Даље остајемо са операторима \( T \in \mathcal{L}(V) \), више у комплексним коначно-димензионалним векторским просторима V али мање везани за унутрашње производе. Ознаке тела скалара су као пре, слова F, или Φ (односно ℝ или ℂ), а за основни векторски простор V може и ознака X, или слична. Препознаћете ту проверене резултате, надам се, на које се из других (мање познатих) текстова позивам да тамо не бих правио велике дигресије. То је сврха ових прегледа.
1. Својствени вектори
1.1. За увод у овај подтекст погледајте „нула-простор“ (Домени) и Полиноме.
1. Став. За \( T \in \mathcal{L}(V) \) важи {0} = null T0 ⊆ null T1 ⊆ ... ⊆ null Tk ⊆ null Tk+1 ⊆ ...
Доказ: Када је k ненегативан цели број и v ∈ null Tk, тада Tkv = 0, затим Tk+1v = T(Tk) = T(0) = 0. Дакле, v ∈ Tk+1, односно null Tk ⊆ null Tk+1, што је и требало доказати. ∎
Следећи резултат каже да два узастопна једнака члана у овом низу подпростора значе да су сви каснији чланови у низу једнаки.
2. Став. За \( T \in \mathcal{L}(V) \), ако је m природан број да је null Tm = Tm+1, тада је Tm+1 = Tm+2 = Tm+3 = ...
Доказ: Нека је k ∈ ℕ, а већ знамо да је Tm+k ⊆ Tm+k+1. За доказ обрнуте импликације претпоставимо да је v ∈ null Tm+k+1. Тада Tm+1(Tkv) = Tm+k+1 = 0, одакле Tkv = null Tm+1 = null Tm, па Tm+kv = Tm(Tkv) = 0. То значи да v ∈ null Tm+k и имплицира да null Tm+k+1 ⊆ null Tm+k. Тиме је доказ завршен. ∎
Да се степеновањем оператора достиже граница раста нула простора, каже следећи став.
3. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \) и n = dim V, онда null Tn = null Tn+1 = null Tn+2 = ...
Доказ: Претпоставимо да null Tn = null Tn+1 није тачно. Тада, према претходном
где су у низу прави подскупови. Свака од ових строгих инклузија у ланцу увећава димензију за бар један. Тако је dim Tn+1 ≥ n + 1. А то је контрадикција, јер простор нема већу димензију од n. ∎
Међутим, није тачно да је простор V директна сума (Базе, 3.3) нула-простора оператора T и његовог кодомена, дакле није V = null T ⊕ range T за свако \( T \in \mathcal{L}(V) \), али је тачно следеће, да је V директна сума null Tdim V и range Tdim V.
4. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \) и n = dim V, онда V = null Tn ⊕ range Tn.
Доказ: Прво докажимо да је (null Tn) ∩ (range Tn) = {0}. Претпоставимо v ∈ (null Tn) ∩ (range Tn). Тада Tnv = 0 и постоји u ∈ V такав да је v = Tnu. Примењујући Tn на обе стране горње једнакости добијамо Tnv = T2nu, а отуда T2nu = 0, па према претходном ставу Tnu = 0. Тиме је доказано „прво“.
Доказано имплицира да је null Tn + range Tn директна сума. Такође>
Отуда тражено тврђење. ∎
На пример, матрица A пресликава 3-дим простор x-ова у 2-дим y-ова
\[ \begin{pmatrix} y_1 \\ 0 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}. \]Њен нула простор је димензије 1, а кодомен димензије 2. Квадрат те матрице (A²) има колоне попут вектора y. Ако јој се димензије кодомена смање за један, димензија њеног нула простора за толико се повећавају. Слично важи за стохастичку матрицу.
5. Пример. Крња стохастичка матрица A степенована (заокружено) даје низ:
\[ A = \begin{pmatrix} 0,7 & 0,5 & 0,4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0,3 & 0,5 & 0.6 \end{pmatrix}, \quad A^2 = \begin{pmatrix} 0,61 & 0,55 & 0,52 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0,39 & 0,45 & 0,48 \end{pmatrix}, ... \quad A^\infty = \begin{pmatrix} 0,571 & 0,571 & 0,571 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0,429 & 0,429 & 0,429 \end{pmatrix}. \]Таква, такође, конвергира „црној кутији“. □
6. Пример. Оператор \( T \in \mathcal{L}(F^3) \) дефинисан је са \( T(z_1, z_2, z_3) = (4z_2, 0 , 5z_3) \). У стандардној бази има матрицу и деловање:
\[ \hat{T}z = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4z_2 \\ 0 \\ 5z_3 \end{pmatrix}. \]За овај оператор, null T + range T није директна сума подпростора, јер:
Међутим, T³(z1, z2, z3) = (0, 0, 125z3). Тако је:
па је F³ = null T³ ⊕ range T³. □
1.2. Генерализовани својствени вектор (eigenvector) задовољава одређене релаксиране критеријуме у односу на оне за (обичан) сопствени вектор. Рецимо, дефектне матрице се не могу дијагонализовати попут следеће, јер немају довољно својствених вектора да се формира база. Таква је матрица
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]која има само један својствени вектор λ = 1 поновљен два пута. То читамо непосредно из ове троугаоне матрице, чији дијагонални елементи су (уопште 16. став), својствене вредности. Затим је одговарајући једини својствени вектор v = (1, 0), а који даље можемо допунити са u = (0, 1) да би комплетирали базу. Овај други тражимо из (A - I)u = v, односно (A - I)²u = 0.
Уопште, ако је A матрица n × n типа, генералисани својствени вектор A одговарајући својственој вредности λ је ненулти вектор x који задовољава једнакост (A - I)px = 0 за неки природан број p.
Да потребу за више својствених вектора разумемо шире, на операторима, посматрајмо декомпозицију домена оператора \( T \in \mathcal{L}(V) \) на инваријантне подпросторе V = U1 ⊕ ... ⊕ Um. Сви Uj ⊂ V инваријантни су под T, а најпростији могући такав ненулти инваријантан подпростор је димензије један.
Поменута декомпозиција, где сваки Uj је 1-дим подпростор од V инваријантан према T, могућа је ако и само ако V има базу која се састоји од сопствених вектора T. Ово ће бити само ако V има декомпозицију својственог (eigenspace) простора V = E(λ1, T) ⊕ ... ⊕ E(λm, T), где су λ1, ..., λm све различите својствене вредности оператора T (Дијагонализација, 19. став).
Спектрална теорема у претходном поглављу показује да ако је V простор са унутрашњим производом, онда ова декомпозиција важи за сваки нормалан оператор ако је F = ℂ и за сваки само-адјунговани ако је F = ℝ, јер оператори тих типова имају довољно својствених вектора да формирају базу V. Међутим, декомпозиција овог облика не мора важити за општије операторе. На пример, оператор T(x, y) = (y, 0) није могуће дијагонализовати. Он нема довољно својствених вектора, али генерализовани сопствени вектори и простори исправљају ову ситуацију. При томе не уводимо неки нови концепт, јер (T - λI)n није инјекција за n ∈ ℕ, па ни T - λI није инјекција и λ остаје својствена вредност T.
Дакле, генералисани својствени вектор оператора \( T \in \mathcal{L}(V) \) је ненулти v ∈ V који припада својственој вредности λ тако да је (T - λI)j = 0 за неки природан број (позитиван цели број) j. Иако се каже да је то неки цели број у експоненту, он заправо задовољава једначину j = dim V.
1.3. Генералисани својствени простор (eigenspace) који припада оператору \( T \in \mathcal{L}(V) \) са λ својственом вредношћу и ознаке G(λ, T) дефинише се као скуп свих генералисаних својствених вектора оператора T и припадног λ заједно са вектором 0.
Зато што је сваки својствени вектор оператора T такође и генералисани својствени вектор (за j = 1), сваки својствени простор садржан је у одговарајућем генералисаном својственом простору. Другим речима, E(λ, T) ⊆ G(λ, T). Доказаћемо да је тада G подпростор V.
7. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \) и λ ∈ F, онда је G(λ, T) = null(T - λI)dim V.
Доказ: Ако v ∈ null(T - λI)dim V, тада по дефиницији v ∈ G и null(T - λI)dim V ⊆ G(λ, T).
Обрнуто, ако v ∈ G(λ, T), тада постоји природан број j такав да v ∈ null(T - λI)j. Отуда (2-3. став, заменом T - λI са T) добијамо v ∈ null(T - λI)dim V. Дакле, G(λ, T) ⊆ null(T - λI)dim V Тиме је доказ завршен. ∎
8. Пример. Оператор је дефинисан са T(z1, z2, z3) = (4z2, 0, 5z3) на простору ℂ³.
Лако налазимо да су својствене вредности 0 и 5 и одговарајуће својствене просторе E(0, T) = {(z1, 0, 0)} и E(5, T) = {(0, 0, z3)}, за компоненте из ℂ. Овај оператор нема довољно својствених вектора за 3-дим, али из претходног налазимо да је ℂ³ = G(0, T) ⊕ G(5, T). □
9. Пример. Посматрајмо матрицу A, њену дуплу својствену вредност λ = 4, њој припадни својствени вектор v1 = (1, -1) димензије 1. Он је допуњен генералисаним својственим вектором v2 = (1, 0):
\[ Av_1 = \lambda v_1, \] \[ \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \] \[ (A - \lambda I) v_2 = 3v_1, \] \[ \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix} - 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \] \[ (A - \lambda I)^2 = \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \]Генералисани својствени простор је димензије 2. □
10. Пример. Матрице A и B имају свака по двоструку својствену вредност λ = 1 и редом по својствени вектор v1 = (1, 0) и v1 = (0, 1), прва и друга:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ i & 1 \end{pmatrix}. \]Њихов комутатор [A, B] = AB - BA је Паулијева матрица (-s3), поменута је у блогу (Unimprovable):
\[ [A, B] = AB - BA = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]Она није дефектна, јер има својствене вредности λ1 = -1 и λ2 = 1 са одговарајућим својственим векторима v1 = (1, 0) и v2 = (0, 1). □
Оператори положаја и импулса квантне механике поучни су због Хајзенбергових релација неодређености. Чине издвојене дефектне процесе: кретање без промене импулса и промену импулса без промене положаја.
Свака од две матрице A и B је дефектна у смислу да нема довољно својствених вектора за свој дво-дим простор. Међутим, њихов комутатор је комплетан. Реалан, еуклидски простор комутаторе вектора види као површину коју они разапињу, која је еквивалент информације. Случајеве попут 10. примера, уоопште дефектне операторе њима сличне, интерпретирати ћемо процесима недовољнима за комплетирање информације.
На пример, дефектни процеси физичког дејства су: промена енергије без промене времена и обрнуто. Ова друга, промена времена честице, није могућа без осцилације, а та је промена енергије. Тек након израчунавања комутатора таква два оператора, [A, B] = AB - BA, комплетирамо процес. Таквих има и у блогу Ladder.
11. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \) и λ1, ..., λm су различите својствене вредности оператора T са одговарајућим својственим векторима v1, ..., vm, онда су ови вектори линеарно независни.
Доказ: Нека су aj такви комплексни бројеви да је a1v1 + ... + amvm = 0. Нека је k највећи природан број такав да је w = (T - λI)kv1 ≠ 0. Тада (T - λI)kw = (T - λI)k+1v1 = 0, па је Tw = λ1w и (T - λI)w = (λ1 - λ)w, за свако λ ∈ F и (T - λI)nw = (λ1 - λ)nw, за све λ ∈ F и n = dim V.
Применимо оператор (T - λ1)k(T - λ2)n ... (T - λm)n на обе стране горње једнакости, добијамо:
\[ 0 = a_1(T - \lambda_1I)^k(T - \lambda_2I)^n ... (T - \lambda_m I)^n v_1 = \] \[ = a_1(T - \lambda_2I)^n ... (T - \lambda_m I)^n w = a_1 (\lambda_1 - \lambda_2)^n ... (\lambda_1 - \lambda_m)^n w. \]Отуда a1 = 0. Настављајући, добијамо редом aj = 0, што значи да су вектори vj линеарно независни. ∎
У 9. примеру, матрица је имала двоструку својствену вредност λ = 4 и одговарајући дупли својствени вектор v1 = (1, -1) димензије 1 који смо морали допунити са 2 = (1, -1) да разапне простор димензије 2.
Следећи, 10. пример, имао је две матрице A и B са по истом двоструком својственом вредношћу λ = 1, али свака са припадним другим дуплим својственим векторима v1 = (1, 0) и (0, 1). Они су независни, разапињу 2-дим, али занимљиво се понашају у комутатору:
\[ [A, B]v_1 = [\begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ i & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ i & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ i & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ i & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ i & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} = -v_1. \]Својствени вектор тог комутатора има вредност λ1 = -1 са својственом вредношћу v1 и то је у реду. Оно што треба приметити је да тај својствени вектор шета, мења вредности, деловањем појединих матрица (процеса). То је оно што дефектни процеси чине комплетном (стварном), из чега произилазе релације неодређености таквих парова. Међутим, степеновањем комутатора степенујемо Паулијеву матрицу -s3 која је стаблина. Њен квадрат је јединична матрица, па је трећи степен она иста, и тако даље. Уланчан процес тече циклично.
1.4. Производ два оператора AB је само-адјунгован (ермитски) акко A и B комутирају, јер само тада је (AB)† = B†A† = BA = AB. Када оператори комутирају, тада постоји заједничка својствена база за A и B, а она се може користити за дијагонализацију њиховог производа, AB оператора. Узмимо не дегенерисан случај.
Нека су a и b својствене вредности оператора A и B са припадним својственим векторима x и y. Имамо:
\[ Ax = ax, \quad By = by, \quad [A, B] = AB - BA = 0. \]Ако су скупови Γ1 и Γ2 својствене базе линеарног оператора A, онда се било који вектор из Γ2 може писати као линеарна комбинација вектора од Γ1. То значи да Γ1 и Γ2 представљају исти простор, са векторима евентуално множеним другим комплексним константама. Тако Ax2 = a2x2 = a2c2,1x1, где вектори x1 ∈ Γ1 и x2 ∈ Γ2, а c2,1 је константа.
Даље имамо ABy = bAy = BAy, што значи да је Ay такође својствени вектор оператора B, са својственом вредношћу b. Из претходног следи Ay = cy. Стога се скуп вектора y множен константом може узети као заједнички скуп својствених вектора оба оператора A и B. Једнакост ABy = acy дефинише ac својствену вредност, а y као својствени вектор оператора AB.
1.5. Оператор је нула потентан (лат. nilpotent) ако је неки његов степен једнак нули.
На пример, оператор D деривирања на полиному n-тог степена n + 1 пута поновљен даће нулу. Други пример, оператор \( N \in \mathcal{L}(F^4) \) дефинисан са \( N(z_1, z_2, z_3, z_4) = (z_3, z_4, 0, 0) \) је нулпотентан, јер N² = 0. Међутим, за нулирање „нула оператора“ није потребан степен већи од димензије простора.
12. Став. Ако је \( N \in \mathcal{L}(V) \) нула оператор, онда је Ndim V = 0.
Доказ: Када је N нулпотент, онда је G(0, N) = V. Према 7. ставу, добијамо тражено тврђење. ∎
Следећи резултат показује какву базу је могуће наћи нула оператору, да његова матрица има што је могуће више нула.
13. Став. Ако је N нула-потентан оператор, онда постоји база у V у којој ће матрица оператора имати облик
\[ \begin{pmatrix} 0 & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & 0 \end{pmatrix} \]где су сви елементи на и испод дијагонале нуле, а изнад не морају бити.
Доказ: Прво бирамо базу за null N, па је проширимо на базу за null N², па направимо екстензију на базу null N³, и даље до null Ndim V = V.
Матрице таквих база имају нуле у колонама, јер припадају базним векторима нула простора (null N и даље), добијамо низ вектора који су линеарне комбинације претходних. Тако сви елементи различити од нуле у овим колонама остају да леже изнад дијагонале. Настављајући овако довршићемо доказ. ∎
2. Декомпозиција оператора
Важна тема линеарне алгебре је декомпозиција векторског простора на подпросторе инваријантнe за линеарни оператор T. Нашли смо да се кодомен оператора неће декомпоновати на сопствене просторе увек чак ни на коначно-димензионалном комплексном векторском простору, али видећемо да сваки оператор на таквом простору има довољно генерализованих сопствених вектора за декомпозицију. За почетак наставка, утврдимо да су нулти простор null p(T) и кодомен, range p(T), полинома оператора, p(T), инваријантни под оператором T.
14. Став. Нека је \( T \in \mathcal{L}(V) \) и \( p \in \mathcal{P}(F) \). Тада су null p(T) и range p(T) инваријантни под T.
Доказ: Нека је v ∈ null p(T). Тада је p(T)v = 0, па (p(T))(Tv) = T(p(T)v) = T(0) = 0. Отуда Tv ∈ null p(T), па је p(T) инваријантан под T као што се тврди.
Нека је v ∈ range p(T). Тада постоји u ∈ V такво да је v = P(T)u. Отуда Tv = T(p(T)u) = p(T)(Tu). Према томе, Tv ∈ range p(T), што значи да је кодомен полинома p инваријантан на оператор T, као што је тврђено. ∎
Декомпозиција је и представљање произвољне матрице збиром Паулијевих (Квантна Механика, стр. 117. задатак 1.2.35), али важнији је следећи резултат, да сваки оператор на комплексном векторском простору можемо сматрати састављеним од делова, од нилпотентних (нула потентних) оператора плус скаларних вишекратника идентичног.
15. Став. Нека је \( T \in \mathcal{L}(V) \) и V комплексан векторски простор, а λ1, ..., λm су различите својствене вредности оператора T. Тада:
- V = G(λ1, T) ⊕ ... ⊕ G(λm, T);
- сваки G(λj, T) је инваријантан под T;
- сваки (T - λjI)|G(λj, T) је нилпотентан.
Доказ: Нека је n = dim V. Сетимо се да је G(λj, T) = null(T - λjI)n редом за све j. Из претходног става, са p(z) = (z - λj)n, добијамо (2), а (3) следи из дефиниције.
Доказаћемо (1) помоћу индукције по n. За n = 1 тврђење је очигледно тачно, па претпоставимо да је тачно и за све до неког n > 1. Зато што је V комплексан векторски простор, T има неку својствену вредност, па је V = G(λ1, T) ⊕ U, где је U = range(T - λ1I)n. Према претходном ставу, U је инваријантно под T. Зато што је G(λ1, T) ≠ {0}, је dim U < n. То се може додати хипотези индукције T|U.
Ниједан од генералисанин својствених вектора T|U не одговара својственој вредности λ1, јер су сви они у G(λ1, T). Тако, свака својствена вредност T|U је међу {λ2, ..., λm}.
По хипотези индукције, U = G(λ2, T|U) ⊕ ... ⊕ G(λm, T|U). Даље показујемо да је G(λk, T|U) = G(λk, T), за k = 2, ..., m.
Инклузија G(λk, T|U) ⊆ G(λk, T) је јасна. Да докажемо инклузију у супротном смеру, претпоставимо да је v ∈ G(λk, T). Можемо писати v = v1 + u, где је v1 ∈ G(λ1, T) и u ∈ U. Из претпоставка индукције следи да u = v2 + ... + vm, где је свако vj у G(λj, T|U). Тако је v = v1 + v2 + ... + vm. Зато што су својствени вектори различитих својствених вредности узајамно ортогоналну, горња једнакост имплицира да је свако vj нула, осим када је j = k. Практично, v1 = 0, па је v = u ∈ U. Због v ∈ U, биће v ∈ G(λj, T|U). Тиме је доказ завршен. ∎
Неки оператори су дефектни, кажемо, јер немају довољно својствених вектора да формирају базу простора у који се вектори пресликавају. Међутим, комплексни векторски простор има довољно генералисаних својствених вектора за то.
16. Став. Ако је V комплексни векторски простор и \( T \in \mathcal{L}(V) \), онда постоји база тог простора која се састоји од генералисаних својствених вектора оператора T.
Доказ: Бирамо базу из појединих G(λj, T) и од њих састављамо базу. ∎
2.1. Многострукост својствене вредности λ оператора T дефинисана је димензијом одговарајућег генералисаног својственог простора G(λ, T). Другим речима, многострукост својствене вредности λ оператора T једнака је null(T - λI)dim V.
17. Пример. Оператор T(z1, z2) = (z1 + 2z2, z2) у стандардној бази има матрицу
\[ \hat{T} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]Према налазу поднаслова Троугаона матрица (16. став) λ = 1 је двострука својствена вредност овог оператора, а својствени вектор v1 = (1, 0). Нека је v2 = (x, y), па тражимо x и y као решење:
\[ (\hat{T} - \lambda I ) v_2 = v_1, \] \[ (\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - 1\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \] \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \] \[ \begin{pmatrix} 2y \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}. \]Дакле, можемо узети x и y такве да је v2 = (0, 1). Тако проналазимо да је генерализовани својствени простор 2-дим G(λ, T) = span((1, 0), (0, 1)). □
18. Пример. Оператор T(z1, z2, z3) = (6z1 + 3z2 + 4z3, 6z1 + 2z2, 7z3) има матрицу у стандардној бази
\[ \begin{pmatrix} 6 & 3 & 4 \\ 0 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \]одакле се види (Троугаона матрица, 16. став) да је 6 на два места дијагонале ове горње троугаоне матрице и, према томе, својствена вредност многострукости 2. Трећи елеменат дијагонале, број 7, својствена је вредност многостуркости 1. За λ = 6 лако проналазимо први генералисани својствени вектор v1 = (1, 0, 0) и проверавамо:
\[ \begin{pmatrix} 6 & 3 & 4 \\ 0 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 6 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \]Даље, слично претходном, претпостављамо v2 = (x, y, z) и налазимо:
\[ (\hat{T} - \lambda I ) v_2 = v_1, \] \[ (\begin{pmatrix} 6 & 3 & 4 \\ 0 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} - 6\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \] \[ \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \] \[ \begin{pmatrix} 3y + 4z \\ 2z \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \]а отуда бирамо v2 = (0, 1, 0). Генералисани својствени простор G(6, T) = span((1, 0, 0), (0, 1, 0)). Следећи је лако проверити G(7, T) = span((10, 2, 1)). Домен је 3-дим директна сума G(6, T) ⊕ G(7, T). □
19. Став. Збир многострукости је dim V. Прецизније речено, ако је V комплексан векторски простор и \( T \in \mathcal{L}(V) \), онда је збир многострукости свих својствених вредности оператора T једнак dim V.
Доказ: Следи из 15. става и особина димензије директне суме. ∎
2.2. Алгебарска вишеструкост својствене вредности је број њених појава као решења карактеристичног полинома (број λ као корена, својствених вредности матрице). Геометријска вишеструкост својствене вредности је димензија линеарног простора њених придружених својствених вектора (тј. својственог простора).
Aлгебарска вишеструкост иста као многострукост дефинисана овде, a геометријска вишеструкост je димензија одговарајућег својственог простора. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \) и λ је својствеена вредност T, онда је алгебарска вишеструкост λ = dim null(T - λI)dim V = dim G(λ, T). Међутим је геометријска многострукост λ = dim null(T - λI) = dim E(λ, T). Обратимо пажњу да алгебарска вишеструкост такође има геометријско значење као димензија одређеног нула-простора. Иначе, уобичајено је да дефиниција вишеструкости укључује детерминанте, али њих овде разматрамо касније.
2.3. Често је лакше разумети матрицу као композицију мањих матрица. Овде крећемо од дијагоналне матрице да бисмо дефинисали такве блокове.
Блок дијагонална матрица је квадратна матрица облика
\[ A = \begin{pmatrix} A_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & A_m \end{pmatrix} \]где су A1, ..., Am квадратне матрице распоређене по дијагонали, док су све остале компоненте нуле.
Оваква дијагонална матрица је директна сума матрица на дијагонали A = A ⊕ ... ⊕ Am, што можемо написати и овако A = diag(A1, ..., Am). Блок дијагонална матрица A је инвертибилна ако и само ако је свака од матрица на дијагонали инвертибилна, а тада је A-1 = A-1 ⊕ ... ⊕ Am-1 = diag(A1-1, ..., Am-1).
На пример, квадратне блок матрице другог реда инверзне су једна другој:
\[ B = \begin{pmatrix} (-3) & 0 \\ 0 & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{pmatrix}, \quad B^{-1} = \begin{pmatrix} (-\frac13) & 0 \\ 0 & \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac32 & -\frac12 \end{pmatrix} \end{pmatrix}, \] \[ BB^{-1} = \begin{pmatrix} (-3)(-\frac13) & 0 \\ 0 & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac32 & -\frac12 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1) & 0 \\ 0 & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}. \]Приметимо да је овај резултат (BB-1) такође једнак јединичној матрици трећег реда.
По још неким особинама блок матрице се понашају као и остале матрице. Такви ставови су у алгебри углавном добро познати, многи поред једног такође тачног, али запостављеног запажања. Елементи дијегонале (блок матрице) и даље могу бити „својствене вредности“, наравно, када је тело скалара Φ сачињено од инвертибилних и мултипликативних матрица (квадратних истог реда). То је могуће, јер тело је алгебарска структура у којој операција множења не мора бити комутативна. Стога је могуће лако проширити „информацију перцепције“ на збир производа матрица. То је споредна тема овде.
20. Став. У комплексном простору V је оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \). Нека су λ1, ..., λm различите својствене вредности оператора T, са многострукостима d1, ..., dm. Тада постоји база у V у којој оператор има блок дијагоналну матрицу облика
\[ \begin{pmatrix} A_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & A_m \end{pmatrix} \]где свака од Aj је горња троугаона матрица типа dj × dj, облика
\[ A_j = \begin{pmatrix} \lambda_j & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_j \end{pmatrix}. \]Доказ: Сваки (T - λjI)|G(λj, T) је нилпотентан (15.3 став). За свако j бирамо базу G(λj, T), чији је векторски простор димензије dj, тако да је матрица попут оне у 13. ставу. Тако ће матрица T|G = (T - λj)|G + λjI|G у тој бази изгледати као Aj. Стављајући базе G(λj, T) заједно добијамо (15. став) базу V. Оператор T има матрицу траженог облика. ∎
21. Пример. Оператор на ℂ³ дефинисан је са T(z1, z2, z3) = (6z1 + 3z2 + 4z3, 6z2 + 2z3, 7z3). Његова је матрица у стандардног бази
\[ \begin{pmatrix} 6 & 3 & 4 \\ 0 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}. \]То је горња троугаона матрица из које читамо двоструку својствену вредност оператора λ1,2 = 6 и једноструку λ3 = 7. Отуда G(6, T) = span((1, 0, 0), (0, 1, 0)) и G(7, T) = span((10, 2, 1)).
Овоме додајемо писање исте матрице у блоковима
\[ \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} & 0 \\ 0 & (7) \end{pmatrix} \]која је блок дијагонална на начин 20. става. □
Својствена вредност квантног процеса је обзервабла. Уз то „својствене вредности“ блок-процеса биће блокови-обзервабли. Као процес који даје исход исхода.
Могуће је проширити појам тела скалара (ознаке F или Φ) на инвертибилне матрице. Тело је алгебарска структура са две операције, сабирања и множења, при чему та друга не мора бити комутативна. Тада „својствене вредности“ могу бити блок-матрице, рецимо тако да долазе као својствене вредности блок-матрица. У претходном примеру, прва би таква дала двоструку својствену вредност λ1,2 = 6, а друга λ3 = 3.
2.4. Разматрајући квадратни корен оператора видели смо да су такви само-адјунговани (29. став), те да матрицe попут:
\[ \hat{T}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{T}_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \]иначе матрице оператора T2 = (z1, z2) = (z2, 0) и T3(z1, z2, z3) = (z2, z3, 0) простора ℂ² и ℂ³ у стандардној бази, немају корен. Другим речима, у њиховом комплексном простору не постоји оператор S такав да је S² = T. Међутим, за сваки комплексан број z ∈ ℂ има (бар један) корен u ∈ ℂ такав да је u² = z.
22. Став. Ако је \( N \in \mathcal{L}(V) \) нилпотентан (нула потентан) оператор, онда I + N има квадратни корен.
Доказ: Посматрајмо Телоров ред функције
\[ \sqrt{1 + x} = 1 + a_1x + a_2x^2 + ... \]где је a1 = 1/2, a2 = -1/8, а даље би било a3 = 1/16 итд. Заменимо 1 са I и x са N, па узмимо у обзир да је Nm = 0. Други корен I + N је облика
\[ \sqrt{I + N} = I + a_1N + a_2 N^2 + ... + a_{m-1}N^{m-1}. \]Даље, бирајмо коефицијенте aj тако да квадрат горњег I + N:
\[ (I + a_1N + a_2 N^2 + ... + a_{m-1}N^{m-1})^2 = \] \[ = I + 2a_1N + (2a_2 + a_1^2)N^2 + (2a_3 + 2a_1a_2)N^3 + ..., \]па је 2a1 = 1 (да је a1 = 1/2), 2a2 + a1² = 0 (да је a2 = - 1/8), па да је и следећи нула (да a3 = 1/16). Небитно нам је шта су коефицијенти aj иначе, већ само да постоје тако да су сви следећи сабирци нуле, те да имамо корен оператора I + N. ∎
Доказани став важи за оба, реалне и комплексне просторе, а следећи само за комплексне.
23. Став. У комплексном простору, ако је оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \) инвертибилан, онда он има други корен.
Доказ: Нека су λ1, ..., λm различите својствене вредности оператора T. За свако j постоји нилпотентан оператор \( N_j \in \mathcal{L}(G(\lambda_j, T)) \) такав да је T|G = λjI + Nj. Због инвертибилности, свако λj ≠ 0, па можемо писати
\[ T|_{G(\lambda_j, T)} = \lambda_j\left(I + \frac{N_j}{\lambda_j} \right) \]за свако j. Јасно да је Nj/λj нилпотентан, па I + Nj/λj има квадратни корен. Множећи га са λj добијамо квадратни корен Rj од T|G. Вектор v ∈ V се на јединствен начин пише у облику v = u1 + ... + um где је свако uj ∈ G(λj, T). Декомпозицијом дефинишемо оператор Rv = Ru1 + ... + Rum, који припада простору оператора над V, а тај је други корен T. ∎
3. Карактеристични полином
Кејли-Хамилтонова теорема каже да свака квадратна матрица задовољава сопствену карактеристичну једначину. Другим речима, она поништава свој карактеристични полином, p(λ) = 0. У литератури тај се скаларни полином обично дефинише помоћу детерминанте, p(λ) = det(A - λI), али уместо тог овде следимо други приступ.
3.1. Нека је V комплексан векторски простор и оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \). Са λ1, ..., λm означимо различите својствене вредности оператора, са многострукостима d1, ..., dm редом. Полином
\[ (z - \lambda_1)^{d_1}...(z - \lambda_m)^{d_m} \]назива се карактеристични полином T.
На пример, оператор \( T \in \mathcal{L}(\mathbb{C}^3) \) у 18. примеру има карактеристични полином \( (z - 6)^2(z - 7) \). Други пример, оператор задат са \( T(z_1, z_2) = (2z_1 + z_2, -z_1) \) у стандардној бази има матрицу
\[ \hat{T} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \]својствене (карактеристичне) вредности λ1 = 2, λ2 = 0 и карактеристични полиномом \( z^2 - 2z + 1\).
24. Став. Нека је V комплексан векторски простор и оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \). Тада:
- карактеристични полином T је степена dim V;
- нуле карактеристичног полинома су својствене вредности оператора.
Доказ: Из 19. става следи (1), а (2) из саме дефиниције карактеристичног полинома. ∎
Следећи став је Кејли-Хамилтонова теорема за комплексне просторе, а касније ћемо видети да таква важи и за реалне. Иначе, они који су је открили су енглески математичар Артур Кејли (Arthur Cayley, 1821–1895) са своја три математичка рада пре завршетка основних студија 1842, и ирски математичар Вилијам Ројан Хамилтон (William Rowan Hamilton, 1805–1865) који је постао професор 1827. са 22 године а да тада још увек није дипломирао.
25. Став. Нека је V комплексан векторски простор и оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \). Са q означимо карактеристични полином T. Тада \( q(T) = 0 \).
Доказ: Нека су λ1, ..., λm различите својствене вредности оператора T, а d1, ..., dm димензије припадних својствених простора G(λ1, T), ..., G(λm, T). За свако j ∈ {1, ..., m} оператор (T - λjI)|G је нилпотентан, па је (T - λjI)dj|G = 0. Да докажемо q(T) = 0 приметимо да је сваки вектор у V збир појединих из Gj = G(λj, T) и да је за сваки тај q(T)|Gj = 0. За поједино j = 1, ..., m биће
\[ q(T) = (T - \lambda_1 I)^{d_1}...(T - \lambda_m I)^{d_m}. \]Оператори леве стране једнакости сви комутирају, па можемо поставити фактор (T - λjI)dj на крај десне стране. Због (T - λjI)dj|Gj = 0, закључујемо да је q(T)|Gj = 0, што је и требало доказати. ∎
3.2. Монички полином (Monic polynomial) је са водећим коефицијентом један, било којег целог броја степена n ≥ 0 писан у облику \( x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0} \). На пример, квадратна једначина 3z² + 2z + 1 = 0 еквивалентна је моничком полиному z² + ⅔z + ⅓ = 0.
26. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \), онда постоји јединствен монички полином p најмањег степена за који је p(T) = 0.
Доказ: Нека је n = dim V. Тада листу I, T, ..., Tn2 не чине линеарно независни елементи \( \mathcal{L}(V) \), јер је тај простор оператора димензије n², а на списку их је n² + 1. Нека је m најмањи природан број такав да је I, T, ..., Tm низ зависних вектора. Отуда, један од оператора листе је линеарна комбинација осталих. А како је m најмањи број за који је такав низ зависан, то је Tm линеарна комбинација претходних. Значи да постоје скалари a0, a1, ..., am-1 ∈ F такви да је
\[ a_0I + a_1T + ... + a_{m-1}T^{m-1} + T^m = 0. \]Дефинишимо монички полином \( p \in \mathcal{P}(F) \) са
\[ p(z) = a_0 + a_1z + ... + a_{m-1}z^{m-1} + z^m. \]Према претходном, тада је p(T) = 0.
Да утврдимо јединственост, приметимо да је m најмањи, да нема другог моничког полинома са мањим степеном и тим својством. Ако би био још један полином q истог степена и својства, биће (q - p)(T) = 0 и deg(q - p) < m, што је немогуће. Према томе, q = p, чиме је доказ завршен. ∎
3.3. За оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \) је p минимални полином, ако је тај јединствен монички полином најмањег степена за који је p(T) = 0.
Претходна, Кејли-Хамилтонова теорема каже нам да за комплексан векторски простор V минимални полином сваког његовог оператора има степен не већи од димензије простора. Постоји и проширење овог тврђења на реалне векторске просторе, које ћемо видети касније.
Када је дат линеарни оператор T на простору V и у некој бази матрица, онда минимални полином оператора можемо тражити решавајући систем једначина
\[ a_0\mathcal{M}(I) + a_1\mathcal{M}(T) + ... + a_{m-1}\mathcal{M}(T)^{m-1} = -\mathcal{M}(T)^m \]редом за вредности m = 1, 2, ... док не нађемо решења a0, a1, ..., am-1. Нађена решења, скалари заједно са 1, биће коефицијенти минималног полинома T. Лако их је наћи Гаусовом елиминацијом и помоћу компјутера.
27. Пример. За оператор T(x, y) = (2x + 5y, 6x + y) матрице \( \hat{T} \) у стандардној бази, налазимо:
\[ a_0\hat{I} + a_1 \hat{T} + a_2 \hat{T}^2 + ... = 0, \] \[ a_0\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + a_1 \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 34 & 15 \\ 18 & 31 \end{pmatrix} + ... = 0, \] \[ \begin{pmatrix} a_0 + 2a_1 + 34a_2 + ... & 5a_1 + 15a_2 + ... \\ 6a_1 + 18a_2 + ... & a_0 + a_1 + 31 a_2 + ... \end{pmatrix} = 0. \]Видимо да за a0 = -28, a1 = -3 и a2 = 1, са свим даљим a3 = a4 = ... = 0, сви су коефицијенти збирне матрице нуле. Према томе, минимални полином оператора T је z² - 3z -28. □
28. Пример. Нека је T оператор на ℂ5 са матрицом у стандардној бази
\[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \]Због великог броја нула ове матрице, степеновање је лако и без нарочитог „решавања“ система линеарних једначина налазимо да је z5 - 6z + 3 минимални полином оператора. □
3.4. Као што се полиноми растављају на факторе слично је и са минималним полиномом оператора, уз то карактеристични полином је вишекратник минималног полинома.
29. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \) и \( p \in \mathcal{P}(F) \), тада је \( p(T) = 0 \) акко је q полином који је вишекратник минималног полинома.
Доказ: Означимо са p минимални полином T. Ако је q вишекратник p, постоји полином \( s \in \mathcal{P}(F) \) да је q = ps и q(T) = p(T)s(T) = 0s(T) = 0, што је тврђено.
Обрнуто, ако је q(T) = 0, према алгоритму дељења полинома постоје полиноми \( s, r \in \mathcal{P}(F) \) такви да је q = ps + r и да за њихове степене важи deg r < deg p. Отуда q(T) = p(T)s(T) + r(T) = r(T), што значи да је r = 0. Дакле, q = ps и q је вишекратник p, што је и требало доказати. ∎
30. Став. Ако је \( T \in \mathcal{L}(V) \) и V комплексан (F = ℂ), онда je карактеристични полином од T полиномски вишекратник минималног полинома тог оператора.
Доказ: Следи непосредно из Кејли-Хамилтонове теореме и претходног става. ∎
31. Став. Својствене вредности су нуле минималног полинома.
Доказ: Нека је \( p(z) = a_0 + a_1z + ... + a_{m-1}z^{m-1} + z^m \) минимални полином T. Претпоставимо да је λ ∈ F нула полинома, па је \( p(\lambda) = (z - \lambda)q(z) \), где је q моник полином са коефицијентима из F. Из \( p(T) = 0 \) следи \( 0 = (T - \lambda I)(q(T)v) \) за све v ∈ V. Зато што је степен q мањи од степена p, постоји најмање један вектор v ∈ V такав да је q(T)v ≠ 0. Једначина тако имплицира да је λ својствена вредност T.
За доказ у супротном смеру, претпоставимо да је λ ∈ F својствена вредност оператора T. Тада постоји ненулти вектор v ∈ V такав да је Tv = λv. Примена T на обе стране ове једнакости даје Tjv = λjv за природне бројеве j. Отуда p(T)v = p(λ)v = 0. Тиме је доказ завршен. ∎
На пример, знајући својствене вредности оператора сада лако формирамо његов минимални полином. Рецимо, у 21. примеру било је двоструко λ1,2 = 6 и &lamda;3 = 7, па је минимални полином (λ - 6)²(λ - 7). Прост рачун показује да је (T - 6I)(T - 7I) ≠ 0.
3.5. Приметимо да степеновањем линеарни оператори (у наставку матрица M) остају стално у неком фиксираном m-димензионалном простору, а да се при томе могу добијати стално нове и нове њихове форме. Изузетак су њихова циклична појављивања која су врсте ротација (у истом m-дим простору).
Стохастичка матрица M у додатку о спектралној теореми има три својствене вредности λ1 = 1, λ2 = 0,6 и λ3 = 0,4 којима припадају три својствена вектора (тамо наведена) v1, v2 и v3 који су колоне помоћне матрице P = [v1, v2, v3] а чија инверзна је њој транспонована P-1 = P⊥ и дијагоналном матрицом D. Из Mn = PDnP⊥ лако налазимо n-ти степен дате матрице.
У истом примеру, обзиром да су својствене вредности дате матрице (M) уједно дијагонални елементи дијагоналне матрице (D), а n-ти степен дијагоналне (Dn) је дијагонална матрица са n-тим степенима дијагоналних елемената (λjn), извели смо доказ важне ергодичке теореме за теорију информације. То је конвергенција Марковљевог ланца (генерисаног стохастичком матрицом) ка црној кутији, односно матрици Mn када n → ∞, која ће сваки вектор трансформисати у својствени (v1) основне матрице M.
Процеси преноса информације који личе Марковљевом ланцу, конвергирају црној кутији, или имају комплексне својствене вредности па ротирају, осцилују.
Остало је нејасно када се таква конвергенција не дешава, а одговор дају последње (теореме) тврђења овде. Наиме, ако за неки број n = 1, 2, 3, ... имамо Mn = M из чега произлази PDnP⊥ = PDP⊥, или Dn = D, па је λn = λ за сваку својствену вредност. Ако нису сви λ = 1, као у горњем случају, ламбде су онда комплексни бројеви n-ти корени јединице:
\[ \lambda_j = \cos \phi_j + i\sin \phi_j, \quad n\phi_j = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{N}, \]за сваку од m својствених вредности (j = 1, ..., m). Говорим у општем случају, а у датом је m = 3. Другим речима, када Марковљев ланац не конвергира црној кутији, онда се он периодично понавља, а његове осцилације могу представљати ротацијама. Нисам сигуран да ли је оваква теорема позната у алгебри, па је само помињем без сувишног ширења приче.
Иначе, ротација у равни око исходишта Декартовог правоуглог система координата за угао φ може се представити матрицом
\[ R(\varphi) = \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix} \]која има две својствене вредности \( \lambda_{1,2} = e^{\pm \varphi i} = \cos\varphi \pm i\sin\varphi \), са припадним својственим векторима редом \( v_{1,2} = (\mp 1, i) \), где је \( i^2 = -1 \). Детаље погледајте у скрипти Квантна Механика (Пример 1.2.43). Посебно, погледајте и операторе изометрије.
4. Џорданова форма
Јорданова форма, позната као Јорданова нормална, или канонска форма (ЈКФ), је горња троугаона матрица нарочитог облика која се зове Јорданова матрица. Таква представља линеарни оператор на коначно-димензионалном векторском простору с обзиром на неку базу. Јорданова матрица има сваки ненулти вандијагонални унос једнак 1, непосредно изнад главне дијагонале (на супердијагонали), са идентичним дијагоналним уносима лево и испод њих.
32. Примери. a) Нилпотентат оператор \( N \in \mathcal{L}(F^4) \) дефинисан је са \( N(z_1, z_2, z_3, z_4) = (0, z_1, z_2, z_3) \). Ако је v = (1, 0, 0, 0), тада је N³v, N²v, Nv и v је база у F4. Матрица оператора N у тој бази је
\[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]b) Нилпотентат оператор \( N \in \mathcal{L}(F^6) \) дефинисан је са \( N(z_1, z_2, z_3, z_4, z_5, z_6) = (0, z_1, z_2, 0, z_4, 0) \). Сада не постоји вектор v ∈ F6 који би као у претходном случају, сада N5v, N4v, N³v, N²v, Nv и v, дефинисао базу F6. Међутим, ако узмемо v1 = (1, 0, 0, 0, 0, 0), v2 = (0, 0, 0, 1, 0, 0) и v3 = (0, 0, 0, 0, 0, 1), тада је N²v1, Nv1, v1, Nv2, v2, v3, база F6. Матрица оператора N у тој бази је
\[ \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} & \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix} & \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}. \]Као што видимо, ову можемо посматрати и као блок матрицу. □
4.1. Сваки се нилпотентан оператор \( N \in \mathcal{L}(V) \) понаша слично оваквоме. Постоји коначан скуп вектора vj ∈ V који са овим оператором формира базу облика Nkvj, где индекси k и j узимају вредности од 1 до n обрнутим редоследима. О бази која одговара нилпотентном оператору говори следеће тврђења. Једно од њих је 1870. године први доказао француски математичар Џордан (Camille Jordan, 1838–1922) по коме су ове форме добиле назив.
33. Став. Ако је \( N \in \mathcal{L}(V) \) нилпотентан оператор, онда постоје вектори v1, ..., vn ∈ V и ненегативни цели бројеви m1, ..., mn такви да:
- \( N^{m_1}v_1, ..., Nv_1, v_1, ..., N^{m_n}v_n, ..., Nv_n, v_n \) је база V;
- \( N^{m_1 + 1} v_n = ... = N^{m_n + 1} v_n = 0 \).
Доказ: Користимо индукцију по dim V. Тврђење је очигледно тачно за dim V = 1. Претпоставимо даље да је dim V > 1 и да тврђење важи за све просторе мањих димензија.
Зато што је N нилпотентан он није инјективан, па није сурјективан и кодомен range N прави је подскуп V. Игноришемо тривијални случај нула простора (такође тачан) и примењујемо хипотезу индукције на оператор рестрикције \( N|_{\text{range} N} \in \mathcal{L}(V) \). Онда постоје вектори v1, ..., vn ∈ range N и ненегативни бројеви m1, ..., mn такви да је
\[ N^{m_1}v_1, ..., Nv_1, v_1, ..., N^{m_n}v_n, ..., Nv_n, v_n \]база range N и \( N^{m_1 + 1} v_n = ... = N^{m_n + 1} v_n = 0 \).
Зато што је сваки vj ∈ range N, за њега постоји uj ∈ V такав да је vj = Nuj, па је Nk+1uj = Nkvj за сваки j и сваки ненегативан k. Даље тврдимо да је
\[ N^{m_1+1}u_1, ..., Nu_1, u_1, ..., N^{m_n+1}u_n, ..., Nu_n, u_n \]низ линеарно независних вектора из V. Да то докажемо рецимо да је њихова линеарна комбинација нула и применимо N. Добијамо линеарну комбинацију низа претходних једнаку нули. Међутим, низ претходних је линеарно независан и сви коефицијенти следећег су нуле осим можда коефицијената испред вектора Nm1u1, ..., Nmn+1un, који су једнаки векторима Nm1v1, ..., Nmnvn. Опет због линеарне независности, коефицијенти ових такође су нуле, чиме је друга листа линеарно независна.
Даље, проширимо ту листу до базе
\[ N^{m_1+1}u_1, ..., Nu_1, u_1, ..., N^{m_n+1}u_n, ..., Nu_n, u_n, w_1, ..., w_p \]простора V. Сваки Nwj је у кодомену N и разапиње простор V. Дакле, постоје xj у распону такви да су Nwj = Nxj. Нека је un+j = wj - xj. Тада Nun+j = 0, штавише
\[ N^{m_1+1}u_1, ..., Nu_1, u_1, ..., N^{m_n+1}u_n, ..., Nu_n, u_n, u_{n+1}, ..., u_{n+p} \]разапињу V. Ова база има тражену форму, чиме је доказ завршен. ∎
4.2. За оператор \( T \in \mathcal{L}(V) \) база простора V назива се Жорданова база тог оператора ако у односу на ту базу он има блок дијагоналну матрицу
\[ \begin{pmatrix} A_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & A_p \end{pmatrix} \]где је свако Aj горња троугаона матрица облика
\[ A_j = \begin{pmatrix} \lambda_j & 1 & & 0 \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ 0 & & & \lambda_j \end{pmatrix} \]34. Став. Ако је V комплексан простор и \( T \in \mathcal{L}(V) \), онда постоји база простора V која је Жорданова база за T.
Доказ: За векторе и нилпотентан оператор 33. става, за свако j, тај оператор N шаље први вектор низа \( N^{m_j}v_j, ..., Nv_j, v_j \) у 0, а сваки следећи вектор низа у претходни вектор тог низа. Другим речима, став даје базу V у којој N има блок дијагоналну матрицу, где свака матрица дијагонале има представљени Aj облик. Тако, тражени резултат важи за нилпотентне операторе.
Даље, нека је \( T \in \mathcal{L}(V) \), а λ1, ..., λm су различите својствене вредности T. Имамо генералисану декомпозицију својствених простора \( V = G(\lambda_1, T) \oplus ... \oplus G(\lambda_m, T) \), где је свако \( (T - \lambda_j I)|_{G(\lambda_j, T)} \). Саставимо ове базе и то је Жорданова база за T. ∎