Tenzori

Тензорски рачун, тензорска анализа, или Ричијев рачун је математичко проширење векторског рачуна на тензорска поља. Открио га је Грегорио Ричи-Курбастро, а развио његов ученик Тулио Леви-Цивита и други. Употребио га је Алберт Ајнштајн у успостављању своје опште теорије релативности.

1. Инваријанте

Када је свака слика оператора T унутар неког подпростора U ⊂ V, онда је U инваријантан подпростор за оператор T. Координатне осе су (1-дим) инваријантни подпростори обзиром на пројекције тачака (вектора) датог простора на њих. Скалари су (0-дим) инваријантни подпростори функционела. Када идемо до самих скалара, инваријанта је величина која се не мења трансформацијом координата.

1.1. На слици десно видимо косоугли систем (Oxy) са коваријантним A'(a_x, a_y) и контраваријантним A''(a^x, a^y) координатама тачке A. Обичај је писати прве доњим индексима, а друге горњим. Прве се добијају транслацијом уздуж јединичних вектора координатних оса (e_x, e_y), а друге ортогоналним пројекцијама на осе. На слици су углови ∠xOA = α и ∠xOy = φ, а интензитет |OA| = a.

Производ ко- и контра-варијантних координата:

A'⋅A'' = a_xa^x + a_ya^y =
= a_x(a_x + a_y cos φ) + a_y(a_y + a_x cos φ)
= a_x² + a_y² + 2 cos φ = a².

Ово следи са слике, из a^x - a_x = a_y cos φ и a^y - a_y = a_x cos φ, а на крају и косинусне теореме. Резултат је квадрат константне дужине a², односно инваријантност управо оваквог множења (скаларног множења ко и контра варијантних координата исте тачке). Међутим, сабирање квадрата самих коваријантних и контраваријантних координата даје:

a_x² + a_y² = a² - 2a_xa_y cos φ,   (a^x)² + (a^y)² = (a sin α)² + (a sin (φ - α))²,

што су вредности које се мењају са углом φ и нису (скаларне) инваријанте. Контраваријантне векторе матрично пишемо као колоне, а коваријантне као врсте.

1.2. Линеарне трансформације n = 1, 2, 3, ... координата:

\[ \begin{cases} \bar{x}^1 = a^1_1 x^1 + a^1_2x^2 + ... + a^1_n x^n \\ \bar{x}^2 = a^2_1 x^1 + a^2_2x^2 + ... + a^2_n x^n \\ ... \\ \bar{x}^n = a^n_1 x^1 + a^n_2x^2 + ... + a^n_n x^n \end{cases} \]

иначе пишемо краће:

\[ \bar{x}^i = \sum_{j=1}^n a^i_j x^j, \quad i = 1, 2, ..., n \]

а у тензорском рачуну још краће:

\[ \bar{x}^i = a^i_jx^j, \]

јер се према Ајнштајновој конвенцији подразумева сабирање по поновљеном подигнутом и спуштеном (истом) индексу. Матрица коефицијената \( \hat{A} = \{a^i_j\} \) је матрица трансформације. Детерминанта \( A = |\hat{A}| \) односно \( A = |a^i_j| \) је детерминанта трансформације. Ако је детерминанта једнака нули трансформација је сингуларна, а иначе је несингуларна, односно регуларна.

Јакобијева матрица је матрица парцијалних извода првог реда неких m = 1, 2, 3, ... функција

f₁ = f₁(x₁, x₂, ..., x_n)
f₂ = f₂(x₁, x₂, ..., x_n)
...
f_m = f_m(x₁, x₂, ..., x_n)

свака са по n = 1, 2, 3, ... променљивих, облика:

\[ \hat{J} = \begin{pmatrix}\frac{\partial \textbf{f}}{\partial x_1} & \frac{\partial \textbf{f}}{\partial x_2} & ... & \frac{\partial \textbf{f}}{\partial x_n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & ... & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ ... \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & ... & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}. \]

У случају горњег линеарног система једначина очигледно је \( \hat{J} = \hat{A} \), јер је \( \frac{\partial \bar{x}_i}{\partial x_j} = a^i_j \). Када је m = n, ова је матрица квадратна и тада се детерминанта Јакобијеве матрице \( J = |\hat{J}| \) зове Јакобијан. Детерминанта је запремина n-дим квадра који разапињу вектори колона њене матрице, тако да је

\[ \iint_V f(x, y)\ dx dy = \iint_V f(r\cos\varphi, r\sin\varphi)\ rdr d\varphi, \]

јер је Јакобијан поларних координата J = r. Јакобијан сферног система координата је J = r² sin θ, па

\[ \iiint_V f(x,y,z) \ dxdydz = \iiint_V f(\bar{x},\bar{y},\bar{z})\ Jd\bar{x}d\bar{y}d\bar{z} \]

и стављамо одговарајуће J.

1.3. Питагорина теорема у 3-дим Декартовом правогулом систему координата Oxyz гласи

dℓ² = dx² + dy² + dz²

где је dℓ дијагонала инфинитезималног квадра ивица dx, dy и dx паралелних координатним осама. Ставимо ли z = 0, добијамо раван Oxyz са 2-дим овим изразом dℓ² = dx² + dy². Најчешћи другачији координатни системи су сферни (3-дим) и поларни (2-дим), које можемо разумети са следеће слике.

У равни (z = 0) лако налазимо трансформације за поларне координате:

x = r cos φ,   y = r sin φ

и евентуално z = z, ако остајемо у 3-дим, а тада их називамо цилиндарским координатама. Израчунавање извода, затим квадрирање и сабирање дају:

dx = cos φ dr - r sin φ dφ,
dy = sin φ dr + r cos φ dφ,

dℓ² = dx² + dy² = dr² + r²dφ².

Ово је Питагорина теорема у поларним координатама. Ако десној страни крајње једнакости додамо трећи сабирак dz² добијамо одговарајући израз цилиндарских координата.

У простору (3-дим) имамо трансформације за сферне координате (в. 5.6. пример):

x = r cos φ sin θ,   y = r sin φ sin θ,   z = r cos θ.

Израчунавањем извода, па квадрирањем и сабирањем налазимо:

dx = cos φ sin θ dr - r sin φ sin θ dφ + r cos φ cos θ dθ,
dy = sin φ sin θ dr + r cos φ sin θ dφ + r sin φ cos θ dθ,
dz = cos θ dr - r sin θ dθ,

dℓ² = dx² + dy² + dz² = dr² + r² sin²θ dφ² + r² dθ².

Коефицијенти испред квадрата ових координата формирају тзв. метрички тензор:

g_rr = 1,   g_φφ = r² sin²θ,   g_θθ = r²,
g_rφ = g_rθ = g_φθ = 0,   g_φr = g_θr = g_θφ = 0.

Мешовити коефицијенти метричког тензора су нуле када год су те координате узајамно окомите. У наставку ћемо видети да је увек g_ij = g_ji. Дужина хипотенузе dℓ у два система не мења се (скаларна је инваријанта) и баш зато се са различитим координатама пише различито. Називамо је интервал.

1.4. Претпостављамо да је дата трансформација \( \bar{x}^i = \bar{x}^i(x^1, x^2, ..., x^n) \) променљивих x^j низом индекса i, j ∈ {1, 2, ..., n}. Као и трансформације у поларне и сферне координате, таква није обавезно линеарна, али мора имати непрекидне изводе до оног реда који нам буде потребан и мора бити реверзибилна, тј. да се могу и прве променљиве x^j изразити помоћу других \( x^j(\bar{x}^1, \bar{x}^2, ..., \bar{x}^n) \). Да би ове једначине заиста биле реверзибилне трансформације, њихов Јакобијан (1.2) мора бити различит од нуле.

Узимање парцијалних извода даје диференцијале и једначине:

\[ d\bar{x}^i = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j} dx^j, \quad dx^j = \frac{\partial x^j}{\partial \bar{x}^i} d\bar{x}^i, \quad i, j = 1,2,..., n. \]

У тензорском рачуну овде се подразумевају сабирања по поновљеном доњем и горњем индексу, у првој по индексу j и другој по индексу i, према Ајнштајновој конвенцији. Интервал постаје:

\[ d\ell^2 = \sum_{j=1}^n (dx^j)^2 = \sum_{j=1}^n \frac{\partial x^j}{\partial \bar{x}^i} \frac{\partial x^j}{\partial \bar{x}^k} d\bar{x}^i d\bar{x}^k. \]

Стално подразумевамо сабирање по горњем и доњем поновљеном индексу, овде i, k = 1, 2, ..., n. Према томе, n² коефицијената

\[ g_{ik} = \sum_{j=1}^n \frac{\partial x^j}{\partial \bar{x}^i} \frac{\partial x^j}{\partial \bar{x}^k} \]

чине метрички тензор. Из овог израза очигледна је симетрија, g_ik = g_ki.

1.5. Тензорски рачун као основу за разликовање појединих система величина узима њихово понашање према трансформацијама координата. Системи ранга нула су обично скалари. На пример, температура је таква θ(y¹, y², y³) и у свакој тачки је функција положаја, рецимо Декартових правоуглих координата (Oy¹y²y³). Ако ове гледамо у систему других координата (Ox¹x²x³), исту температуру пишемо другачије Θ(x¹, x², x³), али знамо да у истим тачкама (наизглед другачијим) има једнаке вредности. Координате се могу мењати, може се мењати изглед функције, али се тензорски рачун фокусира на инваријанте, на оне величине које се при томе не мењају. Ранг, или ред тензора је број индекса тензорске величине.

Поред скаларне инваријанте, или тензора нултог ранга, чију вредност трансформације координата неће мењати, постоје и апсолутне инваријанте, или инваријанте функционе форме. То су аналитичке форме које се не мењају трансформацијом координата. На пример, таква су два Декартова правоугла система координата са заједничким почетком, \( Oy^1y^2y^3 \) и \( O\bar{y}^1\bar{y}^2\bar{y}^3 \). Једначине сфере полупречника r центра O, у оба система биће аналитички једнаке форме:

\[ \phi(y^1,y^2,y^3) = (y^1)^2 + (y^2)^2 + (y^3)^2 - r^2, \quad \phi(\bar{y}^1,\bar{y}^2,\bar{y}^3) = (\bar{y}^1)^2 + (\bar{y}^2)^2 + (\bar{y}^3)^2 - r^2. \]

Поменута функција апсолутна је инваријанта само у односу на ортогоналне трансформације, па се зове ортогонална инваријанта.

1.6. Тензори нултог ранга су бројеви, константе, а тензори првог ранга су променљиве. Оне ће морати представљати константне вредности у различитим системима, као диференцијали, инфинитезималне разлике положаја, што им начине трансформисања своди на начине трансформације диференцијала. Из dxⁱ = λuⁱ, где је λ произвољан инфинитезимални скалар који се не мења при промени координата и закона преласка на нове координате:

\[ d\bar{x}^i = \frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^j} dx^j = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j}\lambda u^j, \quad \bar{u}^i = u^j \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j} \]

налазимо \( d\bar{x}^i = \lambda \bar{u}^i \). Зато су тензори првог ранга варијабле које се трансформишу као диференцијали. Обратимо ли пажњу на тензорско сабирање по поновљеном доњем и горњем индексу, диференцијал се заиста понаша у складу са горњим индексом — као контраваријантан тензор првог ранга.

Даље је важно приметити ко- и контра-варијантне варијабле, које нас подсећају на сличне поменутим (1.1) у смислу непроменљивости њиховог скаларног производа. За разлику од налик диференцијалима, контраваријантним тензорима провог ранга, скаларна инваријанта φ(x¹, x², x³) има парцијалне изводе који је аналогно сврставају у коваријантне тензоре првог ранга

\[ \frac{\partial \varphi}{\partial x^i} = v_i, \quad \]

После промене координата је \( \varphi = \bar{\varphi}(\bar{x}^1, \bar{x}^2, \bar{x}^3) \), па вреди и следеће:

\[ \frac{\partial \bar{\varphi}}{\partial \bar{x}^i} = \frac{\partial \varphi}{\partial \bar{x}^i} = \bar{v}_i \]

и можемо одмах написати да је:

\[ \bar{v}_i = \frac{\partial \varphi}{\partial x^k} \frac{\partial x^k}{\partial \bar{x}^i} = v_k \frac{\partial x^k}{\partial \bar{x}^i}. \]

Ово је начин трансформације коваријантних вектора, или коваријантних тензора првог ранга. Из:

\[ \bar{v}^i \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j} = v_k \frac{\partial x^k}{\partial \bar{x}^i} \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j} = v_k \delta^k_j = v_j \]

види се да су ове трансформације реверзибилне. На крају је употребљен Кронекеров симбол делта, који је 1 када су индекси једнаки (k = j) и нула ако су индекси различити (k ≠ j). Тензорско сабирање поновљених k се подразумева.

1.7. Поред поменуте Кронекерове делте, користан је посебан симбол трећег ранга e^ijk који означава предзнак пермутације, ево како. e¹²³ = +1, он је 0 ако су му ма која два индекса једнака, иначе је +1 када је ijk парна пермутација индекса 123, а -1 када је ijk непарна пермутација индекса 123. Укратко, овај пермутациони симбол дефинишу само два услова: e¹²³ = +1 и он је антисиметричан (заменом места индекса симбол мења предзнак). Тако је a^ijk = a¹²³ e^ijk и a_ijk = a₁₂₃ e^ijk.

Пермутациони симбол не мора бити трећег ранга. Рецимо, e-систем n-тог ранга дефинишу услови: e^12...n = +1 и e^{i₁i₂...i_n} је антисиметричан. Множењем e-система добијамо Кронекерове системе вишег ранга, генералисане Кронекерове δ-системе. Они увек имају паран број индекса, исти број горњих и доњих.

Генералисани Кронекеров симбол шестог ранга је \( \delta^{ijk}_{pqr} = e^{ijk}e_{pqr} \). Он је 0 када су два или више горњих или доњих индекса једнаки. Биће +1 када су обе горња и доња пермутација уједно парне или непарне, а -1 ако је доња (горња) пермутација парна и горња (доња) непарна. Са 3⁶ = 729 елемената је од којих има само 36 различитих од нуле, 18 њих је +1 а остали -1. Контракцијом добијамо делту ранга четири:

\[ \delta^{ij}_{pq} = \delta^{ijk}_{pqk} = \delta^{ij1}_{pq1} + \delta^{ij2}_{pq2} + \delta^{ij3}_{pq3} = \delta^{ij3}_{pq3}, \]

јер су прва два сабирка нуле (понављају се индекси 1 и 2), ако ови индекси могу бити само прва три редна броја. Сада је \( \delta^{ij}_{pq} = 0 \) када су оба горња или доња индекса једнака или су различитих скупова бројева; биће +1 када су горње пермутације исте доњима; а -1 ако је горња пермутација другачија од доње. Даљим сажимањем:

\[ \frac12 \delta^{ij}_{pj} = \frac12(\delta^{i1}_{p1} + \delta^{i2}_{p2} + \delta^{i3}_{p3}) = \delta^i_p \]

Добијамо обични Кронекеров симбол.

1.8. Пример. За индексе i, j = 1, 2, 3 написати у потпуности систем линеарних једначина aⁱ_j x^j = bⁱ.

Решење: То је матрично-векторска једначина A x = b, односно линеарни систем:

a¹₁ x¹ + a¹₂ x² + a¹₃ x³ = b¹,
a²₁ x¹ + a²₂ x² + a²₃ x³ = b²,
a³₁ x¹ + a³₂ x² + a³₃ x³ = b³.

Уобичајено, x^j су променљиве, а све остале величине су константе. □

1.9. Пример. Када је за све индексе a^ij = a^ji систем је симетричан, а антисиметричан када је b^ij = -b^ji. Написати примере симетричног и антисиметричног система, за i, j = 1, 2, 3.

Решење: Симетричан је a^ij = uⁱv^j + u^jvⁱ, а антисиметричан b^ij = uⁱv^j - u^jvⁱ:

a¹¹ = u¹v¹ + u¹v¹,   a¹² = u¹v² + u²v¹,   a¹³ = u¹v³ + u³v¹,
a²¹ = u²v¹ + u¹v²,   a²² = u²v² + u²v²,   a²³ = u²v³ + u³v²,
a³¹ = u³v¹ + u¹v³,   a³² = u³v² + u²v³,   a³³ = u³v³ + u³v³,

b¹¹ = u¹v¹ - u¹v¹,   b¹² = u¹v² - u²v¹,   b¹³ = u¹v³ - u³v¹,
b²¹ = u²v¹ - u¹v²,   b²² = u²v² - u²v²,   b²³ = u²v³ - u³v²,
b³¹ = u³v¹ - u¹v³,   b³² = u³v² - u²v³,   b³³ = u³v³ - u³v³.

Посебно је aⁱⁱ = 2uⁱvⁱ и bⁱⁱ = 0, као што се види из приложеног. □

1.10. Пример. Наћи парцијалне изводе функције f(x¹, x², ..., xⁿ) = a_ijxⁱx^j.

Решење: Функција је:

f = (a₁₁x¹x¹ + a₁₂x¹x² ... + a_1nx¹xⁿ) +
+ (a₂₁x²x¹ + a₂₂x²x² ... + a_2nx²xⁿ) + ... + (a_n1xⁿx¹ + a_n2xⁿx² + ... + a_nnxⁿxⁿ),

па је (i, j = 1, 2, ..., n):

\[ \frac{\partial f}{\partial x^i} = (a_{ij} + a_{ji})x^j, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j} = a_{ij} + a_{ji}. \]

У случају симетричног система a_ij ови збирови су 2a_ij, а у случају антисиметричног они (оба извода) исчезавају, заправо функција тада исчезава (f = 0). □

1.11. Пример. Наћи ранг матрице, број њених независних колона (врста)

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 \\ 4 & 4 & 6 & -2 \\ 5 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix}. \]

Решење: Број независних врста једнак је броју независних колона матрице, па ранг ове матрице није већи од 3. Означимо ли са a, b и c њену прву, другу и трећу врсту, лако налазимо 7a + c = 3b. Отуда, не више од две њене врсте линеарно су независне. Додатно, види се да множењем константом прву врсту не можемо добити другу (нити трећу) врсту, па је ранг ове матрице 2. □

2. Детерминанте

Помоћу пермутација (1.7) дефинишемо детерминанту матрице трећег реда:

\[ a = |a^i_j| = \begin{vmatrix} a^1_1 & a^1_2 & a^1_3 \\ a^2_1 & a^2_2 & a^2_3 \\ a^3_1 & a^3_2 & a^3_3 \end{vmatrix}, \]

са:

\[ a = |a^i_j| = e^{ijk}a^1_ia^2_ja^3_k = e_{ijk}a^i_1a^j_2a^k_3. \]

Минор \( m^i_j \) елемента \( a^i_j \) детерминанте је детерминанта, за један нижег реда, која се од полазне a добија избацивањем i-те врсте и j-те колоне. Кофактор \( c^i_j \) елемента \( a^i_j \) детерминанте је њен минор множен са (-1)^i+j, дакле \( c^i_j = (-1)^{i+j} m^i_j \). Развојем по i-тој врсти налазимо вредност дате детерминанте:

\[ a^i_1c^1_j + a^i_2c^2_j + a^i_3c^3_j = a^i_kc^k_j = a\delta^i_j. \]

Исто се добија развојем по једној (било којој) колони, \( a^k_i c^j_k = a\delta^i_j \). То је Лапласов развој детерминанте. Познато је да се вредност детерминанте не мења транспоновањем, када врсте и колоне замене места, а детерминанта (након развоја) је и број, па је овај начин означавања доследан, јер елементи једне могу представљати целе друге детерминанте. Међутим, кофактор елемента \( a^i_j \) детерминанте a настављамо означавати и са \( A^i_k \) ради уштеде у објашњавању. Детерминанта \( A = |A^i_j| \) чији су елементи кофактори дате детерминанте зове се адјунгована детерминанта датој.

2.1. Када је \( A = |A^j_k| \) транспонована детерминанта кофактора a, непромењене је вредности, али:

\[ aA = |a^i_j||A^j_i| = |a^i_jA^j_i| = a^n|\delta^i_j|. \]

Први фактори овог збира су врсте полазне детерминанте и множени су колонама детерминанте њених кофактора, редом n пута. Посебно је у датом случају (n = 3), детерминанте трећег реда:

\[ a^3|\delta^i_j| = a^3\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = a^3, \]

па је детерминанта кофактора детерминанте трећег реда \( |A^i_j| = a^2 \). Уопште, детерминанта кофактора детерминанте a реда n има вредност a^n-1. Делимо ли сваку од n врста детерминанте кофактора са њом полазном, када a ≠ 0, добијамо елементе \( r^i_j = A^j_i/a \) и детерминанту \( r = |r^i_j| \) која множена са полазном даје јединичну детерминанту, ar = 1.

Детерминанта r постоји када a није нула. Tада је називамо инверзном, или реципрочном полазној. За краћа објашњења, често са a^-1, или a', означавамо инверзну детерминанту полазној a, па aa' = a'a = 1 и, наравно, a' = 1/a. Приметимо, матрицу множимо бројем тако што сваки њен елеменат помножимо тим бројем, а детерминанту такве матрице множимо бројем тако што само једну врсту (колону) множимо датим бројем.

2.2. Детерминанта \( a = |a^i_j| \) је n-тог реда када јој индекси i, j узимају вредности 1, 2, ..., n. Она је n-арна хомогена форма по елементима, па је њен извод по елементу једнак њеном кофактору, рецимо случаја (1.8) матрице трећег реда:

\[ \frac{\partial a}{\partial a^1_2} = \frac{\partial}{\partial a^1_2}|a^i_j| = \frac{\partial}{\partial a^1_2} \begin{vmatrix} a^1_1 & a^1_2 & a^1_3 \\ a^2_1 & a^2_2 & a^2_3 \\ a^3_1 & a^3_2 & a^3_3 \end{vmatrix} = \frac{\partial}{\partial a^1_2}(e^{ijk}a^1_ia^2_ja^3_k) = \] \[ = \frac{\partial}{\partial a^1_2}(a^1_1a^2_2a^3_3 - a^1_1a^2_3a^3_2 + a^1_3a^2_1a^3_2 - a^1_3a^2_2a^3_1 + a^1_2a^2_3a^3_1 - a^1_2a^2_1a^3_3) = \] \[ = a^2_3a^3_1 - a^2_1a^3_3 = - \begin{vmatrix} a^2_1 & a^2_3 \\ a^3_1 & a^3_3 \end{vmatrix} = A^1_2. \]

Уопште је:

\[ \frac{\partial a}{\partial a^i_j} = A^i_j. \]

Овај извод, детерминанте по ма којем њеном елементу, очигледан је из \( a = a^i_kA^k_j \).

На пример,

\[ \frac{\partial (\ln a)}{\partial a^i_j} = \frac{1}{a}\frac{\partial a}{\partial a^i_j} = \frac{1}{a}A^i_j = r^j_i. \]

Други пример,

\[ \frac{\partial \ln a}{\partial r^i_j} = -а^j_i. \]

Наиме, из релације \( r^i_j = A^j_i/a \) следи вредност детерминанте:

\[ |r^i_j| =\left|\frac{1}{a}A^j_i\right| = \frac{1}{a^n}a^{n-1} = \frac{1}{a} = r. \]

Детерминанта \( r = |r^i_j| \) је реципрочна, инверзна детерминанти a коју означавамо и са a'. Доследно нашим ознакама, адјунгована детерминанта реципрочној r је детерминанта \( R = |R^i_j| \). Отуда:

\[ \frac{\partial \ln a}{\partial r^i_j} = -\frac{\partial \ln r}{\partial r^i_j} = - \frac{1}{r}\frac{\partial r}{\partial r^i_j} = -aR^i_j = -a\left(\frac{1}{a}a^j_i\right) = -a^j_i \]

што је и требало показати.

2.3. Систем линеарних једначина решавамо Крамеровим правилом. Ради постепеног уопштавања, уочимо прво систем са три линеране једначине:

\[ \begin{cases} a^1_1x^1 + a^1_2x^2 + a^1_3x^3 = b^1, \\ a^2_1x^1 + a^2_2x^2 + a^2_3x^3 = b^2, \\ a^3_1x^1 + a^3_2x^2 + a^3_3x^3 = b^3, \end{cases} \]

или кратко у нашим ознакама

\[ a^i_jx^j = b^i. \]

Ако детерминанта ових коефицијената није нула, a ≠ 0, тада се множењем овог система кофакторима добија:

\[ A^k_ia^i_jx^j = A^k_ib^i, \] \[ a\delta^k_jx^j = A^k_ib^i, \] \[ ax^k = A^k_i b^i, \] \[ x^k = \frac{A^k_ib^i}{a}. \]

Ако је a = 0, а нису сви кофактори нуле, да би систем био сагласан, непротивречан, мора бити

\[ A^k_ix^i = 0, \]

а у том случају из претходног следи да је идентички

\[ A^k_i(a^i_jx^j - b^i) = 0, \]

што зачи да су дате једначине линеарно зависне и да решење ма које две задовољава и преосталу трећу. Ако је дати систем линеарних једначина хомоген bⁱ = 0, тада за a ≠ 0 према добијеном решењу излази да су сви x^k = 0, а за a = 0 постоје решења различита од нуле, јер су тада једначине линеарно зависне.

2.4. Став. Квадратне форме, λ-релација и карактеристична једначина изрази су следеће једначине која се назива детерминантна λ-релација

\[ |a_{pq} - \lambda b_{pq}| = 0. \]

Када су a_pqx^px^q и b_pqx^px^q ма које две квадратне форме са симетричним системима a_pq и b_pq. При томе је ова друга позитивно дефинитна, што значи да увек има позитивну вредност сем у случају x^q = 0 када је и она нула, биће решења λ-релације нула. Када је и прва квадратна форма позитивно дефинитна, та су решења реална и позитивна.

Доказ: Претпоставимо да постоји неко комплексно решење λ = ρ + iσ, тако да је:

|a_pq - (ρ + iσ)b_pq| = 0.

Тада постоје (в. систем 2.3) величине z^q = μ^q + iν^q ≠ 0 тако да је

[a_pq - (ρ + iσ)b_pq]z^q = 0,

што значи да систем има ова решења различита од нуле, када је дата детерминанта једнака нули. Како су комплексни бројеви једнаки нули само ако су му реални и имагинарни део једнаки нули, то је:

a_pqμ^q - ρb_pqμ^q + σb_pqν^q = 0,
a_pqν^q - ρb_pqν^q - σb_pqμ^q = 0.

Помножимо прву од ових једначина са ν^p а другу са μ^p па их сабирајмо по p, затим одузмимо збирове, а како су системи симетрични добијамо:

σ(b_pqμ^pμ^q + b_pqν^pν^q) = 0.

По претпоставци, μ^p и ν^p нису једнаки нули, а квадратна форма b_pqx^px^q је позитивно дефинитна, то

b_pqμ^pμ^q + b_pqν^pν^q ≠ 0,

што значи да је

σ = 0.

Дакле, решење дате једначине може бити само реално. За извођење овог дела става довољно је само да b_pqx^px^q буде дефинитна форма (која има увек исти знак) макар била и негативна.

Ако је поред b_pqx^px^q и a_pqx^px^q позитивно дефинитна, онда множењем прве од горњих једначина са μ^p, а друге са ν^p и контракцијом по p, сређивањем налазимо:

ρ(b_pqμ^pμ^q + b_pqν^pμ^q) = a_pqμ^pμ^q + a_pqν^pμ^q.

Како, по претпоставци, нису сви μ^p и ν^p једнаки нули, а обе квадратне форме су позитивно дефинитне, биће:

a_pqμ^pμ^q + a_pqν^pν^q > 0,
b_pqμ^pμ^q + b_pqν^pν^q > 0,

одакле следи ρ > 0. Тиме је доказан и други део става. ∎

2.5. У посебном случају (2.4) квадратне форме b_ijxⁱx^j, када је она облика

δ_ijxⁱx^j = (x¹)² + (x²)² + ... + (xⁿ)²,

тада λ-релација, на пример детерминанте трећег реда, изгледа:

|a_ij - λb_ij| = 0,

\[ \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} - \lambda \end{vmatrix} = 0. \]

То је карактеристична једначина квадратне форме a_ijxⁱx^j. Назива се и секуларна једначина.

Како је δ_ijxⁱx^j позитивно дефинитна квадратна форма (збир квадрата), последица претходног става је да ма за какву квадратну форму a_ijxⁱx^j секуларна квадратна једначина има само реална решења.

2.6. Пример. Проверити да су наведене детерминанта и њој адјунгована, и да је \( a = a^i_kA^k_j \):

\[ a = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}, \quad A = \begin{vmatrix} -3 & 6 & -3 \\ 6 & -12 & 6 \\ -3 & 6 & -3 \end{vmatrix}. \]

Кофакторе лако израчунавамо:

\[ A^1_1 = \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5⋅9 - 8⋅6 = -3, \quad A^1_2 = -\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = -(36 - 42) = 6, \quad A^1_3 = \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = -3, ... \]

и тако даље. Вредност a дате детерминанте израчунавамо Лапласовим развојем по врстама:

a = 1⋅(-3) + 2⋅6 + 3⋅(-3) = 0,
a = 4⋅6 + 5⋅(-12) + 6⋅6 = 0,
a = 7⋅(-3) + 8⋅6 + 9⋅(-3) = 0.

Ово су производи врста прве и друге детерминанте, где n = 3, чиме је проверен и други део. □

2.7. Пример. Наћи све кофакторе детерминанте a и реципрочну детерминанту a'.

\[ a = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \end{vmatrix}. \]

Решење: Израчунавамо 9 кофактора редом и они чине адјунговану детерминанту A. Како је a = -2, то је A = a^n-1 = 4, а реципрочна детерминанта је a' = A/a³:

\[ A = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -6 & 9 & -4 \\ -2 & 4 & -2 \end{vmatrix}, \quad a' = \begin{vmatrix} 0 & \frac12 & 0 \\ 3 & -\frac92 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}. \]

Проверите ово непосредним израчунавањем (n = 3). □

2.8. Пример. Решити систем линеарних једначина:

\[ \begin{cases} x - 3y + 7z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x - 2y + 3 z = 3 \end{cases} \]

користећи претходне ставке.

Решење: Формирамо детерминанту a и израчунавамо њену адјунговану детерминанту A:

\[ a = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 7 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = -10, \quad A = \begin{vmatrix} 5 & -2 & -3 \\ -5 & -4 & -1 \\ -10 & 6 & 4 \end{vmatrix} = 100. \]

Из (2.3), резултата \( x^k = A^k_ib^i/a \), сада лако налазимо:

\[ \begin{cases} x = x^1 = A^1_ib^i/a = (5⋅1 - 5⋅2 - 10⋅3)/(-10) = 3,5 \\ y = x^2 = A^2_ib^i/a = (-2⋅1 - 4⋅2 - 6⋅3)/(-10) = -0,8 \\ z = x^3 = A^3_ib^i/a = (-3⋅1 - 1⋅2 + 4⋅3)/(-10) = -0,7 \end{cases} \]

Решења је лако проверити уврштавањем у полазни систем. □

3. Ранг тензора

Скалари су тензори нултог ранга, вектори су тензори првог ранга и, као што смо видели, само они који се трансформишу на карактеристичан тензорски начин. Слични су им и тензори другог и вишег ранга.

3.1. Посматрајмо два низа контраваријантних вектора uⁱ и v^j, са индексима i, j = 1, 2, ..., n. Тензорски је производ таквих w^ij = uⁱv^j. Они се при увођењу нових променљивих трансформишу на начин тензора:

\[ \bar{u}^i = u^p\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p}, \quad \bar{v}^j = v^q\frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^q}, \quad p, q = 1, 2, ..., n, \]

па је тензорски производ тензор другог ранга два пута контраваријантан:

\[ \bar{w}^{ij} = \bar{u}^i \bar{v}^j = u^p v^q \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p} \frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^q} = w^{pq} \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p} \frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^q}. \]

Систем другог ранга који се при трансформацији координата трансформише према овим образцима је двоструки контраваријантни тензор другог ранга, или тензор другог ранга двапут контраваријантан и по договору се означава са два горња индекса.

На пример, ако су контраваријантни вектори следеће линеарне трансформације координата:

\[ \bar{u}^i = a^i_p u^p, \quad \bar{v}^j = a^j_q v^q, \quad a^i_j = \text{const.} \]

биће:

\[ \bar{w}^{ij} = (a^i_pu^p)(a^i_nv^n) = a^i_pa^ju^pv^q = a^i_pa^j_q w^{pq}, \]

што је специјални случај претходног општег закона трансформације.

3.2. Аналогно са наведеним, систем другог ранга добијен множењем два коваријантна вектора

w_ij = u_iv_j

је двапут коваријантни тензор. Наиме, из:

\[ \bar{u}_i = u_p\frac{\partial u^p}{\partial \bar{x}^i}, \quad \bar{v}_j = v_p\frac{\partial x^p}{\partial \bar{x}^j} \]

следи:

\[ \bar{w}_{ij} = \bar{u}_i\bar{v}_j = u_pu_q\frac{\partial x^p}{\partial \bar{x}^i}\frac{\partial x^q}{\partial \bar{x}^j} = w_{pq}\frac{\partial x^p}{\partial \bar{x}^i}\frac{\partial x^q}{\partial \bar{x}^j} \]

а то се у случају линеарних и хомогених трансформација своди на:

\[ \bar{w}_{ij} = a_i^pa_j^qw_{pq}, \quad a^i_j = \frac{1}{a}A^i_j, \]

са ознакама и објашњењима прилога о детерминантама. Систем другог ранга који се трансформише према овим образцима зове се двоструки коваријантни тензор, коваријантни тензор другог ранга, или тензор другог ранга двапут коваријантан. Обележавамо га са два доња индекса.

Другачији пример двапут коваријантног је метрички тензор израчунат помоћу контраваријантних координата (1.3). Да је он заиста двапут коваријантан систем другог ранга следи из сабирања:

\[ d\ell^2 = g_{ij}dx^idx^j = \sum_{i,j}g_{ij}dx^idx^j, \]

што је квадрат интервала, скалар. Стога је то, јер су парцијални изводи функција ∂_xf коваријантни

\[ df(x, y, z, ...) = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz + ... \]

док су диференцијали dx контраваријантни.

3.3. Систем другог ранга може се образовати и множењем једног контраваријантног uⁱ и коваријантног v_j вектора. Добијамо систем другог ранга облика \( w^i_j = u^iv_j \) са по једним горњим и доњим индексом. Он се при промени координата у најопштијем случају трансформише према образцу:

\[ \bar{w}^i_j = \bar{u}^i\bar{v}_j = u^pv_q\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p}\frac{\partial x^q}{\partial \bar{x}^j} = w^p_q\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p}\frac{\partial x^q}{\partial \bar{x}^j} \]

јер је:

\[ \bar{u}^i = u^p\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p}, \quad \bar{v}_j = v_q\frac{\partial x^q}{\partial \bar{x}^j}. \]

На пример, у случају линеарне трансформације:

\[ \bar{w}^i_j = a^i_p\alpha^q_jw^p_q. \]

Када се неки систем другог ранга при трансформацији координата трансформише на описани начин, он се зове двоструки мешовити тензор, или тензор другог ранга једном контраваријантан и једанпут коваријантан, или кратко мешовити тензор другог ранга.

3.4. Тензоре другог ранга добијене множењем тензора првог ранга, на неки од претходних начина, називамо и дијаде. Матрица дијада је нарочитог облика и оне нису једини тензори другог ранга. На наведене и друге начине настају тензори трећег, четвртог и вишег ранга, а које се такође препознају карактеристичним тензорским трансформацијама. На пример:

\[ \bar{u}^{ijk} = u^{pqr}\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p}\frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^q}\frac{\partial \bar{x}^k}{\partial x^r}, \quad \bar{v}_{ijk} = v_{pqr}\frac{\partial x^p}{\partial \bar{x}^i}\frac{\partial x^q}{\partial \bar{x}^j}\frac{\partial x^r}{\partial \bar{x}^k}, \quad \bar{w}^{ij}_k = w^{pq}_r \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p} \frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^q} \frac{\partial x^r}{\partial \bar{x}^r} \]

су тензори трећег ранга, први три пута контраваријантан, други је три пута коваријантан, а трећи два пута контраваријантан и једном коваријантан мешовити тензор. Када је овакав настао множењем три тензора, назива се тријада.

Другачији пример, мешовити тензор четвртог ранга

\[ \bar{z}^{ij}_{kl} = z^{pq}_{rs} \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p} \frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^q} \frac{\partial x^r}{\partial \bar{x}^r} \frac{\partial x^s}{\partial \bar{x}^l} \]

је два пута контарваријантан и двапут коваријантан. Тензор четвртог ранга настао множењем четири вектора назива се тетрада, итд.

3.5. Уопште, систем ранга m + n чије се координате трансформишу по закону

\[ \bar{u}^{i_1...i_m}_{j_1...j_n} = u^{p_1...p_m}_{q_1...q_n} \frac{\partial \bar{x}^{i_1}}{\partial x^{p_1}}\dots \frac{\partial \bar{x}^{i_m}}{\partial x^{p_m}} \frac{\partial x^{q_1}}{\partial \bar{x}^{j_1}} \dots \frac{\partial x^{q_n}}{\partial \bar{x}^{j_n}} \]

је тензор m пута контраваријантан и n пута коваријантан. Две су битне особине заједничке свим тензорима:

Нула тензор:

Ако су координате неког тензора све једнаке нули у односу на ма који систем координата, оне ће то бити и у односу на све друге координатне системе, јер су нове координате увек линеарне и хомогене комбинације старих.

Одређеност:

У једном датом, иначе произвољном, систему координата може се ма који систем бројева или функција у потребном броју узети за координате тензора. Али њихове вредности у односу на сваки други координатни систем биће онда према природи уоченог тензора потпуно одређене.

Тензори могу бити једнаки само када су истог ранга и типа, а тип тензора одређује му варијантност. Свакој тензорској једначини одговара онолико скаларних једначина колико односних координата има. На пример, у тензорској једначини u_ijk = v_ijk стереометрије (i, j, k = 1, 2, 3) има 3³ = 27 једначина. Под Декартовим тензорима, или афиним ортогоналним тензорима подразумевамо оне које се односе само на ортогоналне координате, док афини тензори, или афинори, су тензори на линеарним и хомогеним трансформацијама са константним коефицијентима.

3.6. Тензори су симетрични када се заменом индекса исте варијантности не мењају, антисиметрични су ако таквом заменом мењају предзнак. Да особина симетрије, односно антисиметрије тензора остаје очувана након трансформација показује следећи пример. Када је u^ij = u^ji, тада:

\[ \bar{u}^{ij} = u^{pq}\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p}\frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^q} = u^{pq}\frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^p}\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^q} = \bar{u}^{ji}, \]

јер се немим индексима p и q могу заменити места, а по претпоставци је u^pq = u^qp. Аналогно излази одржање симетричности коваријантних индекса трансформацијом координата, антисиметричности (u^ij = -u^ji) оба типа, а очигледно је одржање ових у тензорима ранга већег од два.

Међутим, симетричност мешовитих индекса не одржава се након трансформација. Наиме:

\[ u^i_j = u^j_i, \] \[ \bar{u}^i_j = u^p_q \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p} \frac{\partial x^q}{\partial \bar{x}^j}, \quad \bar{u}^j_i = u^p_q \frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^p} \frac{\partial x^q}{\partial \bar{x}^i}. \]

Када неми индекси p и q размене места, иако је \( u^p_q = u^q_p \), ипак се може десити \( \bar{u}^i_j \ne \bar{u}^j_i \). Дакле, (анти) симетричност није битна природна појава у односу на индексе разне варијантносити, јер приликом трансформацији не остаје очувана. Али, иста је природна у случају индекса исте варијантности.

Сваки тензор u^ij или v_ij другог ранга може се представити као збир симетричног и антисиметричног тензора. Наиме:

u^ij = (u^ij + u^ji)/2 + (u^ij - u^ji)/2,   v_ij = (v_ij + v_ji)/2 + (v_ij - v_ji)/2.

Симетрични тензори су прве заграде ових сабирака, а антисиметрични су друге у ознакама:

u^(ij) = (u^ij + u^ji)/2,   v_(ij) = (v_ij + v_ji)/2,
u^[ij] = (u^ij - u^ji)/2,   v_[ij] = (v_ij - v_ji)/2.

Ове ознаке потичу од математичара Баха (R. Bah) и употребом Шаутена (J. A. Shauten) који је такве симетричне називао изомерима.

3.7. Пример. Напишимо трансформације координата афиног система са прве слике (1.1).

Решење: На слици лево, нека су x и y узајамно окомите апсциса и ордината првог система, а \( \bar{x} \) и \( \bar{y} \) другог које заклапају угао φ, оба са заједничким почетком O. Тачка A(a_x, a_y) = A(a^x, a^y) која има у првом систему једнаке ко и контра-варијантне координате, али не обе и у другом систему:

\[ a_x = a^x = \bar{a}^x \ne \bar{a}_x, \quad \bar{a}_y \ne a_y = a^y \ne \bar{a}^y. \]

Угао који вектор \( \textbf{a} = \overrightarrow{OA} \) заклапа са апсцисом је ∠xOA = α, а интензитет вектора је a = |a|. Тада:

\[ \bar{a}_x = a_x - a_y\ \text{ctg}\ \varphi, \quad \bar{a}_y = a_y\ \sin^{-1}\varphi, \] \[ \bar{a}^x = a^x, \quad \bar{a}^y = a^x \cos\varphi + a^y\sin\varphi. \]

Прва горња следи из троугла чија је катета на апсциси, а друга из троугла којег граде ординате. Затим \( \bar{a}^x = a^x \) и из горњег троугла \( \bar{a}^y = \bar{a}_y + \bar{a}_x\cos \varphi \), па након уврштавања претходних и друга доња. □

У скрипти „Прилози II“ (15. Варијантни вектори, Коси систем, стр. 76) израчунате су контраваријантне координате помоћу коваријантних, истог косог (афиног) система. У овим ознакама то биће:

\[ \bar{a}^x = \bar{a}_x + \bar{a}_y \cos \varphi, \quad \bar{a}^y = \bar{a}_x \cos\varphi + \bar{a}_y. \]

Смењујући први ред горњих трансформација у ове налазимо други ред горњих. То је провера.

3.8. Пример. Наћи инверзне трансформације претходног примера (3.7) користећи горе описану методу Крамера.

Решење: Ствар је овде у томе да користимо матрице датог система

\[ \begin{pmatrix} \bar{a}_x & \bar{a}_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x & a_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - \text{ctg}\ \varphi & \sin^{-1}\varphi \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \bar{a}^x \\ \bar{a}^y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \cos\varphi & \sin\varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^x \\ a^y \end{pmatrix} \]

и горње закључке о инверзним детерминантама. Кофакторе ових (адјунговане детерминанте) делимо њиховим детерминантама и налазимо реципрочне трансформације:

\[ \begin{pmatrix} a_x & a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bar{a}_x & \bar{a}_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \cos\varphi & \sin\varphi \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} a^x \\ a^y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - \text{ctg}\ \varphi & \sin^{-1}\varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bar{a}^x \\ \bar{a}^y \end{pmatrix}. \]

Ове матрице замениле су места, јер су узајамно реципрочне. □

Резултат овог примера последица је инваријантности (1.1) интервала, у случају множења ко и контра-варијантних координата:

\[ \bar{\ell}^2 = \bar{a}_x \bar{a}^x + \bar{a}_y \bar{a}^y = \begin{pmatrix} \bar{a}_x & \bar{a}_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bar{a}^x \\ \bar{a}^y \end{pmatrix} = \] \[ = [\begin{pmatrix} a_x & a_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - \text{ctg}\ \varphi & \sin^{-1}\varphi \end{pmatrix}] [\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \cos\varphi & \sin\varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^x \\ a^y \end{pmatrix}] \] \[ = \begin{pmatrix} a_x & a_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^x \\ a^y \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} a_x & a_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^x \\ a^y \end{pmatrix} = a_x a^x + a_y a^y = \ell^2. \]

Иста скаларна инваријантност горе (1.1) је добијена на други начин, а ово је провера. Међутим, овако видимо и зашто коваријанте координате пишемо као матрицу-врсту, а контраваријантне као матрицу-колону.

3.9. Пример. Наћи метричке тензоре (1.4) афиних координата (3.7).

Решење: Користимо инверзне трансформације (3.8) и израчунавамо интервал по контраваријантним координатама,

\[ dx^2 + dy^2 = (d\bar{x})^2 + (-\text{ctg}\ d\bar{x} + \sin^{-1}d\bar{y})^2 = \frac{d\bar{x}^2 - 2\cos\varphi \ d\bar{x}d\bar{y} + d\bar{y}^2}{\sin^2\varphi}, \]

а затим и по коваријантним:

\[ dx^2 + dy^2 = (d\bar{x})^2 + (\cos\varphi \ d\bar{x} + \sin\varphi \ d\bar{y})^2 = (1+\cos^2\varphi) \ d\bar{x}^2 + \sin 2\varphi \ d\bar{x}d\bar{y} + \sin^2 \ d\bar{y}^2. \]

Коефицијенти метричког тензора двапут коваријантног, затим двапут контраваријантног су:

\[ g_{xx} = \sin^{-2}\varphi, \quad g_{xy} = g_{yx} = -\cos\varphi \sin^{-2}\varphi, \quad g_{yy} = \sin^{-2}\varphi, \] \[ g^{xx} = 1 + \cos^2\varphi, \quad g^{xy} = g^{yx} = \sin\varphi\cos\varphi, \quad g^{yy} = \sin^2\varphi. \]

У специјалном случају φ = π/2, када је косоугли систем правоугли, тада је:

\[ g_{xx} = 1, \quad g_{xy} = g_{yx} = 0, \quad g_{yy} = 1, \] \[ g^{xx} = 1, \quad g^{xy} = g^{yx} = 0, \quad g^{yy} = 1, \]

јер је cos π/2 = 0 и sin π/2 = 1. □

3.10. Пример. Изведимо трансформације косог система угла φ₁ између апсцисе и ординате у систем угла φ₂ између таквих оса.

Решење: Користимо претходне резултате (3.8), инверзну трансформацију првог косоуглог у правоугли, па директну трансформацију правоуглог у други косоугли. То је композиција x̄ → x → x̄̄, дакле:

\[ \begin{cases} x = \bar{x} \\ y = -\bar{x} \ \text{ctg}\ \varphi_1 + \bar{y} \sin^{-1}\varphi_1 \end{cases} \quad \begin{cases} \bar{\bar{x}} = x \\ \bar{\bar{y}} = x\cos\varphi_2 + y\sin\varphi_2 \end{cases} \] \[ \bar{\bar{y}} = \bar{x}\cos\varphi_2 + (-\bar{x} \ \text{ctg}\ \varphi_1 + \bar{y} \sin^{-1}\varphi_1)\sin\varphi_2 = \] \[ = \bar{x}\left(\cos\varphi_2 - \frac{\cos\varphi_1}{\sin\varphi_1}\sin\varphi_2\right) + \bar{y}\frac{\sin\varphi_2}{\sin\varphi_1} \] \[ = \bar{x}\frac{\sin(\varphi_1 - \varphi_2)}{\sin\varphi_1} + \bar{y}\frac{\sin\varphi_2}{\sin\varphi_1}, \] \[ \begin{cases} \bar{\bar{x}} = \bar{x} \\ \bar{\bar{y}} = [\bar{x}\sin(\varphi_1 - \varphi_2) + \bar{y}\sin\varphi_2]/\sin\varphi_1 \end{cases} \]

То су тражене трансформације. □

Када су ови углови једнаки (φ₁ = φ₂) ово су идентичке трансформације (x̄̄ = x̄ и ȳ̄ = ȳ), а ако је први систем такође правоугли (φ₁ = π/2) ове се своде на просте афине трансформације (3.7). То наводим ради провере.

3.11. Пример. Детерминанта мешовитог тензора (другог ранга) је инваријанта. Другим речима, ако је \( u^i_j \) мешовити тензор, онда је \( |u^i_j| \) инваријанта.

Доказ: На основу образаца за трансформацију је:

\[ \bar{u}^i_j = u^p_q\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p}\frac{\partial x^q}{\partial \bar{x}^j}, \] \[ |\bar{u}^i_j| = \left|u^p_q\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p}\frac{\partial x^q}{\partial \bar{x}^j}\right| = |u^p_q| \left|\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p}\right| \left|\frac{\partial x^q}{\partial \bar{x}^j}\right| = |u^p_q|, \]

јер је

\[ \left|\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^p}\right| = \left|\frac{\partial x^q}{\partial \bar{x}^j}\right|^{-1}. \]

Тиме је тврђење доказано. □

На пример, мешовити метрички тензор (3.9) афиних трансформација, доследно (3.11) је инваријанта, а он то заиста јесте и према претходним израчунавањима (3.8). Наиме:

\[ |g_{ij}| = \begin{vmatrix} \frac{1}{\sin^2\varphi} & -\frac{\cos\varphi}{\sin^2\varphi} \\ -\frac{\cos\varphi}{\sin^2\varphi} & \frac{1}{\sin^2\varphi} \end{vmatrix} = \frac{1}{\sin^2\varphi}, \] \[ |g^{ij}| = \begin{vmatrix} 1 + \cos^2\varphi & \sin\varphi\cos\varphi \\ \sin\varphi\cos\varphi & \sin^2\varphi \end{vmatrix} = \sin^2\varphi, \] \[ |g_{ij}| |g^{ij}| = \frac{1}{\sin^2\varphi} \sin^2\varphi = 1. \]

Ове детерминанте матрица узете су непосредно из 3.9. примера метричког тензора.

3.12. Пример. Наћи дупли контраваријантни метрички тензор поларних координата (1.3).

Решење: Користимо претходни пример (3.11) и матрицу коваријантног тензора (1.3), па је:

\[ |g_{ij}| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2 \end{vmatrix} = r^2, \quad |g^{ij}| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^{-2} \end{vmatrix} = r^{-2}, \]

јер су детерминанте ових тензора инверзне, па другу налазимо на тај начин. Из друге матрице просто читамо компоненте коваријантног метричког тензора: g^rr = 1, g^φφ = r^-2, а остале две су нуле. □

4. Множења

Овде се упознајемо са скаларним, векторским, мешовитим и спољашњим производом вектора, уз то и неким основним карактеристикама множења у тензорском рачуну.

4.1. Скаларни производ вектора је важан део алгебре, а биће и теорије информације (збир производа). То множење је део и тензорског рачуна већ у његовој основној форми

uⁱv_i = u¹v₁ + u²v₂ + ... + uⁿv_n

у општем случају n = 1, 2, 3, ... димензионалног простора. Овај облик смо видели да је инваријантан на једноставном геометријском примеру (1.1) за n = 2, или примеру (3.8), па и помало општијем примеру детерминанте (3.11).

Сада за трансформацију контраваријантних и коваријантних вектора приметимо да је:

\[ \bar{u}^i\bar{v}_i = u^jv_k\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j}\frac{\partial x^k}{\partial \bar{x}^i} = u^jv_k\delta^k_j = u^jv_j = u^iv_i. \]

То је инваријанта uⁱv_i која се зове скаларни или унутрашњи производ два вектора, контраваријантног овде uⁱ и коваријантног v_i.

Важи и обрнути став, ако је израз uⁱv_i инваријантан на трансформацију координата и при томе имамо uⁱ контраваријантни вектор (или је v_i коваријантни вектор), тада је v_i коваријантни вектор (односно uⁱ је контраваријантни вектор). Наиме, по претпоставци израз uⁱv_i је инваријантан, те је

\[ \bar{u}^i\bar{v}_i - u^jv_j = 0. \]

Ако узмемо у обзир да је рецимо uⁱ контраваријантан вектор, биће

\[ \bar{u}^i = u^j\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j}, \]

што сменом претходног даје

\[ u^j\left(\bar{v}_i\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j} - v_j\right) = 0. \]

Како ово треба да важи за сваки контраваријантни вектор uⁱ, мора бити

\[ \bar{v}_i\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j} - v_j = 0, \] \[ v_j = \bar{v}_i\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j}. \]

То доказује да је v_i коваријантни вектор и да је тврђење тачно.

4.2. Једнако препознајемо и Кронекеров делта симбол (1.7) као инваријанту. На пример, мешовити симбол другог ранга бројева узетих као координате неког мешовитог тензора другог ранга у односу на произвољни координатни систем и трансформације xⁱ → x̄ⁱ даје:

\[ \bar{\delta}^i_j = \delta^k_l \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k} \frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^j} = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^l}\frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^j} = \delta^i_j. \]

На тај начин видимо овај Кронекеров симбол као мешовити тензор другог ранга.

Из претходног доказа (4.1), уопштавајући, можемо извући и критеријум за одређивање тензорског карактера система помоћу инваријаната. Када се уоче неки коваријантни тензор другог ранга a_ij и два произвољна контраваријантна вектора uⁱ и v^j у односу на исти координатни систем биће

a_ijuⁱv^j = S

нека скаларна инваријанта. Када се у овој билинеарној форми стави uⁱ = vⁱ, ако је инваријантна, она тада постаје S = a_ijuⁱu^j. Када су сабирци симетрични, замењених индекса су једнаки, онда је можемо писати у облику:

S = b_ijuⁱu^j,   b_ij = (a_ij + a_ji)/2

где је b_ij = b_ji симетрични коваријантни тензор другог ранга. Иначе, ако је већ у полазној a_ij = a_ji она се зове поларна форма изведене квадратне форме. За поларну форму дате квадратне форми користе се и образци:

\[ a_{ij}u^iv^j = \frac12v^j\frac{\partial S}{\partial u^j}, \quad \frac{\partial S}{\partial u^j} = 2a_{ij}u^i, \]

јер је a_ij = a_ji. Ове инваријанте поопштавају информацију перцепције и у ту теорију уводе тензорски рачун.

4.3. Пример. Ако је u^ij контраваријантни тензор другог ранга, v_k коваријантни вектор, а w(i, j, k) неки систем трећег ранга, онда је у случају

\[ \sum_{i,j}w(i,j,k)u^{ij} = v_k \]

увек w(i, j, k) = w_ijk.

Решење: Прилично је очигледно, сабирањем индекса, горњих са горњима и доњих са доњима да треба бити w(i, j, k) = w_ijk, али је мало спорије то децидно утврдити. Пођимо од трансформисаног израза:

\[ \sum_{i,j} \bar{w}(i,j,k)\bar{u}^{ij} = \bar{v}_k, \] \[ \sum_{i,j} \bar{w}(i,j,k)u^{ml}\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^m}\frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^l} = v_l\frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^k}, \] \[ \sum_{i,j} \bar{w}(i,j,k)u^{ml}\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^m}\frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^l} = \sum_{m,l} w(m,l,s) u^{ml}\frac{\partial x^s}{\partial \bar{x}^k}, \] \[ \sum_{i,j,k} \bar{w}(i,j,k)u^{ml}\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^m}\frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^l} \frac{\partial \bar{x}^k}{\partial x^n} = \sum_{m,l} w(m,l,n) u^{ml}, \] \[ \sum_{m,l}u^{ml}\left[ \sum_{i,j,k} \bar{w}(i,j,k)\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^m}\frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^l} \frac{\partial \bar{x}^k}{\partial x^n} - w(m,l,n)\right] = 0, \] \[ \sum_{i,j,k} \bar{w}(i,j,k)\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^m}\frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^l} \frac{\partial \bar{x}^k}{\partial x^n} = w(m,l,n), \] \[ \sum_{i,j,k} \bar{w}(i,j,k)\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^m}\frac{\partial x^m}{\partial \bar{x}^a}\frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^l} \frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^b} \frac{\partial \bar{x}^k}{\partial x^n} \frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^c} = \sum_{m,l,n} w(m,l,n)\frac{\partial x^m}{\partial \bar{x}^a}\frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^b}\frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^c}, \] \[ \sum_{i,j,k} \bar{w}(i,j,k)\delta^i_a \delta^j_b \delta^k_c = \sum_{m,l,n} w(m,l,n)\frac{\partial x^m}{\partial \bar{x}^a}\frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^b}\frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^c}, \] \[ \bar{w}(a,b,c) = \sum_{m,l,n} w(m,l,n)\frac{\partial x^m}{\partial \bar{x}^a}\frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^b}\frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^c}, \]

што значи да је w(i, j, k) трипут коваријантни тензор, што је требало доказати. □

4.4. Ковектор на векторском простору X (или ознаке V) над скаларним пољем Φ је линеарна функција на X са вредностима у Φ (Основе). Другим речима, ковектор је елемент дуалног простора X*. Дуални је простор (V*) векторског простора V простор линеарних функционела на V у ознаци \( V^* = \mathcal{L}(V, \Phi) \). Он је линеал свих линеарних функционала, односно дуални простор је линеал оператора који векторе из V пресликава у скаларе поља Φ. У таквом смислу, ковектори су и функционеле, пресликавања вектора у скаларе.

Постоје две врсте вектора. Коваријантни вектори и контраваријантни вектори. Коваријантни вектори се трансформишу са својом основом, а контраваријантни вектори се трансформишу обрнуто са својом основом, базом векторског простора. Пример контраваријантног вектора у физици је брзина, рецимо брзина v = (0,0,1) m/s. Основу јој можемо променити прелазећи из метара у центиметре, тада делећи основу са 100, али множењем резултујућег вектора са 100.

Пример ковектора је градијент. Када градијент од 1/m променимо на 1/cm, множимо основу са 100, а резултујући вектор такође множимо са 100. Типично, у физици, јединице контраваријантних вектора су дужине, а ковектора 1/(дужине). Тензорски производ простора и дуала (V^m ⊗ Vⁿ*) можемо гледати као пресликавања пара (m, n) простора из m у n димензија. Тако:

• тензор типа (0, 0) је скалар;
• тензор типа (1, 0) је вектор;
• тензор типа (0, 1) је ковектор, или функционела;
• тензор типа (1, 1) је линеарна трансформација;
• тензор типа (0, 2) је билинеарна форма.

Линеарне трансформације такође чине векторе, па када векторе интерпретирамо као физичка стања, а линеарне трансформације као процесе, онда су нам и стања процеси. На „стање процеса“ физика гледа као део догађаја 4-дим простор-времена. Свеједно, вектори су и неке трансформације, не увек у истим просторима. Иначе, линеарна пресликавања простора на самог себе називамо и операторима.

4.5. Једноставно речено, ако претпоставимо да су вектори колоне-матрице, тада ће нам ковектори бити врсте-матрице које њима множене дају скалар. Слично, матрица помножена са вектором врстом слева и вектором колоном сдесна даје скалар. На слици десно је једна интерпретација ковектора (в. линк).

Производ ковектора a = (2, 1) и вектора v = (x, y)^⊥ је скалар:

\[ \textbf{a}\cdot \textbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 2x + y = s, \]

а на слици десно су приказане вредности скалара s ∈ {-3, -2, ..., 4, 5} и праве линије представљене са тим једначинама. Ковектор a је вектор окомит на те паралелне праве. Дужина овог вектора је број линија које пресеца, почев од истог темена (исходишта вектора e₁ и e₂) на слици. Гушћајући те линије (уситњавајући јединицу дужине) продужује се ковектор и повећава вредност скаларног производа. У том примеру видимо и основне особине информације перцепције о којима причам у блогу.

4.6. За разлику од уобичајених тензора, понекад називани апсолутним тензорима, постоје и релативни тензори, псеудотензори, такви да су (m+n)-тог ранга, m пута контраваријанти и n пута коваријантни, са тежином M, који се трансформишу по закону

\[ \bar{u}^{i_1...i_m}_{j_1...j_n} = \left|\frac{\partial x^r}{\partial \bar{x}^s}\right|^M u^{k_1...k_m}_{l_1...l_n} \frac{\partial \bar{x}^{i_1}}{\partial x^{k_1}}\cdots\frac{\partial \bar{x}^{i_m}}{\partial x_{k_m}}\frac{\partial x^{l_1}}{\partial \bar{x}^{j_1}}\cdots \frac{\partial x^{l_n}}{\partial \bar{x}^{j_n}}, \]

где је:

\[ \left|\frac{\partial x^r}{\partial \bar{x}^s}\right| = \begin{vmatrix} \frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1} & ... & \frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^m} \\ ... \\ \frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^n} & ... & \frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^m} \end{vmatrix} \]

Јакобијан (1.2). Апсолутни тензори су специјалан случај релативних тензора тежине M = 0.

Релативни тензори тежине +1 зову се тензорске густине, а они тежине -1 су тензорски капацитети. Релативни тензор првог ранга је релативни вектор, или псеудовектор, а ако му је тежина +1 онда је векторска густина, а ако му је тежина -1 зове се векторски капацитет. Релативни коваријантни v_i и контраваријантни uⁱ вектори трансформишу се образцима:

\[ \bar{u}^i = \left|\frac{\partial x^r}{\partial \bar{x}^s}\right|^M u^j \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j}, \quad \bar{v}_i = \left|\frac{\partial x^r}{\partial \bar{x}^s}\right|^M v_j \frac{\partial x^j}{\partial \bar{x}^i}. \]

Релативни тензор A ранга нула је релативни скалар, или псеудоскалар, који се трансформише по образцу

\[ \bar{A} = \left|\frac{\partial x^r}{\partial \bar{x}^s}\right|^M A, \]

а ако му је тежина +1 зове се скаларна густина, а ако му је тежина -1 зове се скаларни капацитет.

Сабирати и одузимати се могу само они тензори који су истог ранга (имају једнак број индекса), истог типа (имају исте положаје индекса и њихове распореде) и уједно исте тежине (једнаких експонената код Јакобијана тензорске трансформације). При множењу, тежина производа релативних тензора је збир тежина чинилаца. У процесу контракције остаје тежина непромењена. Множења ће релативних тензора тако на разне начине довести до апсолутних тензора.

4.7. Пример релативних тензора су e-системи. Узмимо трипут контраваријантни систем, трећег ранга, e^ijk који чине коефицијенти Лапласовог развоја детерминанте трећег реда, Јакобијана:

\[ \Delta = \left|\frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^m}\right| = \begin{vmatrix} \frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^1} & \frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^2} & \frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^3} \\ \frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^1} & \frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^2} & \frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^3} \\ \frac{\partial x^3}{\partial \bar{x}^1} & \frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^2} & \frac{\partial x^3}{\partial \bar{x}^3} \end{vmatrix} = e^{ijk} \frac{\partial x^1}{\partial \bar{x}^i} \frac{\partial x^2}{\partial \bar{x}^j} \frac{\partial x^3}{\partial \bar{x}^k}. \]

За такав можемо писати:

\[ e^{ijk} \frac{\partial \bar{x}^p}{\partial x^i}\frac{\partial \bar{x}^q}{\partial x^j}\frac{\partial \bar{x}^r}{\partial x^k} = e^{pqr} \left|\frac{\partial \bar{x}^s}{\partial x^t}\right| = e^{pqr}\Delta^{-1}. \]

Сада из:

\[ \bar{e}^{pqr} = \left|\frac{\partial x^s}{\partial \bar{x}^t}\right|^M e^{ijk} \frac{\partial \bar{x}^p}{\partial x^i}\frac{\partial \bar{x}^q}{\partial x^j}\frac{\partial \bar{x}^r}{\partial x^k}, \] \[ \bar{e}^{pqr} = \Delta^M \Delta^{-1} e^{pqr}, \] \[ \bar{e}^{pqr} = e^{pqr}, \]

следи да је систем e^ijk релативни тензор тежине M = +1 (тензорска густина). Уопште су e-системи ма којег ранга са горњим индексима релативни тензори тежине +1. Слично се доказује да је систем e_ijk релативни тензор тежине M = -1 (тензорска капацитет). То смо и очекивали обзиром да је производ e^ijke_ijk скалар.

Зато су e-системи ма којег ранга са доњим индексима релативни тензори тежине -1, а истог су разлога Кронекерови симболи (1.7, попут \( \delta^i_j \)) тензори нултог ранга. Називају се и Леви-Чивита симболима. Не треба их мешати са њима повеаним и са детерминантом метричког тензора, а понегде сличног назива ε-системи.

4.8. Векторски производ два контраваријантна uⁱ и vⁱ (или коваријантна u_i и v_i) вектора у простору од три димензије помоћу релативног тензора e_ijk дефинишемо са

w_i = e_ijk u^j v^k,

што је детаљно писано:

w₁ = u²v³ - u³v²,
w₂ = u³v¹ - u¹v³,
w₃ = u¹v² - u²v¹.

Систем w_i је релативни коваријантни вектор тежине -1, јер је дефинисан контракцијом производа релативног тензора тежине -1 и апсолутних вектора uⁱ и vⁱ. Природу овог система потврђује и закон трансформације:

\[ \bar{w}_i = \bar{e}_{ijk}\bar{u}^j\bar{v}^k = \Delta^{-1}e_{rst}\frac{\partial x^r}{\partial \bar{x}^i}\frac{\partial x^s}{\partial \bar{x}^j} \frac{\partial x^t}{\partial \bar{x}^k} u^p v^q \frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^p}\frac{\partial \bar{x}^k}{\partial x^q}, \] \[ \bar{w}_i = \Delta^{-1}w_r \frac{\partial x^r}{\partial \bar{x}^i}, \quad \Delta = \left|\frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^m}\right|. \]

Слично дефинишемо и релативни контраваријантни вектор wⁱ тежине +1, када пођемо од два коваријантна вектора u_i и v_i, и релативног тензора e^ijk, стављајући

wⁱ = e^ijk u_j v_k.

Да се овај систем трансформише по образцу

\[ \bar{w}^i = \Delta w^r \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^r} \]

лако је проверити. Узимајући e-системе са више индекса, на овај начин можемо дефинисати векторске производе више контраваријантних (или коваријантних) вектора у простору од више димензија. Када смо у 3-дим простору вектора, или низова дужине n = 3, ово је векторски производ вектора \( \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} \).

4.9. Пример. Нека је у Декартовом правоуглом систему координата (Oxyz) косоугли систем (Ox̄ȳz̄), као на слици лево. Нека су углови између оса α_k = ∠kOx̄, β_k = ∠kOȳ и γ_k = ∠kOz̄, редом за k = x, y, z. Описати мешовите производе вектора и наћи њихове трансформације.

Нека су e_x, e_y и e_z ортови (јединични вектори из правоуглог система Oxyz), а e_x̄, e_ȳ и e_z̄ јединични вектори косоуглог Ox̄ȳz̄. Тада је:

e_x̄ = e_x cos α_x + e_y cos α_y + e_z cos α_z,
e_ȳ = e_x cos β_x + e_y cos β_y + e_z cos β_z,
e_z̄ = e_x cos γ_x + e_y cos γ_y + e_z cos γ_z.

То нам је познато из средњошколске аналитичке геометрије. Отуда матричне трансформације:

\[ \begin{pmatrix} \bar{x} \\ \bar{y} \\ \bar{z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha_x & \cos\alpha_y & \cos\alpha_z \\ \cos\beta_x & \cos\beta_y & \cos\beta_z \\ \cos\gamma_x & \cos\gamma_y & \cos\gamma_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \]

или кратко r̄ = Â r. У правоуглом систему ко и контра варијантне координате једнаке су, па су такви и ови изведени јединични вектори.

Када применимо претходно множење (4.8) на ове ортове, биће:

e_x × e_y = e_z,   e_y × e_z = e_x,   e_z × e_x = e_y,

при чему је векторско множење вектора антисиметрично (u × v = -v × u), па је e_k × e_k = 0. Тако је:

\[ \textbf{e}_\bar{x} \times \textbf{e}_\bar{y} = \begin{vmatrix} \textbf{e}_x & \textbf{e}_y & \textbf{e}_z \\ \cos\alpha_x & \cos\alpha_y & \cos\alpha_z \\ \cos\beta_x & \cos\beta_y & \cos\beta_z \end{vmatrix}, \] \[ \textbf{e}_\bar{y} \times \textbf{e}_\bar{z} = \begin{vmatrix} \textbf{e}_x & \textbf{e}_y & \textbf{e}_z \\ \cos\beta_x & \cos\beta_y & \cos\beta_z \\ \cos\gamma_x & \cos\gamma_y & \cos\gamma_z \end{vmatrix}, \]e \[ \textbf{e}_\bar{z} \times \textbf{e}_\bar{x} = \begin{vmatrix} \textbf{e}_x & \textbf{e}_y & \textbf{e}_z \\ \cos\gamma_x & \cos\gamma_y & \cos\gamma_z \\ \cos\beta_x & \cos\beta_y & \cos\beta_z \end{vmatrix}. \]

Мешовити производ вектора је вектор окомит на оба фактора, па је у општем случају e_x̄ × e_ȳ ≠ e_z̄ и, циклично даље, трећи изведени (e_k̄ за k̄ = x̄, ȳ, z̄) не мора бити окомит на два множитеља. □

4.10. Мешовити производ три вектора у простору три димензије, у 4.9. примеру, је:

\[ t^{ijk} = \begin{vmatrix} u^i & u^j & u^k \\ v^i & v^j & v^k \\ w^i & w^j & w^k \end{vmatrix} = [u^i, v^j, w^k] = \textbf{u}\cdot(\textbf{v} \times \textbf{w}). \]

То је познати нам скаларни (унутрашњи) производ вектора u са векторским производом v × w. Ово је детерминанта матрице из примера а уједно је и запремина (V = det Â) паралелепипеда којег разапињу вектори њених колона (врста) изведених јединичних вектора e_k̄. Простим тригонометријским рачуном налазимо:

cos²φ_x + cos²φ_y + cos²φ_z = 1,   φ = α, β, γ.

Отуда зависност углова појединих изведених вектора. Поопштавајући, примећујемо да се комутатор може разумети као „мешовити производ“ два вектора у простору две димензије (блог Commutator II). Ово је површина, али је и генералисана запремина:

\[ V = e_{ij}u^iv^j = \begin{vmatrix} u^1 & u^2 \\ v^1 & v^2 \end{vmatrix} = [\textbf{u}, \textbf{v}]. \]

Означимо је са t¹², компонентом антисиметричног контраваријантног тензора другог ранга t^ij. Слично важи у координатним системима са више димензија, па у простору са четири димензије имамо 4-дим „запремину“:

\[ V = e_{ijkl}a^ib^jc^kd^l = \begin{vmatrix} a^1 & a^2 & a^3 & a^4 \\ b^1 & b^2 & b^3 & b^4 \\ c^1 & c^2 & c^3 & c^4 \end{vmatrix} = t^{1234} \]

као компоненту антисиметричног контраваријантног тензора четвртог ранга t^ijkl. Овај тензор у овом простору има само једну независну координату без обзира што је број његових координата 64. Начин формирања указује да је ова запремина релативни скалар тежине -1 (скаларни капацитет).

Векторски производ два вектора у простору три димензије заправо је вектор координиран спољашњем производу два вектора у том простору. У простору са четири димензије на сличан се начин координира вектор спољашњем производу од три вектора. Мешовити производ три вектора 3-дим простора скалар је координиран спољашњем производу од три вектора у том простору — који има само једну независну координату:

\[ V = e_{ijk}u^iv^jw^k = \frac{1}{3!}e_{ijk}[u^i, v^j, w^k] = \frac{1}{3!}e_{ijk}t^{ijk}, \]

што је лако проверити. На тај начин у 4-дим простору може се координирати скалар само спољашњем производу од четири вектора. Зато се горња 4×4 детерминанта (t¹²³⁴), у простору од четири димензије, назива мешовити производ. Она се у таквом простору може образовати само са четири вектора једнаке варијантности.

5. Екстензије

У књизи Џона Лија о Римановим многострукостима стоји да свако глатко векторско поље у уграђеној подмногострукости можемо проширити на векторско поље унутар неког отвореног подскупа околног простора (стр. 93). Посматрајмо такву екстензију на примеру израза (τ) чија апсолутна вредност може представљти „запремину“ (V) једног паралелепипеда. Узећемо га у афином неметричком простору од три димензије и приметити да је природно проширење појма запремине, начином Т. Анђелића.

5.1. Уочимо у афином неметричком тродимензионалном простору, који посматрамо у односу на неки систем праволинијских координата xⁱ (i = 1, 2, 3), три породице равни a_j⁽ⁱ⁾ xⁱ = b⁽ⁱ⁾, где су a_j⁽ⁱ⁾ и b⁽ⁱ⁾ неке константе са индексима у загради који не значе тензорску природу, већ просто набрајање.

Мењањем вредности b⁽ⁱ⁾ настају паралелне равни у три смера. Оне уочени простор деле на мноштво паралелепипеда, од којих један увећан видимо на слици десно. Тачка A је теме кроз које пролази по једна од равни сваког од три слоја паралелних.

За неко b⁽¹⁾ паралелна раван прве групе проћи ће тачком B, за неко b⁽²⁾ паралела друге групе проћи ће тачком C, а за неко b⁽³⁾ паралелна раван треће групе садржаваће тачку D. На тај начин је уочени паралелепипед у темену A разапет са векторима:

\[ \overrightarrow{AB} = \{U^i\}, \quad \overrightarrow{AC} = \{V^i\}, \quad \overrightarrow{AD} = \{W^i\}. \]

Мешовити производ ова три вектора је нека релативна скаларна инваријанта τ тежине -1, таква да је:

\[ \tau = e_{ijk}U^iV^jW^k = \begin{vmatrix} U^1 & U^2 & U^3 \\ V^1 & V^2 & V^3 \\ W^1 & W^2 & W^3 \end{vmatrix} = \frac{1}{3!}e_{ijk}[U^i, V^j, W^k]. \]

Ова релативна инваријанта је нека природна карактеристика уоченог паралелепипеда, јер се при трансформацији променљивих xⁱ у променљиве x̄ⁱ мења по тачно одређеном закону који гласи

\[ \bar{\tau} = \left|\frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^m}\right|^{-1}\tau, \]

где је τ̄ њена вредност после трансформације.

5.2. Екстензијом на тензоре, са глатког векторског поља прелази се на уравнотежене променљиве (Visualization of tensors) тако да промене, трансформације координата постају карактеристичне за тензорске. Оне мењањем остају „при себи“, у инваријантним подпросторима када при линеарним пресликавањима вектори (стања) не напуштају свој оквир. Наведени пример (5.1) показује како је могуће добити шњите паралелних равни чије ће наслаге одређивати смер вектора померања, а на основу таквих и тензорске величине.

Могућност упоређивања паралелепипеда помоћу горњих τ бројева у афином неметричком простору постоји само за напоредне (чији су односни вектори паралелни) паралелепипеде, конструисане било где у простору. Тако да се може одредити однос сваког пара паралелних вектора. На пример, уколико уочимо неки други паралелепипед одређен векторима Pⁱ, Qⁱ и Rⁱ, у односу на исти афини координатни систем и за које важе услови паралелности:

Pⁱ = λUⁱ,   Qⁱ = μVⁱ,   Rⁱ = νWⁱ

биће његова екстензија:

T = e_ijk Pⁱ Q^j R^k = λμν e_ijk Uⁱ V^j W^k = κτ,

где је за производ стављено (грчко слово) κ = λμν. Овај број κ остаје при афиној трансформацији увек непромењен, а може бити и позитиван и негативан. Могућност упоређивања оваквих паралелепипеда, ако нису напоредни, у афином неметричком простору не постоји. Штавише, димензија екстензије, у општем случају, није димензија [L³] где L означава дужину.

У обичном еуклидском и метричком простору могу се упоредити паралелепипеди конструисани ма где и онда када нису напоредни. Сваки вектор померања таквог простора има одређену дужину независно од правца и, према томе, упоредиву са дужином сваког другог вектора. Међутим, постоје две аналогије између екстензије и запремине и, са друге стране, интензитета вектора померања као његове дужине. Сваком таквом одговара извесно померање које ћемо назвати „интензитет“. Он је својствен само њему и допушта упоређивање само са вектором њему паралелним.

5.3. Ограничени део афиног тродимензионалног простора можемо уочити и на следећи начин. Нека је дат било који криволинијски координатни систем и посматрајмо три породице површи у том простору дате једначинама:

F⁽ⁱ⁾(x¹, x², x³) = c⁽ⁱ⁾,   (i = 1, 2, 3),

где су c⁽ⁱ⁾ константе, а F⁽ⁱ⁾ функције и опет у загради индекс за на не-тензорску природу величина. За неки број дискретних вредности константи је простор подељен на шестостране ћелије, криволинијске паралелепипеде за разлику од праволинијских претходних (5.1) и ограничене кривим површима. Кроз сваку тачку пролазе по три од ових површи, по једна из сваке породице „паралелних“. Нека кроз тачку A пролазе површи:

F⁽¹⁾ = c⁽¹⁾,   F⁽²⁾ = c⁽²⁾,   F⁽³⁾ = c⁽³⁾,

а њима паралелне блиске површи нека су:

F⁽¹⁾ = c⁽¹⁾ + Δc⁽¹⁾,   F⁽²⁾ = c⁽²⁾ + Δc⁽²⁾,   F⁽³⁾ = c⁽³⁾ + Δc⁽³⁾.

Крећући се по кривој ивици паралелепипеда, мењајући само поједино c⁽ⁱ⁾ за Δc⁽ⁱ⁾, из тачке A долазимо до тачке B, C, или D. При томе се, као рецимо од тачке A, у општем случају, мењају све три координате од вредности x⁽ⁱ⁾ из полазне за Δ₍₁₎x⁽ⁱ⁾ до долазне B, или за Δ₍₂₎x⁽ⁱ⁾ до долазне C, или за Δ₍₃₎x⁽ⁱ⁾ до D. Ако су ова померања инфинитезимална, мешовити производ та три вектора је релативни скалар одређен са образцем:

\[ d\tau = e_{ijk}d_{(1)}x^id_{(2)}x^jd_{(3)}x^k = \begin{vmatrix} d_{(1)}x^1 & d_{(1)}x^2 & d_{(1)}x^3 \\ d_{(2)}x^1 & d_{(2)}x^2 & d_{(2)}x^3 \\ d_{(3)}x^1 & d_{(3)}x^2 & d_{(3)}x^3 \end{vmatrix}. \]

Овај скалар називамо екстензијом инфинитезималне тродимензионалне ћелије, тродимензионалног просторног елемента. Те ћелије простора могу се упоређивати само када су везане за исту тачку и када су напоредне.

5.4. Тродимензионални просторни елеменат може се одредити и једним потпуно антисиметричним тензором трећег реда (тривектором) релацијом:

dτ^ijk = [d₍₁₎xⁱ, d₍₂₎x^j, d₍₃₎x^k] = e^ijk dτ

где је:

dτ = dτ¹²³ = [d₍₁₎x¹, d₍₂₎x², d₍₃₎x³] = (1/3!) e_ijkdτ^ijk,

што није тешко показати, јер је e^ijke_ijk = 6 = 1⋅2⋅3 = = 3!. У обичном, еуклидском простору апсолутнa је вредност овога инфинитезимална запремина, dτ = dV. У Декартовом правоуглом систему координата yⁱ, када се простор подели на ћелије паралелним координатним равнима, налазимо:

\[ dV = e_{ijk}d_{(1)}y^id_{(2)}y^jd_{(3)}y^k = \begin{vmatrix} dy^1 & 0 & 0 \\ 0 & dy^2 & 0 \\ 0 & 0 & dy^3 \end{vmatrix}, \]

јер полазећи од тачке са координатама yⁱ имамо:

{d₍₁₎yⁱ} = {dy¹, 0, 0},   {d₍₂₎yⁱ} = {0, dy², 0},   {d₍₃₎yⁱ} = {0, 0, dy³}.

5.5. Гаусова површина је позната као затворена површина у тродимензионалном простору кроз коју се израчунава флукс векторског поља. Физичка ова поља су електрично, магнетно, или гравитационо. За неки праволинијски систем координата xⁱ нека је површ xⁱ = xⁱ(q¹, q²), са индексима i = 1, 2, 3, задавана Гаусовим параметрима q^α (α = 1, 2). Две подесне једначине нека су f^α(q¹, q²) = c^(α). У заградама стоје и нетензорски индекси, а они писани грчким словима нека узимају две вредности 1 и 2.

На слици лево је једна од ћелија, криволинијски паралелограм, са теменом A(xⁱ) ка још два, B и D са параметарским линијама q¹ = c⁽¹⁾ и q² = c⁽²⁾ и отуда са координатама B(xⁱ + dxⁱ) и D(xⁱ + δxⁱ). А кроз ове тачке уочимо две параметарске линије, DC: q¹ = c⁽¹⁾ + Δc⁽¹⁾ и BC: q² = c⁽²⁾ + Δc⁽²⁾ које се секу у тачки C.

Овакве инфинитезималне дводимензионалне ћелије као екстензију у простору 3-дим имају релативни коваријантни вектор

s_i = e_ijk dx^j δx^k.

Он у општем случају није вектор померања. Али, ако у еуклидском простору у Декартовим правоуглим координатама yⁱ уочимо неку раван yⁱ = const. и као систем паралелних линија у тој равни породице правих, које секу ову равнину по равнима y¹ = α и y² = β где су α и β променљиви параметри, биће елементарна дводимензионална ћелија елементарни правоугаоник чије су странице dy¹ и dy² . Биће:

{dyⁱ} = {dy¹, 0, 0},   {δyⁱ} = {0, dy², 0}.

Тада је s₁ = 0, s₂ = 0, s₃ = dy¹dy². Овај dy¹dy² је површински елеменат равни y³ = const. у Декартовим правоуглим координатама y¹ и y². Овако дефинисана екстензија је поопштење површинског елемента само што, за разлику од 3-дим ћелије, није више скаларни капацитет него је векторски капацитет. При смени променљивих xⁱ у x̄ⁱ, ова екстензија се трансформише по образцу

\[ \bar{s}_i = \left|\frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^m}\right|^{-1} s_j \frac{\partial x^j}{\partial \bar{x}^i}, \]

који указује на трансформације векторских капацитета.

5.6. Пример. Примењено на сферне координате Orφθ у Декартовом правоуглом систему на сферној површи r = const, слика десно, наћи пројекције вектора s_i елементарне ћелије на равни yz, zx и xy.

Решење: Обележимо сферне координате са x¹ = r, x² = φ и x³ = θ, а Декартове са x̄¹ = x, x̄² = y, x̄³ = z. Екстензију 2-дим ћелије дефинише коваријантни вектор s_i = e_ijk dx^jδx^k одакле:

s₁ = e_1jk dx^jδx^k,   s₂ = s₃ = 0.

Нека s̄_i буду координате екстензије у Декартовом правоуглом систему. Тако, из претходног:

\[ \bar{s}_i = \left|\frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^m}\right|^{-1}s_j\frac{\partial x^j}{\partial \bar{x}^i}. \]

На основу слике израчунавамо трансформације Декартових у сферне (в. 1.3. метрички тензор) координате:

\[ \rho^2 = x^2 + y^2, \quad r^2 = \rho^2 + z^2, \quad \text{tg}\ \varphi = \frac{y}{x}, \quad \text{tg}\ \theta = \frac{\rho}{z}, \] \[ x = r\sin\theta \cos\varphi, \quad y = r\sin\theta\sin\varphi, \quad z = r\cos\theta. \]

Затим израчунавамо изводе и реципрочну детерминанту:

\[ \left|\frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^m}\right|^{-1} = \begin{vmatrix} \frac{\partial r}{\partial x} & \frac{\partial r}{\partial y} & \frac{\partial r}{\partial z} \\ \frac{\partial \varphi}{\partial x} & \frac{\partial \varphi}{\partial y} & \frac{\partial \varphi}{\partial z} \\ \frac{\partial \theta}{\partial x} & \frac{\partial \theta}{\partial y} & \frac{\partial \theta}{\partial z} \end{vmatrix}^{-1} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \varphi} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sin\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi & r\cos\theta\cos\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\sin\varphi \\ \cos\theta & 0 & -r\sin\theta \end{vmatrix} = \] \[ = \cos\theta \begin{vmatrix} -r\sin\theta\sin\varphi & r\cos\theta\cos\varphi \\ r\sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\sin\varphi \end{vmatrix} - r\sin\theta \begin{vmatrix} \sin\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi \end{vmatrix} = -r^2\sin\theta = -r\rho. \]

Обзиром да је s₁ = dφδθ - dθδφ = -dφdθ и s₂ = s₃ = 0, налазимо коваријантне координате:

\[ \bar{s}_1 = \left|\frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^m}\right|^{-1} \left( s_1 \frac{\partial r}{\partial x} + s_2 \frac{\partial \varphi}{\partial x} + s_3 \frac{\partial \theta}{\partial x}\right) = x\rho\ d\varphi d\theta, \] \[ \bar{s}_2 = y\rho \ d\varphi d\theta, \quad \bar{s}_3 = x\rho \ d\varphi d\theta. \]

На пример, уколико је парче сфере стрмије према равни yz утолико му је пројекција s₁ мање површине и утолико је апсциса x краћа. Слична је сразмера y и z са површинама s₂ и s₃, пројекцијама тог парчета на равни zx и xy. Иначе, у другом распореду сферних координата, Orθφ, ова детерминанта је r²cos φ. □