Јуни 2024 (English ≽)

Chances

Питање: Никако ми није јасна та вероватноћа. Шта су то шансе?

Одговор: Замислимо да бацамо фер новчић, такав да је шанса да падне „Писмо“ једнака шанси да падне „Глава“. Кажемо шансе су 50:50 одсто, или пата-пата. Када 100 пута бацимо такав новчић, у око 50 пута пашће „Писма“ а све остало, око 50 пута, биће „Главе“. Број p = 50:100 је вероватноћа да падне једно, тада је свеједно које, од та два. То је база вероватноће бацања новчића.

Нефер новчић имао би 0 < p < 1 вероватноћу да падне „писмо“ и q = 1 - p вероватноћу да падне „глава“, када је p ≠ q. На пример, као у насумичном извлачењу из кутије једне од 10 једнаких куглица, са 7 белих и 3 црне, са тада p = 0,7 и q = 0,3.

1. Ако фер новчић бацимо два пута, исходи су четири равноправне опције {ПП, ПГ, ГП, ГГ}. Када би знали да је једна од опција „писмо“ (П), онда су исходи међу {ПП, ПГ, ГП}. Шанса да је и она друга „писмо“ је трећина! А не половина, што би био лакомислен и нетачан одговор. Експериментом би то проверили бацајући по два новчића бар 100 пута, не бројећи исходе са два „глава“. Било би их око 75, а од ових трећина са оба „писмо“. Тако долазимо до разумевања „условне вероватноће“.

2. Када три пута бацимо новчић, шанса да сва три пута падне „писмо“ је једна од осам могућности:

ППП, ППГ, ПГП, ПГГ, ГПП, ГПГ, ГГП, ГГГ.

Уопште у n = 1, 2, 3, ... бацања новчића, шанса да сваки пут падне „писмо“ је један према 2ⁿ = 2, 4, 8, ..., па је вероватноћа таквог догађаја p_n = 2^-n, у случају да је новчић фер. То је број pⁿ када је p = 1/2, као што смо у уводу видели.

Сада знамо дефинисати догађај да у тачно n-том бацању новчића падне „писмо“, јер то значи да је у претходних n-1 бацања пала „глава“. Дакле, такав има вероватноћу q^n-1p, где је q = 1 - p вероватноћа да (у поједином бацању) не падне писмо. У случају фер новчића биће p = q = 1/2, али и у нефер случају је p + q = 1. Ово су уобичајене ситуације, у којима новчић „не памти“ претходне исходе, те су бројеви p и q непромењиви.

3. Када новчић „не памти“ претходне исходе, вероватноће да ће у n-том бацању по први пут пасти „глава“ су:

P₁ = p,   P₂ = qp,   P₃ = q²p,   ...,   P_n = q^n-1p,   ...

Њихов збир је:

P₁ + P₂ + P₃ + ... + P_n + ... =

= p + qp + q²p + ... + q^n-1p + ...

= (q⁰ + q¹ + q² + ... + q^n-1 + ...)p

= p/(1 - q) = p/p = 1.

Дакле, имамо расподелу вероватноћа P_k ∈ (0, 1), низ исхода од којих ће се тачно један десити.

Математичко очекивање расподеле је средња вредност k-тог корака:

μ = 1⋅P₁ + 2⋅P₂ + 3⋅P₃ + ... + n⋅P_n + ... =

= p + qp + q²p + q³p + ... = (1 + q + q² + ...)p

= [1/(1 - q) - 1]'_q p = [1/(1 - q)²] p = 1/p.

Оно је, дакле, веће што је вероватноћа p ∈ (0, 1) мањи број.

4. Да је ово експоненцијална расподела видимо из pⁿ = e^-λn, где је овде база Ојлеров број e = 2,71828... и λ = -ln p. Слично, густина вероватноће експоненцијалне расподеле је ρ(x) = λe^-λx, λ > 0, тако да је

\[ \int_0^\infty \rho(x) \ dx = \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\ dx = 1. \]

Математичко очекивање експоненцијалне расподеле је средња вредност варијабле:

\[ \mu = \int_0^\infty \lambda x e^{\lambda x}\ dx = \frac{1}{\lambda}. \]

Доказе и пуно оваквих израчунавања наћи ћете у мојој књизи Физичка информација.

Ова има максималну информацију, од свих континуланих расподела на домену x ∈ (0, ∞) са датим очекивањем μ. Мимо строгог доказа наведеног линком, зашто би дата експоненцијална функција имала максималну информацију — можемо покушати разумети интуитивно.

5. Када се будући догађај „сећа“ претходног, тада стари исходи утичу на нове. Прошлост усмерава будућност и шансе падања „писма“ и „главе“ при бацању новчића више нису једнаке. Опет, сазнање да ће се један од два догађаја радије десити смањује неизвесност и смањује информацију исхода.

На пример, у бинарном систему писана Хартлијева информација две равноправне опције је log₂ 2 = 1 = - log₂ 0,5 и средња информација фер новчића износи:

-0,5⋅log₂ 0,5 - 0,5⋅log₂ 0,5 = 1.

Можемо означити са 1 информацију исхода фер новчића (log₂ 2 = 1). То у бази 2 логаритма бинарних Хартлијевих информација. Информација два бацања фер новчића износи 2 (log₂ 4 = 2), за три бацања је 3 (log₂ 8 = 3) и тако даље (log₂ 2ⁿ = n).

6. Међутим, када је p ≠ 0,5 рецимо већих шанси, а вероватноћа супротног догађаја q = 1 - p ≠ 0,5 тада је умањена, средња ће вредност информације бацања тог нефер новчића бити мања:

-p log₂ p - q log₂ q < 1.

Када знамо да ће се нешто десити, онда то и није нека вест. Слично, када имамо веће вероватноће првих чланова расподеле, али опет тако спорије конвергентан низ вероватноћа (3) да му средња вредност остаје иста, или одговарајуће сличне густине у наспрам експоненцијалне (4), биће средња информација мања.

То је оно због чега се против експоненцијалне расподеле јавља начелна штедња информације, у смислу смањења густине информације на разне начине и стога дегенерисања експоненцијалне промене вероватноћа. На пример, бацили се неће размножавати експоненцијално, јер растући они инфицирају околину убијајући или стварајући жртвене јединке отпорне на своје ширење, мењајући шансе даљем размножавању.

Deflection

Питање: Шта је то „сила вероватноће“ коју понекад спомињете?

Одговор: Ставио сам линк на ово питање, што би требало да буде довољно у одговору, али ево још мало појашњења. У међувремену погледајте и Комптонов ефекат (Collision).

Тежња да вероватнија стања буду чешће реализована показују пуно елемената кретања небеских тела сунчевог система, тако и електро-магнетног наелектрисања, у апстрактном простору вероватноћа. Узгред, нема физичке акције без преноса информације, на начин да су дејство и пренос информације еквивалентне појаве, па бирање мање информације сводимо на „силу неизвесности“. Преостаје нам да препознамо такве силе (вероватноће, информације и неизвесности) у добро познатим основним физичким особинама честица-таласа.

Познато је да у Хајзенберговим релацијама неодређености, неодређеност положаја има смисао таласне дужине λ честице (Квантна Механика, 1.4.4 Принцип неодређености). Краћа таласна дужина је мања неодређеност и доследно већа вероватноћа положаја. Другим речима, честица-талас неће скретати са краће таласне дужине λ на већу λ' без дејства силе, или судара са другом честицом. Она спонтано не иде у мање вероватно стање.

Ово је, за сада, само моје „информатичко“ тумачење Комптоновог ефекта (иста књига, 1.1.6 Борнов закон):

\[ \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_ec}(1 - \cos\theta), \]

где је h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J⋅Hz⁻¹ Планкова константа, m_e = 8,187 105 × 10⁻¹⁴ J маса електрона у мировању, c = 299 792 km/s брзина светлости, а θ је угао скретања. Ово је Комптонова формула.

Укратко, Комптон (1923) је посматрао расипање γ-зрака из угљеникових електрона и након сударања са електронима налазио их расуте са већим таласним дужинама (λ') од упадних (λ). Количник h/m_ec = 2,43 × 10^-12 се назива Комптонова таласна дужина електрона. За добијање Комптонове формуле користе се закони одржања енергије и импулса, затим (E = pc) релација енергије, импулса и брзине светлости, са мало математике.

Слично је са Радерфордовим расипањем (1911), на слици горе лево, које је раније примећено и кориштено за доказ атома. Појава је била домена нуклеарне физике за објашњење скретања алфа-честица које ударају по танким листићима метала, употребљена уз доказе постојање позитивно набијене атомске језгре која има готово сву масу атома.

Још један доказ „сила вероватноће“ у информатичком смислу, је Борнов закон (иста књига, 1.1.6 Борнов закон). О њему је довољно писано да овде може бити само споменут. Укратко, то је законитост амплитуде таласа, а Комптонов о таласној дужини, као мери вероватноће. Квадрат амплитуде је вероватноћа налажења дате честице-таласа у околностима мерења.

Електрична енергија фотона индукује магнетну енергију, да би иста опет постала електрична. Честица светлости се тако циклично мења из једне у другу ову фазу, одржавајући своју енергију константном кроз два електро магнетна такта. Сила вероватноће она је која индукује ове промене, како у случају фотона, тако и у сложенијим системима микросвета. Међутим, најмање њено реално физичко дејство је квант.

Spacetime

Питање: Можете ли ми појаснити концепт „садашњости“ који развијате из теорије Информације Перцепције?

Одговор: Питање се дотиче прво Питагорине теореме (линк слике десно), теорије релативности из њених почетака, па дефиниција информације и вероватноће.

1. Кренимо са „збиром квадрата катета једнаким квадрату изнад хипотенузе“, a² + b² = c², што је Питагорина теорема из давних времена. Када посматрамо као интервале те дужине страница правоуглих троуглова, рецимо мреже по Декартовом правоуглом систему координата (Oxyz), ова теорема постаје Δx² + Δy² + Δz² = Δd². Тада су осе система паралелне ивицама квадра (правоуглог паралелепипеда) дужина Δx, Δy и Δz, при чему је Δd дужина дијагонале квадра. Корисно је видети и унутрашњи производ вектора.

На слици лево, троугао ABC₁ је тупоугли (∠C₁ > 90°), а троугао ABC₂ је правоугли (∠C₂ = 90°) и троугао ABC₃ је оштроугли (јер ∠C₃ < 90°). Тада је:

c² > a² + b²,   γ₁ > 90°,
c² = a² + b²,   γ₂ = 90°,
c² < a² + b²,   γ₃ < 90°,

где су (малим словом) ознаке странице наспрам истоимених (великим словом) ознака врха троугла. Углови гама (индекса 1, 2 и 3) су наспрам страница c. Наиме, периферни угао над истом тетивом је два пута мањи од централног, па је угао 2γ₂ = ∠AOB = 180°, а отуда γ₂ = 90°. Овај доказ послужиће за нека запажања касније, у сличним питањима.

2. Пређимо сада на физику релативности и исту прву слику Питагорине теореме. Замислимо да мрежом координатних линија унутар нацртаних квадрата над страницама троугла путује светлост, са својом константном брзином око c = 300 000 km/s. Неће нас збунити исте ознаке (c) брзине светлости и дужине хипотенузе, јер то су различити појмови и биће јасно на који од два се ознака односи из контекста.

Поменуте геодезијске линије, иначе паралеле координатним осама, овде ивицама квадрата, на једнаким су удаљеностима. Време светлости која ће проћи све те линије појединог квадрата сразмерно је површини квадрата, тако да површине A, B и C, квадрата на слици, можемо сматрати за време потребно светлости да пребрише унутрашњост квадрата. Са овим новим значењем опет је A + B = C.

3. Поравнавајући јединице дужине (x) са временом потребним светлости (t) да својом брзином (c) пређе ту дужину (x = ct), можемо комбиновати претходна објашњења да буде Δx² + Δy² + Δz² = (Δct)², односно

ds² = - c²dt² + dx² + dy² + dz²,

када пређемо на инфинитезимале (Δx → 0). Ово ds називамо 4-интервал простор-времена, а из ове приче, то је и инфинитезимално одступање од Питагорине теореме. Јасно је да ds = 0 има значење Питагорине теореме у 4-дим простор-времену догађаја, те да је управо она траг „садашњости“ из горњег питања.

4. Овде мало сочно објашњено, простор-време је концепт уније физичког простора и времена. Предложен је од Минковског (1908), својевремено и Ајнштајновог професора математике, као формални додатак специјалној теорији релативности (1905), тада његовог бившег ученика. Ајнштајн је у том свом првом раду изложио да истовремено падање светлости упаљене шибице на супротне зидове купеа воза није истовремено и за посматрача са насипа. Док светлост за путника у возу стиже предњи зид купеа када и задњи, посматрачу извана воз одмиче и ти догађаји нису истовремени.

Ајнштајн је поентирао откриће неистовремености начелом релативности кретања и константне брзине светлости, независне од брзине извора. Ту се мисли на вакуум и праволинијска инерцијална кретања, за разлику од каснијих опет инерцијалних али криволинијских кретања под деловањем гравитације. Показао је да сваки праволинијски инерцијални систем има сопствену истовременост, која то није за друге системе. Сада је разумемо метриком која спаја инфинитезималне догађаје (4-дим тачке) тако да је увек ds = 0. Миц-по-миц крећући се унутар датог система дефинишемо и његове истовремене догађаје.

5. Возу који одлази, даљи догађај посматрачу са насипа стиже касније, а то значи да садашњост путника стиже у прошлост посматрача са насипа. Исто разумемо и овако: у тренутку мимоилажења, времена воза и насипа су истовремена, и само тада, а релативним успоравањем времена систем воза заостаје у прошлости. Са друге стране, из воза који долази, исти зид, догађај, ближи је посматрачу са насипа и стиже раније. Зато садашњост долазећем путнику долази из будућности посматрачу са насипа. Исто: у тренутку мимоилажења времена воза и насипа су истовремена, па због константно споријег времена воза, воз је био у релативној будућности.

6. Пређимо сада на физичке силе. Класично, сила је промена импулса у јединици времена (F = Δp/Δt). Потрошена енергија једнака је раду силе дуж пута (ΔE = FΔr). Водећи рачуна да су силе, импулси, као и положаји векторске величине:

F = (F_x, F_y, F_z),   p = (p_x, p_y, p_z),   r = (r_x, r_y, r_z),

где уместо координата положаја r_ξ често пишемо само њихове индексе, а то само ако су ξ ∈ {x, y, z}. Даље је:

F = Δp/Δt,   ΔE = F⋅Δr,

где је енергија (ΔE) скаларни производ силе и пута. Овде је:

F_x = Δp_x/Δt,   F_y = Δp_y/Δt,   F_z = Δp_z/Δt,

па је:

ΔE = F_x Δr_x + F_y Δr_y + F_z Δr_z =

= (Δp_x/Δt)Δr_x + (Δp_y/Δt)Δr_y + (Δp_z/Δt)Δr_z,

ΔE Δt = Δp_x Δr_x + Δp_y Δr_y + Δp_z Δr_z.

Отуда је вредност израза

Q = - ΔE Δt + Δp_x Δr_x + Δp_y Δr_y + Δp_z Δr_z

нула када на систем не делују вањске силе, када је он инерцијалан. Други смисао овога (Q) је мера „поремећаја“, рећи ћемо, кроз перцепцију. Ово је узето из књиге Информација Перцепције (2016), или неких мојих ставки пре тога.

7. Додајући p₀ = -E/c као нову компоненту вектора импулса, добијамо га као 4-вектор, прво класичног P_μ = (p₀, p), затим и квантног (оператора) импулса. Када пређемо на инфинитезимале (Δp → dp) ово је у складу са 4-дужином ds = (-icdt, dx, dy, dz), вектор интензитета ds² претходно (2) објашњен. Њихова комбинација је скаларни производ (5). Тако настаје информација перцепције, односно једна од њених интерпретација.

8. Међутим, Хартлијева (1928) информација H је логаритам нумеруса N, који је број једнако вероватних исхода, H = log_b N, где је база логаритма, b, мера јединице информације. Код случаја неједнако вероватних исхода укупне информације Q, за разлику од Шенонове информације (S) која је средња вредност расподеле вероватноћа, говоримо о некој усредњеној и фиктивној вредности броја исхода, рецимо M, тако да је Q = log_b M, или M = b^Q, затим и квантног ψ(r, t) = ψ₀ exp[i(-Et + p⋅r)/ℏ], где је ℏ = h/(2π) Планкова редукована константа, а израз ψ је таласна функција слободне честице.

Тако долазимо до (квантне слободне честице) још једне интерпретације информације перцепције, поред многих других које овде изостављам, да објашњења не би превише оптеретила одговор.

9. Коначно, концепт „садашњости“ који развијам у теорији информације перцепције садржи „заробљену“ информацију у једном тренутку, у стању у којем она не може остати, јер свако стање (минимализам), као и такво, тежи мањој информацији. Практично, искуство нам каже да поновљена вест више није вест. Овде ћемо, постулирајући информацију у структуру простора, времена и материје, а неизвесност као њену суштину, постићи да време постаје неопходно и „реално“.

Оно што би се у теорији струна називало „мембранама“, или „струнама“ (нитима), биле би ове „садашњости“. Међутим, теорија информације из које ово изводим шира је од те области, бар због начела неизвесности и његових последица, а са друге стране, уместо нових димензија простора бави се додатним димензијама времена (Dimensions). Сходно томе, оне нису две исте теорије, чак и ако би се у много чему поклапале.

Fragments

Питање: Шта подразумевате са „парчићима садашњости“ у тој теорији?

Одговор: У „теорији перцепције“ (мојој теорији информације) је време веома важан појам. Када из простор-времена избацујете време добијате математизовану физику, не прескочимо теорију струна, а обрнуто, занемарујући простор ближимо се мом терену.

1. Једино у самом инерцијалном праволинијском кретању постоји истовременост широм неког физичког простора (Spacetime, 4), али таком систему потребно је потпуно одсуство маса и гравитације. Светлост (Ајнштајнове шибице) из једне тачке стиже до два једнако удаљена места првог таквог (путника у возу), али у разним тренуцима другог таквог (посматрача са насипа). Можемо замишљати да су правци светлости са првим и другим посматрачем на истој линији, или на паралелама, свеједно, сваки од њих има своје „наслаге“ истовремених 3-дим простора.

У централном гравитационом пољу немамо такву могућност. Радијално гледајући, ниже позиције имају спорији ток времена од вишљих, тако да „истовремено“ стизање сигнала на ниже и више место „једнако“ удаљено од извора, није више такво када се извор макар мало помери по висини. Другим речима, тада немамо 3-дим истовремености, већ само оне 2-дим по концентричним сферама око извора поља.

Када су два, или више таквих поља у близини, нема више ни комплетних сфера које су истовремене, него остају само њихови пресеци. Мноштва ће маса изрезивати саме парчиће истовремености, сваком посматрачу мало другачије фрагментиране, који који веома подсећају на нити, мембране и друге елементе теорије струна. Израз ds² (Spacetime, 3) мења се на начин тензора у одговарајућу метрику простора (Metric tensor).

2. Компликације са цепкањем подручја истовремености не завршавају се на самом простору. Вектори који се паралелно померају по закривљеном простору, не постижу исте вредности када поново стигну у почетне тачке (Simultaneity). То важи како за векторе положаја, тако за импулсе, силе, а онда за енергије и информације. Садашњост се „топи“ (има мању густину информације) остављајући траг у прошлости.

Разне су последице овога, а једна од непознатих о којој сам често писао је деловање прошлих маса на садашње. Ово се лако сведе (или подведе) на у науци за сада необјашњену „тамну материју“. Због релативно огромног квадрата брзине светлости, прошли догађаји много су даљи од суседних просторних и деловање гравитације таквих знатно је мање. Ипак, оно се примети у јаким пољима, рецимо смицању елипсе Меркура, галаксијама богатим масама, али и „чудним“ изостајањем у галаксијама сиромашним масама (AGC 114905). Простор се у јаком пољу понаша као кашаста маса коју тело успева покренути.

3. Парчићи садашњости објективни су, али такве су појаве које учесници комуникације примају различито. Има смисла сматрати их грађевинама информација, јер као фотони којима електрична фаза индукује магнетну и обрнуто, изнова и изнова, они се могу смењивати у цикличном облику представљајући исчезавање информације самим њеним настајањем. Ако их другачије поставимо, исте су грађевински елементи информације, као њени делови.

Разређени фрагменти садашњости тако могу формално представљати и разређене информације, нестварне појаве, као и лажи (The Truth). Лажи нас привлаче силом вероватноће која стања гура у мање информативна. Међутим лажи нас уједно и одвраћају од себе као „друге опције“. Оне су одступања од спонтаног природног тока ствари, од принципа најмањег дејства физичке реалности, од оног дела природе (мртве твари) који не уме да лаже. Зато се лаж тако лако шири медијима, а разоткривена зна да нарочито иритира.

Capture

Питање: Објасните ми Ваш концепт „заробљавања“, молићу само без формула овај пут, ако може?

Одговор: Све се то своди на „силу вероватноће“, на чешће догађање вероватнијих могућности, или на тежњу природе ка извеснијем, те према мање информативном.

1. Демократски биран политичар удовољаваће довољном делу популације, са чиме се, као у сваком делању, профилира његов карактер (Traits) и усмеравају, моделирају навике. Саме оне у токовима су прилагођавања све због поменуте „силе неизвесности“, која нас гура ка реду, рутинама, лењости. Мозак воли познато, а из истог, предајемо своје слободе ради сигурности, или ефикасности. Ови посебни примери „заробљавања“ посебне су дизгине политичарима које их држе у оквирима игача Друге лиге (Reciprocity).

Циљана популација политичара су играчи треће лиге (добрице), којих је око 80 одсто популације (Паретово правило), док се преостали деле опет на отприлике 80 одсто играча друге лиге (манипулатора) и играче прве лиге (злоће). Ових последњих, према томе, једва је четири одсто и чине се небитни за непосредну изборну победу. Међутим, када изабраник уђе на сцену, те „злоће“ битне су. Способност прволигаша да ће (скоро) увек победити друголигаша, као и способност ових других да побеђују треће, хијерархија је која се тада успоставља (Win Lose) и заробљава.

Стратегија прве лиге није победива, то обично знају „злоће“, па користе њено заобилажење (Sneaking). Ту су застрашивања, уцењивање, ширења апатије и вредности толеранције, тзв. „кување жабе“, али и награђивања, да „губитник не схвати“. Друголигаши (манипулатори) могу удовољавати прволигашу (злоћи) у игри против трећелигаша (добрица) — по природи доминације. На пример, добрице је лако убедити да је „добро“ попуштати под притиском, а ићи у меко, што је заправо стратегија која губи од сваке друге (то је игра мртве природе, принципа најмањег дејства).

2. Јединка би спонтано смањивала број својих опција (минимализам) да то није у жељи свих около, њиховој попуњености (неизвесност је подлога света) и да није закона одржања информације (количине опција). Она се зато удружује, обавезује се колективу. Тиме би виталност (вишак опција у односу на мртву твар) прелазила са индивидуе на групу, која би била све сличнија живом бићу, да није аналогних тежњи и самих група.

Сви природни процеси имају склоности ка оваквој врсти дегенерације, па и демократије. Цену мучног отпора неизвесности плаћамо зарад открића природних закона имајући у виду касније препуштање рутинама. Слично теже и правници, као и научници — уређењу света. Измишљања обавеза постиже добитке у сигурности, ефикасности, лењости, или подређивању или доминацији, у поједностављивању које је на крају крајева само себи циљ (према начелној штедљивости информације). Успевајући у томе, то друштво окоштава и постаје мање витално.

3. Са друге стране силе губитака, стоји обавеза одржања укупне количине информације датог система. Она је толерантнија у опсегу, али крућа када за њу нема ширине. Усамљени фотон ће стално осциловати кроз електро и магнетне фазе индукције, путујућим таласом, што је такође једна врста заробљавања. Због исте, уопште, и настају жива бића, чији вишак опција би заправо да нестаје. Сама природа заробљена је својом информатичком структуром, без које је нема, а које би се хтела отарасити.

Collapse

Питање: Како је могућ настанак информације из неизвесности противан „начелном минимализму“ њене емисије?

Одговор: Укупна је неизвесност окружења константна, а њени се облици мењају. Информације ни у једној ситуацији не понестаје да би све што постоји могло трајати и бити од ње саткано. Током тога, реалне комуникације су физичке интеракције, мењања су енергије током времена и дејства сила.

1. Фер коцка са 6 једнаких шанси уочи бацања имаће неодређеност логаритам броја шест (log 6) коју ће након бацања сву преточити у информацију, рецимо: „пао је број три“. Нема промене количине текућег „укупног“ система комуникације, али дејство је покрет у нову садашњост. Свака таква вест одмах затим више неће бити та бајата вест, него постаје другачија, једна или више њих једнаке укупне количине неизвесности, а сваком праћена импулсима неких кванта дејства.

2. То је тај усуд (лат. fatum) стварности, која саму себе не жели, да силом ствара нове и нове садашњости — једнако бежећи и од те силе. Тамо где је настајања садашњости мање, мање је и силе, разређена је неизвесност и привлачнија средина (Past). У гравитационом пољу појаву видимо као места споријег тока времена, а у структури формирања историје космоса то су стања веће извесности у будућности. Чини се као да садашњост због тога хрли ка будућности.

3. Сви фотони су кванти истог дејства Eτ = h, фактори промене енергије E и протеклог времена τ, али не носе сви једнаку информацију као што ове енергије E = hν, где је фреквенција ν = 1/τ, нису исте. Низ вредности дела апсцисе (2^-1, 2^-2, ..., 2^-n, ...) може се обострано једнозначно, тј. бијекцијом, пресликати на низ природних бројева (1, 2, ..., n, ...), као што се и ова цела дуж може пресликати на бесконачну полуосу (x → 1/x). Тако долазимо до разних бијекција између кванта физичког дејства и информације. Обе су дискретне појаве (Packages).

Кванти дужих интервала времена (већег τ и зато мање енергије E), а који су представљени споријим фреквенцијама, мање су информативни, тиме и мање „силни“. За изворе светлости у гравитационом пољу, или далеких галаксија које се даље све брже од нас удаљавају, Доплеровим ефектом ће успоравати фреквенције преносећи нам поруку о привлачној сили која на њих тамо делује. Можда апсурдно, али места мање силна физичкој твари више су привлачна.

4. Како год да расподела вероватноћа има бесконачно много исхода, увек ће само коначно много њих имати укупну вероватноћу један. То утврђује Борељ-Кантелијева лема (Accumulating). То нам овде каже нешто важно о информацији, да коначни број исхода може настати из бесконачности. Затим, када их већ имамо коначно, онда је њихова униформна расподела максималне информације (Екстреми), што ће начелна штедљивост вући ка различитости. Деси ли се некој од тих могућности вероватноћа већа од пола, шансе њене реализације веће су од нереализације. Међутим, потом се то више не може спречити поменутим начелом минимализма.

Као што видимо, настаје једна на први поглед немогућа ситуација, идући математичком извесношћу (Борељ-Кантелијева лема) и минимализмом долазимо до „апсурдног“ настанка информације из неизвесности. То је и одговор на постављено питање.

5. Колапс таласне функције је механизам у коме се систем, интеракцијом са својим окружењем, укључујући и уређаје за мерење, трансформише из суперпозиције стања у одређено (класично) стање са добро дефинисаном вредношћу дате мерљиве величине. Ваше мени овако постављено питање веома је занимљиво, јер је разумевање тог колапса једно од важних места квантне механике (Шредингер) и још увек је неистражена тема (Collapse Problem).

Variations

Питање: Зашто привлачење споријег тока времена из опште не важи у специјалној теорији релативности?

Одговор: Деловање силе појачава промена тока времена на путу, па сва једнократна успоравања нису довољна.

1. На слици десно види се плоча у ротацији. Свака тачка удаљена за r негде од центра плоче, кружиће око центра угаоном брзином

ω = Δθ/Δt

где ће се она окренути за угао Δθ за време Δt брзином v = rω. Према томе, што је тачка даље већа је брзина v. Ове промене брзине са удаљеношћу варирају успоравања времена, што резултира центрифугалном силом F = mω²r, где је m маса тачке. Иначе

\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \]

где је Δt релативна дужина сопственог временског интервала Δt₀ тачке која се креће брзином v, док је c ≈ 300 000 km/s брзина светлости. Ово узимам из дилатације времена специјалне теорије релативности.

Када би била откачена, неспутана, материјална тачка настављала би се кретати инерцијално, што значи праволинијски и без промене брзине тока времена. То је „спонтано“ кретање без дејства сила.

2. У централно симетричном гравитационом пољу (Простор-Време, 1.2.10 Шварцшилдово решење) интервал је

\[ ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)c^2dt^2 + \frac{dr^2}{1 - \frac{r_s}{r}} + r^2(\sin^2\theta d\varphi^2 + d\theta^2), \]

где је r_s = 2GM/c² Шварцшилдов полупречник, M је маса тела у центру гравитације, G је гравитациона константа, а r је удаљеност тачке (масе m) од центра. Сила привлачења је F = -mc²r_s/2r, а дилатација времена

\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}}. \]

Изједначавањем дилатације времена специјалне теорије релативности и ове нашли бисмо сразмерност кинетичке енергије тела у слободном паду и гравитационе силе. Ово наводим као пример важности промене брзине тока времена за појаву силе. Исто и следеће.

3. У истој књизи (Простор-Време, 1.2.8 Вертикалан пад) разматрам пад материјалне тачке у гравитационо поље, где осим класичних једначина једино користим E = mc². Пропадајући за dr маса порасте за dm, сила је привлачи, па је:

\[ dmc^2 = -\frac{GMm}{r^2c^2}dr, \] \[ \frac{dm}{m} = -\frac{GM}{r^2c^2}dr, \] \[ \ln m = \frac{GM}{rc^2} + \text{const}, \] \[ m = m_0e^{GM/rc^2}, \]

где је m₀ сопствена маса (тела у мировању и изван поља), а m релативна маса у односу на фиксираног посматрача у полазишту.

Развојем функција у степене редове и занемарујући веома мале чланове због величине брзине светлости:

\[ m \approx m_0\left(1 + \frac{GM}{rc^2}\right) \approx \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}}, \]

што је резултат једнак претходном, када видимо да се релативно време успорава сразмерно релативном повећању масе. У случају кружења око центра масе, када бисте ово разрађивали, узмите у обзир и контракцију дужина.

Мада је овај резултат изведен у класичној, Њутновој гравитацији, значи слабих централних гравитационих поља, уз сву приближност видимо да можемо формирати интервал (2) Шварцшилдовог решења Ајнштајнових општих једначина. Међутим, он демонстрира важност промене метрике простор-времена, како геометрије тако и гравитације, а посебно промене брзине тока времена за појаву силе. Појашњење овога погледајте у мом прилогу о најмањем дејству (1.6).

4. Гравитациона кретања се могу извести и из принципа најмањег дејства физике (Минимализам Информације, 2.5 Аjнштаjнове опште jедначине). Користећи Лагранжијан (1760) класичне механике постављен на начелу најмањег дејства и помоћу локалних 4-дим координата простор-времена Минковског налазе се опште трансформације координата. Римановим и Ричијевим тензором долази се до Ајнштајн-Хилбертовог дејства које има одлике класичног, осим што се односи на 4-дим простор-време догађаја.

Ово 4-дејство варирамо и тражимо најкраће путање кроз простор-време, из чега излази за Ајнштајнову једначину у вакууму R_μν = 0 само тада ако је g_μν = 0. Прво је Ричијев тензор који представља разлику запремине из закривљеног у односу на равни простор датог места. Друга од једнакости потврђује то за метрички тензор, који је позитивно дефинитан (g_μν > 0) у закривљености Риманове геометрије.

У осталим случајевима, варирајући Ричијев тензор помоћу ковариjантне деривациjе, преко Палатиниjеве jеднакости стиже се до детаљног израза Ајнштајнове једначине за вакуум

\[ R_{\mu\nu} - \frac12 g_{\mu\nu}R = 0. \]

За налажење опште jедначине, за простор коjи ниjе празан него садржи материjу, на Аjнштаjн-Хилбертово деjство додаје се деjство у присуству масе и, опет варирањем, овај израз постаје

\[ R_{\mu\nu} - \frac12 g_{\mu\nu}R = -\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}, \]

што су Ајнштајнове опште једначине (без космичке константе Λ). Лева страна ове jеднакости представља геометриjу простора (само тензорима кривине и метрике), а десна страна материjу (дату тензором енергиjе).

5. Ова запажања су нарочито добра за (моју) теорију информације, где се истиче важност спреге кроз информацију перцепције (збир производа), у којој се негира постојање само по себи. Утезања субјеката и објеката кроз такве спреге, њихове адаптације и, са друге стране, њихова мноштва, пре свега, због неизбежних различитости, говоре о инерцији спонтаности.

Субјекат нерадо напушта просечност, не тежи неминовности варијација по природи неизвесности. На тај начин посматрајмо тело које слободно пада ка гравитационом пољу, или кружи око његовог центра, као лењост мењања стања. То је отпор промени брзине протицања времена, односно отпор промени затечене количине опција (информације).

Commutator II

Питање: Појасните ми концепт информације „поопштених комутатора“.

Одговор: Надам се да сте видели објашњење 2-дим комутатора, да можемо разумети информацију и као „површину“. Ако не, вратимо се на следећи опис, рецимо да је С. Хокингов.

Телу које пропада ка црној рупи гравитација скраћује радијалне јединице дужина и успорава му време. Оно постаје спљоштено и као плашт прекрива сферу црне рупе, али је заправо и никада не достиже. Оно ствара један 2-дим слој информација које се са осталим сличним таложе по црној рупи.

Корак даље од овог објашњења је запажање да згушњавању информације прети минимализам који би да је разблажи. Услед гравитационе стеге то постаје измицање садржаја у бочна времена, такође и у прошлост из које делује као и тамна материја. Оно се тада понаша једнако као поопштено вањско множење (4.10) вектора, а онда и као „поопштени комутатор“.

Помоћу e-симбола трећег ранга e^ijk скраћено записујемо Лапласов развој детерминанте трећег реда:

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = e^{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k} = \]

= a₁₁a₂₂a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂ + a₁₂a₂₃a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

\[ = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}. \]

Овај симбол је +1 када су индекси парна пермутација низа 123, a -1 ако су индекси непарна пермутација, па је нула за индексе који се понављају.

Слично дефинишемо симбол другог ранга e^ij, тај за детерминанте другог реда:

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = e^{ij}a_{1i}a_{2j} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}. \]

Овај симбол је +1 када су индекси парна пермутација низа 12, a -1 ако су индекси непарна пермутација и зато нула за индексе који се понављају. Аналогно дефинишемо симбол четвртог ранга e^ijkl, на пример за развој детерминанти четвртог реда, а онда и уопште e-симболе n-тог ранга.

Знамо да је детерминанта „запремина“ (поопштена) коју разапињу њени вектори-колоне. Таква је det A = [a_.1, a_.2, a_.3], стварна запремина призме ивица вектора a₁, a₂ и a₃ њених колона. Знамо из алгебре вектора да она представља и мешовити производ вектора a₁⋅(a₂ × a₃). На горњој слици лево, мешовити или вањски производ вектора помоћу вектора c = a × b који је окомит на раван разапету факторима, било који угао да заклапају a и b, осим ако су истог правца.

Ови вектори формирају призму запремине једнаке детерминанти

det A = [a, b, c].

Она је уједно и запис „генералисаног комутатора“ који у случају само два вектора, рецимо a = (a_x, a_y) и b = (b_x, b_y) постаје „обични“ комутатор

[a, b] = a_xb_y - a_yb_x.

Овај представља обичну површину, а генералисану запремину, онога што (овде паралелограма) дати вектори разапињу. Из Ловенхеим–Сколемове теореме (Range) знамо да дедуктивне теорије прве врсте, које би описале једну једину структуру, заправо нису могуће, па је ова врста поопштавања у том смислу очекивана.

Бежање информације из стиска, због начелног минимализма, очекивано је и на овај или онај начин нужно. Управо тако посматрајмо и формални запис вањског (мешовитог) производа вектора. Његов резултат је бочни, истиснути вектор и ширење мање (генералисане) запремине у већу. Ове форме су информације већ због раније претпостављене такве структуре простора, времена и материје.

Squeezed

Питање: Имате ли пример „бочног, истиснутог“ вектора информације?

Одговор: Настављамо о горњем концепту информације. Приказ лево је електромагнетног таласа, илити светлости. Он се простире брзином c дуж апсцисе (x-осе), а елекртична па магнетна фаза се смењују смером ординате (y-осе) и апликате (z-осе) редом.

Класична физика препознаје да електрична фаза индукује магнету, магнетна затим индукује електричну и даље понављајући се. Моја теорија информације то допуњава да бајата „вест“ није више она вест те да закон одржања информације смењује ове фазе. Доследно даље, ту је „скретање истиснуте“ информације. Обратите пажњу и на смерове вектора у векторским множењима:

x × y = z,   z × x = y.

Сразмерни дејству, они описују „бочне“ појаве магнетног и електричног ефекта након претходне електричне и магнетне фазе.

Сличност овоме је у примеру деловања електро-магнетних поља (Tensors - part 2A). Видео даје опис помоћу тензора да нагласи независност појаве од избора система координата. Између редова читајући приметићете да исто тумачи и спин фотона. Као магнетно поље, које је овим „скретањем“ присиљено да кружи око електричног проводника и обрнуто, сваки пут за четврт пуног угла и целобројан спин (фотона ±1).

Следећи, четврти пример, опет је у вези са таласима светлости, као у експерименту двоструки-отвор, или таласању површине воде (сл. десно). Информатички говорећи, импулс кретања напред (x-осом) и вертикалног (y-осе) производи бочно ширење таласа (z-осом) и таласање постаје кружна појава око извора. Неодређеност таласне дужине (правца кретања) и амплитуде (вертикалног одступања) приписујем информатичкој природи таласа.

Ми смо више пута разговарали о лонгитудиналном карактеру светлости, иако „свако зна“ да је светлост трансферзална (Waves III), као и обратно, рецимо трансферзалном таласању звука, иако „се зна“ да је звук сигурно (и) лонгитудинална појава. Наиме, светлост као вертикално осциловање без импулса напред стајала би у месту, а звук само уздужан промашивао би нас тако да га не чујемо. Томе додајте знану таласну природу материје уопште, а затим и (неистражену) њену информатичку подлогу, на крају и ово векторско множење вектора.

Знамо да се интерференцијом фазе таласа сабирају сразмерно њиховим доприносима у дејству (чит. информацији), а помоћу вањског множења можемо дубље разумети дифракцију. Бочна скретања такође су некакви импулси, дејства, информације, па стога долазе у пакетима. Такви бочни притисци нису без својих „таласних дужина“ и „импулса“ као фаза које се сабирају на начин таласа.

Кретање наелектрисане честице у магнетном пољу (1.4. пример) указује да се „нешто догађа“, да је присутна још нека информација која се може мерити помоћу комутатора. У равни окомитој на јачем магнетном пољу мањи је полупречник кружења наелектрисане честице иако интензитет брзине остаје непромењен.

Stretching

Питање: Може ли бити настанак прошлости неко „пресипање“ времена у простор?

Одговор: Нема глупих питања, до глупих одговора, рекох колеги на покушај збуњивања, или само да буде духовит са овим питањем — па, пођимо у „немогућу мисију“ и покушамо нешто „паметно“ овим што предлажеш. И ево најбољег мог домета.

Може, заправо, када мало боље размислиш, што је више простора то има мање времена. Ако журиш негде и у дефициту си са временом, незгода је када ти је одредиште предалеко. За спремање веће собе са истим обимом нереда могло би ти зафалити времена, којег би у случају мањег простора имао на претек.

Јединице времена у покретном физичком систему дуже су релативном посматрачу, а јединице дужина по правцу кретања скраћују се, тако да:

\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad \Delta x = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\ \Delta x_0, \]

где индекс нула означава сопствене величине, посматрача који мирује у (покретном) систему. Трајање и дужина за сопствног су Δt₀ и Δℓ₀, док за релативног, оног који види кретање, износе Δt и Δx. Брзина кретања је v, а c ≈ 300 000 km/s је брзина светлости. Тако нас учи специјална теорија релативности. Растегнуто време је згуснут простор и обрнуто.

Слично је и у општој теорији релативности (Variations), иако су на први поглед ствари једноличног кретања и гравитационог привлачења веома различите. Имам и допуну овога у тексту о тензорима (Најмање дејство 1.6), па је у гравитационом пољу:

\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{2GM}{rc^2}}}, \quad \Delta r = \sqrt{1 - \frac{2GM}{rc^2}}\ \Delta r_0, \]

при чему је M маса планете (сунца) која привлачи тело на удаљености r центра, а G ≈ 6,67 × 10^-11 m³ kg^-1 s^-2 је гравитациона константа. Ако тело стоји на мањој удаљености од центра гравитације, време му успорава, а радијалне дужине се скраћују.

Слично је и са „пресипањем“ времена у прошлост, да се изразим као што кажеш. Попут теста које пекар развлачи, све тања садашњост оставља за собом све дужи траг прошлости, на начин да при томе укупна количина информације (догађаја) остаје непромењена. Тањећи се (осиромашујући информацијом) садашњост бива извеснија, мање засићена случајношћу и утолико споријег временског тока, али са све даљом границом видљивог свемира.

До догађаја Великог праска, са нашег становишта пре око 13,8 милијарди година, у време пре времена, када можемо рећи да су бесконачна трајања пролазила у трену, простора није било. Сви бозони могу стати у један, за разлику од фермиона који су настајали потом када се простор ширио. То удаљавање граница васиионе можемо разумети и смањивањем јединица дужина. И опет са нашег становишта, дар да видимо више прошлости — као време које нам се „пресуло“ тамо да је видимо.

Аbstractions

Питање: Да ли сам добро разумео да би „садашњост“ могла бити основа просторвремена?

Одговор: Формална подлога свег простора, времена и материје је информација, па је неизвесност, таласи, такође и садашњост. То је оно што бисмо могли извести из Ловенхеим-Сколемове теореме (в. линк слике десно). Скраћено, она каже да пребројива теорија има модел сваког кардиналног броја већег или једнаког ℵ₀. Са друге стране је неограниченост истине (Deduction II).

Отуда је тачна теорија „свачија“, а пракса је увек „нечија“. Другим речима, теорија се не да локализовати на само једну појаву, а физичка реалност пак обрнуто, увек јединствена је. Примера ради, управо речено такође је теоријска изјава, јер и истина је свачија а лаж је увек нечија. Звучи универзално и тачно, за разлику од праксе која је конкретна. Физичка природа не лаже (ако докажемо да се нешто не може десити, то се неће десити), већ само структуре које имају виталност (вишак количине опција) могу лагати.

Садашњости су носиоци неких реалности, ма шта оне биле, а које околни конкретни субјекти опажају као низања таласа, сваки на своје начине. Из овог кратког описа већ је много тога речено о типовима гледања подлога простора, времена и материје. Способност таквог (апстрактног) схватања даје нам виталност. То ће рећи, природа која следи истину и само истину, која не уме лагати, не види теорију. Али то смо већ расправили, са можда другачије стране (Surplus, 3). Теорија је и креирана и откривана појава.

Велики део стварности (никада сву) је могуће сагледати и помоћу таласа. Луј де Број (1924) је изнео замисао да, на нивоу атома, честице материје у кретању, на пример електрони, осим честичних својстава имају и таласна својства. Пилот модел таласа, установљен са Де Бројевом идејом таласног понашања честица, урадио је Шредингер (1925). Њиме је настала таласна механика која је затим прерасла у квантни формализам. Такав је наново открио Дејвид Бом (1952).

Таласне једначине су стога теоријска прича и зато су универзалне. Пре Шредингера, наравно, било је много открића, као и успешних примена таласних једначина. Толико да их је сувишно набрајати. Поменимо бар Максвелову (1862) таласну једначину светлости:

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = 0 \]

из које без губљења општости можемо избацити y и z координатне осе. Електромагнетни талас, амплитуде f у тренутку t је на месту x и креће се константном брзином c. Када је f = f(x ± ct) први као и други парцијални изводи који нису нуле су:

∂_x f = f,   ∂_t f = ±cf,     ∂_x² f = f,   ∂_t² f = c²f.

Уврштавањем налазимо да таква решава горњу (скраћену) једначину:

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = 0. \]

За математику, према томе, талас је било која функција која се креће, јер се f(x - ct) креће у десно, а f(x + ct) у лево. Такође, таласи су и периодичне форме на начин тригонометријских функција (a, b, k, ω = const.) облика решења:

f(x, t) = a cos(kx - ωt) + b sin(kx - ωt).

Међутим, таласну једначину решава и рецимо f = аx + bt, за константе a и b, па „таласи“ могу бити разна „кретања“ и сордо нам најављујући како на најнижем реду величина можда нису битни облици. Са мало одважности (креативне научне), ето и принципа неизвесности.

Оно што би нам општа „таласна теорија“ још могла рећи је неопходност времена и суптилно даље наговестити зашто имамо толике садашњости, па можда и егзистенцију случајности, али „теоријом информације“ такве тада споредне идеје постају прворазредне, пријемчивије и потпуније.

Sound

Питање: Када разматрање таласне једначине светлости престаје бивати теоријско?

Одговор: Разумео сам дилему. За почетак најкориснији одговор, у складу са горњим (Abstractions), био би у поређењу ње светлосне са истом једначином нпр. звука.

Нађите неку анонмалију, појаву где се светлост и звук различито понашају, а пошто су обе појаве физичке реалности биће много таквих. Међутим, то још увек не значи да је оно друго ствар праксе, зато што има и делом различитих теорија са заједничким елементима. То је, ипак ствар вештина генерализовања и конкретизовања и не подцењујте је, она је једна од тежих у настави математике. Ако је то одвајање икако могуће!

Мерећи Доплеров ефекат (в. линк слике) налазимо да брзина звука не зависи од брзине извора, као и у случају светлости, него само од врсте средине којом се звук простире. Одредимо апсцису x = nλ координатног система као број n таласних дужина λ, а ординату такође као пут u = ncτ који талас пређе брзином c бројећи његове периоде τ. Тада је претходна Максвелова једначина:

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 f}{\partial u^2} = 0, \]

где су опет искључене бочне координате y и z. Та једнакост парцијалних извода амплитуде f указује на симетрију ових координата. Онда можемо лако погодити да ће трансформација координата:

x̄ = γ(x - βu),   ū = γ(u - βx)

бити инваријанта једначине, када су β и γ произвољне константе. Заиста:

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial \bar{x}}\frac{\partial \bar{x}}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial \bar{u}}\frac{\partial \bar{u}}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial \bar{x}}\gamma - \frac{\partial f}{\partial \bar{u}}\gamma\beta, \] \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial \bar{x}}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\frac{\partial \bar{x}}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial \bar{u}}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\frac{\partial \bar{u}}{\partial x}, \] \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \gamma^2\frac{\partial^2 f}{\partial \bar{x}} + \gamma^2(1 - \beta)\frac{\partial^2 f}{\partial \bar{x}\bar{u}} - \gamma^2\beta \frac{\partial^2 f}{\partial \bar{u}^2}, \] \[ \frac{\partial^2 f}{\partial u^2} = \gamma^2\frac{\partial^2 f}{\partial \bar{u}} + \gamma^2(1 - \beta)\frac{\partial^2 f}{\partial \bar{u}\bar{x}} - \gamma^2\beta \frac{\partial^2 f}{\partial \bar{x}^2}. \]

До изражаја долази симетрија координата, па након смењивања у горњој једначини:

\[ 0 = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 f}{\partial u^2} = (1 + \gamma^2\beta)\left(\frac{\partial^2 f}{\partial \bar{x}^2} - \frac{\partial^2 f}{\partial \bar{u}^2}\right), \] \[ \frac{\partial^2 f}{\partial \bar{x}^2} - \frac{\partial^2 f}{\partial \bar{u}^2} = 0, \quad 1 + \gamma^2\beta \ne 0, \]

што је формално иста таласна једначина. Тачно такве су релативистичке, Лоренцове трансформације, када је β = v/c, а

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]

је тзв. Лоренцов коефицијент, где је тада c брзина светлости, а v је брзина њеног извора. Дакле, саме трансформације овде уведених координата, са бројем фаза таласа, остају у домену теорије као и таласна једначина. Где је онда та пукотина, између звука и светлости, за коју „знамо“ да постоји због конкретности тих појава?

Напомињем да се трансферзални, или релативистички Доплеров ефекат (Transverse Doppler) могао препознати и на начин уздужног простирања светлости (Squeezed), односно бочног ширења звука. Али нема потребе.

Први прави разлаз није нити у Доплеровом ефекту, јер релативистички (светлости) је скоро па једнак класичном (звука). Први налазимо путем стварних контракција дужина и дилатације времена, а други рачунајући то само као привидне опажаје посматрача. Заправо, управо је ту физичка разлика, у стварној релативној контракцији јединица дужине и споријег временског тока у случају разматрања са таласима светлости, без којег је израчунавање звука.

Етар, којим се светлост креће треперећи, заправо је сами простор-време. Сматрамо ли га неком материјалном структуром попут воде или ваздуха, уопште носиоца треперења звука, онда су сви они, етар, простор, време и материја саме теоријске фикције. За сада држимо да су они стварни, а да је ово активној физици претешка дилема схватићемо тек када сагледамо „илузију“ прошлости.

Wigner’s friend

Питање: Па коначно реците да ли је наша реалност „практична“ или је „теоријска“?

Одговор: Да би се разумело ово питање треба читати претходна два одговора. Једна од последица Геделове теореме о немогућности (ако је коректна, теорија не може бити комплетна) да свака теорија има безброј примена, а пракса је јединствена. То буквално, а важи и обрнуто, онај део „праксе“ који мултиплицирамо је теорија, а део „теорије“ који је јединствен није теорија. Слично истини и лажи, прва је неограничена за разлику од друге. Оно што је по томе несумљиво тачно, овако је поједностављено речено. А можда је и безнадежно очекивати да се сви домети Геделове логике учине истински разумљивим многима.

Да бисмо били „практични“ морамо бити коначни. И заиста, све око нас сматрамо коначним, нема бесконачности у нашим опажајима, на улици их не срећемо нити уопште, толико су нама апстрактне да само поједини помишљају да бесконачности можда постоје. Међутим, нама је дата моћ да их „видимо“, рецимо путем инфинитезималног рачуна (потенцијалну бесконачност), кроз теорију скупова и кардинале (бесконачне „бројеве“ елемената скупова).

Заправо, са становишта моје теорије информације, право чудо је како то природа успева сакривати бесконачност, а не обрнуто. А ево зашто. Пре свега, коначност опажаја следи из Борељ-Кантелијеве леме, која утврђује да у бесконачној расподели само коначно много исхода има вероватноћу један, а јединственост из Рисовог става. Мноштво је и других разлога.

Одавно доказујем и експлоатишем откриће да скупова лажи има колико и истина (Приче о информацији, 1.3 Истина или лаж). Најједноставније ово видимо из замена ⊤ → ⊥ упоредо са ⊥ → ⊤ у свим исказима. На то се надовезује сагледавање „нестварног“ као врсте „реалности“. Укратко, ти светови „нестварног“ заиста су бесконачни, а опет еквивалентни су (има их једнако много) као наших коначних. То је управо најављени парадокс „бесконачне коначности“. Како је то могуће?

Све око нас је локално и коначно, јер фали нам времена да одемо далеко, фали нам памети да мислимо дубоко, чула и нерава да опажамо пуно. То се догађа и са објектима наших комуникација, довољно да поверујемо да бесконачности и нема. Колико је то умотавање, бесконачности у коначне величине, суптилно и далекосежно видимо из квантованости појединих информација (Packages), а са друге стране ограђености свих свемирских видика (в. линк слике).

Оваква теорија информације налаже да иза хоризонта догађаја постоји бесконачна васиона, а да се бесконачности скривају и унутар квантних дејстава, али да то више не мора бити домен физике, бар не такве каква данас доминира. Један од наговештаја да ће се та физика ипак мењати можда је озбиљност којим се интересује за „Вигнеровог пријатеља“. О томе сам писао у више наврата раније (Pseudo-reality), толико да нема потребе понављати исто овде.

На крају, задовољавајући одговор на горње постављено питање могао би бити, да је наша реалност „практична“ на „теоријски“ начин, или да нам природа својим ненадмашним умећима ствара „илузије“ конкретног од апстрактног. Кажем наводне илузије, јер оне су толико добре да нама то оне заправо и нису. Коначност се реализује кроз објективну неизвесност, са неизвесношћу којој је неопходна бесконачност.

Uncertainty III

Питање: Како се то „коначност реализује кроз објективну неизвесност“?

Одговор: Шта подразумевам под „објективност неизвесности“, као немогућност познавања ефеката, препричавано је у више наврата (Uncertainty II). То је усклађено са Геделовим (нема теорије свих теорија), или Раселовим (нема скупа свих скупова) открићем.

Друго, чак и познајући све прве исходе, иста „објективност“ нам онемогућава познавање даљњих последица. То је оно што сужава свест, или моћ опажања и своди нас, па тиме и наше окружење на „практично“, у смислу нетеоријско. Додатно, ова „објективност“ постаје водиља будућих стања избором претходних.

Као код бацања коцке, када нам падне „три“ није пало „четири“, избор једне губитак је осталих могућности, а због начелне јединствености тај губитак је дефинитиван, коначан. Свет „реалног“ део је свог бескрајног окружења, али је и другачији рецимо по законима одржања (енергије, масе, импулса, информације и још неких), којег тамо нема. Бесконачан скуп се дефинише као такав који може бити свој прави подскуп, као на пример скуп природних бројева ℕ = {1, 2, 3, ...} који је прави подскуп целих ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} а оба су исте кардиналности (ℵ₀).

Хајзенбергове (1927) релације неодређености су, на пример, реализације објективне неизвесности у коначност. Најмање ћелије простора-импулса, или времена-енергије, су дејства које су дно моћи физичког мерења. Није да не можемо размишљати о мањем, али оно је доња граница откривања физички мерљивих својстава. Испод је опет „нешто“ чему требамо прићи другим „алаткама“ и о томе се ради у овој теорији информације.

Са треће је стране „страх од неизвесности“ (в. линк слике), која нас држи да не постанемо превише витални, да останемо у коначности реалности. То је аспект начелне штедње информације, или „силе вероватноће“, која се ни кроз еволуцију биолошких врста на Земљи није могла избећи. Ми смо тако добро заробљени и чувани у свим тим коначностима, да нам је скоро немогуће приметити тај затвор.

Distances II

Питање: Како тумачите простор?

Одговор: Простор-време у основи третирам помоћу метрике, првим корацима апстрактно. Бројеви ће разлика расти са неизвесношћу и када могу представљати метрику (пример 1.5, Хемингова), рашће са том „удаљеношћу“. Формално су то јаки темељи, а надградња је начело штедње информације.

Са минимализмом, да природа тежи мање информативним стањима, иде сила вероватноће, да се чешће реализују вероватнији исходи, а са тиме и „организација простора“, који доживљавамо као нешто посебно. Слична метрика иде и кроз временске димензије, те које су ван текуће садашњости и множене су имагинарним коефицијентом (i² = -1).

Слично одбојној „сили неизвесности“ замишљам одбојну „силу простора“ која све снажније „одбија“ мање вероватне реализације, које би по овом моделу били „удаљенији“ догађаји. Зато се све ређе материјална тачка из места x може појавити на месту y, што је дистанца d(x, y) већа. Тек након низа околности и примицања x₁ → x₂ → ... → y, када се, ако се, растојање смањи, повећава се шанса таквог скока (x → y). Једноставно тако, крајње је тачно, а интуитивно тек треба бити сварљиво.

За разлику од просте геометрије, наведени опис простор-времена садржи кретања догађаја (4-дим тачака) кроз различите садашњости, корачањем из прошлих ка будућим, али он се једнако добро уклапа и у ванвременске форме рецимо еуклидске. Због самих аксиома метрике, иначе изведених из класичне геометрије, нема несклада овог са уобичајеним интуитивним схватањем простора.

Gathering

Питање: Зашто гравитација тера околну супстанцу у ротацију?

Одговор: Јер је део материја која је пропала „нестала“, па гледамо како ротира око центра само оно што је остало. Али, то није све. У току пропадања супстанце ретко су јој густине околине једнаке и она се опредељује вучена већом масом. Затим се све те околине синхронизују укључујући и оне чије почетне путање нису биле усмерене ка центру гравитације.

Наводим ово „отрцано“ питање само због занимљивог теоријског дела одговора, о спонтаном груписању. Природа ће се трудити да изађе ван хомогене расподеле, када таква има максималну информацију. Према начелу минимализма информација ће некако опадати, али у складу са многострукошћу тећи ће то на различите начине, а опет доследно оној бесконачности примена теорија наспрам јединствености праксе, форма истог јављаће се у разним ситуацијама. Видите и питање „садашњости“ (Аbstractions), па погледајте и следећа два примера.

1. Рецимо да треба дати још један чвор графу, претходне слике лево, на постојеће равноправне повезнице. Црвених има осам (лево) и плавих је шест (десно), не рачунајући заједничку црну. Отуда вероватноћа да је то црвена је p = 8/15, да је она плава q = 6/15 и да буду обе r = 1/15. Постоје три наставка: P, да чвор бира црвену повезницу; Q, да бира плаву; R, да бира црну. Очигледно је највероватније бирање црвене, али хајде да ово упоредимо са начелом штедње информације.

Средња (Шенонова) информација овакве расподеле је (Логаритам):

S = -p ln p - q ln q - r ln r.

Почетно стање (S₀) и три наведена избора (S_p, S_q, S_r) имаће средњу ову информацију:

\[ S_0 = -\frac{8}{15}\ln\frac{8}{15} - \frac{6}{15}\ln\frac{6}{15} - \frac{1}{15}\ln\frac{1}{15} \approx 0,882311 \] \[ S_p = -\frac{9}{16}\ln\frac{9}{16} - \frac{6}{16}\ln\frac{6}{16} - \frac{1}{16}\ln\frac{1}{16} \approx 0,864740 \] \[ S_q = -\frac{8}{16}\ln\frac{8}{16} - \frac{7}{16}\ln\frac{7}{16} - \frac{1}{16}\ln\frac{1}{16} \approx 0,881532 \] \[ S_r = -\frac{8}{16}\ln\frac{8}{16} - \frac{6}{16}\ln\frac{6}{16} - \frac{2}{16}\ln\frac{2}{16} \approx 0,974315 \]

Као што је и очекивано, најмања средња информација је S_p. То што ова теорија предвиђа у пракси се и догађа. Компјутерске мреже, далеководи, раскрснице путева, спонтано граде чворишта са све више равноправних повезница наспрам чворова са мало њих. Неки имају пуно познанстава, улога у филму, научних радова и слично, а многи мало. Бестселери нису тако чести као мање успешна издања, када су купци равноправни. Опет, са слободним протоком новца, роба и услуга, неки (чворови) биће већи имаоци тога од многих осталих.

Равноправност повезница води у неравноправност чворова. То је начело штедње информације, а зарад ефикасности мреже њених токова. Отуда правило шест корака раздвајања, које би постало седам или осам корака када би број људи на планети био много већи, односно пет или четири са мањим бројем чворова равноправних повезница. Математичка теорија мрежа бави се проценом ових оптимума.

2. Други пример је коцкарска игра. Два опонента бацају новчић заредом, или одлучују на неки, али увек исти начин, сваки пут са вероватноћом p, рецимо p = 1/2, да ће први добити 10 новчаних јединица од другог, значи да ће други са вероватноћом q = 1 - p, речених q = 1/2, добити такав износ новца од првог. Када су шансе пола-пола чини се да игра може трајати у недоглед са пата-пата зарадом.

Међутим, ако играчи немају исту почетну залиху новца, побеђиваће онај који има више. Наиме, дешава се низ од n = 1, 2, 3, ... узастопних победа првог са вероватноћом pⁿ, или исти са вероватноћом qⁿ победа другог, а то је у случају n = 10 и фер игре вероватноће 2^-10 = 1/1024. Игра случаја је таква да се морају догађати и такви, па и мање вероватни исходи, који ће пре исцрпити почетну залиху играча који је новца имао мање.

Када ту игру игра против касина, који од сваког играча има више новца, онда тај обавезно губи све, осим ако у неком тренутку пре краја прекине игру. Играч је зарадио ако прекида у тренутку када добија, али коцкари то нерадо чине, јер им то страст не дозвољава. Тако коцкарнице стално зарађују, јер неће баш увек сви играчи губити сав новац, што би им била лоша реклама, нити сви коцкари прекидају игру када добијају.

3. На свој начин, сваки од оваквих примера говори нам како природа не воли једнакост. Случај кружења материје око центра гравитације остаје као разблаживање и избегавање једнолике празнине око центра. Мрежа чворова никада не остаје са једним чвором и свим повезницама наспрам свих осталих чворова са по једном, јер би тиме настајала равноправност оних осталих. Међутим, разложно, објашњењем (1) како се граф развија, видимо на бољи начин зашто се та екстремна ефикасност не догађа.

Неће се десити да један познаје све, а сви остали само њега, или да једна једина књига у свету има прођу, нити да само један власник поседује сав могући новац а други ништа. Свака од тих екстремних ситуација може се објашњавати на себи специфичне начине, што је заправо наново потврда суптилне, интуицији тешко прихватљиве појаве, да „природа не подноси једнакост“.

Compression

Питање: Да ли је могуће „стискање“ информација?

Одговор: Да, наравно, стално се то дешава гравитационом пољу, на пример. Размотримо како па потражимо генерализацију. Ако је то добра идеја, једнака форма јављаће се у наизглед невезаним ситуацијама.

Информација и неизвесности у суштини су простора, времена и материје. То је претпоставка ове теорије. Улазећи у гравитационо поље, честице му уносе своје опције које се пригушују сходно начелу штедње информације, али својом количином опстају због закона одржања. Супстанца се хлади и кристализује, смањује осцилације својих честица одричући се агресивних избора. Ти или други начини, који преводе супстанцу у режим смањења емисије информације, почесто делују попут смањења шума Марковљевог ланца.

Потиснута информација стиском достиже ниво не-емитовања којег прво није могла имати и нерадо га се одриче, опет према начелној штедњи, а стога изгледа као средина са мањом информацијом. Таква је привлачна. Дешава се апсурдна ситуација, да се гравитационо поље лажном сликом придошлицама јавља као привлачно место. Релативном посматрачу оно је објективност такво, укључујући успорен ток времена који је, то знамо од раније, гравитационо привлачан. Мање информације, мање догађаја, успорен ток физичког времена.

Приметимо да овом теоријом привлачност мање емисије информације и споријег тока времена сводимо на исто. Једнако је са „губитком“ поруке проласком ланцем Маркова, када она не нестаје него је загушена шумом мање читљива. У оба случаја начело минимализма самог себе побеђује.

Даљим гомилањем, информација гравитационог поља биваће истиснута у друга времена. Још увек држи ми воду хипотеза (од бар деценију пре, из ове теорије) да је „тамна материја“ управо то, гравитација некадашње на садашњу масу. Са друге стране, назовимо бочне, тако стегнути вишкови реалне су опције, и учествоваће више у паралелним временима. Они не само да успоравају у свом времену, већ везујући се и вукући у околоним, прво, иду ка некој „комуникацији“ паралелних реалности и, друго, том везом указују на додатну природу масе и инерције.

Још даљим гомилањем, када центар гравитације постане „црна рупа“, он престаје да емитује чак и светлост, али не попушта његова привлачност другим масама, напротив. Дакле, тог „стискања“ информације има, оно не противречи „минимализму“, штавише, њиме се храни.

Choices

Питање: Како то да опције „комуницирају и везују“ масу или инерцију?

Одговор: Не само метафорички, него је рецимо псеудо-реално да вишак опција углавном поседује више неизвесности коју у случају исхода може предавати као већу информацију. На пример, коцка са шест опција са неизвесношћу ln 6 ≈ 1,79 предаваће исто толику информацију са сваким могућим исходом, за разлику од новчића мање неизвесности ln 2 ≈ 0,69.

Са више опција више је недоумица и, у том значењу, одговорност бирања је већа (в. линк слике). Кажемо „тежа“ је одлука, али то ни тада није само метафорички. То нарочито када прихватамо да већа виталност долази са опцијама, а са њоме лукавост, додатна способност деловања и другачији утицаји на околину. Мање животном избори и деловања су теже бреме, а то само по себи значи да су избори мука коју можемо или не подносити.

Држећи се голе мртве природе, на системе са више опција гледамо као на неко веће удружење, а такво због закона одржања, њихове адитивности (килограм плус килограм су два килограма), носи више много чега. Ако делови имају ма и најмање масе, њихово мноштво може је имати много у збиру. Слично је са инерцијом, енергијом, дејством, или информацијом. Међутим, ова теорија подразумева објективност неизвесности, па онда и реалност (тежину) сличних дилема.

Чешће исходе вероватнијих случајних догађаја интерпретирамо „силом вероватноће“ и, као што се види у том мом прилогу, проналазимо форме са јаким аналогијама у Кеплеровим, Њутновим и Кулоновим законима. Даље ту „силу“ видимо у посебним моћима живих бића над неживим, а нарочито у играма на победу и другим специфичностима „виталности“. Мртва природа не познаје лаж, нити игре на победу, па су јој непознате манипулације политике, књижевности, као и друге фикције без којих и математика не може (Surplus, 3).

Ова „сила неизвесности“ додатак је умећу играча без које се стратегија не може одвојити од најниже лиге, тзв. „добрица“, или њеног најдоњег дна које лежи на „принципу најмањег дејства“. Те потенцијалне моћи вежу и живу и неживу твар, са распоном од нестварног до стварног дества.

Наглашавам, онај разлог који ће врхунску игру, умеће „злоћа“, издизати изнад „манипулатора“ (средње, друге лиге) управо је суптилна мешавина рационалног и фиктивног какву открисмо у случају математике. Нема ни доказа без лажи (не само контрадикцијом), нити разумевања истине, па онда ни најјаче игре, тих прве лиге.

У питању је алузија на делове одговора о „стискању“ опција гравитацијом у којем оне, остају маскиране и без могућности да заиста нестану, постају развучене са јачим везама са широм, додатном околином. Али, понешто из одговора значајно је за ширу слику као и сами ти детаљи.

Јуни 2024 (English ≽)