Децембар 2023 (English ≽)

Exponential II

Питање: Каква информација расте са вероватноћом?

Одговор: То је оштроумно питање. Иако сам на слична раније одговарао, никада ми пре није било овако директно постављено. Наиме, Хартлијева информација, -log p, утолико је већи број што је вероватноћа p мања. Ако је догађај известан и деси се, то и није нека вест.

Расподелу чине вероватноће p₁, p₂, ..., p_n збира један, опита чији се тачно један исход реализује. Сваки има неку Хартлијеву информацију, -log p_k, а њихова средња вредност је Шенонова информација

S = -p₁⋅log p₁ - p₂⋅log p₂ - ... - p_n⋅log p_n.

Када n = 1, 2, 3, ... расте ових сабирака има све више, вероватноће се уситњавају, поједине се смањују, повећавају се Хартлијеви фактори Шенонових сабирака, али се сами сабирци смањују. Када n → ∞, ове вероватноће постају густине расподеле, p_k → ρ(x), дуж извесног тада кажемо интервала могућности (x-осе). Шенонови сабирци прелазе у облик φ(x) = - ρ(x)⋅log ρ(x), густине средње информације. Тамо где су густине расподеле вероватноће ρ(x) мање, густине информације φ(x) биће такође мање. То се види на горњем графу који приказује густину плавим експоненцијалне вероватноће и црвеним информације:

ρ(x) = e^-x,     φ(x) = - ρ(x)⋅ln ρ(x).

Удруживања великог броја независних и једнаког распореда случајних променљивих тежиће (Гаусовој) нормалној расподели вероватноће, али експоненцијалној обично случајни догађаји који се односе на количину времена до одређеног исхода. Експоненцијални су процеси непрекидног и независног дешавања са константном просечном стопом, а уопште они су са највећом информацијом од свих расподела са задатим очекивањем.

Када је p ∈ (0, 1) константна вероватноћа да се неки исход деси (бацање новчића, коцке, извлачење лото куглице и слично) у сваком покушају, то ће се у тачно n-том покушају тај исход по први пут десити вероватноћом q^n-1p, где је q = 1 - p вероватноћа да се жељени исход (у сваком поједином покушају) неће десити. Обзиром да увек можемо писати b^x = e^-ax, где је a позитиван реалан број ограничен вероватноћом p и базом e, сваки такав процес имаће експоненцијалну расподелу. Уопште, те расподеле густине вероватноће, λ ∈ (0, e), имају очекивање (μ) и варијансу (σ²) редом:

\[ \rho(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad \int_0^\infty x\rho(x)\ dx = \frac{1}{\lambda}, \quad \int_0^\infty (x - \mu)^2\rho(x) \ dx = \frac{1}{\lambda^2} \]

и средњу (Шенонову) информацију:

\[ \Phi = \int_0^\infty \varphi(x)\ dx = -\int_0^\infty \rho(x) \ln \rho(x)\ dx = \] \[ = -\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} \ln (\lambda e^{-\lambda x})\ dx = - \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} (\ln \lambda - \lambda x)\ dx \] \[ = -\ln \lambda \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\ dx + \int_0^\infty \lambda^2 x e^{-\lambda x}\ dx \] \[ = - \ln \lambda - \lambda\int_0^\infty x \ d(e^{-\lambda x}) = 1 - \ln \lambda. \]

Нарочито напомињем, јер та се Шенонова информација нигде не наводи у литератури (октобар је 2023), обај број 1 - ln λ мора бити позитиван, као што јесте за горе поменуто λ ∈ (0, e). Знамо да је ρ(x) ∈ (0, 1), овде за x > 0, густина која дефинише вероватноћу

\[ \Pr(a < x < b) = \int_a^b \rho(x)\ dx, \quad (a, b) \subseteq (0, \infty), \]

да ће се реализовати случајна варијабла x ∈ (a, b).

Закључак је да у макро-свету, информација средњих вредности мноштава средњих (Шенонових) информација расподела, расте са вероватноћом!

Parameters

Питање: Можете ли мало појаснити то са параметром експоненцијалне расподеле?

Одговор: Узастопно понављамо случајни опит све док се не деси дати исход вероватноће p ∈ (0, 1). Ако се жељени исход десио тачно у n-том покушају, вероватноће је p_n = q^n-1p, где је вероватноћа да се жељени неће десити q = 1 - p. Дефинисали смо низ могућности вероватноћа редом:

p₁, p₂, ..., p_n, ...

који представља једну расподелу вероватноћа.

Заиста, свака ова вероватноћа позитиван је број мањи од 1, а збир свих је:

p₁ + p₂ + ... + p_n + ... =
= p + qp + ... + q^n-1p + ...
= p(1 + q + ... + q^n-1 + ...)
= p/(1 - q) = p/p = 1.

Према томе, имамо расподелу вероватноћа.

Пишемо је приближно у експоненцијалном облику p_n = (1 - p)^n-1 ≈ λe^-λn, а тако да је збир свих довољно близу један, тј. p₁ + p₂ + ... + p_n + ... ≈ 1. Овај услов повлачи e^λ ≈ λ + 1, што је утолико тачније колико је λ ≈ 0. Дакле, λ не може бити велики број (ни близу e = 2,71828...) да бисмо имали процес непрекидног и независног дешавања са константном просечном стопом, да бисмо имали густину експоненцијалне расподеле ρ(x) = λe^-λx.

Узмемо ли превелико λ > 0, правимо низ грешака заокруживања из којих ће резултирати спорна Шенонова информација, 1 - ln λ, експоненцијалне расподеле и тада мања од нуле — што је немогуће.

Benford

Питање: Ако су дуални, може ли вероватноћа бити логаритам информације?

Одговор: На неки начин можемо и то. Приметимо да име са оним што означава често бркамо када радимо са апстракцијама. Запис броја и величина немају једнаку расподелу првих цифара разних база писања.

На пример, бинарно писано 1101₂ има исту вредност ко децимално 1⋅2³ + 1⋅2² + 0⋅2¹ + 1⋅2⁰ = 13, као и 1⋅10¹ + 3⋅10⁰ = 1⋅9¹ + 4⋅9⁰ = 14₉ у базама 10 и 9 цифара. Највећи ће двоцифрен декадни број 99 бити са три (или више) цифара у нижој бази 120₉ = 1⋅9² + 2⋅9¹ + 0⋅9⁰, или 131₈ што је 1⋅8² + 3⋅8¹ + 1⋅8⁰, односно запис 201₇ = 2⋅7² + 0⋅7¹ + 1⋅7⁰, у базама 9, 8 и 7.

У нижим базама нестају веће цифре, а оне мање се несразмерно чешће јављају, па логично претпостављамо да се и у вишим базама то дешава у односу на још више, а да у неким далеко вишим базама те цифре постају далеко равномерније распоређене. Канадско-амерички астроном Сајмон Њуком је ову појаву приметио 1881. године у логаритамским табелама, да су раније странице (које су почињале мањом цифром) биле истрошеније од каснијих страна и дао је предлог формуле p(c) = log(c + 1) - log(c) која би била вероватноћа прве цифре c броја.

Феномен је поново приметио 1938. физичар Френк Бенфорд, који га је тестирао на подацима из 20 различитих домена. Његов скуп података укључивао је површине 335 река, величине 3259 америчких популација, 104 физичке константе, 1800 молекулских тежина, 5000 уноса из разних математичког приручника, 308 бројева из издања Ридерс Дигеста, адреса првих 342 лица наведених у Американ Мен оф Сајанс и 418 стопа смрти. Укупан број опсервација коришћених у његовом раду је 20 229. Откриће је касније названо по њему Бенфордов закон, а затим су налажене друге потврде и различити аналитички докази.

Бенфордов закон утврђује статистику појављивања водеће цифре d, једне од 1, 2, ..., b - 1 у бази бројева b ≥ 2. Она се појављује са вероватноћом

\[ p(d) = \log_b(d+1) - \log_b(d) = \log_b\left(1+\frac{1}{d}\right). \]

Тако у декадном систему (b = 10) имамо:

d	p(d)
1	0,30103
2	0,17609
3	0,12494
4	0,09691
5	0,07918
6	0,06695
7	0,05799
8	0,05115
9	0,04576

Mикроекономиста Хал Варијан, докторанд Универзитета Калифорније у Берклију те 1972. године, приметио је да Бенфордов закон може јављати о могућим преварама у социо-економским подацима у наводима области јавног планирања. Некима сам 2020. пријавио аномалије тих статистика здравствених организација због сумњи око тадашње пандемије короне, а признајем, углавном узалуд.

Како год, формула вероватноће p(d) исказује се помоћу логаритма прве цифре (слично и следећих у низу цифара) броја, што је одговор горњем постављеном питању. Бенфордов закон говори нам о могућој подвали у нумеричким извештајима, када преварант промаши природни поредак бројева, обично тежећи „реалној“ ситуацији. Међутим, природа приказа бројева крије информацију о себи, чији логаритам је вероватноћа, а коју нисмо оспособљени тек тако погађати интуицијом.

Coincidence

Питање: Како још можемо тестирати бројеве?

Одговор: Након горњег одговора (Benford) намећу се нова питања о тестирању случајности. Радимо ли на разоткривању превара, пре свега, разликујемо две ситуације.

Када је физичко стање мерених појава било могуће „наместити“, са мање или више лажирања, до очитавања цифара, тада нека од тестирања „случајности бројева“ неће помоћи. Пример била би изборна превара када пре бројања лажни гласови стижу поштом (можда 46. САД), а затим се примени Бенфордова статистика првих цифара која тада неће бити нарушена. Друго је покушај „преваранта“ да напамет, интуицијом погоди рецимо ту експоненцијалну (црвену) криву на слици десно, или (плаву) Гаусову звонасту, обзиром да им (не)познаје параметре расподеле (средњу вредност μ и дисперзију σ).

У вези са овим стигло ми је још једно занимљиво питање, о предвиђању резултата на основу ограничења првих цифара, односно о самој слободи избора уоквиреној у Бенфордову формулу. Прво бих одговорио контра питањем, шта ако је расподела униформна, када би свака цифра имала једнаку вероватноћу, зар и то не би било неко њихово ограничавање. Па онда приметимо да „сужавање избора“ унутар саме природе случајности увек постоји, али је у питању у којој мери. Држимо се само дате теме.

Граф непрекидне униформне расподеле је линија паралелна апсциси, од тачке a до b, на висини h = 1/(b - a). Све њене случајне варијабле x ∈ (a, b) имају једнаке шансе, густине вероватноће ρ(x) = h, средње вредности, тзв. математичког очекивања μ = (a + b)/2 и варијансе σ² = (b - a)²/12. Тако је и са дискретном униформном расподелом. Није тешко разумети да би се код напамет нагађања „случајних“ бројева појавиле друге вредности ових параметара (μ и σ) и то је разлика коју открива „тест случајности“.

Проблеме превараната, који за своје потребе штимају коначне резултате, често увећава и непознавање врсте расподеле која би настала природним током ствари. Упоређен са истим параметрима без њихове интервенције, чак и најбољи погодак очекивања и дисперзије погрешне расподеле, био би сумњив на превару и њихов неуспех. Већ из наведена три примера, два графа на слици (експоненцијалне и Гаусове нормалне) као и равномерне расподеле, видимо да различити случајни процеси не морају имати исту средњу вредност μ и средње расипање σ од те очекиване (дисперзију).

Mystical

Питање: Докле у мистику може добацити „информација перцепције“?

Одговор: Када се довољно дуго гледа у облаке може се указати сваки унапред очекивавни лик. Ако довољно дуго бацаш коцку, пашће било који раније задати број. То је права магија. Она је способност природе да има нас којима је доступна лаж и који у обману можемо веровати као у истину.

Посебна страна мистерије била би шутпља теорија, посебна је она можда тачна, следећа је математика, једнако далека је и пракса. Васиона је велика мистерија, просторно или временски као и теоријски. Другим речима, оно што мислимо да знамо што знамо, тек сазнајемо да је мали врх леденог брега, али да би могло бити и веома погрешно. Живимо ли у заблуди, ипак нам добро иде.

Наша најуспешнија логика сама за себе посматрана једна је невероватно ваљана фантазија. Чиста математика је, на свој начин, поезија логичких идеја (Ајнштајн). Природа као да је њеним језиком писана, а неки верују да је све што постоји сам тај језик. Зашто би онда области мистика били њеним апстрактним алатима недохватљиви — право је питање. Посебно када информацију сматрамо структуром простора, времена и материје, а неизвесност њеном суштином. Међутим, што даље идемо изгледа да смо све даље од оне мистике коју очекујемо.

Теорија информације, са Хартлијем (1928) и Шеноном (1948) па осталим, прва је закорачила у ову зону на математички доследан начин. Оно чиме би се та област могла проширивати, верујем, је информација перцепције. Она обухваћа делове неживог и живог света, физичке супстанце са чудом биологије, а методама алгебре. Прва је која урачунава слободу избора као вишак „количине могућности“, прецизније речено облика „информације перцепције“. Тај даје виталност супстанци, а тиме и могућност физичког напуштања трајекторија принципа најмањег дејства теоријске физике.

При томе је важно запажање да, са преласком у макро-свет, информација средњих вредности мноштва просечних информација расподела, какве су Шенонове, расте са вероватноћом (Exponential II). Последицац тога је да „количина могућности“ изражена информацијом перцепције (Amount) у квантном свету ради са вероватноћама, стањима квантног система, док у класичној технологији комуникација ради са Марковљевим ланцима. Ту исту на нивоу нама нормалних величина пишемо као скаларни производ вектора вероватноћа као и информација, скоро једнако.

Такву информацију перцепције, у „нашем“ макро-свету (сложених макро система), тумачимо као количину слобода. То је она коју поседује неживи свет физичке супстанце плус евентуална животност, односно виталност. Она је зато згодна мера ситуација настајалих из виталности, попут игара, стога економије, па онда и карактера особа. Међутим, то није такав пут у „мистику“ какав се шире очекује. Не верујем да ће се баш онакав, познати свет окултног, појављивати са математиком информација које су „испод радара“ физичког дејства.

На новим смо и неистраженим теренима науке, па из саме објективности неизвесности ове теорије следи да ће на том путу бити изненађења. Како је речено на почетку, магија је и у самој способности неизвесности да иза довољно очекивања у облацима можемо угледати скоро сваки претходно замишљен лик.

Non-physical

Питање: Шта су то не-физичке информације?

Одговор: Не-физичких појава има бар две врсте, према овој теорији информације. Све оне такође су неке информатичке структуре, претпоставка је.

Прва је поменута у претходном одговору (Mystical), као једна од оних нереализованих опција при бацању коцке. Ако је, рецимо, пао број „три“, онда није пао број „шест“ и тај сматрамо да је остао у некој „псеудо-реалности“ (Dimensions). Та не-реалност, може се показати, има своја правила игре, свој (нереални) простор, време и материју, која чини 6-дим простор-време са овом (реалношћу).

Надам се да је лако разумљиво, да са претпостављеном теоријом, идеја о псеудо-физици као у физици, тога псеудо-реалног света нереализованих исхода случајних догађаја, има аналогну ваљаност. Постоје неке (реалне) физичке појаве које би могле да потврде такву тезу. Можда их већ имамо у појави заобилажења (Bypass), или квантног тунеловања (Solenoid).

Другу сам помињао и недавно, у одговору о полу-истинама (Half Truths). То би биле информације са недовољно дејства да побуде мртву физичку супстанцу, попут фотона енергија „испод радара“ електрона подлоге, са чијом појавом се они не покрећу из лежишта. Полазиште универзалном информацијом морало би стизати и до таквих појава које, уосталом, ми доживљавамо као свакодневне мисли, фантазије, идеје, апстракције, о „световима“ који нису реални.

Штавише, оваква теорија информације претендује да и неистине тумачи, сада трећом врстом, као разблажене информација (The Truth). Са таквим смислом, таутологија (исказ увек тачан) и контрадикција (увек нетачан) у два су пола ширег мешаног „света истина и лажи“. Физичка реалност је само један део таквог проширеног света, а системи са виталношћу (жива бића) појме више од тога.

Као посебна прича о фикцијама су информације прошлости (Spreading), које на свој начин стварно стижу садашњост одржавајући укупну реалну информацију у процесу њеног опадања током времена. Математичка би логика, структура нулте неизвесности, такође требала бити део сличног света (Theorems). На крају, верујем, све је ово тек још један врх леденог брега не-физичких информација.

Constancy

Питање: Зашто природне појаве теже постојаности?

Одговор: Најдубљи разлог појава природе су њихове случајности, а затим ту је упорност да се чешће реализују вероватнији исходи.

Ово је став теорије информације (моје) којим доследно одговарам на питања. Он подразумева неки „закон одржања“ случајности, из чега следи и постојаност. Одмах затим следи исто и за логаритме тих вероватноћа, па сходно томе за Хартлијеве информације.

Због смањивања сабирака -p log p са смањивањем вероватноћа p, упркос тада повећања Хартлијевих информација -log p, збир који би дао средњу вредност одговарајуће расподеле, тзв. Шенонова информација

S = -p₁ log p₁ - p₂ log p₂ - ... - p_n log p_n

имаће највеће сабирке који имају највећу вероватноћу. Апроксимација ће Шенонове информације вероватноћама бити утолико тачнија што је број n ∈ ℕ могућности дате расподеле већи. Ако исхода има бесконачно много, увек ће само коначно много њих имати вероватноћу један, а бесконачно их је небитно за исходе (Борељ-Кантелијева лема).

У макро-свету и уопште у ситуацијама реализација много опита одједном (у кратком интервалу времена), Шенонова информација поприма облике информације перцепције о чијим сабирцима тада можемо говорити и као о производима вероватноћа (субјекта и објекта комуникације). Сталности се случајности тако преносе у исте информације.

Зато се све трајекторије данас познате теоријске физике могу извести из Ојлер-Лагранжових једначина, а ове из принципа најмањег дејства. Како се из њих изводе једначине гравитације наћи ћете у књизи Минимализам Информације (2.5 Аjнштаjнове опште jедначине). Овакве законитости се, дакле, могу изводити и из закона случајности, па онда из информатичког минимализма, ако већ нису.

Исти корен има јединственост. Она ту не подразумева само различитости сваког од субјекта у односу на објекте са којима може комуницирати, које посматра и обрнуто, него из претходног видимо и постојаност природних појава за сваког од субјеката, без обзира на разлике стања и процеса које би они могли примећивати. То што различити субјекти виде разлике код истих истина, демонстрирано претходном сликом, не значи да било која од тих визија одустаје од описане постојаности.

Trading

Питање: Све је трговина, можете ли ми коментарисати ту изреку?

Одговор: Трговање је куповина и продаја хартија од вредности, па и непосредно роба за услуге, или новац и друга средства размене.

Дубље гледајући, разговарамо о врстама комуникације, размени информација које су иманентне свему чиме „тргујемо“. Тада је ту и закон одржања током процеса.

У том смислу, класични добитак трговца пратиће неки мање видљив или мање му битан губитак од стеченог прифита. Из тога следи релативност вредновања „количине опција“, односно информација које се размењују. На пример, политичар тргује за свој грош (да избегне санкције, суђење, или просто да нешто лично заради), за себи релативно велику ствар, али уступајући неке државне вредности лукавом понуђачу.

Са становишта теорије информације, давање више за мање значи губитак виталности (количине опција, моћи), па политичар који тада профитира, лично на уштрб државе, стиче локално да губи глобално. Смањујући моћ државе поткопава своју позицију са тог становишта зарад ужег комфора. Обрнуто, дајући мање за више, преговарач може добити обоје, али лични „приход“ тако обично касни што је за многе непривлачно.

Овде говорим о Паретовом правилу, или сличном односу типа личности (Traits) у којем је број „добрица“ према броју осталих, или је код осталих тај број „манипулатора“ у односу према броју „злоћа“ (Suppression). Они који успевају одлагати добит углавном јесу виша лига у такмичењима за победу од нестрпљивих (Reciprocity). Зато је број „нестрпљивих“ (лоших) трговања у политици значајно већи од шире корисних, али тако је исте и корисније подржавати оним најјачим играчима који овим могу овладати и државама (Deep State).

Независно од (моје) теорије информације, симулације одавно показују да ће игра на „сигурицу“, спајањем само доброг и доброг, скоро увек губити од игре повременом „жртвом“, ризичним давањем мањег за веће. Тако су Маркале типично англосаксонски маневар. Сада сви знају да су Маркале и експлозија у Улици Васе Мискина (5. фебруара 1994. када је убијено 68 људи, а рањено 144 и другим нападом 28. августа 1995. године и убијених 37 људи а рањених 90) били намештаљка, којом је Алија постигао добит.

Стратегија „жртвом до победе“ дугује свој успех поменутој релативности вредности, а са друге стране „постојаности“. Ово друго чине скретања од добрих навика развијаних еволуцијом. На саме неизбежне промене, које се стално дешавају окружењу затичући субјект помало неприлагођеним, на снагу „ризика“ надовезују се остале „силе вероватноће“. Оно што нам је пријатно, другачије речено, ретко је и уносно.

Трговина у ужем смислу (размена роба, новца и услуга) такође је овисна о променама. Произвођач и продавац у сталној су обавези иновирања да би одржали и поспешили ниво профита. Они са истим циљем избегавају „сигурицу“ и узимају кредите (ризикују за профит), виђају „стрпљивост“ као вредност, али не успевају је увек практиковати, јер виталност више лиге припада реткима. Оне најређе, са виталношћу и моралношћу, који могу побеђивати и бити поштени, препознајемо као харизматичне.

Autonomy

Питање: Колико степени слободе има „информација“?

Одговор: Елементарна „вест“ би требала имати само два „крака“, један у садашњости са другим у будућности. То је нешто 2-дим, попут сфере у коју се развлачи тањећи се предмет који пропада у „црну рупу“, због скраћивања радијалних дужина и споријег тока времена под дејством све снажније њене гравитације.

То су већ два аргумента за свега два степена слободе елементарне, рецимо физичке информације. Трећи је Хајзенбергово дејство, производ неодређености времена Δt и енергије ΔE, односно положаја Δx и импулса Δp, где је ΔtΔE ≈ ΔxΔp ≈ h, написано приближно ради поређења са Планковим квантом енергије E = hf, где је фреквенција титрања светлости f = 1/τ, са τ периодом осцилација, а h је елементарно дејство и Планкова константа. У тим пакетима, квантима налазе се најмање количине физичке информације.

Отуда вредност комутатора као тумача површине у схватању Кеплеровог другог закона, који каже да потег од Сунца до планете у једнака времена пребрише једнаке површине — помоћу „силе вероватноће“.

Другачији увид у дво-димензионалност најмање неизвесности даје нам Чебишљева неједнакост

Pr{|X - μ| ≥ ε} ≤ σ²/ε²

где су X случајна варијабла, μ њена средња вредност, σ дисперзија и σ² варијанса, а ε је претпостављено одступање случајне варијабле од њене средње вредности. Када се расподела случајне променљиве рашири на већи скуп вредности, мањи број чланова опстаје релевантан за средњу вредност (Борељ-Кантелијева лема), тако да производ вероватноће тог одступања (ε = |X - μ|) и квадрата одступања (ε²) остаје константан. То, пак, тумачимо дводимензионалношћу насумичности одступања.

Како систем расте, са гомилањем случајних догађаја и расподела, тако његови најмањи делови постају све мање видљиви, да појаву исправно називамо законитошћу великих бројева теорије вероватноће.

Deceit

Питање: Обмане су „не-физичке“ информације?

Одговор: Замисли себе у друштву неког убице који сакрива злочин мислећи да ти ниси неки сведок, да си о томе необавештен. Ти се правиш наиван обмањујући га, јер би те он иначе морао убити.

То је ситуација обмана-обмана, као у игри „реципроцитета“, на нивоу стратегије I лиге. Ништа од оваквих лажи не дејствује на физичку супстанцу непосредно, иако њихово изостављање може драстично мењати стварност. То је врста обмана која не седи у „првом реду“ природних представа, дочим „вришти“ из позадине да и она учествује у физичкој реалности.

Не морају обмане имати овако драстичне расплете, као окидачи теорије хаоса нити кумулативне токове „лептира у Мексику чији би замах крила проузроковао ураган у Тексасу“ — речима Лоренза (Edward Lorenz, 1917-2008, амерички математичар и метеоролог). Ми можемо бити свесни и оних лажи које неће проузроковати ефекте на мртвој физичкој твари, а оне, ако би то могле, припадају некој псеудо-физичкој реалности.

Теорија информације на којој радим претендује да обухвата све такве.

Occam's razor

Питање: Важе ли физички закони за илузије?

Одговор: Да за „обмане“ донекле важе физички закони, могуће је. Што се тиче истина, обзиром на реалности које се мртве природе држе као „пјан плота“, а са друге стране информатичке структуре света, апстракције делом које би биле „истините“, имале би своју аналогију у теоријској физици.

На пример: „од две теорије које предвиђају исто, бирајте једноставнију“ (Окамова бритва, 14. век) — био би „принцип најмањег дејства“ физике. Да не буде забуне, знамо да ни у стварном свету није увек могуће стићи од тачке A до тачке B најкраћим путем, па то поготово не очекујмо ни у оном нестварном. Главни пример, наравно, је повезаност математике и теоријске физике.

Порекло апстрактних истина нова је тема и можда ће по први пут бити озбиљно постављена у теорији информације. Мој је предлог (Theorems) да размотримо егзистенцију „свега“ дужу од 13,8 милијарди година, где би „Велики прасак“ (енг. Big Bang), који узимамо прапочетком космоса, сматрамо границом „црне кутије“, најдаљим тренутком нама видљивих података из прошлости физичког свемира.

Много дужа историја постојања васионе, од тих 13,8 милијарди година, омогућила би начелу штедње (минимализму) информације да изроди и математичке истине, поред осталих извесности. Та идеја нема проблема са логиком (математичком, наравно), колико ће имати са мерењима, но то је неће моћи озбиљно угрозити. Не постоје математичке теореме које се могу доказивати или оспоравати експериментима.

На пример, привржености свих „осталих догађаја“ (мање извесних) тим „законитостима“ (извесностима), такође је последица поменутог начела минимализма, односно чешћег дешавања вероватнијих исхода, из којег можемо извести и физичке силе. Међутим, светови „илузија“ много су веће бесконачности од светова „самих истина“, чак и овако допуњених.

Perception

Питање: Шта је „информација перцепције“?

Одговор: Одговор на ово питање био би дуги елаборат и превише стручан за саговорника, из којег сам извукао и појачао неколико детаља, раније недоречених.

Информација перцепције прво је збир производа. Затим, то је број који мери интензитет и узајамно налегање два вектора

Q = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n = ab cos φ

који је утолико већи што су вектори „дужи“ (интензитети a и b су већи), а угао (φ) између њих је мањи. Према Коши-Шварцовој неједнакости, а из горње једнакости прилично очигледној (Q ≤ ab), биће Q вероватноћа ако су вектори неке расподеле вероватноћа.

У ермитским векторским просторима (квантне механике) сви ће овакви збирови производа, који су скаларни производи вектора, бити реални, а коефицијенти им могу бити комплексни бројеви. Стога квадрате модула коефицијената |a_k|² и |b_k|² можемо третирати и као вероватноће, а саме векторе (у квантној механици називају се суперпозиције) као расподеле вероватноћа. Према томе, Q је вероватноћа обзервабле. Та информација перцепције (Q) тако је вредност шансе да у окружењу (b₁, b₂, ..., b_n) буде измерена честица-талас (a₁, a₂, ..., a_n). Различита бирања чланова низова даваће разне ситуације мерења, али и објаснити квантну спрегнутост.

Стања квантног система дефинише вектор ермитског простора са својим компонентама. Оне могу бити квантни бројеви (код електрона су: главни квантни број, орбитални, магнетни и спински квантни број) који се могу користити за описивање путање и кретања електрона у атому. Здружени, они морају бити усклађени са Шредингеровом једначином.

Ермитски простор вектора интерпретирамо као квантни систем, вектори су квантна стања са ермитским операторима квантним процесима. Када множимо процесе настају процеси, производи процеса и стања су стања, производи стања су вероватноће, а све ово су информације перцепције.

Ова квантно-механичка, математици помало необична, интерпретација вероватноћа, у складу је и са схватањем сила вероватноће (моје) теорије информације. Међутим, класичне вероватноће са теоријом информације имају своје интерпретације „информација перцепције“, када их једанпут препознају (в. Трансформације и даље). То је углавном теорија у вези са Марковљевим ланцима. Новине у овоме биће запажања разлика између Марковљевих процеса који постају „црне кутије“ и оних који ће сачувати информацију помоћу „ротација“, а о којима сам већ писао.

Новост је и запажање стапања вероватноће и информације у макро-свету, чиме информација перцепције добија нови квалитет. Од информације о мерењу квантног стања, она тако преко преноса каналом Маркова стиже до „количине опција“ у свету наших величина па буде и мера виталности, или посебно, снаге и умећа игре на победу. Не морамо свих наших на тај начин мерених перцепција бити свесни, док их поседујемо. Штавише, ми исти, у различитим тренуцима, објекат можемо опажати различито, као, на пример, вазу или два лица на горњој слици.

Volume

Питање: Да ли је свака информација дводимензионална?

Одговор: Не, уопште, откуд таква помисао до можда из два степена слободе (Autonomy)? Ако су мале честице невелике, или су уопште такве какве су, сложена тела нису им тачно једнака, јер би и таква тада била исте те честице.

Бинарни избори, индикатори да се нешто јесте или није десило, и тамо речена „елементарна вест“, имале би само два „крака“, први вероватноће p₁ ∈ (0, 1) дешавања датог исхода и други вероватноће p₂ = 1 - p₁ недешавања чеканог исхода, или једним у садашњости и другим у псеудо-садашњости. Вектор p = (p₁, p₂) представља елементарну расподелу вероватноћа.

Пренос (q = Ap) овакве расподеле вероватноће пишемо матрично

\[ \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}. \]

Овде је q = (q₁, q₂) такође расподела вероватноћа. Подразумевамо да је матрица A = (a_ij) стохастичка, где су индекси i, j ∈ {1, 2}, да су обе њене колоне a_.1 = (a₁₁, a₂₁) и a_.2 = (a₁₂, a₂₂) неке расподеле, па исту матрицу означавамо и са A[a_.1, a_.2]. Детерминанта матрице је „запремина“, то је мера димензије реда вектора које матрица пресликава.

У случају матрице другог реда имамо детерминанту:

\[ \det \begin{pmatrix} A_x & B_x \\ A_y & B_y \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} A_x & B_x \\ A_y & B_y \end{vmatrix} = A_xB_y - A_yB_x = [A, B], \]

а она је комутатор који интерпретира површину. Детерминанта матрице трећег реда (пресликава 3-члане низове, векторе) је 3-дим запремина, а детерминанта матрице n-тог реда (пресликава уређене n-торке) је n-дим „запремина“, где је n природан број, из скупа ℕ = {1, 2, 3, ...}. Када је n = 1, матрица је једночлана, она је број, скалар, као и њена детерминанта.

Прихватање логике ових n-дим информација неизбежно води ка ширењу појма „информације перцепције“ (Perception). То множење матрица, које се може тумачити информацијом, већ постоји у квантној механици, када рецимо положај и импулс интерпретирамо операторима, а производ њих је дејство. Када множимо процесе настају процеси, производи процеса и стања су стања, производи стања су вероватноће, а све ово компоненте су информације перцепције.

Компоненте вектора или матрица, из тела скалара Φ, обично су реални ℝ или комплексни ℂ бројеви и имају комутативну операцију множења, али то не мора бити. Комутативност множења није неопходна за ту структуру тела, или поља (енг. field — поље), тако да би и регуларне (инвертибилне, квадратне) матрице могле служити за скаларе векторских простора, иако нису комутативног множења. Уз те случајеве некомутативности процеса долазе њихове релације неодређености, иначе неопходне виталности.

Када су скалари у збиру производа некомутативне матрице:

Q' = a₁⋅b₁ + a₂⋅b₂ + ... + a_n⋅b_n
Q'' = b₁⋅a₁ + b₂⋅a₂ + ... + b_n⋅a_n

тада је Q' ≠ Q'', што значи да узајамне перцепције, другог од стране првог и перцепције првог од стране другог субјекта, нису обавезно једнаке. Тај ће формализам, дакле, имати интуитивно прихватљиве интерпретације, а ова могућност долази управо из егзистенције информација димензија већих од две.

Из последњег видимо

Q = Q' - Q'' = [a₁, b₂] + [a₂, b₂] + ... + [a_n, b_n]

где су поједини комутатори [a_k, b_k] = a_kb_k - b_ka_k матрице реда n, односно информације, или дејства. Такво Q је опет нека информације перцепције, а са друге стране гледано, оно је процес.

Far Before

Питање: Како замишљате „време пре времена“?

Одговор: То што ћу сада причати о историји „пре Великог праска“ не тиче се било које од познатих фантасичних теорија, вероватно, већ само концепта (ове) теорије информације.

Ванвременост, или свевременост која би се неограничено протегла кроз прошлост дате садашњости, а обзиром на ограничења n-дим запремине, развукла би се попут сасвим танких нити које би могле бити бесконачних дужина. Како информације граде структуре физичког дејства, промене енергије током времена, биле би енергије тих нити бесконачне, осим ако су врсте испод радара дејства.

Бесконачности и друга логична сазнања (математике) неопходни делови су ове теорије, а управо је наведен начин да таква трајања буду и могућа. Време је фактор промена, па већу сложеност логичких структура видимо у настанку, односно додавању једне по једне аксиоме. Тако се топологија (геометрија без метрике) могла појавити раније, а апсолутна геометрија (без 5. еуклидског постулата) пре геометрија Еуклида, Лобачевског, или Риманових. Свака се математичка структура обогаћује додавањем нових независних правила, са разлогом описаном еволуцијом.

Пут, дужина x = ict коју пређе светлост брзином c за време t, при чему је i² = -1. Имагинаран је број ако је време реално и обрнуто. То даје смисао заобилажењу а тајност процесима и просторном распоређивању. Појави простора претходили су бозони (који сви могу стати у један једини), као што знамо, да би из њих (Хигсових бозона) настајали фермиони. Развој васионе потом је текао у формирању супстанце и раздвајању (настанку) закона физике, уједно уз све битнију разградњу твари у простор, из чега следи ширење свемира.

Ову завршницу, од Великог праска до васионе данас, већ сам описивао и сада не детаљишем, него наводим само да нагласим логичку везу дела са целином, а све заједно са (хипо)тезама теорије информације. Растуће, те бројније обавезе чине будућност обавезнијом, садашњост тањом, ређом информацијом и све мањом неизвесношћу. Талог прошлости фокусира оно што би даље могло бити.

Chance Matrix

Питање: Можете ли матрицом интерпретирати вероватноћу?

Одговор: Да, логично је имати и вероватносну интерпретацију за матрице, када је имамо у изразу парова производа информације перцепције (Volume). При томе не мислим само на стохастичке матрице (6.2 и даље), него и на „интензитете“ матрица, њихове детерминанте.

Демонстрираћу то овде лакшим примером, стохастичке матрице другог реда, где је a, b ∈ (0, 1), а a' = 1 - a и b' = 1 - b

\[ M = \begin{pmatrix} a & b' \\ a' & b \end{pmatrix}. \]

Бројеви у колонама су (условне) вероватноће две независне расподеле:

a : x → y,     b : x' → y'.

Матрица преноси (било коју) расподелу другог реда u = (x, x') у расподелу другог реда v = (y, y'), тако да је v = Mu, што пишемо и M : u → v. Полазна расподелa може бити дата бацањем фер новчића (x = 1/2, x' = 1/2), такође коцке (x = 1/6, x' = 5/6), или сличног исхода да-не (Индикатори).

Стохастичка матрица има инверзну стохастичку матрицу акко је добијена пермутацијама колона (или редака) јединичне матрице (Информатичка Теорија I, 07. Матрица канала, Теорема 1). Овим се не тврди да не постоји инверзна M^-1, таква да је MM^-1 = I, него да M^-1 није стохастичка, сем када је M резултат мешања колона јединичне матрице I. На пример

\[ MM^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{7}{10} & \frac{4}{10} \\ \frac{3}{10} & \frac{6}{10} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -\frac43 \\ -1 & \frac73 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

и видимо да инверзна али не-стохастичка матрица постоји.

Следећа теорема (Channel) каже да је детерминанта матрице различита од нуле када је сваки њен дијагонални елеменат већи од збира осталих тог ретка. Тада је из примљене поруке могуће реконструисати, открити послату (без инверзне стохастичке матрице). Тако, када је вероватнији пренос сваке k-те поруке у k-ту, него у неку другу, онда је детерминанта |det M| већи број.

Међутим, ова детерминанта не може бити већа од један. На пример:

det M = ab - a'b' = ab - (1 - a)(1 - b) = a + b - 1 ≤ 1,

за наведене матрице другог реда. У општем случају, позовимо се на траг матрице, за који знамо да је збир својствених вредности матрице, који је у стохастичком случају мањи од збира дијагоналних елемената (не већих од 1). Дакле, својствене су јој вредности бројеви од 0 до 1. Детерминанта је производ својствених вредности матрице, па ни она не може бити већа од један (стохастичке матрице).

Другим речима, детерминанта стохастичке матрице је број из интервала [0, 1], што значи да она узима вредности вероватноћа. Тај број је утолико већи што је пренос тачнији, извеснији, а поврх тога, детерминанта n-тог реда је n-дим запремина матрице (Volume), што комплетира смисао.

У том смислу, матрице којима бисмо збирове производа представљали као информације перцепције вероватноће су без обзира на ред матрице. За n = 1 ово нам је било очигледно и раније, а за n > 1 разумећемо исто када приметимо да макро-средње информације теже ка вероватнијим исходима (Exponential II).

Quantum Matrix

Питање: Да ли је и квантна матрица нека вероватноћа?

Одговор: Јесте, аналогно изразу парова производа информације перцепције (Volume), што значи на начин вероватноће у квантној механици (Born rule).

Прво ћу уводом мало појаснити квантни Борнов закон, помоћу слике десно. Затим то преводим у Диракову нотацију и стварно квантно-механичко објашњење.

1. Дат је вектор

\[ \overrightarrow{OA} = \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) \]

у Декартовом правоуглом систему координата. Нека су углови вектора према правцима координатниг оса:

\[ \alpha_x = \angle(\vec{a}, \vec{x}), \quad \alpha_y = \angle(\vec{a}, \vec{y}), \quad \alpha_z = \angle(\vec{a}, \vec{z}). \]

Тада је збир квадрата косинуса ових углова

\[ \cos^2 \alpha_x + \cos^2 \alpha_y + \cos^2 \alpha_z = 1. \]

То знамо из елементарне математике. Kao у 3-дим систему координата, слично важи у n-дим систему где имамо n ∈ ℕ координатних оса и исто толико углова α₁, α₂, ..., α_n нагиба вектора према осама. Збир квадрата косинуса ових углова опет је један. □

У квантној механици, координатне осе се бирају тако да представљају обзервабле, а вектори су квантна стања. Што је вектор ближи k-тој оси, мањи је угао α_k и већи је косинус тог угла. Већа је шанса да се квантно стање у мерењу појави као k-та обзервабла. Збир квадрата „косинуса“, њихова ненегативност и шанса у мерењу говоре да су они расподела вероватноћа налажења стања у датом квантном систему (векторском простору).

2. Пример је био згодан увод у циљано објешњење (Квантна Механика, 1.1.6 Борнов закон). Одговарајући вектор претходном даље је |a⟩ писано Дираковом нотацијом. Он представља OA на датој слици. Ортогонална пројекција тачке A на осу |x⟩ је тачка A_x, а ортогонална пројекција тачке A_x на дати вектор нека је тачка B. Мерење обзервабле пишемо

\[ \overrightarrow{OA} = |x\rangle\langle x|a\rangle. \]

Вектори коjи представљаjу различита физичка своjства нису колинеарни (ортогонални су) и њихов збир ниjе jеднак скаларном збиру интензитета делова. Зато количник бројева ⟨a|x⟩ и |a⟩ није вероватноћа. Да би добили учешће појединих координата у укупној вероватноћи, нађимо допринос сваке компоненте вектора дуж правца |a⟩. Добијамо:

\[ \overrightarrow{OB} = |a\rangle \langle a|\overrightarrow{OA} = |a\rangle \langle a|x\rangle \langle x|a\rangle = |a\rangle |\langle x|a\rangle|^2. \]

Вектор система разлажемо на збир доприноса појединих компоненти дуж правца |a⟩, колико год да их је

\[ |a\rangle = |\langle x|a\rangle|^2 + |\langle y|a\rangle|^2 + |\langle z|a\rangle|^2 + ... = \] \[ = (|\langle x|a\rangle|^2 + |\langle y|a\rangle|^2 + |\langle z|a\rangle|^2 + ...)|a\rangle = |a\rangle, \]

jер jе збир вероватноћа независних исхода (израз у загради) jедан. Ето зашто за вероватноће морамо користити квадрате

\[ |\langle x_k|a\rangle|^2 = |a_k|^2 = a^*_ka_k. \]

То су, а не неке друге, функције амплитуде a_k у представљању вектора квантног стања. □

Нико вам неће рећи да је математика квантне механике лака тема, па и ако нисте разумели објашњење ствар није до вас. Верујте ми, рецимо да је све јасно, и наставимо.

Зато формуле: броја n елемената скупова A и B, вероватноће P збира таквих случајних догађаја, и истих ознака, али сада амплитуда A и B квантних честица-таласа |.|², можемо писати:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B),
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB),
|A + B|² = |A|² + |B|² + 2ℛℯ(A^*B).

Обратите пажњу на квадрате модула (комплексних бројева) амплитуда таласа у трећем реду, са реалним делом ℛℯ(A^*B) = a_xb_x + a_yb_y, при томе имамо A = a_x + ia_y и B = b_x + ib_y, са a_x, a_y, b_x и b_y реалним. Имагинарна јединица квадрирана је i² = -1.

3. Како детерминанти матрице, det M = λ₁ ⋅ λ₂ ⋅ ... ⋅ λ_n, расте вредност ако су веће вредности производа свих вероватноћа |λ_k|² обзервабле, онда ће детерминанта квантне матрице имати већу вредност ако су вероватноће мерења код више ових n опција квантног стања веће. Уједно „матричној вероватноћи“ дајемо смисао сугерисан питањем. Вероватнији процес и одговарајући оператор, односно матрица имају већу детерминанту. □

Тиме одговор на постављено питање можемо сматрати позитивним, али можда не на начин очекиван ономе ко би га постављао. Иако је квантна матрица далеке форме од стохастичке, овај резултат их зближава.

Absurd Converge

Питање: Апсурдно је „зближавање“ вероватноће са информацијом?

Одговор: Добро сте приметили (контекст из ширег питања), да имамо (Matrix) још један начин зближавања информације, или утапања ње у вероватноћу.

Детерминанта матрице производ је њених својствених вредности, а ове мереним амплитудама таласа квантних честица и вероватноћи да се иста појави као обзервабла (физички мерљива величина) у процесу физичке обзервације.

Са друге стране, ограничења вероватноћа максимумом 1, стога њихових нагомилавања око горње вредности, резултирају уједначавањем шанси исхода и порастом информације. Међутим, већу информацију природа „не воли“ (Минимализам), назад не може, што нас води интересантним расплетима.

Ако вероватноће припадају расподели (укупног су збира један), онда је њихов производ максималан када су уједначене, а када су слободне од расподела (свака може ићи до један), онда им је производ већи када су оне веће, што ближе један. У оба случаја информација процеса расте.

Прво, растућа детерминанта биће ненулта и представљаће инвертибилну матрицу. То није обавезно стохастички процес (Chance Matrix), он сам не мора бити реверзибилан, али јесте такав чији ће се улазни подаци моћи дешифровати на основу излазних. Тако имамо формално-математички модел објашњења „меморисања“. По први пут, током све историје науке, можемо анализирати „памћење“ извесношћу геометријске вероватноће. За сада, интересује нас само детаљ, да процес бременит информацијом „пуца по шавовима“ да, поред осталог, депонује вишкове у „сећања“.

Друго је појава „нагомилавања у прошлост“ коју сам више пута наводио (Past II) као могућност која би објашњавала одржање укупне количине информације, са нужношћу промена и опадањем густине информације садашњости. Док сада откривамо услов настанка прошлости. Памћење тако детерминише ток садашњости, ограничава њене опције, али има и облике попут „тамне материје“ (гравитационо деловање прошлости) са којим се могу разумети и галаксије без ње (AGC 114905).

Трећи је третман времена као паралелних димензија. То су слична стања прошлости, али без комуникације са нашом садашњошћу. Заправо, оне су сопствене садашњости физички и логички еквивалентне нашој, којих има континуум. Тачније, ако је пребројиво бесконачно много тренутака, догађаја наше реалности, онда је континуум опција. А опције изграђују светове паралелних димензија, углавном без узајамне комуникације.

Четврто било би релативно успоравање времена система у кретању, или гравитационог поља, као одговор начелног минимализма на настојања згушњавање информације додавањем им енергије. Због еквиваленције дејства (енергија × време) и информације, те закона одржања, времена утолико постају дужа. Процеси успоравају, такође догађања која једном ногом остају у другој реалности, невидљивој релативном посматрачу.

Спорији ток времена и контракција дужина по правцу кретања стварају ефекат лажне кривине површи цилиндра (ваљка), насупрот од стварног Гаусовог закривљења (Theorema Egregium) који изражавамо Римановим тензором код радијалних промена гравитационог поља. Према теорији информације, сматрајмо ово закривљење 4-дим унутар 6-дим простор-времена. Појава гравитационог привлачења тако, апсурдно, је кретање због релативног мањка информације због њеног реалног (сопственог) вишка.

Наведена четири случаја примери су релног-имагинарног пресликавања простора-времена (x = ict) које релаксира „зближавање“ вероватноће са информацијом. Она нису једина, али верујем изненађење су онима који ову (нову) теорију информације не познају, па их зато истичем. Остали облици спонтаног избегавања гушће информације или детаљи оваквих, биће тема неком другом приликом.

Децембар 2023 (English ≽)