Наслове узимам из мање-више занимљивих курсева линеарне алгебре, али дефиниције, теореме и доказе довлачим одасвуд. Ту су углавном добро познате ствари више математике, са ретким освртима на теорију информације. И даље тело скалара Φ чине реални бројеви ℝ, или комплексни ℂ, а са X или Y означени су векторски простори над Φ. (Linear Mappings)

1. Пресликавање

Линеарно пресликавање од X ка Y је функција \(T : X \to Y\) са особинама хомогености \(T(\lambda x) = \lambda T(x)\) за произвољно \(x \in X\) и \(\lambda \in \Phi\), и адитивности \(T(x + x') = T(x) + T(x')\) за све \(x, x' \in X\). Краће, ове ћемо случајеве често писати \(Tx\) уместо \(T(x)\). Скуп свих линеарних пресликавања са X на Y је \(\mathcal{L}(X, Y)\).

1.1. Множење нулом \(0\cdot x = 0\) линеарно је пресликавање. Идентичко пресликавање \(Ix = x\) такође је линеарно пресликавање. Диференцирања и интегрирања су линеарна пресликавања. Реч оператор често се користи за неке врсте пресликавања (када X = Y), нарочито у применама линеарне алгебре. А квантна механика посебну врсту линеарних оператора (који поштују закон одржања) интерпретира као квантне процесе. Вектори су тада квантна стања.

Став 1. Ако је \(x_1, ..., x_n\) база у \(X\), а \(y_1, ..., y_n\) база у \(Y\) онда постоји јединствено линеарно пресликавање \(T : X \to Y\) такво да је \(Tx_k = y_k\) за сваки \(k = 1, 2, ..., n\).

Доказ: Прво, доказујемо егзистенцију. Дефинишемо \(T(c_1x_1 + ... + c_nx_n) = c_1y_1 + ... + c_ny_n\), где су \(c_k\) произвољни коефицијенти. Стављајући \(c_k = 1\) редом добијамо пресликавање база \(T(x_k) = y_k\). За два вектора \(x, x' \in X\), таква да \(x = a_1x_1 + ... + a_nx_n\) и \(x' = b_1x_1 + ... + b_nx_n\) биће:

\[ T(x + x') = T\left((a_1 + b_1)x_1 + ... + (a_n + b_n)x_n\right) = \] \[ =(a_1 + b_1)y_1 + ... + (a_n + b_n)y_n \] \[ = (a_1y_1 + ... + a_ny_n) + (b_1y_1 + ... + b_ny_n) = Tx + Tx'. \]

Слично, ако је \(\lambda \in \Phi\) и \(x = a_1x_1 + ... + a_nx_n\), биће:

\[ T(\lambda x) = T(\lambda a_1 x_1 + ... \lambda a_n x_n) = \lambda a_1 y_1 + ... + \lambda a_ny_n = \] \[ = \lambda(a_1y_1 + ... + a_ny_n) = \lambda Tx. \]

То значи да је \(T : X \to Y\) линеарно пресликавање.

Затим, јединственост следи једноставно из хомогености и адитивности \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\). ∎

Постоји „скоро изоморфизам“ (Димензија, 16. пример) између векторског простора и расподеле вероватноћа који се огледа у ограничењу бирања коефицијената \(c_k\) за „линеарно“ пресликавање расподела \(p_j \to q_k\). Ако је то \(C : P \to Q\) између различитих расподела вероватноћа (векторских простора, скоро), где је \( q_k = c_1p_1 + ... + c_np_n\), оно тражи да коефицијенти \( c_j = \Pr(k|j) \) буду условне вероватноће, да ће се j-ти сигнал пресликти у k-ти, при чему ни тада број независних елемената две расподеле не мора бити исти. Реч је о каналима преноса.

У другом случају, у квантној физици, када су векторски простори такође расподеле вероватноћа исти проблем ограничења коефицијената линеарног пресликавања решава се једноставним захтевом за накнадним нормирањем резултата. На пример, ако сте неком трансформацијом добили вектор (3, 4) нормирате га у (3/5, 4/5) и имате бинарну расподелу вероватноћа, (3/5)2 + (4/5)2 = 1, тамо квадрата (норми) коефицијената вектора.

Да линеарно персликавање није само између векторских простора истих димензија сведочи пример

\[ T(x, y, z) = (x - y + 2z, -2x + 3y - 5z), \]

које представља линеарно пресликавање и \(T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\). Уопште, сва та пресликавања, \(T : \Phi^m \to \Phi^n\), различитих димензија простора овог су облика.

1.2. Алгебарске операције на \(\mathcal{L}(X, Y)\) су сабирање и скаларно множење:

\[ (T_1 + T_2)(x) = T_1x + T_2x, \quad (\lambda T)(x) = \lambda (Tx), \]

за функције из \(\mathcal{L}\) и све \(x \in X\). Због алгебарских операција ових функција, сам \(\mathcal{L}(X, Y)\) је векторски простор.

Множење линеарних пресликавања је њихова композиција \( (S\circ T)(x) = (ST)(x) = S(T(x))\). Као што знамо, за њу важи асоцијативност \((T_1T_2)T_3 = T_1(T_2T_3)\) и дистрибутивност \( (S_1 + S_2)T = S_1T + S_2T\), или \( S(T_1 + T_2) = ST_1 + ST_2\), али не и комутативност, осим за идентичко пресликавање \(IT = TI\). То говорећи уопште за све из \(\mathcal{L}\), али појединачно је могуће имати парове комутативних таквих функција.

На пример, диференцирање \( A\psi = \frac{d}{dx}\psi = \psi'\) и множење координатом \(B\psi = x\psi\) нису комутативна линеарна пресликавања. Наиме:

\[ AB\psi = A(x\psi) = \psi + x\psi', \quad BA\psi = x\psi', \] \[ (AB - BA)\psi = \psi, \]

па можемо ставити да је комутатор ових функција \( [A, B] = AB - BA = 1\). Ове две су одговарајуће операторима импулса и положаја квантне механике, а њихов комутатор представља Хајзенбергове релације неодређености. Генерално је некомутативност процеса (оператора) израз неодређености парова процеса њима представљаних.

Процеси су репрезентација оператора и по својству да су процеси процеса опет неки процеси. Они су и „стања процеса“, па су репрезентације и вектора.

Дистрибутивност множења (композиције) линеарних пресликавања можемо разумети као адитивност, а онда имамо и хомогеност, \(A(\lambda B) = \lambda A(B)\), па су вектори (елементи) скупа \(\mathcal{L}(X, Y)\) врста линеарних пресликавања и обзиром на операцију множења. Оно, \(\mathcal{L}(X, Y)\), је и тело јер му не треба комутативност, па може бити и тело скалара неком новом необичном векторском простру над тим телом скалара. Веома далеко можемо отићи од почетних векторских простора, а и даље остајати у векторским просторима.

2. Домени

Најмањи простор је нулти, нула простор или језгро (енг. kernel) функције \(T \in \mathcal{L}\) је скуп свих вектора x из X таквих да је Tx = 0. Означавамо га са \(\ker(T)\), или са null(T) (Kernels and Null Spaces).

На пример, елеменат језгра сваког пресликавања је 0, па већ стога оно није празно. У случају линеарне функције f(x, y, z) = ax + bx + cz, нула простор чине решења једначине f = 0. Оператор диференцирања полинома елеменат је \(\mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}), \mathcal{P}(\mathbb{R})\)) са нула простором константама. Смисао назива „језгро“ за нула простор је у његовом присуство у домену сваког линеарног пресликавања. То наслућујемо интуитивно из наведених примера, али можемо и строжије доказати.

Став 2. Ако је \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\), онда је \(\ker(T)\) подпростор од X.

Доказ: Већ због линеарности \(T(0) = 0\). Ако су \(x_1, x_2\) елементи нула простора, онда је то и њихов збир, због адитивности T(x1 + x2) = Tx1 + Tx2 = 0 + 0 = 0. Такође, биће умножак елемента језгра са скаларом елеменат језгра, због хомогености. ∎

Овој универзалности додатни је практичан значај нула простора у могућности тестирања инјективног пресликавања, да такво пресликавање, код којег различит улаз значи различит излаз, за нула простор има само 0.

2.1. Инјекција, или „1-1“ пресликавање, је функција \(T : X \to Y\) ако \(Tx_1 = Tx_2\) повлачи \(x_1 = x_2\). Може се рећи и ако \(x_1 \ne x_2\) имплицира \(Tx_1 \ne Tx_2\) онда је функција T инјекција.

Став 3. Линеарна функција је инјективна акко јој нула простор садржи само нулу. Другачије речено, функција \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\) је инјекција ако и само ако \(\ker(T) = \{0\}\).

Доказ: Ако је T инјекција, већ знамо да је нула у нула простору. Нека је x вектор њеног нула простора, тј. \(T(x) = 0 = T(0)\). Зато што је T инјекција, ова једнакост имплицира x = 0.

Да докажемо обрнуту импликацију, претпоставка је да је сав нула простор скуп {0}, а треба доказати да је функција T инјекција. Ради тога претпоставимо да су x и y из нула простора те функције. Тада имамо 0 = Tx - Ty = T(x - y), па је и x - y у нула простору, тачније x - y = 0, односно x = y, тј. T је инјекција. ∎

Једно занимљиво запажање о инјекцијама и овом ставу верујем да вам је промакло. Претпоставимо ли слободу избора, као у мојој теорији информације, а представљамо процесе линеарним функцијама, то значи да се одричемо инјекција, бар што се тиче тачности потребне у микро свету квантне механике. А то онда значи да сваки нула простор има штошта осим нуле.

2.2. Кодомен T(X) функције \(T : X \to Y\) је подскуп \(Y\) који се састоји од вектора облика \(Tx\) свих \(x \in X\). То што пресликававамо називамо домен, лик, или оригинал, а оно у шта пресликавамо је кодомен, слика, или копија. У наведеном функције T, домен (енг. domain) је X, а кодомен (енг. range) је део Y.

На пример, кодомен нула простора је {0}. Кодомен диференцирања полинома, \(\mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}), \mathcal{P}(\mathbb{R})\)), је скуп свих полинома, јер за сваки полином који је извод постоји полином чији је он извод (интеграл датог).

Став 4. Ако је \(T : X \to Y\), онда је кодомен T подскуп \(Y\), краће то пишемо \(T(X) \subseteq Y\).

Ако комуницирате са базним мерљивим стањима, моћи ћете комуницирати и са стањима њихових збирова и умножака, укратко линеарним комбинацијама.

Доказ: Ако је \(T : X \to Y\), свакако је T(0) = 0, па је нула у кодомену. За свака два вектора \(y_1, y_2 \in Y\) постоје и два \(x_1, x_2 \in X\) таква да \(T(x_1 + x_2) = Tx_1 + Tx_2 = y_1 + y_2\). Отуда је кодомен затворен на операцију адитивности. А затворен је и на множење скаларом λ, јер за свако y из кодомена (по дефиницији кодомена) постоји x домена, тако да Tx = y, па је \(T(\lambda x) = \lambda Tx = y\). ∎

2.3. Сурјекција, или „на“ пресликавање, је функција \(T : X \to Y\) кодомена једнаког \(Y\), тј. \(T(X) = Y\). (Injection, Surjection)

Функција је сурјективна зависно од тога шта сматрамо кодоменом. Рецимо, диференцирање полинома као пресликавање полинома до трећег степена није сурјекција, јер извод смањује степен полиному, а исто јесте сурјекција као пресликавања полинома до трећег у полиноме до другог степена. Следеће је тврђење фундаментално.

Став 5. Ако је X коначно-димензионалан векторски простор и \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\), тада коначну димензију има кодомен T и \(\dim X = \ker(T) + \dim T(X)\), речима: димензија X једнака је збиру димензија нула простора T и димензије кодомена T.

Доказ: Нека је \(z_1, ..., z_m\) база нула простора \(T\) и \(m\) његова димензија. Можемо је допунити базом оригинала \(z_1, ..., z_m, x_1, ..., x_n\). Према томе је \(\dim X = m + n\). Потребно је још само доказати да кодомен \(T\) има коначну димензију \(n\).

Из \( x = c_1z_1 + ... +c_mz_m + a_1x_1 + ... + a_nx_n \in X\), множења скаларима, следи \(Tx = a_1Tx_1 + ... + a_nTx_n\), што значи да вектори \(Tx_1, ..., Tx_n\) разапињу кодомен \(T\), да је он коначне димензије. Да докажемо линеарну независност тих вектора, посматрајмо једначину:

\[ b_1Tx_1 + ... + b_nTx_n = 0, \] \[ T(b_1x_1 + ... + b_nx_n) = 0, \]

из чега следи да је вектор \( b_1x_1 + ... + b_nx_n\) из нула простора пресликавања \(T\). Зато што \(z_1, ..., z_n\) разапињу нула простор, можемо писати \(b_1x_1 + ... + b_nx_n = b'_1z_1 + ... + b'_mz_m \) где су и \(b'_k\) скалари. Из једнакости и линеарне независности, следи да су сви \(b_k, b'_k\) нуле. Отуда, \(Tx_1, ..., Tx_n\) су линеарно независни, те су и база кодомена \(T\). ∎

Са овим фундаменталним, лако је доказати следећа два корисна става. Они су врста „закона одржања“ димензионалности векторског простора, а у интерпретацији и одржања „варијетета обзервабли“.

Став 6. Пресликавање у мање димензионалан простор није инјекција.

Доказ: Из \(T \in \mathcal{L}(X \to Y)\) следи, прво да је димензија нула простора T једнака разлици димензија оригинала и кодомена, што није мање од разлике димензија \(X\) и \(Y\), а та је већа од нуле. Међутим, нула простор инјекције садржи само нулу. ∎

Став 7. Пресликавање у више димензионалан простор није сурјекција.

Доказ: Из \(T \in \mathcal{L}(X \to Y)\) следи да је димензија кодомена T једнака разлици димензија оригинала и нула простора, што није веће од димензије оригинала, а та је мања од димензије \(Y\). Ово значи да \(T\) није сурјекција. ∎

На пример, систем од m линеарних једначина са n непознатих xk пишемо

\[ \sum_{k=1}^n a_{jk}x_k = y_j \]

редом за j = 1, 2, ..., m и све ajk ∈ Φ. Када је свако yj = 0, тада за систем кажемо да је хомоген, а иначе да је нехомоген. Левим странама једначина дефинисана функција

\[ T(x_1, ..., x_n) = \left(\sum_{k=1}^n a_{1k}x_k, ..., \sum_{k=1}^n a_{mk}x_k\right) \]

линеарно је пресликавање \(T : \Phi^n \to \Phi^m\). Тада је једначина \(T(x_1, ..., x_n) = 0\) горњи хомогени систем. Наставак примера је у следећим закључцима.

Став 8. Хомогени систем линеарних једначина са више променљивих од једначина има решења различита од нуле. Нехомоген систем линеарних једначина са више једначина него променљивих нема решење за неки избор константних чланова.

Доказ: У горњем пресликавању \(T : \Phi^n \to \Phi^m\), када имамо хомогени систем m једначина са n променљивих, T није инјекција ако n > m (став 6). У истом претходном линеарном пресликавању, у нехомогеном случају, за n < m нема сурјекције (став 7). ∎

На пример, често смо сретали недовољно дефинисан хомогени систем рецимо две једначине са три непознате и додатним решењима различитим од нуле. Ако ненултих решења нема, хомогени систем опет има једно решење \(x_1 = ... = x_n = 0\) које називамо тривијалним. Насупрот томе, нехомогени систем рецимо три једначине са две променљиве лако бива у контрадикцији, предефинисан.

3. Матрице

Систем линеарних једначина из претходног примера (став 8) може се писати матрично (Matrices), чиме се дефинише матрично множење низа

\[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_m \end{pmatrix}. \]

3.1. Аналогно Ax = y, са коефицијентима низова скаларима \(\vec{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)\) и \(\vec{y} = (y_1, y_2, ..., y_m) \) вектора одговарајућих простора са линеарним пресликавањем \(A \in \mathcal{L}(X, Y)\). Надовезујући ово даљим пресликавањем вектора \(\vec{y}\) у векторе \( \vec{z} = (z_1, z_2, ..., z_p) \) неког трећег векторског простора, било којим линеарним пресликавањем \(B \in \mathcal{L}(Y, Z)\), долазимо и до матричног записа

\[ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1m} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ b_{p1} & b_{p2} & ... & b_{pm} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ ... \\ z_p \end{pmatrix}, \]

којем је заправо дефинисано множење матрица.

Наиме, пресликавањима Ax = y и By = z правимо композицију пресликавања z = B(Ax) = (BA)x = Cx, а затим једноставним алгебарским операцијама налазимо производе:

\[ C = BA = \sum_{k=1}^m b_{ik}a_{kj} = (c_{ij}). \]

Њима дефинишемо одговарајуће матрице из скупа \(\mathcal{M}(T, \vec{x}, \vec{y})\), или кратко \(\mathcal{M}(T)\). Иначе означавамо матрице, функције и векторе истим словима, сем када то додатно наглашавамо због могуће забуне или друге потребе. Матрице су репрезентације линеарних пресликавања, али су и саме такве врсте.

Приметимо да је матрица C = (cij) типа p × n, односно да има онолико редака (врста) колико матрица B, а толико колона (ступаца) колико матрица A. Да би ова матрица C постојала, да би матрично множење BA било могуће, прва матрица (B) мора имати колона (m) колико друга (A) има редова.

3.2. Множење скаларом λ матрице, као и вектора, налазимо из једнакости λ(Ax) = (Aλ)x = A(λx), односно:

\[ \lambda \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m1} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & ... & \lambda a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ \lambda a_{m1} & ... & \lambda a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m1} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ ... \\ \lambda x_n \end{pmatrix}. \]

Отуда

\[ \lambda \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m1} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & ... & \lambda a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ \lambda a_{m1} & ... & \lambda a_{mn} \end{pmatrix}, \]

или краће писано \(\lambda(a_{ij}) = (\lambda a_{ij})\). Матрицу множимо скаларом тако што сваки њен елеменат множимо тим скаларом.

3.3. Сабирање матрица изводимо из сабирања вектора и деловања линеарних пресликавања на збирове, A(x' + x'') = Ax' + Ax'', односно:

\[ \begin{pmatrix} a'_{11} + a''_{11} & ... & a'_{1n} + a''_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a'_{m1} + a''_{m1} & ... & a'_{mn} + a''_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a'_{11} & ... & a'_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a'_{m1} & ... & a'_{mn} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a''_{11} & ... & a''_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a''_{m1} & ... & a''_{mn} \end{pmatrix}. \]

Скраћено писано \((a'_{ij} + a''_{ij}) = (a'_{ij}) + (a''_{ij})\). Матрице које сабирамо морају бити истог типа, а тада сабирамо одговарајуће њихове коефицијенте.

Додатне особине матрица наћи ћете у мојој књизи Квантна Механика (1.2.2 Матрице). Тамо ћете наћи детаље о следећим и још неким примерима.

Пример 1. Проверити да свака од матрица квадрирана даје нулу:

\[ B_1 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & - 1 \end{pmatrix}, \quad B_2 = \begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & -i \end{pmatrix}, \quad B_3 = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}. \]

Какак би био њен општи облик? Може ли се рећи да она представља „жмиркање“, процес који наизменично настаје и нестаје? □

Пример 2. У следећој репрезентацији матрица другог реда:

\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \frac{a+d}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \frac{i(b+c)}{2} \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} + \frac{b-c}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + \frac{i(a-d)}{2} \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \]

где је i2 = -1, прва је јединична а остале три су Паулијеве. □

Пример 3. Посматрамо матрицу канала трећег реда преноса y = Qx расподела

\[ \begin{pmatrix} \cos\beta_1 \\ \cos\beta_2 \\ \cos\beta_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\beta_1\cos\alpha_1 & \cos\beta_1\cos\alpha_2 & \cos\beta_1\cos\alpha_3 \\ \cos\beta_2\cos\alpha_1 & \cos\beta_2\cos\alpha_2 & \cos\beta_2\cos\alpha_3 \\ \cos\beta_3\cos\alpha_1 & \cos\beta_3\cos\alpha_2 & \cos\beta_3\cos\alpha_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha_1 \\ \cos\alpha_2 \\ \cos\alpha_3 \end{pmatrix} \]

из скрипте Информатичка Теорија. Њени редови су „условне вероватноће“, \(q_{jk} = \cos\beta_j\cos\alpha_k\) да ће k-ти сигнал бити пресликан матрицом (пренешен каналом) Q као j-ти, где су \(x_k = \cos \alpha_k\) улазна и \(y_j = cos\beta_j\) излазна расподела „вероватноћа“, али тек након квадрирања. Наиме, косинуси ових углова су такви да им је збир квадрата јединица. □

4. Инвертибилност

Линеарно пресликавање \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\) се назива инвертибилно ако постоји линеарно пресликавање \(S \in \mathcal{L}(Y, X)\) тако да је \(ST\) идентичко пресликавање на простору \(X\), а \(TS\) је идентичко пресликавање на простору \(Y\). Линеарно пресликавање \(S \in \mathcal{L}(Y, X)\) које задовољава \(ST = I\) и \(TS = I\) је инверзно пресликавању \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\), прво \(I\) идентичко на \(X\), а друго \(I\) идентичко на \(Y\). (Invertible Functions)

Став 9. Инвертибилно линеарно пресликавање има јединствен инверзни елеменат.

Доказ: Нека су \(S_1, S_2\) инверзни пресликавању \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\). Тада:

\[ S_1 = S_1I = S_1(TS_2) = (S_1T)S_2 = IS_2 = S_2. \]

Дакле, \(S_1 = S_2\). ∎

Са овим сазнањем, да је јединствен када постоји, инверзни елеменат пресликавања \(T\) обично означавамо са \(T^{-1}\).

Став 10. Линеарно прсликавање је инвертибилно ако и само ако је инјективно и сурјективно.

Доказ: Прво, претпостављамо да је \(T\) инвертибилно. Да је оно тада инјективно види се за \(x_1, x_2 \in X\) и \(Tx_1 = Tx_2\) из \(x_1 = T^{-1}(Tx_1) = T^{-1}(Tx_2) = x_2\). Ако је, пак, \(y \in Y\), тада \(y = T(T^{-1}y)\), што значи да је у кодомену од \(T\). Према томе, \(T(X) = Y\), пресликавање је сурјекција такође.

Друго, претпостављамо обрнуто, да је пресликавање \(T\) инјективно и сурјективно. За сваки \(y \in Y\) нека је \(Sy\) јединствени елеменат из \(X\) такав да је \(T(Sy) = y\). Јасно је да је \(T\circ S\) јединствено пресликавање на \(Y\), а да докажемо једниственост \(S \circ T\) на \(X\), узмимо \(x \in X\). Тада:

\[ T((S\circ T)x) = (T\circ S) (Tx) = I(Tx) = Tx. \]

Из добијене једнакости \( (S\circ T)x = x\) следи да је \(S\circ T\) јединствено пресликавање скупа \(X\).

У овом другом случају, преостало је још доказати да је S линеарно. Ради тога узмимо \(y_1, y_2 \in Y\), па је:

\[ T(Sy_1 + Sy_2) = T(Sy_1) + T(Sy_2) = y_1 + y_2. \]

Према томе, \(Sy_1 + Sy_2\) је јединствен \(x\) које \(T\) пресликава у \(y_1 + y_2\). Отуда \(S(y_1 + y_2) = Sy_1 + Sy_2\), па је \(S\) адитивна. Доказ хомогености је сличан. Када \(y \in Y\) и \(\lambda \in \Phi\), тада \(T(\lambda Sy) = \lambda T(Sy) = \lambda y\), па је \(\lambda Sy\) јединствен елеменат \(X\) који \(T\) пресликава у \(\lambda y\). По дефиницији \(S\) то значи да је \(S(\lambda y) = \lambda S(y)\). Дакле, \(S\) је линеарно. ∎

На пример, стохастичка матрица (пример 3) није инвертибилна, јер није сурјекција. Ни матрица B која квадрирана даје нулу (пример 1) није инвертибилна, јер није инјекција. Ово друго се види из супротне претпоставке и множења са B, када добијемо \(B(y_2 - y_1) = B^2(x_2 - x_1) = 0\).

4.1. Изоморфизам је инвертибилно линеарно пресликавање. Два су векторска простора изоморфна ако постоји изоморфизам из једног векторског простора у други, па је изоморфизам уједно однос једнаких форми две структуре. Реч је изведена из старогрчког: ισος исос „једнак“, и μορφη морфе „облик“.

Став 11. Два коначно-димензионална векторска простора над Φ су изоморфна ако и само ако имају исту димензију.

Доказ: Прво, претпоставимо да су X и Y изоморфни коначно-димензионални векторски простори. На основу \(\dim X = \dim\ker(T) + \dim T(X)\), став 5, те \(\ker(T) = \{0\}\), због инвертибилности, је \(T(X) = Y \). Отуда \(\dim \ker(T) = 0\), па је \(\dim T(X) = \dim Y\).

Друго, ради доказа у обрнутом смеру претпоставимо да су X и Y коначно-димензионални и једнаке димензије. Нека су \(x_1, ..., x_n \in X\) и \(y_1, ..., y_n \in Y\) базе, а \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\) такво да

Зато што је сваки векторски простор димензије n изоморфан са неким Φn, проучавањем тог једног пуно сазнања можемо пренети осталим. Допуњавамо тако и познавање физичких стања.

\[ T(a_1x_1 + ... + a_nx_n) = a_1y_1 + ... + a_ny_n \]

Тада је T добро дефинисано линеарно пресликавање база. Оно је сурјекција, јер yk разапиње Y. Поред тога, \(\ker(T) = \{0\}\), јер су xk независни, па је T инјекција. А сурјекција и инјекција су бијекција, и изоморфизам. ∎

Приметимо да матрице скупа \(\Phi^{m,n}\), са m редака и n колона, имају укупно m ⋅ n елемената. Формално, можемо их третирати и као низове те дужине, дакле и као векторе простора димензије m ⋅ n. Када су \(x_1, ..., x_n \in X\) и \(y_1, ..., y_m \in Y\) базе својих простора, тада свакој \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\) постоји њена матрица \(\mathcal{M}(T) \in \Phi^{m,n}\). Другим речима, једном када имамо установљене базе простора X и Y, тада \(\mathcal{M}\) постаје функција која \(\mathcal{L}(X, Y)\) пресликава у \( \Phi^{m,n}\). Већ смо видели да је матрично пресликавање линеарно, а показује се и да је оно инвертибилно.

Став 12. Ако су \(x_1, ..., x_n \in X\) и \(y_1, ..., y_m \in Y\) базе тих простора, онда је \(\mathcal{M}\) изоморфизам између \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\) и \(\Phi^{m,n}\).

Доказ: Видели смо да је матрично пресликавање линеарно, а сада треба показати да је \(\mathcal{M}\) инјективно и сурјективно. Инјективност следи из \(T \in \mathcal{L}\) и \(\mathcal{M} = 0\), откуд је свако \(Tx_k = 0\). Зато што xk чине базу биће T = 0, па имамо и инјективност (став 3).

За доказ сурјективности \(\mathcal{M}\) пођимо од \(A \in \Phi^{m,n}\). Нека је T линеарно пресликавање са X на Y тако да је

\[ Tx_k = \sum_{j=1}^m a_{jk}y_j, \quad k = 1, ..., n \]

Очигледно је \(\mathcal{M}(T)\) једнако \(A = (a_{ij})\), па је и кодомен \(\mathcal{M}\) једнак \(\Phi^{m,n}\). ∎

Са претходним (став 11-12) дошли смо до веома корисне релације о димензијама линеарног оператора коначно димензионалног домена и кодомена. Знајући димензионалност знамо пуно о простору.

Став 13. \(\dim \mathcal{L}(X, Y) = (\dim X) (\dim Y)\).

4.2. Досадашње матрице линеарних пресликавања лако се проширују и на појам матрице вектора. Ако је \(x \in X\) базе \(x_1, ..., x_n \in X \), онда је матрица x-а у односу на дату базу n×1 матрица колона

\[ \mathcal{M}(x) = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \]

где су ak скалари такви да је \(x = a_1x_1 + \cdots + a_nx_n\). Матрица \(\mathcal{M}(x)\) вектора \(x \in X\) зависи о бази \(x_1, ..., x_n \in X\), као и о \(x\). Једном када је база изабрана, функција \(\mathcal{M}\) променљивих \(x \in X\) постаје изоморфизам \(X\) на \(\Phi^{n,1}\)

Када је A = (ajk) матрица типа m×n, онда (a.k) означава k-ту колону A, која се сматра матрицом m×1.

Став 14. Нека је \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\), а \(x_1, ..., x_n \in X\) и \(y_1, ..., y_m \in Y\) су базе својих простора и 1 ≤ k ≤ n. Тада је k-та колона матрице \(\mathcal{M}(T)\), коју означавамо са \(\mathcal{M}(T)_{.k}\), једнака \(\mathcal{M}(x_k)\).

Доказ: То је непосредна последица дефиниција \(\mathcal{M}(T)\) и \(\mathcal{M}(x_k)\). ∎

Следећи резултат показује да се линеарно пресликавање понаша као матрично множење са множеном матрицом као вектором.

Став 15. Ако је \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\), а \(x_1, ..., x_n \in X\) и \(y_1, ..., y_m \in Y\) су базе, тада \(\mathcal{M}(Tx) = \mathcal{M}(T)\mathcal{M}(x)\).

Доказ: Нека је \(x = a_1x_1 + ... + a_nx_n\), са скаларима \(a_k\), па је:

\[ Tx = a_1Tx_1 + ... + a_nTx_n, \] \[ \mathcal{M}(Tx) = a_1\mathcal{M}(Tx_1) + ... + a_n\mathcal{M}(Tx_n) = \] \[ = a_1\mathcal{M}(T)_{.1} + ... + a_n\mathcal{M}(T)_{.n} \] \[ = \mathcal{M}(T)\mathcal{M}(x). \]

Тиме је став доказан. ∎

4.3. Оператор је линеарно пресликавање из \(\mathcal{L}(X, X)\), или \(\mathcal{L}(X)\), са векторског простора на себе.

У случају бесконачно димензионалних простора ни инјективност нити сурјективност не гарантују инвертибилност, али у случају коначно димензионалних за операторе било која од те три значи и остале две.

Став 16. Ако је X коначне димензије и \(T \in \mathcal{L}(X) \), онда су следећа три тврђења еквивалентна:

  1. T је инвертибилно;
  2. T је инјективно;
  3. T је сурјективно.

Доказ: Јасно је да (1) имплицира (2). Даље претпоставимо да је (2) тачно. Тада је:

\[ \dim T(X) = \dim X - \dim \ker(T) = \dim X. \]

Дакле, кодомен T je X, па (2) имплицира (3). Сада претпоставимо да је (3) тачно. Онда је:

\[ \dim \ker(T) = \dim X - \dim T(X) = 0. \]

То значи да је T инвертибилно, дакле, да (3) повлачи (1). ∎

Пример 4. Стохастичка матрица колона трансформише расподеле, q = Cp, на пример

\[ \begin{pmatrix} 0,40 \\ 0,35 \\ 0,25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,5 & 0,2 & 0,1 \\ 0,3 & 0,6 & 0,2 \\ 0,2 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,70 \\ 0,20 \\ 0,10 \end{pmatrix}. \]

Уопште у колонама такве матрице \(C = (c_{jk})_{mn}\) су расподеле вероватноћа. Сваки \(c_{jk} \ge 0\), а при томе за свако \(k = 1, ..., n\) је \(c_{1k} + ... + c_{mk} = 1\). Када пресликава расподеле \(C : \vec{p} \to \vec{q}\), таква матрица сужавати ће распон расподе. На пример, излазно 0,2 ≤ q2 ≤ 0,6 не зависи од улазних pk.

Резултат пресликавања матрицом C је опет нека расподела вероватноћа, што значи да је она сурјекција и, према ставу 16, инвертибилно је пресликавање. На пример, детерминанта дате је 0,15 и постоји њена инверзна матрица, приближно на једну децималу

\[ C^{-1} = \begin{pmatrix} 2,5 & -0,8 & -0,1 \\ -1,1 & 2,2 & -0,5 \\ -0,4 & -0,4 & 1,6 \end{pmatrix}. \]

Међутим, она није стохастичка матрица, није матрица канала. Нису могући случајни процеси уназад. □

Пример 5. Квази стохастичка матрица, y = Qx, на начин 3. примера пресликава расподеле код којих је \(|x_1|^2 + |x_2|^2 = 1\) у расподеле \(|y_1|^2 + |y_2|^2 = 1\)

\[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1x_1^* & y_1x_2^* \\ y_2x_1^* & y_2 x_2^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \]

где је xk* коњуговано комплексан број xk, није инјекција. Наиме, једнакост \( x_1^*x_1' + x_2^*x_2' = 1\) решавају разни парови \((x_1', x_2')\). Према ставу 16, она није инвертибилна, детерминанта таквих матрица је нула, \(\det(Q) = 0\). □

5. Производ простора

Производ простора \(X_1\times \dots \times X_n = \{(x_1, \dots, x_n) : x_1 \in X_1, \dots x_n \in X_n\}\) векторски је простор када су сви \(X_k\) векторски простори. Сабирање дефинише \((x_1, ..., x_n) + (x_1', ..., x_n') = (x_1 + x_1', ..., x_n + x_n')\), а скаларно множење \(\lambda(x_1, ..., x_n) = (\lambda x_1, ..., \lambda x_n)\).

Приметимо да векторски простор \(R^2\times R^3\) чини уређен пар низова \(((x_1, x_2), (x_3, x_4, x_5))\) и да то није баш исти векторски простор као \(R^5\) којег чини низ \((x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)\). Међутим, изједначавати их по изоморфизму можемо. Изоморфне су векторском простору и расподеле са истим бројем исхода, било добијене простим повећавањем броја куглица у лото бубњу или неким другим умножавањем, али то неће нужно значити и њихове једнаке вероватноће нити расподелу информације које поједини базни вектори носе.

Став 17. Димензија производа векторских простора једнака је збиру димензија појединих фактора.

\[ \dim(X_1 \times \dots \times X_n) = \dim X_1 + \dots + \dim X_n \]

Доказ: Бирајмо базу за сваки од \(X_k\) и за сваки базни вектор сваке од база оставимо k-ти са нулама у свим осталим његовим положајима. Листа таквих вектора је линеарно независна и разапиње производ простора, а има димензију збира димензија свих сабирака. ∎

5.1. Када су X1 и X2 потпростори X, њихов збир чини простор

\[ X_1 + X_2 = \{x_1 + x_2 : x_1 \in X_1, x_2 \in X_2\}. \]

База таквог простора је унија база појединих сабирака. То је очигледно када разврстамо базне векторе на оне само првог потпростора, само другог и заједничке. На основу тогa добијамо и запис истог

\[ \dim(X_1 + X_2) = \dim(X_1) + \dim(X_2) - \dim(X_1 \cap X_2), \]

што смо већ помињали (Димензија, пример 16).

Директна сума је посебан збир коначно-димензионалних дисјунктних (пот)простора \( X_1, ..., X_n \in X \)

коју означавамо са \(X_1\oplus \dots \oplus X_n\), ако је \(X = X_1 \times \dots \times X_n\). Из саме дефиниције директне суме јасно је да је она сурјективно пресликавање, те да је

\[ \dim(X_1\oplus \dots \oplus X_n) = \dim X_1 + ... + \dim X_n. \] Подскуп простора

5.2. Један вектор \(x \in X\) и подпростор \(Y \subseteq X\) дефинишу подскуп \(x + Y = \{x + y : y \in Y \}\), такође подпростор \(X\).

На пример, простор \(X\) је координатна раван на слици десно, подпростор \(Y\) је (плава) права кроз исходиште која је транслирана у (црвену) и њој паралелну праву додавањем јединичног вектора ординате u(0, 1), или вектора v(2, 2).

Афини подскуп од \(X\) је подскуп простора \(X\) који је облика \(x + Y\) за неки \(x \in X\) и неки подпростор \(Y\) простора \(X\). За \(x \in X\) и подскуп \(Y\) простора \(X\), за афини подскуп \(x + Y\) се каже да је паралелан са \(Y\).

Количнички простор \(X/Y = \{ x + Y : x \in X\}\) је скуп свих афиних подскупова из \(X\) паралелних са \(Y\).

Простор је (квантни) систем, а вектор је (квантно) стање. У тој интерпретацији, количнички простор је једна међу више могућих физичких реалности.

Да бисмо количнички простор \(X/Y\) видели као векторски простор треба приметити да су сви афини подскупови \(Y\) или међусобно једнаки, или су дисјунктни. То утврђује следећи став. Узгред приметимо да, на пример, на претходној слици десно, вектор \(x_1 - x_2 \in Y\) лежи на црвеној правој x + Y и да спаја врховe вектора u и v.

Став 18. Ако је \(Y\) подпростор \(X\) и \(x_1, x_2 \in X\), онда су следећа тврђења еквивалентна:

  1. \(x_1 - x_2 \in Y\);
  2. \(x_1 + Y = x_2 + Y\);
  3. \( (x_1 + Y) \cap (x_2 + Y) \ne \emptyset \).

Доказ: Нека је (1) тачно, да \(x_1 - x_2 \in Y\). Ако \(y \in Y\) онда \(x_1 + y = x_2 + ((x_1 - x_2) + y) \in x_2 + Y\), па је \(x_1 + Y \subseteq x_2 + Y\). Слично је \(x_2 + Y \subseteq x_1 + Y\). Отуда важи (2). Очигледно из (2) следи (3). Узмимо сада да важи (3), да је \( (x_1 + Y) \cap (x_2 + Y) \ne \emptyset \). То значи тамо су \(y_1, y_2 \in Y\) такви да \(x_1 + y_1 = x_2 + y_2\), па је \(x_1 - x_2 = y_2 - y_1\), отуда \(x_1 - x_2 \in Y\), па важи (1). ∎

Сабирање и скаларно множење у количничком простору \(X/Y\) дефинишемо са:

  • \( (x_1 + Y) + (x_2 + Y) = (x_1 + x_2) + Y\),
  • \( \lambda(x + Y) = (\lambda x) + Y \),

за све \(x, x_1, x_2 \in X\) и све \(\lambda \in \Phi\).

Став 19. Количнички простор \(X/Y\) је векторски простор.

Доказ: Афини простор паралелан Y није јединствен и отуда тежина овог доказа. Нека су \(x_1, x_2 \in X\) и такође \(x_1', x_2' \in X\) такви да је \(x_1 + Y = x_1' + Y\) и \(x_2 + Y = x_2' + Y\). Према 18. ставу \(x_1 - x_1' \in Y\) и \(x_2 - x_2' \in Y\), јер \(Y \subseteq X\), па је \( (x_1 - x_1') + (x_2 - x_2') \in Y\) а онда и \( (x_1 + x_2) - (x_1' + x_2') \in Y\), затим \( (x_1 + x_2) + Y = (x_1' + x_2') + Y\) и то је то. Зато дефиниција сабирања \(X/Y\) има смисла.

Са друге стране, нека је \(\lambda \in \Phi\). Обзиром да је потпростор затворен на скаларно множење, биће \( \lambda(x_1 - x_1') \in Y\). Тако \(\lambda x_1 - \lambda x_1' \in Y\), па опет 18. ставом \((\lambda x_1) + Y = (\lambda x_1') + Y\). Тиме и дефиниција скаларног множења добија смисао.

Потврда аксиома векторског простора сада је очигледна. При томе, неутралност на сабирање у \(X/Y\) је \(0 + Y\) (што је једнако Y), а инверзни елементу \(x + Y\) је \((-x) + Y\). ∎

Следећа врста пресликавања (quotient map, π) пре је део топологије, али овде ће нам помоћи да лакше израчунамо димензију \(X/Y\). Лако ћете сами установити да је то линеарно пресликавање.

Ако је Y је потпростор X, количничко пресликавање π је линеарно пресликавање \(\pi : X \to X/Y\) дато са

\[ \pi(x) = x + Y, \quad x \in X. \]

Став 20. Претпоставимо да је X коначно димензионалан и Y је подпростор X. Тада

\[ \dim X/Y = \dim X - \dim Y. \]

Доказ: Нека је \( \pi : X \to X/Y \) количничко пресликавање. Према 18. ставу, \(\ker \pi = Y\), а према 5. ставу, \( \dim X = \dim Y + \dim X/Y \). ∎

Са линеарним пресликавањем \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\) дефинишемо \( \tilde{T} : X/(\ker T) \to Y \) као \(\tilde{T}(x + \ker T) = Tx\).

Ова дефиниција има смисла, јер \(x_1, x_1 \in X\) за које је \(x_1 + \ker T = x_2 + \ker T\) узрокује \(x_1 - x_2 \in \ker T\) (став 18), па је \(T(x_1 - x_2) = 0\) и \(Tx_1 = Tx_2\).

Став 21. Претпоставимо \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\). Тада:

  1. \(\tilde{T}\) је линеарно пресликавање са \(X/(\ker T)\) на \(Y\);
  2. \(\tilde{T}\) је инјективно;
  3. кодомени \(\tilde{T}\) и \(T\) су једнаки;
  4. \(X/(\ker T)\) је изоморфно кодомену \(T\).

Доказ: Линеарност (1) је очигледна. За доказ инјективности (2), нека \(x \in X\) и \(\tilde{T}(x + \ker T) = 0\). Тако \(x \in \ker T\), а отуда (став 18) \(x + \ker T = 0 + \ker T\), те \(\ker \tilde{T} = 0\) и имамо инјективност.

Из саме дефиниције \(\tilde{T}\) следи (3), да су кодомени \(\tilde{T}\) и \(T\) једнаки. Делови (2) и (3) имплицирају да \(\tilde{T}\) као пресликавање у кодомен \(T\) мора бити изоморфизам између \(X/(\ker T)\) и кодомена \(T\). ∎

6. Дуалност

Линеарна функционела на X је линеарно пресликавање са X на Φ. Линеарна функционела је елеменат линеарних функција \(\mathcal{L}(X, \Phi)\).

На пример, \(\varphi(x_1, ..., x_n) = a_1x_1 + ... + a_nx_n\) је линеарна функционела \(\varphi : \Phi^n \to \Phi\). Када имамо посла са изводима и интегралима, рецимо полинома попут \(\phi (p) = 2\phi''(3) + 4\phi(5)\), линеарна функционела је \(\phi : \mathcal{P}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}\), или \(\psi(p) = \int_0^1 p(x)\ dx\). Тип линеарне функционеле је и „збир производа“.

6.1. Дуални простор X' простора X чине све линеарне функционеле на X, тј. \(X' = \mathcal{L}(X, \Phi)\).

Став 22. Ако је X коначно димензионалан, онда је X' коначно димензионалан и \(\dim X' = \dim X\).

Доказ: Тврђење следи непосредно из става 12. ∎

Информација перцепције постаје врста линеарне функционеле ако стандардну базу чине обзервабле окружења, а њима одговарајућим скаларима меримо нивое перцепција, комуникација те околине и датог субјекта.

Приметимо да сваки поједини вектор стандардне базе \(e_1, ..., e_n \in \Phi^n\) можемо множити скаларом λk и тако дефинисати \(\varphi_j(\lambda_1, ..., \lambda_n) = \lambda_j\), за j = 1, ..., n, дакле добити линеарну функционелу. Наше перцепције су дуални простор физичким стањима окружења.

Дуална база базе \(x_1, ..., x_n \in X\) је низ елемената из X' таквих да је

\[ \varphi_j(x_k) = \begin{cases} 1, & k = j, \\ 0, & k \ne j, \end{cases} \quad j, k \in \{1, ..., n\}, \]

низ линеарних функционала \(\varphi_j \in X'\). Да је „дуална база“ заиста база утврђујемо следећим ставом.

Став 23. Ако је X коначно димензионалан простор, онда је дуална база X база простора X'.

Доказ: Нека је \(x_1, ..., x_n \in X\) база, а \(\varphi_1, ..., \varphi_n \in X'\) дуална база. Да покажемо линеарну независност елемената \(\varphi_j \in X'\). Претпоставимо ли да постоје \(a_1, ..., a_n \in \Phi\) такви да је \(a_1\varphi_1 + ... + a_n\varphi_n = 0\), онда је \( (a_1\varphi_1 + ... + a_n\varphi_n)(x_j) = a_j\) редом за j = 1, ..., n. Отуда \(a_1 = ... = a_n = 0\), тј. линеарна независност. То према 22. ставу (и Димензија 14. задатку) имплицира да је \(\varphi_1, ..., \varphi_n \in X'\) база. ∎

6.2. Дуално пресликавање пресликавању \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\) је \(T' \in \mathcal{L}(Y', X')\).

Наиме, \(T'(\varphi)\) дефинишемо на \(\varphi \in Y'\) и \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\) као композицију тих линеарних пресликавања \(\varphi\) и \(T\). На тај начин је \(T'(\varphi) : X \to \Phi\) заиста линеарно пресликавање и \(T'(\varphi) \in X'\):

  • \(T'(\varphi + \psi) = (\varphi + \psi)\circ T = \varphi \circ T + \psi \circ T = T'(\varphi) + T'(\psi), \)
  • \( T'(\lambda \varphi) = (\lambda \varphi)\circ T = \lambda(\varphi \circ T) = \lambda T'(\varphi), \)

за све \(\varphi, \psi \in Y'\) и \(\lambda \in \Phi\).

Став 24. Алгебарске особине дуалних пресликавања су:

  1. \((S + T)' = S' + T' \),
  2. \( (\lambda T)' = \lambda T' \),
  3. \( (ST)' = S'T' \),

за све линеарне операторе S, T и скаларе λ.

Доказ: Прве две особине су очигледне. Трећа следи из:

\[ (ST)'(\varphi) = \varphi \circ (ST) = (\varphi \circ S) \circ T = T' (\varphi \circ S) = T'(S'(\varphi)) = (T'S')(\varphi), \]

а отуда \( (ST)' = S'T' \). ∎

6.3. Анихилатор ознаке \(Y^0\), или \(Y_x^0\) потпростора Y ⊆ X дефинише \(Y^0 = \{ \varphi \in X : \varphi(y) = 0, \forall y \in Y\} \).

На пример, за стандардну базу \(e_1, e_2, e_3, e_4, e_5 \in R^5\) и њој дуалну базу \(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3, \varphi_4, \varphi_5 \in (R^5)'\) нека је Y линеал (e1, e2), што је скуп вектора облика (x1, x2, 0, 0, 0) за x1, x2 ∈ ℝ. Тада је \(Y^0\) линеал \((\varphi_3, \varphi_4, \varphi_5)\).

Став 25. Ако је \(Y \subseteq X\) онда је \(Y^0 \subseteq X'\).

Доказ: Јасно је \(0 \in Y^0\). Претпоставимо \(\varphi, \psi \in Y^0\). Тада \(\varphi, \psi \in X' \) и \(\varphi(y) = \psi(y) = 0\) за све \(y \in Y\). Ако је \(y \in Y\), тада је \((\varphi + \psi)(y) = \varphi(y) + \psi(y) = 0 + 0 = 0 \). Отуда адитивност, \(\varphi + \psi \in Y^0\). Тако доказујемо и затвореност на скаларно множење. ∎

Став 26. Ако је X коначно димензионалан, а Y му је потпростор, онда је \(\dim Y + \dim Y^0 = \dim X \).

Доказ: Нека је \(I \in \mathcal{L}(Y, X)\) инклузионо пресликавање, дефинисано са \( I(y) = y\) за \(y \in Y\). Тада је \(I'\) линеарно пресликавање са \(X'\) и \(Y'\). Фундаментални 5. став тада каже да је збир димензије кодомена \(I'\) и димензије нула простора \(I'\) једнак \(\dim X'\). Међутим, нула простор \(I'\) је \(Y^0\) и \(\dim X' = \dim X\), па претходна једнакост каже да је збир димензије кодомена \(I'\) и димензије \(Y^0\) једнак \(\dim X\).

Ако је \(\varphi \in Y'\), онда се \(\varphi\) може проширити на линеарни функционал \(\psi\) на \(X\). По дефиницији тако је \(I'(\psi) = \varphi\). Тако \(\varphi\) припада кодомену \(I'\), из чега следи да је кодомен \(I'\) једнак \(X'\). Отуда је димензија нула простора \(I'\) једнака димензији \(Y'\), а ова једнака димензији \(Y\). Тиме претходна једнакост постаје тражено тврђење. ∎

Став 27. За \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\) важи прво да је нула простор T' једнак (кодомену T)0, тј. \(\ker T' = (T(X))^0\); и друго, ако су X, Y коначно димензионални \(\dim \ker T' = \dim \ker T + \dim Y - \dim X\).

Доказ: Прво. Нека је \(\varphi \in \ker T'\). Тако \(0 = T'(\varphi) = \varphi \circ T \), па \(0 = (\varphi \circ T)(x) = \varphi(Tx)\), за свако \(x \in X\). Отуда \(\varphi \in (TX)^0\) и \(T' \subseteq (T(X))^0\).

Да докажемо инклузију у супротном смеру, сада претпостављамо \(\varphi \in (T(X))^0\). Тако је \(\varphi(Tx) = 0\) за сваки вектор \(x \in X\). Отуда \(0 = \varphi \circ T = T'(\varphi)\). Према томе, \(\varphi \in \ker T'\), што значи \((T(X))^0 \subseteq \ker T'\), чиме је доказ првог дела завршен.

Друго. Имамо редом: \( \dim\ker T' = \dim(T(X))^0 = \dim Y - \dim T(X) = \) \[ = \dim Y - (\dim X - \dim \ker T) = \dim \ker T + \dim Y - \dim X, \]

где прва једнакост долази из првог дела, друга из 26. става, а трећа из 5. става (фундаменталног). ∎

Став 28. За \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\) коначно димензионалних, пресликавање T је сурјекција акко (ако и само ако) је T' је инјекција.

Доказ: Пресликавање \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\) је сурјекција акко \(T(X) = Y\), што ће бити акко \((T(X))^0 = \{0\}\), што је акко \(\ker T' = \{0\} \), а то акко је T' инјекција. ∎

Став 29. За коначно димензионалне просторе и \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\): прво, димензија кодомена T' једнака је димензији кодомена T; друго, кодомен T' је \((\ker T)^0\).

Доказ: Прво. Имамо: \(\dim T'(Y') = \dim Y' - \dim \ker T' = \dim Y - \dim (T(X))^0 = \dim T(X) \).

Друго. Претпоставимо \(\varphi \in T'\), тако да постоји \(\psi \in Y'\) да је \(\varphi = T'(\psi)\). Ако \(x \in \ker T\) онда:

\[ \varphi(x) = (T'(\psi))x = (\psi \circ T)(x) = \psi(Tx) = \psi(0) = 0, \]

па \(0 \in (\ker T)^0\). Отуда је кодомен \(T' \subseteq (\ker T)^0\). У другом делу доказа показаћемо да кодомен T' и \((\ker T)^0\) имају исту димензију. Ради тога:

\[ \dim (T'(Y')) = \dim (T(X)) = \dim X - \dim \ker T = \dim (\ker T)^0, \]

где прва једнакост долази из првог дела, друга из фундаменталног става, а трећа из 26. става. ∎

Став 30. T је инјекција еквивалентно је са T' је сурјекција.

Изоморфизам простора истих димензија показаће се на делу код субјекта са мање чула од реалних могућности интеракција његовог тела са околином.

Доказ: Пресликавање \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\) је инјективно акко \(\ker T = \{0\}\), што ће бити акко \((\ker T)^0 = X'\), а то је акко \(T'(Y') = X'\), а ово је акко је T' сурјекција. ∎

Није увек лако проценити да ли одређени скуп вектора представља базу простора, као ни је ли то пресликавање баш сурјекција. На пример, скуп вектора \(S = \{(1, -1, 0), (2, 2, 0), (1, 2, 3)\}\) јесте база у \(\mathbb{R}^3\), али то није очигледно. Доказ би био да једначина \(x(1, -1, 0) + y(2, 2, 0) + z(1, 2, 3) = 0 \) има једино тривијално решење (x = y = z = 0). То значи рецимо израчунавати:

\[ (x, -x, 0) + (2y, 2y, 0) + (z, 2z, 3z) = 0, \] \[ (x + 2y + z, -x + 2y + 2z, 3z) = 0, \]

одакле је очигледно z = 0, па настављамо са скраћеним линеарним системом једначина:

\[ \begin{cases} x + 2y = 0 \\ -x + 2y = 0 \end{cases} \]

чијим сабирањем и одузимањем налазимо y = 0 и x = 0. Дакле, заиста тривијално решење је једино, а скуп S база је \(\mathbb{R}^3\), односно скуп вектора S разапиње сав \(\mathbb{R}^3\).

Пример 6. Скуп вектора S = {\(\vec{a}(a_1, a_2, a_3)\), \(\vec{b}(b_1, b_2, b_3)\), \(\vec{c}(c_1, c_2, c_3)\)}, са коефицијентима из \(\Phi\), je базa простора \(\Phi^3\) само ако одговарајући хомогени систем линеарних једначина:

\[ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z = 0 \\ a_3x + b_3y + c_3z = 0 \end{cases} \]

за решење има једино тривијално, x = y = z = 0.

Наиме, тада једначина \(x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} = 0\) води до јединог x = y = z = 0, а пошто су у питању три вектора \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) и тиме доказана њихова линеарна независност, они ће разапињати 3-дим векторски простор какав је \(\Phi^3\). □

У наставку показујемо да је дуални простор попут рефлексије (слике у огледалу) векторског простора. То је у (мојој) теорији информације важно запажање, јер репрезентације таквих дуала су информације перцепције, са интерпретацијом, на пример, да субјективни доживљај заиста може до изоморфизама одражавати околни физички свет. Тако сада и са математиком можемо заћи у подручја субјективних реалности, односно егзактније одвајати оно објективно (непроменљиво) од осталог из „субјективног“.

6.4. Матрица дуала линеарног пресликавања је транспонована, која се добија заменом колона и редова. Ознакама \((A^\tau)_{kj} = (A)_{jk}\).

На пример

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^\tau = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \]

су матрица A и њена транспонована матрица A⊤. Лако се показује \((A + B)^\tau = A^\tau + B^\tau \) када је сабирање матрица могуће (ако су истог типа) и \((\lambda A)^\tau = \lambda A^\tau\). Што се тиче производа, доказаћемо следећу особину.

Став 31. Ако је A матрица типа m×n, а матрица B типа n×p, онда \((AB)^\tau = B^\tau A^\tau\).

Доказ: Нека је \(1 \le k \le p\) и \(1 \le j \le m\), тада:

\[ ((AB)^\tau)_{kj} = (AB)_{jk} = \sum_{r=1}^n A_{jr}B_{rk} = \sum_{r=1}^n (B^\tau)_{kr}(A^\tau)_{rj} = (B^\tau A^\tau)_{kj}, \]

односно \((AB)^\tau = B^\tau A^\tau\), што је и требало доказати. ∎

Став 32. Матрица T' је транспонована матрици T. Другим речима, ако је \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\), онда је \(\mathcal{M}(T') = (\mathcal{M}(T))^\tau\).

Доказ: Нека је \(A = \mathcal{M}(T)\) и \(C = \mathcal{M}(T')\). За \(1 \le j \le m\) и \(1 \le k \le n\), по дефиницији \(\mathcal{M}(T')\) је:

\[ T'(\psi_j) = \sum_{r=1}^n C_{rj}\varphi_r , \] \[ (\psi_j \circ T)(x_k) = \sum_{r=1}^n C_{rj}\varphi_r(x_k), \]

а ово је коефицијент \( C_{kj}\). Такође имамо:

\[ (\psi_j \circ T)(x_k) = \psi_j(Tx_k) = \psi_j\left(\sum_{r=1}^m A_{rk}y_r\right) = \sum_{r=1}^m A_{rk}\psi_j(y_r), \]

а ово је коефицијент \(A_{jk}\). Упоређен са претходним \(C_{kj} = A_{jk}\), односно \(C = A^\tau\), или \(\mathcal{M}(T') = (\mathcal{M}(T))^\tau\), што је и требало доказати. ∎

6.5. Ранг колоне (ретка) матрице је димензија простора који он разапиње. За матрицу A типа m×n, са m редова и n колона, ранг колоне је m (толико компоненти има тај вектор), а ранг реда (врсте) је n.

Став 33. У коначно-димензионалном пресликавању \(T \in \mathcal{L}(X, Y)\) димензија кодомена T једнака је рангу колоне матрице \(\mathcal{M}(T)\).

Доказ: Нека су \(x_1, ..., x_n \in X\) и \(y_1, ..., y_m \in Y\) базе простора којима припадају. Функција y са линеала \(Tx_1, ..., Tx_n\) на линеал \(\mathcal{M}(y)\) може се видети као изоморфизам са линеала \(Tx_1, ..., Tx_n\) на линеал \(\mathcal{M}(Tx_1), ..., \mathcal{M}(Tx_n)\). Димензије таква два линеала су једнаке, где је димензија другог једнака рангу колоне матрице \(\mathcal{M}(T)\).

Лако је видети да је ранг T једнак линеалу \(Tx_1, ..., Tx_n\), па је димензија тог ранга једнака димензији линеала, а ова рангу колоне \(\mathcal{M}(T)\), што је требало доказати. ∎

Став 34. Ранг ретка једнак је рангу колоне матрице.

Доказ: Нека је матрица \(A \in \Phi^{mn}\), а пресликавање \(T : \Phi^{n1} \to \Phi^{m1}\) дефинисано са Tx = Ax. Дакле, \(\mathcal{M}(T)\) израчунавамо у односу на стандардне базе \(\Phi^{n1}\) и \(\Phi^{m1}\). Сада ранг колоне A = рангу колоне \(\mathcal{M}(T)\) = димензији кодомена T = димензији кодомена T' = рангу колоне \(\mathcal{M}(T')\) = рангу колоне \(A^\tau\) = рангу ретка A. Друга једнакост долази од претходног става, трећа од првог дела става 29, четврта опет из претходног, пета од 32. става, а последња просто од дефиниције. ∎

На пример, ако вектори \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) из 6. примера чине колоне матрице трећег реда, ставом 34. утврђује се да, независно од распореда колона, редови (врсте) матрице представљају независне векторе акко су колоне независне. Иначе, ови резултати кажу да уместо ранг колоне или ретка можемо једноставно рећи ранг матрице. Ранг матрице \(A \in \Phi^{mn}\) је ранг колоне A.