Октобар 2024 (English ≽)

Standard Space » eng

Питање: Да ли постоје различити начини задавања „дужина“ вектора и шта радите са таквима?

Одговор: Сва таква премеравања полазишта имају из стандардних векторских простора. То је врста која се учи у средњој школи. Она додавањем, на пример, седам на три дужине даје десет јединица дужине, што се зове линеарност, а тиме износи најкраћу путању.

У стандардном простору, мера удаљености одговара обичној Питагориној теореми. Тако је тачка R(x, y) удаљена од исходишта O(0, 0) правоуглог Декартовог система координата удаљена:

\[ r = |\vec{r}| = |(x, y)| = \sqrt{x^2 + y^2} = c. \]

Доследно скаларни производ за фиксирано P(a, b) је:

\[ f(x,y) = \vec{p}\cdot\vec{r} = (a, b) \cdot (x, y) = ax + by. \]

Овај збир производа (f), који у случају када су координате одговарајуће информације, је „информација перцепције“.

Максимум овакве функције налазимо, рецимо, диференцирањем, затим изједначавањем извода са нулом:

\[ \frac{df}{dx} = (ax + by)'_x = \left(ax + b\sqrt{c^2 - x^2}\right)_x' = a - \frac{bx}{\sqrt{c^2 - x^2}} = 0, \] \[ x_0 = \frac{ac}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad y_0 = \frac{bc}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \]

Када су ови вектори паралелни (a, b)∥(x, y), биће x = λa и y = λb. Стога је, уврштавањем пропорције и у горњу тачку, c² = λ²(a² + b²).

На слици горе десно је граф функције f = 3x + 4y услова x² + y² = 5², око максимума (x₀, y₀) = (3, 4). Ту је λ = 1 и max f(3, 4) = 25. Видимо како се f драматично повећава ка својој максималној вредности, f → max f, док се апсциса приближава нули извода, x → x₀.

У случају одговарајуће интерпретације, већи скаларни производ значиће већу информацију перцепције. Када множени вектори представљају две стране у некој игри, онда већи производ значи већу виталност игре, што интерпретирамо већим мајсторством. Жива бића се понашају противећи се принципа мањег дејства, из којег је теоријска физика до данас извела све своје трајекторије, па се мртва супстанца понаша тако да ће спонтано избегавати овакве максимуме.

Linearity » eng

Питање: Где је „квантна суперпозиција“ у интензитетима вектора?

Одговор: Када квантни систем дозвољава стања ψ₁ и ψ₂, онда такав систем дозвољена и сваку њихову линеарну комбинацију:

ψ = α₁ψ₁ + α₂ψ₂,
|ψ⟩ = α₁|ψ₁⟩ + α₂|ψ₂⟩.

Овај други начин записа истог, помоћу Диракових бра-кет заграда, уобичајен је у квантној физици. То видимо у случају „Шредингерове мачке“ која у кутији (преувеличавана симулација квантног система) може бити истовремено и жива и мртва све до отварања кутије и изјашњења. Када претходна неизвесност стања мачке (ψ₁ - жива, ψ₂ - мртва мачка) емитује информацију, у кутији остаје већа извесност. То називамо колапсом суперпозиције у један од могућих исхода.

На слици, горе лево, је и линк који слично појашњава. Оно што је битно у том концепту, структуре квантне суперпозиције, је објективност утапања. Ми поједине елементе квантне суперпозиције не можемо разликовати на било које начине. Они нису индивидуе све до емисије неке информације, која једина може повећати извесност своје структуре. Поред ове, прве од важних напомена, важна је и следећа.

Становиште је моје теорије информације да мора постојати нека принуда да би суперпозиција колабирала у једну од могућности. Ово је последица начелног „чешћег дешавања вероватнијих исхода“, односно „спонтаности развоја стања у мање информативна“ (минимализам). Та „принуда“ је у процесу мерења, интеракција са мерним уређајима. Физичка стања своје информације исијавају неспонтано, а са друге стране и немају избора, јер бајатих вести нема, а основа су простора, времена и материје.

Бела светлост је суперпозиција више боја, различитих таласних дужина. Комплементарне боје су парови који помешани једна другу поништавају, губе боју и дају сиву нијансу неку између беле и црне. Када су постављене једна поред друге, комплементарне боје стварају најјачи контраст те две боје. Оне се такође називају „супротним бојама“. Ако се из беле светлости издвоји, рецимо, црвена остаје њој супротна зелена, или када се издвоји плава остаје наранџаста, изостављањем жуте остаје љубичаста.

Призма, средина различитих брзина електромагнетних таласа, раздваја спектар боја беле светлости. Те таласе видимо ако су им таласне дужине између 400 и 700 нано метара. Бела светлост је интерференција 7 боја: љубичасте, индиго, плаве, зелене, жуте, наранџасте и црвене. Најмање таласне дужине 400 nm је црвена боја, а највеће 700 nm је љубичаста. Оне се могу сабирати и другачије:

ψ = α₁ψ₁ + α₂ψ₂ + ... + α₇ψ₇,
f(x) = a₁sin(λ₁x + b₁) + a₂sin(λ₂x + b₂) + ... + a₇sin(λ₇x + b₇).

Овај други начин записивања истог, са тригонометријским функцијама, обичај је таласне механике. Амплитуде појединих таласа су a_k, док су λ_k таласне дужине, а b_k фазни помаци (k = 1, 2, ..., 7). Међутим, та линеарна комбинација светлости различитих таласних дужина класичне механике није „објективна суперпозиција“ какву познаје квантна механика. Она је овде само згодан пример, приближан опис квантне појаве.

Знамо да фазни помак синусну функцију претвара у косинусну. Тако их, због линеарности, можемо сабирати у експоненцијалну функцију, па и у решење Шредингерове једначине за, на пример, слободну честицу:

\[ \psi(\textbf{r}, t) = A e^{i(\textbf{p}\cdot \textbf{r} - Et)/\hbar}, \quad \psi^*(\textbf{r}, t) = A^* e^{-i(\textbf{p}\cdot \textbf{r} - Et)/\hbar} \]

где је r = (x, y, z) положај тренутка t, импулса p = (p_x, p_y, p_z) и енергије E дате честице. Амплитуда њеног таласа је A. Имагинарна јединица i² = -1, а ℏ = h/2π је Планкова редукована константа. Коњуговано комплексан ψ је број ψ^*. Више оваквих може чинити суперпозицију сабирајући се као у случају претходних формула.

Када овакве честице-таласе представљамо у ортонормираним системима вектора, квантних стања, онда је њихов интензитет скаларни производ:

ψ₁^*ψ₁ + ψ₂^*ψ₂ + ... + ψ_n^*ψ_n = 1,

A₁^*A₁ + A₂^*A₂ + ... + A_n^*A_n = 1,

одакле закључак да су квадрати модула амплитуда |A_k|² = A_k^*A_k, индекса k = 1,2, ..., n, вероватноће расподеле садржане у суперпозицији. Коректан доказ погледајте у књизи Квантна Механика (1.1.6 Борнов закон). Један њен исход издвојен, када суперпозиција колабира у неко од датих стања, смањиће неизвесност целине и учинити остатак додефинисаним, остаће извеснији. Тако се, рецимо, ствара путања електрона његовим мерењем.

Укратко, квантну суперпозицију видимо као расподелу вероватноћа, ако су квантна стања интерпретације ортонормираних вектора, при чему су вероватноће појединих исхода квадрати модула амплитуда.

Impossibility » eng

Питање: Шта „објективну суперпозицију“ чини другачијом од линеарне комбинације светлости разних таласних дужина класичне механике?

Одговор: Квантна суперпозиција удружује форме интерференције, расподеле вероватноће, релација неодређености, а „објективна“ је због овог трећег.

Хајзенберг (1927) је међу првима приметио принцип неизвесности тражећи начине да одреди тачан положај као и импулс електрона користећи светлости различитих таласних дужина. Да би тачније био лоциран положај, потребна нам је светлост краћих таласних дужина. Међутим, таква доноси већу енергију у судар са електроном чиме увећава неодређеност његовог излазног импулса. Што више закуцавамо положај честице, то мање знамо о њеној брзини. Показује се да је ред величина те две помножене недређености реда величине Планкове константе, кванта дејства.

Наиме, производ таласне дужине λ и фреквенције светлости ν = 1/τ, где је τ период осциловања, је брзина светлости c = λν. Позната нам је енергија светлости E = hν, где је h Планкова константа, такође mc² = hc/λ, а отуда и импулс фотона p = mc = h/λ. Да такав заиста постоји и износи оволико рутински се данас проверава помоћу притиска фотона на разне препреке. Светлост гура предмете.

Стављајући за неодређености положаја и импулса Δx = λ и Δp = h/λ, биће Δx Δp = h. То је груба процена неједнакости Δx Δp ≥ h/4π која представља принцип неодређености. Што тачније сазнамо место честице-таласа, што је мање Δx, толико пута је веће Δp, неодређеност њеног импулса. Слично се „стиска“ резолуција поједине слике филма са резолуцијом тока, бројем фрејмова у секунди, на запису видеа. Тако откривамо немогућност ширег знања и потребу за одрицањем од дела да би сазнали нешто друго.

Слика, горе десно, показује да ће мањи отвор Š одређивати бољи положај честице-таласа (дуж ординате y), али нејаснији њен импулс на заслону S. Линк на тој слици упутиће вас на њена додатна објашњења. То што важи за микро-свет и квантну суперпозицију све ређе налазимо у макро-свету и посебно у класичној механици. Неизвесности постају извесности путем закона великих бројева теорије вероватноће.

Неодређеност процеса положаја \( \hat{x}\psi = x\psi \) и импулса \( \hat{p}\psi = p\psi \) оператора одређеног својственим величинама (Eigenvector) налазимо у облику:

\[ [\hat{x}, \hat{p}]\psi = (\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})\psi = i\hbar \psi, \]

из чега за комутатор следи \( |[\hat{x}, \hat{p}]| \ge \hbar \ge h/4\pi \). Такав можемо сматрати и информацијом. У Квантној Механици (1.4.4 Принцип неодређености) је још неколико занимљивих начина извођења ових релација, тј. принципа неодређености. Радио сам је као скрипту за приватну употребу и баш зато је текст темељито прегледан и поуздан. Различити докази требали би нас уверити у принципијелност неодређености, уместо у порекло ограничења насталих из самих (погрешних) метода мерења.

surface III » eng

Питање: Комутатор је информација и површина, док је збир производа информација перцепције и интензитет. Можете ли навести примере?

Одговор: Лево видимо плаве боје граф функције f = f(t) са црвеним што мањим Δg(t) = g(t') - g(t''). Те дужи су паралелне ординати, оси y, па њихов производ f⋅Δg → 0 не представља површину издвајану линијама графа.

У граничном случају ово су инфинитезимални производи, dS = f⋅dg, који сабирани од a до b места апсцисе (t-осе) дају збир производа, интеграл:

\[ S = \int_{t=a}^b f(t)\ dg(t). \]

У мом прилогу из функционалне анализе (4.4. Став) наћи ћете да је овако записиван интеграл ограничена линеарна функционела простора C[a, b], сменом x → f, где је g(t) функција ограничене варијације на домену [a, b]. Такође, тамо су објашњења ових појмова и докази. Што је такав интеграл већи, већа је информација перцепције, а веће вредности су и комутатори који би њеној интерпретацији одговарали.

Приметимо да промена црвене функције за константну вредност не мења њене разлике; када g → g + c остају исте Δg. Како тачкe t₁ = a, t₂, ..., t_n = b апсцисе дају ординате f_k = f(t_k) и g_k = g(t_k) тако да је f_k = g_k + y_k, са неким прираштајима y_k, редом за k = 1, 2, ..., n-1, то је горњи збир приближно:

\[ S_n = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{f_{k+1} + f_k}{2}(g_{k+1} - g_k) = \] \[ = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(g_{k+1} + g_k) + (y_{k+1} + y_k)}{2}(g_{k+1} - g_k) \] \[ = \sum_{k=1}^{n-1} \frac12(g_{k+1}^2 - g_k^2) + \sum_{k=1}^n \frac{y_{k+1} + y_k}{2} (g_{k+1} - g_k) \] \[ = \frac12(g^2_b - g^2_a) + \mu_y \sum_{k=1}^{n-1} (g_{k+1} - g_k) \]

где је μ_y нека средња вредност средина μ_k = (y_k+1 + y_k)/2. Даље сабирамо:

\[ S_n = \frac12(g_b^2 - g_a^2) + \mu_y(g_b - g_a) \] \[ = (g_b - g_a)\left(\frac{g_b + g_a}{2} + \mu_y\right), \]

S_n = (g_b - g_a)(μ_g + μ_y),

где је μ_g средња вредност укупне функције g(t) на интервалу t ∈ (a, b), док је μ_y средња вредност одступања функције f од g у датим тачкама. Ознаке су g_b = g(b) и g_a = g(a). Лако је разумети да се овај (приближни) резултат не мења битно уситњавањем поделе, тада S_n → S када n → ∞.

Иначе, „норма“ је позитивна, хомогена и најкраћа мера „дужине“ (∥x∥, тј. интензитета) вектора, а из ње се изводи „метрика“ као удаљеност између два вектора d(x, y) = ∥x - y∥. Затим, у различитим метричким просторима дефинишемо различите (1.11. Примери) норме. Овде поменута C[a, b] је узимање за ∥x∥ максималне вредности |x(t)| из датог интервала, a ≤ t ≤ b. Потом је горња функционела чија интерпретација је збир производа као и информација перцепције.

1. Пример. Простор C[a, b] можемо посматрати у оквиру (одиграних и неодиграних) тениских игара уопште и тениских турнира. Задржавање играча на првом месту АТП листе (појединачно) је „интензитет“ играча.

Тако је, за период t од 1973. до 2024. године, Новак Ђоковић норме 428 седмица, Роџер Федерер 310 седмица, Пит Сампрас 286, Иван Лендл са 270 итд. у опадајућим вредностима до 29. тенисера Патрика Рафтера са само једном седмицом на првом месту. Иза њега налазе се веома бројни играчи z који нису имали успеха, чији интензитет је ∥z∥ = 0.

Удаљеност од првог (∥x∥ = 428) до другог (∥y∥ = 310) може се узети проста апсолутна разлика норми d(x, y) = |428 - 310| = 118, али и d(x, y) = ∥x - y∥. Ова друга је максимална разлика израчуната од седмице до седмице и са истим је резултатом. □

Незванични мечеви овог примера ирелевантни су за ову норму C[a, b], иначе формално гледано коректно дефинисану. Сви играчи испод 29. тенисера су нула-норме и чине нула-простор, чак иако су неки од њих можда и побеђивали најбоље.

2. Пример. Простор C[a, b] посматрамо као географска места на земљи, са „интензитетима“ тачака максималним температурама током извесног периода (a, b). Може се десити, рецимо у некој пустињи, да максимална температура буде веома висока (72°C), иако у току ноћи исте координате могу имати веома ниске температуре, рецимо испод температура икада неких умерених средина. Свеједно, норме одређене максимумима добро су дефинисане.

Приметимо да „удаљеност“ ових места, сада једнака апсолутној разлици њихових „интензитета“, нема везе са даљинама у метрима. Штавише, да нулте „дужине“ тачке (или вектори) могу бити свукуда, не у само једном исходишту уобичајеног просторног система координата. Ови вектори са нултим дужинама су нула-простор (2. Домени) када Tx = 0 схватимо као пресликавање T вектора-места x у његову максималну температуру. □

Метрички простори примера нити су Банахови, нити гарантују функцију ограничене варијације ни егзистенцију горњег интеграла, али помажу у разумевању. У првом примеру, ако информацију перцепције замислимо као сусрет два тима уређених низова тенисера, одговарајућим узајамних такмичара, онда је збир производа интензитета тих играча већи уколико јачи играч прве екипе игра против јачег друге и слабији против слабијег. Квалитет турнира тада је бољи, са становишта мајсторства, виталности одиграних партија.

У другом примеру аналогно већи скор збира производа значи упоредно посматрање парова топлијих са топлијим као и хладнијих са хладнијим местима, два низа одабраних позиција на земљи. Таква поређења скала температура информативнија су за проучавање климе на земљи од како било упоређивања. У оба примера, када је распон вектора екипа, низова играча, мањи они разапињу мању површину и дају већи збир производа, односно информацију перцепције. Обрнуто, одговарајући комутатори би давали већи резултат.

Volume II » eng

Питање: Имате ли пример запремине „информације перцепције“?

Одговор: На „површину“ иначе гледамо као на, 2-дим, посебан случај „запремине“. На пример, на слици десно, нацртан је граф функције f = f(t) по доњој равни (Otf), поред графа g = g(t) бочно лево (Otg). Такви су замишљене пројекције површи чије се тачке могу пројектовати и на удаљену (Ofg) раван. То је слика површи, рецимо, z = z(x, y) у правоуглом Декартовом 3-димензионалном (Oxyz) систему координата.

Приметимо да за фиксирану апсцису, овде t-осу, ова површ у равни Otg представља криву линију која дефинише неку површину испод себе до ординате (f-осе). Елиминишемо ли константно t = t₀ из датих једначина површи, можемо добити g = g(f), непосредну зависност две функције. То је ствар елементарне математике.

Међутим, множећи такво g са f дефинишемо површине сваког посебног фиксираног t₀. Постепено мењајући константе, од t = a до t = b, добијамо запремину, интеграл (4.6. Став):

\[ V = \int_a^b f(t)g(t)\ dt. \]

Ово V је ограничена линеарна функционела на простору L_p(a, b), где је параметар 1 < p < ∞, са функцијом f ∈ L_q(a, b), параметра 1/p + 1/q = 1, и норме ∥V∥ = ∥f∥_Lq. Функционелом V ∈ L_p функција f ∈ L_q једнозначно је одређена.

Норма L_p(a, b), параметра p > 1 и домена (a, b) непрекидне променљиве t, о којој се овде ради, дефинише „интензитет“ вектора, тј. интеграбилне функције x = x(t) са:

\[ \|x\| = \left(\int_a^b |x(t)|^p\ dt\right)^{1/p}. \]

Само у случају p = 2 ово је „нормална“, уобичајена геометријска дужина, када се интегрирање користи као сабирање. Она је опет врста метричких простора (L^p space) у које спада и претходни (Surface III), јер је:

\[ \lim_{p \to \infty} \left(a_1^p + a_2^p + ... + a_n^p \right)^{1/p} = \max_{1\le k \le n} \{a_k \} \]

Тако се норма L_p(a, b) своди на норму C[a, b] када p → ∞. За „растојање“ од вектора (тачке, функције) x до y може се често узети d(x, y) = ∥x - y∥, а тада је у овом случају:

\[ d(x,y) = \left( \int_a^b |x(t) - y(t)|^p\ dt\right)^{1/p}. \]

Лако је проверити да функција d задовољава услове за метрику. Таквом метричком простору, претходно V врста је линеарне функционеле, чиме и „информације перцепције“. Наравно, има и других примера запремине „информације перцепције“, ако не и ређих или занимљивијих.

Lp spaces » eng

Питање: Зашто је тај алтернативни метрички простор L_p уопште важан?

Одговор: Тај L_p, где је p ≥ 1, није „алтернативан“ случај простора функција него је шири концепт. Други, такође и нама познатији, метрички простори изузетни су избори L_p појединих вредности параметра p.

Елементи простора L_p(a, b) су функције f(x) конвергентних интеграла:

\[ \int_a^b |f(x)|^p \ dx \lt \infty, \quad p \ge 1. \]

1. Пример. Свака је ограничена функција на [0, 1] аутоматски на L_p(0, 1) за сваку вредност p. Али, могуће је да p-норма мерљиве функције на [0, 1] буде бесконачна. Пре свега, то је функција f(x) = 1/x за p = 1, наиме:

\[ \int_a^b |f(x)|^p\ dx = \lim_{a \to 0^+}\int_a^1 \frac{1}{x}\ dx = \lim_{a \to 0^+} \left. \ln x \right|_a^1 = \infty, \]

па f није L₁. Она има вертикалну асимптоту у тачки x = 0. □

2. Пример. Функција f(x) = 1/√x на [0, 1] има вертикалну асимптоту, али ипак нема бесконачну 1-норму. Наиме:

\[ \lim_{a \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}} = \infty, \quad \lim_{a \to 0^+} \int_a^1 \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{a \to 0^+} \left. 2\sqrt{x}\right|_a^1 = 2, \]

па f ∈ L₁. □

3. Пример. Уопште, на интервалима интегрирања (0, 1) је:

\[ \lim_{a \to 0^+} \int_a^1 \frac{dx}{x^r} = \begin{cases} \infty, & r \ge 1 \\ \frac{1}{1-r}, & r \lt 1 \end{cases} \]

Отуда, функција f(x) = 1/x^r ∈ L_p ако и само ако pr < 1, тј. p < 1/r. □

4. Пример. Међутим, на интервалима интегрирања (1, ∞) је:

\[ \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{dx}{x^r} = \begin{cases} \frac{1}{r-1}, & r \gt 1 \\ \infty, & r \le 1 \end{cases} \]

Па функција f(x) = 1/x^r ∈ L_p ако и само ако pr > 1, тј. p > 1/r. □

За сложеније функције f ∈ L_p ови налази конвергенције око вертикалних и хоризонталних асимптота су, углавном, сложенији, а ови примери тада добијају на значају. На претходној слици лево, су примери кружница као функција простора L_p са различитим вредностима параметра p. Линк на ту слику води ка још неким посебним особинама ових општих простора.

5. Тачке простора L_p(a, b) су интеграбилне функције f(t) чије p-норме или p-интензитети се дефинишу интегралом:

\[ \|f\|_p = \left(\int_a^b |f(t)|^p \ dt \right)^{1/p}. \]

На основу тога се могу дефинисати и метрике или „удаљености“ између двеју „тачака“ са d_p(f₁, f₂) = ∥f₁ - f₂∥_p. Посебна је норма ∥f∥_∞ којa се назива суштински супремум (essential supremum) функције f. Посебне варијанте ових простора су ℓ_p који се односе на бесконачне, у смислу следеће норме, конвергентне низове бројева x = (ξ₁, ξ₂, ξ₃, ...):

\[ \|x\|_p = \left(\sum_{k=1}^{\infty} |\xi_k|^p \right)^{1/p} \lt \infty. \]

Овако опште третиране, ове просторе називамо и Лебеговим просторима. Они су нарочито важни у теорији вероватноће.

6. За дато p > 1 простора L_p(a, b) постоји функционела V : L_p → ℝ која ће произвољну тачку, функцију f ∈ L_p, пресликати у неки број (Volume II). Исти став даље утврђује, да за сваку функционелу V постоји јединствена функција g ∈ L_q, истог домена (a, b) али q-норме такве да је 1/p + 1/q = 1. Функционеле интерпретирамо информацијом перцепције, па та теорема значи да је опажање сваког субјекта јединствено.

Овакве две, p-норма и q-норма, када је 1 ≤ p ≤ ∞ и 1/p + 1/q = 1, називамо дуалним експонентима. На пример, експоненту p = 1 дуалан експонент је q = ∞ и обрнуто. Експоненту p = 2 дуалан је q = 2. Експоненту 3 дуалан је 3/2 и обрнуто, експоненту 3/2 дуалан је 3.

7. Став. За наведене дуале, 1/p + 1/q = 1, важи Јунгова неједнакост:

\[ ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}, \]

за све a, b ≥ 0 и 1 < p < ∞.

Доказ: Фиксирамо b и дефинишимо функцију:

\[ f(x) = \frac{x^p}{p} + \frac{b^q}{q} - xb, \] \[ f'(x) = x^{p-1} - b. \]

Из извода функције видимо да је она опадајућа на интервалу (0, b^1/(p-1)), а растућа на интервалу (b^1/(p-1), ∞). Стога је њен минимум у стационарној тачки x = b^1/(p-1). Отуда f(x) ≥ 0 за све x ∈ (0, ∞), а то тврди став. ∎

Помоћу ове се могу доказивати посебне неједнакости, веома корисне за функционалну анализу, теорију вероватноће, па и теорију информације. Ту су често помињана Шварцова неједнакост, Холдерова неједнакост и неједнакост Минковског, са доказима. На пример, последица Холдерове неједнакости је неједнакост норми различитих експонената:

∥f∥_p ≤ ∥f∥_r   <=>   0 < r < p.

Повећањем експонента p простора L_p смањују се интензитети ∥f∥_p њених функција, али се смањују и растојања између њих d_p(f, g) = ∥f - g∥_p. Већи експоненти функционеле V : L_p → ℝ биваће одређивани интензивнијим генераторима g ∈ L_q дуалног простора. Потребно је више виталности за опажање мање виталности.

Vitality » eng

Питање: Зашто „треба више виталности за опажање мање виталности“?

Одговор: То је завршна реченица последњег прилога. Интеракција је увек „комуникација“, односно размена неких „информација“, а њих представљају функционеле. Тај прилог (Lp spaces, 6) помиње векторски простор L_p норме која користи експоненте p ≥ 1, чије ће векторе, њене функционеле, као што је V, пресликавати у бројеве.

Међутим, вектори су и линеарни оператори, тамо (L_p) и тачке метричког простора, затим уопште функције. Репрезентације вектора су квантна, па и уопште стања система, а ово иде све до информације перцепције која је репрезентација функцинеле. Сама информација објекта, у том простору, представљена је функцијом f = f(t), коју можемо разумети као процес око неких субјеката. Теорема даље каже да је спрега, комуникација појединог субјекта g = g(t) са околином, а иначе информација перцепције субјекта и објекта — јединствена.

Свако линеарно пресликавање (V, функционела), стања (f) у бројеве, има јединствен субјекат (g) тако да се оно може записати горњим интегралом (V = ∫ fg dt) у датом интервалу. При томе, копирана (f) су стања p-норме интеракцијом субјеката (g) дуалне q-норме, за које важи 1/p + 1/q = 1. Из услова видимо да веће p даје мање q и обрнуто. Већој p-норми објекта ће одговарати мања q-норма јединственог субјекта и обрнуто.

Такође важи и обрнуто, мањем експоненту p околине (мере L_p) одговара већи дуални експонент q субјекта (мере L_q) јединственог по опажању. То као и раст „количине опажања“ са „количином опција“ (информацијом) учесника опажања упоредимо са (p-норма):

∥f∥_p ≤ ∥f∥_r   <=>   0 < r < p.

Ове неједнакости кажу да већим експонентима p, простора L_p, припадају мање p-норме тачака. То су мање норме процеса f, односно смањене мере „интензитета информације“. Такође, говоримо о присутним количинама неизвесности датих објекта, односно о моћима опажања датих субјеката. Мањим интензитетима околина ∥f∥_p потребни су већи интензитети ∥g∥_q јединствених посматрача (генератора g). Са друге стране, ово је опет на свој начин логично.

Наиме, виталност је вишак који систем (живо биће) поседује у односу на просту физичку супстанцу (неживу твар). Горња запажања важиће и ако је „количина опција“ датог система (субјекта) већа од минималног, када такав не мора следити принцип најмањег дејства физике. То тада, поред осталог, може лагати. Спознали смо одавно (Нестварно) да нема открића математике без лажи (не само методом контрадикције), или разумевања физичке реалности (истине и саме истине) без тог вишка, тј. виталности.

Није могуће доказати нетачност нечега физички стварног, а то је оно што следи принцип најмањег дества, што нема даљњих опција. Виталност му додаје моћ бирања и лагања, што значи да мртва физичка твар не позна саму себе. Другим речима, потребна је виталност да би спознала одсуство виталности. Биљке и примитивније животиње нису свесне себе и поново налазимо да треба више виталности да се спозна мање виталности. Исто, треба више виталности за опажање мање (количине) виталности.

Basis II » eng

Питање: Како то да је произвољна интеграбилна функција f(t) вектор?

Одговор: Настављамо разговор о функционелама (Lp spaces). Сада обратите пажњу на слику лево и вектор:

\[ \overrightarrow{OT} = a_1\vec{b}_1 + a_2\vec{b}_2 + a_3\vec{b}_3 \]

чије базне векторе означавамо масним словима (bold). За базе можемо узимати којешта, само ако задовољавају аксиоме ових векторских простора, а то је могућност (линеарног) надовезивања.

Надовезујући a₁ пута базни вектор b₁, па настављајући a₂ пута са базним вектором b₂, затим a₃ пута са b₃, из исходишта O координатног система стижемо до тачке T. Линеарна независност базних вектора b₁, b₂ и b₃ је заправо разлог да су ови коефицијенти a₁, a₂ и a₃ једнозначно одређени тачком T. Ево како.

Када би у датој бази постојала два записа тачке T, било би:

a'₁b₁ + a'₂b₂ + a'₃b₃ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃,

(a'₁ - a₁)b₁ + (a'₂ - a₂)b₂ + (a'₃ - a₃)b₃ = 0,

a'₁ - a₁ = 0,   a'₂ - a₂ = 0,   a'₃ - a₃ = 0,

јер иначе би се један од базних вектора могао (линеарно) изражавати са остала два, што је немогуће ако су они линеарно независни.

Замислимо даље да овакав систем има много базних вектора, бесконачан низ b_t, чији је индекс дискретан t = 1, 2, 3, ... број пребројиво бесконачног скупа бројева, па и многобројнији, када индекс припада неком интервалу (континууму) реалних бројева t ∈ (a, b) ⊂ ℝ. Тада уместо a_t пишемо f(t), а уместо b_t пишемо g(t). Међутим, уместо са континуумом базних вектора, уобичајено радимо са нормама (интензитетима) линеарних комбинација (збирова), а то значи са интегралима.

Највише дискретне задате базе, димензија n → ∞, формирају јединствене низове вектора u = (a₁, a₂, ..., a_n) и v = (b₁, b₂, ..., b_n), иначе коефицијенте надовезивања базних вектора до дате тачке. Линеарне функционеле, или пресликавања вектора u у бројеве, на јединствене начине се представљају векторима попут v као скаларни производ u⋅v = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n. A први и други низови су дуални вектори (Variance), аналогно тим дуалним просторима L_p и L_q са којима сада радимо.

У случају непребројиво бесконачних база, на сличне начине долазимо до функционеле V : f → ℝ, запремине:

\[ V = \int_a^b f(t)g(t)\ dt, \]

која пресликава елементе f(t) = f_t базе g_t на јединствен начин. Ма колико n-дим имали вектори u = (a₁, a₂, ..., a_n) и v = (b₁, b₂, ..., b_n) они разапињу једну 2-дим раван. Слично, у континууму димензија ових интеграбилних функција, функционелу V успевамо разумети као 3-дим запремину.

Finitude » eng

Питање: Зашто примећујемо само коначности, када су и бесконачности наводно једнако реалне?

Одговор: Оно што примећујемо није исто оно што разумемо, јер схватање долази са виталношћу и способношћу лагања. Оваквих додатака мртва природа нема и огољену такву узимамо за чисту „истину“ и чисто „опажање“.

Међутим, не можемо сви имати једнаке виталности и оно што са њима долази. Такође, за један исти субјекат, не постоји једнако опажање свих врста објеката, а бесконачности и уопште апстракције нису прочеља таквих листа. Другим речима, наши доживљаји бесконачности стварност су као и сличних математичких истина, осим што их теже перципирамо.

Непосредне перцепције мртве физичке твари стога увек стижу коначним порцијама, иако би, уз мало виталности, мртва супстанца могла спознати њену бесконачну природу. Ово је исти резултат овде представљан раније, али приметимо, сада је изведен на другачији начин (Packages). Приказан сликовито, мртва супстанца неће прелазити на другу обалу тока лажи, за разлику од виталних субјеката. Спознаја мртве материје ограничава тако њена истинољубивост, на једне делове реалности, иако и други постоје.

Овој разноликости стварности доприносе и начини перцепција скривени иза p-норми и репрезентација функционела. Само уобичајени, еуклидски простор, био он физички простор или неки од математичких форми, који је 2-норме, биће опажан од јединственог субјекта такође 2-норме. Иначе ће простор p-норме имати за јединствено опажање субјекта q-норме, где је 1/p + 1/q = 1, при чему је интензитет истог опажаја ∥x∥_q ≤ ∥x∥_p ако p ≤ q. Погледајте и доказ ове неједнакости (20. Став).

На пример, простор вероватноћа који је норме p = 1 има дуалног субјекта јединственог опажања из простора норме q = ∞. Преведено, то значи да је екстремно велику неизвесност могуће јединствено опажати тек једнаком великом извесношћу. Само мало мањој неизвесности, p блиско 1, требаће одговарајућа велика извесност, q = p/(p - 1). Чини се да морамо долазити управо из света великих бројева (велике извесности) да будемо способни перципирати свет квантне механике (велике неизвесности).

Са друге стране, свету велике неизвесности (малог p), управо због велике насумичности, могуће су веће интеракције, или комуникације унутар или около великих одређености (дуалног q). Субјекат који се држи правила, а окружен је мноштвом правила, ускраћен је за много тога.

Distances III » eng

Питање: Можете ли ми појаснити ту „удаљеност“ помоћу „p-норме“?

Одговор: На слици лево је први квадрант „кружнице“:

x^p + y^p = 1

простора L_p интеграла, заједно са простором низова ℓ_p, са неколико вредности експонента:

p ∈ {1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4, 5}.

Једино p = 2 даје добро познату еуклидску кружницу обима 2π⋅1. Обим свих осталих већи је од 2π.

Међутим, узимајући p-те корене тих лукова, лева се страна горње једначине „кружнице“ смањује, јер је:

\[ ... \lt (x^3 + y^3)^{1/3} \lt \sqrt{x^2 + y^2} \lt x + y \lt (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \lt ..., \]

а десна страна остаје иста (корен јединице). Због тога координате (x и y) морају расти да би се одржао збир, чиме се повећава заобилазни пут ван еуклидског лука. Да је p-норма опадајућа функција по p, за p ∈ (0, ∞), је доказ у мом прилогу (Неједнакости, 20. став). Али, због примедби ми да им је неразумљив, ево још једног.

Посматрамо n-торке реалних или комплексних бројева x = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n), а видимо их као координате тачке, или вектора x, интензитета p-норме:

∥x∥_p = (|ξ₁|^p + |ξ₂|^p + ... + |ξ_n|^p)^1/p

1. Став. За (продужени) реални број 1 ≤ p ≤ ∞ и низ x = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n) чији коефицијенти су бројеви, пресликавање:

\[ p \to \|x\|_p = \left(\sum_{k=1}^n |\xi_k|^p\right)^{1/p} \]

је монотоно опадајуће. Другим речима, из p > r ≥ 1 следи ∥x∥_p < ∥x∥_r.

Доказ: Користимо једноставан принцип хомогености норме. Без губитка општости, претпостављамо да је ∥x∥_r = 1 и |ξ_k| ≤ 1. Затим да је |ξ_k|^p ≤ |ξ_k|^r за све k = 1, 2, ..., n. Отуда:

\[ \sum_{k=1}^n |\xi_k|^p \le \sum_{k=1}^n |\xi_k|^r = 1, \] \[ \|x\|_p = \left(\sum_{k=1}^n |\xi_k|^p\right)^{1/p} \le 1 = \|x\|_r, \]

а то је тражени резултат. ∎

Ако ми верујете на реч, доказ не морате ни читати: са већим вредностима позитивног експонента p мања је вредност p-норме. И то је то. Ако хоћете мало детаљнији доказ, има их и помоћу извода (P-Norm), или другачијих које можете сами тражити.

Помоћу p-норме дефинишемо метрику функцијом растојања:

\[ d_p(x, y) = \|x - y\|_p, \] \[ d_p(x, y) = \left( \sum_{k=1}^n |\xi_k - \eta_k|^n \right)^{1/p}, \]

где је y = (η₁, η₂, ..., η_n) такође n-торка реалних или комплексних бројева. Из претходног става следи d_p(x, y) < d_r(x, y) када год је p > r ≥ 1. Све ово, са коначних низова, углавном се преноси на бесконачне низове (простор ℓ_p) и на интеграбилне функције (простор L_p у ужем смислу).

Обзиром на контракцију дужина, скраћивање d_p(x, y) растом експонента p, оно што је изгледало даље тако постаје све ближе. Да би прошли исти претходни интензитет пута, од тачке x до тачке y, путовање постаје дуже, што се тиче релативног посматрача којем ове дужине остају исте. Попут теорије релативности, овде такође разликујемо својственог и релативног посматрача. Релативни опажа онога са већим p умањенога „интензитета“ и, рећи ћемо, мање информативним (Finitude). Помаже нам аналогија са даљим објектом који зато постаје мањи и мање детаљан.

За теорију информације користим разне друге интерпретације метрика (Distances II), поред p-норми, за лакше представљање појединих појава. Међутим, не очекујем да би оне могле бити узајамно противречне. А ако би, то би била тешка слабост саме теорије.

Distribution » eng

Питање: Простор велике неизвесности, p = 1, има свог дуалног субјекта јединственог опажања из простора велике извесности, норме q = ∞?

Одговор: Тако је, то је основни садржај теореме са p-нормама (4.7. Став), иако се она не бави интерпретацијом из питања.

Интерпретације заснивамо на тумачењу елемената метричких простора као физичких стања и норми као збира „интензитета“ потенцијалних и актуалних физичких појава. Право нам даје Сколемова теорема, да дедуктивна теорија w која има примену на некој ужој пракси W, такође има и шире примене на пракси V ⊃ W са својом екстензијом v, таквом да је v = w свугде на W ⊂ V. Да су тачне теорије неизбежни делови јединствених конкретних појава, али такви састојци саме физичке твари који се јављају и у безбројним другим сличним непоновљивим стањима.

Облици који се често понављају у разним појавама, тачније речено оно што се понавља у облицима, теоријске су, апстрактне ствари. За разлику од голих конкретних појава које су јединствене.

Међутим, предмет теорија су и исто многобројне непоновљиве појаве, о чему сведочи и горњи поменути став (4.7. Став).

Исти став говори да ограничена линеарна функционела f(x), или функција која из L₁ пресликава функције x(t) у бројеве, простора 1-норме, интервала I = (a, b) бројева t, има репрезентацију f(x) = ∫_I y(t) x(t) dt, где је дуална функција y(t) норме q = ∞ једнозначно одређена. Норме p = 1 и ова q дуалне су, за њих важи једнакост 1/p + 1/q = 1.

Овај одговор припада и претходном питању (Finitude), делу где изводимо закључак о све мањој норми ∥x∥_p растућег експонента p исте тачке x, што утврђује 1. став следећег претходног одговора примењен на интеграле. А интерпретација тог и овог става је егзистенција јединственог посматрача у спрези информације перцепције, дакле стања x са y, где прво долази из p = 1 са другим из q = ∞ норме, као неизвесности из позиција извесности.

Иако тачке простора ℓ могу бити вероватноће (L густине вероватноћа), не морају бити расподеле вероватноћа. Тада, рецимо, стохастичка матрица A (Марков ланац) пресликава вектор вероватноћа x у вектор вероватноћа y на начин (y = Ax):

\[ \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \eta_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \xi_3 \end{pmatrix} \]

где су у колонама матрице A ненегативни бројеви, свака збира један, док елементи вектора x и y, такође ненегативни, могу имати произвољан али међусобно једнак збир 1-норме. Ово последње лако доказујемо:

\[ \|y\| = \sum_{i=1}^3 \eta_i = \sum_{i,j=1}^3 a_{ij}\xi_j = \sum_{j=1}^3\left(\sum_{i=1}^3 a_{ij}\right) \xi_j = \sum_{j=1}^3 \xi_j = \|x\|. \]

Могуће су разне интерпретације ове једнакости, а једна од њих је и закон одржања (збирне вероватноће), иако матрица A није изометрија у смислу да њена детерминанта није јединица.

Ставови о репрезентацијама функционела утврђују оптималност када се опажају дуални системи, овде експонената за које важи 1/p + 1/q = 1, или дуалних простора функционела X^* и вектора из X које ове пресликавају у бројеве, или ко- и контра-варијантних тензора (Variance). Поменути став утврђује оптимум запажања једних са становишта других у свим таквим случајевима, иако њихове везе на први поглед нису видљиве.

Посебно, овде се ради о оптималности комуникације веће неизвесности са примерном већом извесношћу. Рецимо, потребна је велика виталност за схватање квантног света неизвесности. Важи и обрнуто, да ће процеси неизвесности бити продорнији у ригидним системима, од дефинисаних, добро уређених и „послушних“.

Conjugated » eng

Питање: Тврдите да субјект своју јединственост постиже захваљујући комуникацији у којој објекте перципира као дуалан свет и да зато оно што видимо заправо није оно што јесте?

Одговор: Можда звучи претенциозно, да се функционална анализа тако меша у, рецимо, Платонов свет идеја, али тврђење је много тачније него што изгледа на први поглед. На овој скици је објекат висине H удаљен p од сочива жижне дужине f, чија се светлост пројектује на другу страну у слику висине h на удаљености q од сочива. То је коњугована раван жиже уз коју иде у оптици добро позната једначина:

\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}. \]

Произвођачи камера мало шта могу мењати у тој једначини, сем бирања милиметара или центиметара за меру жижне даљине, али у математици можемо јединице дужине баждарити да буде f = 1. Такав третман оптике постаје очигледна примена функционалне анализе.

У областима овакве математике, дуални простор је простор непрекидних линеарних функционела на реалном (ℝ) или комплексном (ℂ) Банаховом простору. Дуални простор Банаховог простора (ознаке X) опет je Банахов простор (обично ознаке X^*), када је обдарен операторском нормом. Дуал X^* Банаховог простора X називамо и њему адјунговани (придружен), или коњугован.

У алгебри је адјунговање третман истог доследан математичкој анализи и специфичан другој тематици. У оптици, на горњој скици је коњугована раван X^* копирана дата раван X оригинала, објекта у његову слику. Што је удаљеност p већа, прецизније речено, што је већи количник p/q, биће већи однос висина, H/h, објекта и његове слике. Слично нам говори став (Distances III) о опадању норме ∥x∥_p са повећањем експонента p.

Када је слика у жижи, са одговарајућим q, њено је замућење најмање и најбоља је могућа резолуција снимка. У том оптималном случају имамо јединствен (нејасноћа може крити различите објекте) и детаљан приказ објекта, колико то фотографија постиже. Важи и обрнуто. Ток светлости са копије на оригинал ишао би истим путевима уназад, симетрично, као пресликавања простора ℓ_p и ℓ_q, или аналогних функционалне анализе.

Са друге стране имамо и независан овоме додатак у непосредној спознаји физичке стварности (Finitude) обзиром да оно што перципирамо не може бити оно што разумемо, јер математичког сазнања нема без виталности и способности лагања. Потреба за погрешним претпоставкама ради доказа истине није могућност коју мртва природа поседује и зато истина коју би налазили о њој није баш онаква какву би она могла имати о себи.

Provenance » eng

Питање: Да ли коњуговање комплексних бројева има везе са овим, са адјунговањем и дуалним нормама?

Одговор: Да, ти појмови су у низу поопштавања, сводимо их редом на ланце значења. На дну низова су множења реалних бројева, или квадрирања. Међу такве додајмо и коњуговано комплексна:

|z|² = z z^* = (x + iy)(x - iy) =
= x² - ixy + iyx - (iy)²,

|z|² = x² + y²,

множења бројева на слици десно, z = x + iy и z^* = x - iy, где за имагинарну јединицу важи i² = -1. До тачке z стиже се са x јединица реалне осе, корака апсцисом, па са y имагинарних корака (ординатом). Коњугована тачка z^* је рефлексија z преко апсцисе.

На слици је раван комплексних бројева ℂ и имамо је у виду код сваког од коефицијента вектора, n-торке бројева x = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n). Ово и оно x нису истог значења, што није проблем ако пратите смисао. Смисао претходног z сада има свака ова компонента ξ_k ∈ ℂ, редом индекса k = 1, 2, ..., n. Када вектор x посматрамо заједно са вектором y = (η₁, η₂, ..., η_n), иако су оба из неких бројних n-дим система координата, сведени на заједнички почетак они разапињу само 2-дим простор. Низови су једна врста вектора.

Сведене на једну раван, ове векторе множимо ермитски:

⟨x, y⟩ = x⋅y^* = ξ₁η₂^* + ξ₂η₂^* + ... + ξ_nη_n^*

где је први начин писања, Дираковим бра-кет заградама, датог скаларног производа карактеристичан за квантну физику, а други са тачком између вектора, чешћи је у математици. Користим једнако оба, јер њихов смисао видим и у информацији перцепције. Ово затим поопштавамо за квантно адјунговање које је уједно коњуговање и транспоновање (замена врста и колона). На пример, за x = (3, 1-2i, -4i) и y = (2i, -3+i, 4), биће x^† = (x^*)^⊤ и y^† = (y^*)^⊤, односно:

\[ x^{\dagger} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 + 2i \\ 4i \end{pmatrix}, \quad y^{\dagger} = \begin{pmatrix} -2i \\ -3 - i \\ 4 \end{pmatrix}. \]

Основни вектори и ови ермитски адјунговани изгледају и понашају се као ко- и контра-варијантни, а тада и као комплексни бројеви. Наиме, матричним множењем добићемо x x^† = 30 и y y^† = 25. Како матрично множење није комутативно, обрнути редослед множења даваће друге резултате.

Комуникација на квантном нивоу је у већој мери случајна него у макро-свету, где се извесности повећавају доследно законима великих бројева теорије вероватноће. У свету наших величина, ми нормално не срећемо „немогуће“ појаве малих вероватноћа које би у том свету сићушног биле уобичајене. Не срећемо ни „заобилажења“ (Bypass), нити лако разумемо неки дубљи смисао комплексних бројева.

Међутим, све заједничке форме векторских простора са векторима попут x или y имају и линеарна пресликавања (A) која могу узајамно копирати ове тривијалне векторе (y = Ax), али и остале. Могу пресликавати слична себи пресликавања. Резултати збира производа ⟨x, y⟩ видљивији су нама, значајнији када су реални и зато квантна механика прецењује ермитске операторе, верујем. Обзервабилне су само реалне својствене вредности λ из својствене једначине Ax = λx.

Адјунговање линеарних оператора је аналогно векторима, па у матричној репрезентацији имамо:

\[ A^{\dagger} = \begin{pmatrix} 1 & 2i \\ 4i & -1 + 3i \end{pmatrix}^{\dagger} = \begin{pmatrix} 1 & -4i \\ -2i & -1 - 3i \end{pmatrix}. \]

Ови оператори су ермитски тек када је A^† = A, што овде очигледно није случај. Међутим, оператор производ B = AA^† јесте ермитски.

Ермитски оператори имају реалне својствене вредности иако су њихове матричне репрезентације (иначе различите у различитим базама) често са комплексним коефицијентима. Квантна се физика држи искључиво дуалних простора експонената p = q = 2, још увек, али сигуран сам да ће се она временом обогатити.

Reflection » eng

Питање: Шта функционална анализа каже за копију копије?

Одговор: Када су X и Y Банахови простори, потпуни и нормирани векторски простори, тада је скуп свих линеарних пресликавања са X на Y опет Банахов простор. Ако је Y скуп скалара (реалних ℝ, или комплексних ℂ бројева), онда тај означавамо са X^*.

Скуп линеарних пресликавања са вектора X на скаларе Φ (ℝ или ℂ) је склоп ограничених линеарних функционела, простор ознаке X^*, који називамо дуалним, адјунгованим, или коњугованим простору X. Многе функционеле имају интерпретацију Информације Перцепције и зато су нам ове области математике, алгебре и анализе, посебно занимљиве. Наиме, вектор је поједино „стање“ преко датог система (векторског простора), пресликавање је „процес“ таквих, а „информација“ је њихова мера.

Мера информације је и норма вектора. Иако овакве „мере“ нису појмовно идентичне, згоду формалне анализе даје посматрање пресликавања међу њима и у евентуалној бијекцији (обострано једнозначном пресликавању) када кажемо да су ови простори алгебарски „изоморфни“ (пресликавање које чува структуру и може се преокренути инверзним) и „изометрични“ (трансформација која чува удаљеност). Када овакви простори имају исту величину и облик кажемо да су „конгруентни“.

Пресликавање пресликавања из X^* у скаларе (у реалне или комплексне бројеве) опет је неки Банахов простор, ознаке X^**. Називамо га и „други коњуговани“ простор од X. Могуће је доказати да је Банахов простор X конгруентан неком потпростору од X^**. То се може записивати X ⊂ X^**. Када је X^** = X кажемо да је простор X рефлексиван, а ако важи X^** ≠ X простор X је ирефлексиван.

Познато нам је да је сваки коначно димензионални нормиран линеарни (векторски) простор рефлексиван. Наиме, за димензију n таквих важи:

dim X = dim X^* = X^** = n,

а пресликавање π : X → X^** је бијекција, па је π(X) = X^**. Другим речима X је рефлексиван простор. Отуда су ℝⁿ и ℂⁿ рефлексивни простори. Ово за последицу даје рефлексивност „простора“ информације перцепције. Она је уједно и формална једнакост простора догађаја (X) са простором (X^**) свих ограничених линеарних пресликавања функционела (X^*).

Једнакост стања природе (X) са сликама информације перцепције (X^**) врста је конгруенције, уколико је први коначно димензионалан. Пошто она искључује бесконачности, ова теорија остаје валидна све док други коњуговарни остаје редукован на коначно димензионални простор. Ми знамо да није могуће спознати „суштину“ природе (ако таква постоји) а са овим сазнајемо да располажемо са њеним еквивалентом.

Sine Wave » eng

Питање: Како се у све ово уклапају додатне димензије?

Одговор: Очекивано добро, јер математика сама нема тешкоће са „вишковима“ димензија, док захтев „објективне случајности“ подразумева додатне димензије времена.

На слици десно је линк за видео 3-дим синусоиде. У комплексној равни тачка z = x + iy се креће по кружници, а иста раван, x = Re(z) и y = Im(z), клизи дуж временске осе t. Црвена тачка z описује спиралу омотавану око t-осе и која пројектована на раван xt, yt, xy постаје синусоида x = sin(ωt), косинусоида y = -cos(ωt) и тригонометријска кружница x² + y² = 1.

Једначина овакве тачке у равни ℂ може се писати и овако:

z = e^iωt = cos(ωt) + i⋅sin(ωt),

где се за имагинарну јединицу подразумева i² = -1. Овако или онако, те нас пројекције у горње две поменуте равни подсећају на окомите равни електромагнетног таласа (светлости). Узмемо ли ову светлост „заправо“ као кретање кроз 3-дим простор временом попут горње синусоиде, док ми видимо једино њене пројекције на две ортогоналне равни као њену електро и магнетну фазу, које се узајамно индукују, са математиком те представе неће бити препрека.

У случају светлости, која шета кроз вишак димензија и нама пројектује своју електро и магнетну фазу, имали бисмо „заобилажење“ и додатни закон одржања кроз тај вишак димензија, који би, пак, самим тиме био физички реалан, експериментално мерљив. Математиком није могуће оспорити егзистенцију и дубље, тада псеудо-реалности појава сличних горњој комплексној синусоиди. Псеудо-реалност, сходно овој теорији, иде са одсуством закона одржања (Outsider).

Приметимо да је „закон одржања“ релативан. Процес који тече у другој временској димензији временски је неупоредив са нашим, смером или интензитетом прошлости и будућности, тако да нема смисла говорити о некој универзалној количини промена и њеном одржању. Међутим, ако изостане псеудо-реалност, рецимо због „заобилажења“, онда применом 3.3. Става: ако су Y, Z ⊂ X комплементарни простори, онда сваком x ∈ X једнозначно одговара неко y ∈ Y и z ∈ Z тако да је x = y + z, те спољашње реалности постају и наше. Штавише, њихове јединствености прерастају тако у проширене заједничке.

Време добија на значају, што би такође требало бити природно теорији информације, па добија на тежини и одговор следећег питања које сам добио недавно: Како да кратко опишем „преваранте“? — То су они који нису у стању да раде оно што обећају, ако мислите на играче II лиге ове класификације (Traits). Прволигаши добро предвиђају, трећелигаши су ситуациони (спајали би само добро са добрим). Способност кориштења времена припада виталности, а обоје допуњава апстрактну анализу.

Actual vs Ideal » eng

Питање: Које су упоредне особине конкретног и идеалног?

Одговор: У теорији, теорија и пракса су једно исто, у пракси они то нису, рекао је Ајнштајн. Грам праксе вреднији је него тона теорије, казали су многи други. Ништа није практичније од добре теорије, убеђивали би нас трећи. А ево нешто о томе и са становишта (моје) теорије информације.

Обе, теорија и пракса, ствари су наших перцепција. Међутим, физика не може доказати, рецимо, Питагорину теорему, нити је може оспоравати. Ако бројањем на ливади установимо „две краве плус две краве су четири краве“, превише је објеката у васиони да бисмо експериментално могли потврдити „2 + 2 = 4“. Дакле, слажемо се да постоје разлике предмета и начина проучавања физике и математике.

Са друге стране наших напора да нађемо тачан исказ математике, лежи искреност физичких појава, њихова неспособност да слажу, односно да чине нетачности. Способност лагања треба нам да спознамо тачан исказ (Нестварно), што самим конкретним стварима није доступно. Отуда идеја „вишка“ количине опција (информације), коју називам „виталност“, коју живо биће има у односу на физичку супстанцу од које се састоји. Та идеја није онај идеал из питања, она је онечишћен идеал, али који помаже да приметимо разлику између истинитих и неистинитих фикција.

Приметимо затим да је истина постојана и изгледа помало непривлачна, за разлику од лажи. Била конкретна или апстрактна појава, свака од тих истина је на свој начин трајна. За прву можемо тврдити да следи „закон одржања“ познат нам из физике, али исти можемо аналогно пренети на другу. Прва се стално мења и овај говори о укупној количини затвореног система, рецимо, енергије која мења облике, што дефинише апстракције истина које трају, свевременске и свеприсутне.

Због променљивости облика заробљених законом одржања количине, на пример, физичко дејство је квантирано. Јавља се у најмањим пакетима и комуницира помоћу њима еквивалентних физичких информација. Зато што нам је макро-време једнаких интервала, а дејство је производ ΔE⋅Δt, промењене енергије и протеклог времена, важи закон одржања енергије заједно са одговарајућим информације.

Закон одржања укупне количине променљивих облика узрок је њихове коначне дељивости, јер бесконачност може бити свој прави део. Тако је парних {2, 4, 6, ...} и непарних {1, 3, 5, ...} бројева једнако много (ℵ₀) као свих ℕ = {1, 2, 3, 4, ...} природних бројева (Скупови), међутим „три краве су више од две краве“. Формално и нула је број, па извесност формално можемо сматрати нултом информацијом. Таква је информација „вести“ за коју знамо да ће се десити и када се она деси тада и није нека вест.

Нулте информације могу у неограниченим количинама бити присутне у свему конкретном, па и у сваком кванту дејства и, као што каже теорема Сколема (Löwenheim-Skolem), да свака теорија кардиналности ℵ₀ има и већу кардиналност (на пример, континуум), а свака веће кардиналности има и пребројиву бесконачност (ℵ₀) појављивања, такве су свеприсутне и буквално. Како онда долази до њихове јединствености, прецизирано нам је у претходном питању поменутом 3.3. Ставу. Копија делова има свукуда, а комбиновањем настају мање поновљивости.

Способност теоретисања о стварима откриваће присуство теорија у њима, да би неизвесност која их скрива указивала и на њихову информацију. То би биле неке основне упоредне особине конкретног и идеалног, уз важна запажања да су, за наша схватања, прве неодвојиве од других, и обрнуто, да су друге, због неопходног присуства непостојане лажи, неодвојиве од првих.

Ево на крају још једног мање познатог прилога овим особинама. Лаж није физички реална и стога спонтано нестаје. Док локалне количине неистина стално нестају, њихов тотални потенцијал опстаје, јер смене истина неистинама, ⊤ → ⊥ и уједно ⊥ → ⊤, у свим формулама алгебре логике, доказују еквиваленцију таутологија и контрадикција. Отуда и еквиваленција „света истина“ са потенцијалним „светом лажи“.

Deception II » eng

Питање: Може ли спонтани нестанак лажи заменити минимализам?

Одговор: Тестирао сам ту идеју више пута (Deception) и налазио штошта (Сећања), али не оно што бих очекивао. Фикције су велика класа разноликих и занимљивих појава са лажима можда великом али не једином њиховом врстом. О њима је могуће увек писати на нов начин.

Свођење на контрадикцију као метода доказивања у математици (Numbers) може се посматрати и као поступак чишћења од неистина. То што на крају остаје је пука формална истина и срећна околност да таква уопште постоји. Немогућност да дођемо до истине без „чишћења“ врста је поруке да мртва природа, или било шта ткано од чистих истина, није у позицији да себе перципира наш начин. Наша слика физичке природе и оригинал нису исто, а то сам расправљао и на друге начине (Conjugated).

Лажи и друге фикције се везују за физичко тело и опстају, а за узврат то тело добија структуру са виталношћу и смртношћу. Док трају, размењују дејства и размножавају се, настала жива бића шире се у до три историје: личну, породичну и културну. Необично је овако писати о формама, али сетимо се да „опстајати“ значи имати све дужу прошлост на уштрб тање садашњости, што се може мењати са начелним „минимализмом“. Тако закон одржања физике покрива принцип најмањег дејства, а овај даље тумачимо спонтаним развојем у мање информативна стања, односно у чешће дешавање вероватнијих исхода. Замало да то постигне и лаж.

Нежива физичка твар такве је структуре да тешко прима облике за које бисмо могли рећи „нетачан исказ“. Мислећи на то, једноставно кажемо „лаж је одбојна истини“. Иначе би живот лакше настајао из неживог, а чешћа би била и кршења принципа најмањег дејства физике. Аналогно виђамо код виталних. На пример, криминолози знају да се мозак више напреже док смишља лажи, него када следи истину. На другој страни је лаж, као разређена истина, привлачнија пасивним слушаоцима. Толико о овој сложеној теми, коју сада напустимо до боље прилике.

Одстрањивање претпоставки, заменом њих са супротним тврђењима, ако воде у противречност, даје чисте истине. Међутим, та метода није лагана. На пример, руски математичар Лобачевски (1793-1856) је упорно радио са негацијом еуклидског 5. постулата о паралелама безуспешно тражећи контрадикцију. Добио је геометрију у којој је збир угова троугла мањи од 180°, у којој је однос обима и пречника круга већи од π и из чије се тачке ван дате праве могу повући бар две праве паралелне датој. Радећи много година да би установио да контрадикције нема, да се 5. постулат не може доказати из остала четири и да има нову геометрију која је једнако тачна као и еуклидска, имао је среће да нађе доказе овог последњег.

У овој теорији је прошлост врста проширене реалности. Такве су и друге димензије времена, или сама истина, али нама нису сви њихови аспекти доступни. Ту доступност забрањује начелна објективност неизвесности и отуда није згодно полазиште теорије тесно завезати за доказивост лажи. Иначе бих и то урадио. У томе нагласићу, не стоји да негација лажи није истина, већ само да она није прва метода избора.

Ако је свака тачна теорија неконтрадикторна, било то нама доказиво или не, онда можемо казати да несталност лажи има принципијелну тежину закона одржања. Међутим, није сваки исказ доказив, нису све једначине решиве, нити је свака будућност предвидива. То је разлог који „спонтани нестанак лажи“ оставља по страни пред начелом минимализма.

Dissonance » eng

Питање: Занима ме и поменута „лаж као разређена истина“ као тема „до боље прилике“. Можете ли сада рећи нешто о томе?

Одговор: Знамо да више волимо познато (Unstable). Углавном не знамо да је то последица опште тежње већој вероватноћи, мањој информацији, мањем дејству, па видимо само лењост која је једна од карика тог ланца узрока.

Когнитивну дисонанцу (в. линк слике) чине недоследне мисли и уверења посебно у одлукама око понашања и промене става. То је ментална нелагодност настала у држању два супротстављена уверења, вредности или става. Настојање за доследношћу узрок је овог сукоба и насталих непријатних осећања, а све тежње за доследношћу, пак, долазе из начелног минимализма.

Обзиром да су физичке информације еквивалентне дејству, нема их ван кванта, а ова се испољавају интеракцијама и, на крају увек, кретањем, то увек говоримо о преносу физичке информације простор-временом. Због релативности кретања, поменута „тежња мањем“ је настојање за мањим променама, односно мањем кретању. Тиме се инерција тела, а са њоме и законитост акције-реакције доводе у први план. Умањује се значај нивоа датих вредности наспрам напора да он буде промењен.

Формално, разложимо ту „инерцију“ на две компоненте, начелну тежњу мањој информацији и закон одржања. Тако на два начина објашњавајмо да је „лаж одбојна истини“ (Deception II), па је мртва природа не жели, не разуме и не следи, а са друге стране, да „мозак воли познато“. Физичком супстанцом и виталношћу ми и остала жива бића заробљени смо, свако у властитом појасу конформизма испод којег су ниже вредности „количине опција“ (информације) од оних са којима располажемо, унутар којих смо неслободни, а са горње стране која нас плаши вишком опција и вишком слободе.

Као и овде речена доња граница конформизма, испод које смо у жељи за слободом, психологији је позната и горња граница. Страх од непознатог односи се на анксиозност око непредвидивих ситуација или догађаја. Тај се повезује са стварима које сматрамо непознатим или чудним. Страх од непознатог може наићи и када нам недостаје информација. Друго име за то стање је нетолеранција неизвесности.

Присутне су и суптилније промене. Структуре теже ка већој ефикасности развијајући се у мање информативне (Екстреми), јер је расподела једнако вероватних исхода информативнија од оних различитих шанси. Отуда се мрежа равноправних повезница групише у малобројне чворове са много веза и многобројне са мање веза, па добијамо „шест степени повезивања“ таквих. Тако настају и синергија и њој сродна емергенција, иначе познате као чудне и необјашњиве појаве сложених структура које њихови делови немају код којих се јављају тек интеракцијом у већој целини.

Још апстрактније је следеће запажање. Из истих екстрема (1.6) је став да са датим очекивањем μ = 1/λ највећу информацију има експоненцијална расподела густина вероватноћа g(x) = λe^-λx, за променљиву x ≥ 0. Таква је непожељна, непостојана и неприсутна у физичкој реалности. Али када је нема у стварима истина, ову расподелу нађемо у фикцијама.

Зато лаж може бити у експоненцијалном опадању, изразито најважнија у почетку емитовања и брзо постајући небитна временом. Сјајна је „бомба“ за агитовања, када је избацимо попут „перја из јастука“ које је касније све теже сакупљати. Лаж просута у датом тренутку створиће медијски ефекат који затим остаје и након демантовања. Ова, брзо ишчезавајућа, важност лажи одавно је у употреби не само у политици. Управо зато што је мање густине, лаж се не понаша као истина или као физичка стварност.

Октобар 2024 (English ≽)