Metrike

У еуклидској равни је свака од страница троугла краћа од збира остале две, а зато и мања од њихове разлике. То је неједнакост троугла коју узимамо за основу метрике уопште сматрајући „тачкама“ све што може испуњавати те услове, да је удаљеност d(x, y), између њих произвољних x и y, ненегативан број, затим да је нула ако и само ако је то иста „тачка“ (x = y) и да је удаљеност од прве до друге увек једнака удаљености од друге до прве датих „тачака“. То је веома широк концепт.

1. Векторски простор

Линеарна алгебра се веома детаљно бави векторима, на себи особен начин. Када се разраде особине скаларног производа вектора неизбежна је употреба и норме вектора, коју је најлакше разумети као интензитет, дужину вектора интерпретираног као усмерену дуж.

1.1. Дефиниција (Норма). Векторски простор (X, Φ) је нормиран ако постоји ненегативна функција дефинисана за свако x ∈ X, коју називамо нормом од X и означавамо са ∥x∥, таква да је:

1. ∥0∥ = 0 и ∥x∥ > 0 за x ≠ 0, позитивност,
2. ∥λx∥ = |λ|∥x∥ за сваки λ ∈ Φ, хомогеност,
3. ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥, неједнакост троугла.

Векторски простор снабдевен нормом назива се нормиран простор који даље не морамо третирати као простор вектора.

Дефиниција (Метрика). Нека је X аморфан скуп чије ћемо елементе означавати словима x, y, z, ... Ако сваком уређеном пару (x, y) из X координирамо реални број d(x, y) који има следеће особине:

1. 0 ≤ d(x, y) < +∞, позитивност,
2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y, минимализам,
3. d(x, y) = d(y, x), симетрија,
4. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), неједнакост троугла,

кажемо да смо скуп X снабдели метриком d. Скуп X снабдели метриком d називамо метрички простор. Његове елементе зовемо тачкама, а d(x, y) растојањем између тачака x и y.

Када је дат нормирани простор у њему се метрика уводи са d(x, y) = ∥x - y∥. Метрика уведена помоћу норме векторског простора има и неке додатне особине које не мора имати сами метрички простор. Такве су инваријантност на транслацију, d(x + v, y + v) = d(x, y) и скалирање, d(λx, λy) = |λ|d(x, y). У такав метрички простор се норма може увести са ∥x∥ = d(x, 0).

1.2. Метрички простор је пар (X, d). Најједноставнији такав је скуп реалних бројева X = ℝ снабдевен метриком d(x, y) = |x - y|. Прве три особине метрике су очигледно тачне, а четврта следи из:

d(x, y) = |x - y| = |(x - z) + (z - y)| ≤ |x - z| + |z - y| = d(x, z) + d(z, y).

У сложенијим случајевима метричких простора опет је углавном најтеже доказати ту четврту, неједнакост троугла, за што нам је обично потребна неједнакост Минковског. Ево примера.

Простор Φⁿ, са низовима из тела скалара Φ, рецимо реалних (ℝ) или комплексних (ℂ) бројева, дужине n = 1,2, 3, ... и метриком:

\[ d(x,y) = \sqrt{\sum_{k=1}^n|\xi_k - \eta_k|^2}, \]

ознаке x = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n) и y = (η₁, η₂, ..., η_n).

Простор Φⁿ_p где p ∈ [1, ∞). У истом претходном простору тачака метрика се може увести са:

\[ d(x,y) = \left[\sum_{k=1}^n|\xi_k - \eta_k|^p\right]^{\frac{1}{p}}, \quad 1 \le p \lt \infty, \]

који се тада означава са ℝⁿ_p када су коефицијенти низова реални бројеви, или са ℂⁿ_p ако су ови коефицијенти комплексни бројеви. Када је p = 2, тај се метрички простор своди на претходни.

Простор Φⁿ_∞. Када p → ∞ претходни простор Φⁿ_p, ознаке скалара Φ = ℝ или Φ = ℂ, има метрику:

\[ d(x, y) = \max_{1\le k\le n} |\xi_k - \eta_k|. \]

То наглашавамо означавајући такав метрички простор са Φⁿ_∞.

Простори ℓ_p и m. Када n → ∞ имамо простор бесконачних низова. Низ (ξ₁, ξ₂, ξ₃, ... ) пишемо краће (ξ). Када горњи редови конвергирају, њихове метричке просторе означавамо ℓ_p за 1 ≤ p < ∞. Када p → ∞ и редови конвергирају, онда метрика постаје супремум:

\[ d(x,y) = \sup_{1 \le k \lt \infty} |\xi_k - \eta_k|. \]

Ово је простор (ограничених) бесконачних низова бројева ознаке m. То су добро познати примери чије наводе и доказе можете наћи свуда.

1.3. Пример (Простор s). Тачка x простора s је било који бесконачни низ (ξ) са растојањем:

\[ d(x,y) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}\frac{|\xi_k - \eta_k|}{1 + |\xi_k - \eta_k|}. \]

Доказ: Пре свега, је:

\[ \frac{|\xi_k - \eta_k|}{1 + |\xi_k - \eta_k|} \le 1, \]

па наведени ред конвергира. Релација троугла следи из:

\[ \frac{|a + b|}{1 + |a + b|} \le \frac{|a|}{1 + |a|} + \frac{|b|}{1 + |b|}, \]

јер функција t/(1 + t) је монотоно растућа. Стављајући a = ξ_k - ζ_k и b = ζ_k - η_k, редом са k = 1, 2, 3, ..., па сабирајући их све. Прве три особине метрике су очигледне. □

1.4. Пример (Дискретна метрика). За било који скуп тачака X дефинишемо растојање:

\[ d(x,y) = \begin{cases} 1, & x \ne y, \\ 0, & x = y. \end{cases} \]

Ова метрика се назива дискретна. Очигледне су прве три дефиниционе особине. За доказ неједнакости троугла, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), приметимо да имамо два случаја. Први, x = y када је лева страна нула и неједнакост је тривијално задовољена. Ако x ≠ y, онда, ако је z ∉ {x, y} биће 1 ≤ 2 што је тачно, а ако је z један од два из {x, y} биће 1 ≤ 1 што је опет тачно. □

1.5. Пример (Хемингова метрика). Фиксирајмо један природан број n ∈ ℕ и нека скуп X чине бинарни низови (цифара 0 или 1) дужине n. За два таква низа, растојање d(x, y) је број позиција у којима се ови низови разликују. На пример, за n = 3 биће d(101, 110) = 2 и d(011, 001) = 1. Доказ је лаган. □

Постоји једна занимљива примена ове метрике у теорији информације (Distances II), као апстрактни, први корак у изградњи и дубљем разумевању физичког простор-времена.

1.6. Пример. Простор C[a, b] непрекидних функција x(t) на затвореном интервалу [a, b] произвољних али коначних бројева a и b, са растојањем:

\[ d(x,y) = \max_{a \le t \le b} |x(t) - y(t)| \]

је метрички простор, што се лако доказује. Исто имамо са простором \( \tilde{C}[0,2\pi] \) тачака x(t) периодичних непрекидних функција, периоде 2π, а са овом метриком. □

1.7. Пример (Простор C₁[a, b]). Тачке x метричког простора C₁[a, b] су непрекидне функције x(t), где је варијабла a ≤ t ≤ b, а растојање је дефинисано са:

\[ d(x, y) = \int_a^b |x(t) - y(t)|\ dt. \]

Доказ: Прва, трећа и четврта особина метрике су очигледне. Друга, ако се x(t) и y(t) поклапају свуда у интервалу [a, b] очигледно је d(x, y) = 0. Обрнуто, ако је d(x, y) = 0 биће x(t) идентички једнако са y(t) свугде датог интервала. Заиста, када би за неко t₀ имали x(t₀) ≠ y(t₀), било би | x(t₀) - y(t₀)| = δ > 0, па би подинтегрална непрекидна функција била |x - y| ≥ δ/2 > 0 у једном размаку позитивне дужине. Али тада интеграл не би могао бити једнак нули. □

Ово не важи за саме интеграбилне функције, каква је, на пример, прекидна:

\[ x(t) = \begin{cases} 1, & t = a, \\ 0, & t \ne a, \end{cases} \]

при чему је константно y(t) = 0. Тада је d(x, y) = 0 иако је x ≠ y. Тада наведену метрику, интеграбилних функција, називамо простором L² са псеудометриком.

1.8. Дефиниције. Када је X непразан скуп чије елементе x, y, z, ... називамо векторима, или тачкама и имамо скуп Φ реалних (ℝ), или комплексних бројева (ℂ), чије елементе α, β, γ, ... називамо скаларима, онда уређени пар (X, Φ) називамо линеарним векторским простором, или само векторским простором, ако по томе важи:

1. (∀x, y ∈ X)(∃z ∈ X) z = x + y — збир вектора је вектор,
2. (∀x ∈ X)(∀λ ∈ Φ)(∃y ∈ X) y = λx — производ скалара и вектора је вектор,
3. (∀x, y ∈ X) x + y = y + x — сабирање вектора је комутативно,
4. (∀x, y, z ∈ X) (x + y) + z = x + (y + z) — сабирање вектора је асоцијативно,
5. (∃0 ∈ X)(∀x ∈ X) x + 0 = 0 + x — постоји неутрал (нула) сабирања,
6. (∀x ∈ X)(∃(-x) ∈ X) x + (-x) = 0 — постоје симетрични вектори,
7. (∀x, y ∈ X)(∀λ ∈ Φ) λ(x + y) = λx + λy — дистрибуција скалара збиром вектора,
8. (∀λ, μ ∈ Φ)(∀x ∈ X) (λ + μ)x = λx + μx — дистрибуција вектора збиром скалара,
9. (∀λ, μ ∈ Φ)(∀x ∈ X) λ(μx) = (λμ)x — асоцијација скаларног множења,
10. (∃1 ∈ Φ)(∀x ∈ X) 1x = x — постоји неутрал (јединица) множења.

Сабирање вектора и множење вектора скаларом називамо и унутрашња и спољашња композиција у векторском простору. Нула-вектор у X и нулу у Φ означавамо истим симболом 0, јер се те употребе са мало пажње лако разликују. Подразумевајући ознаку уређеног пара (X, Φ) за векторски простор, када то не прави забују, користимо и само ознаку X. □

Ово детаљно набрајање особина векторских простора, упоређено са наизглед шкртим описом вектора у одељку алгебре, служи за увид у велику сличност векторских и метричких простора, у лако везивање резултата из алгебре са онима из анализе и обрнуто. У наставку погледајмо неке корисније последице ових правила, а на крају и примере норми вектора.

1.9. Став. На основу уведених аксиома (1.8), у векторском простору лако изводимо следећа правила:

1. x + y = x + z ⇒ y = z.
2. x = y ⇔ x - y = 0, ∵ x - y = x + (-y).
3. 0x = 0.
4. λ0 = 0.
5. (-1)x = -x.
6. (λx = 0 ∧ λ ≠ 0) ⇒ x = 0.
7. (λx = λy ∧ λ ≠ 0) ⇒ x = y.
8. (λx = 0 ∧ x ≠ 0) ⇒ λ = 0.
9. (λx = μx ∧ x ≠ 0) ⇒ λ = μ.

Докази: (I) На основу дефиниција 3° до 6° је:

x + y = x + z ⇒ y + x = z + x ⇒ (y + x) + (-x) = (z + x) + (-x) ⇒

⇒ y + [x + (-x)] = z + [x + [x + (-x)] ⇒ y + 0 = z + 0 ⇒ y = z.

(II) Из x = y, на основу 6°: x + (-y) = y + (-y) = 0. Слично се доказује и обрнуто.

(III) На основу 5° и 8° је: λx + 0 = λx = (λ + 0)x = λx + 0x и тврђење следи из (I).

(IV) На основу 5° и 7° је: λx + 0 = λx = λ(x + 0) = λx + λ0 и тврђење следи из (I).

(V) На основу 5°, 6° и (III) је: x + (-1)x = [1 + (-1)]x = 0x = 0, па 6° је (-1)x симетричан x.

(VI) На основу 10°, 9° и (IV) је: x = 1x = λ^-1(λx) = λ^-10 = 0.

(VII) Из λx = λy на основу (II), 5° и (VI) је: λx - λy = 0 ⇒ λ(x - y) = 0 ⇒ x - y = 0.

(VIII) Када λ ≠ 0, тада из λx = 0 и (VI) следи x = 0, супротно претпоставци x ≠ 0. Значи λ = 0.

(IX) На основу (I), 8° и (VII) је: λx = μx ⇒ λx - μx = 0 ⇒ (λ - μ)x = 0 ⇒ λ - μ = 0. ∎

1.10. Примери. A. Скуп реалних бројева ℝ као вектора (X = ℝ) образује линеарни векторски простор над скупом реланих бројева као скалара (Φ = ℝ), када унутрашњу композицију сматрамо сабирањем, заједно са множењем реалних бројева као спољашњом.

B. Скуп ℝⁿ чији су елементи облика x = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n) образује векторски простор над скупом реалних (комплексних) скалара, ако унутрашњу и спољашњу композицију дефинишемо са:

x + y = (ξ_k + η_k),   λx = (λξ_k),

са нула вектором 0 тачком (0, 0, ..., 0).

C. Скуп ℓ_p реалних (комплексних) бесконачних конвергентних низова:

\[ x = (\xi_k), \quad \sum_{k=1}^{\infty} |\xi_k|^p \lt \infty, \quad p \ge 1, \]

образује векторски простор ако унутрашњу и спољашњу композицију уведемо начином примера B. Неједнакост троугла следи из неједначине Минковског, а нула вектор је низ са свим нулама.

D. Скуп свих низова (s), као и скупови ограничених (m), конвергентних (c) и нула низова (c₀) образују векторски простор ако метрику уведемо као у примеру C.

E. Ако у скуп непрекидних функција C[a, b] уведемо унутрашњу и спољашњу композицију са:

(x + y)(t) = x(t) + y(t),   (λx)(t) = λx(t),

овај постаје векторски простор. Нула вектор му је функција идентички једнака нули. Исто важи за скуп функција ограничене варијације.

F. Скуп L_p[a, b] функција x = x(t) са условом:

\[ \int_a^b |x|^p\ dt \lt \infty, \quad p \ge \infty, \]

образује векторски простор ако унутрашњу и спољашњу композицију уведемо на начин примера E. Неједнакост троугла се може доказати Минковскијевом неједначином за интеграле, а нула-вектор је функција која је скоро свуда једнака нули. □

1.11. Примери. Векторски простори претходних примера (1.10) могу се нормирати доследно горњим дефиницијама (1.1):

\[ \mathbb{R}_p^n: \quad \|x\| = \left(\sum_{k=1}^n |\xi|^p\right)^{\frac{1}{p}}, \] \[ \mathbb{R}^n_{\infty}: \quad \|x\| = \max_{1 \le k \le n} |\xi_k|, \] \[ \ell_p: \quad \|x\| = \left( \sum_{k=1}^{\infty} |\xi_k|^p \right)^{\frac{1}{p}}, \] \[ m, \ c, \ c_0: \quad \|x\| = \sup_{1 \le k \lt \infty} |\xi_k|, \] \[ C[a, b]: \quad \|x\| = \max_{a\le t\le b} |x(t)|, \] \[ L_p(a, b): \quad \|x\| = \left(\int_a^b |x(t)|^p\ dt\right)^{\frac{1}{p}}, \] \[ M(a, b): \quad \|x\| = \text{ess}\sup_{a\le t\le b}|x(t)|, \] \[ V_0[a, b]: \quad \|x\| = V_a^b(x), \]

при чему је 1 ≤ p < ∞, где год је параметар p наведен. □

1.12.i Уз ове примере корисно је познавати следеће познате особине скупова. Пре свега, када је r > 0 и било која фиксирана тачка a ∈ X, онда се скуп тачака x ∈ X са особинама d(x, a) < r и d(x, a) ≤ r назива отвореном и затвореном куглом тим редом. Једнакост d(x, a) = r дефинише сферу полупречника r око тачке a.

Лако је потом доказивати да су празан скуп и читав простор отворени скупови, да је унија ма ког скупа отворених скупова отворен скуп, да је пресек коначно много отворених скупова отворен скуп.

Скуп је затворен скуп ако му је комплемент у односу на читав простор отворен скуп. Зато је затворена кугла затворен скуп. Сваки коначан скуп је затворен. Сфера је затворен скуп. Читав простор и празан скуп (такође су) затворени скупови. Пресек ма које колекције затворених скупова је затворен скуп, а унија коначно много затворених скупова је затворен скуп.

ii. Околина скупа S ⊂ X је сваки скуп V ⊂ X који садржи један отворен скуп у ком лежи скуп S. Посебно, ако се скуп S своди на једну једину тачку x говоримо о околини тачке x. Лако је затим доказивати да је скуп S отворен тада и само тада ако је околина сваке своје тачке. Отворена кугла K(x, ε), без сфере, са центром x и полупречника ε зове се ε-околина тачке x. Скуп је отворен тада и само тада ако је околина сваке своје тачке. Тачка је унутрашња датог скупа, ако је тај скуп њена околина.

iii. Тачка је адхерентна тачка скупа S када је у свим њеним околинама бар једна тачка из S. Колекција адхерентних тачака скупа S образује адхеренцију од S коју означавамо \( \bar{S} \). Очигледно је \( S \subset \bar{S} \). Такође адхеренција скупа рационалних бројева (ℚ) је скуп реалних бројева (ℝ). Адхеренција отвореног (a, b) размака из ℝ је затворени размак [a, b] ⊂ ℝ.

Адхеренција, \( \bar{A} \) је најмањи затворени скуп који садржи скуп \( A\). Лако је показати да:

\[ \bar{\bar{A}} = \bar{A}, \quad A \subset B \implies \bar{A} \subset \bar{B}, \quad \overline{A\cup B} = \bar{A} \cup \bar{B}. \]

iv. Тачка x је тачка међе (руба) скупа ако је истовремено адхерентна тачка скупа и њему комплемента. Колекција свих тачака међе скупа је међа (руб) датог скупа. Међа сваког скупа је затворен скуп. Тачка је изолована тачка ако постоји околина те тачке у којој сем ње нема других тачака тог скупа.

v. Тачка x је тачка нагомилавања скупа A када свака њена околина има бар још једну тачку тог скупа. Колекција тачака нагомилавања скупа A образује изведени скуп ознаке A'. Тачка нагомилавања може али не мора припадати скупу. На пример, низ тачака (1/k) чини скуп чија тачка нагомилавања није из тог скупа. Изведени скуп рационалних бројева је скуп свих реалних бројева. Међутим, {1/k}' = {0}, па {1/k}'' = ∅, али за произвољан скуп важи Ā = A ∪ A'. Скуп A је затворен тада и само тада ако садржи све своје тачке нагомилавања, ако је A' ⊂ A. Сваки затворен скуп је дисјунктна унија својих изолованих тачака и својих тачака нагомилавања.

vi. Скуп A је перфектан скуп када му припадају све тачке нагомилавања и када је свака његова тачка тачка нагомилавања, тј. ако је A' = A. Затворен размак у ℝ је перфектан скуп, исто важи и за скуп ℝ реалних бројева. Скуп A је свуда густ у скупу B, ако је било која тачка из B адхерентна тачка A. Опет, скуп A је свуда густ у B ако се у свакој околини било које тачке из B налази бар једна тачка из A.

2. Банахов простор

У математици, тачније у функционалној анализи, Банахов простор је потпуни нормирани векторски простор. To је векторски простор са метриком која омогућава израчунавање дужинa вектора такође и растојања између вектора, а потпуност, кажемо и компактност, значи да сваки Кошијев низ његових вектора конвергира, иде ка граници која је и сама вектор тог простора.

2.1. Кошијев низ је низ чији чланови постају произвољно блиски један другом док секвенца напредује и, при томе, за било коју малу позитивну удаљеност сви осим коначно много елемената низа су мањи од дате удаљености један од другог. Није довољно да удаљеност суседних елемената исчезава (њихова разлика да тежи нули), него је потребно да за довољно велике индексе разлика било која следећа два исчезава.

На пример, за низ збирова:

\[ a_n = 1 + \frac12 + \frac13 + ... + \frac{1}{n}, \quad n = 1, 2, 3, ... \]

је |a_n+1 - a_n| = 1/n → 0 када n → ∞, али низ (a_n) није Кошијев, јер он дивергира:

\[ 1 + \frac12 + \left(\frac13 + \frac14\right) + \left(\frac15 + \frac16 + \frac17 + \frac18\right) + ... \ge 1 + \frac12 + \frac12 + \frac12 + ... \to \infty. \]

Пример Кошијевог низа је q₁ = 1,4; q₂ = 1,41; q₃ = 1,414; ... који конвергира корену броја два. Сваки члан тога низа је рационалан број, q_k ∈ ℚ, али сам гранични број није, √2 ∉ ℚ. Скуп рационалних бројева је нормиран векторски простор, али није Банахов простор. Али, увек је могуће „попунити све рупе“, што доводи до завршетка, комплетирања датог простора.

За метрички простор X кажемо да је потпун, ако сваки Кошијев низ тачака у X има границу, лимес, а која је такође у X. Описно, простор је потпун ако у њему не постоје „тачке које недостају“ (унутар или на граници). На пример, скуп рационалних бројева ℚ учинићемо потпуним када му придружимо све граничне вредности Кошијевих низова његових чланова, чиме добијамо скуп реалних бројева, ℝ. Из:

\[ (\forall \varepsilon \gt 0)(\exists n_0 \in \mathbb{N})(\forall m, n \ge n_0)\; d(x_m, x_n) \lt \varepsilon, \quad \lim_{n \to \infty} x_n = x_0, \]

следи да је низ (x_n) Кошијев. Ако при томе сви његови чланови, укључујући и граничну вредност (x₀) припадају метричком простору, онда је тај простор Банахов.

Нормирани векторски простор X назива се Банахов простор, ако сваки Кошијев низ у X конвергира. Видели смо шта значе векторски простор и норма, а управо смо сазнали да су Кошијеви низови они који су конвергентни. Банахов простор има захтев да је гранична вредност сваког тог низа елеменат истог простора, па је корисно знати и следеће: монотон ограничен бесконачни низ је Кошијев низ.

Ово последње значи да се у некој околини граничне вредности укључујући и њу налазе сви чланови низа, ако је низ неопадајући (нерастући) и ограничен са горње (доње) стране. Ограниченост говори о граничнику таквом да су сви чланови низа са једне његове стране. На пример, низ 2^-1, 2^-2, 2^-3, 2^-4, ... монотоно је опадајући и ограничен одоздо бројем 0, па је зато конвергентан (Кошијев). Граница му је број 0, јер 2^-n → 0 када n → ∞.

2.2. У линеарној алгебри, функционалној анализи и сродним областима, квазинорма је слична норми по аксиомама, осим што је неједнакост троугла замењена, па имамо:

1. ∥0∥_q = 0 и ∥x∥_q > 0 за x ≠ 0, позитивност,
2. ∥λx∥_q = |λ| ∥x∥ _q за сваки λ ∈ Φ, хомогеност,
3. ∥x + y∥_q ≤ K(∥x∥_q + ∥y∥_q), квази неједнакост троугла.

где је K > 1 константа. Пошто је свака норма квазинорма, сваки нормиран простор је квазинормиран. Тако имамо и квази-Банахове просторе.

Квазинорму разликујемо од семинорме (полунорма) која не мора имати особину (1), те није позитивно одређена норма векторског простора, када остају само следеће две аксиоме:

• ∥λx∥_s = |λ| ∥x∥_s,   λ ∈ Φ, хомогеност,
• ∥x + y∥_s ≤ ∥x∥_s + ∥y∥_s,   x, y ∈ X, сублинеарност.

Семинорма се разликује од норме по томе што је дозвољено да је ∥z∥_s = 0 за неки z ∈ X који није нула.

Посебна еуклидска, или векторска L² норма је матрична норма, која се назива и Фробенијусова норма:

\[ \|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}, \]

где је A = (a_ij) матрица типа m × n. Она је једнака корену трага производа ње и њој адјунговане:

\[ \|A\|_F = \sqrt{\text{tr}(AA^{\dagger})}. \]

Заиста, како је:

\[ AA^{\dagger} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ ... \\ a_{k1} & a_{k2} & ... & a_{kn} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}_{m\times n} \begin{pmatrix} a_{11}^* & ... & a_{k1}^* & ... & a_{m1}^* \\ ... \\ a_{12}^* & ... & a_{k2}^* & ... & a_{m2}^* \\ ... \\ a_{1n}^* & ... & a_{kn}^* & ... & a_{mn}^* \end{pmatrix}_{n\times m} = B_{m\times m}, \]

а то је матрица B = (b_ij) са k-тим дијагоналним елементима:

\[ b_{kk} = a_{k1}a^*_{k1} + a_{k2}a^*_{k2} + ... + a_{kn}a^*_{kn}, \quad k = 1,2, ..., m, \]

чији збир је наведена Фробенијусова норма, ∥A∥_F. Она се такође назива Хилберт-Шмитова норма, па и Шурова норма. Наводим ове „небитне“ врсте норми тек да лакше разумемо и сличне теме.

2.3. Банахови простори X и Y над истим скупом скалара Φ су конгруентни ако су изоморфни а уједно и изометрични, тј. ако постоји бијекција f: X → Y таква да је:

f(λ₁x₁ + λ₂x₂) = λ₁f(x₁) + λ₂f(x₂)

за све λ₁, λ₂ ∈ Φ и x₁, x₂ ∈ X. Пресликавање f тада називамо конгруенција. Када је X₁ ⊂ X, а оба X₁ и X су Банахови простори, онда кажемо да је X₁ Банахов подпростор X.

На пример, у ℓ_p (простор конвергентних низова) скуп вектора ℓ' са коначно много не-нула координата (различитих од нуле) образује у њему један векторски подпростор. Али, ℓ' није Банахов подпростор, јер није комплетан. Координате облика ξ = 2^-ν → 0, када ν → ∞, па Кошијев низ (ξ_k) не конвергира у ℓ'.

Овај пример показује важност комплетирања, затварања, или адхеренције скупа тачака додавањем му свих граничних вредности тих тачака, јер адхеренција векторског подпростора Банаховог простора је Банахов подпростор. На пример, адхеренцију отвореног интервала (a, b) ⊂ ℝ чини затворени интервал [a, b] ⊂ ℝ. Адхеренција рационалних бројева (ℚ) је скуп реалних бројева (ℝ). Адхеренција датог скупа A увек је најмањи затворени скуп који садржи A, па се адхеренцијом адхеренције не мења скуп, нити се мења адхеренцијом затвореног скупа. Затворен скуп A обично пишемо Ā.

Корисно је познавати следеће особине и изразе у вези са затварањем скупова. Прво, затворене скупове карактерише Ā = A. Затим је Ā̄ = Ā, такође A ⊂ B ⇒ Ā ⊂ B̄, адхеренција уније је унија адхеренција. Тачка припада међи (рубу, граници) скупа ако је уједно адхерентна и датом скупу и његовом комплементу. У ℝ је међа скупа рационалних бројева скуп свих реалних бројева. Међа отвореног интервала (a, b) ⊂ ℝ су две тачке, a и b. Међа сваког скупа је затворени скуп, јер је пресек затварања скупа и комплемента.

Тачка x ∈ A је изолована тачка, ако око x постоји околина у којој осим x нема других тачака из A. Тачка x је тачка нагомилавања скупа A ако у свакој њеној околини лежи бар једна тачка из A различита од x. Колекција тачака нагомилавања скупа A образује изведени скуп од A који означавамо са A'. Јасно је да тачка нагомилавања може, али не мора припадати скупу. Тако скупу, низу (1/n) позитивних бројева не припада његова једина тачка нагомилавања (нула).

2.4.I. Пресликавање векторских простора A: X → Y је адитивно ако је:

A(x₁ + x₂) = Ax₁ + Ax₂

за сваки пар вектора x₁ и x₂ из X. Из A(x) = A(x + 0) = A(x) + A(0) следи да је A(0) нула-вектор у Y, који опет означавамо са 0. Даље је 0 = A(0) = A(x - x) = A(x) + A(-x), из чега следи A(-x) = -A(x). Симетрични елеменат слике од x је слика симетричног елемента x.

II. Пресликавање векторских простора A: X → Y је хомогено ако је:

A(λx) = λAx

за свако x ∈ X и свако λ ∈ Φ.

III. Пресликавање векторских простора A: X → Y је линеарно ако је истовремено адитивно и хомогено. Оно тада задовољава:

A(λ₁x₁ + λ₂x₂) = λ₁Ax₁ + λ₂Ax₂

за свако x₁, x₂ ∈ X и свако λ₁, λ₂ ∈ Φ.

IV. Линеарно пресликавање A: X → Y је ограничено ако постоји ненегативан број M такав да је:

∥Ax∥ ≤ M∥x∥

за свако x ∈ X. Инфимум бројева M за које ово важи је норма линеарног пресликавања A. Лако је проверити да и ова „норма“ задовољава општу дефиницију норме. Пресликавање A је, према томе, ограничено ако има коначну норму ∥A∥. Тада је:

∥Ax∥ ≤ ∥A∥ ∥x∥

за свако x ∈ X. У тој се неједнакости норма ∥⋅∥ јавља три пута, са три различита значења. Лево је норма вектора у Y, затим је норма пресликавања A, па норма вектора из X. Само када то треба наглашавати пишемо ∥Ax∥_Y ≤ ∥A∥ ∥x∥_X.

V. Нека је A: X → Y линеарно пресликавање. Кажемо да A има инверзно пресликавање A^-1 ако постоји пресликавање A^-1 такво да је A^-1(Ax) = x, за свако x ∈ X. Ова инвертибилност је нарочито тема линеарне алгебре.

Другим речима, инверзно пресликавање постоји, ако је A бијекција (обострано једнозначно) између X и Y, тј. ако x₁ ≠ x₂ повлачи Ax₁ ≠ Ax₂, што због линеарности пресликавања значи да једнакост Ax = 0 повлачи x = 0. Инверзно пресликавање A^-1 пресликава A(X) на X.

2.5. Став. Ако је адитивно пресликавање непрекидно у једној тачки простора, оно је непрекидно на читавом простору.

Доказ: Нека је x₀ ∈ X тачка у којој је адитивно пресликавање A непрекидно. Нека су у X произвољна тачка x и низ тачака (x_k) који конвергира ка x. Тада је:

\[ \lim_{n\to \infty} A(x_n - x + x_0) = Ax_0, \] \[ \lim_{n\to \infty} (Ax_n - Ax + Ax_0) = Ax_0, \] \[ \lim_{n \to \infty} Ax_n = Ax. \]

То значи да је пресликавање A непрекидно у тачки x. ∎

2.6. Став. Ако је пресликавање A хомогено, за норму важи:

\[ \|Ax\| = \sup_{x \ne 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{x \le 1}\left\|\frac{1}{\|x\|}Ax\right\| = \sup_{x = 1} \|Ax\|. \]

Доказ: користећи претходно, имамо редом:

\[ \frac{\|Ax\|}{\|x\|} \le M, \quad x \ne 0, \] \[ \|A\| = \sup_{x \ne 0}\frac{\|A\|}{\|x\|} = \sup_{x\ne 0}\left\|\frac{1}{\|x\|}Ax\right\| = \sup_{x\ne 0}\left\|A\left(\frac{x}{\|x\|}\right)\right\|, \] \[ \|A\| = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|. \]

Тиме је доказана трећа једнакост. Да бисмо доказали другу, узмимо само тачке мање од јединичне норме:

\[ \sup_{\|x\| \le 1} \|Ax\| \le \|A\| = \sup_{\|x\| = 1} \|Ax\|. \]

Очигледно важи и обрнута неједнакост. ∎

2.7. Став. Линеарно пресликавање A: X → Y је непрекидно акко (ако и само ако) је ограничено.

Доказ: Ако је пресликавање A ограничено:

∥Ax_k - Ax₀∥ = ∥A(x_k - x₀)∥ ≤ ∥A∥ ∥x_k - x₀∥,

одакле следи, када x_k → x₀, непрекидност у произвољној тачки x₀. Обрнуто, ако пресликавање A није ограничено на читавом простору X, оно није ограничено ни на јединичној сфери ∥x∥ = 1. Доследно, постоји низ тачака (x_k), са ∥x_k∥ = 1, тако да је ∥Ax_k∥ ≥ δ_k → ∞. Али тада, низови:

\[ y_k = \frac{x_k}{\delta_k} \to 0, \quad \|Ax_k\| \ge 1 \ (\forall k), \]

па пресликавање A није непрекидно у тачки x = 1. На основу става 2.5 оно тада не може бити непрекидно ни у једној тачки. ∎

2.8. Став. Дато је линеарно пресликавање A: X → Y. Потребан и довољан услов да је оно ограничено је да сваки оганичен скуп пресликава у ограничен скуп.

Доказ: Услов је потребан. Ако је A ограничено и S је неки ограничен скуп, тј. ∥A∥ < ∞ и ∥x∥ ≤ M за свако x ∈ S, тада је ∥Ax∥ ≤ ∥A∥ ∥x∥ ≤ M∥A∥ за свако x ∈ S.

Услов је довољан. Ако је K јединична затворена кугла у X, тада је и њена слика AK ограничен скуп у Y. Постоји број M > 0 тако да је ∥Ax∥ ≤ M за свако x ∈ K. Нека је x ≠ 0 произвољна тачка у X. Количник је тада x/∥x∥ ∈ K, па:

\[ \left\|A\frac{x}{\|x\|}\right\| \le M, \]

тј. ∥Ax∥ ≤ M∥x∥. Ово очигледно важи и за x = 0, па имамо ограниченост оператора A. ∎

2.9. Став. Ако линеарно пресликавање A: X → Y има инверзно пресликавање A^-1 тада је на A(X) и оно линеарно.

Доказ: Ако A има инверзно пресликавање A^-1, тада је A^-1(Ax) = A^-1Ax = x за свако x ∈ X, али је и A(A^-1y) = AA^-1y = y за свако y ∈ A(X). За произвољна два вектора y₁, y₂ ∈ A(X) и произвољна два скалара λ₁, λ₂ ∈ Φ је тада, због линеарности A:

A^-1(λ₁y₁ + λ₂y₂) = A^-1(λ₁AA^-1y₁ + λ₂AA^-1y₂) =
= A^-1A(λ₁A^-1y₁ + λ₂A^-1y₂) = λ₁A^-1y₁ + λ₂A^-1y₂.

Дакле, пресликавање A^-1 такође је линеарно. ∎

2.10. Став. Нека је A: X → Y линеарно пресликавање. Потребан и довољан услов да A има инверзно пресликавање A^-1 на A(X) је да постоји број m > 0 тако да је ∥Ax∥ ≥ m∥x∥ за свако x ∈ X.

Доказ: Да је услов довољан, видимо из: (Ax = 0) ⇒ (m∥x∥ ≤ 0) ⇒ (∥x∥ = 0) ⇒ (x = 0), па према (2.4.V, дефиницији) постоји инверзно пресликавање.

Да је услов потребан, јер из ограничености A^-1 следи да постоји константа M < ∞ таква да за свако x ∈ X је ∥A^-1(Ax)∥ ≤ M∥Ax∥, што се своди на m = 1/M. ∎

Сетимо се да је „тополошки простор“ најшира подлога математичком појму „простора“. Имате и мој блог прилог о томе (Topology). Тополошки простори су „тополошки изоморфни“ или „хомеоморфни“, ако је између њих бијекција („1-1“ и „на“ пресликавање, краће обострано једнозначно), која отворене скупове једног пресликава на отворене скупове другог. Да бијекција f: X → Y између два тополошка простора буде хомеомофизам, потребно и довољно је да су f и њој инверзна функција f^-1 непрекидне. Наиме, рећи да су f и f^-1 непрекидне, исто је што и рећи да је реципрочна (инверзна) слика сваког од отворених скупова из X отворен скуп у Y.

2.11. Став. Простори X и Y су алгебарски и тополошки изоморфни тада и само тада када постоји линеарно пресликавање A са X на Y и ако постоје позитивне константе m и M тако да је:

m∥x∥ ≤ ∥Ax∥ ≤ M∥x∥,   ∀x ∈ X.

Доказ: Према дефиницији 2.3 они су алгебарски изоморфни, јер на основу претходног A је бијекција између X и Y. Због линеарности, A је алгебарски изоморфизам. Како су, на основу става 2.7 и 2.10, A и A^-1 непрекидна пресликавања, то је A хомеоморфизам. ∎

2.12. Став. Нека су ∥⋅∥₁ и ∥⋅∥₂ две норме истог векторског простора X. Нормирани векторски простори X₁ = (X, ∥⋅∥₁) и X₂ = (X, ∥⋅∥₂) су алгебарски и тополошки изоморфни тада и само тада ако постоје позитивне константе m и M тако да је:

m∥x∥₁ ≤ ∥x∥₂ ≤ M∥x∥₂,   ∀x ∈ X.

Када год је испуњена ова неједначина, кажемо да су те две норме еквивалентне.

Доказ: Следи из претходног става, ако ставимо X = X₁ и Y = X₂, а за A = I, идентичко пресликавање. ∎

Знамо да су сви векторски простори алгебарски изоморфни (Став 11) ако и само ако су исте димензије n, а сада докажимо да су и нормирани простори исте димензије тополошки изоморфни.

2.13. Став. Два нормирана простора X и Y димензије n над истим скупом скалара су алгебарски и тополошки изоморфни, тј. хомеоморфни.

Доказ: Хомеоморфизам је релација еквиваленције и довољно је показати да је простор X тополошки изоморфан нормираном простору ℝⁿ. Нека је r = (ρ₁, ρ₂, ..., ρ_n) тачка из ℝⁿ и нека је {e₁, e₂, ..., e_n} база простора X. Тада је линеарно пресликавање A: ℝⁿ → X, дефинисано са:

r = (ρ₂, ..., ρ_n) → x = ρ₁e₁ + ρ₂e₂ + ... + ρ_ne_n

бијекција између ℝⁿ и X. Показаћемо да постоје бројеви m и M тако да је:

m∥r∥_ℝ ≤ ∥Ar∥ ≤ M∥r∥_ℝ,   ∀r ∈ ℝⁿ,

одакле, на основу става 2.11, следи тврђење. Наиме, на основу Холдерове неједначине:

\[ \|Ar\| = \left\|\sum_{i = 1}^n \rho_i \textbf{e}_i \right\| \le \sum_{i=1}^n |\rho_i|\|\textbf{e}_i\| \le \left(\sum_{i=1}^n \|\textbf{e}_i\|^2\right)^\frac12 \|r\|_\mathbb{R} = M\|r\|_\mathbb{R}. \]

Да покажемо да постоји и позитиван број m, довољно је ограничити се на оне тачке из ℝⁿ које леже на јединичној сфери. Претходна горњој неједнакост очигледно важи за r = 0, која делењем са ∥r∥_ℝ постаје m ≤ ∥Ar∥, за тачке r на јединичној сфери. Десни део те неједначине, функција f(r) = ∥Ar∥ је непрекидна на ℝⁿ, јер је:

|f(r₁) - f(r₂)| = ∥A(r₁ - r₂)∥ ≤ M∥r₁ - r₂∥_ℝ.

Отуда је реална функција f непрекидна на компактном скупу ∥r∥_ℝ = 1, па постиже на њему минимум m. Како је f ≥ 0, то је и m ≥ 0. Али m ≠ 0, јер би иначе за неко r сфере било Ar = ρ₁e₁ + ρ₂e₂ + ... + ρ_ne_n уз:

\[ \sum_{i=1}^n |\rho_i|^2 = 1, \]

што би противречило линеарној независности вектора базе (e_k). ∎

2.14. Став. Сваки коначно димензионални простор X је комплетан (дакле Банахов).

Доказ: Нека је X тополошки изоморфан прострору ℝⁿ. Показаћемо, општије, ако је један од два тополошки изоморфна простора X и Y комплетан, да је тада такав и други. Нека је са ознакама 2.11. става, простор X комплетан и нека је (y_k) један Кошијев низ у Y. Тада је и x_k = A^-1y_k један Кошијев низ у X, јер је:

\[ \|x_p - x_q\| \le \frac{1}{m}\|A(x_p - x_q)\| = \frac{1}{m}\|AA^{-1}(y_p - y_q)\| = \frac{1}{m}\|y_p - y_q\| \quad (m \gt 0). \]

Због комплетности простора X постоји x ∈ X тако да x_k → x. Ставимо Ax = y, па је:

∥y_k - y∥ = ∥A(x_k - x)∥ ≤ M∥x_k - x∥,

те y_k → y, што значи да је Y комплетан. ∎

2.15. Став. Сваки коначно димензионални подпростор X₁ нормираног простора X је затворен.

Доказ: Нека је x тачка нагомилавања од X₁. Тада постоји низ x_k ∈ X₁ који конвергира ка x. Но како је (x_k) Кошијев низ у X₁ а овај је комплетан (претходни став), то постоји x' ∈ X₁ тако да x_k → x'. Како низ (x_k) може конвергирати само ка једној тачки, то је x = x' ∈ X и тачка нагомилавања x од X₁ припада X₁. Дакле, X₁ је затворен скуп. ∎

2.16. Став. Нека A линеарно пресликава X у Y. Ако је X коначно димензионалан простор, тада је оператор A ограничен.

Доказ: Нека је X димензије n и нека је (e₁, e₂, ..., e_n) једна база у X. Сваки вектор x ∈ X може се тада написати у облику:

x = ξ₁e₁ + ξ₂e₂ + ... + ξ_ne_n.

Ако у X уведемо нову норму (лако је проверити да то јесте норма):

\[ \|x\|_{\mathbb{R}^n} = \left(\sum_{k=1}^n|\xi_k|^2\right)^{\frac12}, \]

тада је на основу Холдерове неједнакости:

\[ \|Ax\| = \left\|\sum_{k = 1}^n \xi_k A\mathbf{e}_k \right\| \le \left(\sum_{k=1}^n \|A\mathbf{e}_k\|^2\right)^{\frac12}\|x\|_{\mathbb{R}^n} = M \|x\|_{\mathbb{R}^n} \]

што значи да је оператор A ограничен у односу на нову норму. Међутим, према 2.13. ставу, простори X и ℝⁿ су тополошки изоморфни, па су им норме еквивалентне (2.12. став). Отуда је оператор ограничен и у односу на дату норму ∥⋅∥. ∎

На крају наводим Рисову лему (малу теорему) функционалне анализе, коју треба разликовати од става, истог аутора, којег сам доказао у прилозима алгебре.

2.17. Лема. Нека X₁ затворен и прави подпростор простора X. Тада за свако δ ∈ (0, 1) постоји вектор x_δ ∈ X тако да је ∥x_δ∥ = 1 и d(x_δ, X₁) ≥ δ, где је d(x_δ, X₁) растојање вектора x_δ до подпростора X₁.

Доказ: Како је X₁ прави део од X то постоји вектор x₀ ∈ X - X₁. Нека је:

\[ d = d(x_0, X_1) = \inf_{x \in X_1} \|x - x_0\|. \]

Показујемо, прво, да је d > 0. Наиме, када би било d = 0, постојала би за свако ε > 0 тачка x ∈ X₁ тако да је ∥x - x₀∥ < ε, тј. x₀ би била адхерентна тачка од X₁ па би као таква припадала затвореном скупу X₁ и то би била контрадикција, јер је x₀ бирана у X - X₁.

Како је d/δ > d то постоји вектор x₁ ∈ X₁ тако да је:

∥x₁ - x₀∥ ≤ d/δ.

Показаћемо да вектор:

\[ x_1 = \frac{x_1 - x_0}{\|x_1 - x_0\|} \]

испуњава све услове дате леме. Заиста ∥x_δ∥ = 1 и:

\[ \|x - x_{\delta}\| = \frac{1}{\|x_1 - x_0\|}(\|x_1 - x_0\|x + x_1) - x_0\|\ge \frac{d}{\|x_1-x_0\|} \ge \delta \quad \forall x \in X_1 \]

јер је, због ∥x₁ - x₀∥x + x₁ ∈ X₁ и x₀ ∈ X - X₁, растојање ових двеју тачака ≥ d. ∎

3. Функционела

Линеарно пресликавање линеарних пресликавања чини скуп \(\mathcal{L}(X, Y)\) који је и сам векторски простор. Посебан случај су пресликавања вектора на скаларе \(\mathcal{L}(X, \Phi)\). Такав називамо простором функционела, или дуалним простором векторског простора (X, Φ). Сви претходни ставови о линеарним операторима важе и ако су X и Y произвољни нормирани а не Банахови простори. За разлику од таквих, у следећем ставу битна је претпоставка о комплетности простора-слике Y.

3.1. Став. Нека је ℒ(X, Y) скуп ограничених линеарних пресликавања простора X у Банахов простор Y. Тај се скуп ℒ може снабдети структуром Банаховог простора када му уведемо унутрашњу и спољашњу композицију са:

(A + B) = Ax + Bx,     (λA)x = λ(Ax),     A, B ∈ ℒ(X, Y),   λ ∈ Φ.

Под нормом елемента A ∈ ℒ(X, Y) подразумевамо норму ограниченог линеарног пресликавања A у смислу дефиниције (2.4.IV).

Доказ: Адитивност (2.4.I) A + B ∈ ℒ(X, Y) ако A, B ∈ ℒ следи из (Cx = Ax + Bx):

C(λ₁x₁ + λ₂x₂) = A(λ₁x₁ + λ₂x₂) + B(λ₁x₁ + λ₂x₂) =
= (λ₁Ax₁ + λ₂Ax₂) + (λ₁Bx₁ + λ₂Bx₂)
= λ₁(Ax₁ + Bx₁) + λ₂(Ax₂ + Bx₂)
= λ₁Cx₁ + λ₂Cx₂,

за све векторе x₁, x₂ ∈ X и све скаларе λ₁, λ₂ ∈ Φ.

Ограниченост (2.4.IV) следи из ∥Cx∥ ≤ ∥Ax + Bx∥ ≤ ∥Ax∥ + ∥Bx∥ ≤ ∥A∥ ∥x∥ + ∥B∥ ∥x∥ ≤ (∥A∥ + ∥B∥) ∥x∥, јер су линеарна пресликавања A и B по претпоставци ограничена.

Лако се доказује да сабирање и множење скаларом у ℒ задовољавају аксиоме линеарног векторског простора чији нула-вектор је O (нула-пресликавање) које читав простор X пресликава у нула-вектор простора Y, као и да уведена норма у ℒ задовољава аксиоме норме. Треба још показати комплетност номираног простора ℒ у односу на метрику која извире из уведене норме.

Нека је (A_k) један Кошијев низ у ℒ(X, Y). Тада сваком ε > 0 одговара природни број N такав да је:

∥A_i - A_j∥ < ε   за   j > i > N.

Како A_i, A_j ∈ ℒ, па су ограничена пресликавања, као и A_i - A_j, то из:

∥A_i x - A_j x∥ = ∥(A_i - A_j) x∥ ≤ ∥A_i - A_j∥ ∥x∥

следи да је:

∥A_i x - A_j x∥ ≤ ε ∥x∥   за   j > i > N   и   ∀ x ∈ X.

За фиксирано x ∈ X, дакле, је (A_kx) један Кошијев низ у Y. Како је Y комплетан простор, то постоји вектор y ∈ Y такав да A_k x → y, када n → ∞. Тиме је на X дато линеарно пресликавање A са Ax = y.

Покажимо да је A ограничено линеано пресликавање на X, дакле да A ∈ ℒ(X, Y), као и да A_k → A у смислу метрике у ℒ(X, Y), тј. да је ℒ(X, Y) комплетан простор. Прво, из линеарности:

A_k(λ₁ x₁ + λ₂ x₂) = λ₁ A_k x₁ + λ₂ A_k x₂

када k → ∞ и на основу претходног, следи линеарност пресликавања A. Затим, како је (A_k) Кошијев низ у ℒ, он је ту ограничен, тј. ∥A∥ ≤ M. Дакле:

∥A_k x∥ ≤ ∥A∥ ∥x∥ ≤ M ∥x∥,   ∀ k   и   ∀ x ∈ X.

Када k → ∞ отуда следи ограниченост пресликавања A. Напокон, из претходног, добијамо:

∥A_k x - A x∥ = ∥(A_k - A)x∥ ≤ ε ∥x∥   за   k > N   и   ∀ x ∈ X,

што значи да је:

∥A_k - A∥ ≤ ε   за   k > N,

односно A_k → A, када k → ∞, у смислу метрике у ℒ. ∎

Посебно се може доказати да у случају линеарних оператора, када је X = Y, у ℒ(X, X), може се доказати још једна унутрашња композиција, производ AB ограничених лилнеарних оператора A и B:

(AB)x = A(Bx),   x ∈ X.

Лако се види да је AB ограничен линеарни оператор. Као што знамо, множење оператора (углавном) није комутативно.

3.2. Два дисјунктна векторска подпростора Y, Z ⊂ X су комплементарна ako je ℒ(Y ∪ Z) = X. На пример, у ℝ² било које две праве које пролазе кроз координатни почетак (и не поклапају се) су два узајамно комплементарна векторска простора. Дакле, комплементарност није једнозначна.

3.3. Став. Ако су Y, Z ⊂ X комплементарни, онда сваком x ∈ X једнозначно одговара неко y ∈ Y и z ∈ Z тако да је x = y + z.

Доказ: Због X = ℒ(Y ∪ Z) сваки вектор x ∈ X има репрезентацију поменутог облика. Када би постојала још једна таква репрезентација, x = u + v (u ∈ Y, v ∈ Z), из y + z = u + v следило би да вектор y - z = v - z лежи у оба подпростора Y, Z, што је немогуће јер су они дисјунктни, па је y - u = v - z = 0. ∎

3.4. Пример. Са

\[ f_n(x) = \frac{1}{\sqrt{n}}\int_0^1 t^n x(t)\ dt, \quad n = 1, 2, 3, ... \]

дефинисано је ограничено линеарно пресликавање, простора L₂(0, 1) у простор ℓ₂.

Објашњење: Просторе ℓ₂ и L₂(0, 1) чине бесконачни конвергентни низови x = (ξ_k) и интеграли x = x(t) функција (1.10. пример, C и F) такви да, редом:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} |\xi_k|^2 \lt \infty, \quad \int_0^{\infty}|x(x)|^2\ dt \lt \infty. \]

Очигледно је f_n(αx + βy) = αf(x) + βf(y), јер:

\[ f_n(\alpha x + \beta y) = \frac{1}{\sqrt{n}}\int_0^1t^n(\alpha x + \beta y)\ dt = \frac{\alpha}{\sqrt{n}}\int_0^1t^n x \ dt + \frac{\beta}{\sqrt{n}}\int_0^1 t^n y \ dt = \alpha f_n(x) + \beta f_n(y), \]

што значи да је функција линеарна. Ограниченост следи из претходних ставова. Са друге стране, свако интегрирано t ∈ (0, 1), а интеграл функције x = x(t) је по п претпоставци ограничен, припада простору L₂(0, 1), па делења са кореном √n чини да f_n → 0 када n → ∞. Тиме (f_n) ∈ ℓ₂, што је требало показати. □

3.5. Када је код линеарног пресликавања A: X → Y, простор слика Y скуп реалних или комплексних бројева (зависно да ли је X реалан или комплексан Банахов простор), тада за линеарна функцију A кажемо да је линеарна функционела. Сви претходни ставови о линеарним пресликавањима, дакле, важе и за линеарне функционеле. Важе и ставови алгебре о функционелама, али ћемо овде о њима додати детаље важне за Банахове просторе.

Са A^* назначаваћемо да је линеарно пресликавање исте ознаке A функционела, када може долазити до забуне. Тако (∀ x, y ∈ X и ∀ λ, μ ∈ Φ) је:

A^*(λ x + μ y) = λA^*(x) + μ A^*(y),
|A^*(x)| ≤ ∥A^*∥ ∥x∥.

Норма ∥A^*∥ функционеле A^* дата је супремумом:

\[ \|A^*\| = \sup_{x \in X-\{0\}}\frac{|A^*(x)|}{\|x\|} = \sup_{\|x\| \le 1} |A^*(x)| = \sup_{\|x\| = 1} |A^*(x)|. \]

3.6. Пример. Нека је t₀ фиксирана тачка у затвореном интервалу [a, b]. Када f пролази простором (1.11. Примери) непрекидних функција C[a, b], биће f^*(x) = x(t₀) ограничена линеарна функционела истог C[a, b] и норме ∥f^*∥ = 1.

Објашњење: Линеарност следи из:

f^*(λ₁x₁ + λ₂x₂) = (λ₁x₁ + λ₂x₂)(t₀) = λ₁x₁(t₀) + λ₂x₂(t₀) = λ₁f^*(x₁) + λ₂f^*(x₂),

а ограниченост из:

|f^*(x)| ≤ max |x(t)| = ∥x∥,   a ≤ t ≤ b.

Према томе:

|f^*(x)| ≤ ∥f^*∥ ∥x∥   за свако x ∈ C[a, b] и ∥f^*∥ ≤ 1.

Посебно, за непрекидну функцију која је идентички једнака 1 на размаку [a, b], дакле f^*(x) = 1 и ∥x∥ = 1, па из претходног следи ∥f^*∥ ≥ 1, што заједно са претходном неједначином даје ∥f^*∥ = 1. □

3.7. Пример. \( f^*(x) = \int_a^bx(t)\ dt \) је ограничена линеарна функционела на C[a, b] норме ∥f^*∥ = b - a.

Доказ: Ова функционела је очигледно линеарна. Да је ограничена следи из:

\[ |f^*(x)| \le \max_{a\le t\le b}|x(t)|\cdot(b-a) = (b-a)\|x\| \quad \forall x \in C[a, b]. \]

Отуда она има коначну норму ∥f^*∥, односно важи |f^*| ≤ ∥f^*∥ ∥x∥ за свако x ∈ C[a, b], као и да је ∥f^*∥ ≤ b - a. За функцију која је идентички једнака 1 је f^*(x) = b - a и ∥x∥ = 1, па се ова своди на b - a ≤ ∥f^*∥. Заједно са претходном неједнакошћу то даје ∥f^*∥ = b - a. □

3.8. Пример. Нека је g(t) фиксирана непрекидна функција на затвореном интервалу [a, b]. Тада је:

\[ f^*(x) = \int_a^b g(t) x(t) \ dt, \quad x \in C[a, b], \]

ограничена линеарна функционела на простору C[a, b]. При томе:

\[ \|f^*\| \le \int_a^b |g(t)|\ dt \]

важи за њену норму. □

3.9. Теорема Хана-Бана (Hahn–Banach theorem) једна је од веома важних у функционалној анализи, а можда је многима и једна од веома тешких теорема за разумети, па пре крајњег навођења погледајмо два њена лакша објашњења.

Први пример. Када дату тачку крутог равног папира, равне површи, померамо (тангирамо) по површи сфере, онда ће унутрашњост сфере остајати нетакнута од тог папира, односно (бесконачне) површи. То је Хан-Банахова теорема. Она каже да заменом сфере било којим конвексним објектом, шупља област остаје тачно једнака том објекту.

Други пример. Замислите да двојица раде a и b, али мање ефикасно заједно него када су сами. Стално се сударају тако да им је заједнички резултат f(a + b) гори од збира појединачних f(a) + f(b). Када ради два дана сам, сваки уради дупло више f(2a) = 2f(a) и f(2b) = 2f(b). Ово су претпоставке сублинеарности и позитивне хомогености које претходе Хан-Банаховој теореми.

Х-Б онда каже да ако ово сублинеарно f, које описује њихове неуредне учинке, остаје непродуктивно и на неким другим пословима скупа U унутар опсега испробаних радних смјена U ⊂ X, онда се надајмо и сличном лошем учинку U на свим концептуално могућим радним комбинацијама X.

3.10. Теорема (Hahn-Banach). Нека је X реалан Банахов (комплетан, нормиран) простор и нека је на векторском подпростору U ⊂ X одређена реална ограничена линеарна функционела f норме M = ∥f∥_U, односно |f(x)| ≤ M∥x∥ за свако x ∈ U. Тада постоји на X реална ограничена линеарна функционела f^* таква да је f^*(x) = f(x) када x ∈ U и ∥f^*∥_X = ∥f∥_U. Не захтева се да је векторски простор U затворен.

Доказ: Узмимо тачке x', x'' ∈ U и фиксирану тачку z₁ ∈ X - U. Тада је:

|f(x') - f(x'')| = |f(x' - x'')| ≤ M ∥x' - x''∥ =
= M ∥x' + z₁ - (x'' + z₁)∥ ≤ M ∥x' + z₁∥ + M ∥x'' + z₁∥,

-M ∥x'' + z₁∥ - f(x'') ≤ M ∥x' + z₁∥ - f(x').

Отуда, бројеви:

\[ k = \sup_{x \in U}\{-M\|x+z_1\| - f(x)\}, \quad K = \inf_{x\in U}\{M\|x+z_1\| - f(x)\|\} \]

су коначни и k ≤ K. Према томе, ако је број r такав да је k ≤ r ≤ K, за свако x ∈ U биће:

-M ∥x + z₁∥ - f(x) ≤ r ≤ M ∥x + z₁∥ - f(x).

Линеарност. Уочимо скуп U₁ тако да је y = x + tz₁ где је t реалан број и x ма која тачка из U₁, јер:

y₁ = x₁ + t₁z₁,   y₂ = x₂ + t₂z₁   ⇒
⇒   λ₁ y₁ + λ₂ y₂ = λ₁ x₁ + λ₂ x₂+ (λ₁ t₁ + λ₂ t₂) z₁ ∈ U₁

јер је по претпоставци U векторски подпростор од X. Како x ∈ U и z₁ ∈ X - U, према ставу 3.3, свака се тачка y ∈ U₁ може само на један начин представити у горњем облику. Према томе, функционела:

f₁(y) = f₁(x + tz₁) = f(x) + tr

једнозначно је дефинисана на U₁. Она се са y = x ∈ U (када t = 0) своди на f(x) и линеарна је, јер када су y₁, y₂ ∈ U₁ биће:

f₁(λ₁ y₁ + λ₂ y₂) = f[λ₁ x₁ + λ₂ x₂ + (λ₁ t₁ + λ₂ t₂) z₁] =
= f(λ₁ x₁ + λ₂ x₂) + (λ₁ t₁ + λ₂ t₂) r
= λ₁ f(x₁) + λ₂ f(x₂) + λ₁ t₁ r + λ₂ t₂ r
= λ₁[f(x₁) + t₁ r] + λ₂[f(x₂) + t₂ r]
= λ₁ f₁(x₁ + t₁ z₁) + λ₂ f₁(x₂ + t₂ z₁)
= λ₁ f₁(y₁) + λ₂ f₁(y₂).

Ограниченост. Како је f₁ ограничена на U, јер се ту своди на f, да бисмо доказали њену ограниченост на U можемо претпоставити да је t ≠ 0. Дакле, ако у горњој неједнакости уместо x пишемо x/t налазимо:

\[ -\frac{M}{|t|}\|x + tz_1\| - \frac{1}{t}f(x) \le r \le \frac{M}{|t|}\|x + tz_1\| - \frac{1}{t}f(x), \]

-M ∥x + tz₁∥ ≤ f(x) + rt ≤ M ∥x + tz₁∥,

-M ∥y∥ ≤ M ∥y∥.

Према томе, f₁ = f^* је тражена ограничена линеарна функционела на U₁ ⊃ U. Она се на U своди на f и има норму ∥f₁∥_U1 = M = ∥f∥_U. ∎

Као што видимо, Хан-Банахова теорема говори о проширењу линеарних функционала на реалном векторском простору. У наставку погледајмо још неке њене облике, даље само са скицом доказа које детаљне можете налазити у уџбеницима функционалне анализе. Следи Х-Б теорема за тзв. линеарне просторе, или векторскe просторe, структуре затворене у односу на линеарне комбинације. Чине их скупови елемената које можемо множити скаларима и сабирати, а да ће резултати ових алгебарских операција остајати елементи истог скупа. Неке њене интерпретације погледајте у мом блогу (Hahn-Banach).

3.11. Став (Hahn-Banach, linear spaces). Нека је U векторски простор над ℝ и W ⊂ U подпростор му. Нека је дато пресликавање p: U → ℝ са особинама:

p(x + y) ≤ p(x) + p(y),   p(αx) = αp(x)

за све x, y ∈ U и за све α > 0 из ℝ. Прва особина, неједнакост, је подлинеарност (Sublinear function), а друга је хомогеност. Даље, ако је g: W → ℝ линеарно пресликавање такво да је g(x) ≤ p(x) за све x ∈ W, онда постоји линеарна екстензија f: U → ℝ функције g, тако да је f(x) = g(x) за све x ∈ W, па је f(x) ≤ g(x) за све x ∈ U.

Доказ: Означимо са 𝒫 колекцију свих парова (Y, h), где је Y подпростор од U који садржи W, а h: Y → ℝ је линеарно пресликавање које је нека екстензија g и које је такво да је h(x) ≤ p(x) за све x ∈ Y. Како је (W, g) ∈ 𝒫, то 𝒫 није празно. Посматрајмо парцијално уређење тог скупа:

(Y, h) ≼ (Ỹ, h̃)

када је Y ⊂ Ỹ и h̃ је линеарна екстензија од h. Према Зорновој леми сваки такав ланац (Z, f) ∈ 𝒫 има максимални елеменат, па се показује да Z = U, чиме је доказ завршен. ∎

На датом нормираном простору X простор непрекидних линеарних функционала означавамо са X^* и називамо дуалним простором датог. На пример, нека је U нормиран простор над ℝ и W подпростор U. Ако је g ∈ W^* линеарни функционал, онда p = ∥g∥_W⋅∥x∥ задовољава услове претходног става. Штавише, тада постоји непрекидна линеарна екстензија f: U → ℝ од g таква да је ∥f∥_U^* = ∥g∥_W^*. Овај резултат важи и за нормиране просторе над ℂ.

3.12. Став (Hahn-Banach, normed spaces). Нека је W подпростор векторског простора U над скаларима Φ (скупом реалних ℝ или комплексних бројева ℂ) и нека је g: W → ℝ линеарна функционела тако да је |g(x)| ≤ α∥x∥ за свако x ∈ W и фиксирано α ≥ 0. Тада постоји линеарна функционела f: U → ℝ, тачније екстензија g, таква да је f(x) = g(x) за све x ∈ W, а иначе |f| ≤ α∥x∥ за све x ∈ U.

Доказ: скицирамо за случај Φ = ℝ. Дефинишемо p(x) := α∥x∥ ∀x ∈ U. Функција p(x) је подлинеарна, јер је норма таква. Због g(x) ≤ |g(x)| ≤ p(x), према претходном 3.11 ставу, постоји функционела f: U → ℝ таква да је f = g на W и f(x) ≤ α∥x∥ иначе. Из -f(x) = f(-x) ≤ α∥-x∥ = α∥x∥ следи f(x) ≥ -α∥x∥ за свако x ∈ U. Према томе, |f(x)| ≤ α∥x∥ за све x ∈ U. ∎

Навешћу још једну верзију Хан-Банахове теореме за нормиране просторе. Претходна се односила на подлинеарне (sublinear) функционеле, а следећа је за линеарне.

3.13. Став (Hahn-Banach, normed linear). Нека је W подпростор векторског простора U над скаларима Φ (реалним или комплексним бројевима) и нека је g ∈ W^*, дакле линеарна функционела. Тада постоји и њена екстензија, линеарна функционела f: U → ℝ, таква да је f(x) = g(x) за све x ∈ W, а уопште |f| = α∥x∥ за све x ∈ U.

Доказ: Употребимо претходни, 3.12, став са Шварцовом неједнакошћу |g(x)| ≤ ∥g∥ ∥x∥ ∀x ∈ W. Затим се провери да екстензија f линеарне функционеле g такође чува норму, тј. ∥f∥ = ∥g∥, што је доказано овде у главној теореми и нема потребе понављати. ∎

3.14. Вратимо се услову подлинеарности 3.11. ставa ради једне корисне напомене о могућој замени тог услова са испупченошћу. Када је q(x) конвексна, тада је p(x) = inf_t>0 t^-1q(tx) подлинеарна функција. Ту се хомогеност подразумева, а сублинеарност следи из:

\[ p(x + y) \le \frac{s+t}{st}q\left[\frac{st}{s+t}(x+y)\right] = \frac{s+t}{st}q\left[\frac{s}{s+t}(tx) + \frac{t}{s+t}(sy)\right] \le \frac{1}{t}q(tx) + \frac{1}{s}q(sy), \]

p(x + y) ≤ p(x) + p(y).

Коначно, p ≤ q. Према томе, ако тај став важи за хомогену конвексну функционелу q, он такође важи за сублинеарну функционелу p и обрнуто. Много је примена Банахових простора па и саме Хан-Банахове теореме у и изван математике, а неке од необичних можете видети у мом блогу (Interrelations).

3.15. Скуп вектора A је тоталан (потпун) у X, ако се свака ограничена линеарна функционела f која исчезава на A идентички своди на нулу на X, тј. ако:

(∀x ∈ A) f(x) = 0   ⇒   (∀x ∈ X) f(x) = 0.

Скуп вектора A ⊂ X је фундаменталан (затворен) у X, ако је линеал над A свуда густ (1.11. vi) у X. Ако је скуп A пребројив, говоримо о фундаменталном низу вектора у X.

Став. У Банаховом простору појам фундаменталног и појам тоталног скупа вектора су еквивалентни.

Доказ: Нека је A фундаменталан скуп вектора у X и нека на њему обраничена линеарна функционела исчезава. Због линеарности, она је једнака нули и на линеалу над A, а овај је свугде густ у x, па функционела која је непрекидна исчезава свуда на x.

Обрнуто, ако скуп вектора A није фундаменталан у X постојаће тачка x₀ ∈ X на позитивном одстојању од линеала над A. Како је ℒ(A) векторски потпростор од X, на основу става из блога Outsider постоји ограничена линеарна функционела која исчезава на ℒ(A), а тиме и на A, а да није идентички једнака нули на X. Значи, A није тоталан скуп вектора у X. ∎

Скуп A ограничених линеарних функционела f на X је тоталан (потпун) на X ако:

(∀f ∈ A) f(x) = 0   ⇒   x = 0.

Ако је скуп A пребројив, говоримо о тоталном низу ограничених линеарних функционела на X.

3.16. Став. Нека је x₀ ≠ 0 фиксирана тачка у Банаховом простору X. На X постоји ограничена линеарна функционела x^* таква да је x^*(x₀) = ∥x₀∥ и ∥x^*∥ = 1.

Доказ: Тачке x ∈ X облика αx₀ са скаларом α, образују векторски потпростор L од X на којем дефинишемо функционелу f(x) = α∥x₀∥, очигледно линеарну и ограничену, и:

\[ \|f\|_L = \sup_{\|x\|=1} |f(x)| = \sup_{\|x_0\|=1} |\alpha\|x\|\ | = 1. \]

Примењујући Хан-Банахову теорему продужићемо је на читав простор, а не повећавши јој норму. ∎

Примене овог става налазимо у доказима (Нормирања, 1.5. Став) преко алгебре до физике.

4. Репрезентације

Једна од интерпретација функционела је „информација перцепције“, довољно што се тиче теорије информације да је толико помињем (Variance). Овде та није тема, него репрезентације линеарних ограничених функционела у различитим метрикама (1.11. Примери).

4.1. Пример. Нека је y = (η_ν) произвољна фиксирана тачка у простору ограничених низова m. Тада:

\[ f(x) = \sum_{\nu = 1}^{\infty} \eta_{\nu}\xi_{\nu}, \quad x = (\xi_{\nu}) \in \ell_p \]

дефинише ограничену линеарну функционелу на простору ℓ = ℓ₁ и ∥f∥ ≤ ∥y∥_m. Из:

\[ |f(x)| \le \sup_{1\le \nu \le \infty} |\eta_\nu|\sum_{\nu = 1}^{\infty} |\xi_{\nu}| = \|y\|_m\|x\|_{\ell} \]

следе њена дефинисаност, ограниченост и процена норме. □.

Следећа је Рисова теорема (Frigyes Riesz, 1880 - 1956) која је доказана и у лекцијама алгебре 22. став.

4.2. Став. Ограничена линеарна функционела f на простору ℓ = ℓ₁ има репрезентацију:

\[ f(x) = \sum_{\nu = 1}^{\infty} \eta_{\nu}\xi_{\nu}, \quad y = (\eta_{\nu}) \in m, \quad \|f\| = \|y\|_m. \]

Функционели f на ℓ одговара једнозначна тачка y у m.

Доказ: Да за свако y = (η_ν) овај израз дефинише ограничену линеарну функционелу на ℓ и ∥f∥ ≤ ∥y∥_m следи из претходног примера.

Да бисмо доказали да свакој таквој f одговара у простору m једна једина тачка y тако да важи наведени збир, приметимо да за сваку тачку x = (ξ_ν) из ℓ важи:

\[ \left\|x - \sum_{\nu=1}^n \xi_\nu e_\nu \right\| = \sum_{\nu = n+1}^\infty |\xi_\nu| \to 0 \quad (n \to \infty), \]

што симболички пишемо у облику:

\[ x = \sum_{\nu = 1}^\infty \xi_\nu e_\nu. \]

На основу линеарности и непрекидности функционеле, добијамо:

\[ f\left(\sum_{\nu=1}^k\xi_\nu e_\nu \right) = \sum_{\nu=1}^k \xi_\nu f(e_\nu), \quad k \to \infty, \] \[ f(x) = \sum_{\nu = 1}^\infty \xi_\nu f(e_\nu), \quad \eta_\nu = f(e_\nu). \]

Дакле, функционела заиста има облик из става.

Да покажемо да тачка y = (η_ν) припада простору m уочимо низ тачака:

x_k = (ξ_ν^k) ∈ ℓ   (k = 1, 2, 3, ...),   ξ_k^k = η_k   и   ξ_ν^k = 0 за ν ≠ k.

За тај низ је ∥x_k∥ = 1 и f(x_k) = |η_k|. По претпоставци f је ограничена, има коначну норму ∥f∥, па је за свако k = 1, 2, ...:

|f(x_k)| ≤ ∥f∥ ∥x_k∥,

|η_k| ≤ ∥x_k∥,

\[ \sup_{1 \le k \lt \infty} |\eta_k| \le \|f\|. \]

Одавде следи да тачка y = (η_ν) ∈ m и ∥f∥ = ∥y∥_m.

Остаје још да видимо да функционели f одговара у m једна једина тачка y тако да важи речено става. Заиста, када би у m постојале две различите тачке y₁ = (η_ν⁽¹⁾) и y₂ = (η_ν⁽²⁾) тако да је:

\[ f(x) = \sum_{\nu=1}^\infty \eta_\nu^{(1)}\xi_\nu = \sum_{\nu=1}^\infty \eta_\nu^{(2)}\xi_\nu \]

било би за x = e_k редом η_k⁽¹⁾ = η_k⁽¹⁾ за свако k = 1, 2, 3, ..., супротно претпоставци y₁ ≠ y₂. ∎

За разлику од претходне, у следећој репрезентацији, функционеле x^* на C[a, b], одговарајућа функција ограничене варијације g није једнозначно одређена. Уз то, види се да је претходни став, за разлику од следећег, једнак Рисовом ставу алгебре.

4.3. Нека је функција f дефинисана на интервалу [a, b] и нека је P једна подела тог интервала тачкама: a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b. Ако је:

\[ V(f) = V_a^b(f) = \sup_P \sum_{\nu = 1}^n |f(x_{\nu}) - f(x_{\nu - 1})|, \]

где се супремум узима преко свих могућих подела P размака [a, b], коначан број, кажемо да је f функција ограничене варијације на [a, b]. Број \( V_a^b(f) \) је њена тотална варијација.

4.4. Став. Ограничена линеарна функционела x^* на простору C[a, b] има репрезентацију:

\[ x^*(x) = \int_a^b x(t)\ dg(t) \]

где је g(t) функција ограничене варијације на [a, b] која се анулира у тачки t = a и ∥x^*∥ = V_a^b(g).

Доказ: Нема ограничења претпоставка да је a = 0 и b = 1. Када је g функција оганичене варијације на [0, 1], која се евентуално и анулира за t = 0, тада Риман-Стилтјецов интеграл \( \int_a^b x \ dg \) постоји за сваку непрекидну функцију x и линеарна је функционела на C[0, 1]. Да је x^* ограничена функционела на том интервалу следи из неједнакости:

\[ |x^*(x)| \le V_a^b(g) \max_{0\le t\le 1} |x(t)| = V_a^b(g)\|x\|, \] \[ \|x^*\| \le V_a^b(g). \]

Обрнуто, претпоставимо да је x^* произвољна ограничена линеарна функционела на C[0, 1]. Показаћемо да тада постоји функција ограничене варијације g на [0, 1] са g(0) = 0 тако да важи тврђење.

Свака непрекидна функција x припада простору битно ограничених функција M и тада је ∥x∥_M = ∥x∥_C па можемо C[0, 1] схватити као потпростор M[0, 1]. На основу Хан-Банаховог става постоји тада на M ограничена линеарна функционела f таква да је f(x) = x^*(x) када x ∈ C[0, 1] и ∥f∥_M = ∥x^*∥_C.

У простору M формирамо колекцију функција {y_t} за 0 < t ≤ 1 са:

\[ y_t = y_t(u) = \begin{cases} 1, & 0 \le u \le t \\ 0, & t \lt u \le 1. \end{cases} \]

Помоћу ове колекције и функционеле f дефинишемо функцију:

\[ g(t) = \begin{cases} f(y_t), & 0 \lt t \le 1, \\ 0, & t = 0. \end{cases} \]

Да је функција g ограничене варијације на [0, 1] следи из следећег. Нека је P_n једна подела интервала [0, 1] остварена тачкама 0 = x₀ < x₁ < ... < x_n = 1, па ставимо ε_ν = sign[g(t_ν) - g(t_ν-1)] за ν = 1, 2, ..., n. Тада:

\[ \sum_{\nu=1}^n |g(t_{\nu}) - g(t_{\nu-1})| = \sum_{\nu = 1}^n [g(t_{\nu}) - g(t_{\nu-1})]\varepsilon_{\nu} = f(y_{t_1})\varepsilon_1 + \sum_{\nu = 2}^n[f(y_{t_{\nu}}) - f(y_{t_{\nu-1}})]\varepsilon_{\nu} = \] \[ = f[y_{t_1}\varepsilon_1 + \sum_{\nu = 2}^n (y_{t_{\nu}} - y_{t_{\nu-1}})\varepsilon_{\nu}] \le \|f\|_M \left\|y_{t_1}\varepsilon_1 + \sum_{\nu = 2}^n (y_{t_{\nu}} - y_{t_{\nu-1}})\varepsilon_{\nu}\right\|_M. \]

Прва норма ∥⋅∥_M је функционеле на M, а друга је норма вектора из M. Да бисмо израчунали:

\[ \left\|y_{t_1}\varepsilon_1 + \sum_{\nu = 2}^n (y_{t_{\nu}} - y_{t_{\nu-1}})\varepsilon_{\nu}\right\|_M = \text{sup ess}_{0 \le u \le 1}\left|\varepsilon_1y_{t_1}(u) + \sum_{\nu = 2}^n [y_{t_{\nu}}(u) - y_{t_{\nu-1}}(u)]\varepsilon_{\nu}\right|, \]

раставимо размак [0, 1], у коме варира u, на подразмаке [t₀, t₁], [t₁, t₂], ..., [t_n-1, t_n]. Како је:

\[ y_{t_1}(u) = \begin{cases} 1, & u \in [t_0, t_1] \\ 0, & u \notin [t_0, t_1] \end{cases}, \] \[ y_{t_{\nu}}(u) - y_{t_{\nu-1}}(u) = \begin{cases} 1, & u \in ]t_{\nu-1}, t_{\nu}] \\ 0, & u \notin ]t_{\nu-1}, t_{\nu}] \end{cases}, \quad \nu = 2, 3, ..., n \]

то без обзира на подразмак \( ]t_{\nu-1}, t_{\nu}] \), са лева отворен и здесна затворен, односно \( [t_0, t_1] \) затворен са обе стране, биће:

\[ \left|\varepsilon_1y_{t_1}(u) + \sum_{\nu = 2}^n [y_{t_{\nu}}(u) - y_{t_{\nu-1}}(u)]\varepsilon_{\nu}\right| \le 1, \]

јер је |ε_ν| ≤ 1. Дакле:

\[ \left\| y_{t_1}\varepsilon_1 + \sum_{\nu=2}^n(y_{t_{\nu}} - y_{t_{\nu-1}})\varepsilon_{\nu}\right\|_M \le 1, \]

па из претходног следи:

\[ V_a^b(g) \le \|f\|_M = \|x^*\|_C. \]

Према томе, функција g је ограничене варијације на [0, 1], a ∥x^*∥ = V_a^b(g).

Нека је x ∈ C[0, 1] и ставимо:

\[ z_n(u) = x(t_1)y_{t_1}(u) + \sum_{\nu = 2}^n x(t_{\nu})[y_{t_{\nu}}(u) - y_{t_{\nu-1}}(u)]. \]

На основу претходног:

\[ z_n(u) - x(u) = \begin{cases} x(t_1) - x(u), & u \in [t_0, t_1] \\ x(t_{\nu}) - x(u), & u \in ]t_{\nu-1}, t_{\nu}] \end{cases}, \quad \nu = 2, 3, ..., n. \]

Како је x непрекидна, па и униформно непрекидна на [0, 1], то сваком ε > 0 одговара број δ > 0 тако да је |z_n(u) - x(u)| < ε кад год је m(P_n) < δ, где је P_n подела размака {u: 0 ≤ u ≤ 1} остварена тачкама t₀, t₁, ..., t_n а m(P_n) дужина максималног подразмака те поделе. Другим речима, ако за низ подела (P_n), m(P_n) → 0 када n → ∞, тада z_n → x у смислу (униформне) метрике у M.

Због непрекидности функционеле f на M и x ∈ C је:

\[ \lim_{n \to \infty} f(z_n) = f(x) = x^*(x). \]

Међутим, на основу дефиниције функције g и линеарности функционеле f је:

\[ f(z_n) = f\{x(t_1) y_{t_1} + \sum_{\nu = 2}^n x(t_{\nu})[y_{t_{\nu}} - y_{t_{\nu-1}}]\} = \] \[ = x(t_1)f(y_{t_1}) + \sum_{\nu = 2}^n x(t_{\nu})[f(y_{t_{\nu}}) - f(y_{t_{\nu-1}})] \] \[ = x(t_1)g(t_1) + \sum_{\nu=2}^n x(t_{\nu})[g(t_{\nu}) - g(t_{\nu-1})] \] \[ = \sum_{\nu-1}^n x(t_{\nu})[g(t_{\nu}) - g(t_{\nu-1})]. \]

Према претходном ово значи:

\[ x^*(x) = \lim_{n \to \infty} \sum_{\nu=1}^n x(t_{\nu})[g(t_{\nu}) - g(t_{\nu-1})] = \int_a^b x \ dg \]

јер је због непрекидности функције x и ограничене варијације функције g на [a, b] егзистенција Риман-Стиљетсовог интеграла обезбеђена. ∎

За разлику од ове функционеле x^* на C[a, b] где функција ограничене варијације g није једнозначно одређена и такође занимљивих примена (Surface III), код следеће функционеле x^* на L_p функција y у L_q једнозначно је одређена.

4.5. Пример. Нека је y(t) произвољна фиксирана функција из L_q(a, b), где је q > 1. Тада:

\[ x^*(x) = \int_a^b y(t)x(t)\ dt, \quad x \in L_p(a,b) \quad (1/p + 1/q = 1) \]

представља ограничену линеарну функционелу на простору L_p(a, b) и ∥x^*∥ ≤ ∥y∥_Lq. Наиме, на основу Холдерове неједначине је:

\[ |x^*(x)| \le \left(\int_a^b |y|^q \ dt\right)^{1/q} \left(\int_a^b |x|^p \ dt\right)^{1/p} = \|y\|_{L_q} \ \|x\|_{L_p} \]

одакле је x^*(x) дефинисана на читавом простору L_p, ту је ограничена и ∥x^*∥ ≤ ∥y∥_Lq. □

4.6. Став. Ограничена линеарна функционела x^* на простору L_p(a, b) (1 < p < ∞) има репрезентацију:

\[ x^*(x) = \int_a^b y(t)x(t)\ dt, \]

где је y ∈ L_q(a, b) (1/p + 1/q = 1) и ∥x^*∥ = ∥y∥_Lq. Функционелом x^* ∈ L_p функција y ∈ L_q једнозначно је одређена.

Доказ: Тривијални део, сваком y ∈ L_q(a, b) тај је интеграл ограничена линеарна функционела са датим особинама, следи из 4.5. примера. Иначе може постојати само једна таква функција y, јер:

\[ x^*(x) = \int_a^b y_1x\ dt, \quad x^*(x) = \int_a^b y_2x\ dt, \] \[ \int_a^b (y_1 - y_2)x \ dt = 0, \quad (\forall x \in L_p) \]

ако x ограничимо на карактеристичне функције размака (a, u), где u ≤ b, следи y₁ - y₂ = 0 скоро свуда на (a, b).

Да стварно постоји та функција y ∈ L_q(a, b), доказује се у два корака. Прво се ограничавамо на случај када је размак (a, b) коначан, а онда се ослободимо тог ограничења. За сваки мерљив скуп (Лебеговог смисла) E ⊂ (a, b) дефинишимо функцију скупа λ(E) = x^*(K_E), где је K_E карактеристична функција тог скупа E. Функција λ(E) је добро дефинисана због b - a < ∞, K_E ∈ L_p(a, b). Да је λ реална мера следи из: E₁ ∩ E₂ = ∅ ⇒ K_E1∪E2 = K_E1 + K_E2, из линеарности функционеле x^* адитивност: λ(E₁∪E₂) = λ(E₁) + λ(E₂).

Нека је, даље, (E_ν) индекса ν = 1, 2, ..., једно разлагање скупа E на дисјунктне скупове и A_n унија првих n. Због ограничености линеарне функционеле x^* на L_p(a, b) је:

|λ(E) - λ(A_n)| = |x^*(K_E) - x^*(K_An)| ≤ ∥x^*∥ ∥K_E - K_An∥ = ∥x^*∥ [m(E - A_n)]^1/p → 0,   n → ∞,

λ(A_n) = λ(E₁) + λ(E₂) + ... + λ(E_n) → λ(E)   n → ∞,

што је σ-адитивност функције λ.

Штавише, λ је апсолутно непрекидна реална мера у односу на Лебегову меру m, јер из:

|λ(E)| ≤ ∥x^*∥ ∥K_E∥ = ∥x^*∥ [m(E)]^1/p

следи:

m(E) = 0   ⇒   λ(E) = 0.

Према Радон-Никодимовом ставу, постоји функција y у L(a, b) да за сваки мерљив скуп E ⊂ (a, b) је:

\[ \lambda(E) = \int_E y\ dt = \int_a^b K_E \cdot y \ dt. \]

Према томе, постоји y ∈ L(a, b) тако да је:

\[ x^*(x) = \int_a^b xy\ dt \]

важи кад год је x карактеристична функција неког мерљивог скупа из (a, b).

Нека је j једноставна функција која узима вредности c_ν на скуповима E_ν ⊂ (a, b), где је ν = 1, 2, ..., n. Због линеарности функционеле x^* тада је:

\[ x^*(j) = x^*\left(\sum_{\nu = 1}^n c_{\nu}K_{E_{\nu}}\right) = \sum_{\nu = 1}^n c_{\nu} x^*(K_{E_{\nu}}) = \sum_{\nu = 1}^n c_{\nu}\int_a^b K_{E_{\nu}}y\ dt = \] \[ = \int_a^b \left(\sum_{\nu = 1}^n c_{\nu} K_{E_{\nu}}\right) y\ dt = \int_a^b j y\ dt, \]

а то је претходни интеграл, што важи за све једноставне функције на (a, b).

Свака ограничена мерљива функција може се приказати као гранична вредност униформно конвергентног низа једноставних функција. За сваку битно ограничену функцију x на (a, b) постоји низ једноставних функција (ј_k) тако да j_k → x униформно на E ⊂ (a, b), где је m(E) = b - a. Униформна конвергенција повлачи, са једне стране:

\[ \int_a^b j_k y \ dt \to \int_a^b x y \ dt, \]

а са друге \( \|j_k - x\|_{L_p} \to 0 \), тако да због \( |x^*(j_k) - x^*(x)| \le \|x^*\| \|j_k - x\|_{L_p} \) имамо \( x^*(j_k) \to x^*(x) \).

Када у изразу:

\[ x^*(j_k) = \int_a^b j_ky\ dt \]

пустимо да k → ∞, из претходних, горња таква важи за сваку битно ограничену функцију на (a, b).

На основу Радон-Никодимовог става следило је једино y ∈ L(a, b), а сада ћемо показати да y ∈ L_q(a, b) и ∥x∥ = ∥y∥_Lq. У том циљу уводимо α(t) = sign y(t) и E_k ={t ∈ (a, b) : |y(t)| ≤ k}, па x(t) = K_Ek(t) α(t) |y(t)|^q-1:

\[ \int_{E_k} |y|^q\ dt = \int_a^bxy\ dt; \] \[ \int_{E_k} |y|^q \ dt = x^*(x) \le \|x^*\| \|x\|_{L_p}. \]

Затим имамо:

\[ (\|x\|_{L_p})^p = \int_{E_k}|y|^{p(q-1)}\ dt = \int_{E_k}|y|^q \ dt; \] \[ \int_{E_k}|y|^q\ dt \le \|x^*\| \left(\int_{E_k}|y|^q\ dt\right)^{1/p}, \] \[ \int_{E_k}|y|^q\ dt \le \|x^*\|^q, \] \[ \int_a^bK_{E_k}|y|^q\ dt \le \|x^*\|^q. \]

Обзиром да монотоно растући низ функција (K_Ek|y|^q) конвергира ка |y|^q, налазимо:

\[ \int_a^b |y|^q\ dt \le \|x^*\|^q. \]

Дакле, y ∈ L_q(a, b), а према претходном, ∥x^*∥ = ∥y∥_Lq.

До сада је показано да свакој на L_p(a, b), са експонентом 1 < p < ∞, ограниченој линеарној функционели x^* одговара функција y ∈ L_q(a, b), тако да је 1/p + 1/q = 1, таква да је:

\[ x^*(x) = \int_a^b xy\ dt, \quad \forall x \in M(a, b) \]

и да је ∥x^*∥ = ∥y∥_Lq. Лева и десна страна ове једнакости интеграла су непрекидне функције на L_p(a, b), лева на основу претпоставке, а за десну је то показано (4.5. Пример). Како се оне поклапају на подскупу M(a, b) који је свуда густ на L_p(a, b) то та једнакост важи на читавом простору L_p(a, b). Тиме је овај (4.6.) став доказан за коначне размаке (a, b).

Сада се ослободимо граница интервала, b → ∞, на начин који ће се аналогно моћи пренети и на a → -∞. Дакле, претпостављамо да је x^* ограничена линеарна функционела на L_p(a, ∞). Када је I ⊂ (a, ∞) било који коначан размак, тада је f(x) = x^*(K_I, x) ограничена линеарна функционела на L_p(a, ∞) и ∥f∥ ≤ ∥x^*∥. Заиста:

f(λ₁ x₁ + λ₂ x₂) = x^*[K_I(λ₁ x₁ + λ₂ x₂)] = x^*(λ₁K_I x₁ + λ₂K_I x₂) =

= λ₁x^*(K_I x₁) + λ₂x^*(K_I x₂) = λ₁f(x₁) +λ₂f(x₂),

и:

|f(x)| = |x^*(K_I x)| ≤ ∥x^*∥ ∥K_I x∥_Lp ≤ ∥x^*∥ ∥x∥_Lp.

Функцију x^*(K_I x) можемо схватити и као ограничену линеарну функционелу на L_p(I), па на основу доказаног постоји функција y ∈ L_q(I), где је 1/p + 1/q = 1, таква да је:

x^*(K_I x) = ∫_I x y dt   на   L_p(I).

Нека је In = [a + n - 1, a + n[ лево затворени и десно отворени интервал (n = 1, 2, ...) и ставимо:

J_k = I₁ ∪ I₂ ∪ ... ∪ I_k.

Из претходног следи да постоје функције y_n ∈ L_q(I_n) такве да је:

x(K_In x) = ∫_{In x yn dt   на   Lp(In).}

Изван I_n дефинишимо y_n са y_n(t) = 0 и ставимо:

y = y₁ + y₂ + ...

небитно да ли тај ред конвергира, јер су размаци I_n дисјунктни. Због:

K_Ik = K_I1 + K_I2 + ... + K_Ik

је,из претходног:

x^*(K_Ik x) = x^*(K_I1 x) + x^*(K_I2 x) + ... + x^*(K_Ik x) =

= ∫_I1 x y₁ dt + ∫_I2 x y₂ dt + ... + ∫_Ik x y_k dt

= ∫_Ik x (y₁ + y₂ + ... + y_k)dt.

Како је J_k коначан размак, то и за функционелу f_k(x) = x^*(K_Jk x) важи претходно, тј.

∥f_k∥ = ∥y₁ + y₂ + ... + y_k∥.

Из претходног и водећи рачуна о дефиницији функција y₁, y₂, ..., налазимо:

∥x^*∥ ≥ ∥y₁ + y₂ + ... + y_k∥ = (∫_Jk |y₁ + y₂ + ... + y_k|^q dt)^1/q,

\[ \|x^*\| \ge \left( \int_a^b |y_1 + y_2 + ... + y_k|^q \ dt\right)^{1/q} = \|y\|_{L_q}, \quad y \in L_q, \]

где је примењена Фатоуова лема на низ ненегативних функција |y₁ + y₂ + ... + y_k|^q. Тиме је став у потпуности доказан. ∎

Раније смо помињали (1.11. Примери) норму простора M(a, b)

\[ \|x\|_M = \text{ess} \sup_{a\le t\le b} |x(t)| \]

који је посебни, екстремни случај простора L_p(a, b) за p = 1 и означавамо га краће са L(a, b). Због те посебности имамо и посебну, следећу теорему о функционели простора M(a, b).

4.7. Став. Ограничена линеарна функционела x^* на простору L(a, b) има репрезентацију:

\[ x^*(x) = \int_a^b y(t)x(t)\ dt, \quad y \in M(a, b), \] \[ \|x^*\| = \|y\|_M. \]

Функционелом x^* на L функција y у M једнозначно је одређена.

Доказ: Овај је исти као доказ претходног става, осим дела када се доказује y ∈ L_p(a, b). Сада треба показати да је y ∈ M(a, b). Сада из претходне (горе наведене) једнакости следи:

\[ \lambda(E) = \int_E y\ dt = \int_a^b K_E \cdot y \ dt, \] \[ |\int_E y\ dt| \le \|x^*\| \|K_E\|_L = \|x^*\|m(E), \]

за сваки мерљив скуп E ⊂ (a, b). Да то докажемо, посматрајмо интервал I = [-∥x^*∥, ∥x^*∥] и Δ = ]a-δ, a+δ[ произвољан отворен размак у комплементу CI. Ако је E = y^-1(Δ), показаћемо да је m(E) = 0, дакле да функција y узима вредности у Δ само с.с. (скоро свуда) на (a, b). Заиста, када би било m(E) > 0, имали бисмо:

\[ \left| \frac{1}{m(E)}\int_E y\ dt - a\right| = \frac{1}{m(E)} \int_E |(y - a)\ dt| \le \frac{1}{m(E)}\int_E|y-a|\ dt \le \delta, \]

што је немогуће јер, према претходном, број

\[ \frac{1}{m(E)}\int_E y\ dt \]

лежи у размаку L. Како је CI, као отворен скуп на реалној правој, унија пребројиво много дисјунктних размака Δ, то функција y узима вредности у CI само с.с. на (a, b). Другим речима, ∥y(t)| ≤ ∥x^*∥ с.с. на том (a, b), тј. y ∈ M(a, b). ∎