Normiranja

На претходном сајту је увод у Банахове просторе (Метрике), потпуне нормиране векторске просторе. Углавном су ти векторски простори (X) над телом (Φ) реалних (ℝ), а ретко комплексних (ℂ) бројева. Нормирани векторски простор, кажемо и линеарни, је метрички простор у односу на метрику d коју изводимо из његове норме, d(x, y) = ∥x - y∥. Обрнуто, када је задата метрика, норма тачке или вектора је ∥x∥ = d(0, x). Потпуност нормирања изводимо из конвергенције и Кошијевог низа који имају смисла за сваки метрички простор.

1. Комплетирање

Нека је X метрички простор и {x_k} низ тачака у X. Кажемо да је {x_k} Кошијев низ, ако за свако ε > 0 постоји k₀ ∈ ℕ такав да i, j > k₀ ⇒ d(x_i, x_j) < ε. Кажемо да {x_k} конвергира тачки x ∈ X ако d(x_k, x) → 0 када k → ∞, а тада пишемо и

\[ \lim_{k \to \infty} d(x_k, x) = 0. \]

1.1. Став. Ако је X нормирани векторски простор, онда је сваки конвергентни низ у X Кошијев низ.

Доказ: Нека је {x_k} низ који конвергира у неку тачку x ∈ X и нека је ε > 0. Из d(x_k, x) → 0 следи да постоји k₀ ∈ ℕ такав да k > k₀ ⇒ d(x_k, x) < ε/2. Ако је i, j > k₀ биће d(x_i, x) + d(x_j, x) < ε/2 + ε/2 = ε. То значи да је {x_k} Кошијев низ. ∎

За метрички простор X се каже да је потпун или комплетан, ако сваки Кошијев низ у X конвергира некој тачки у X. Нормирани векторски простор X назива се Банахов простор ако сваки Кошијев низ простора X конвергира у X. Неке од Банахових простора сам претходно наводио (1.11. Примери).

1.2. Став (Апсолутне конвергенције). Нека је X Банахов простор и {x_k} низ вектора (тачака) у њему, а претпостављамо конвергенцију збира норми:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \|x_k\| \lt \infty. \]

Тада ред:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} x_k \]

конвергира у X.

Доказ: За свако n ∈ ℕ нека је:

\[ a_n = \sum_{k=1}^n \|x_k\|, \quad y_n = \sum_{k=1}^n x_k. \]

Низ {a_n} конвергира, па је Кошијев. Конкретно, за свако ε > 0 постоји n₀ ∈ ℕ такав да:

i, j > n₀   ⇒   |a_i - a_j| < ε.

Из неједнакости троугла следи ∥y_i - y_j∥ ≤ |a_i - a_j| за све i, j ∈ ℕ те је {y_k} такође Кошијев низ. Како је X Банахов простор, то {y_k} конвергира у X. Отуда је дати ред конвергентан. ∎

1.3. Норме ∥⋅∥_a и ∥⋅∥_b векторског простора X су Липшиц еквивалентне ако постоје константе μ, ν > 0 такве да је ∥x∥_a < μ ∥x∥_b и ∥x∥_b < ν ∥x∥_a за све x ∈ X. Важе следеће особине Липшиц еквиваленције.

1.3.1. Став. Ако је X векторски простор са две Липшиц еквивалентне норме ∥⋅∥_a и ∥⋅∥_b, тада је:

1. Низ {x_k} је Кошијев по норми ∥⋅∥_a ако и само ако је Кошијев по норми ∥⋅∥_b.
2. Низ {x_k} конвергира вектору x по норми ∥⋅∥_a акко конвергира x по норми ∥⋅∥_b.
3. Простор X је потпун по норми ∥⋅∥_a акко је потпун по норми ∥⋅∥_b.

Доказ: Нека су μ, ν > 0 потребне константе. За (1), нека {x_k} буде Кошијев низ нормe ∥⋅∥_a и нека је ε > 0. Тада постоји n₀ ∈ ℕ да i, j ≥ n₀ ⇒ ∥x_i - x_j∥_a < ε/μ. Тада је ∥x_i - x_j∥_b ≤ μ ∥x_i - x_j∥_a ≤ ε, па {xk} конвергира и по норми ∥⋅∥_b. Симетрично радимо и са другом неједнакошћу.

За (2), узмимо да x_k → x по првој норми, да ∥x_k - x∥_a → 0 када k → ∞. Због 0 ≤ ∥x_k - x∥_b ≤ μ ∥x_k - x∥_a за свако k, биће ∥x_k - x∥_b → 0, па x_k → x и по другој норми. Ставка (3) следи непосредно из (1) и (2). ∎

Норму n-димензионалног векторског простора ℝ₂ⁿ називамо еуклидском нормом и означавамо са:

\[ \|x\|_2 = \left(\sum_{k=1}^n |\xi_k|^2\right)^{1/2}, \]

где је x = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n). Узимамо је за посебну између осталог и због следећег тврђења.

1.3.2. Став. Свака норма на ℝⁿ је Липшиц еквивалентна еуклидској норми.

Доказ: Нека је e_k стандардна база простора ℝⁿ и

\[ \lambda = \sqrt{\|e_1\|_a^2 + \|e_2\|_a^2 + ... + \|e_n\|_a^2}. \]

Тада за сваки вектор x = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n) ∈ ℝⁿ имамо:

\[ \|x\|_a = \|\xi_1e_1 + \xi_2e_2 + ... + \xi_ne_n\|_a \le |\xi_1| \|e_1\|_a + |\xi_2| \|e_2\|_a + ... + |\xi_n| \|e_n\|_a \]

па према Коши-Шварцовој неједнакости:

\[ \|x\|_a \le \sqrt{|\xi_1|^2 + ... + |\xi_n|^2} \sqrt{\|e_1\|_a^2 + ... + \|e_n\|_a^2} = \lambda \|x\|_2 \]

што је први део траженог доказа. За преостали део, приметимо:

\[ | \|x\|_a - \|y\|_a | \le \|x - y\|_a \le \lambda \|x - y\|_2 \]

за све x, y ∈ ℝⁿ и, према томе, ∥⋅∥_a је непрекидна функција у ℝⁿ. Размотримо јединичну сферу:

\[ S^{n-1} = \{u \in \mathbb{R}^n : \|u\|_2 = 1 \}. \]

Она је затворена и ограничена на ℝⁿ и тиме компактна. Тада ∥⋅∥_a постиже минималну вредност β на сфери, која мора бити већа од нуле. Тако:

∥u∥_a ≥ β,
∥x∥_a ≥ β ∥x∥₂,
∥x∥₂ ≤ μ ∥x∥_a,

за све x ∈ ℝⁿ, где је μ = 1/β. ∎

Једноставна последица овога је да је ℝⁿ комплетан у односу на било коју норму. То можемо ширити на било који векторски простор коначних димензија.

1.3.3. Став. Сваки коначно-димензионални нормирани векторски простор је Банахов простор.

Доказ: Нека је X нормиран векторски простор димензије n са нормом ∥⋅∥_a, а нека је T : ℝⁿ → X изоморфизам. Дефинишимо норму ∥⋅∥_b на ℝⁿ са:

∥z∥_b = ∥T(z)∥_a.

Тада је ∥⋅∥_b Липшиц еквивалентна еуклидовској норми, и стога је ℝⁿ комплетан у односу на ∥⋅∥_b. Али T је изометријски изоморфизам у односу на ∥⋅∥_b, па је стога и X комплетан. ∎

1.4. Коњуговани оператор A^* оператора A дефинисан је релацијом:

y^*(Ax) = (A^*y^*)(x),

или исто у Дираковим ознакама скаларног множења:

⟨y^*, Ax⟩ = ⟨A^*y^*, x⟩.

Лако је проверити (λA)^* = λ^*A^*. Покажимо да је (A + B)^* = A^* + B^*. Заиста:

⟨(A + B)^*y^*, x⟩ = ⟨y^*, (A + B)x⟩ = ⟨y^*, Ax⟩ + ⟨y^*, Bx⟩ =

= ⟨A^*y^*, x⟩ + ⟨B^*y^*, x⟩ = ⟨(A^* + B^*)y^*, x⟩,

одакле (A + B)^*y^* = (A^* + B^*)y^*, а затим (A + B)^* = A^* + B^*.

1.5. Став. Коњуговани оператор A^* ограниченог линеарног оператора A је и сам ограничен линеарни оператор и ∥A^*∥ = ∥A∥.

Доказ: Коњуговани оператор је линеаран, јер функционели y^* = λ₁y₁^* + λ₂y₂^* ∈ Y, по дефиницији, одговара у X^* функционела:

x^* = y^*(Ax) = λ₁y₁^*(Ax) + λ₂y₂^*(Ax)

тј.

A^*(λ₁y₁^* + λ₂y₂^*) = λ₁A^*y₁^* + λ₂A^*y₂^*.

За доказ једнакости норми, прво, је:

|x^*| = |y^*(Ax)| ≤ ∥y^*∥ ∥Ax∥ ≤ ∥y^*∥ ∥A∥ ∥x∥,

а отуда:

∥x^*∥ ≤ ∥A∥ ∥y^*∥   ∨   ∥A^*y^*∥ ≤ ∥A∥ ∥y^*∥,

∥A^*∥ ≤ ∥A∥.

Друго, за x ∈ X\{0} елеменат y₀ = Ax/∥Ax∥ лежи у Y на сфери ∥y₀∥ = 1. На Y постоји (3.16. Став) ограничена линеарна функционела y^*(y) таква да је ∥y∥ = 1 и y^*(y₀) = 1. За њу је:

y^*(Ax) = y^*(∥Ax∥ y₀) = ∥Ax∥ y^*(y₀) = ∥Ax∥.

Према дефиницији, је:

∥Ax∥ = |y^*(Ax)| ≤ |(A^*y^*)(x)| ≤ ∥A^*y^*∥ ∥x∥ ≤ ∥A^*∥ ∥y^*∥ ∥x∥ = ∥A^*∥ ∥x∥,

односно ∥A∥ ≤ ∥A^*∥. Из ове и претходне неједнакости следи једнакост норми. ∎

1.6. Пример. Нека је K(s, t) мерљива функција на квадрату Q и нека је за неко q > 1

\[ \int_0^1\int_0^1|K(s,t)|^q\ ds dt \lt \infty. \]

Тада је једначином

\[ y(s) = \int_0^1 K(s,t)x(t) \ dt \]

дефинисан ограничен линеарни оператор:

y = Ax,   x = x(t),   y = y(t),

који пресликава простор битно ограничених функција M у самог себе. Оператор A је тзв. Фредхолмов оператор, а K је његово језгро. Ограниченост следи из:

\[ |y(s)| \le \text{ess}\sup_{0\le t\le 1} |x(t)|\int_0^1|K(s,t)|\ dt \le D\|x\|_M \quad \forall s \in [0, 1], \]

∥Ax∥_M ≤ D∥x∥_M

а линерарност је лако проверити.

Том је једначином дефинисан ограничен линеарни оператор A који пресликава простор L_p у простор L_q, где 1/p + 1/q = 1. Из:

\[ |y(s)| \le \left[\int_0^1 |K(s,t)|^q \ dt\right]^{1/q}\left[\int_0^1|x(t)|^p\ dt\right]^{1/q}, \] \[ \int_0^1|y(s)|^q\ ds \le \int_0^1 ds \int_0^1|K(st)|^q\ dt\cdot \left[\int_0^1|x(t)|^p\ dt\right]^{1/p}, \] \[ \|Ax\|_{L_q} \le \left[\int_0^1 \int_0^1 |K(s,t)|^q\ ds dt\right]^{1/q}\cdot \|x\|_{L_p}, \] \[ \|A\| \le \left[\int_0^1\int_0^1|K(s,t)|^q\ dsdt\right]^{1/q}. \]

Према томе, Ax ∈ L_q и A је ограничен оператор. □

1.7. Пример. У претходном примеру, када је p = 2, зато је q = 2, тада је

\[ y(s) = x(s) - \int_0^1 K(s,t)x(t)\ dt \]

дефинисан ограничен линеарни оператор B који пресликава L₂ у самог себе, односно он је самом себи коњугован B^*. Заиста:

\[ y^*(Bx) = \int_0^1y^*(s)\ ds \left[x(s) - \int_0^1K(s,t)x(t)\ dt\right] = \] \[ = \int_0^1y^*(s)x(s)\ ds - \int_0^1y^*(s)\ ds \int_0^t K(s,t)x(t)\ dt \] \[ = \int_0^1y^*(t)x(t)\ dt - \int_0^1x(t)\ dt \int_0^1 K(s,t)y^*(s)\ ds \] \[ = \int_0^1x(t)\left[y^*(t) - \int_0^1K(s,t)y^*(s)y^*(s)\ ds\right]\ dt, \]

па закључак следи као и претходни. □

2. Део

.

Наставиће се ...