Tv, v\rangle + c\langle v, v\rangle = \] \[ = \langle Tv, Tv\rangle + b\langle Tv, v\rangle + c\|v\|^2 \ge \|Tv\|^2 - |b| \|Tv\| \|v\| + c\|v\|^2 = \] \[ = \left(\|Tv\| - \frac12 |b| \|v\|\right)^2 + \left(c - \frac14 b^2\right) \|v\|^2 > 0. \]

Према томе, важи (T² + bT + cI)v ≠ 0, па је посебно оператор T² + bT + cI инјективан и инвертибилан (Инвертибилност, 16. став). ∎

Важи и обрнуто, када је реални трином x² + bx + c > 0 за свако x ∈ ℝ, онда је b² < 4c. Аналогно, када су B = (b_jk) и C = (c_jk) матрице, или оператори, онда имамо оператор, или матрицу A = x²I + Bx + C = (a_jk), где је a_jk = x²δ_jk + xb_jk + c_jk. Тада је \( \langle (x^2I + xB + C)v, v\rangle = (x^2 + x\beta + \gamma)\|v\|^2 \), где је v ∈ V произвољан ненулти вектор, a Bv = βv и Cv = γv. Када β² < 4γ, својствена вредност оператора A = A(x) је позитиван реалан број за свако x ∈ ℝ.

2.4. Знамо да сваки ненулти оператор коначно-димензионалног комплексног векторског простора има својствену вредност (Полином оператора, 8. став). У наставку видимо да то вреди и за реалне просторе са унутрашњим множењем.

21. Став. Само-адјунговани оператори имају сопствене вредности. Ако V ≠ {0} и \( T \in \mathcal{L}(V) \) је ермитски (само-адјунговани) оператор, онда T има својствену вредност.

Доказ: Нека је V реални простор са скаларним множењем и n = dim(V). Ако је ненулти v ∈ V, онда низ вектора v, Tv, T²v, ..., Tⁿv није линеарно независан, јер их има за један више од броја димензија (n + 1). Зато постоји низ реалних бројева a₀, a₁, ..., a_n који нису сви нуле, такав да је 0 = a₀v + a₁Tv, ..., a_nTⁿv.

Ове можемо заменити полиномима:

\[ a_0 + a_1x + ... + a_nx^n = c(x^2 + b_1x + c_1)...(x^2 + b_{m'} x + c_{m'})(x - \lambda_1)...(x - \lambda_m), \]

где растав на факторе почиње са c ≠ 0 и има само реалне коефицијенте b_k и c_k. Према 20. ставу, тада је сваки \( T^2 + b_kT + c_k \) инвертибилан, па та полиномска једнакост даје \( 0 = (T - \lambda_1 I)...(T - \lambda_m I)v \), где је m > 0. Дакле, V има својствену вредност. ∎

2.5. Када је U подпростор V инваријантан под ермитским (само-адјунгованим) оператором T, тада је и U^⊥ инваријантан под T. То доказујемо следеће, а потом ћемо видети да се јача ермитска претпоставка може заменити слабијом да је T нормалан.

22. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \) само-адјунгован и U је подпростор V који је инваријантан под T, тада је:

1. U^⊥ je инваријантан под T;
2. \( T|_U \in \mathcal{L}(U) \) је само-адјунгован;
3. \( T|_{U^\perp} \in \mathcal{L}(U^\perp) \) је само-адјунгован.

Доказ: За (1) претпоставимо \( v \in U^\perp \) и нека је \( u \in U \). Тада је \( \langle Tv, u \rangle = \langle v, Tu\rangle = 0 \). Дакле, \( Tv \in U^\perp \), па је U^⊥ инваријантан под T, чиме је доказано (1).

За (2), из u, v ∈ U следи:

\[ \langle (T|_U)u, v\rangle = \langle Tu, v\rangle = \langle u, Tv\rangle = \langle u, (T|_U)v\rangle, \]

па је \( T|_U \) само-адјунгован.

Сада (3) следи из замене U са U^⊥ у (2), што има смисла због (1). ∎

Коначно можемо доказати и следеће, једно од главних тврђења линеарне алгебре. То је спектрална теорема реалних простора.

23. Став. Ако је F = ℝ и \( T \in \mathcal{L}(V) \), тада су следеће ставке еквивалентне:

1. T је само-адјунгован,
2. V има ортонормирану базу својствених вектора T,
3. T има дијагоналну матрицу обзиром на неку ортонормирану базу V.

Доказ: Нека је (c) тачно. Та дијагонална матрица једнака је својој транспонованој, T = T^*, па важи (a).

Да из (a) следи (b) доказаћемо индукцијом по dim V. У првом кораку, када dim V = 1, очигледно из (a) следи (b). Сада претпоставимо да dim V > 1 и да тврђење, из (a) следи (b), важи за све мање димензије. Нека је u својствени вектор T са \( \|u\| = 1 \) и нека је U = span(u). Тада је U 1-дим подпростор V који је инваријантан под T. Према претходном ставу, оператор \( T|_{U^\perp} \in \mathcal{L}(U^\perp) \) је само-адјунгован.

Према претпоставци индукције, постоји ортонормирана база U^⊥ која се састоји од својствених вектора \( T|_{U^\perp} \). Придружујући u тој ортонормираној бази добијамо ортонормирану базу V која се састоји од својствених вектора T, чиме је завршен доказ да из (a) следи (b).

Доказали смо да (c) повлачи (a), те да (a) повлачи (b), а даље је јасно да (b) повлачи (c). Тиме је доказ завршен. ∎

2.6. Ево једног поучног и лакшег примера (Example of Spectral Theorem) који повезује пуно претходно реченог. Погледајте и сличан са стохастичком матрицом (Спектрална теорема). За сада имамо реалну симетричну реалну матрицу A, са нулама на дијагонали и јединицама осталим елементима

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

Према 19. ставу, све својствене вредности реалне 3×3 симетричне матрице A су реалне. И заиста, то налазимо, из det(A - λI) = 0 следи -λ³ + 3λ + 2 = 0, па нагађамо (Безуовим ставом) или факторишемо полином -(λ - 2)(λ + 1)² = 0. Својствене вредности ове матрице су λ₁ = 2 и λ₂ = λ₃ = -1. Израчунавамо редом припадне својствене векторе (из Av = λv):

\[ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}. \]

Први је ортогоналан на други и трећи (v₁ ⊥ v₂ и v₁ ⊥ v₃ ), јер долазе уз различите својствене вредности (λ₁ ≠ λ₂ и λ₁ ≠ λ₃). Други и трећи нису међусобно ортогонални, јер иду из дуплих својствених вредности, али према 23. ставу постоји ортонормирана база за A.

Зато користимо Грам-Шмитов поступак за налажење трећег ортогоналног вектора:

\[ w_3 = v_3 - \frac{\langle v_3, v_2\rangle}{\langle v_2, v_2\rangle} v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac12 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac12 \\ -1 \\ \frac12 \end{pmatrix}. \]

Сада када вектори v₁, v₂ и w₃ чине ортогоналну базу ортонормирамо је, e_k = v_k/∥v_k∥, и налазимо:

\[ e_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}, \quad e_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}, \quad e_3 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}. \]

Даље, извршимо дијагонализацију матрице A помоћу матрице \( P = A[e_1, e_2, e_3] \), такве да је AP = PD, тј. P^-1AP = D, коју чине колоне ортонормираних вектора. Овако придруженој матрици P инверзна је једнака транспонованој, P^-1 = P^⊤, што је урачунато:

\[ D = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \]

Добијамо дијагоналну матрицу D редом својствених вредности матрице A, иако одгоравајући својствени вектори нису сви ортогонални, па њима придружена матрица \(P = A[v_1, v_2, v_2]\) и њој инверзна \(P^{-1}\) гласе:

\[ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 & \frac13 \\ \frac13 & \frac13 & -\frac23 \\ \frac13 & -\frac23 & \frac13 \end{pmatrix}. \]

Видљиво је да овој (P) инверзна и транспонована нису једнаке (P^-1 ≠ P^⊤). Међутим, ипак је D = P^-1AP. Mатрица A има дијагоналну матрицу D акко је помоћна матрица P инвертибилна.

24. Пример. Дата је стохастичка матрица S која има инверзну

\[ S = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 7 & 0 & 5 \\ 3 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 5 \end{pmatrix}, \quad S^{-1} = \frac{1}{27}\begin{pmatrix} 30 & 20 & -30 \\ 15 & 35 & 15 \\ 12 & -28 & 42 \end{pmatrix}, \]

јер је det S = 0,27. Она је у простору V над телом реалних бројева ℝ, али није само-адјунгована, није симетрична. Проверите да, доследно 23. ставу, матрица нема у свом простору ортонормирану базу својствених вектора, нити дијагоналну матрицу у некој ортонормираној бази тог простора.

Решење: Својствене вредности матрице S и припадни својствени вектори (i² = -1) су:

\[ \sigma_1 = 1 \quad \sigma_{2,3} = 0,4 \pm 0,331662i \] \[ x_1 = \begin{pmatrix} -0,721218 \\ -0,540914 \\ -0,432731 \end{pmatrix} \quad x_{2,3} = \begin{pmatrix} 0,645497 \\ -0,258199 \mp 0,428174i \\ -0,387298 \pm 0,428174i \end{pmatrix} \]

где горњи предзнаци бројева иде са горњима, а доњи са доњима. Добили смо векторе изван простора матрице S. □

2.7. Очигледно је да својствени вектори матрице S горњег примера нису ортогонални, али разапињу 3-дим простор. Ми можемо формирати помоћну матрицу P (као 2.6) са њима у колонама (det P = 0,27) чија инверзна P^-1 није једнака транспонованој P^⊤ (јер ова S није симетрична):

\[ P = \begin{pmatrix} -0,721218 & 0,645497 & 0.645497 \\ -0,540914 & -0,258199 - 0,428174i & -0,258199 + 0,428174i \\ -0,432731 & -0,387298 + 0,428174i & -0,387298 - 0,428174i \end{pmatrix} \] \[ P^{-1} = \begin{pmatrix} -0,590018 & -0,590018 & -0,590018 \\ 0,444981 - 0,104352i & -0,329616 + 0,596297i & -0,329616 - 0,571452i \\ 0,444981 + 0,104352i & -0,329616 - 0,596297i & -0,329616 + 0,571452i \end{pmatrix}. \]

Па ипак је D = P^-1SP = S[x₁, x₂, x₃] дијагонална матрица S у бази њених својствених вектора:

\[ D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,4 + 0,331662i & 0 \\ 0 & 0 & 0,4 - 0,331662i \end{pmatrix}. \]

У другој и трећој колони су коњуговано комплексни бројеви z и z^* модула |z|≈ 0,52. Степеновањем њих, zⁿ → 0, када n → ∞. Проверите да већ са n > 22, broj |z|ⁿ у првих шест децимала има нуле. Према томе, дијагонална матрица Dⁿ → 0, када n → ∞, па онда и Sⁿ → 0, када n → ∞, јер је:

\[ S^2 = (PDP^{-1})(PDP^{-1}) = PD(P^{-1}P)DP^{-1} = PD^2P^{-1}, \] \[ S^n = (PD^{n-1}P^{-1})(PDP^{-1}) = PD^{n-1}(P^{-1}P)DP^{-1} = PD^nP^{-1}, \] \[ S^n \to P\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1} = \] \[ = \begin{pmatrix} -0,721 & 0,645 & 0.645 \\ -0,541 & -0,258 - 0,428i & -0,258 + 0,428i \\ -0,432 & -0,387 + 0,428i & -0,387 - 0,428i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -0,590 & -0,590 & -0,590 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 0,425532 & 0,425532 & 0,425532 \\ 0,319149 & 0,319149 & 0,319149 \\ 0,255319 & 0,255319 & 0,255319 \end{pmatrix} = B. \]

Гранична матрица Sⁿ → B такође је стохастичка, али је „црна кутија“. На основу излаза \(\vec{y} = B\vec{x}\) не можемо сазнати улаз \(\vec{x}\), јер B није инвертибилна (det B = 0).

2.8. Ово је потврда „ергодичке теореме“, али такође и нека допуна за ситуације које њене претпоставке не обухватају. Пре свега ту мислим на нуле у свакој колони (ретку) матрице S због чега њоме узастопни пренос информације, Марковљевим ланцем, није чисто ергодички (нема свих врста грешака преноса).

25. Пример. Користећи претходно покажимо да је збир својствених вредности ермитске матрице A трећег реда једнак збиру њених дијагоналних елемената.

Решење: Полазимо од облика A = PDP^⊤, где су тада колоне матрице P својствени вектори матрице A, редом x = (ξ₁, ξ₂, ξ₃), па y = (η₁, η₂, η₃) и z = (ζ₁, ζ₂, ζ₃), са припадним својственим вредностима λ_x, λ_y и λ_z.

Формирамо \( A = PDP^\tau \), затим израчунавамо:

\[ A = \begin{pmatrix} \xi_1 & \eta_1 & \zeta_1 \\ \xi_2 & \eta_2 & \zeta_2 \\ \xi_3 & \eta_3 & \zeta_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_x & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_y & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 \\ \eta_1 & \eta_2 & \eta_3 \\ \zeta_1 & \zeta_2 & \zeta_3 \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} \xi_1 & \eta_1 & \zeta_1 \\ \xi_2 & \eta_2 & \zeta_2 \\ \xi_3 & \eta_3 & \zeta_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_x\xi_1 & \lambda_x\xi_2 & \lambda_x\xi_3 \\ \lambda_y\eta_1 & \lambda_y\eta_2 & \lambda_y\eta_3 \\ \lambda_z\zeta_1 & \lambda_z\zeta_2 & \lambda_z\zeta_3 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} \lambda_x\xi_1^2 + \lambda_y\eta_1^2 + \lambda_z\zeta_1^2 & \lambda_x\xi_1\xi_2 + \lambda_y\eta_1\eta_2 + \lambda_z\zeta_1\zeta_2 & \lambda_x\xi_1\xi_3 + \lambda_y\eta_1\eta_3 + \lambda_z\zeta_1\zeta_3 \\ \lambda_x\xi_1\xi_2 + \lambda_y\eta_1\eta_2 + \lambda_z\zeta_1\zeta_2 & \lambda_x\xi_2^2 + \lambda_y\eta_2^2 + \lambda_z\zeta_2^2 & \lambda_x\xi_2\xi_3 + \lambda_y\eta_2\eta_3 + \lambda_z\zeta_2\zeta_3 \\ \lambda_x\xi_1\xi_3 + \lambda_y\eta_1\eta_3 + \lambda_z\zeta_1\zeta_3 & \lambda_x\xi_2\xi_3 + \lambda_y\eta_2\eta_3 + \lambda_z\zeta_2\zeta_3 & \lambda_x\xi_3^2 + \lambda_y\eta_3^2 + \lambda_z\zeta_3^2 \end{pmatrix}. \]

Међутим, квадрати збирова коефицијената својствених вектора x, y и z су јединице, па збир три дијагонална елемента матрице A износи \( \lambda_x + \lambda_y + \lambda_z \). □

Овај се поступак даље лако поопштава на само-адјунговане, укључујући и дупле стохастичке, матрице произвољног реда. Збир својствених вредности таквих једнак је збиру дијагоналних елемената почетне матрице, а згода методе је у лакшем разумевању самог тока дијагонализације. Али, ако матрица A није само-адјунгована (нити је дупла стохастичка), неће бити \( P^{-1} = P^\tau \) па метода не важи, иако је резултат сам по себи тачан за све квадратне матрице.

26. Став. Збир својствених вредности квадратне матрице A једнак је збиру елемената њене главне дијагонале.

Доказ: Нека је A квадратна матрицаца реда n. Њена карактеристична једначина је:

\[ |A - \lambda I| = 0, \] \[ \lambda^n - p_1 \lambda^{n-1} + p_2 \lambda^{n-2} + ... + (-1)^n p_n = 0, \]

где је \( p_1 = \lambda_1 + \lambda_2 + ... + \lambda_n \), према Виетеовим формулама. ∎

27. Пример. Само-адјунговани оператор T на ℝ³ у стандардној бази има матрицу

\[ А = \begin{pmatrix} 14 & -13 & 8 \\ -13 & 14 & 8 \\ 8 & 8 & -7 \end{pmatrix}. \]

Својствене вредности су λ_x = 27, λ_y = 9 и λ_z = -15, а припадни својствени вектори су \( x = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1, 0) \), \( y = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1) \) и \( z = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, 1, -2) \). Даље, користећи претходни, 25. пример,непосредно пишемо:

\[ P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 27 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & -15 \end{pmatrix}. \]

То су помоћна и дијагонална матрица. □

3. Позитивни оператори

3.1. Оператор \(T \in \mathcal{L}(V) \) назива се позитиван и пише T ≥ 0, ако је само-адјунгован (T = T^†) и ⟨Tv, v⟩ ≥ 0 за све v ∈ V.

Позитивни оператори представници су усмерених процеса, који стања развијају у позитивна, не враћајући их назад. Они су део спонтаног тока чешћег дешавања вероватнијих исхода, односно терања ка мање информативним ситуацијама.

Према 12. ставу, у комплексном векторском простору са унутрашњим производом, из ⟨Tv, v⟩ ∈ ℝ за свако v ∈ V следи да је оператор T само-адјунгован (ермитски) и обрнуто. Тада захтев да је оператор само-адјунгован није неопходан. Пример позитивног оператора је ортогонална пројекција P_U, ако је U подпростор од V. Став 20. је још један пример позитивног оператора. Како је T^†T ≥ 0 за ермитске операторе, тако важи и ⟨T^†Tv, v⟩ = ⟨Tv, Tv⟩ ≥ 0.

28. Пример. Посматрајмо оператор \( Т \in \mathcal{L}(V) \) над комплексним телом F = ℂ са матрицом \( A = \mathcal{M}(T) \) и произвољан вектор z ∈ ℂ, у скаларном производу:

\[ \langle Az, z\rangle = \langle \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta_1 \\ \zeta_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \zeta_1 \\ \zeta_2 \end{pmatrix} \rangle = \langle \begin{pmatrix} \zeta_1 + i\zeta_2 \\ \zeta_2 - i\zeta_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \zeta_1 \\ \zeta_2 \end{pmatrix} \rangle = \] \[ = \zeta_1\zeta_1^* + i\zeta_2\zeta_1^* + \zeta_2\zeta_2^* - i\zeta_1\zeta_2^* = \|\zeta_1\|^2 + \|\zeta_2\|^2 - 2\Im(\zeta_2\zeta_1^*) \] \[ = [\Re (\zeta_1) + \Im (\zeta_2)]^2 + [\Re (\zeta_2) - \Im (\zeta_1)]^2 \ge 0. \]

Оператор је позитиван. Има својствене вредности λ₁ = 2 и λ₂ = 0, од којих је само првој „прави“ својствени вектор v₁ = (i, 1), док за други можемо узети v₂ = (0, 0), да би „објаснили“ на чему је дијагонална матрица овог оператора

\[ D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

Њу је лако израчунати, штавише и предвидети без помоћи компјутера (Кодови, 1.2). □

3.2. Оператор R се назива квадратним кореном (енг. square root) оператора T ако је R² = T.

На пример, ако је T(z₁, z₂, z₃) = (z₃, 0, 0), онда је R = (z₁, z₂, 0) квадратни корен T. Оба су оператори над F³. Други пример, свака од Паулијевих матрица (Spin II) је квадратни корен јединичне (σ² = I). Трећи пример, кватерниони (Quaternions) су квадратни корени имагинарне јединичне матрице (q³ = iI). Код Паулевих матрице биће ⟨σx, x⟩ ∈ ℝ, па је код кватерниона ⟨qx, x⟩ ∈ iℝ.

Следећи став одражава даље сличности оператора са обичном бројевима. Тако ненегативан (краткоће ради називамо га позитиван) оператор одговара реалним бројевима од нуле до бесконачно [0, ∞). Или, комплексан је број ненегативан (z ∈ ℂ) ако и само ако има ненегативан квадратни корен, односно ако одговара услову (3) става. Ненегативан је (z), такође, акко има реалан квадратни корен, а то одговара услову (4). Опет, z је ненегативан само када постоји комплексан број w ∈ ℂ такав да је z = ww^*, што одговара услову (5).

29. Став. Када је \( T \in \mathcal{L}(V) \), тада су следеће тврдње еквивалентне:

1. T је позитиван;
2. T је само-адјунгован и све својствене вредности су му ненегативне;
3. T има позитиван квадратни корен;
4. T има само-адјунгован квадратни корен;
5. постоји оператор \( R \in \mathcal{L}(V) \) такав да је \( T = R^\dagger R \).

Доказ: Идемо редоследом (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (5) ⇒ (1). Ако је (1) тачно, по дефиницији позитивног оператора T је само-адјунгован. Нека је λ својствена вредност, а v припадни својствени вектор T, па је:

\[ 0 \le \langle Tv, v\rangle = \langle \lambda v, v\rangle = \lambda \langle v, v \rangle. \]

Према томе, λ је ненегативан број и (2) је тачно.

Ако је (2) тачно, по спектралној теореми (18. и 23. став) постоји ортонормална база \( e_1, ..., e_n \in V\) својствених вектора T. Нека су \( \lambda_1, ..., \lambda_n\) својствене вредности које им одговарају, све поједине су ненегативне. Нека је R : V → V линеарно пресликавање такво да је \( R = \sqrt{\lambda_k} e_k \) за свако k = 1, ..., n. Дакле, R је позитиван квадратни оператор. Штавише, R²e_k = λe_k = Te_k, одакле R² = T и (3) важи.

По дефиницији из (3) следи (4), јер је сваки позитиван оператор само-адјунгован.

Ако (4) важи и \( R \in \mathcal{L}(V) \) је такво да \( T = R^\dagger R \), тада T^† = (R^†R)^† = R^†(R^†)^† = R^†R = T. То значи да је T само-адјунгован. Да комплетирамо, да је (1) тачно, видимо да је \( \langle Tv, v\rangle = \langle R^\dagger Rv, v\rangle = \langle Rv, Rv\rangle \ge 0 \), за свако v ∈ V. Отуда, T је позитиван. ∎

Позитиван оператор може имати бесконачно много квадратних корена, али не више од једног од њих који је позитиван. То утврђује следећи став. Једноставан пример је идентички оператор на V који има бесконачно много квадратних корена ако је dim V > 1. Ненегативан број има јединствени ненегативни квадратни корен, а он је други једноставан пример оператора (множење бројем).

30. Став. Сваки позитиван оператор на V има јединствен позитиван квадратни корен.

Доказ: Претпоставимо да је \( T \in \mathcal{L}(V) \) позитиван. Нека је v ∈ V својствени вектор T. Тада постоји λ ≥ 0 такво да је Tv = λv.

Нека је R позитиван квадратни корен T. Доказаћемо да је \( Rv = \sqrt{\lambda}v \), што понашање R на својствени вектор оператора T јединствено одређује. Пошто постоји база у V која се састоји од сопствених вектора T (по спектралној теореми), то ће имплицирати да је R јединствено одређен.

Спектрална теорема утврђује да постоји ортонормална база \( e_1, ..., e_n \in V \) својствених вектора од R. Како је R позитиван оператор, све су му својствене вредности ненегативне. Тако, постоје ненегативни бројеви λ₁, ..., λ_n за које је \( Re_k = \lambda_k e_k \) за све k = 1, ..., n.

Због ових базних вектора можемо писати \( v = a_1 e_1 + ... + a_n e_n \), за неке скаларе \( a_1, ..., a_n \in F\). Тако је:

\[ Rv = a_1 \sqrt{\lambda_1} e_1 + ... + a_n \sqrt{\lambda_n} e_n \] \[ R^2 v = a_1 \lambda_1 e_1 + ... + a_n \lambda_n e_n. \]

Ово због R² = T и Tv = λv и независности вектора постаје:

\[ a_1\lambda e_1 + ... + a_n \lambda e_n = a_1 \lambda_1 e_1 + ... + a_n \lambda_n e_n \] \[ a_1(\lambda - \lambda_1)e_1 + ... + a_n(\lambda - \lambda_n)e_n = 0 \] \[ \lambda - \lambda_1 = ... = \lambda - \lambda_n = 0 \] \[ v = \sum_{k : \lambda_k = \lambda} a_ke_k \] \[ Rv = \sum_{k : \lambda_k = \lambda} a_k \sqrt{\lambda}e_k = \sqrt{\lambda}v \]

што је требало доказати. ∎

Приметне аналогије са конкретнијим векторима (орјентисаним дужима и бројевима) упућују нас на интерпретацију позитивних оператора као истосмерних процеса, уколико не и сасвим истог правца.

3.3. Оператор S називамо изометријом ако је ∥Sv∥ = ∥v∥, за свако v ∈ V. Другим речима, оператор је изометрија ако чува норме.

Грчка реч ἴσος значи једнак; грчка реч μέτρον значи мера. Према томе, изометрија буквално значи једнака мера. Није зато необично ту реч користити у геометрији, јер изометријске трансформације геометрије (транслације, симетрије, ротације) интерпретиране као оператори све су изометије.

Због дефиниције норме у смислу унутрашњег производа и дефиниције адјунгованих (придружених) оператора, изометрија је еквивалентна ⟨S^†Sv, v⟩ = ⟨v, v⟩, за све v ∈ V. Ово имплицира да је S^†S = I. То значи и обрнуто, ако је S^†S = I, онда је S изометрија.

У коначно-димензионалним просторима, постоји јасно изједначавање изометрија и унитарности у смислу њихових матричних репрезентација. Tада је U^†U = I, што значи да су колоне (у матричним репрезентацијама) унитарног оператора ортонормиране, док UU^† = I повлачи да су ортонормиране врсте, редови. Код унитарног U је матрица са ортонормалним колонама (еквивалентно, врстама) са базним векторима. Изометрија, с друге стране, тражи само ортонормираност колона, али не да они чине базу.

31. Пример. Нека су λ₁, ..., λ_n скалари са апсолутном вредношћу 1 и \( S \in \mathcal{L}(V) \) где је \( Se_k = \lambda_k e_k \) за неку ортонормирану базу \(e_1, ..., e_n \in V \). Доказати да је S изометрија.

Доказ: Нека је v ∈ V и \( v = \langle v, e_1\rangle e_1 + ... + \langle v, e_n\rangle e_n \) са нормом \( \|v\|^2 = |\langle v, e_1\rangle |^2 + ... + |\langle v, e_n\rangle |^2 \). Примењујући S на обе стране налазимо:

\[ Sv = \langle v, e_1\rangle Se_1 + ... + \langle v, e_n\rangle Se_n = \lambda_1\langle v, e_1\rangle e_1 + ... + \lambda_n \langle v, e_n\rangle e_n. \]

Даље, због |λ_n| = 1, имамо

\[ \|Sv\| = \|\langle v, e_1\rangle \|^2 + ... + \langle v, e_n\rangle \|^2 \]

што, упоређено са претходним, даје \( \|Sv\|^2 = \|v\|^2 \), да је S изометрија. ∎

Изометрија на реалном простору унутрашњих производа често се назива ортогоналним оператором, а она на сложеном таквом простору често се замењује унитарним оператором. Овде једноставно кажемо изометрија обухватајући како реалне тако и сложене просторе унутрашњих производа.

Следећи став утврђује неколико услова који једнако значе изометрију. Еквиваленција (1) и (2) показује да је оператор изометрија ако и само ако чува унутрашње производе. Еквивалентност (1) и (3) [или (4)] показује да је оператор изометрија ако и само ако је листа (вектора) колона његове матрице у односу на сваку (или неку) базу ортонормална. Може се показати да у том исказу „колону“ можемо заменити „врстом“.

32. Став. Ако је \( S \in \mathcal{L}(V) \), тада су следећи искази еквивалентни:

1. S је изометрија;
2. \( \langle Su, Sv \rangle = \langle u, v\rangle \), за све \(u, v \in V \);
3. \( Se_1, ..., Se_n \) је ортонормална листа за све ортонормалне векторе \( e_1, ..., e_n \in V\);
4. постоји ортонормална база \( e_1, ..., e_n \in V\) таква да је \( Se_1, ..., Se_n \) ортонормална;
5. \( S^\dagger S = I \);
6. \( SS^\dagger = I \);
7. \( S^\dagger \) је изометрија;
8. S је инвертибилно и S^-1 = S^†.

Доказ: Ако је (1) тачно, како унутрашњи производ може бити изведен из норме, а S чува норму, то S чува унутрашњи производ, па је тачно (2). Прецизније, ако је V простор са унутрашњим производом, онда за све u, v ∈ V важи:

\[ \langle Su, Sv \rangle = (\|Su + Sv\|^2 - \|Su - Sv\|^2)/4 = (\|S(u+v)\|^4 - \|S(u-v)\|^2)/4 = \] \[ = (\|u + v\|^2 - \|u - v\|^2)/4 = \langle u, v \rangle, \]

па је (2) тачно.

Ако је (2) тачно и \( e_1, ..., e_n \in V\) је ортонормирана база, тада је \( Se_1, ..., Se_n \) ортонормирана листа, јер је \( \langle Se_j, Se_k\rangle = \langle e_j, e_k\rangle \), па (3) важи. Јасно је да из (3) следи (4).

Нека (4) важи. Ако је \( e_1, ..., e_n \in V\) ортонормирана база таква да је \( Se_1, ..., Se_n \) ортонормирана, онда је \( \langle S^\dagger S e_j, e_k\rangle = \langle e_j, e_k \rangle \) за j, k = 1, 2, ..., n. Сви вектори u, v могу се писати као линеарне комбинације e_k и тако горња једнакост имплицира \( \langle S^\dagger S u, v\rangle = \langle u, v \rangle \). Отуда \( S^\dagger S = I \), па (5) важи.

Сада претпоставимо да (5) важи, да је \( S^\dagger S = I \). Лако је показати да је у коначно димензионалним просторима ST = I акко TS = I, па је \( SS^\dagger = I \) и важи (6).

Ако (6) важи, тада:

\[ \|S^\dagger v\|^2 = \langle S^\dagger, S^\dagger v\rangle = \langle SS^\dagger v, v\rangle = \langle v, v\rangle = \|v\|^2 \]

па је и S^†, и (7) важи.

Нека (7) важи. Знамо да из (1) следи (5) и (6), па када S заменимо са S^† закључујемо да је \( SS^\dagger = I \) и \( S^\dagger S = I \), па је S инвертибилан оператор и важи (8). Даље, ако важи (8), S је инвертибилно и S^-1 = S^†, тада је \( S^\dagger S = I \). Тада је:

\[ \|Sv\|^2 = \langle Sv, Sv\rangle = \langle S^\dagger Sv, v \rangle = \langle v, v\rangle = \|v\|^2 \]

па (1) важи. Тиме је доказано свих осам еквиваленција. ∎

Овај став утврђује да су оператори изометрије нормални (1.6.) и да се особине нормалних оператора могу свести на опис изометрија. Погледајмо на крају још један опис изометрија, када је тело F = ℂ, скуп комплексних бројева.

33. Став. Када је V комплексан простор са унутрашњим производом и оператором \( S \in \mathcal{L}(V) \), онда су следећа два тврђења еквивалентна:

1. S је изометрија;
2. постоји ортонормална база у V од својствених вектора S чије све припадне својствене вредности имају апсолутну вредност 1.

Доказ: Импликацију (2) ⇒ (1) већ смо доказали 31. примером, па докажимо и супротно. Нека (1) важи. Према комплексној спектралној теореми (18. став), постоји ортонормална база e₁, ..., e_n у V која се састоји од својствених вектора S. За k ∈ {1, 2, ..., n}, нека λ_k буде својствена вредност која одговара e_k:

\[ |\lambda_k| = \|\lambda_k e_k\| = \| Se_k \| = \|e_k\| = 1. \]

Дакле, свака својствена вредност од S има апсолутну вредност 1, чиме је доказ комплетиран. ∎

Развој стања по начелу штедљивости информације није изометрија, већ би најпре била врста контракције.

Следећи пример помаже да приметимо како стохастичке матрице не спадају у изометрије, осим ако су јединичне, идентичка пресликавања. Међутим, када су то јединичне матрице, оне у правом смислу и нису стохастичке. Затим приметимо да оне увек имају једну својствену вредност 1, као да су „замало изометрије“. То има важне последице за „теорију информације“.

34. Пример. За стохастичку матрицу M другог реда важи:

\[ \begin{pmatrix} a & 1 - b \\ 1 - a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix}, \]

где је \( a, b \in (0, 1)\). Две су својствене вредности и два одговарајућа својствена вектора:

\[ \lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = -1 + a + b, \] \[ x_1 = \begin{pmatrix} 1 - b \\ 1 - a \end{pmatrix}, \quad x_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}. \]

То је лако проверити непосредним множењем. Спектрална теорема даје матрицу \( P = P[x_1, x_2]\) и дијагоналну матрицу D, тако да је:

\[ M = P D P^{-1}, \] \[ \begin{pmatrix} a & 1 - b \\ 1 - a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - b & 1 \\ 1 - a & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 + a + b \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{-2 + a + b} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 + a & 1 - b \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 1 - b & -1 + a + b \\ 1 - a & 1 - a - b \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{-2 + a + b} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 + a & 1 - b \end{pmatrix} \] \[ = \frac{1}{-2 + a + b}\begin{pmatrix} a(-2 + a + b) & (1 - b)(-2 + a + b) \\ (1 - a)(-2 + a + b) & b(-2 + a + b) \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} a & 1 - b \\ 1 - a & b \end{pmatrix}, \]

што је такође лако проверити. □

Информација која се преноси каналом, генерисаним матрицом M, дегенерише ка својственом вектору такве матрице. Када експонент n расте, ланац преноса Mⁿ тежи ка „црној кутији“ и дезинформацијом, засићењем канала, чува се укупна информација — на уштрб излазне поруке. Али, Шенонова, просечна информација, није формула која подржава закон одржања информације (она је мера разређивања), па доказ горње изјаве треба тражити другим начином (в. Физичка Информација).

4. Поларна декомпозиција

У аналогији између комплексних бројева \( \mathbb{C} \) и линеарних оператора \( \mathcal{L}(V) \) комплексан број z одговара оператору T, коњуговани z^* одговара адјунгованом T^†, реалан број (z = z^*) одговара само-адјунгованом (T = T^†), а ненегативни бројеви одговарају (непрецизно називаним) позитивним операторима.

Јединична кружница у ℂ одговара изометрији. Наиме, како је T^†T = I еквивалентно са T је изометрија, тако је услов z^*z = 1, односно |z| = 1, еквивалент припадања комплексног броја z кружници. У наставку ове аналогије, приметимо да се сваки ненулти комплексан број може писати у облику

\[ z = \left(\frac{z}{|z|}\right)|z| = \left(\frac{z}{|z|}\right)\sqrt{z^*z}, \]

где први фактор, z/|z|, припада кружници. Према томе, очекујемо да сваки оператор \(T \in \mathcal{L}(V)\) може бити писан као производ неке изометрије и \(\sqrt{T^\dagger T} \). Овоме у прилог иде 30. став, да сваки позитиван оператор на V има јединствен позитиван квадратни корен.

4.1. Ако је T позитиван оператор, онда је \(\sqrt{T}\) јединствен позитиван корен тог оператора. Сада можемо установити поларну декомпозицију, један сјајан опис произвољног оператора на V. Приметимо уз то да је T^†T позитиван оператор за сваки \( T \in \mathcal{L}(V) \) и да је \(\sqrt{T}\) добро дефинисан.

35. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \), онда постоји изометрија \( S \in \mathcal{L}(V) \) таква да је \( T = S\sqrt{T^\dagger T} \).

Доказ: Ако је v ∈ V, биће:

\[ \|Tv\|^2 = \langle Tv, Tv\rangle = \langle T^\dagger Tv, v\rangle = \langle \sqrt{T^\dagger T}\sqrt{T^\dagger T}v, v\rangle = \langle \sqrt{T^\dagger T} v, \sqrt{T^\dagger T} v\rangle = \|\sqrt{T^\dagger T} v\|^2. \]

Тако је \( \|Tv\| = \|\sqrt{T^\dagger T} v\| \) за све v ∈ V.

Дефинишимо линеарно пресликавање \(S_1 : \text{range}\sqrt{T^\dagger T} \to \text{range}T \), са кодомена на кодомен, такво да је \(S_1(\sqrt{T^\dagger T}v) = Tv \), са идејом да се оно прошири на изометрију \(S \in \mathcal{L}(V)\) такву да је \(T = S(\sqrt{T^\dagger T})\).

Прво проверавамо да је S₁ добро дефинисано. Ради тога, претпоставимо да су v₁, v₂ ∈ V такви да је \(\sqrt{T^\dagger T}v_1 = \sqrt{T^\dagger T}v_2 \) и покажимо да је \(Tv_1 = Tv_2\). Наиме:

\[ \|Tv_1 - Tv_2\| = \|T(v_1 - v_2)\| = \|\sqrt{T^\dagger T}(v_1 - v_2)\| = \|\sqrt{T^\dagger T}v_1 - \sqrt{T^\dagger T}v_2\| = 0. \]

Ова друга једнакост је последица претходно доказане. Коначно оне дају \( Tv_1 = Tv_2 \), што значи да је S₁ добро дефинисано. Лако је показати да је оно и линеарно пресликавање.

Видели смо да S₁ пресликава кодомен \( \sqrt{T^\dagger T} \) на кодомен T. Из тога следи \( \|S_1 u \| = \|u\| \) за све u из кодомена \( \sqrt{T^\dagger T} \). Остатак доказа проширује S₁ на изометрију S на целом V.

Пресликавање S₁ је инјекција. Фундаментална теорема линеарних пресликавања (Домени, 5. став) на S₁ даје \( \dim \text{range} \sqrt{T^\dagger T} = \dim \text{range} T \). Према томе, \(\dim(\text{range}\sqrt{T^\dagger T})^\perp = \dim(\text{range}T)^\perp \) (Комплемент, 26. пример), а отуда се могу бирати ортонормиране базе (e_k) и (f_k) истих дужина (m), два кодомена једнакости. Затим дефинишемо ново линеарно пресликавање S₂ : (range\(\sqrt{T^\dagger T}\))^⊥ → (range T)^⊥ са

\[ S_2(a_1e_1 + ... + a_me_m) = a_1f_1 + ... + a_mf_m. \]

За све w ∈ (range \( \sqrt{T^\dagger T} \))^⊥ биће ∥S₂w∥ = ∥w∥ (Ортогоналност, 10. пример).

Сада узмимо оператор S на V који је једнак S₁ на кодомену \( \sqrt{T^\dagger T} \) и једнак S₂ на (range \( \sqrt{T^\dagger T} \))^⊥. Тачније, сетимо се да сваки v ∈ V може бити писан у облику v = u + w, где u ∈ range \(\sqrt{T^\dagger T}\), у кодомену, а w ∈ (range \(\sqrt{T^\dagger T}\))^⊥ (Комплемент, 25. став). За v ∈ V по поменутој декомпозицији Sv = S₁u + S₂w. За сваки v ∈ V биће \( S(\sqrt{T^\dagger T}v) = S_1(\sqrt{T^\dagger T}v) = Tv\), па је \(T = S\sqrt{T^\dagger T}\), као што је тражено.

Преостаје да докажемо да је S изометрија, што лако следи из Питагорине теореме, из декомпозиције:

\[ \|Sv\|^2 = \|S_1u + S_2w\|^2 = \|S_1u\|^2 + \|S_2w\|^2 = \|u\|^2 + \|w\|^2 = \|v\|^2. \]

Друга једнакост је тачна због кодомена: S₁u ∈ range T и S₂w ∈ (range T)^⊥. ∎

Поларна декомпозиција овим утврђује да се сваки оператор на V је производ изометрије и позитивног оператора. Овде је постигнуће да сваки оператор на V можемо написати као производ два оператора из класа које можемо у потпуности описати и које боље разумемо. Својствене вредности оператора говоре нам још нешто о понашању оператора, а ту можемо додати колекцију бројева која се зове сингуларне вредности. Подсетимо се (Дијагонализација) да са E(λ, T) означавамо својствени простор (eigenspace) свих својствених вектора оператора T којима припада својствена вредност λ заједно са нула простором, овај ознаке ker T, или null(T), од енг. kernel, или null.

4.2. Нека је \( T \in \mathcal{L}(V) \). Сингуларне вредности оператора T су својствене вредности оператора \( \sqrt{T^\dagger T} \), са сваком својственом вредношћу λ поновљеном \( \dim E(\lambda, \sqrt{T^\dagger T}) \) пута. Сингуларне вредности T не могу бити негативне, јер су својствене вредности позитивног оператора \( \sqrt{T^\dagger T} \).

На пример, када је A матрица типа m × n, онда је A^†A симетрична матрица типа n × n, зато са реалним својственим вредностима. Наиме (Self-adjoint), ако је λ својствена вредност A^†A, онда је:

\[ \|Ax\|^2 = (Ax)^\dagger (Ax) = x^\dagger A^\dagger A x = (x^*)^\top (\lambda x) = \lambda \|x\|^2. \]

Нека су λ₁ ≥ λ₂ ≥ ... ≥ λ_n својствене вредности (увек симетричне) матрице A^†A,овде монотоно опадајуће поредане, а нека су њихови корени \( \sigma_k = \sqrt{\lambda_k} \), па је и σ₁ ≥ σ₂ ≥ ... ≥ σ_n. Такви бројеви, σ_k, су сингуларне вредности матрице A. Број ненултих сингуларних вредности A једнак је рангу (димензији) те матрице.

Како је A матрица типа m × n и ако је m ≤ n, онда A има највише m ненултих сингуларних вредности, јер је rang(A) ≤ m. Следеће тврђење о овој открива геометријско значење сингуларних вредности.

36. Став. Када је A матрица типа m × n, онда је максимална вредност ∥Au∥, са јединичним векторима u из ℝⁿ, највећа сингуларна вредност σ₁. Она се постиже када је u својствени вектор A^†A са својственом вредношћу σ₁².

Доказ: Нека је u₁, ..., u_n ортонормирана база за ℝⁿ, низ својствених вектора A^†A припадних својственим вредностима σ_k² редом. Тада x ∈ ℝⁿ можемо развити по тој бази на начин x = b₁u₁ + ... + b_nu_n, са неким скаларима b_k. Када је x јединични вектор, ∥x∥ = 1, због ортонормираности базних вектора, биће збир квадрата ових скалара један, b₁² + ... + b_n² = 1. Са друге стране:

\[ \|Ax\|^2 = (Ax)^\dagger (Ax) = x^\dagger (A^\dagger A x) = x(b_1\sigma_1^2 u_1 + ... + b_n \sigma_n^2 u_n) = \] \[ = (b_1u_1 + ... + b_nu_n)(b_1\sigma_1^2 u_1 + ... + b_n \sigma_n^2 u_n) = b_1^2 \sigma_1^2 + ... + b_n^2\sigma_n^2 \le \sigma_1^2(b_1 + ... + b_n^2). \]

Једнакост важи када је b₁ = 1, а b₂ = ... = b_n = 0. Максимална вредност ∥Au∥ постиже се за јединични вектор x = u₁ са σ₁². ∎

Даље се може показати да је σ₂ максимум ∥Ax∥ са векторима x ортонормалним u₁. Затим да је σ₃ максимум ∥Ax∥ са векторима x ортонормалним u₁ и u₁; и тако даље.

Приметимо да сингуларне и својствене вредности уопште нису иста ствар и заправо немају много везе са димензијом. Они се слажу само у посебном случају када је матрица симетрична. Следећи примери, матрице B и C, то демонстрирају.

37. Пример. Матрица B има својствене вредности 1 и 0, а сингуларне \(\sqrt{2}\) и 0

\[ B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

што је лако проверити. □

38. Пример. Следећа матрица

\[ C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

има својствене вредности 1, 1 и 0, а сингуларне \(\sqrt{3}\), 1 и 0. Наиме:

\[ \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1 - \lambda & 1 \\ 0 & 0 & - \lambda \end{vmatrix} = \lambda(1 - \lambda)^2 = 0, \]

а отуда λ је 1, 1 и 0. Међутим:

\[ C^\dagger C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \] \[ \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1 - \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = \lambda(1 - \lambda)(3 - \lambda) = 0. \]

Отуда (λ је 3, 1 или 0) кореновањем сингуларне вредности. □

39. Пример. Оператор \( A \in \mathcal{L}(F^4) \) дефинисан је са \( A(z_1, z_1, z_3, z_4) = (0, 3z_1, 2z_2, -3z_4) \). Наћи му сингуларне вредности.

Решење: Нека је Â матрица овог оператора. Рачун ће дати (Âv = u):

\[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ z_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3z_1 \\ 2z_2 \\ -3z_4 \end{pmatrix}, \] \[ \hat{A}^\dagger \hat{A} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}. \]

Дакле, \( A^\dagger A (z_1, z_1, z_3, z_4) = (9z_1, 4z_2, 0, 9z_4) \), па је \( \sqrt{A^\dagger A} (z_1, z_1, z_3, z_4) = (3z_1, 2z_2, 0, 3z_4) \) оператор својствених вредности 3, 2 и 0. Из \( \dim E(3, \sqrt{A^\dagger A}) = 2 \), \( \dim E(2, \sqrt{A^\dagger A}) = 1 \) и \( \dim E(0, \sqrt{A^\dagger A}) = 1 \) следи да су 3, 3, 2 и 0 сингуларне вредности A. □

Сваки \( T \in \mathcal{L}(V) \) има dim V сингуларних вредности, што се види из примене спектралне теореме и еквивалентности (Дијагонализација, 19. став, ставка 5. posebno) на само-адјунговани оператор \(\sqrt{T^\dagger T} \). У последњем примеру, то потврђује и оператор A на 4-дим векторима простора F⁴ који има четири сингуларне вредности {3, 3, 2, 0}. Следећи резултат показује да сваки оператор на V има чист опис у смислу својих сингуларних вредности и две ортонормалне базе у том простору.

40. Став. Када оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \) има сингуларне вредности s₁, ..., s_n, онда постоје ортонормалне базе e₁, ..., e_n и f₁, ..., f_n у V такве да је Tv = s₁⟨v, e₁⟩f₁ + ... + s_n⟨v, e_n⟩f_n, за свако v ∈ V.

Доказ: Према спектралној теореми примењеној на \( \sqrt{T^\dagger T} \), постоји ортонормална база e₁, ..., e_n у V таква да је \( \sqrt{T^\dagger T} e_j = s_j e_j \) за све j = 1, ..., n. Имамо \( v = \langle v, e_j\rangle e_1 + ... \langle v, e_n\rangle e_n \) за свако v ∈ V. Када применимо \( \sqrt{T^\dagger T} \) на обе стране једнакости, налазимо \( \sqrt{T^\dagger T} v = s_1\langle v, e_1\rangle e_1 + ... + s_n \langle v, e_n\rangle e_n \) за свако v ∈ V. Према поларној декомпозицији (35. став), постоји изометрија \( S \in \mathcal{L}(V) \) таква да је \( T = S\sqrt{T^\dagger T} \). Примењујући S на обе стране \( Tv = s_1\langle v, e_1\rangle Se_1 + ... + s_n\langle v, e_n \rangle S e_n \) за свако v ∈ V. Редом, за свако j нека је f_j = Se_j. Зато што је S изометрија, f₁, ..., f_n је ортонормална база V (32. став). Претходна једначина тако постаје \( Tv = s_1\langle v, e_1\rangle f_1 + ... + s_n \langle v, e_n\rangle f_n \) за свако v ∈ V. Тиме је доказ завршен. ∎

Радећи са линеарним пресликавањима једног векторског простора у други, разматрали смо њихове матрице у односу на базу првог векторског простора и базу другог векторског простора. Када имамо посла са операторима, који су линеарна пресликавања векторског простора у самог себе, скоро увек користимо само једну базу, дајући јој обе улоге. Декомпозиција сингуларне вредности нам је ретка прилика да користимо две различите базе матрице оператора.

На пример, због Te_j = s_jf_j за свако j, имамо

\[ \mathcal{M}(T, e, f) = \begin{pmatrix} s_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & s_n \end{pmatrix}, \]

где је e = (e₁, ..., e_n), f = (f₁, ..., f_n), \( T \in \mathcal{L}(V) \), а s₁, ..., s_n су сингуларне вредности оператора T. Сваки оператор на V има дијагоналну матрицу у некој ортонормалној бази тог простора, ако користимо различите базе, две e и f уместо, уобичајено за операторе, једне.

41. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \), онда су сингуларне вредности T ненегативни други корени својствених вредности T^†T, са сваком својственом вредношћу λ која се понавља dim E(λ, T^†T) пута.

Доказ: Из спектралне теореме следи да постоји ортонормална база e₁, ..., e_n са ненегативним бројевима λ₁, ..., λ_n таква да је T^†Te_j = λ_je_j за j = 1, ..., n. Лако је онда видети да \( \sqrt{T^\dagger T} e_j = \sqrt{\lambda_j}e_j \) за j = 1, ..., n. Отуда тражени резултат. ∎