Kontinuum

Функционална анализа је апстрактна грана математике која је настала из класичне анализе. Подстицај је дошао из апликација као што су задаци везани за обичне и парцијалне диференцијалне једначине, нумеричку анализу, варијациони рачуна, теорију апроксимације, интегралне једначине и тако даље.

1. Скупови

Скуп је колекција различитих објеката који ми зовемо елементима скупа. За писање садржаја скупа користимо витичасте заграде, било када елементе просто набрајамо, S = {a, b, c, ...}, или елементе дефинишемо неком унапред задатом особином S = {x | x ∈ X }, где x ∈ X означава да елеменат припада датом скупу (x ∈ S) акко има дато својство (X).

На слици десно приказан је тзв. Венов дијаграм, два скупа A = {a, b, d, e, g, h} и B у универзалном скупу U. Пресек и унија тих скупова су:

A ∩ B = {b, e, h}
A ∪ B = {a, b, c, d, e, f g, h, i, j}.

Пресек је скуп заједничких елемената присутних скупова, колико год да их има, а унија је скуп свих њихових елемената. Разлика ових скупова је A \ B = {a, d, g}, скуп свих елемената из A који нису у B. Комплемент датог A' = {c, f, i, j} је скуп свих из U који нису у A. Видимо да је сваки елеменат пресека и ове разлике присутан у унији, што констатујемо записом (правог) подскупа:

A ∩ B,   A \ B ⊂ A ∪ B.

Иначе, у општем случају је A ∩ B,   A \ B ⊆ A ∪ B, где се дозвољава да подскуп може бити једнак скупу. Два скупа, уопште A и B једнака су акко A ⊆ B и B ⊆ A, тј. када је сваки елеменат из првог скупа уједно елеменат другога и обрнуто; тада пишемо A = B.

1. Пример. За број елемената скупова, као на слици, у општем случају је:

n(A ∪ B) = n(A \ B) + n(A ∩ B) + n(B \ A) =
= [n(A) - n(A ∩ B)] + n(A ∩ B) + [n(B) - n(A ∩ B)],
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B).

Из ове следи корисна формула P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) вероватноћа. □

Дисјунктни су скупови који немају заједничких елемената. Препознали смо дисјунктне подскупове у моделу као на слици и користили их у овом израчунавању.

1.1. Елементи који нису у унији скупова, нису нити у једном од скупова; елементи који нису у пресеку нису бар у једном од њих. Тако разумемо Де Морганове формуле, редом:

(A ∪ B ∪ C)' = A' ∩ B' ∩ A',       (A ∩ B ∩ C)' = A' ∪ B' ∪ A'.

На исти начин налазимо да се пресек скупова пресликава у конјункцију исказа, унија у дисјункцију, а комплемент у негацију.

¬(a ∨ b ∨ c) = ¬a ∧ ¬b ∧ ¬c,       ¬(a ∧ b ∧ c) = ¬a ∨ ¬b ∨ ¬c.

Ово су сада две таутологије, искази који су увек тачни. Искази који су увек нетачни су контрадикције. Скуповној импликацији A ⊆ B (први скуп је подскуп другог) одговара логичка a ⇒ b (из a следи b, ако важи исказ a важиће и исказ b). Према томе, a = b значи a је акко (ако и само ако) је b, односно обоје, обе импликације a ⇒ b ∧ b ⇒ a.

Два се квантора или квантификатора (quantifier) користе за лакше читање ових формула (из разних језика). То су сваки ∀ или универзални квантор, и постоји ∃ или егзистенцијални квантор. Ређе су у употреби !∃ или ∃₁ постоји тачно један. На пример, ∀x f(x) читамо: за свако x тачна је формула f(x); међутим ∃x f(x) читамо: постоји x за које је тачна формула f(x). Постоји тачно један x такав да додат двојци даје тројку, пишемо рецимо: (!∃x) x + 2 = 3.

1.2. Релација је скуп уређених парова, као ρ = {(14, 2), (14, 7), (25, 5), (21, 3), (21, 7), (24, 2), (24, 6)} на следећој слици лево. Стрелице указују да, рецимо, елеменат (14, 2) не би био једнак (2, 14).

Приметимо да је 14 из скупа A у релацији са два елемента, 2 и 7, из скупа B, или да је 2 скупа B у пару са два елемента, 14 и 24, скупа A. Полазни скуп (A) назива се домен (domain), а долазни (B) ранг и кодомен (range ⊆ codomain). Први су оригинали а други су копије, први ликови други слике. Када је пар елемената a и b у релацији ρ пишемо (a, b) ∈ ρ, или a ρ b.

Посебне особине релација су:

• Рефлексивност: (∀x) x ρ x;
• Симетрија: (∀x, y) x ρ y ⇒ y ρ x;
• Антисиметрија: (∀x, y) x ρ y ∧ y ρ x ⇒ x = y;
• Транзитивност: (∀x, y, z) x ρ y ∧ y ρ z ⇒ x ρ z.

Релација која је истовремено рефлексивна, симетрична и транзитивна (РСТ) назива се релација еквиваленције. Релација која је истовремено рефлексивна, антисиметрична и транзитивна (РАТ) назива се релација поретка. Једнакост (x = y) је најпознатији пример релације еквиваленције, док неједнакост бројева (m ≤ n) представља типичну релацију поретка.

Функција је релација чији елементи домена се јављају само по једанпут. Сурјекција је функција која садржи све елементе кодомена. Инјекција је функција чији елементи кодомена се јављају највише по једном. Бијекција (обострано једнозначно пресликавање) је сурјекција која је и инјекција. Из овога следи да само бијекција има инверзну функцију.

Два скупа имају исти број елемената акко постоји (бар једна) бијекција међу њима.

1.3. Посебни скупови бројева су:

• ℕ = {1, 2, 3, ...} природни бројеви;
• ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} цели бројеви;
• ℚ = {m/n | m ∈ ℤ ∧ n ∈ ℕ} рационални бројеви;
• ℝ реални бројеви;
• 𝕀 = {ix | i² = -1 ∧ x ∈ ℝ} имагинарни бројеви;
• ℂ = {x + iy | x, y ∈ ℝ ∧ i² = -1} комплексни бројеви.

На слици десно је Венов дијаграм наведених. Уз ове постоје и алгебарски бројеви. Такви су било која решења полиномске једначине рационалних коефицијената. Они укључују све рационалне (ℚ) и неке ирационалне (ℝ \ ℤ) бројеве. Разликујемо затим и трансценденталне бројеве. Такав је било који број да није алгебарски, на пример π или е.

Број елемената бесконачног скупа је кардинални број тог скупа. Два скупа су једнаког кардиналног броја акко постоји (бар једна) бијекција међу њима. Тако је kard(ℕ) = kard(ℤ) = kard(ℚ) = ℵ₀ (чит. алеф-нула). Ово су пребројиво бесконачни скупови, за разлику од непребројиво бесконачног kard(ℝ) = 𝔠 који се назива континуум.

Целе бројеве пребројавамо низањем 0, -1, +1, -2, +2, ..., што је бијекција са природним бројевима, а отуда kard(ℤ) = kard(ℕ). Позитивне рационалне бројеве (разломке) прво распоредимо у бесконачну матрицу, као на слици лево, све их низамо идући плавом линијом и успут одбацујемо вишак (који се понављају). Таквих има пребројиво бесконачно много. Затим као горе целе бројеве, у низ сваком том умећемо њему негативан. Добијамо поредане све разломке и kard(ℚ) = kard(ℕ).

Бавећи се оваквим пребројавањима, оснивач теорије скупова Кантор је смислио доказ контрадикцијом да реалних бројева има више од алеф-нула. Наиме, претпостављамо да је могућа бијекција (обострано једнозначно пресликавање) реалних са природним бројевима, онда је поготово могућа и бијекција из мањег скупа реалних бројева са природним. Реалних бројева из интервала од 0 до 1 не може бити више него свих реалних бројева.

2. Став. Реалних бројева из интервала (0, 1) има више од природних.

Доказ: Претпоставимо да је све реалне бројеве из интервала од 0 до 1 могуће поредати у један низ, као на слици десно. На основу тог низа правимо нови реални број, опет из интервала (0, 1), тако да му је прва цифра (иза зареза) различита од прве децимале из првог члана датог низа (различита од 1). Нека му је друга децимала различита од друге другог члана датог низа (различита од 4), а трећа различита од треће трећег члана (од 3) и тако даље.

Добијамо реални број који није једнак нити једном у датом низу, јер се разликује од првог члана по првој децимали, а од другог по другој децимали, од трећег по трећој и тако даље. Тај нови број различит је од било којег броја датог низа, а реалан је и из интервала је (0, 1). То заначи да дати низ не садржи све захтеване бројеве. Контрадикција са претпоставком да је могуће поредати све реалне бројеве од 0 до 1 значи да реалних бројева има више од природних. ∎

Ову масу бројева, коју називамо континуум и означавамо са 𝔠, чине ирационални бројеви. То су такви реални бројеви који нису рационални. Ирационални бројеви се негде означавају, 𝕀 = ℝ \ ℚ, једнако са имагинарнима, као у листи горе уз слику и на слици. Они имају кардинални број реалних.

2. Непрекидност

Својство непрекидности, континуитета виђамо у разним природним појавама, у протоку воде у рекама, у току времена, у линији тачака графа. За функцију народски кажемо да је непрекидна ако њену криву можемо скицирати без дизања оловке са папира. Али то је недоречено за математичку анализу.

2.1. Граничне вредности, лимеси функције су јединствени реални бројеви. Када функција f(x) ближој вредности променљиве x ∈ ℝ константи a ∈ ℝ узима ближе вредности броју A ∈ ℝ, то пишемо f(x) → A, када x → a, или

\[ \lim_{x \to a} f(x) = A, \]

па кажемо да је A гранична вредност функције f(x) у тачки x = a. Ово мало a је апсциса, велико A је ордината тачке T(a, A) којој се граф функције непрекидно приближава, при чему у самој тој тачки функција не мора бити дефинисана.

Кванторима пишемо (∀ε > 0)(∃δ > 0) |x - a| < δ ⇒ |f(x) - A| < ε и читамо: за свако ε веће од нуле постоји δ веће од нуле такво да из a - δ < x < a + δ следи A - ε < f(x) < A + ε. То значи да f(x) тежи вредности A ако варијабла x тежи броју a.

На пример, функција f : x ↦ 2x + 3 непрекидна је у произвољној тачки a ∈ ℝ. Наиме, за било које ε > 0 тражимо δ > 0 такво да је (|x - a| < δ) ⇒ (|f(x) - f(a)| < δ. Тако |f(x) - f(a)| = |(2x + 3) - (2a + 3)| = 2|x - a|. Сада узмемо ли δ = ε/2 биће |f(x) - f(a)| = 2|x - a| < 2δ = ε, што значи да је тачна горња импликација, а она дефинише непрекидност.

Да је и функција f : x ↦ x^-1 непрекидна у свакој тачки a ≠ 0, поступамо исто као у претходном случају и за дато ε > 0 захтевамо да буде δ ≤ ε/(2|a|²), јер је |f(x) - f(a)| = |x - a|/|x⋅a| < 2|x - a|/|a|²|.

3. Пример. Графу на слици (приближно) одговара граф функције:

\[ f(x) = \frac{8(x - 2)}{x(x - 2)} \ \iff \ f(x) = \frac{8}{x}, \quad x \ne 2, \]

која није дефинисана у тачки x = 2. Ординату графа приближавамо 4 смањујући ε, а за то бирамо мање δ и апцису приближавамо 2. Са избором малог ε > 0 бирамо по жељи тачност, па имамо:

\[ |f(x) - 4| \le \varepsilon, \] \[ 4 - \varepsilon \le f(x) \le 4 + \varepsilon, \] \[ 4 - \varepsilon \le \frac{8}{x} \le 4 + \varepsilon, \quad x \ne 2, \] \[ \frac{8}{4 + \varepsilon} \le x \le \frac{8}{4 - \varepsilon}, \quad \varepsilon \ne 0, \] \[ 2 - \frac{2\varepsilon}{4 + \epsilon} \le x \le 2 + \frac{2\varepsilon}{4 - \varepsilon}, \] \[ \delta = \min\left\{\frac{2\varepsilon}{4 + \varepsilon}, \frac{2\epsilon}{4 - \varepsilon}\right\} = \frac{2\varepsilon}{4 + \varepsilon}, \] \[ 2 - \delta \le x \le 2 + \delta, \] \[ |x - 2| \le \delta. \]

Дакле, за дато ε бирамо ово δ, што је увек могуће, па је лимес функције заиста A = 4. Греф има отклоњим прекид у тачки T, јер функцију можемо додефинисати том тачком и добити је без прекида. □

4. Пример. На слици лево је граф хиперболе, f(x) = 1/x. То је функција која нема лимес када x → 0, нити са једне стране. У тој тачки она дивергира, f(x) → ±∞ када x → ±0 и има прекид за који кажемо да није отклоњив. □

2.2. Слично је лимес низа z_n, ако постоји, јединствен број c којем тежи његова вредност када се индекс n увећава. Пишемо z_n → c, када n → ∞, или

\[ \lim_{n \to \infty} z_n = c, \]

када (∀ε > 0)(∃n₀ ∈ ℕ)(∀n ∈ ℕ ∧ n > n₀) |z_n - c| < ε. Избором малог ε > 0 бирамо по жељи близину члана низа броју c, тачност апроксимације, за све индексе веће од n₀. Слично претходној функцији, рецимо:

\[ z_n = \frac{1}{2^n}, \quad \lim_{n \to \infty} z_n = 0, \] \[ Z_n = \sum_{n=1}^\infty z_n, \quad \lim_{n \to \infty} Z_n = 1, \]

немају чланове низа који су једнаки лимесу низа.

Низ који није конвергентан је дивергентан. Такав је рецимо алтернирајући, мешавина два или више низова који можда појединачно имају граничне вредности (конвергирају), али не истом броју. Није конвергентан ни низ који неограничено расте. Детаљније о лимесима у наставку.

За разлику од Канторове (Georg Cantor, 1845-1918) теорије скупова и њених актуелних бесконачности кардиналних бројева, инфинитезимални рачун ради са потенцијалним бесконачностима граничних вредности.

3. Вероватноћа

Руски математичар Колмогоров је (1933) поставио аксиоме вероватноће, према којима је вероватноћа P(.) нумеричка функција дефинисана над скупом (σ-пољем) догађаја Ω, која има следеће особине:

1. Ненегативност: (∀ω ∈ Ω) P(ω) ≥ 0.
2. Адитивност: за ω_n ∈ Ω, за n = 1, 2, ..., узајамно дисјунктне догађаје (ω_i ⋅ ω_j = ∅ ако i ≠ j) важи
\[ P\left(\sum_{n=1}^\infty \omega_n\right) = \sum_{n=1}^\infty P(\omega_n). \]
3. Нормираност: P(Ω) = 1.

Унију догађаја пишемо и као збир, а пресек као производ.

3.1. Следе неколике прве једноставне последице ове аксиоматике. Из бесконачне уније (2. аксиоме) празних скупова Ω ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ... = Ω следи P(∅) = 0. Коначна адитивност

\[ P\left(\sum_{ni=1}^m \omega_n\right) = \sum_{n=1}^m P(\omega_n) \]

се добија из

\[ \sum_{n=1}^\infty \omega_n = \omega_1 + ... + \omega_m + ∅ + ∅ + ... = \sum_{n=1}^m \omega_n. \]

У мањку слова, догађаје означавамо као и скупове, рецимо великим словима алфабета A, B, C ∈ Ω.

Због B = A + A'B, из A ⊂ B следи P(A) ≤ P(B). Затим, из ∅ ⊂ A ⊂ Ω следи 0 ≤ P(A) ≤ 1. Да је P(A') = 1 - P(A) добијамо из A + A' = Ω. Важна једнакост P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) следи из A ∪ B = A ∪ (A' ∩ B) и B = (A ∩ B) ∪ (A' ∩ B), што смо уосталом извели и на основу горње слике (1. Пример).

3.2. Лема о покривању

\[ P\left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) \le \sum_{n=1}^\infty P(A_n), \]

следи из

\[ \bigcup_1^\infty A_1 + A_1'A_2 + A_1'A_2'A_3 + ..., \quad A_1'A_2'...A_{k-1}'A_k \subset A_k, \ k = 2, 3, ... \]

3.3. Непрекидност функције P: За монотоно неопадајући низ догађаја, A₁ ⊂ A₂ ⊂ ..., важи

\[ P\left( \bigcup_1^\infty A_n \right) = \lim_{n \to \infty} P(A_n). \]

Доказ: Ако унију пишемо као збир дисјунктних догађаја:

\[ \bigcup_{n=1}^\infty A_n = A_1 + A_1'A_2 + A_2'A_3 + ..., \]\ \[ P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = P\left(\sum_{n=1}^\infty A'_{n-1}A_n \right) = \sum_{n=1}^\infty P(A'_{n-1}A_n) = \] \[ = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n P(A'_{k-1}A_k) = \lim_{n \to \infty} P\left( \sum_{k=1}^n A'_{k-1}A_k\right) = \lim_{n \to \infty} P(A_n), \]

где је A₀ = ∅. ∎

Лако се доказује и супротно, да ће за монотоно нерастући низ A₁ ⊃ A₂ ⊃ ... важити

\[ P\left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \right) = \lim_{n=1} P(A_n). \]

5. Пример. Да се реализује бесконачно много догађаја из A₁, A₂, ... је ω, скуп \( B = \cap_{n=1}^\infty(\cup_{k=n}^\infty A_k) \), догађај из Ω. Заиста, \( \cup_{k=n}^\infty A_k \) је догађај који се реализује ако и само ако се реализује бар један од догађаја \( A_n, A_{n+1}, ...\). Ако захтевамо да то важи за свако n, имамо B. □

3.4. Борељ-Кантелијева лема (прва): Ако ред \( \sum_{k=1}^\infty P(A_k) \) конвергира, онда се са вероватноћом 1 може реализовати само коначно много догађаја низа A₁, A₂, ... .

Доказ: Из претходног, 5. примера, очигледно је \( \cup_{k=1}^\infty A_k \supset \cup_{k=2}^\infty A_k \supset ... \), п непрекидност даје:

\[ P\left(\bigcap_{n=1}^\infty \left( \bigcup_{k=n}^\infty A_k \right)\right) = \lim_{n \to \infty} P\left(\bigcup_{k=n}^\infty A_k\right) \le \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^\infty P(A_k) = 0. \]

кориштена је и лема о покривању. ∎

Друга Борељ-Кантелијева лема утврђује да се у дивергентном реду са вероватноћом један реализује бесконачно много догађаја. Интерпретирана информатички, прва говори о извесности коначности скупова које перципирамо, а друга о егзистенцији остатка, о бесконачности коју не перципирамо.

3.5. Шири увид у теорију вероватноће добијамо када функцију P(.) посматрамо као квадрат модула комплексног броја, а затим и након разматрања силе вероватноће. Аксиоме вероватноће говоре и о различитим разлагањима потпуног скупа догађаја на његове елементе, ω ∈ Ω, којима даље можемо додељивати вероватноће p_k = P(ω_k), односно густине вероватноћа ρ(ω), па имати расподеле:

\[ \sum_{k = 1}^\infty p_k = 1, \quad \int_\Omega \rho(\omega) \ d\omega = 1. \]

Корак који следи је интерпретирање расподела вероватноћа као суперпозиција таласа вероватноћа:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B),
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB),
|A + B|² = |A|² + |B|² + 2ℛℯ(A^*B).

У првој једнакости је број елемената скупова (1. Пример). У другој је вероватноћа догађаја. Трећа једнакост је о суперпозицији квантних стања. У њој су A и B комплексни бројеви, A^* је коњуговано комплексан од првог броја, тако да је рецимо |A|² = A^*⋅A, док је ℛℯ(A^*B) реални део производа A^*B. Примену треће погледајте у књизи Квантна Механика (Експеримент „двоструки отвор“, стр. 62).

Поменућу само да је ℛℯ(A^*B) = a_xb_x + a_yb_y, када су A = a_x + ia_y и B = b_x + ib_y, где су a_x, a_y, b_x и b_y реални бројеви, а за имагинарну јединицу важи i² = -1. Овај реални део је заправо врста скаларног производа (компоненти комплексних бројева), позитиван број за конструктивну интерференцију, негативан за деструктивну интерференцију.

Уопште, скаларни производ комплексних вектора (u⋅v) реалан је број када је реална оса оса симетрије правих на којима они леже, а овде множимо само коњуговано комплексне. Још сложеније вероватноће су квадрати нормираних вектора комплексних коефицијента. Могући су и помало другачији погледи на ово (Datum).

3.6. Условна вероватноћа P(B|A), вероватноћа догађаја B под условом A је

\[ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}, \]

па је вероватноћа производа два догађаја:

P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B),

јер је пресек скупова комутативан, AB = BA. Отуда се изводи „формула потпуне вероватноће“:

\[ P(B) = \sum_{k=1}^n P(A_k)P(B|A_k), \]

где догађаји A₁, A₂, ..., A_n чине једно разбијање Ω, тј. дисјункти (немају заједничких елемената) су и унија им је Ω, као на слици десно, где n = 9 и

A_k = A'_k + A''_k,   k ∈ {2, 3, 5, 6, 8, 9}.

При томе су пресеци BA_k = BA''_k разбијање скупа B ⊂ Ω, тј. дисјунктни су и њихова унија је B. Више детаља о овоме имате у књизи Квантна Механика (1.1.5 Вероватноћа).

6. Пример. На три излаза из града A₁, A₂ и A₃ се надзире саобраћај. Први и други излази су једнко прометни, а трећи има промет колико оба прва два. При томе, око 4% возача првог излаза је припито, док је на другом и трећем излазу таквих 2 одсто. У случају насумичног заустављања возила, радознали службеник израчунава вероватноћу да је возач алкохолизиран.

За вероватноће заустављеног возила налази P₂ = P₁, P₃ = P₁ и P₁ + P₂ + P₃ = 1, где је P_k = P(A_k), а отуда P₁ = P₂ = 1/4 и P₃ = 1/2. Стављањем да је алкохолизиран догађај B, формула потпуне вероватноће даје:

P(B) = P(A₁)P(B|A₁) + P(A₂)P(B|A₂) + P(A₃)P(B|A₃)
P(B) = 0,25 × 0,04 + 0,25 × 0,02 + 0,50 × 0,02

Дакле, вероватноћа да је возач под дејством алкохола износи P(B) = 0,025 или 2,5 одсто. □

3.7. Међутим, дешава се дојава о заустављању алкохолизираног возача и наш радознали службеник израчунава вероватноћу да се то десило на првој цести. Он користи Бајесову формулу

\[ P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{k=1}^n P(A_k)P(B|A_k)}, \quad i = 1, 2, ..., n \]

Доказ: Из P(A_i B) = P(B) P(A_i|B) = P(A_i) P(B|A_i) следи

\[ P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)} \]

и замењујући P(B) у горњој формули потпуне вероватноће добија се Бајесова формула. ∎

Дакле, поменути радознали службеник, на дојаву да је на једној од цести A₁, A₂ и A₃ заустављен алкохолизирани возач, налази вероватноћу да се то десило на трећој:

\[ P(A_3|B) = \frac{P(A_3)P(B|A_3)}{P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)}, \] \[ P(A_3|B) = \frac{0,50×0,02}{0,025} = 0,40. \]

Шанса да је пријављено возило на трећој цести је 40 одсто. Занимљиве су и варијације оваквих примера и уопште примене Бајесове формуле (The facts).