У прошлом поглављу бавили смо се структуром оператора на коначно димензионалном комплексном векторском простору. Настављамо са применом тих резултата на реалне просторе, исте ознаке V или X. Остајемо са операторима \( T \in \mathcal{L}(V) \), а ознаке тела скалара су уобичајене, слова F, или Φ (биће они углавном ℝ, а сада ређе ℂ).

1. Комплексификација

Комплексизација је уграђивање реалног векторског простор V у комплексни векторски простор, на природан начин. Сваки оператор на V може се проширити на оператор комплексизованог V. Затим, познати резултати о оператори на комплексним векторским просторима могу се на посебан начин превести у операторе реалног.

1.1. Нека је V рални векторски простор. Комплексификација простора V, ознаке Vc, је V×V.

  • Елеменат Vc је уређен пар (u, v) где су u, vV, а што ћемо писати u + iv.
  • Сабирање у Vc дефинише (v1 + u1i) + (v2 + u2i) = (v1 + v2) + (u1 + u2)i, за све u1, u2, v1, v2V.
  • Комплексно скаларно множење дефинише (a + bi)(u + vi) = (au - bv) + (av + bu)i, за све a, b ∈ ℝ и све u, vV.

Мотивација ове дефиниције долази из познатог имагинарног броја i² = -1. Такво uV је u + 0i и даљу конструкцију Vc можемо радити као генерализацију ℂn из ℝn. Тиме је јасно да важи следећи закључак: Ако је V реални простор, онда је Vc комплексни простор.

1. Став. Ако је V реални векторски простор, онда важе следеће ставке.

  1. Ако је v1, ..., vn база у V, онда је v1, ..., vn база Vc (као комплексни векторски простор).
  2. Димензија Vc (као комплексни векторски простор) једнака је димензији V.

Доказ: Прво, претпоставимо да је v1, ..., vn база у V. Тада span(v1, ..., vn) у Vc садржи све векторе, поредане v1, ..., vn, v1i, ..., vni. Према томе, вектори v1, ..., vn разапињу комплексни простор Vc.

Да покажемо да су вектори v1, ..., vn у комплексном векторском простору Vc линеарно независни, претпоставимо c1, ..., cn ∈ ℂ и c1v1 + ... + cnvn = 0. Тада је:

(Re c1)v1 + ... + (Re cn)vn = 0,     (Im c1)v1 + ... + (Im cn)vn = 0.

Због линеарне независности вектора v1, ..., vnV, из ових једначина следи:

Re c1 = ... = Re cn = 0     Im c1 = ... = Im cn = 0,

па је c1 = ... = cn = 0. То значи линеарну независност вектора v1, ..., vn у Vc. Тиме је (1) доказано.

Из (1) непосредно следи (2), чиме је став доказан. ∎

Уобичајено је да пар реалних бројева (x, y), који представља једну тачку (z = x + iy) у комплексној равни (ℂ), видимо кроз две реалне осе (ℝ × ℝ), односно 2-дим (OXY), прецизно Декартов правоугли систем координата. Међутим, комплексификацијом не формира се простор попут ℝn × ℝn, какав би постао простор матрица у односу на векторе на које матрице делују, него простор исте димензије полазног реалног ℝn.

1.2. Комплексификација оператора \( T \in \mathcal{L}(V) \), је \( T_c \in \mathcal{L}(V_c) \) дефинисан са Tc(u + iv) = T(u) + iT(v), за све u, vV.

Када је V реални простор и T његов оператор, лако се уверити да је Tc оператор простора Vc. То значи да је Tc(λ(u + iv)) = λTc(u + iv) за све u, vV и све комплексне бројеве λ.

Док год смо у домену самих реалних вредности, обзервабли и стања, онда увођење комплексних бројева неће давати излаз ка новим димензијама.

База реалног векторског простора је такође база његове комплексификације. Отуда непосредно и закључак: ако је V реални векторски простор и \( T \in \mathcal{L}(V) \), онда за матрице важи \( \mathcal{M}(T) = \mathcal{M}(T_c) \). Матрице су обе у односу на исту базу v1, ..., vnV.

На пример, ако је A нека n × n матрица реалних бројева, дефинишимо \( T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n) \) помоћу Tx = Ax, где су елементи ℝn колоне вектори облика n × 1. Поистовећујући комплексификацију ℝn са ℂn, тада имамо Tcz = Az за сваки z ∈ ℂn, где се елементи ℂn опет n × 1 колонски вектори.

1.3. Претходно смо видели да сваки оператор на ненултом коначно-димензионалном комплексном векторском простору има својствену вредност и стога има 1-дим инваријантан подпростор. Ротација је пример оператора на ненултом коначно-димензионалном реалном векторском простору без својствених вредности и самим тим без једнодимензионалних инваријантних подпростора. А даље ћемо видети да инваријантни подпростор димензије 1 или 2 увек постоји. Комплексизација доводи до једноставног доказа таквог резултата.

2. Став. Сваки оператор на ненултом коначно-димензионалном векторском простору има инваријантан подпростор димензије 1 или 2.

Доказ: Сваки оператор на ненултом коначно-димензионалном комплексном векторском простору има својствену вредност (Полином оператора, 8. став), те има 1-дим инваријантни подпростор.

Претпоставимо да је V реални векторски простор и \( T \in \mathcal{L}(V) \). Комплексификација Tc, према претходном, има својствену вредност a + bi, где је a, b ∈ ℝ. Дакле, постоје вектори u, vV, не оба нуле, такви да је Tc = (a + ib)(u + iv), што се може писати

Tu + iTv = (au - bv) + (av + bu)i.

Отуда Tu = au - bv и Tv = av + bu. Нека је U подпростор који у V разапињу вектори u и v. Такво U подпростор је V димензије 1 или 2, а једнакост показује да је U инваријантан оператора T. ∎

1.4. Када је V реални векторски простор и оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \), добијамо (Tc)n (u + iv) = Tnu + iTnv понављањем, за сваки позитивни цели број n и све u, vV. Приметимо да овај резултат говори о томе да минимални полином Tc има реалне коефицијенте.

3. Став. Ако је V реални простор и \( T \in \mathcal{L}(V) \), онда је минимални полином Tc једнак минималном полиному T.

Доказ: Нека \( p \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) \) означава минимални полином T. Из претходне једнакости је p(Tc) = (p(T))c, а отуда је p(Tc) = 0.

Претпоставимо да је \( q \in \mathcal{P}(\mathbb{C}) \) монички полином такав да је q(Tc) = 0. Тада је (q(Tc))(u) = 0 за све uV. Означимо ли са r полином чији j-ти коефицијент је реални део j-тог коефицијента q, видећемо да је тај r монички полином и r(T) = 0. Тако deg q = deg r ≥ deg p.

Из претходна два параграфа следи да је p минимални полином Tc, како је тражено. ∎

1.5. Својствене вредности комплексизације оператора су следећа тема. Први резултат показује да су реалне својствене вредности Tc управо сопствене вредности T. Постоје различити докази тога, први је елементарнији, али је други доказ краћи и кориснији.

4. Став. Ако је V реални простор, \( T \in \mathcal{L}(V) \) и λ ∈ ℝ, онда λ својствена вредност Tc ако и само ако је својствена вредност T.

Доказ: Прво, претпоставимо да је λ својствена вредност T. Тада постоји ненулти вектор vV такав да је Tv = λv. Тада Tcv = λv, што значи да је λ својствена вредност и Tc.

Друго, претпоставимо да је λ својствена вредност Tc. Тада постоје u, vV, са u + iv ≠ 0, такви да важи једнакости Tc(u + iv) = λ(u + iv). Из те следе Tu = λu и Tv = λv. Због u ≠ 0 или v ≠ 0, је λ својствена вредност T. Тиме је доказ завршен. ∎

Други доказ истог става иде на следећи начин. (Реалне) својствене вредности T су нуле минималног полинома T, а реалне сопствене вредности Tc су реалне нуле минималног полинома Tc. Минимални полиноми су исти, својствене вредности T су управо својствене вредности Tc, како каже и став.

У следећем ставу утврђујемо симетрију својствених вредности λ и λ* оператора Tc, односно оператора Tc - λI и Tc - λ*I.

5. Став. Ако је V реални простор, \( T \in \mathcal{L}(V) \) и λ ∈ ℂ, затим k је ненегативни цели број, а u, vV, онда је (Tc - λI)k(u + iv) = 0 ако и само ако (Tc - λ*I)k(u + iv) = 0.

Доказ: Користимо индукцију по k. За k = 0 тврђење је очигледно тачно. Претпоставимо да је тврђење тачно до неког k ≥ 0 и да је (Tc - λI)k(u + iv) = 0. Тада је (Tc - λI)k-1((Tc - λI)(u + iv)) = 0. Стављајући да је λ = a + bi, где су a, b ∈ ℝ, налазимо:

(Tc - λI)(u + iv) = (Tu - au + bv) + i(Tv - av - bu),
(Tc - λ*I)(u - iv) = (Tu - au + bv) - i(Tv - av - bu).

Према претпоставци индукције је (Tc - λ*I)k-1((Tu - au + bv) - i(Tv - av - bu)) = 0. Према претходном следи да је (Tc - λ*I)k-1(u - iv) = 0, чиме је комплетиран доказ у једном смеру.

У другом смеру, замењујемо λ са λ* и v са -v, па примењујемо доказ у првом смеру. ∎

За последицу овог резултата, ако је број својствена вредност Tc, онда је њему коњуговано комплексни број такође својствена вредност Tc. Нереалне својствене вредности долазе у паровима.

6. Став. Нека је V реални векторски простор, \( T \in \mathcal{L}(V) \), а λ ∈ ℂ. Тада је λ својствена вредност Tc ако и само ако је λ* својствена вредност Tc.

Доказ: У 5. ставу ставимо k = 1. ∎

1.6. Многострукост (вишеструко појављивање исте) својствене вредности дефинисали смо димензијом генералисаног својственог простора те својствене вредности (Декомпозиција оператора, 2.1). Наставак говори о многострукости својствене вредности комплексификације, да је она једнака многострукости њој коњуговано комплексне.

7. Став. Нека је V реални простор, линеарни оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \) и скалар λ ∈ ℂ који је својствена вредност комплексификације Tc. Онда је многострукост λ као својствене вредности Tc једнака многострукости λ* као својствене вредности Tc.

Доказ: Претпоставимо да је u1 + iv1, ..., um + ivm база генералисаног својственог простора G(λ, Tc), где су вектори u1, ..., um, v1, ..., vmV. Тада је према 5. ставу u1 - iv1, ..., um - ivm база генералисаног својственог простора G*, Tc). Тако, оба λ и λ* имају многострукост m као својствене вредности Tc. ∎

8. Пример. Оператор T(x1, x2, x3) = (2x1, x2 - x3, x2 + x3) у стандардној бази има матрицу

\[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \]

са својственим вредностима λ1,2 = 1 ± i и λ3 = 2, са припадним својственим векторима:

\[ v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}, \quad v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \]

Лако их налазим програмом Спектар матрица. У простору ℝ³ само λ3 је актуелна. У простору ℂ³ важе све три ламбде, када радимо са оператором Tc. □

1.7. Слично решењима полинома са реалним коефицијентима, који се налазе у паровима коњуговано комплексних бројева, оператори на ℝ² могу бити без (реалних) својствених вредности, док ће их они на ℝ³ имати бар једну. Ово ће се одразити и на карактеристични полином.

9. Став. Сваки оператор на непарно-димензионалном векторском простору има реалну својствену вредност.

Доказ: Зато што нереалне својствене вредности Tc долазе у паровима коњуговано комплексних, једнаких многострукости, њихов збир је паран број. Како је збир многострукости својствених вредности Tc једнак (комплексној) димензији Vc, а свака реална својствена вредност Tc уједно је својствена вредност T, то је у непарном случају димензија бар једна од њих реална. ∎

1.8. Дефинисали смо карактеристични полином комплексних простора, а у наставку то преносимо на карактеристичне полиноме оператора на реалним просторима.

10. Став. Коефицијенти карактеристичног полинома Tc су реални.

Доказ: Нека је λ нереална својствена вредност Tc многострукости m. Тада је λ* такође својствена вредност Tc многострукости m. Зато карактеристични полином Tc укључује факторе (z - λ)m и (z - λ*)m. Множећи ове факторе, налазимо (z - λ)m(z - λ*)m = (z² -2(Re λ)z + |λ|²)m. Полином на десној страни једнакости има реалне коефицијенте. Карактеристични полином Tc је производ оваквих тринома са облицима (z - r)d, када су својствене вредности r реални бројеви. Тако су коефицијенти карактеристичног полинома Tc сви реални. ∎

На реалне 2-дим просторе понекад је могуће гледати као на врсту носиоца информација. Тада када омогућавају њихову периодичност. Процеси таквих су периодичне интерпретације ротација.

Као корени полинома другог степена са реалним коефицијентима, у ℝ² простору оператор може бити без реалних својствених вредности. Примењено на теорију информације, обзиром да су обзервабле интерпретације реалних својствених вредности, то значи да реални 2-дим простор може остати без мерљивих физичких величина, односно без могућности испоруке информације (в. Корени јединице).

Дати су V реални простор и оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \). Тада карактеристични полином T дефинишемо да буде карактеристични полином Tc.

11. Пример. У 8. примеру видели смо да оператор T(x1, x2, x3) = (2x1, x2 - x3, x2 + x3) има својствене вредности λ1,2 = 1 ± i и λ3 = 2. Карактеристични полином комплексификације Tc је:

(z - 2)(z - (1 + i))(z - (1 - i)) = z³ - 4z² + 6z - 4.

Тако, карактеристични полином T такође је z³ - 4z² + 6z - 4. □

1.9. Уз операторе реалних простора одвајамо (видимо) само реалне сопствене вредности. То каже следећи став, уз број степена и нула карактеристичног полинома.

12. Став. Ако је V реални векторски простор и \( T \in \mathcal{L}(V) \), онда је:

  1. Сви коефицијенти карактеристичног полинома T су реални;
  2. Карактеристични полином T је степена dim V;
  3. Својствене вредности T су реалне нуле карактеристичног полинома T.

Доказ: (a) следи из 10. става. (b) следи из Карактеристични полином (24. став, 1). (c) долази из реалних нула Tc које су и реалне нуле T, а које су према 4. ставу својствене вредности T. ∎

1.10. На претходној страници доказана је Кејли-Хамилтонова теорема (Карактеристични полином, 25. став) за комплексне векторске просторе. Следећи став то исказује за реалне.

13. Став. Дати су оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \) и q његов карактеристични полином. Тада је q(T) = 0.

Доказ: Ово је већ доказано за комплексни простор. Сада, то значи да је q(Tc) = 0, а онда је q(T) = 0. ∎

На примеру 11 (или 8), где оператор T(x1, x2, x3) = (2x1, x2 - x3, x2 + x3) има карактеристични полином z³ - 4z² + 6z - 4, сада имамо T³ - 4T² + 6T - 4 = 0, што се може проверити израчунавањем. ∎

Да је карактеристични полином минималних полинома, утврђује следећи став.

14. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \), тада је:

  1. Степен минималног полинома T је највише dim V;
  2. Карактеристични полином од T је производ минималних полинома T.

Доказ: (a) следи из претходног става. (b) следи из претходне последице Кејли-Хамилтонове теореме (Карактеристични полином, 29. став). ∎

2. Скаларни производ

Фокус је даље на просторима са унутрашњим производом и нормалним операторима. Након описа нормалних оператора на реалним просторима са скаларним производом, а резултате користимо за потпунији опис изометрија тих простора. Подсећам да коначно-димензионални реални векторски простор има инваријантни подпростор димензије 1 или 2.

2.1. Спектрална теорема (18. став) за комплексне просторе даје потпун опис нормалних оператора на тим са унутрашњим производом. У наставку видећемо даљи опис нормалних оператора на реалним унутрашњим просторима са унутрашњим производом. Овде полазимо са описима 2-дим оператора реалних простора са скаларним производом који су нормални али не и само-адјунговани.

14. Став. Нека је V реални 2-дим простор са унутрашњим производом и \( T \in \mathcal{L}(V) \). Следеће три ставке су еквивалентне:

  1. T је нормалан али није само-адјунгован;
  2. Матрица T у свакој ортонормалној бази V облика је \[ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \] где b ≠ 0;
  3. Матрица T у некој ортонормалној бази V облика је \[ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \] где b > 0.

Доказ: Претпоставимо да је (1) тачно, да је T нормалан, али не само-адјунгован, а e1, e2V је ортонормирана база. Претпоставимо да је матрица оператора

\[ M(T) = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}. \]

Тада је ∥Te12 = a² + b² и ∥Te12 = a² + c². Како је оператор нормалан ∥Te12 = ∥Te12 (Адјунговање, 14. Став). Ове три једнакости дају c² = b², што значи једно од c = ±b. Али, cb, јер би у супротном случају T био само-адјунгован. Према томе, c = -b. Матрица M је транспонована M, па имамо:

\[ MM^\dagger = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 & ab - bd \\ ba - db & b^2 + d^2 \end{pmatrix}, \] \[ M^\dagger M = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 & -ab + bd \\ -ba + db & b^2 + d^2 \end{pmatrix}. \]

Зато што је T нормалан биће ова два производа матрица једнака, па је bd = ab. Додатно b ≠ 0, јер оператор није само-адјунгован, па је d = a. Тиме је доказано да (1) имплицира (2).

Сада претпоставимо да је (2) тачно, а доказујемо да је онда (3) тачно. За ортонормирану базу e1, e2V имамо матрицу M(T) облика (2), где b ≠ 0. Ако је b > 0 онда је (3) тачно. Ако је b < 0, смена b → -b опет даје (3).

Сада претпоставимо да је (3) тачно и докажимо (1). Матрица M(T) у ортонормираној бази није једнака себи транспонованој (јер b ≠ 0), па T није само-адјунгована. Даље, покажимо да је MM = MM. Због једнакости овог производа, биће T нормалан. Према томе, из (3) следи (1). Тиме је доказ става завршен. ∎

Додајмо, у ортонормираној бази биће a² + b² = 1, што значи да за неки угао φ можемо писати a = cos φ и b = sin φ, па је M(T) матрица ротације за угао φ, односно T је оператор ротације. У информатичкој би интерпретацији (Корени јединице) 14. став говорио о преносу података без губитака. Сада знамо зашто нема губитака, јер у таквом 2-дим реалном простору нема реалних својствених вредности. Стога нема обзервабли (мерљивих физичких величина), нема размене информација, ни интеракција.

2.2. Сада ћемо видети да је рестрикција нормалног оператора на инваријантан подпростор нормалан оператор, да би касније могли користити методу математичке индукције по dim V у доказима особина нормалних оператора.

15. Став. Ако је V простор са унутрашњим множењем, оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \) је нормалан, а U је подпростор V који је инваријантан под T. Тада:

  1. U је инваријантан под T;
  2. U је инваријантан под T;
  3. (T|U) = (T|U);
  4. \( T|_U \in \mathcal{L}(U) \) и \( T|_{U^\dagger} \in \mathcal{L}(U^\dagger) \) су нормални оператори.

Доказ: Прво (a). Нека је e1, ..., emU ортонормална база подпростора. Допунимо је до ортонормалне базе простора e1, ..., em, f1, ..., fnV. Како је U инваријантно под T, свако Tej је линеарна комбинација e1, ..., em. Тако је матрица T, у допуњеној бази, горња блок троугаона са дијагоналним блок матрицама A и C и преосталом B.

За свако j = 1, ..., m квадрат норме ∥Tej∥² је збир квадрата апсолутних вредности j-те колоне блок матрице A. Према томе ∑jTej∥² је збир квадрата апсолутних вредности свих коефицијената блок матрице A.

Аналогно, за свако j = 1, ..., m је ∥Tej∥² је збир квадрата апсолутних вредности j-те колоне матрица A и B. Доследно, ∑jTej∥² је збир квадрата апсолутних вредности свих коефицијената блок матрица A и B.

Зато што је T нормалан, биће ∥Tej∥² = ∥Tej∥² за свако j, па су и укупни збирови једнаки, а отуда је блок B нула матрица. То значи да Tfk разапиње f1, ..., fn, који је онда база U, што значи слика TvU када год је оригинал vU. Другим речима, U је инваријанта T, чиме је доказано (a).

За доказ (b) приметимо да матрица адјунгованог оператора \(\mathcal{M}(T^\dagger)\), која је коњуговано транспонована матрица \(\mathcal{M}(T)\), има блок нула у доњем левом углу (јер ова друга има блок нула у горњем десном углу) па свако Tej може бити писано као линеарна комбинација e1, ..., em. Тако је U инваријанта под T, чиме је доказано (b).

Да докажемо (c) ставимо \( S = T|_U \in \mathcal{L}(U) \) и фиксирајмо vU. Тада је:

\[ \langle Su, v \rangle = \langle Tu, v\rangle = \langle u, T^\dagger v\rangle \]

за све uU. По претходном, TvU, ова једнакост даје Sv = Tv, односно (T|U) = (T)|U, чиме је доказано (c).

Да докажемо (d) приметимо да T комутира са T и обзиром на (c) оператор T|U комутира са њему адјунгованим и зато је нормалан. Замењујући улоге U и U, што је оправдано због (a), налазимо да је T|U такође нормалан. Тиме је комплетиран и доказ (d). ∎

Нормални оператор T и њему само-адјунгован T су као два дела једног процеса, oни зато комутирају. Тако је ∥Tv∥ = ∥Tv∥, па је λ∥v∥² = λ*v∥², тј. својствене вредности су им реалне (λ = λ*), из чега следи да такви (нормални процеси) имају обзервабле. Они (T и T) имају исте својствене векторе, представљају процесе истих стања. Нормални процеси са различитим обзерваблама представљени су ортогоналним векторима. То смо видели раније (Адјунговање, 14-16. став). Овде смо то само продубили приметивши да се нормални процеси на инваријантном подпростору своде на нормалне процесе.

Ставови о нормалним процесима указују нам на једну важну особину обзервабли (физички мерљивих величина), да се оне могу разложити на елементарне, независне појаве, колико год нам изгледало да око нас „све од свега зависи“. Ове појаве могу бити и подпроцеси (блок матрице) чије су обзервабле тада подобзервабле главног процеса.

2.3. Нормални оператори на реалним просторима опремљени унутрашњим (скаларним) производом близу су да имају блок дијагоналне матрице, посебно су оне типа 2 × 2. Међутим, постоје и они који немају дијагоналне матрице уопште. На пример, T(x, y) = (-y, x) на ℝ² је нормалан али нема својствене вредности; он нема ни горњу троугаону матрицу у било којој бази свог простора.

16. Став. Нека је V реални простор са унутрашњим множењем и \( T \in \mathcal{L}(V) \). Тада су следећи наводи еквивалентни:

  1. Оператор T је нормалан;
  2. Постоји ортонормална база у V у односу на коју T има блок дијагоналну матрицу тако да је свака блок матрица типа 1 × 1, или је 2 × 2 облика
  3. \[ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \]

    где је b > 0.

Доказ: Прво, претпоставимо да је (ii) тачно. У односу на базу дату са (ii), матрица оператора T комутира са себи-адјунгованом оператора T (транспонованом прве матрице). То значи да је T нормалан, па смо доказали да (ii) имплицира (i).

Сада претпоставимо да је (i) тачно, да је T нормалан. Доказаћемо (ii) индукцијом по dim V. За почетак, приметимо да је тврђење за dim V = 1 тривијално тачно, а да је за dim V = 2 такође тачно (ако је T само-адјунгован због спектралне теореме 23. став, а ако T није само-адјунгован због овде 14. става).

Даље претпоставимо да је dim V > 2 и да тврдња важи за све димензије до те. Нека је U подпростор V димензије 1 инваријантан на V ако такав подпростор постоји. Другим речима, ако T има својствени вектор, нека U разапиње тај својствени вектор. Ако такав подпростор не постоји, нека је U подпростор V димензије 2 инваријантан на T (такав увек постоји, према 2. ставу).

Ако је dim U = 1, бирајмо у том простору вектор норме 1; тај вектор је ортонормална база у U , а одгварајућа матрица \(T|_U \in \mathcal{L}(V)\) је типа 1 × 1. Ако је dim U = 2, тада је \(T|_U \in \mathcal{L}(V)\) нормалан али није само-адјунгован. Тако, можемо бирати ортонормалну базу у U у односу на коју матрица оператора \(T|_U \in \mathcal{L}(V)\) има тражену форму (14. став).

Сада је U инваријантан под T и T|U је нормалан оператор на U. Према претпоставци индукције, постоји ортонормална база U у којој матрица T|U има тражену форму. Придруживање ове бази U даје ортонормалну базу V у односу на коју матрица оператора T има тражену форму. Тиме важи (ii). ∎

2.4. Ротације су основа изометрија. Оне су то и у реалним просторима са скаларним производом у којем не морају имати својствене вредности.

17. Пример. Угао ротације у радијанима θ ∈ ℝ, у простору ℝ², дефинише оператор ротације око исходишта, који у стандардној бази има матрицу

\[ \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}. \]

У комплексном простору својствене вредности су λ = e±iθ. Ако θ ∉ {0, ±π, ±2π, ±3π, ...} тада у реалном простору овај оператор нема својствене вредности. □

2.5. Следећи резултат показује да је свака изометрија на реалном простору са унутрашњи множењем састављена од делова који су ротације на 2-димензионалним подпросторима, делова који су једнаки оператору идентитета и делова који су једнаки множењу са -1.

18. Став. Нека је V реални простор са унутрашњим множењем и \( S \in \mathcal{L}(V) \). Тада су следећи наводи еквивалентни:

  1. Оператор S је изометрија;
  2. Постоји ортонормална база у V у односу на коју S има блок дијагоналну матрицу тако да је сваки блок матрица типа 1 × 1, или је 2 × 2 која садржи 1 или -1, или је 2 × 2 матрица облика
  3. \[ \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]

    где је θ ∈ (0, π).

Доказ: Прво претпостављамо да је (I) тачно, да је S изометрија. Како је S нормалан оператор, постоји ортонормална база у V у односу на коју S има блок дијагоналну матрицу тако да је свака блок матрица типа 1 × 1, или је 2 × 2 облика

\[ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \]

где је b > 0.

Ако је λ један од елемената типа 1 × 1 дуж дијагоналне матрице S (у односу на горе поменуту базу), тада постоји базни вектор ej такав да је Sej = λej. Зато што је S изометрија биће |λ| = 1. Дакле λ = 1 или λ = -1.

Сада размотримо матрице типа 2 × 2 на дијагонали матрице S. Постоје базни вектори ej и ej+1 такви да Sej = aej + bej+1. Отуда 1 = ∥ej∥² = ∥Sej∥² = a² + b². Ова једначина, заједно са условом b > 0, налаже да постоји број θ ∈ (0, π) такав да је a = cos θ и b = sin θ. Дакле, матрица има тражени облик, чиме је доказ у једном смеру завршен.

Обрнуто, претпоставимо да је (II) тачно, тако да постоји ортонормална база за V у односу на коју матрица S има захтевани облик. Тако, постоји директна сума декомпозиција V = U1 ⊕ ... ⊕ Um где је свако Uj подпростор V димензије 1 или 2. Штавише, свака два вектора која припадају различитим овим подпросторима ортогонални су и сваки S|Uj је изометријско пресликавање Uj у Uj. Ако је vV, можемо писати v = u1 + ... + vm, где је свако ujUj. Примењујући S на горњу једначину, добијамо:

\[ \|Sv\|^2 = \|Su_1 + ... + Su_m\|^2 = \] \[ = \|Su_1\|^2 + ... + \|Su_m\|^2 = \|v\|^2. \]

Дакле, S и доказано је да из (II) следи (I). Тиме је доказ става завршен. ∎