Ток излагања је школски програм алгебре векторских простора, са незнатним додатцима. Полиноми су неизбежни у третирању својствених вредности и својствених вектора наредних пресликавања, иако сами нису тема линеарне алгебре. Ако нисте заинтересовани за оволику опширност, потражите неки скраћени курс, рецимо Polynomials. И даље тело скалара Φ чине реални бројеви ℝ, или комплексни ℂ, а са X или Y означени су векторски простори над Φ.

1. Комплексни бројеви

Имагинарна јединица је решење квадратне једначине z2 + 1 = 0. То је број чији квадрат је минус један, i2 = -1. Ојлер је у Русији (Универсальная арифметика, 1765) добио идеју да такву имагинарну јединицу развије по имагинарној оси окомитој на реалну осу у координатном систему, као на слици десно.

Kompleksni brojevi

Тачке те равни су комплексни бројеви писани у облику z = x + iy, где су x и y њене пројекције на апсцису и ординату, иначе реални бројеви, тако да је \(\Re(z) = x\) и \(\Im(z) = y\).

Представљене у тригонометријском облику, све се тачке јединичне кружнице могу представљати у облику \(e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi\), што је Ојлер нашао развојем функција у редове (сабирањем косинуса и синуса у експоненцијалну функцију).

Апсциси осно симетрична тачка је „коњуговано“ комплексан број, овај \(e^{-i\varphi} = \cos\varphi - i\sin\varphi\), или z* = x - iy. Такав множен са датим је реалан број \( e^{i\varphi}e^{-i\varphi} = e^0 = 1\), односно:

\[ (\cos\varphi + i\sin\varphi)(\cos\varphi - i\sin\varphi) = \] \[ = \cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1. \]

Такође, \(z z^* = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2 \). Даље се „реални“ \(\Re(z) = x\) и „имагинарни“ \(\Im(z) = y\) део комплексног броја z = x + iy формализују у агебру те врсте бројева. Апсолутна вредност, или модуо, комплексног броја тако је \(|z| = \sqrt{zz^*} = \sqrt{(\Re(z)^2 + \Im(z)^2}\). Увек је |z| ≥ 0.

На пример, комплексном броју z = 4 + 3i коњугован је z* = 4 - 3i, а производ ова два z*z = 16 + 9 = 25. Број је реалан ако и само ако z = z*. Скуп реалних бројева означавамо са ℝ, а скуп комплексних са ℂ. Још тога о комплексним бројевима наћи ћете у уводном делу.

1. Пример. Сви комплексни бројеви имају следеће особине:

  1. \(z + z^* = 2\Re(z)\);
  2. \(z - z^* = 2\Im(z)\);
  3. \( zz^* = |z|^2 \);
  4. \( (z + w)^* = z^* + w^* \);
  5. \( (zw)^* = z^* w^* \);
  6. \( (z^*)^* = z \);
  7. \( |\Re(z)| \le |z|, \ |\Im(z)| \le |z|\);
  8. \( |zw| = |z| |w|, \ \ |z^*| = |z|\);
  9. \( |z + w| \le |z| + |w| \).

Докажимо последњу, која можда једина није очигледна:

\[ |z + w|^2 = (z + w)(z^* + w^*) = zz^* + zw^* + wz^* + ww^* = |z|^2 + |w|^2 + zw^* + (zw^*)^* \le \] \[ \le |z|^2 + |w|^2 + 2\Re(zw^*) = |z|^2 + |w|^2 + 2|zw^*| = |z|^2 + |w|^2 + 2|z||w| = (|z| + |w|)^2, \]

а отуда \( |z + w| \le |z| + |w| \). Ова особина се зове неједнакост троугла. □

2. Јединственост

Полином је функција \(p : \Phi \to \Phi\) одређена једнакошћу \(p(z) = a_0 + a_1z + ... + a_mz^m\) и коефицијентима \(a_0, a_1, ..., a_m \in \Phi\). Ако је am ≠ 0, онда је полином степена m, тада пишемо \(\deg p = m\). Степен нултог полинома је -∞, тако да је \(\deg(pq) = \deg p + \deg q\), чак и када је један од та два полинома нулти.

2. Став. Ако је \(p(z) = a_0 + a_1z + ... + a_mz^m = 0\) за свако \(z \in \Phi\), онда је \(a_0 = a_1 = ... = a_m = 0\).

Доказ: Ако рецимо am ≠ 0, онда узмимо

\[ z = \frac{|a_0| + |a_1| + ... + |a_{m-1}|}{|a_m|} + 1. \]

Због \(z \ge 1\) биће \(z^k \le z^{m-1}\) за све \(k = 0, 1, ..., m-1\). Неједнакост троугла даје:

\[ |a_0 + a_1z + ... + a_{m-1}z^{m-1}| \le (|a_0| + |a_1| + ... + |a_{m-1}|)z^{m-1} < |a_mz^m|, \]

а отуда \( a_0 + a_1z + ... + a_{m-1}z^{m-1} \ne - a_mz^m\), што је супротно претпоставци. ∎

Непосредна последица овог става је јединственост коефицијената полинома. Наиме, ако би полином имао два различита низа коефицијената, одузимањем таквих презентација полинома добили бисмо контрадикцију са горњим резултатом.

3. Алгоритам делења

Ако су p и s ≠ 0 ненегативни цели бројеви, тада постоје и ненегативни цели бројеви q и r такви да важе релације p = sq + r и r < s. Говоримо о познатом нам делењу броја p бројем s када се добија количник q и остатак r. На пример, 17 = 5⋅3 + 2, делимо 17 са 5 и добијемо 3 са остатком 2:

		17 : 5 = 3 
		15 -
		=2
	  

Обратимо пажњу на потписивање. Испод 17 пишемо 5⋅3 = 15, па та два одузимамо, а када је оно што добијемо мање од дељеника то је онда остатак и крај дељења. Установићемо да аналогно важи и код полинома.

3. Став. Ако је \(p, s \in \mathcal{P}(\Phi)\) и \(s \ne 0\), онда постоје јединствени полиноми \(q, r \in \mathcal{P}(\Phi)\) такви да

\[ p = sq + r \]

и \(\deg r < \deg s\).

Доказ: Нека је \(n = \deg p\) и \(m = \deg s\). Ако је \(n < m\), онда ставимо q = 0, r = p и имамо резултат. Даље, претпоставимо да је nm. Нека је \(T : \mathcal{P}_{n-m}(\Phi) \times \mathcal{P}_{m-1}(\Phi) \to \mathcal{P}_n(\Phi) \) такво да \(T(q,r) = sq + r\). Ово T је линеарно пресликавање. Ако \((q, r) \in \ker T\), онда \(sq + r = 0\), одакле \(q = r = 0\), јер иначе \(\deg sq \ge m\) па \(sq \ne -r\). Зато је \(\dim \ker T = 0\). Даље је (Производ простора, Став 17)

\[ \dim(\mathcal{P}_{n-m}(\Phi) \times \mathcal{P}_{m-1}(\Phi)) = (n - m + 1) + (m - 1 + 1) = n + 1 \]

Фундаментални став и ова једнакост дају да димензија кодомена T износи n + 1, колико и \(\dim \mathcal{P}_n(\Phi)\). Зато постоје \(q \in \mathcal{P}_{n-m}(\Phi)\) и \(r \in \mathcal{P}_{m-1}(\Phi)\) такви да \(p = T(q, r) = sq + r\). ∎

Следеће тврђење је Безуов став, нама познат из елементарне математике.

4. Став. Полином \(p(x)\) подељен полиномом \((x - a)\) даће остатак \(p(a)\).

Доказ: Дате вредности ставимо у горњу једнакост p = sq + r, добијамо:

\[ p(x) = (x - a)q(x) + r(x), \] \[ p(a) = (a - a)q(a) + r(a), \]

а отуда \(p(a) = r(a)\), што је и требало доказати. ∎

Дељење полинома даље радимо аналогно дељењу бројева, по Еуклидовом алгоритму, на пример:

	    (x2 + 3x + 4):(x + 1) = x + 2 
	   -(x2 + x)
	         2x + 4
	       -(2x + 2)
		    = 2
	  

Полином (x2 + 3x + 4) подељен полиномом (x + 1) даје резултат (x + 2) и остатак 2. По Безуовом ставу овде је a = - 1, па је p(-1) = 1 - 3 + 4 = 2, а то јесте остатак овог дељења.

5. Задатак. Полином p(x) подељен полиномом x + 1 даје остатак 1, а подељен полиномом x - 2 даје остатак -1. Наћи остатак дељења овог полинома са x2 - x - 2.

Решење: Из p(x) = s(x)(x + 1)(x - 2) + ax + b, а затим датих услова p(-1) = a + b = 1 и p(2) = 2a + b = -1, следи a = -1 и b = 1. Дакле, остатак дељења полинома p(x) са полиномом x2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2) је полином -x + 1. □

Решење задатка садржи растав на факторе датог делитеља и користи идеју доказа Безуовог става за налажење остатка дељења, при чему уопште не сазнајемо количник ових полинома. Постоје разни полиноми p(x) са истим задатим особинама.

4. Нуле полинома

Нула или корен полинома \(p \in \mathcal{P}(\Phi)\) је скалар \(\lambda \in \Phi\) такав да је \(p(\lambda) = 0\). Полиноми \(s, q \in \mathcal{P}(\Phi)\) су фактори или множиоци полинома, ако постоји полином \(p \in \mathcal{P}(\Phi)\) такав да је p = sq. Безуов став нам каже да је λ нула полинома p ако и само ако је z - λ фактор тог полинома.

6. Став. Полином има онолико нула колики му је степен.

Доказ: Нека је \(p \in \mathcal{P}(\Phi)\) полином степена m, а ми требамо доказати да p има највише m различитих нула у Φ. Урадићемо то методом математичке индукције.

Када је m = 0, онда је p(z) = const. и полином нема нула. Ако је m = 1, онда је p(z) = az + b, са a ≠ 0, па полином има тачно једну нулу, λ = - b/a.

Претпоставимо да је m > 1 и да сваки полином степена m - 1 има највише m - 1 нула. Онда према ставу 4 (Безуовом) постоји полином q такав да је p = (z - λ)q. Према претходном q је степена m - 1, а према овој једнакости биће p(z) = 0 када је или z = λ или је q(z) = 0. Другим речима, нуле полинома p састоје се од λ и нула q. Према претпоставци индукције, q има највише m - 1 различитх нула, па их онда p има највише m. ∎

7. Став. Сваки неконстантан полином са комплексним коефицијентима има нулу (корен).

Доказ: Ако би p био неконстантан полином који нема нула, онда је 1/p аналитичка функција у ℂ. Како \(|p(z)| \to \infty\) када \(|z| \to \infty\), то \(1/p \to 0\) ако \(|z| \to \infty\). Отуда је 1/p ограничена аналитичка функција на скупу ℂ. Према Лијувиловој теореми функција ограничена над целим скупом комплексних бројева је идентички константа. Међутим, ако је 1/p константна, онда је p константна, супротно претпоставци да p није константна. ∎

Став 7 називамо основном теоремом алгебре. Он је врста утврђивања постојања (егзистенције). Његов доказ не говори нам о начинима проналажења нула, где за нуле полиноме степена 2 имамо квадратну једначину, а сличне, компликованије формуле постоје и за полиноме степена 3 и 4. Али, нема таквих (готових) формула за полиноме степена 5 и вишег, када за тражење нула полинома можемо користити приближне методе и компјутере.

8. Пример. Изводимо формулу

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

за решења квадратне једначине:

\[ ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0, \] \[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0, \] \[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0, \] \[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}, \] \[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}, \] \[ x + \frac{b}{2a} = \frac{\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

а отуда два тражена решења. □

Водећи коефицијент полинома n-тог степена различит је од нуле, јер иначе би то био полином нижег степена, па једначину можемо њиме делити. То је први корак примера. Значај осталих коефицијената види се из следећих, Виетеових формула.

9. Пример. Кубна једначина ax3 + bx2 + cx + d = 0, може се писати a(x - x1)(x - x2)(x - x3) = 0, из чега се види да су јој решења x1,2,3. Такође, множећи ове факторе, да је:

\[ \begin{cases} b = -a(x_1 + x_2 + x_3) \\ c = a(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1) \\ d = - ax_1x_2x_3 \end{cases} \]

а то су Виетове формуле опште кубне једначине. □

10. Пример. Треће корене јединице можемо писати као решења кубне једначине x3 - 1 = 0, или након растављања на факторе (x - 1)(x2 + x + 1) = 0, а отуда су:

\[ \omega_3 = 1, \quad \omega_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad \omega_1 = \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2}, \]

три трећа корена јединице, укратко \(\omega_k = -\exp(ik\pi/3)\), где је k = 1, 2, 3. Kako је \(\omega_1^2 = \omega_2\) и \(\omega_1^3 = \omega_3\), па краће користимо само \(\omega = \omega_1 = -(1 + i\sqrt{3})/3 \). Када у Виетове формуле за кубну једначину ставимо:

\[ y_1 = a(x_1 + \omega x_2 + \omega^2 x_3), \quad y_2 = a(x_1 + \omega^2 x_2 + \omega x_3), \]

можемо написати:

\[ x_1 = \frac{-b + y_1 + y_2}{3a}, \quad x_2 = \frac{-b + \omega^2 y_1 + \omega y_2}{3a}, \quad x_3 = \frac{-b + \omega y_1 + \omega^2 y_2}{3a}, \]

за три решења кубне једначине. □

Корист од оваквих примера је рецимо налажење збира квадрата, или кубова и слично, решења кубне једначине а без њеног решавања. На пример:

\[ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - \frac{2c}{a}. \]

11. Пример. Једно од три Карданових (1545) решења једначине ax3 + bx2 + cx + d = 0 је:

\[ x_1 = \sqrt[3]{u + \sqrt{u^2 + v^3}} + \sqrt[3]{u - \sqrt{u^2 + v^3}} - \frac{b}{3a}, \]

где су:

\[ u = -\frac{b^3}{27a^3} + \frac{bc}{6a^2} - \frac{d}{2a}, \quad v = \frac{c}{3a} - \frac{b^2}{9a^2}, \]

а остала два можемо наћи горе описаним дељењем. Број u2 + v3 је дискриминанта. □

12. Пример. Користећи наведену формулу нађимо решења кубне једначине x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0.

Прво препознајемо коефицијенте a = 1, b = -6, c = 11 и d = -6, па налазимо u = 0 и v = -1/3. Затим је:

\[ x_1 = \sqrt[3]{0 + \sqrt{0^2 + \left(\frac13\right)^3}} + \sqrt[3]{0 - \sqrt{0^2 + \left(\frac13\right)^3}} + 2 = 2. \]

Делећи (x3 - 6x2 + 11x - 6):(x - 2) добијамо x2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) без остатка. Количник је био лак за растављање на факторе, што бисмо иначе урадили користећи квадратну једначину. Решења дате кубне једначине су x1 = 2, x2 = 1 и x3 = 3. □

Kubna

На слици лево видимо граф кубне функције 12. примера y = x3 - 6x2 + 11x - 6. Иначе су полиномне функције непрекидне, а ова је и реална тако да се сва може представити графом у Oxy систему.

Када \(x \to -\infty\) тада \(y \to -\infty\), а када \(x \to +\infty\) тада \(y \to +\infty\). Таква зато мора негде сећи x-осу и имати бар једну реалну нулу. Дизањем функције за више од 0,4 (уместо -6 са слободним чланом већим од -5,6) она би само једном секла апсцису (x ≈ 0,84) и имала само једну релану нулу и још две коњуговано комплекснe (2,58 ± i).

Уопште, полином непарног степена са реалним коефицијентима има бар једно реално решење, јер одговарајући граф, попут овога, сигурно бар на једном месту пресеца апсцису.

13. Пример. Кубна једначина ax3 + bx2 + cx + d = 0 сменом x = y - b/(3a)) постаје y3 + py + q = 0, где је:

\[ p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}, \quad q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}. \]

Сменом q = -2u и p = 3v добијамо горње Карданово решење (11. пример).

Опште Карданово решење налазимо ако ставимо y = r + s, па је r3 + s3 + (3rs + p)y + q = 0 и дата једначина (y3 + py + q = 0) постаје систем:

\[ rs = -\frac{p}{3}, \quad r^3 + s^3 = -q. \]

Решења r3 и s3 овог система припадају одговарајућој квадратној једначини z2 + qz - p3/27 = 0. Тако долазимо до сва три Карданова корена у облику

\[ y_k = \omega^k \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \omega^{-k} \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \]

где је \(\omega = \exp(2\pi i/3)\), трећи корен јединице, а k = 1, 2, 3. Отуда xk = yk - b/(3a). □

5. Факторизација

14. Став. Неконстантан полином \(p \in \mathcal{P}(\mathbb{C})\) има јединствену факторизацију (до редоследа) облика

\[ p(z) = a(z - \lambda_1)...(z - \lambda_n), \]

где су \(a, \lambda_1, ..., \lambda_n \in \mathbb{C}\). То следи из основне теореме алгебре (7. став).

Доказ: Прво, p има нулу λ, па је p(z) = (z - λ)q(z) за све комплексне бројеве z и deg q = n - 1. Ово се понавља m пута. Затим се доказује јединственост. Она следи из евентуалне једнакости

\[ (z - \lambda_1)...(z - \lambda_n) = (z - \lambda'_1)...(z - \lambda'_n), \]

која би редом за \(z = \lambda_k\), нулирајући полином, давала по само једну вредност \(z = \lambda'_k\). ∎

У случају реалних бројева ak полинома \(p(z) = a_0z^n + a_1z^{n-1} + ... + a_{n-1}z + a_n\) неће све нуле бити реални бројеви. Када је нека од нула комплексан број \(\lambda \in \mathbb{C}\), онда је и њена коњугована вредност комплексан број \(\lambda^* \in \mathbb{C}\), а збир и производ таквих су реали бројеви \( \lambda^* + \lambda, \ \lambda^*\lambda \in \mathbb{R}\). Овоме даје важност \(p(z)^* = p(z^*)\) због чега ће оба коњуговано комплексна броја бити нуле истог полинома (реалних коефицијената).

Производ одговарајућих фактора таквих је квадратни трином реалних коефицијената:

\[ (z - \lambda^*)(z - \lambda) = z^2 - (\lambda^* + \lambda)z + \lambda^*\lambda \]

а отуда се полином са реалним коефицијентима јединствено раставља на линеарне (облика x - a) или квадратне (x2 + bx + c) факторе реалних коефицијената (a, b, c ∈ ℝ).