Јануар 2025 (English ≽)

Crash » eng

Питање: Има ли специјална релативност везе са додатним димензијама времена (Dimensions)?

Одговор: Да, размотримо то на примеру путника у возу (A) који се креће брзином v и посматрача који мирује на перону (B), на горњој слици, или њеном линку са интерпретацијом Ајнштајна (1905). Брзина светлости не зависи од брзине извора, а кретање је релативно.

Тачно на средини вагона је путник (A) креснуо шибицу и њена светлост (доње, плаве стрелице) је истовремено стигла десно и лево, на предњи и задњи зид вагона. Међутим, у односу на посматрача са перона (B), вагон је за време t прешао пут vt и за толико померио задњи зид вагона где је светлост шибице стигла пре. Дакле, истовремено стизање светлости на зидове вагона за посматрача A није истовремено и за посматрача B.

Ако је A мерио вертикално померање светлости за дужину ct₀, оно ће за B бити дужи пут ct. Из правоуглог троугла на слици израчунавамо:

(ct₀)² = (ct)² - (vt)²,

\[ t = \frac{t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \]

То је дилатација (истезање) јединице времена воза релативно у односу на посматрача са перона, што значи да време у возу утолико спорије тече. Те познате појаве сада погледајмо са једном непознатом последицом.

Рецимо да се на средини вагона постави неки лаган окидач који се може покренути импулсом фотона са задње стране вагона, али би такав остао усправан, у равнотежи и неактивиран, када би га истовремено достигла и светлост са предње стране. Када се активирањем окидача десе неки битно различити догађаји (експлозија бомбе, пуштање отровног гаса и слично), тада ће доживљаји путника у возу и посматрача са перона постати битно другачији. Замислимо затим истовремено кретање светлости са два зида вагона, рецимо, у односу на посматрача са перона. Намеће нам се питање како ће касније путници из воза и посматрач са перона моћи имати исту садашњост, исти доживљај догађаја који је онда уследио.

Након што се деси непријатни догађај за путника у возу (A), а који неће приметити посматрач са перона (B), њихове две стварности (A и B) теку различитим временским путањама. Међутим, након заустављања воза и силаска путника на тло перона, ти путници нису из садашњости A, већ из B. Њима и онима који су догађаје из покретног воза гледали мирујући на земљи — садашњости су исте.

То је ситуација слична оној познатој са два брата близанца, од којих један остаје на Земљи док други путује по свемиру. Када се брат путник појави опет на земљи, приметиће се како је мање остарио од брата који није није путовао. Тај парадокс близанаца (1911) одавно је познат, али наглашавам да није добро схваћен. Он је заправо доказ псеудо-реалности, стварности брата путника који би онога са земље сматрао млађим, односно додатних димензија времена. На исто се своди и „бонус“ у наставку (Fizeau).

Према томе, специјална релативност има везе са додатним димензијама времена (Dimensions), она их доказује, али ми од њеног открића нисмо били спремни да то приметимо.

Defect » eng

Питање: Важе ли оне необичне формуле (3.33) и изван гравитације, које сте навели у књизи Спрега (3.2.5 Дефект) и, друго питање, о каквом се ту „дефекту“ ради?

Одговор: Наравно, оне су рађене за централно симетрична форму Ајнштајнових општих једначина, или Шварцшилдово решење, где сам ставио:

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2GM}{rc^2}}}, \]

са G гравитационом константом и M масом гравитационог тела, а r удаљеношћу од његовог центра и c брзином светлости у вакууму. Онај други параметар χ таман је толико „произвољан“ да можемо дефинисати и евентуалну брзину кретања материјалне тачке у таквом гравитационом пољу, иначе коју се Шварцшилдовој метрици мора посебно додавати. Те трансформације:

\[ dr = \chi \ dr' - \gamma^{-1}\sqrt{1 - \gamma^2\chi^2}\ d\tau' \] \[ d\tau = \gamma\sqrt{1 - \gamma^2\chi^2}\ dr' + \gamma^2\chi \ d\tau' \]

су са τ = ict, имагинарном јединицом i² = -1, временом t. Без гравитације стајаће γ = 1, а за радијално кретање брзином v, биће:

\[ \chi = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \]

Толико, па израчунавамо:

\[ \sqrt{1 - \chi^2} = \frac{iv/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \] \[ dr = \frac{dr' + vdt'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad dt = \frac{dt' + \frac{v}{c^2}dr'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \]

а то су Лоренцове трансформације (Ајнштајнове теорије релативности) за једнолико инерцијално кретање брзином -v дуж r-осе.

Друго је питање „дефекта“. То се односи на промену смера вектора \(\vec{v}\), на горњој слици десно писан зеленом бојом на седам места, који паралелно померамо (транслирамо) по било којој затвореној кривој гравитацијом закривљеног простора. Почетна и завршна позиција нису исти вектори, \(\vec{v}_1 \ne \vec{v}_7\). Примењивано на импулс или уопште на векторске величине из физике, та промена смера вектора значи дефект енергије, или чега год, који се у одсуству гравитације не дешава.

То је парадоксално, а једно од решења наводим помоћу „тамне материје“. Било би то испуштање „трага маса“ из садашњости тела ради формирања њихове прошлости, која би узвратно и делимично, из прошлости могла деловати на њихову садашњост.

Reality III » eng

Питање: Шта је то „реалност“, а шта је то „фикција“ о којима пишете у књизи Спрега Информација?

Одговор: Речено „реално“ је, пре свега, оно што негде некада неко може опажати а да директно или посредно и ми можемо опажати тога. Ово, јер структура простора, времена и материје, њихово тело, ткиво и састојци су информације, а њихова бит су неизвесности. То значи да ни моћи комуницирања са свачим нису обавезне, него је реч о ланцу могућих посредника A₁ ↔ A₂ ↔ ... ↔ A_n, када кажемо да су сви учесници узајамно реални. Тражи се одрживост таквих ланаца.

Други услов „реалности“ је постојаност. Сада је реч о закону одржања, рецимо, енергије која може мењати облике али не и укупну количину. Информације су такође неуништиве, износом неизвесности мада не и формама које ће узимати, налик импулсу, спину и сличним физичким величинама. Када говоримо о реалности физике, приметимо да она не уме лагати и не осврће се на лажи, не види их. Наиме, ако докажемо да нешто заиста није истинито, оно се неће ни десити у експерименту.

Трећи услов „реалности“ је истинитост. Овим подразумевамо да ћемо и математичке истине и њој сличне тачне апстракције, такође третирати као врсте реалности. Штавише, покушаваћемо их подводити под врсте информација какве преносе, рецимо, кванти дејства (промене енергије током времена). Из оваквог произилази, на пример, да је свевременско трајање закона екстремно привлачно (онима који би са таквима могли комуницирати). Другим речима, да константан квант физичког дејства „усисава“ неке око себе када је са (ни)мало енергије.

То су три услова „реалности“ око којих се врти читава та књига „Спрега информације“. Уз то приметимо и огромну важност многострукости за неизвесност, затим разноликост и слојевитост реалности. Позовите линк слике, па прочитајте секцију „2.4.2 Јединственост“. Субјекти који опажају околине непоновљиви су, а дедуктивне теорије и њихове форме, делови, које перципирају когнитивно — бесконачно се понављају. Парафразирам „истина jе свачиjа, а лаж jе увек нечиjа“.

То нас доводи до друге стране медаље, да оно што постоји а при томе није „реалност“ мора бити „фикција“. Дакле, фиктивно је оно чији евентуални горе поменути ланци опажања нису одрживи, само не траје, односно није истинито. Жива бића зато умеју да лажу, јер су спој реалности и фикције.

Snell » eng

Питање: Простор, време и материја саткани су од информација чија суштина је неизвесност, а „реално“ је оно што је 1. перцептибилно, 2. одрживо и 3. истинито. Јесам ли добро разумео?

Одговор: Да, тако је. Стога спонтана тежња ка мање има више смисла. Природа је сва од информација саткана, од њених сталних количина и неуништивих неизвесности, које пресипа „из шупљег у празно“, радећи све као да би се баш њих најпре решила. Зато постоји „минимализам простора“, који демонстрирају одбијање светлости у првом следећем примеру и „минимализам времена“ у примеру преламања.

На слици десно светлост путује из тачке A до тачке B одбијајући се од огледала, праве p у тачки P, тако да је A-P-B најкраћи пут, јер је B' са осом p симетрична слика тачке B док тачке A-P-B' леже на истој правој.

Заиста, када би тачка Q ∈ p била одбојна тачка зраке, из троугла AQB' видимо:

AQ + QB = AQ + QB' ≥
≥ AB' = AP + PB' = AP + PB,

AQ + QB ≥ AP + PB,

што значи да је одбијање у тачки P ∈ p заиста најкраћи пут. Неједнакост постаје једнакост ако и само ако Q = P. Са слике видимо и да су упадни и одбојни углови једнаки, јер су једнаки и углови θ зраке и нормале на p.

Слика лево је Картезијевог (Oxy) система кроз који честица-талас пролази из тачке P(0, b) ка тачки Q(a, -c) за најкраће време. Први квадрант је средина где она има константну брзину v₁, а четврти где има константну брзину v₂ са тачком преламања x апсцисе. Ту су упадни φ₁ те угао преламања φ₂ путање зраке према нормали на граничну површину брзина.

Путеви којима је честица-талас пролазила кроз I и IV квадрант дужина су редом:

\[ \ell_1 = \sqrt{b^2 + x^2}, \quad \ell_2 = \sqrt{c^2 + (a-x)^2}. \]

Количници путева ℓ_k/v_k = t_k са одговарајућим брзинама, за оба k = 1, 2, дају протекла времена, а збир тих времена је функција f(x) = t₁ + t₂ чији минимум, извод у стационарној тачки, нам даје трајекторију најкраћег трајања:

\[ f(x) = \frac{\sqrt{b^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{c^2 + (a-x)^2}}{v_2}, \] \[ f'(x) = \frac{1}{v_1}\frac{x}{\sqrt{b^2 + x^2}} - \frac{1}{v_2}\frac{a-x}{\sqrt{c^2 + (a - x)^2}} = 0, \] \[ \frac{\sin\varphi_1}{v_1} - \frac{\sin\varphi_2}{v_2} = 0. \]

Ово је Снелов закон преламања. Он демонстрира „најкраће време“ у примеру преламања, за разлику од претходног примера, рефлексије светлости, који представља „најкраће путеве“.

Информација је ткање простора, времена и материје, а њена суштина је неизвесност. Међутим, постоји одбојност природе ка неизвесности која се очитава у чешћој реализацији вероватнијих догађаја, у тежњи система ка мање информативним стањима, или мањем дејству, инертности. Тако би природа да нестане, али то јој не дају закони одржања, тј. реалност.

Brachistochrone » eng

Питање: Објасните ми проблем брахистохроне криве?

Одговор: Брахистохроне (древно грчки βράχιστος χρόνος значења "најкраће време"), су криве које представаљају кретање тачке из стања мировања до жељене тачке за најкраће време, занемаримо ли трење и отпор ваздуха. Слика десно, средња, црвена крива. То је проблем најбржег понирања гравитацијом између две задате тачке.

Класичан пример рачуна варијација је проналажење брахистохроне, дефинисане као глатка крива која спаја две тачке A и B (не једна испод друге) дуж које ће честица клизити вучена гравитацијом, а за најкраће могуће време. Иначе се у рачуну варијације обилато користи следећа тзв. фундаментална лема.

Лема. Нека је y(x) непрекидна на интервалу [a, b] и претпоставимо да за сваку функцију η(x) ∈ C₂[a, b], такву да је η(a) = η(b) = 0, имамо:

\[ \int_a^b y(x)\eta(x) \ dx = 0. \]

Тада је y(x) = 0 за све x ∈ [a, b].

Доказ: Претпоставимо супротно, да за неко ξ ∈ [a, b] имамо y(ξ) > 0. Због непрекидности, биће y(ξ) > 0 и у неком интервалу, околини ξ. Производ y(x)η(x) > 0 тада је у том интервалу, а свугде изван је нула, па је интеграл производа већи од нуле — што противречи претпоставци. ∎

Тражењу путање минималног времена, поред овога, потребан је и закон одржања енергије ради ограничења брзине v честице масе m вучене дуж x гравитационим убрзањем g. Тако, из mv²/2 = mgx следи \(v = \sqrt{2gx}\), па налазимо протекло време са задатим условима y(0) = 0 и y(h) = a:

\[ T(y) = \int_A^B dt = \int_A^B \frac{ds}{ds/dt} = \int_A^B \frac{ds}{v} = \int_0^h \frac{\sqrt{1 + (y')^2}}{\sqrt{2gx}}\ dx, \]

где ds² = dx² + dy² дефинише инфинитезималну дужину интервала. Она коју тражимо је екстрем ове функционеле и због тога задовољава Ојлер-Лагранжову једначину, а отуда:

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial T}{\partial y'}\right) - \frac{\partial T}{\partial y} = 0, \quad y(0) = 0, \quad y(h) = a, \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{y'}{\sqrt{2gx(1 + (y')^2)}}\right) = 0, \] \[ \frac{y'}{\sqrt{2gx(1 + (y')^2)}} = c. \]

Ово c је интеграциона константа, а тај израз преуредимо:

\[ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\alpha - x}}, \quad \alpha = \frac{1}{2gc^2}, \]

решавањем по y'. Супституцијом x = α sin²θ и интегрирањем налазимо:

\[ y = \int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\alpha - x}}\ dx = \int\frac{\sin\theta}{\cos\theta} 2\alpha \sin\theta \cos\theta\ d\theta = \int \alpha(1 - \cos 2\theta)\ d\theta, \] \[ y = \frac{\alpha}{2}(2\theta - \sin 2\theta) + c_1, \]

где је c₁ нову интеграциона константа. Враћајући назад x и користећи услов y(0) = 0 да нађемо c₁ = 0, добијамо:

\[ y(x) = \alpha \arcsin\left(\sqrt{\frac{x}{\alpha}}\right) - \sqrt{x}\sqrt{\alpha - x}. \]

Ова крива се назива циклоида. Циклоида, са врховима према горе, је крива најбржег спуштања под равномерном гравитацијом и то је та тражена брахистохрона.

Константа α је одређена имплицитно преосталим граничним условом y(x) = a. Једначина циклоиде се често даје у следећем параметарском облику (који се може добити заменом у интегралу):

\[ x(\theta) = \frac{\alpha}{2}(1 - \cos 2\theta), \quad y(\theta) = \frac{\alpha}{2}(2\theta - \sin 2\theta). \]

Конструише је траг, почетне додирне тачке, када се круг полупречника α/2 котрља дуж праве линије (обрне за угао 2θ). Циклоида је нарочити облик трохоиде и посебан пример рулете, криве коју ствара крива која се котрља по другој кривој.

Циклоида је кружница чији се центар помера и у том смислу је слична кладиву које се окреће око бацача у искораку ради бољег замаха и веће брзине тега за већи домет. То је добитак максимума помоћу минимума (снаге такмичара), насупрот пропадању где минимум (времена) настаје из максимума. Брахистохрона је леп, мада сложенији, пример начела минимализма.

Fizeau » eng

Питање: Шта је са Снеловим законом (Snell) у покретнној средини?

Одговор: Хиполит Физо је 1851. изводио експерименте мерења релативне брзине светлости у води која се креће, попут шеме на слици лево. Према знањима тог времена, светлост која путује кроз покретну средину била би вучена кроз медијум, тако да би измерена брзина светлости била збир брзине средине и брзине светлости кроз медијум. Физеау је заиста открио ефекат повлачења, али далеко мањи од очекиваног. Касније (1905) са теоријом релативности и Лоренцовим трансформацијама објашњен је тај мањак.

Према Лоренцовим трансформацијама (Defect):

\[ dx = \gamma(dx' + vdt'), \quad dz = dz', \quad dt = \gamma(dt' + \frac{v}{c^2}dx'), \]

где је сада Лоренцов коефицијент γ = 1/(1 - v²/c²)^-1/2. Рецимо да светло из исходишта дуж x-осе наилази на воду (стакло, провидни медиј) кроз коју иде брзином c' = c/n.

Тада су компоненте брзина светла у покретном медију:

\[ u_x = \frac{dx}{dt} = \frac{\gamma(dx' + vdt')}{\gamma(dt' + \frac{v}{c^2}dx')} = \frac{\frac{dx'}{dt'} + v}{1 + \frac{v}{c^2}\frac{dx'}{dt'}} = \frac{c'_x + v}{1 + \frac{c'_xv}{c^2}}, \] \[ u_z = \frac{dz}{dt} = \frac{dz'}{\gamma(dt' + \frac{v}{c^2}dx')} = \frac{c'_z\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 + \frac{c'_xv}{c^2}} = 0. \]

Када светлост наилази на површину медија под упадним углом α = 0, излазни је тада β = 0, нема скретања ка нормали и c'_z = 0. Према томе, мање брзине медија v или већи коефицијент преламања n, повлачиће више и ближе збиру брзина медија и светлости кроз медиј.

Пример 1. На следећој слици покажимо да за пут светлости кроз медиј (Δℓ), наставак пута апсцисом (Δx₀) и спуштање за висину (Δz₀) важи:

Δℓ₀ = Δs₀/cos β₀,     Δx₀ = Δs₀/cos α₀,     Δz₀ = Δs₀ (tg α₀ - tg β₀) cos α₀,

где је Δs₀ дебљина слоја оптичког медија. Медиј мирује (v = 0).

Решење: Дебљина слоја Δs₀ = NQ је узета дуж нормале на површ медија, испрекидане линије NQ у првој тачки. Наставак пута апсцисом Δx₀ = NM је хипотенуза правоуглог троугла MNQ углова ∠Q = 90° и ∠N = α₀. Отуда Δx₀ = Δs₀ / cos α₀ и MQ = Δs₀ ⋅ tg α₀.

Троугао PNQ такође је правоугли, са углом ∠N = β₀, па је пут светлости кроз медиј NP = Δℓ₀ = Δs₀ / cos β₀ и PQ = Δs₀ ⋅ tg β₀. Са висином Δz₀ = CA повученом из тачке M добијамо правоугли троугао са углом ∠M = α₀, а отуда:

Δz₀ = MP ⋅ cos α₀ = (MQ - PQ) ⋅ cos α₀ = Δs₀ ⋅ (tg α₀ - tg β₀) ⋅ cos α₀

и то је последња од тражених једнакости. ∎

Као бонус овом ево још једног примера. Преламање (рефракција) таласа је промена смера која настаје када таласи путују из једне средине у другу. Преламање увек иде са променом таласне дужине и брзине. Дифракција је савијање таласа око препрека и отвора. Количина дифракције расте са повећањем таласне дужине.

На слици десно зрака светлости долази са леве стране брзином c и прелама се кроз средину (смеђа трака) коју у мировању пролази брзином c' = c/n < c, приказаном вектором \(\vec{u}_0\), да након изласка у тачки P₀ настави брзином c све до тачке A₀. То је слика статичне средине преламања.

Међутим, ако се средина (медиј) креће брзином v, паралелно са апсцисом, она повлачи за собом светлост у брзину интензитета:

\[ u = \frac{c' + v}{1 + \frac{v}{c'}\frac{1}{n^2}},\quad n > 1, \]

која на излазу наставља опет брзином c. Ово је брзина након преламања, чији је правац у мировању под углом θ₀ = α₀ - β₀ према x-оси (апсциси), а θ за посматрача који види кретање. Пројекције брзине првог на x-осу, y-осу и z-осу, редом су:

u_x = u⋅cos(α₀ - β₀),     u_y = 0,     u_z = u⋅sin(α₀ - β₀).

Контракција дужине медија по правцу кретања даје Δx = Δx₀/γ, дужинu коју види посматрач кретања, док је дуж окомитих оса нема. Зато θ > θ₀, па излазна тачка из медија није више P₀, него је P, а завршна постаје A. Са дебљином медија, размак AA₀ расте.

Као у горњем (Crash), питање је шта ће бити са посматрачем који се креће заједно са медијем, у односу на тог који види њихово кретање брзином v, ако је на позицији A светлосни прекидач који би могао активирати веома другачије окружење унутар просторије. Одговор је једнак претходном, да тај покретни припада другачијој реалности (Dimensions) од оне у коју се силази из покретног простора у простор релативног посматрача њиховог кретања брзином v. Погледајте и „Angles“ ниже у блогу.

Lorentz » eng

Питање: Имате ли једноставније извођење Лоренцових трансформација од горњег (Defect)?

Одговор: Да, то су добро познати задаци Ајнштајнове специјалне теорије. Она је заснована на два принципа од којих се први тиче релативности кретања: „Сви су закони физике инваријантни, тј. једнаки, у односу на посматраче из инерцијалних референтних оквира.“ Други принцип тиче се универзалне брзине светлости. Брзина светлости (c = 299 792 458 m/s, у вакууму) је константна за сваког инерцијалног посматрача. Наставак је из једне моје недавне (2017) књиге (Простор-Време, Пример 1.4.1.).

1. Пример. Изведимо Лоренцове трансформације:

x' = γ(x - βct),     y' = y,     z' = z,     ct' = γ(ct - βx),

где су Лоренцов коефицијент гама и параметар бета, редом:

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad \beta = \frac{v}{c}. \]

Користимо два принципа Ајнштајнове специјалне релативности.

Извођење: У општем случају, за константну брзину v дуж апсциса, x-оса, имамо линеарност трансформација:

x' = γ(x - βct),     y' = y,     z' = z,     ct' = act - bx,

где су γ, β, a, b непознате константе које тек треба одредити. Оне се своде на класичне, Галилејеве, са γ = 1, β = v/c, a = 1 и b = 0.

Исходиште O', позиције x' = 0, креће се константном брзином v апсцисом система O, тако да је x = vt, отуда β = v/c. Обрнуте трансформације имају исту форму, са брзином супротног знака, x = γ(x' + βct'), при чему је x = ct када год је x' = ct', па имамо:

x' = γ(x - βct) = γ(x - βx) = γ(1 - β)x,
x = γ(x' - βct') = γ(x' - βx') = γ(1 - β)x',

xx' = γ²(1 - β²)xx',

\[ \gamma^2 = \frac{1}{1 - \beta^2} = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}. \]

Трансформација времена следи такође из услова x' = ct' ⇔ x = ct, одакле ct' = γ(ct - βx), а то је и тражено. ∎

Интервал је задат квадратом, псеудо-еуклидским изразом:

(ds)² = (dx)² + (dy)² + (dz)² - (dct)²,

који се пише и без ових заграда. Ова форма је инваријанта Лоренцових трансформација. Наиме,

(ds)² = [dγ(x' + βct')]² + (dy')² + (dz')² - [dγ(ct' + βx')]² =

= γ²(1 - β²)(dx')² + (dy')² + (dz')² - γ²(1 - β²)(dct')² = (ds')²,

обзиром на вредности параметара гама и бета. Иста, претпостављена, користи се за још један начин извођења Лоренцових трансформација, даље из претпоставке њихове линеарности и симетрије координата простора и времена:

x' = γ(x - βct),     y' = y,     z' = z,     ct' = γ(ct - βx).

Дилатација времена следи ову инваријантност. Пут dℓ који се пређе брзином v за време dt је дужина dℓ² = dx² + dy² + dz². Изједначавањем интервала ds² = dℓ² - c²dt² = dℓ'² - c²dt'² = ds'², а у једном од два система брзина посматране тачке је нула, па налазимо:

\[ dt = \frac{dt_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \]

Ту је t₀ протекло време у којем дата тачка мирује, а t је време каквим га мери посматрач кретања.

Контракција дужина. Посматрамо дужину x'_b - x'_a = Δℓ₀ која мирује у покретном систему и Лоренцовим трансформацијама израчунавамо Δℓ каквом је види релативни посматрач из другог система:

Δℓ₀ = x'_b - x'_a = γ(x_b - βct_b) - γ(x_a - βct_a) =

= γ(x_b - x_a) - γβc(t_b - t_a) = γ(x_b - x_a) = Δℓ,     t_b - t_a = 0.

Крајеве дужине сматрамо истовременим (t_b = t_a), па је:

\[ \Delta \ell = \Delta \ell_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}, \]

та дужина Δℓ₀ постављена уздуж правца кретања брзином v како је види посматрач кретања. Дужина Δℓ₀ је сопствена, док је Δℓ релативна.

Напомена. Спорији ток времена, гледано као спора учесталост догађаја и тада мања количина неизвесности у смислу веће усмерености, па зато повећане инертности у односу на време релативног посматрача, дало би овде већу релативну енергију, E = E₀⋅γ, сразмерно времену. То одговара глобалном, статистичком посматрању, за разлику од локалног ΔE⋅Δt = h, на пример, за фотон.

Тиме се може разумети и увећање енергије, односно већа маса тела које слободно пада из позиције изван гравитационог поља тела масе M на удаљеност r од његовог центра:

\[ m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{2GM}{rc^2}}} \]

у књизи Спрега Информације, 114. пример. Друго је питање може ли се на исти начин разумети и непокретна маса, тамо хипотетички уведена (3.22); мања од ове, али је већа за мирно тело на мањој удаљености од центра.

Angles » eng

Питање: Како Лоренцовим трансформацијама извести контракцију дужине и промену угла нагиба штапа нагетог према оси кретања?

Одговор: На слици десно је такав штап AB у равни Oxy правоуглог Декартовог система координата (Oxyz). Крајеви штапа су тачке A(x_A, y_A) и B(x_B, y_B) са нагибом према апсциси θ. Сопствена (у односу на мирног посматрача) дужина штапа је Δℓ₀, а њене су пројекције на x и y-осе, редом: Δx₀ = Δℓ₀⋅cos θ и Δy₀ = Δℓ₀⋅sin θ.

Паралелно апсциси (x-оси), штап се креће брзином v и (само) у том правцу се дужине скраћују. Пројекције на осе релативном посматрачу, који види кретање, износе:

\[ \Delta x = \Delta x_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}, \quad \Delta y = \Delta y_0 \]

и нема их по z-оси. Релативна дужина штапа је:

\[ (\Delta \ell)^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 = (\Delta x_0)^2 + (\Delta y_0)^2 - \frac{v^2}{c^2}(\Delta x_0)^2 = \] \[ = (\Delta \ell_0)^2 - \frac{v^2}{c^2}(\Delta \ell_0 \cos \theta)^2 = (\Delta \ell_0)^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\cos^2\theta\right), \] \[ \Delta \ell = \Delta \ell_0 \sqrt{1 - \frac{(v\cos \theta)^2}{c^2}}. \]

Овде је v_ℓ = v cos θ пројекција брзине на правац штапа. Сопствена дужина и угао су Δℓ₀ и θ₀, а релативне Δℓ и θ, при чему је тангенс овог угла:

\[ \text{tg }\theta = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y_0}{\Delta x_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{\text{tg }\theta_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \]

Тангенс релативног угла θ је увећани тангенс сопственог θ₀ сразмерно са дилатацијом времена. Релативном посматрачу се штап скраћује, али се и усправља.

Напомена. Светлост која се прелама кроз оптичку средину (Fizeau) која се креће, још више се прелама релативном посматрачу. Зато се појављује вертикални размак између сопствене (A₀) и релативне (A) тачке застора на излазу, на местима где се могу поставити светлосни прекидачи који би учеснике водили у различите будућности.

Proper Velocity » eng

Питање: Шта је то „сопствена брзина“?

Одговор: Сопствена брзина је она какву објекат види из сопственог оквира, система из мировања. Та Ајнштајнова (слика лево) брзина, је мерена сопственим временом τ које је успорено из релативног:

\[ \Delta t = \frac{\Delta\tau}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \]

Релативистичка дилатација интервала времена је сопствени интервал Δτ, време протекло самом телу (посматрачу који мирује поред тела), повећан на релативни интервал Δt, посматрано из кретања. Сопствени посматрач се од релативног удаљава брзином v, уједно док се релативни удаљава од сопственог брзином -v; оваква су управо кретања „сопственим брзинама“ супротног смера.

1. Изражен помоћу сопствене брзине, импулс објекта:

\[ p = \frac{m_0v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \]

са сопственом масом m₀, оном коју има у мировању, p постаје физичка величина за коју важи први постулат релативности (сви закони физике су инваријантни у односу на посматраче из инерцијалних референтних система, тј. оквира). Такав „импулс“ расте са успоравањем времена.

Приметимо колико је напомена у одговору „Lorentz“ усклађена са овим. Спорији ток времена, ако је то спорија учесталост догађаја са смањеном количином неизвесности, већом усмерености , зато већом инертношћу, представља већу релативну енергију, E = E₀⋅γ, сразмерно времену.

2. Доследно овоме дефинишемо релативистичку силу:

\[ F = \frac{d}{dt}(\gamma m_0 v) = \frac{d}{dt}\frac{m_0v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \]

Помоћу силе дефинишемо релативистичку кинетичку енергију (E_K). То је разлика крајње и почетне енергије тела које је под дејством дате силе (F) из стања мировања достигло одређену брзину (v). Интегралимо тај збир:

\[ E_K = \int_0^v F\ dx = \int_0^v \frac{dp}{dt}\ dx = \int_0^v \frac{d(\gamma m_0 v)}{dt}\ dx = \] \[ = m_0 \int_0^v \frac{d}{dt}\left(\frac{v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\right)\ \frac{dx}{dt}dt \] \[ = m_0\left(v\cdot \frac{v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - \int \frac{dv}{dt}\cdot \frac{v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\ dt \right)_0^v \]

То је парцијална интеграција, са dx/dt = v. Настављајући је, налазимо:

\[ E_K = m_0\left( \frac{v^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - \int \frac{v\ dv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)_0^v = \] \[ = m_0\left( \frac{v^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} + c^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)_0^v \] \[ = m_0\left(\frac{v^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} + c^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} - c^2\right) \] \[ = m_0\left[\frac{v^2 + c^2\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - c^2\right], \]

E_K = m₀c²(γ - 1).

3. Добили смо општи израз за релативистичку кинетичку енергију:

\[ E_K = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0c^2. \]

Он је доследан „сопственој брзини“ и то E_K је тачна вредност кинетичке енергије за све брзине v. У случају малих брзина (v/c → 0) ова E_K постаје класична кинетичка енергија. Наиме, развојем γ = (1 - v²/c²)^-1/2 у степен ред Тејлора:

\[ (1 - x)^{-1/2} = 1 + \frac12x + \frac38x^2 + \frac{5}{16}x^3 + ..., \]

стављајући x = (v/c)², када v << c, занемарујући x виших степена, биће:

\[ E_K \approx m_0c^2\left(1 + \frac12\frac{v^2}{c^2}\right) - m_0c^2 = \frac12m_0v^2. \]

Као посебан случај, препознајемо кинетичку енергију класичне физике.

Massless » eng

Питање: Постоје ли честице без масе које имају импулс и енергију?

Одговор: Да, постоје физичке честице које су без масе. То су: глуон, фотон и гравитон. Прве, глуони су честице без масе које држе заједно атомска језгра. О фотонима сам писао у недавној скрипти (Спрега Информација, 3.2.1 Светлост) на један начин, али овде ћу исто мало другачије, да избегнем понављање. У линку слике прочитајте: „Како честице без масе реагују на гравитацију?“.

У објашњењу честице без масе које имају импулс и енергију, пођимо сада од израза за кинетичку енергију претходног одговора (Proper Velocity, 3):

E_K = γm₀c² - m₀c²,

E = γm₀c² = E_K + m₀c².

1. То E = γm₀c² је укупна релативистичка енергија система. Ако је брзина v = 0, добијамо енергију система у мировању E₀ = m₀c², где му је m₀ маса мировања, а c ≈ 300 000 km/s је брзина светлости у вакууму. Обзиром на Лоренцов коефицијент γ, даље налазимо:

\[ E^2 = \left(\frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\right)^2, \] \[ E^2\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = m^2_0c^4, \] \[ E^2 - \frac{E^2v^2}{c^2} = m_0^2c^4, \]

па опет због Ev = γm₀vc² = pc², даље налазимо:

E² - p²c² = m₀²c⁴,

E² = m₀²c⁴ + p²c².

2. Добили смо за укупну релативистичку енергију:

\[ E = \sqrt{m_0^2c^4 + p^2c^2}. \]

То је веома важан израз за модерну физику. Ево неколико једноставнијих употреба. Када честица мирује, v = 0, импулс је p = 0 и укупна енергија је E = m₀c². Други пример, ако је брзина блиска светлосној, v → c, али маса честице неограничено, расте биће pc >> m₀c² и E ≈ pc.

3. Трећи пример, ако m₀ → 0, опет имамо:

E = pc,

(γm₀c²) = (γm₀v)c,

v = c.

То је управо одговор на постављено ми питање, да честица без масе може имати импулс и енергију, али се тада мора кретати брзином светлости.

Из ове следи и, на пример, позната нам Луј де Бројева релација, p = h/λ, са h Планковом константом и λ таласном дужином. Фотон фреквенције ν има енергију E = hν = pc, а λν = c.

4. Напомена. Са теоријом информације правим и корак даље од овога. Разматрам и стања аналогна честицама, али без масе, енергије импулса. Понешто од тога сам већ писао, било за приватну употребу (попут ових блогова) или јавно (са рецензијама), наводећи их као апстрактне исказе математике, или свевременске истине.

Maupertuis » eng

Питање: Какав је то Мопертуисов принцип?

Одговор: Моперти (1747) је један од откривача принципа најмањег дејства, тада сасвим несхваћених. Назвао је:

S₀ = mvs

дејством, акцијом. Једноставно сматрајући већим дејством (S₀) то које се дешава већој маси m, када има већу брзини v и на дужем је путу s. Природа тежи одржавати ово дејство константним, утврдио је.

1. Приметимо да ће одржавањем такве величине тело, одбијајући се од подлоге, постићи исти ефекат као светлост која се одбија од огледала. Тако је са телом на горњој слици лево које пролази тачком A, одбија се ударајући у препреку (апсцису) у тачки C да би у тачку B стигло што је могуће краћим путем A-C-B, уз тражени услов. Уједно то је и најкраће време путовања, али и са најмањом променом „дејства“ (S₀).

Знајући да важи закон одржања импулса, \(\vec{p} =\) const, лако налазимо да ће пројекције пређених путева тела на x и y-осу у једнаким временима исто бити конзервиране, Δx, Δy = const, а стога и упадни угао мора бити једнак одбојном, α = β. То је резултат одбијања светлости (Snell), при чему овде имамо константе импулсе ка и од апсцисе до и након тачке C.

Наиме, за вектор \(\vec{p} = m\vec{v}\), као и за сваку његову компоненту \(\vec{p} = \vec{p}_x + \vec{p}_y\), важе закони одржања. Тако ова прва (\(\vec{p}_x\)) пре и после судара остаје иста, а друга (\(\vec{p}_y\)) мења смер, у размени акције и реакције са подлогом нултог импулса, након еластичног одбијања (колико преда толико добије).

2. На слици десно видимо путању тела које силази y-осом сталном брзином v_y, уједно померајући се из тачке A до C хоризонтално са брзином v_x = v sin α, а од тачке C до B наставља са мањом брзином v'_x = v' sin β, тако да укупно има најмању промену Мопертијевог дејства (S₀). Ово је еквивалентно преламању светлости (Snell), али овде не примећујемо (Ферматов) принцип најкраћег времена, јер приоритет има закон одржања енергије.

3. Наиме, из делова дејства облика:

\[ dS_0 = mv\ dx = mv\frac{dx}{dt}\ dt = 2\frac12mv^2\ dt = 2E_k \ dt, \]

најмање укупно дејство је збир најмањих његових промена дуж путање:

\[ \delta\int dS_0 = 0, \] \[ 0 =\delta\int (2E_k)\ dt = \delta\int (E_k + E - E_p)\ dt = \delta \int (E_k - E_p)\ dt, \]

јер је укупна енергија E константан збир кинетичке (E_k) и потенцијалне (E_p). Међутим, последњи је интеграл лагранжијана (L = E_k - E_p), за који важи принцип најмањег дејства физике:

\[ \delta \int L(x, \dot{x}, t)\ dt = 0. \]

Дакле, услов конзервације енергије (E = const.), начело Хамилтонијана (E_k + E_p = const.), води Мопертијево непосредно начелу Лагранжијана (E_k - E_p = const.), односно принципу најмањег дејства које данас чешће користимо.

На пример, погледајте 19. задатак у Спрега Информације, да централне трајне силе (гравитација, Кулонова) опадаjу са квадратима удаљености, да покрећу набоjе по траjекториjама елипса, парабола или хипербола, а да потег до њих у jеднаким временима пребрише jеднаке површине. Тај завршни од низа резултата, Лагранжовим принципом најмањег дејства, повезује наизглед неповезане физичке појаве.

4. Напомена. Мопертијева акција, рецимо дуж апсцисе, може се писати помоћу импулса дуж те осе S_x = mvx = px. Тада она задржава исти смисао и код безмасених честица-таласа, на пример у случајевима светлости. Све до макар њихових таласних дужина λ, а када је x = λ, онда је p = h/λ, где је h Планкова константа. У тој крајности, Мопертијева акција постаје квант дејства. За кванте дејстава важе закони одржања и отуда, збирно у макро телима, природа тежи одржавати Мопертијева дејства константним.

Међутим, кванти дејства еквивалентни су физичким информацијама, па је практичније дејство писати као производ промене енергије (ΔE) током протеклог времена (Δt), јер је ΔE⋅Δt = Δp⋅Δx = h, где је Δp такође промена, али импулса током пута Δx. Честице-таласи су увек осциловања којима се смењују поменуте величине. Макро свет, у којем се интервали времена Δt могу сматрати једнаким, закон одржања дејства h постаје закон одржања енергије.

Projectile » eng

Питање: Објасните ми Мапетвијев принцип на примеру косог хица?

Одговор: У наставку претходног, објашњавао сам да Мопертијева „акција“ није толико практична колико је начелна, али ево и тог „школског примера“ примене у провери Њутновог закона, како сила маси даје убрзање. Задатак је коси хитац, а начело најмањег дејства ће нам нешто потврдити о сили и убрзању (\(F = m\ddot{y}\)).

На слици лево и прилогу, ортови (јединични вектори) x и y-осе су \(\hat{i}\) и \(\hat{j}\). Константно убрзање, \(\ddot{y} = -g\), има супротан смер ординати, али нема га дуж апсице \(\ddot{x} = 0\) и остаје да се бавимо само вертикалним кретањем — за однос силе и убрзања.

Тело масе m имало је почетну вертикалну брзину v₀. Постигло је највећу висину H након времена T, а затим падало симетрично. Занемарујемо и промену масе брзином и отпор ваздуха. Висина и брзина баченог тела су функције времена, редом:

\[ y = v_0t - \frac12gt^2, \quad v = v_0 - gt. \]

Елиминацијом времена налазимо брзине пројектоване на ординату:

\[ v = \pm \sqrt{v_0^2 - 2gy}, \]

приликом пењања (+) и падања (-). Мопертијево дејство је укупно:

\[ S = 2\int_0^H mv\ dy = 2m\int_0^H \sqrt{v_0^2 - 2gy}\ dy = \] \[ = -\frac{m}{g}\left[\frac{(v^2_0 - 2gy)^{3/2}}{3/2}\right]_{y=0}^H = \frac{m}{g}\frac{2v_0^3}{3}, \]

јер је у највишој тачки брзина нула, v₀² - 2gH = 0. Приметимо да mv⋅dy има физичку вредност производа импулса и пута, међутим и вредност E⋅dt, производа енергије и времена.

Укупна енергија тела је E = E_k + E_p = mv²/2 + Fy. To je збир кинетичке и потенцијалне, речима: полупроизвод масе и квадрата брзине тела и рад силе на путу. Ове две енергије су променљиве величине висином y или временом t, па их морамо распарчавати и интергалити, да бисмо добили укупна Мопертијева дејства. У наставку то ће бити множење енергије са трајањем (Et = py) да можемо интегралити по времену и узимати средњу вредност резултата током периода 2T, колико је тело провело у лету.

Енергије при пењању и спуштању симетричне су и израчунавамо просеке за по једну од њих:

\[ \mu(E_k) = \frac{m}{2T}\int_0^T (v_0 - gt)^2\ dt = \frac{m}{2T}\left[-\frac{1}{g}\frac{(v_0 - gt)^3}{3}\right]_{t=0}^T = \frac{mv_0^2}{6}, \] \[ \mu(y) = \frac{1}{T}\int_0^T y\ dt = \frac{1}{T}\int_0^T(v_0t - \frac{a}{2}t^2)\ dt = \frac{v_0^2}{3g}, \] \[ \mu(E_p) = F\frac{v_0^2}{3g}, \]

јер је v₀ - gT = 0, а сила је константна, иначе је негативна, па је просечна потенцијална енергија једнака производу такве силе и просечне висине, μ(E_p) = -F⋅μ(y). Даље користимо већ израчунато дејство:

\[ S = \frac{2v_0^3}{3g} \]

у просечној укупној енергији и налазимо њен оптимум:

\[ \mu(E) = \mu(E_k) + \mu(E_p) = \frac{mv_0^2}{6} + F\frac{v_0^2}{3g} = \frac{mv_0^2}{6} + F\frac{S}{2v_0}, \] \[ \frac{\partial \mu(E)}{\partial v_0} = \frac{m}{3}v_0 - \frac12 F S v_0^{-2} = 0, \] \[ F = \frac{2mv_0^3}{3S} = \frac{2mv_0^3}{3}\frac{3g}{2v_0^3} = mg. \]

Дакле, Њутн би био у праву када би рекао да „сила маси даје убрзање“, прецизније F = mg.

Ништа ново, рећи ћемо, јер ово знамо одавно. У расправи о потреби свега овога позивали смо се и на изјаву мађарског математичара Ђерђа Поје да „Математику сачињава и доказивање најочигледнијих ствари на најмање очигледне начине“. Међутим, проверавати и сумњати нормалан је посао истраживача и како то понекад бива, исплати се. На пример, сада знамо да је сила, дакле производ масе и убрзања, резултат принципа најмањег дејства — без помињања закона одржања енергије.

Напомена. На крају претходног одговора навео сам да закон одржања енергије следи из закона одржања (кванта) дејства — у условима када се може рачунати на једнаке интервале времена. Сада имамо да приоритет треба дати конзервацији дејства. Разматрам могућност да се време само тако регулише, односно израчунава, да затворен систем, од најмањег до највећег, има сопствене јединице трајања за које би те обе конзервације, енергије и дејства, једнако важиле. Али о том — потом.

Doppler » eng

Питање: Како је то могуће да су конзервирани и дејство и енергија, а друго је фактор првог? Можете ли ми то објаснити на примеру светлости?

Одговор: Задао си тешко питање. То је једна сирова тема и утолико изазовнија. Нарочито због тога што нам је светлост веома битна, а тако је посебна. Пре свега, она нема сопствено време, време јој је толико успорено (стоји) да јој континуитет долази од нашег и она заправо ни нема „сопствену брзину“ (Proper Velocity).

Оно што видимо као брзину светлости у вакууму c ≈ 300 000 km/s треба разумети као „брзину“ напредовања наше садашњости у нашу будућност. Наглашавам „наше“ мислећи на сопствене сваког субјекта посебно. Али, са друге стране, једнако има смисла говорити о просеку енергије (E) или просеку времена (Δt) фотона E = hf, са h ≈ 6,626×10^-34 J⋅Hz^-1 Планковом константом и f = 1/Δt фреквенцијом светлости. Предлагао сам то (књига „Простор-Време“, 1.3.3 Црвени помак, 2017) као пробну претпоставку.

Идеја је да не одређујемо светлост по ономе што она „може бити“, него по ономе како је виђена. Почетак је релативистички Доплеров Помак са два наставка. Посебно третирајмо интерпретацију фреквенција, другачије од таласних дужина. Израчунавамо просек фреквенција као када користимо Мопертијево дејство, а таласну дужину видимо просто као неодређеност положаја у правцу кретања.

Доњом линијом, брзином v креће се извор светлости, док на линији под углом θ на њу, бележимо два сигнала, отуда тренутака t₁ и t₂ у периоду Δt = t₂ - t₁, а током којег извор прелази пут Δx = v⋅Δt. Док се јави други сигнал, први је већ прешао пут Δx' = Δx⋅cos θ, према нама, вањском посматрачу.

Због величине удаљености ℓ од другог сигнала до посматрача, наспрам растојања Δx, сматрамо углове θ једнаким, а такође и места пријема сигнала у тренуцима t'₁ и t'₂. Време и трајање Δt' = t'₂ - t'₁ тих пријема је:

t'₂ = t₂ + ℓ/c,     t'₁ = t₁ + (ℓ + v⋅Δt⋅cos θ)/c,

Δt' = Δt⋅(1 - β⋅cos θ),     β = v/c.

Међутим, време извора и наше не теку једнаком брзином, јер је:

\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \]

где је Δt₀ сопствено време извора светлости, па је претходно:

\[ \Delta t' = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \beta^2}}\cdot(1 - \beta \cdot \cos\theta), \quad \beta = \frac{v}{c}. \]

Према томе, општа формула фреквенције за посматрача је реципрочно:

\[ f' = f_0 \cdot \frac{\sqrt{1 - \beta^2}}{1 - \beta \cos\theta}, \]

када је f₀ сопствена фреквенција извора светлости (коју види посматрач који мирује у односу на извор). Понављам, фреквенција је број трептаја, периода у јединици времена.

1. Пример. Докажимо релативистичку формулу Доплеровог ефекта за „црвени помак“ посматрача на линији кретања од извора светлости:

\[ f'_+ = f_0 \sqrt{\frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}}. \]

Доказ: Тада је θ = 180°, па за општу формулу налазимо cos θ = -1 и:

\[ f'_+ = f_0\cdot \frac{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 + \frac{v}{c}} = f_0 \sqrt{\frac{\left(1 - \frac{v}{c}\right)\left(1 + \frac{v}{c}\right)}{\left(1 + \frac{v}{c}\right)\left(1 + \frac{v}{c}\right)}} = f_0 \sqrt{\frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}}, \]

а отуда следи наведена формула. ∎

2. Пример. Докажимо релативистичку формулу Доплеровог ефекта за „плави помак“ посматрача на линији кретања ка извору светлости:

\[ f'_- = f_0 \sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}}. \]

Доказ: Тада је θ = 0°, па за општу формулу налазимо cos θ = +1 и:

\[ f'_- = f_0\cdot \frac{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 - \frac{v}{c}} = f_0 \sqrt{\frac{\left(1 - \frac{v}{c}\right)\left(1 + \frac{v}{c}\right)}{\left(1 - \frac{v}{c}\right)\left(1 - \frac{v}{c}\right)}} = f_0 \sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}}, \]

а отуда наведена формула. ∎

Зато што брзина светлости не зависи од брзине извора и λf = c, биће општа формула за таласну дужину светлости:

\[ \lambda' = \lambda_0 \cdot \frac{1 - \beta\cos\theta}{\sqrt{1 - \beta^2}}, \quad \beta = \frac{v}{c}, \]

где је опет θ угао правца кретања извора светлости таласне дужине λ₀ према посматрачу, који је види као λ'. Брзина светлости је c ≈ 300 000 km/s, а брзина њеног извора је v. Одавно су нам познати овај, такође и транферзални релативистички Доплеров ефекат (θ = 90°):

\[ f'_{\perp} = f_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}, \quad \lambda'_{\perp} = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}},\]

којег иначе нема у нерелативистичком, класичном Доплеровом ефекту звука, нити га данас узимамо за друге, споре таласе.

За средње вредности одлазећег и долазећег извора светлости налазимо:

\[ f'_{\pm} = \frac12(f'_+ + f'_-), \quad \lambda_\pm = \frac12(\lambda'_+ + \lambda'_-), \] \[ f'_{\pm} = \frac{f_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad \lambda_{\pm} = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \]

што је лако проверити сабирањем корена и уређивањем израза. Толико о познатим стварима, а сада се вратимо на постављено ми питање.

Просечно стање фреквенција узето по целом простору било би опет f_± и стога би се могло узети за „стварну“ фреквенцију светлости, коју фотони заправо немају. Оно што се креће брзином светлости није субјекат, него низ објеката који опажају учесници тока догађаја. Доследност у кретању тако опажаних ентитета последица је доследности света тих субјеката.

У складу са овим је израчунавање енергије на основу мањег дејства, па за енергију фотона налазимо E = hf_±. То је необична идеја, али је у складу са схватањем објеката као средњих вредности доживљаја субјеката око њих. Дубоко у темељима теорије информације је да бити значи комуницирати, трајати и утврђивати. До даљњег, због тога не бих тек олако одбацивао ту необичну мисао о средњој вредности дејства.

Напомена. Извор светлости који нам долази, као и сви објекти који нам се приближавају, нама долази из будућности у све ближу садашњост (јер им време тече успорено), да бисмо у тренутку мимоилажења имали исте садашњости. Обрнуто томе је са извором који се удаљава и који одлази у нашу све даљу прошлост (наше време тече брже). Скраћивање таласних дужина светлости долазећег извора тако постаје, у овој интерпретацији, као смањење неизвесности у будућности.

Least Action » eng

Питање: Тај коси хитац (Projectile), кажете „школски пример“ физике, део је општег начела теорије информације. Како?

Одговор: Бачени камен као коси хитац је школски пример лекција из физике. Овде из тог проблема издвајамо само висине (y-осе) по ординати, не и даљине (x-осе), а током времена (t-осе) са лева ка десно по апсциси. Видите ознаке тог вертикалног хица на графику десно.

1. Црвена путања је функција висина y(t) током времена t и, рецимо да је, линија најмањег дејства. У произвољном тренутку лета камена, t ∈ [t₁, t₂], посматамо и висине q(t) = y(t) + η(t), које одступају за неких произвољно бираних η(t) од оптималне висине y(t). Све то, што треба, улази на рачун „дејства“ коме налазимо минимум. Задатак је да се оно варира на сасвим опште начине, да би се стигло до принципијелно најмање акције. Поред осталог, зато ни полазна y(t₁) и завршна y(t₂) висина сада нису исте.

2. Свако физичко дејство преноси неку информацију, а и свака физичка информација чини неко дејство. Укратко, то је смисао еквивалентности физичког дејства и информације. Од тога почињемо, за сада само у мојој теорији информације, не и у физици. Додатно, приметићемо да се чешће реализују вероватнији догађаји, а да су такви мање информативни. Када знамо да ће се нешто десити па се то и деси, онда то и није нека вест. То двоје:

((физичко дејство) ⇆ (информација)) ∧ (минимализам информације),

темељ су даље приче.

3. Као што смо видели, физичко дејство је производ масе, брзине и пута (S = mvs), а отуда импулса и пута (S = px, пројектованих на исту осу), јер импулс је производ масе са брзином. Ако се дејство путем може мењати, онда морамо посматрати парчиће (ΔS = Δp⋅Δx) које треба сабирати, али свакако приметити (када Δx → 0):

\[ dp\cdot dx = \frac{dp}{dt}\ dt\ dx = F\ dx \ dt = dE\ dt. \]

Ово на инфинитезималном нивоу величина значи да је промена импулса временом сила (Δp : Δt = F), да деловање силе на путу врши рад, промену енергије (F Δx = ΔE). Коначно, утицај о којем причамо, односно физичка акција, је промена енергије током времена (S = Et). Промена импулса на путу, или промена енергије временом, дакле, подједнаки су еквиваленти физичке информације.

4. Перцепције су нам увек у коначним пакетима, јер бесконачност (тада у дељивости) дефинише особина да може бити себи прави подскуп, а онда нема ништа од закона одржања. То извлачим из Нетерине теореме (нпр. Приче о Информацији, 1.14 Еми Нетер, 2021). Дакле, свет перцепција је коначан, где год важи закон одржања. Зато су нам теореме, или докази, разумевање реалности и истина, попут кванта физичког дејства — увек у корацима, односно у опажањима коначних садржаја. Не утврђујем да су наше перцепције сва реалност.

Зато имамо Хајзенбергове релације неодређености по којима је производ неодређеност положаја и импулса, или производ неодређености времена и енергије, најмање реда величине Планкове константе. Оне су минимум физичког дејства, а такво је ограничено са доње стране. Доследно кажем, информација је оно ткиво простора, времена и материје, а неизвесност је њена суштина, без којег природа не може, а којег би хтела да се отараси.

5. Посматрајмо сада варијације око стационарних тачака, када је δ∫S = 0.

На слици видимо да су то екстреми, или превоји. Лево први је локални максимум када функција расте па пада, да је њена промена (δf = f₂ - f₁) позитивна па негативна, између чега је „стационарна тачка“ када је та промена нула (δf = 0). Око локалног минимума пада па расте и опет је између стационарна тачка у којој је промена вредности функције нула. Међутим, постоје и тачке „инфлексије“, где функција пада, застане, па настави падати, тако да је у тачки застоја њена промена нула. Таква је такође обрнута инфлексија, када функција расте, застане и опет расте. Ми тражимо стационарна места дејства, δ∫S = 0, циљајући минимум.

6. У варијацију δ∫S = 0 уврштавамо вредности дејства и настављамо са њом облика δ∫mvds = 0. Како је брзина пређени пут за протекло време, то је ds = vdt, па имамо δ∫mv²dt = 0. Производ масе и квадрата брзине тада је двострука кинетичка енерија, те је δ∫2E_k dt = 0. Међутим, збир кинетичке и потенцијалне је укупна енергија, E = E_k + E_p. Отуда бива кинетичка E_k = E - E_p, па имамо δ∫(E_k + E - E_p) dt = 0. Нашу варијацију даље растављамо на два сабирка:

δ∫(E_k - E_p) dt + δ∫E dt = 0,

δ∫(E_k - E_p) dt + δ(Et) = 0,

δ∫(E_k - E_p) dt + Eδt + tδE = 0.

У већим телима има смисла варирање производа енергије времена, δ(Et), који би на најмањем нивоу били кванти, али су варијације енергије нула, tδE = 0, јер претпостављамо да важи закон одржања енергије. Даље је:

δ∫(E_k - E_p) dt = -Eδt,

δ∫(E_k - E_p) dt = 0,

јер макро тела посматрамо у једнаким временским интервалима, када су варијације времена нула. Разлика кинетичке и потенцијалне енергије је Лагранжијан L = E_k - E_p и претходна варијација постаје:

δ∫L dt = 0.

Тај израз dS = Ldt и начин писања принципа најмањег дејства открио је Хамилтон (1834) и разрадио је Лагранж по којем је ова разлика енергија добила име. О примени лагранжијана у механици добро је прво пробати неке школске примере (Простор-Време, 1.2.6 Лагранжиjан) ради лакшег разумевања наставка.

У напомени (на крају одговора Projectile) још једном је примећено да се конзервација енергије може сводити на конзервацију дејства, дакле да из ΔE = const. следи Δt = const. Овде стоји то исто: tδE = 0 ⇒ Eδt = 0. Да просто узимамо једнаке временске интервале, јер тада то увек можемо.

7. Вратимо се сада на слику бацања камена са почетка овог одговора да потражимо оптималну путању y(t) помоћу овог „новог“, Хамилтоновог принципа. Са разним варијацијама η, ова путања није оптимална, него постаје q(t) = y(t) + η(t). Те су варијације мале па су таква и одступања:

δS = S[q(t)] - S[y(t)] = 0.

Затим, ту су неки примери и примена.

1. Пример. Покажимо да за кинетичку енергију E_k = mv²/2 функције q важи приближна једнакост

\[ E_k \approx \frac12m\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + m\frac{dy}{dt}\frac{d\eta}{dt}. \]

Доказ: Израчунавамо E_k = mv²/2, редом:

\[ E_k = \frac12m\left(\frac{dq}{dt}\right)^2 = \frac12m\left[\frac{d}{dt}(y + \eta)\right]^2 = \] \[ = \frac12m\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + m\frac{dy}{dt}\frac{d\eta}{dt} + \frac12m\left(\frac{d\eta}{dt}\right)^2, \]

а због малих прираштаја η последњи квадрат занемарујемо. ∎

Развојем потенцијала у ред, налазимо:

E_p(q) = E_p(y + η) = E_p(y) + ηE'_p(y) + η²E''_p(y) + ...

E_p(q) ≈ E_p(y) + ηE'_p(y).

Из примера следе сабирци дејства:

\[ S[q(t)] = \int_{t_1}^{t_2}[E_k(q) - E_p(q)]\ dt = \] \[ = \int_{t_1}^{t_2} \left[\frac12m\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + m\frac{dy}{dt}\frac{d\eta}{dt} - E_p(y) - \eta E'_p(y)\right]\ dt \] \[ = \int_{t_1}^{t_2} \left[\frac12m\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 - E_p(y)\right]\ dt + \int_{t_1}^{t_2}\left[m \frac{dy}{dt}\frac{d\eta}{dt} - \eta E'_p(y)\right]\ dt. \] \[ S[y(t)] = \int_{t_1}^{t_2} [E_k(y) - E_p(y)]\ dt = \int_{t_1}^{t_2}\left[\frac12\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 - E_p(y)\right]\ dt. \]

Према томе, варијација дејства, δ S = S[q(t)] - S[y(t)] = 0, постаје:

\[ \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left(m\frac{dy}{dt}\frac{d\eta}{dt} - \eta E'_p(y)\right)\ dt = 0, \]

а ово парцијалном интеграцијом даје:

\[ \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left[-m \frac{d^2y}{dt^2} - E'_p(y)\right]\eta\ dt = 0, \quad \forall \eta. \]

Користећи фундаменталну лему варијационог рачуна, произвољан фактор η даје да израз у угластој загради овог интеграла буде нула:

\[ -m \frac{d^2y}{dt^2} - E'_p(y) = 0, \]

-ma + F(y) = 0,

F = ma.

Дакле, добили смо као и у претходном решавању (Projectile) да „сила маси даје убрзање“, прецизније F = mg. У претходном решењу помоћу „Мопертијеве акције“ (произовда масе, брзине и пута), а овде помоћу „лагранжијана“ и Хамилтоновог принципа најмањег дејства.

8. Оптимално дејство је стационарно, минимално, а оно што природу води ка мањем производу импулса и пређеног пута, односно енергије помножене са протеклим временом, у оквиру класичне механике биће класична механичка, дакле Њутнова сила (производ масе и убрзања). Она је апроксимација на коју редовно сводимо резултате како квантне, тако и релативистичке физике. Међутим, принципи најмањег дејства важе и за те две нове области физике. Показаћу то другом приликом.

Важније ми је овде указати на већу учесталост вероватнијих исхода, па стога и тежњу стања ка мање информативним, начелом минимализма, које посматрам такође као силу вероватноће. У таквој апроксимацији, несклоност стања природе неизвесности је „сила“. То је иста исконска, њутновска сила, која се еволуцијом развила у „страх од неизвесности“, или у потребу за потчињавањем (себе другима или друге себи), откуда склоност да вишак слобода мењамо за сигурност и ефикасност.

Virtual » eng

Питање: Како објашњавате виртуелне фотоне?

Одговор: Виртуелне честице су ми сличне онима какве их је у физику уводио Фајнман (1948) својим дијаграмима. Незнатне измене су због неких његових недоследности, а у осталом, јер теорија информације није само физика.

На слици лево видимо то једно класично квантно-механичко прескакање виртуелног фотона (γ) са једног електрона (e^-) на други, када фотон престаје бити виртуелан и постаје реалан да би са првог електрона на други однео импулс и спин. На пример, када је спин првог електрона +1/2, а другог -1/2, фотон спина +1 оставиће првог са спином -1/2 и другог са +1/2. Збир вектора импулса пре и после преноса такође остаје исти.

Рецимо, због неких недоследности су прва питања која су ме мучила у то време (Простор-Време, 2017), укратко речено, успешност тог насумичног гађања. Камо оде испуцана енергија фотона који ништа не погоди, зашто тада нема потрошње остављених електрона, или како то да фотон постаје реалан само након интеракције? У прилогу скрипте су појашњења делова ових питања помоћу „виртуелних сфера“ уместо линеарних фотона.

Виртуелни фотони су концентричне сфере изведене електроном из којег се шире и удаљавају брзином светлости. Оне су таласи сталних таласних дужина λ које преносе једнаке неизвесности (енергију E, импулс p, спин s), али опадајућих амплитуда a чији квадрати модула a^*a = |a|² су шансе интеракције са другим евентуалним електроном. У том делу се (замало) слажем са званичном квантном физиком.

На слици десно, горњи електрон је емитовао виртуелну сферу која одмиче брзином светлости c, обе са стрелицом у десно, да би доња та иста на удаљености ℓ достигла други електрон. Са евентуалном интеракцијом два електрона, тај фотон γ постаје реалан, укључује се у: „перцептибилни свет закона одржања и истина“, те препушта своју неизвесност другом. Прича даље иде физикално.

Енергија фотона E = hf. Ту је h Планкова константа, фреквенција f = 1/τ, а τ је период осциловања. Дејство Eτ = h, опет, је производ импулса фотона и његове таласне дужине, pλ = h. Отуда E = pc, енергија фотона је једнака производу импулса и брзине светлости c = λf. Одржање импулса p фотона и електрона види се тој слици десно, рецимо, где је M маса електрона, а v брзина његовог одмицања због интеракције фотона. Дакле:

Mv = p,     ℓ = c⋅Δt,

\[ M\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{E}{c}, \quad \Delta t = \frac{\ell}{c}, \] \[ M\Delta x = \frac{E}{c^2}\ell. \]

Даље наставимо помоћу овог интересантног предавања Famous Equation, чији доказ може изгледати као „Circulus vitiosus“ (због импулса фотона p = E/c), али је ипак коректан.

Стављамо се на место посматрача који мирује у односу на центар масе, M електрона и фиктивне масе m фотона, догађања пре и после интеракције, при чему други електрон може бити и много даље од ове дужине ℓ:

\[ \frac{M x_1 + m x_2}{M + m} = \frac{M(x_1 - \Delta x) + m(x_2 + \ell)}{M + m}, \]

M x₁ + m x₂ = M(x₁ - Δx) + m(x₂ + ℓ),

M Δx = m ℓ.

Добили смо једнакост попут равнотеже Архимедове полуге. Међутим, из претходног, M Δx = E ℓ/c², па уврштавајући то налазимо:

\[ \frac{E}{c^2}\ell = m\ell, \]

E = mc².

Ова фиктивна маса фотона одједном постаје реална m = E/c². Реална се енергија E, односно маса m преноси овом интеракцијом. Центар маса је такође испоштован, ваљане су релације између и особине елементарних таласних дужина, фреквенција и импулса.

Последњи део ове приче, одговора на постављено питање, нефизикалан је и тиче се моје теорије информације. Прецизније речено, надовезује се на идеју да постоје обе, реалност и фикције, где су те потоње недоследне како у опажљивости, тако у опстајању и тачности.

Ту је еквивалентност света истина и лажи једна од обавеза. Затим, стоји и могућност везивања тих других са првима када они постају спрега између осталог и животности. Моћ таквих удружења је да бирају изван принципа најмањег дејства неживе физичке твари, да пркосе, или лажу и да јашући на физичкој реалности, тако смртни и јадни какви су, ипак манипулишу иначе неуништиву (неживу) стварност — демонстрирајући моћ и немоћ неизвесности. Тако даља прича постаје тема за себе.

Opposites » eng

Питање: Да ли је и колико је тачно да се супротности привлаче?

Одговор: Начелно, према теорији информације какву сам развијам, супротности се привлаче. Како је гужва на терену, међу позванима постоје и истиснути који испадају као да се одбијају.

1. Јербо је једнолика расподела најинформативнија (Екстреми), међу расподелама ограничених интервала, а природа спонтано тежи смањеној информацији то она иде ка различитостима. Али, постоје докази (Least Action, 1. пример) да је ход ка мањем сила (F = ma). То је спонтана сила природе којом би она да избегава неизвесности, али узалуд, јер је сва од неизвесности саткана. А оно што јој додатно отежава посао је одсуство губитака укупних количина због закона одржања.

2. Сила мења импулс временом (Δp = F⋅Δt) и врши рад на путу трошећи енергију (ΔE = F⋅Δx), из чега произилази:

\[ \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{\Delta E}{\Delta x}, \]

Δp⋅Δt = ΔE⋅Δx,

да „спонтана сила“ тежи мањем дејству, производу промене импулса на путу, односно промене енергије временом. Због еквиваленције дејства и информације, ово значи да емисије информације мењају како импулсе, тако и енергије субјеката који комуницирају.

Ово није нешто што не знамо, говорећи „сва физичка дејства преносе неке информације, али и све физичке информације чине нека дејства“ (Least Action, 2). Знамо да компјутер ради помоћу енергије, наш мозак такође, међутим, сада наглашавамо „свет фикција“, који постоји тако да је еквивалентан „свету стварности“, али је неопажљив, те неутемељен и лажан. Та „псеудо стварност“ удружена са „стварном стварношћу“ овој другој даје виталност, могућност слободнијег деловања (ван принципа најмањег дејства), а себи макар какву дуговечност, трајање.

3. Бежећи од више информација, природа узмиче пред већом силом и наступа против мање. Новост је да то можемо видети и са горње слике десно. Наиме, квантно стање је интерпретација вектора. Збир многих вектора тако је макро-стање објеката са независним опсерваблама као линеарно независном базом векторског простора. Ова два су показни:

\[ \vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j}, \quad \vec{b} = b_x\vec{i} + b_y\vec{j}. \]

Растављени су на збир по ортовима апсцисе и ординате. Приказан је и јединични вектор првог вектора и вектор пројекције другог на први:

\[ \vec{n}_a = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}, \quad \overrightarrow{OB'} = \vec{n}_a\cdot |\vec{b}|\cos\theta. \]

Систем Oxy је правоугли, па за скаларне производе важи:

\[ \vec{a}\cdot\vec{b} = \langle a, b\rangle = a_xb_x + a_yb_y = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta, \]

јер је такав производ истоимених ортова један, разноимених нула. Када су вектори поједина стања, скаларни ће производ моћи интерпретирати домет њихове узајамне интеракције.

4. То је углавном све што требамо знати за следеће примедбе, осим што је број димензија макро-стања (опсервабли) огроман. Међутим, када је база сасвим малобројна, онда би ови коефицијенти могли бити и комплексни бројеви. Квадрати модула коефицијената вектора су вероватноће појаве тих опсервабли (базних вектора) у интеракцијама. Свеједно, скаларни је производ збир множених парова одговарајућих компоненти (који се могу узајамно опажати).

У скрипти Спрега Информација (1.1.5 Гранична информација) наћи ћете једно корисно запажање. Сабирци Шенонове информације, -p_k⋅log p_k, са k = 1, 2, ..., n, у случају веома великог броја сабирака n → ∞, приближно се могу се сматрати вероватноћама. Ово је проширење скаларног производа на интерпретације збира производа информација до самих вероватноћа. Наравно, то нису једине репрезентације векторских простора унутар ове теорије информације.

5. Након горњег кратког увода, ево како налазимо да мање дејство иде на веће, а веће на мање, што се тиче спонтаности (мртве) природе и описане интерпретације векторима. На пример, помножимо векторе \(\vec{a} = (1, 3, 4)\) и \(\vec{b} = (2, 3, 5)\) оба са растућим коефицијентима, а затим први исти а други са опадајућим коефицијентима:

1⋅2 + 3⋅3 + 4⋅5 = 2 + 9 + 20 = 31,

1⋅5 + 3⋅3 + 4⋅2 = 5 + 9 + 8 = 22.

Видимо како спрега „мањи са мањим и већи са већим“ (31) даје већи збир од спреге „мањи са већим и већи са мањим“ (22). Кратко речено, природа се повлачи пред јачим, а напредује против слабијег — да би смањила ову спрегу, збир производа, када она бива „информација перцепције“. Линк је на књигу где можете наћи шира објашњења.

Међутим, са горње слике десно такође је видљиво зашто би информација перцепције била смањивана када мања сила (мање компоненте, утицаји) иде на већу и већа на мању. Наиме, тада је угао θ између стања већи, па је мањи косинус угла и мањи је скаларни производ. Приметимо да „псеудо стварност“ додата „стварној стварности“ ову другу чини виталном чинећи спрегу која може пркосити принципу најмањег дејства, са већим моћима бирања од мртве твари, ширећи њене слободе кретања противно горњем. Тада је способност супротстављања „већег већем и мањег мањем“ управо мера те неприродности, односно животности.

6. У поменутој векторској интерпретацији, горња „спонтана сила“ отвара угао θ између вектора тако што прераспоређује компоненте вектора. Они мањи теже већима и обрнуто, као супротности које се привлаче. Бежећи од вишка информација, природа измиче већем дејству, односно сили, да би ишла против мање. Шта рећи осим супротности се привлаче? Али, уз сва истискивања слабијих од јачих у тој гужви и разноликости (која је у бити неизвесности) ту је и виталност са управо супротним тежњама.

Јануар 2025 (English ≽)