Јули 2024 (English ≽)

Saddle

Питање: Шта је то седласта површ?

Одговор: Када равну еуклидску површ искривимо дуж апсцисе тако да тачке све удаљеније од полазне на обе стране буду све више, а уздуж ординате тако да су тачке даље од истог почетка све ниже. Може и обрнуто, као што се види на слици лево.

1. Када у почетку (црвена тачка на слици) вертикална кружница тангира апсцису (одозго), а још једна усправна, али окомита на прву, тангира ординату (одоздо), са полупречницима редом r_x > 0 затим r_y < 0, тада број κ = 1/r_xr_y називамо Гаусовом кривином површине. Када је κ = 0 површ је равне геометрије, еуклидска. Ако је κ < 0, коју видимо у случају седласте на слици, површ је негативне кривине. Када је κ > 0 као у случају сфере, површ је позитивне кривине. Негативне површи знамо као хиперболне, геометрије Лобачевског, а позитивне обично називамо Римановим, или сферним и елипсоидним.

Гаус је први нашао те кривине κ_x = 1/r_x и κ_y = 1/r_y (Theorema Egregium, 1827) да би примећивао како се површ кривине κ = κ₁κ₂ ≠ 0 не исправља без деформације. Уосталом, зато георгафију глобуса не можемо једнако тачно представљати равним картама. Ове идеје развио је његов ученик Риман проширујући тензорски рачун, а затим ју је прихватио Ајнштајн кроз општу теорију релативности.

Цртамо ли једнаке дужи од почетне тачке, црвене на слици, површином седла, њеним крајевима дефинишемо криволинијску „кружницу“ око ње полупречника дате дужине. Количник обима и пречника такве кружнице већи је од π, од односа обима и пречника кружнице равне геометрије. А када по седластој површини цртамо криволинијски „троугао“, спајајући три дате тачке најкраћим линијама и поставимо тангенте на те линије у теменима, биће збир три угла између тангенти мањи од π радијана (180 степени), што је мање од збира углова равног троугла.

2. На пример, у правоуглом Декартовом 3-дим систему координата Oxyz, када све висине z седласте површине са пројекцијама на раван Oxy падају у тачке (x, y), добијамо једначину z = x² - y² седласте површи. Када су x, а у другом случају y, константе, имамо вертикалне равни које су хиперболе у пресецима те седласте површи.

На слици десно је једна од таквих хипербола. Вертикални пресеци равнинама седласте повриши, са претходне слике лево, хиперболе су и зато се геометрија седластих површи назива и хиперболном.

Посматрамо ли исте вертикалне пресеке седласте површи горње слике, биће усправне хиперболе. Оне постају крацима окренутим на горе (удубљене, тј. конвексне), односно са крацима према доле (испупчене, конкавне).

3. Ову површ у општијем случају можемо писати z = f(x, y). Тако радимо са пресликавањима f: X × Y → ℝ, које, још општије, може бити из m-дим простора X ⊂ ℝ^m у n-дим простор Y ⊂ ℝⁿ. Ако је та површ компактна или кажемо потпуна (садржи своје граничне тачке), при чему је:

f(⋅, y) : X → ℝ конкавна за фиксирано y;
f(x, ⋅) : Y → ℝ конвексна за фиксирано x;

тада је:

\[ \max_{x \in X}\min_{y \in Y} f(x,y) = \min_{y\in Y}\max_{x \in X} f(x,y). \]

Формално, ово је Фон Нојманова минимакс теорема, чије последице и интерпретације су веома важне у теорији игара (Стратегије). Знатно су дубље као и важније од једноставности њене потврде на површи горње слике лево: најнижа тачка конвексне са највишом конкавне најстрмије хиперболе додирују се у једној, тзв. седластој тачки, на слици црвеној.

4. На пример, продавац има известан дневни промет и очекивани приход неких z новчаних јединица. Тај се приход повремено мења, тако да је све веће одступање од очекиваног све мање вероватно, али је већа вест и већи разлог за страх када се приход смањује, или за радост са његовим растом. Прво су вероватноће, друго информације. Дискретност вредности новца занемарујемо.

Када вредности вероватноћа и информације пројектујемо на Oxz и Oyz равни, након нивелације, или баждарења дужина апсцисе, ординате са апликатом, добијамо седласту површ прихода. Минимакс теорема рећи ће тада (очигледну) истину, да је очекивана вредност прихода највећа у вероватноћи, а најмања информативна (вест).

Senses

Питање: Како користити минимакс теорему у информацији перцепције?

Одговор: Као уопште теорема, то и минимакс, са тачним почетним условима тачно предвиђа. Често она може и са отприлике тачним претпоставкама давати довољно добре процене, а теоријом хаоса разликујемо оне ретке ситуације када приближни почетни услови воде у значајно различите крајње резултате. Иначе, то разматрање припада претходном разговору (Saddle), а само због дужине је посебно.

На слици лево видимо векторе са по n = 1, 2, 3, ... компоненти:

\[ \vec{a} = (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n), \quad \vec{b}_k = (\beta_{1k}, \beta_{2k}, ..., \beta_{nk}) \]

интензитета a и b, који у паровима дефинишу (када се не поклапају) само по једну раван. Према „Информацији Перцепције“, теорије у развоју, ови вектори могу бити нека „физичка стања“, рецимо објекта A и субјекта B, а њихов скаларни производ је „узајамна спрега“, тада комуникације, али и информације перцепције. Према томе, компоненте ових вектора причају о шансама опажања два учесника живе или мртве природе около.

Чак и са бројем могућности n → ∞, према Борељ-Кантелијевој леми, само коначно много њих биће релевантне, па нека су то ове. Сваки субјекат ће на јединствен начин (Only One) опажати околину. Са једнаким вектором \( \vec{a} \) тада „исти“ учесник \( \vec{b}_k \), на слици k ∈ {1, 2, 3} и макар истог интензитета, норме векторског простора \( b = \|\vec{b}_k\| \), не мора разапињати исту раван.

У микро-физици, такав број компоненти веома је мали. Електрон у атому има само четири квантна броја, тада n = 4. Како се од истих грађевинских елемената састоје и већа тела, то је њихов овај број компоненти (n) веома велик, са можда више милиона или милијарди, али то је небитно, јер ови закључци су и теоријски занимљиви. Посматрамо пројекцију стања B на A, дакле вредност у загради скаларног производа:

\[ S_k = \vec{a}\cdot\vec{b}_k = a_1b_{1k} + a_2b_{2k} + ... + a_nb_{nk}, \] \[ S_k = \vec{a}\cdot\vec{b}_k = ab\cos\varphi_k = a(b\cos\varphi_k). \]

Што је угао φ_k мањи то је косинус тог угла, cos φ_k ∈ (-1, 1), већи, па је већа пројекција, b⋅cos φ_k, стања B на стање A, иако капацитет, или интензитет b, може остајати константан. Међутим и са непроменљивим капацитетом опажања, објекта чулима субјекта, или интензитета a и b, промена смера вектора, стања субјекта B мења његове односе према околини A, па тако и дејства. Ако би се ова два вектора поклопила смером, онда би постојало и неко λ такво да је b = λa за интензитете, као и све коефицијенте, β_ik = λα_i, редом индекса i = 1, 2, ..., n.

Промена ових утицаја је у идеји реципроцитета теорије игара, на начин ове теорије информације. Што је угао φ између вектора мањи, опажање објекта од стране субјекта веће је, али може се рећи да је веће и дејство субјекта на објекат. У случају надметања (важи само за виталне) вишом том спрегом расте узајамна информација перцепције, па њоме и нивои игре. Виталност је напорна и нема је свако исту.

Највећи мајстори игре свој вектор B успевају скоро па залепити за вектор опонента. Тада побеђује онај који постиже одржавати више нивое игре, а други постаје плен (Sneaking) у игри коју лако губи. Ниво највише лиге је описано „лепљење“. Он увек побеђује други ниво, тј. „шетање“ од првог и „избегавања“, препуштања принципу најмањег дејства мртве природе, а оба побеђују тај најнижи ниво игре, који је близу неживе физичке твари. У старим разговорима и неким текстовима сам играче ових лига називао редом „злоће“, средњи су „манипулатори“, а на дну су „добрице“ (Traits).

Када смо ово расчистили, лакше је дефинисати предуслове за минимакс теорему. Могуће су различите њене примене, а ево једног лаког примера. Већим одступање угла φ од оптималног, овде нулте вредности, смањује информацију перцепције. Међутим, тада расте неизвесност, незнање B о објекту A, па можемо применити минимакс теорему: постоји јединсвена „седласта тачка“, максималне информације (простора X) и минималне неизвесности (простора Y) која их спаја.

Успешно праћење ове, иначе током игре променљиве, седласте тачке је мајсторство игре које води победи играча. Приметимо да је добар потез опонента бежање у неизвесност, непредвидивост, или креативност, што је иначе познато у сложеним сукобима. То се слаже са тумачењем „силе вероватноће“, које сматрам својим открићем као и ову теорију. Међутим, у случају мање сложене игре, када нема превише потеза, или играч има довољно времена, тада се овај пример може сводити и на класичне игре Фон Нојмана: потез који другом омете најбољи потез — води победи.

Aposematism

Питање: Занимљива је лакоћа којом примењујете минимакс теорему?

Одговор: Као у случају решавања задатака из геометрије, оваква је „лакоћа“ дошла са мајсторством кроз многе сате бављења темом. Та није ништа посебна и виђате је код разних вештих занатлија, верујте ми. Једнако је заводљива да неук помисли како би је могао опонашати, што у овом случају, у честом лошем навођењу теорема, појачава сумње у математику.

У томе видим део тешкоћа примене апстрактних метода у истраживању историје, психологије, биологије. Такве науке су, надам се да то видите, присутне у мојим расправама, али на сасвим неконвенционалан начин. Са друге стране, тенденција многих да ове методе подцењују, олакшава ми њихово откривање у другачијим знањима.

Саговорник ми је затим, неочекивано, предложио да испричам нешто о апосематизму. Нашао сам, апосематизам или апосемија, од грчког апо - даље и сематик - значење, је можда најчешћи облик знакова упозорења, код неких животињских врста ради заштите од грабежљиваца. Супротно скривајућим бојама, животиње су развијале способност обесхрабривања потенцијалних грабежљиваца јарким бојама свога тела, дајући им тако до знања да су отровна храна, или другачија опасност. И ево моје приче.

Са једне стране је способност имања већег потомства због дречавијих боја коже, веће сексуалне привлачности обојених парова, веће репродуктивне моћи и бољег трајања. То је простор X седласте површи (Saddle). Са друге стране је грабежљивцима мање привлачан плен тако обојених, неукусом, или отровношћу. Ово је простор Y. Трећи предуслов минимакс теореме је „потпуност“. Он се постиже дугим низом генерација, када дужина живота јединке бива занемарљива, скоро инфинитезимална, у односу на трајање еволуције врсте. Та три дају „седласту тачку“ у апосематизму.

Ове две „закривљености“ постоје и допуњавају се у заједничку екстремну тачку, максимумом прве и минимумом друге, највеће репродукције када је најмања угроженост, обе коинцидирајући са јарким бојама тела. Тиме дата врста постаје „изолована тачка“. У математичкој анализи називамо тачку z ∈ Z изолованом тачком, када око z постоји околина у којој осим z нема других тачака из Z. У биологији би „тачка z“ била једна таква врста која нема веома блиских сродника.

Апосематизам је распрострањенији код инсеката него код кичмењака, јер се, овако гледајући, то боље уклапа у минимакс теорему. Већина инсеката живи мање од годину дана јер су хладнокрвни и не преживљавају зиму, а са друге стране, фосилни записи инсеката сежу око 400 милиона година уназад до нижег девона. Дакле, однос трајања живота јединке и врсте код инсеката (тежи нули) повољан је за „потпуност“. Међутим, даље тражење оваквих потврда наивност је за математику, њени ставови нису доказиви, нити су оспориви емпиријски.

Када нема претпостављених простора X и Y седласте површи, или услова потпуности, онда нема тог фокуса и изоловане седласте тачке. Врста има „размрљан низ“ прелазних еволутивних облика током релативно краћег временског интервала. Чешће су видљивији развојни облици таквих.

Singularity

Питање: Док ми причате ово о апосемији, питам се да ли су седласте и изоловане тачке сродни појмови?

Одговор: Да, веома су сродне. У математици их разликујемо тек толико да допуштамо различите варијације сродних тема (в. линк слике лево). Упроштено речено, начином како налазимо седласте површи, проналазимо изоловане тачке, али обрнуто тек са малим варијацијама.

Наиме, ако је z седласта тачка из простора Z = X × Y (Saddle), онда она припада X и постоји извесна околини на којој она има највећу вредност. Иста тачка у околини Y има најмању вредност. Таква z ∈ Z јесте седласта тачка простора Z, а око ње нема других таквих. Иначе, ма како био мали интервал, околина седласте тачке, ту постоје тачке које имају и мању и већу вредност од ње. Али, обрнуто, сингуларна тачка је локални минимум, максимум, или превој, а тек у трећем случају је седласта тачка. Сингуларна је и „фалична“, кад носи најмању вредност али не и највећу, или обрнуто, са највећом је без најмање, као две на следећој слици.

Разликујемо „положај тачке“ од „вредности тачке“, надам се. На пример, на месту том-и-том налази се брдо висине те-и-те. Згода тих теоретисања је, познаваоцу математике, невероватна лакоћа примена њених теорема, где год имамо одговарајуће претпоставке. Прва је претпоставка Банахов простор, комплетан векторски простор снабдевен нормом, или се назива метрички простор, али који садржи граничне вредности својих низова.

Да бисмо се одвојили од тривијалног гледања на простор као физичког, или геометријског, тумачимо га самом метриком (Distances II). Рецимо, Хемингова метрика представља „удаљеност“ количином различитости два дата „места“. Она формално једнако опонаша удаљености као и све друге признате мере, али нам може говорити и о даљинама између, на пример, различитих биолошких врста током еволуције. Тиме је решен само један од три предуслова „седласте тачке“ z ∈ Z.

То су и предуслови минимакс теореме. Преостала два су, подпростор X у чијој је некој околини z највећа вредност и подпростор Y у чијој је некој околини z најмања вредност, тако да је Z = X × Y. У наставку требамо још „само“ пронаћи супротне тежње и ето јединствених, сингуларних појава какве су седласте тачке. Следе два (заправо неколико) примера.

1. Пример. Познато је да данас, ради повећања слобода, либерализам заступа разне потребе „равномерне заступљености“. То прво видимо у родној равноправности, али радећи доследно такво начело требало би проширити до, на пример, тражења у послу (животу) на копну једнаку заступљеност риба, као и обрнуто, у мору једнако присуство копнених животиња. Испада да право избора гуши разноврсност.

Концепт слободе се може овако довести до апсурда, јер више неће увек значити и боље, као што је и у осталим случајевима седластих површи. Слобода је таква, али и многе друге појаве које налазимо дуалним, које подлежу „власти“ два супротстављена принципа: „добра“ против „зла“. То су такође и ситуације квантираности информације (Packages), сада опет другачије доказиване. □

2. Пример. Да би трајали као врста, живим бићима требају потомства и преживљавање. Прво у условима локалног максимума, простора X, када је друго у условима локалног минимума, простора Y. Минимакс теорема кроз копије копија у дугом низу генерација, даје индивидуе, особености јединки. Слично се гради и „карактер“ друштва, који називамо културом. Тако ће настати и проблем грађењу наднационалног друштва, релативно мале тежине самих култура, супротстављеног тада све јачим тим општим силама индивидуалности.

Аналогне ћелијске структуре, одвајања сингуларности, има и у неживој природи. Молекуле, атоми и још мање честице-таласи задовољавају исте предуслове минимакс теореме, када ствари поставимо доследно горњим. Оне би да се репродукују (трају) и да опстају (преживљавају), односно да се „рађају“ као нове вести из старе, зато што стара „вест“ више није вест и због закона одржања информације. □

Подпростор седласте површи, наравно, не мора бити седласта површ, па апстраховањем (одвајањем) можемо добијати свега од другачијег поред овде наведеног. Посао интерпретирања минимакс теореме опширнији је него што би на први поглед могао изгледати.

Standoff

Питање: Зашто мислите да уједначена игра „узвраћања“ (прве лиге) два опонента води у реми, пре него уједначене игре из осталих нижих лига?

Одговор: Рецимо, због симулација које сам испробавао и које тада трају и трају. Жива бића (она се једина и играју) тада се уморе и дефинишу своју територију, или сарађују. Страна која попусти, неће поднети достигнути ниво виталности (која је свакако напорна), постаје побеђена, подређена. Идеје симулације и примећивања у стварности, пак, долазе из теорије.

Пре свега, нису све игре једнако сложене. На пример, крстић-кружић на слици (Tic-Tac-Toe), започета крстићем увек побеђује. Опонент кружић не може запречити све линије које се тада отварају и губи, и трећи потез xxx у доњем реду је победнички. Нема ремија.

Шаховска игра је „отворена“, јер учесници не крију карте, али као да је „затворена“ зато што потези имају превише могућности. Она је таква на граници лаких игара и важења минимакс теореме Фон Нојмана, јер не можемо извесно знати најбољи потез позиције и, према томе, не можемо вући онај потез иза којег противнику не би остао најбољи потез, што важи за рецепт негубљења партије. Иако не знамо све могуће шаховске потезе, још увек можемо теоретисати.

Шаховска игра посебна је као једнодимензионална, потез првог па потез другог игача па први па други и тако даље сачекујући се потез опонента, чиме се битно разликује од мултидимензионалних игара рецимо ратних, политичких, или економских, у којима се вишеструки обострани потези дешавају и истовремено, на које се односи информација перцепције код претходне анализе (Senses).

Замислимо да, као по препоруци Фон Нојмана, у шаху вучемо тако, потез по потез, да противнику не остављамо његове најјаче одговоре. Он нас не може победити. Када би и он играо најјаче, са преосталим могућностима, ни он неће изгубити. Дакле, игра иде у реми.

У реалности шаховске игре ми не знамо све могућности потеза, него ћемо се ослањати на процене. Најбоља стратегија „узвраћања“ у случају играча два заиста једнака проценитеља, даље пропорционалних, правовремених и једнако неизвесних одговора, ограничаваће најбоље одговоре опонента и имаћемо реми игру претходном логиком. Међутим, играњем друге лиге (манипулатора), када се шета између пропорционалног отпора и начелно најмањег дејства (мртве природе), свашта се може дешавати и десиће се победе и порази обеју страна једнако и код једнаких противника.

Врхунска виталност, замишљајмо опет, била би познавање свих могућих потеза или свих њихових шанси, па повлачећи их тако да опоненту неће преостајати најбољи, не може изгубити партију. Ако исто тако игра онај други, не губи и игра не може даље од нерешене. Овде се подразумевају сложености попут међудржавних, политичких, тржишних, ратних.

Прецизније гледано (Senses), највиталнији одговори су „седласте тачке“. Оне су такве изоловане и јединствене (Singularity), стога „неразмрљане“ одлуке, за које не важи да „би и не би“ могле ваљати за победу. У томе екстремном стању виталности, које је друга крајност од мртве природе (обавезног принципа најмањег дејства), налази се извесност о сазнању свега могућег. Наравно, ту крајност разматрамо само теоријски, њиме указујемо на евентуално исти закључак као у случају Фон Нојманових ситуација.

Ето зашто све мислим да уједначена игра „узвраћања“, играча прве лиге, води у реми чешће од надметања уједначиних такмичара нижих лига. У крајњем, због структуре форме сличне почетку и крају времена космоса, или најмањег и највећег физичког света — који напредује ка извесности.

Discrete

Питање: На шта мислите када кажете „коначна дељивост“?

Одговор: Израз „коначно дељив“ опис је дискретног скупа. То су, рецимо, подскупови природних бројева ℝ = {1, 2, 3, ...} који нису ограничени са горње, али јесу са доње стране. Дискретни су цели ℤ = {0, ±1, ±2, ...}. Међутим, то су и рационални бројеви:

\[ \mathbb{Q} = \{\frac{m}{n}| m \in \mathbb{Z} \land n \in \mathbb{N}\}, \]

јер су пребројиви, тј. можемо их редати у један (бесконачан) низ, али тада овај израз није сретан.

Прецизније речено, скуп S ⊂ X је дискретан када свака тачка x ∈ S има околину U такву да је S ∩ U = {x}. Тада су тачке S скупа изоловане и имамо сингуларност сваке тачке датог (под)простора. Краће, скуп је дискретан када има дискретну топологију, ако му је сваки подскуп отворен.

Ова одредница има занимљиве последице за информацију перцепције, а једна се тиче њених најмањих пакета. Наиме, према ставу 2.5 Банахових простора: „када је адитивно пресликавање непрекидно у тачки простора, оно је непрекидно на читавом простору“, а „адитиван“ је процес којем је збир оригинала једнак збиру копија, што гарантује закон одржања. Ово даље значи да је свет информација перцепција ћелијски, да тако кажем за свет сингуларних појава.

Са друге стране, дискретност поменуте, спрегнуте информације субјекта и објекта, не обавезује и индивидуалну информацију да буде дискретна. То је на први поглед збуњујуће, као неком исказ да је скуп рационалних бројева „свуда густ“ (ма како мали интервал задат, имаће рационалних бројева). Све у свему, израз „коначна дељивост“ упрошћене је употребе намењене врсти дискретности за скуп попут природних бројева.

Summation

Питање: О каквим то „спрегнутим информацијама“ говорите?

Одговор: Спрегнуте информације су основни концепт информације перцепције, односно саме теорије информације на којој радим. Као и свакој новој појави, мозак јој се прво одупире, па потом можда и схвати њену евентуалну тачност, једноставност и лепоту. Стога ћу објашњење спреге информације, поново, подвлачити са неколико банално познатих примера.

1. Хранећи зло добијамо зло (+ ‧ - = -), идући злим на добро добијамо зло (- ‧ + = -). Одговарајући добрим добро вратиће нам се добро (+ ‧ + = +), а на зло морамо узвратити злим (- ‧ - = +); просто тако, иначе губимо. Ово није ствар избора, већ обавеза — по препоруци дела ове теорије који се тиче теорије игара (Reciprocity).

Наиме, збир производа, који је форма информације перцепције:

Q = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n,

где су низови a = (a₁, a₂, ..., a_n) и b = (b₁, b₂, ..., b_n) представници стања субјеката (или објеката) перцепције. Колико је овај број Q већи, веће је њихово узајамно перципирање, јача је спрега информације. При томе, одговарајуће компоненте a_k и b_k, редом за k = 1, 2, ..., n, припадајуће су информације учесника комуникације (спреге).

2. Слика горе десно са приложеним линком тумачи рад силе на путу:

W = F⋅r = |F||r|cos∠(F,r) = F_xr_x + F_yr_y + F_zr_z,

где су F = (F_x, F_y, F_z) и r = (r_x, r_y, r_z) вектори силе и правца по којем би требала да делује. Када је угао, θ = ∠(F,r), између датих вектора мањи косинус тог је већи, -1 ≤ cos θ ≤ 1. Тада је већи скаларни производ W.

Када су компоненте силе и пута обе позитивне (F_k > 0 и r_k > 0), или обе негативне (F_k < 0 и r_k < 0), њихов је производ позитиван (F_kr_k > 0) и тај сабирак допринос је већем збиру (W). Међутим, када је први од фактора позитиван а други негативан (F_k > 0 и r_k < 0), или је први негативан док је други позитиван (F_k < 0 и r_k > 0), њихов производ постаје негативан (F_kr_k < 0) и такав сабирак смањује укупни збир (W).

3. Мерење у квантној механици је интеракција квантног стања, вектора писаног Дираковим заградама |ψ⟩ , у процесу Â за добијање величине A, којa може бити позиција честице, енергија, импулс и слично, уопште она је обзервабла. Својствена једначина тог процеса је Â|u_k⟩ = λ_k|u_k⟩, где су λ_k својствене вредности које одговарају баш својственим стањима |u_k⟩ датог стања мерног система |ψ⟩.

Уместо једног исхода, какав би био у класичној механици, овде се дешава нека од n ∈ ℕ могућности обзервабли, индексираних k = 1, 2, 3, ..., n. Иако не знамо тачан исход, знамо вероватноће Pr(λ_k) = |⟨u_k|ψ⟩|² свих могућих. У томе је разлика микро и макро света физике, што квантна ради само са шансама, каже се суперпозицијама стања, што би у математици називали расподелама вероватноћа.

4. Ставимо ли a_k = ⟨u_k|ψ⟩ биће Pr(λ_k) = |a_k|² вероватноћа k-те обзервабле у датом стању |ψ⟩, у датом мерењу, таква да је:

|ψ⟩ = a₁|u₁⟩ + a₂|u₂⟩ + ... + a_n|u_n⟩,

где су |u_k⟩ јединични вектори дате поставке мерења. У другој поставци истог имали бисмо стање мерења јединичних вектора |v_k⟩, такво да је:

|φ⟩ = b₁|v₁⟩ + b₂|v₂⟩ + ... + b_n|v_n⟩.

Посебно, са две поставке мерења налазимо и познато „сабласно деловање на даљину“ (Spooky), из чијег каснијег тумачења је настајала нова област квантне механике, квантна спрегнутост. Интеракција ових стања мерних уређаја је скаларни производ ⟨φ|ψ⟩, где је ⟨φ| = |φ⟩^† ознака адјунгованог датог вектора (коњуговано транспонованог).

5. Само при једнаким условима мерења било би ⟨φ| = ⟨ψ|, када је сваки од коефицијената b_k = a_k, па је тада:

⟨φ|ψ⟩ = ⟨ψ|ψ⟩ = a₁^*a₁ + a₂^*a₂ + ... + a_n^*a_n = 1,

јер је ово збир вероватноћа расподеле, а a_k^*a_k = |a_k|² = Pr(λ_k). У осталим случајевима поставки мерења имаћемо „само“ информацију перцепције, тада једне локалне ситуације.

Међутим, производ различитих стања је збир производа:

\[ \langle \varphi | \psi \rangle = \sum_{i,j=1}^n b_i^*a_j\langle v_i|u_j\rangle \le \sqrt{\langle \varphi|\varphi\rangle \langle \psi|\psi\rangle}. \]

Неједнакост десно је позната Коши-Шварцова која нам сада каже да је збир производа мањи или једнак један, што значи да ⟨φ|ψ⟩ формално може бити нека вероватноћа спреге два субјекта датог мерења.

6. Када одједном имамо више суперпозиција, тада се укупно стање може разумети као спој много квантних стања, као што се и макро-тело састоји од малих честица. Збир вектора опет је неки вектор, збир суперпозиција, или збир расподела вероватноћа, чије компоненте у све већем мноштву конвергирају информацијама (Exponential II). Ту је и нови квалитет.

Форме векторе остају исте:

\[ \vec{x} = (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_N), \quad \vec{y} = (\eta_1, \eta_2, ..., \eta_N) \] \[ S = \vec{x}\cdot\vec{y} = \xi_1\eta_1 + \xi_2\eta_2 + ... + \xi_N\eta_N, \]

где први вектор није коњугован, јер се имагинарност губи у макро свету, постаје занемарљива. Међутим, интерпретација се шири и на спрегу два учесника, на њихову информацију перцепције. Што је тај скалар S већи то је већа комуникација два стања, са њим расте моћ узајамног опажања, односно ниво игре у случају виталних субјеката.

7. Разлагањем неког од сабирака овог збира добијамо:

\[ \xi_k\eta_k = (\xi_{k1} + \xi_{k2})(\eta_{k1} + \eta_{k2}) = \xi_{k1}\eta_{k1} + (\xi_{k1}\eta_{k2} + \xi_{k2}\eta_{k1}) + \xi_{k2}\eta_{k2} \]

чиме се објашњавају резултати (1) множења предзнака. Када су фактори у сабирку оба „добри“ (+⋅+), или су оба „зли“ (-⋅-) сабирак је позитиван, а иначе је негативан.

Ако је већи збир S, виши је ниво игре, због веће њене виталности. То је када „добрим“ враћамо „добро“, или се „злим“ узвраћа на „зло“. Такође, удруживањем сродних расте снага игре. Напротив, разнородни знаци (добро на зло, или зло на добро) снижавају ниво игре, воде ка губитку партије. Раздвајање компоненти на такве (разнородне) подиже снагу игре. Укратко, удруживање сродних јача нас, као и раздвајање „жита и кукоља“ са доследним одговорима (Win Lose), а остало нас слаби.

Determinant

Питање: Не наведосте пример са детерминантама у одговору?

Одговор: У претходном одговору (Summation) се може много тога набрајати, јер код конкретности уз праксе стоје (тачне) теорије са безброј примена. Теорија је увек „свачија“, док је пракса „нечија“ (Abstractions). Међутим, слажем се да су детерминанте корисне а да знају бити потешка прича, то свакако. Пробајмо их разумети.

Комутатор је детерминанта реда два, површина и информација, [Ã, B̃] = A_xB_y - B_xA_y. То је форма Хајзенбергових релација неодређености оператора положаја и импулса [x̃, p̃], или [t̃, Ẽ] времена са енергијом, јер оба су физичко дејство и реда су величине Планкове константе. Уколико је први оператор већи други је мањи и обрнуто, тако да је комутатор увек исте површине. Оператори имају интензитет, норму (2.4.IV), а поменути су и линеарни.

Детерминанта трећег реда је запремина V[u, v, w] три 3-дим вектора:

u = (u_x, u_y, u_z), v = (v_x, v_y, u_z), w = (w_x, w_y, w_z)

који је разапињу. Такође је V = u_x[v, w]_yz + v_x[w, u]_yz + w_x[u, v]_yz, јер:

\[ V = \begin{vmatrix} u_x & v_x & w_x \\ u_y & v_y & w_y \\ u_z & v_z & w_z \end{vmatrix} = u_x\begin{vmatrix} v_y & w_y \\ v_z & w_z \end{vmatrix} - v_x\begin{vmatrix} u_y & w_y \\ u_z & w_z \end{vmatrix} + w_x\begin{vmatrix} u_y & v_y \\ u_z & v_z \end{vmatrix}, \]

па је запремина збир комутатора, збир дејстава, или рецимо формално то је збир производа, односно информација перцепције.

Детерминанта четвртог реда је 4-дим запремина коју разапињу вектори из њене четири колоне и даље тако тумачимо опште детерминанте n-тог реда у тензорском рачуну. Уз све претходно речено, у линеарној алгебри се детерминанта нарочито третира као производ својствених вредности оператора којег представља. А онда је, опет, детерминанта n-тог реда:

V = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n

где за низ (a_k) компоненти субјекта можемо узети било који редак дате детерминанте, када су компоненте објекта (b_k) одговарајући кофактори.

Када би два различита развојна ретка била идентична, или сразмерна, детерминанта је нула. Та позната теорема алгебре сада говори да нема информације (V = 0), нема тако идентичних субјекта (a_k = λa'_k, индекса редом k = 1, 2, ..., n), што се може подвући под давно познати Рисов став (Functional), а сада и начелну јединственост информације. Иначе свака особина детерминанти даће неку интерпретацију света информација.

Topology

Питање: Мало ми је нејасан тај апстрактни појам „простора“, можете ли ми то појаснити?

Одговор: Најпростији „простор“ у математици је „топологија“. Он је и најапстрактнији. Тополошки је простор без мерења удаљености, као и без смера. Простије речено, он је скуп коме припадају уније и пресеци његових подскупова.

На пример, топологија T је скуп X коме су сви елементи скупови: ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {3,1}, {1,2,3}. Празан скуп је елеменат сваког скупа, па је такав и први од наведених, а затим иду уније слова, или бројева 1, 2 и 3.

Ове елементе, подскупове, можемо послагати као на слици десно, која за саму топологију уопште није битна, али је овде на скели организованој за лакше разумевање једне нарочите (под)врсте тополошких простора какве називамо „метричким просторима“. Дата је дискретна топологија, па је и њена подврста дискретни метрички простор. Свеједно, они су тополошки простори снабдевени „метриком“, односно исказивањем даљина између елемената, тада називаних тачкама, а која симулира мерење у физичком, или геометријском простору.

На слици је удаљеност d(x, y) између тачака x и y просто број различитих елемената тих подскупова. На пример, d(∅, {2}) = 1, d({1}, {1,3}) = 1, али је d({2}, {1,3}) = 3. Тако је: d(x, x) = 0, ако је x ≠ y онда је d(x, y) > 0, затим је d(x, y) = d(y, x) и d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Дакле, за пример са слике важе аксиоме метричких простора. Он је метрички простор, скуп тачака везан за наведено растојање и подведен је под дати тополошки простор.

Корак даље у детаљисању била би норма тачке ∥x∥ = d(∅, x), тада вектора x. У овом примеру је, рецимо ∥∅∥ = 0, ∥{3}∥ = 1, ∥{1,2}∥ = 2 и ∥{1,2,3}∥ = 3 и, уопште, норма скупа је број елемената тог скупа. Аналогно дефинишемо и дискретни векторски простор овог примера. Као што видимо, што више детаљишемо све смо даље од полазне топологије која је кровна над оним што даље изводимо.

Тачкама ових простора, у свакој фази издвајања, можемо придруживати вероватноће. Ево једног примера таквог додељивања:

Pr(∅) = 0, p₁ = Pr{1} = 1/2, p₂ = Pr{2} = 1/4, p₃ = Pr{3} = 1/15,
Pr{1,2} = 1/8, Pr{1,3} = 1/30, Pr{2,3} = 1/60, Pr{1,2,3} = 1/120.

Збир свих је 1, па када ове тачке гледамо као независне случајне догађаје, онда овде имамо једну расподелу вероватноћа. Полазни скуп X на овакав начин постао је простор вероватноћа. Средња (Шенонова) информација целог скупа, расподеле X, је:

\[ S = -\frac12\ln\frac12 - \frac14\ln\frac14 - ... - \frac{1}{120}\ln\frac{1}{120} ≈ 1,355. \]

Ово је природни логаритам (базе e = 2,71828...) а формула:

log_cb ⋅ log_ba = log_ca,

служи за превођење логаритама из једне базе у другу, где log_bb = 1.

Корак по корак, почетни веома широк појам тополошког простора добија све конретније облике и све мање бива теорија, а све више постаје нешто посебно. Како детаљисањем стижемо до краја, тако модел постаје толико практичан да је јединствен, он се своди на физичку стварност. Приметно је да тих путева конкретизације, свођења бескрајно примењивих теорија на крајњу реалност, има веома много. То следи из саме логике редукције простора, али и из многострукости крајњег циља.

Многострукост је у избору почетних, рецимо „бројева“ 1, 2, ..., n → ∞, који могу бити било какви објекти, или појмови, са додељивањем „растојања“, чиме се диктира дефиниција „норме“, али, опет, са слободама изабирања вероватноћа p₁, p₂, ..., p_n елемената, при чему њихове уније ни не морају бити расподеле. Добијени „простор“ може бити физички простор-време догађаја, или парче промена, а не само конкретно стање у процесу.

Удаљености таквих „делова промена“ све су веће што је скок са једних на друге мање вероватан, па се овај, иначе вековима развијан математички формализам, сасвим добро уклапа у нову (моју) теорију информације. А још неке особине топологија наводио сам у прилогу метрика (2.11. Став). Димензија тачке и коначног скупа тачака је нула.

Equilibrium II

Питање: Шта је „равнотежна тачка“ матрице исплате?

Одговор: Матрична игра нултог збира има исход седласту тачку, ако се бирају најмање вредности из врста и највеће из колоне. На слици лево су најмање вредности врста (према доле, десно) (1,4):3, (2,4):2, (3,4):6, (4,4):8 и (5,1):1. А највећа је вредност 8 у колони 4. Зашто су програмери игара луди за овим и како се до тога долази, објаснићу натенане.

1. Ево једног од познатих лакших примера. У игри нултог збира, на следећој слици десно, Роса треба бирати један од три потеза, врстu A, B, или C, Колин један од два, колону A или B. Они нису знали шта је играо противник све до исплате. Рецимо, ако је Роса бирала редак A, а Колин ступац A, Роса добија 2 бода, а Колин их губи (он „добија“ -2). Међутим, ако су потези (A,B) Колин Роси узима 3 бода. Знајући матрицу исплата, Роса неће бирати B, јер ништа не добија, или губи 2. Колин, пак, ако бира B, може изгубити 10 бодова.

Приметимо да је за матрицу игре нултог збира довољно знати само прве бројеве исплата, ове црвене, Росине. Тако је претходна, с лева, матрица 5×5, где први играч увек добија, али различите износе.

Бирањем четвртог ретка добитак му је максималан (8 бодова), јер ће лукав противник увек бирати четврту колону. Противник бира по колонама највеће вредности да би се одлучио за врсту са најмањом од њих: (3,1):18, (3,2):24, (5,3):22, (4,4):8 и (5,5):15, да другом умањи добит. Тачка (4,4) дате матрице исплата зато је „равнотежна“, јер износ 8 заједнички је за оба играча, редака (минмакс) и колона (максмин).

2. Нема свака матрица ову равнотежну, седласту тачку. Потпишимо врсте (8, 1, 9), (7, 2, 6), (3, 4, 5) једну испод друге у облику матрице типа 3×2 без седласте тачке. Вероватноћа да насумице генерисана матрица типа m×n има седласту тачку износи m!n!/(m + n - 1)!. Оваква, случајно формирана квадратна матрица другог реда (типа 2×2), имаће вероватноћу 2/3 да има равнотежну тачку. Квадратна матрица трећег реда са вероватноћом 0,3 је са седластом тачком.

3. Линком прве слике лево видећете Јава програм за налажење седласте тачке дате матрице. Следећи код ради слично томе у Питону 3:

# Find min row then max col in matrix
def MinMax(mat):
    m = mat.shape[0]; 
    n = mat.shape[1];
    print('(rows, cols): (%2d,%2d)' % (m, n))
    # min value in row, max as col ind
    for i in range(m):
        row = mat[i][0];
        col = 0;
        for j in range(1, n):
            if (row > mat[i][j]):
                row = mat[i][j];
                col = j;
        k = 0;
        for k in range(n):
            if (row < mat[k][col]):
                break;
            k += 1;
        if (k == n):
            print("Saddle Point: ", row)
            print('Position: (%2d,%2d)' % (i+1,col+1))
            return True
    print('There is no saddle point.')
    return

import numpy as np
mat = np.array([[10, 12, 7, 3, 12], [3, 10, 6, 2, 8],
[18, 24, 17, 6, 10], [15, 21, 10, 8, 12], [1, 18, 22, 4, 15]])
print(mat)
MinMax(mat)

Када се покрене овај програм на пример са горњом наведеном матрицом, која има седласту тачку, он исписује:

[[10 12  7  3 12]
 [ 3 10  6  2  8]
 [18 24 17  6 10]
 [15 21 10  8 12]
 [ 1 18 22  4 15]]
(rows, cols): ( 5, 5)
Saddle Point:  8
Position: ( 4, 4)

Да покренете исти програм са другом матрицом (mat) само њу замените, рецимо следећом реченицом:

mat = np.array([[8, 1, 9], [7, 2, 6], [3, 4, 5]])

Ова матрица нема седласту тачку и испис је:

[[8 1 9]
 [7 2 6]
 [3 4 5]]
(rows, cols): ( 3, 3)
There is no saddle point.

Погледајте и мало напреднију верзију овог модула у мом прилогу кодова (МинМакс). Иначе, ова тема је и веома теоријска (Стратегије).

Blog