Derivacije

Лимеси, изводи и интегрални рачун основа су свега онога што називамо „инфинитезимални рачун“ и полазиште је функционалне анализе. Зато је прилог „деривације“ неизбежан увод темама које следе.

1. Лимес

Лимесе смо само помињали у претходном наслову (Непрекидност) као увод у оно што овде следи. Разликујемо лимесе, односно граничне вредности, низова и функција.

1.1. Лимес низа. Нека је (z_k) низ реалних или комплексних бројева. Ако вреди

(∀ε > 0)(∃n₀ ∈ ℕ)(∀n > n₀) |z_n - C| < ε

кажемо да низ (z_k) конвергира броју C. То значи да за све већи индекс, члан низа z₁, z₂, ..., z_k, ... постаје све ближи броју C. Када је то низ комплексних бројева, z_k = x_k + iy_k, где су реални сабирци x_k, y_k ∈ ℝ, а за имагинарну јединицу важи i² = -1, тада је наведена гранична вредност C = A + iB. Онда је апсолутна вредност реалног броја модуо комплексног броја, чији је квадрат |z|² = |x|² + |y|². То може бити и низ вектора \( \vec{z}_k = (x_{k1}, x_{k2}, ..., x_{kn}) \) простора димензије n, на пример интензитета дефинисаног квадратом |z|² = |x₁|² + |x₂|² + ... + |x_n|², или било којом другом пригодном метриком.

Када је (z_k) низ вредности (бројева или вектора) конвергентан, тада пишемо

\[ \lim_{n \to \infty} z_n = C. \]

Ако овај исказ не вреди, онда низ није конвергентан и кажемо да је дивергентан.

Конвергентан низ (z_n) има тачку нагомилавања C у чијој свакој околини (интервалу, кружници, или кугли) полупречника ε > 0 постоји бесконачно много чланова низа, а изван те околине само коначно много. То је друга дефиниција конвергенције, интуитивно можда мало лакша у разумевању следећих општих особина лимеса:

1. lim(u_n + v_n) = lim(u_n) + lim(v_n);
2. lim(c ⋅ z_n) = c ⋅ lim(z_n),   c = const.;
3. lim(u_n ⋅ v_n) = lim(u_n) ⋅ lim(v_n);
4. lim(u_n/v_n) = lim(u_n)/lim(v_n),   lim(v_n) ≠ 0;
5. |lim(z_n)| = lim|z_n|.

Ознаке саме говоре своја значења, а поменута „интуитивна“ дефиниција рећи ће да су ове ставке тачне, јер „тачке нагомилавања“ су једине такве у пресецима низова. Изван пресека израчунатих чланова два низа (збира, производа, количника), у свакој ε > 0 околини, има највише коначно много елемената.

Горња, строжија дефиниција говори то исто. У основи израчунавамо:

|u_n + v_n| ≤ |u_n| + |v_n| < ε_u + ε_v ≤ ε = min{ε_u, ε_v},

у случају сабирања (1), а за остале слично, замењујући сабирање операцијом множења или делења. У наставку погледајмо још неколико корисних ставова (теорема) о лимесима низова.

1.2. 1. Став. Конвергентан низ има јединствен (тачно један) лимес и обрнуто, ако низ има само једну тачку нагомилавања он је конвергентан.

Доказ: Претпоставимо да су C₁ < C₂ различити лимеси од (z_k). Нека је ε > 0 такав да је C₁ + ε < C₂ - ε. Из лимеса C₁ следи да постоји n₁ ∈ ℕ такав да је z_n ∈ (C₁ - ε, C₁ + ε) за n ≥ n₁. Исто тако, постоји n₂ ∈ ℕ такав да је z_n ∈ (C₂ - ε, C₂ + ε) за n ≥ n₂. Отуда, за n = max{n₁, n₂} је z_n ∈ (C₁ - ε, C₁ + ε) ∩ (C₂ - ε, C₂ + ε), што није могуће. Обрнуто је очигледно. ∎

2. Пример. Алтернативни низ парцијалних сума реда

\[ \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \frac15 - \frac16 + ... \]

има граничну вредност, са истом тачком нагомилавања два наизглед различита подниза.

Решење: Парцијалне суме датог реда су:

\[ z_1 = 1 \] \[ z_2 = 1 - \frac12 = 0,5 \] \[ z_3 = 1 - \frac12 + \frac13 = 0,833 \] \[ z_4 = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 = 0,583 \] \[ z_5 = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \frac15 = 0,783 \] \[ z_6 = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \frac15 - \frac16 = 0,616 \]

...

Приметимо два подниза, парних и непарних индекса, први растући а други опадајући:

\[ z_{2n+2} = z_{2n} + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2}, \quad z_{2n+1} = z_{2n} + \frac{1}{2n+1}. \]

Они су такви да конвергирају истој тачки нагомилавања, јер

\[ z_{2n+1} - z_{2n+2} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} \to 0, \quad n \to \infty. \]

Доказали смо конвергенцију, а да нисмо израчунали лимес низа! □

3. Став. Конвергентан низ је ограничен.

Доказ: Нека је C = lim z_n. Узмемо ли ε = 1, из дефиниције лимеса следи да изван интервала (C - ε, C + ε) има само коначно много чланова. Највећи од њих |z_n| нека је M, а најмањи m. Тада је већи од бројева |C| + 1 и M горња ограда тог скупа, а мањи од бројева |C| - 1 и m је доња, па је низ ограничен. ∎

Међутим, не важи обрнуто. Да ограничен низ не мора бити конвергентан доказ је 1, 2, 1, 2, ... који има две тачке нагомилавања, 1 и 2, што закључујемо на основу 1. става. Дивергентан је и низ општег члана

\[ z_n = \frac{2n^3 + 5}{7n^2 + 4}, \]

јер бројник (3. степен n-а) расте брже од називника (2. степен). Том закључучку помаже 3. став. Други пример је низ општег члана:

\[ z_n = \frac{3n + 5}{2n + 3} = \frac{\frac32(2n + 3) + \frac12}{2n + 3} = \frac32 + \frac{1}{2(2n + 3)} \to \frac32, \]

јер разломак тежи нули када n → ∞, а збир (производ, количник) лимеса је лимес збира. Трећи пример је низ:

\[ -\frac{1}{n} \le \frac{\cos n}{e^n} \le \frac{1}{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \]

који је ограничаван тако да постаје конвергентан, јер су границе његових даљих чланова све уже около нуле, |cos n| ≤ 1, док 1/eⁿ → 0, па му је тачка нагомилавања 0, као и лимес. Кажемо (забавно) ухваћен је између два полицајца, а прецизније, због сендвич теореме.

4. Став. Низ који је монотон и ограничен је конвергентан.

Доказ: Када је низ растући и ограничен, тада је лимес низа супремум скупа његових вредности. Ако је низ падајућии и ограничен, онда је лимес тог низа једнак инфимуму скупа вредности низа. ∎

5. Пример. Показати да су низови (n = 1, 2, 3, ...):

\[ z_n = \sum_{k=1}^n p_k, \quad S_n = -\sum_{k=1}^n p_k \log_2 p_k, \quad p_k = 2^{-k}, \ k = 1, 2, ..., n \]

конвергентни и наћи њихове граничне вредности.

Решење: Први је геометријски ред:

\[ z_n = \frac12 + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^n}, \] \[ \frac12\cdot z_n = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^{n+1}}, \] \[ z_n - \frac12\cdot z_n = \frac12 - \frac{1}{2^{n+1}}, \] \[ \frac12 z_n \to \frac12, \quad n \to \infty, \] \[ \lim_{n \to \infty} z_n = 1. \]

Први низ је и расподела вероватноћа. Други је Шенонова информација те расподеле:

\[ S_n = -\frac12 \log_2 \frac12 - \frac{1}{2^2} \log_2 \frac{1}{2^2} - ... - \frac{1}{2^n} \log_2 \frac{1}{2^n} = \] \[ = \frac12 \log_2 2 + \frac{1}{2^2} \log_2 2^2 + ... + \frac{1}{2^n} \log_2 2^n \] \[ = \frac12 + \frac{2}{2^2} + ... + \frac{n}{2^n}. \]

Пишимо овај збир у више редова па их одвојено сабирајмо:

\[ S_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^n} + \quad (\to \frac{1}{2^0}, \ n \to \infty) \] \[ + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^n} + \quad (\to \frac{1}{2^1}, \ n \to \infty) \] \[ + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^n} + \quad (\to \frac{1}{2^2}, \ n \to \infty) \] \[ + ... + \] \[ + \frac{1}{2^n} \quad (\to 0, \ n \to \infty), \] \[ \lim_{n \to \infty} S_n = 2. \]

Збир свих ових редова је опет геометријски ред (почиње са 1) збира 2. □

Приметимо да овај пример потврђује (Surprises) да су сабирци Шеноновог збира то мање битни што је вероватноћа мања. Да су у укупном збиру, у средњој информацији расподеле, највероватнији исходи и најдоминантнији, иако је сама информација (-log p) утолико већа што је вероватноћа p ∈ (0, 1) мања.

1.3. Посебно је занимљива дефиниција Ојлеровог броја e помоћу лимеса

\[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \]

чију егзистенцију можемо доказати посматрајући два низа:

\[ a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, \quad b_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}, \]

од којих је први растући, а други опадајући, па отуда

a₁ < a₂ < ... < a_n < ... ≤ e ≤ ... < b_n < ... < b₂ < b₁,

јер се показује да имају заједничку тачку нагомилавања, тј. број e = 2,71828... . У следећа три примера показаће се да (6a) први од ова два низа монотоно расте, да (6b) други монотоно опада и (6c) да су им граничне вредности једнаке.

6a. Пример Докажимо да је горе наведени низ a_n растући.

Доказ: Израчунавамо редом:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} = \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \] \[ = \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1} \left(\frac{n+1}{n}\right) = \left(\frac{n^2 + 2n + 1 - 1}{n^2 + 2n + 1}\right)^{n+1} \left(\frac{n+1}{n}\right) \] \[ = \left[1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right]^{n+1} \left(\frac{n+1}{n}\right), \]

па користећи Бернулијеву неједнакост, добијамо:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \gt \left[1 + (n+1)\frac{-1}{(n+1)^2}\right] \left(\frac{n+1}{n}\right) = \left(\frac{n}{n+1}\right) \left(\frac{n+1}{n}\right) = 1. \]

Отуда је 0 < a_n < a_n+1, за свако n = 1, 2, 3, ..., из чега следи да је овај низ растући. □

6b. Пример Докажимо да је горе наведени низ b_n опадајући.

Доказ: Израчунавамо редом:

\[ \frac{b_n}{b_{n+1}} = \frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}}{\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+2}} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+2}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+2}\left(\frac{n}{n+1}\right) = \] \[ = \left(\frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 2n}\right)^{n+2}\left(\frac{n}{n+1}\right) = \left(1 + \frac{1}{n^2 + 2n}\right)^{n+2}\left(\frac{n}{n+1}\right), \]

па опет користећи Бернулијеву неједнакост, добијамо:

\[ \frac{b_n}{b_{n+1}} \gt \left[1 + (n+2)\left(\frac{1}{n^2 + 2n}\right) \right] \left(\frac{n}{n+1}\right) = \left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{n}{n+1}\right) = 1. \]

Стога је 0 < b_n+1 < b_n, за свако n = 1, 2, 3, ..., из чега следи да је овај низ опадајући. □

6c. Пример. Докажимо да оба лимеса, L₁ = lim a_n и L₂ = lim b_n, када n → ∞, постоје и да су једнаки.

Доказ: Прво, видимо да је:

\[ b_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = a_n \left(1 + \frac{1}{n}\right) \gt a_n, \]

па је заиста a₁ < a₂ ... < a_n < ... < b_n < ... < b₂ < b₁, као што је најављено. Због ове ограничености, оба ова лимеса постоје (4. Став). Затим, видимо да је:

\[ b_n - a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\left(1 + \frac{1}{n} - 1\right) = \frac{1}{n}a_n. \]

Али, како је a_n < b₁, за свако n, па је 0 < b_n - a_n < b₁/n = 4/n. Према „сендвич теореми“, из:

\[ 0 \le \lim_{n \to \infty}(b_n - a_n) \le \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 0, \]

следи L₁ = L₂. □

Пример каже и да за израчунавање броја e са грешком мањом од ε > 0 треба узети n > 4/ε. Рецимо да нам треба број e са тачном другом децималом, грешке не веће од ε = 0,01. Узмамо n бар 4/0,01 = 400. Рачун нам даје број a₄₀₀ ≈ 2,715 који се од e ≈ 2,718 заиста разликује за |a₄₀₀ - e| ≈ 0,003 < ε.

1.4. Граничну вредност функције можемо посматрати и помоћу низа вредности апсцисе, x_k ∈ A ⊆ ℝ, ако се оне полако и бесконачно приближавају тачки нагомилавања T(a, b), тако да f(x_k) → b, када k → ∞. То пишемо, аналогно лимесу низа

\[ \lim_{k \to \infty} f(x_k) = b. \]

Други начин је да посматрамо ту околину, као на слици десно, тачке нагомилавања a ∈ A ⊆ ℝ, па је

\[ \lim_{x \to a} f(x) = b. \]

Вајерштрасов начин „епсилон-делта“ је прецизан и можда најпрактичнији у решавању задатака:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A) |x - a| < δ ⇒ |f(x) - b| < ε,

краће писано f(x) → b, када x → a, истог значења као запис претходним лимесом. Ова дефиниција преведена у конвергенцију када x → ±∞ постаје

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A) x ≷ δ ⇒ |f(x) - b| < ε,

где стоји x > δ када x → +∞, а x < δ ако x → -∞. Кажемо, ако за свако епсилон веће од нуле постоји делта веће од нуле тако да за сваку апсцису датог интервала која је апсциси тачке нагомилавања ближа него делта, буде ордината функције ближа од епсилон ординати тачке нагомилавања, онда функција тежи ординати тачке нагомилавања T(a, b). Слично читамо Вајерштрасове дефиниције лимеса бесконачне апсцисе.

1.5. Тачка T(a, b) на горњем графу може бити изостављена, ван домена, тако да f(a) није дефинисано, а да ипак постоји лимес f(x) → b, када x → a. То се може десити простим изостављањем саме једне тачке на линији графа, прекидом када се долазна и одлазна линија у тој тачки мало разилазе, или када у тој тачки функција дивергира, као на следећој слици

где су су испод графова записане функције. Свака од те три функције није дефинисана за x = 2, али прва се може додефинисати са f(2) = 4, другој се са леве g(2^-) → -1 и десне g(2⁺) → +1 стране лимеси разликују, а трећа у тој тачки дивергира. Погледајмо неколико посебних, али важних лимеса.

1.5. У ситуацијама првог графа (а) скраћивањем разломка избегавамо делење нулом и додефинишемо функцију. На пример:

\[ f(x) = \frac{x^n - a^n}{x - a} = \frac{(x -a)(x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + ... + a^{n-2}x + a^{n-1})}{x - a} = \] \[ = x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + ... + a^{n-2}x + a^{n-1} \to na^{n-1}, \quad x \to a. \]

Бројник смо раставили на факторе и скратили разломак. Слично налазимо

\[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2}}{x - 2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}. \]

Називник је растављен на факторе, \( x - 2 = (\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2}) \), па је скраћен разломак.

7. Пример. Докажимо да је

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. \]

Доказ: На слици лево имамо тригонометријску кружницу са углом x = θ = ∠BOC у радијанима:

AD = sin θ,   BC = tg θ.

Површине троуглова:

Π(OBD) = ½ sin θ,   Π(OBC) = ½ tg θ,

па израчунавамо:

½ sin θ < ½ θ < ½ tg θ,

1 > (sin θ) / θ > cos θ

а отуда тражени резултат. □

8. Пример. Докажимо да је lim x^x = 1, када x → 0.

Доказ: Уведимо смену y = x^x. Тада је ln y = x ln x ≤ x(x - 1) → 0, када x → 0 (Екстреми). Дакле ln y → 0, па y → 1, тј. lim x^x = 1, када x → 0. □

1.6. Кошијев низ је низ чији су узастопни елементи произвољно близу један другом за довољно велике индексе елемената. Прецизније, низ реалних бројева, x₁, x₂, x₃... назива се Кошијевим, ако за ма како мало ε > 0 постоји индекс n₀ ∈ ℕ за који је апсолутна разлика било која два елемента низа са индексом већим од њега мања од ε. Симболимa писано, низ реалних бројева (x_n) је Кошијев, ако:

(∀ε > 0)(∃n₀ ∈ ℕ)(∀m, n ∈ ℕ) m, n > n₀ ⇒ |x_m - x_n| < ε.

У скупу реалних бројева (ℝ):

1. Сваки конвергентан низ је Кошијев;
2. Сваки Кошијев низ је ограничен;
3. Ако Кошијев низ има конвергентан подниз, он је и сам конвергентан.

Обрат ставке (1) не важи. На пример, низ 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; 3.141592; 3,1415926 ... из скупа рационалних бројева (ℚ) конвергира ирационалном броју π ∉ ℚ.

1.7. Вајерштрасова (Karl Weierstrass, 1815 – 1897, немачки математичар) је теорема о екстремној вредности која каже да: ако је функција реалне вредности f = f(x) непрекидна на x ∈ [a, b], тј. на затвореном интервалу, она онда има максимум и минимум, сваки најмање једном. Другим речима, постоје бројеви x₁ и x₂ датог интервала такви да је f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂) за свако x ∈ [a, b].

Она је одређенија од теореме о ограничености, која каже да је непрекидна функција f = f(x) на затвореном интервалу [a, b] ограничена на тај интервал, тако да постоје реални бројеви m и M да је m ≤ f(x) ≤ M за свако x ∈ [a, b]. Обе теореме објашњава слика десно.

2. Извод

Типична функција y = f(x) са којима даље радимо је дефинисана на неком интервалу x ∈ (a, b) у којем се налази фиксирана тачка x₀. Нека су x₁, x₂ ∈ (a, b) још две тачке тог интервала, а y₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), y₂ = f(x₂) су одговарајуће ординате, као на следећој слици лево.

Плава, конвексна линија слике представља граф функције y = f(x). Сива, права која пролази двема тачкама A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) графа, коефицијента нагиба y' = Δy/Δx, паралелна је црвеној тангенти графа у тачки C(x₀, y₀). Дакле, нагиб тангенте је:

\[ y'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{x_1, x_2 \to x_0} \frac{y(x_2) - y(x_1)}{x_2 - x_1}, \]

при чему се интервал Δx = x₂ - x₁ сужава тако да тачка x₀ ∈ (x₁, x₂) стално остаје у њему. Такав је лимес извод, кажемо и деривације функције.

На пример, константна функција y = c је права паралелна x-оси чија се ордината не мења променом апсцисе и извод joj је нула. Права y = kx + n је сама себи тангента, па је њен нагиб k њен извод. Заиста, одузимањем y₂ = kx₂ + n и y₁ = kx₁ + n остаје Δy = kΔx, а отуда k = y'. Када је функција непрекидна, али је у тачки x₀ окомита на апсцису (y = x^1/3 у тачки x₀ = 0), или има шиљак, нема у тој тачки извод.

2.1. Извод функције је тангенс угла нагиба тангенте у датој тачки функције, тако да у случају y'(x₀) > 0 функција у околини тачке x₀ расте. У случају y'(x₀) < 0 биће функција у околини x₀ опадајућа, а када је y'(x₀) = 0 имамо тзв. стационарну тачку. Стационарне тачке су локални максимум (расте па пада), минимум (пада па расте) и превој (расте, стагнира, па расте; или пада, стагнира, па пада).

9. Лема (Ферматова). Нека функција y : I ↦ ℝ у тачки c датог отвореног интервала I ⊆ ℝ има локални екстрем. Ако је она диференцијабилна у c, онда је њен извод у тој тачки нула, y'(c) = 0.

Доказ: Рецимо да је екстрем максимум. Када би било y'(c) > 0, онда функција у тој тачки има извод и у њеној околини (иза) је y(x) > y(c), што противречи претпоставци да је у тачки c максимум. Према томе, y'(c) ≤ 0. Слично, претпоставка y'(c) < 0 значи да је функција у околини (испред) те тачке силазна, да је опет негде y(x) > y(c), што је такође контрадикција, па је извод y'(c) ≥ 0. Из ове две релације следи да је извод y'(c) = 0. ∎

Приметимо да извод (y') функције може опет бити нека функција. Њен извод је други извод:

\[ y''(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y'}{\Delta x} = \lim_{x_1, x_2 \to x_0} \frac{y'(x_2) - y'(x_1)}{x_2 - x_1} \]

полазне функције (y). Када постоји, он је растући ако извод расте из минуса преко нуле у плус, тј. ако функција у тачки x₀ има минимум. У тачки где је y'' < 0, први извод опада од позитивне до негативне вредности, што значи око максимума дате функције. Трећи случај је превој y'' = 0, када је функција са обе стране апсцисе x₀ или растућа или опадајућа.

Када је y''(x₀) < 0, тада први извод опада и, као на претходној слици, сама таква функција је конвексна (испупчена) у непосредној околини дате тачке (x₀), која ни не мора бити стационарна. Обрнуто, када је y''(x₀) > 0, први извод расте, а то значи да се граф оригинала увија као конкавна (удубљена) функција.

2.2. Полазећи од особина лимеса, лако проверавамо следеће особине извода:

1. (f ± g)' = f' ± g';
2. (f⋅g)' = f'⋅g + f⋅g';
3. (f/g)' = (f'⋅g - f⋅g')/g²;
4. [f(g(x))]' = f'_g⋅g'_x(x);
5. (f^-1)' = 1/f'.

Доказ: Из (f ± g)(x₂) - (f ± g)(x₁) = [f(x₂) - f(x₂)] ± [g(x₂) - g(x₂)], па делећи са Δx и прелазећи на лимес следи (1). Због:

Δ(f⋅g) = f(x₂)⋅g(x₂) - f(x₁)⋅g(x₁) =
= [f(x₂)⋅g(x₂) - f(x₁)⋅g(x₂)] + [f(x₁)⋅g(x₂) - f(x₁)⋅g(x₁)]
= [f(x₂) - f(x₁)]⋅g(x₂) + f(x₁)⋅[g(x₂) - g(x₁)]
= (Δf)⋅g + f⋅(Δg),

што након дељења са Δx и преласка на лимес даје (2). Из:

\[ \Delta\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{f(x_2)}{g(x_2)} - \frac{f(x_1)}{g(x_1)} = \frac{f(x_2)g(x_1) - f(x_1)g(x_2)}{g(x_2)g(x_1)} = \] \[ = \frac{[f(x_2)g(x_1) - f(x_1)g(x_2)] - [f(x_1)g(x_2) - f(x_1)g(x_2)]}{g(x_1)g(x_2)} \] \[ = \frac{\Delta f \cdot g - f \cdot \Delta g}{g^2}. \]

Ово је након дељења са Δx и преласка на лимес дало (3). Лимес којим дефинишемо извод је:

\[ [(f\circ g)(x)]' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(g(x))}{\Delta x} = \frac{df(g(x))}{dx} = \frac{df(g)}{dg}\frac{dg}{dx} = f'_g\cdot g'_x \]

што дозвољавају особине лимеса, а резултат је особина изода (4). За инверзну функцију знамо да важи y = g(x) = f^-1(x), где је x = f(y), па је g(f(y)) = f^-1(f(y) = y, а отуда [f^-1(f(y))]' = x'. Отуда [f^-1(x)]' f'(y) = 1 и:

\[ [f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)}, \quad f'(y) \ne 0. \]

То је (5) ставка. ∎

Приметимо да ставка (5) још лакше следи на начин ставке (4). Наиме, d[f^-1(f(y)]/dy = dx/dx, а отуда:

\[ \frac{df^{-1}}{df} \frac{df}{dx} = 1 \Rightarrow (f^{-1})' = \frac{1}{f'}. \]

Из (2) следи [cf(x)]' = c[f(x)]', јер је извод константе нула, c' = 0, промена Δx не мења константу, Δc = 0.

10. Пример. Докажимо да је (ln x)' = 1/x.

Доказ: Користимо дефиницију Ојлеровог броја e помоћу лимеса:

\[ (\ln x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(x+\Delta x) - \ln(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \ln \left[ \left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)^\frac{x}{\Delta x}\right]^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x}\ln e = \frac{1}{x}, \]

а то је и требало доказати. □

Обзиром да је (log_b a)⋅(log_c b) = log_c a и ln x = log_c x, из 10. примера следи (log_b x)' = 1/(x ln b).

11. Пример. Докажимо да је (e^x)' = e^x.

Доказ: Користимо особину (5) извода инверзне функције, јер ln e^x = x, одакле (ln e^x)' = 1, па:

\[ \left(e^x\right)'_x = \frac{1}{(\ln y)'_y} = e^x, \]

јер је y = e^x. □

Из овога налазимо (b^x)' = (e^{x ln b})' = e^{x ln b} ⋅ (x ln b)' = b^x ⋅ ln b. Кориштено је и (4), особина извода сложене функције. Експоненцијална функција y = e^x једина је чији је извод њој самој једнак, која остаје непромењена деловањем „оператора деривације“: D_x f(x) = df(x)/dx = f'(x).

2.3. Изводе функција можемо налазити и непосредно из дефиниције. Тако се углавном налазе изводи елементарних функција и добија „таблица извода“. Ево једног њеног дела:

\[ \begin{matrix} c' = 0 & x' = 1 & (cx)' = c \\ (x^c)' = c\cdot x^{c-1} & (c^x)' = c^x\cdot \ln c & (\log_c x)' = \frac{1}{x\ln c} \\ (\sin x)' = \cos x & (\cos x)' = -\sin x & (\text{tg}\ x)' = \frac{1}{\cos^2x} \end{matrix} \]

Доказ: Првих шест ових већ смо доказали (посредно). Седма следи из (непосредно):

sin(x + Δx) - sin x = (sin x cos Δx + cos x sin Δx) - sin x =
= sin x (cos Δx - 1) + cos x sin Δx = sin x (-2 sin²Δx) + cos x sin Δx,

што дељењем са Δx и преласком на лимес Δx → 0, због sin Δx → 0 и лимеса синуса, даје (sin x)' = cos x.

Осма од горњих табличних формула следи, рецимо, заменом варијабле x = π/2 - z, па за седму формулу имамо [sin(π/2 - z)]' = cos(π/2 - z), одакле (4), извод сложене функције, [sin(x)]'⋅(-z)'_z = cos(x), даје осму формулу наведене таблице извода.

Применом (3), извода количника:

\[ (\text{tg}\ x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{(\sin x)'\cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2x} = \frac{\sin^2x + \cos^2x}{\cos^2x} = \frac{1}{\cos^2x}, \]

помоћу седме и осме формуле добили смо девету. ∎

2.4. Ролова теорема (Michel Rolle, 1652 – 1719, француски математичар) тврди да реална функција f(x), непрекидна на затвореном интервалу x ∈ [a, b] и диференцијабилна на отвореном интервалу (a, b), ако је једнака нули на крајевима, f(a) = f(b) = 0, имаће бар једну тачку c отвореног интервала извода нула, f′(c) = 0.

Доказ: Према Вајерштрасовој теореми екстремне вредности, постоје тачке x_m и x_M интервала такве да f = f(x) има минимум m у првој, а максимум M у другој. Ако је m = M онда је функција константа на том интервалу I = (a, b). Али, тада је f'(x) = 0 у свим тачкама x ∈ I, па је свака од тих тачака c.

Друга је могућност m < M. Тада је бар један од бројева m и M различит од нуле, рецимо M ≠ 0. Из f(a) = f(b) = 0 и f(x_M) = M ≠ 0 биће x_M ≠ a, b. Дакле, тачка c = x_M је унутрашња сегмента I. Са максимумом, диференцијабилношћу и према 9. леми (Ферматовој) налазимо f'(c) = 0. Слично и друга претпоставка x_m ≠ 0 доводи до закључка x_m ∈ (a, b) и f'(x_m) = 0. ∎

Очигледно ова теорема важи и када функцију транслирамо по вертикали (померамо паралелно y-оси). Али, она остаје и када слику ротирамо са тангентом паралелном секанти, као на следећој слици лево, а тада има друго име.

2.5. Лагранжова теорема (Joseph-Louis Lagrange, 1736 – 1813, италијански математичар) утврђује да ће реална функција f = f(x), која је непрекидна на затвореном интервалу x ∈ [a, b] и диференцијабилна на

\[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c). \]

Доказ: Искористимо претходну (Ролову) теорему уз следећу помоћну функцију

\[ g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a). \]

Како је g(a) = g(b) = f(a), према Роловој теореми постоји број c ∈ I такав да је g'(c) = 0, односно

\[ f'(c) - \frac{f(b) - f(b)}{b - a} = 0, \]

или другачије писано

\[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}, \]

а то је управо оно што се тврди. ∎

2.6. Кошијева теорема (Augustin-Louis Cauchy, 1789 – 1857, француски математичар) средње вредности повезује промене две функције фиксног интервала са њиховим изводима. Она се назива и проширена теорема средње вредности, или друга теорема средње вредности. Приметимо да g(x) = x уврштавано у следећу Кошијеву формулу даје претходну Лагранжову формулу.

12. Теорема. За било које две функције, f(x) и g(x), непрекидне на затвореном интервалу x ∈ [a, b] и диференцијабилне на отвореном интервалу I = (a, b), уз g'(x) ≠ 0 за све x ∈ I, постоји број c ∈ I да је

\[ \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}. \]

Доказ: Прво, називник није нула, јер g(a) = g(b) и Ролова теорема дале би да постоји врој r ∈ I за који је g'(r) = 0. Међутим, то противречи претпоставци да је g'(x) ≠ 0 за све x ∈ I.

Затим, уведимо помоћну функцију F(x) = f(x) + λg(x) и бирајмо λ тако да важи F(a) = F(b). Лако је наћи λ, разломак који уврштавамо у полазну формулу

\[ F(x) = f(x) - \frac{f(a) - f(b)}{g(a) - g(b)}g(x). \]

Ова је функција непрекидна на затвореном интервалу [a, b] и диференцијабилне на отвореном (a, b) и узима једнаке вредности на границама интервала. Према Роловој теореми, онда постоји тачка c ∈ I да је извод F'(c) = 0, па према томе

\[ f'(c) - \frac{f(a) - f(b)}{g(a) - g(b)}g'(c) = 0, \]

а отуда тражена (Кошијева) формула. ∎

2.7. Тејлорова теорема (Brook Taylor, 1685 – 1731, енглески математичар) је формула која се користи за приближно израчунавање реалне функције f(x) у околини тачке a ∈ ℝ у Тејлоров полином

\[ T_n(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n, \]

где је факторијел n! = n⋅(n - 1)⋅(n - 2)...⋅2⋅1, а 0! = 1. Грешка овог развоја функције у полином, кажемо и остатак Тејлоровог реда, износи:

\[ R_n(x) = f(x) - T_n(x) =\frac{1}{n!}\int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t)\ dt = f^{(n+1)}(\xi)\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}, \ a \lt \xi \lt x, \]

Други израз за остатак овде, добија се из првог (интеграла) применом Лагранжове теореме за средњу вредност. Уобичајено је Тејлорову формулу извести помоћу интеграла, али има и другачијих начина.

Доказ: Полазимо од претпоставке, дефиниције функције f(x) развојем у ред:

\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_k (x-a)^k = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + ... \]

где је f(a) = c₀. Диференцирањем налазимо

\[ f'(x) = \sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1} = c_1 + 2c_2x +3c_3x^2 + 4c_4x^3 + ... \]

па је први извод f'(a) = c₁. Диференцирамо поново и добијамо

\[ f''(x) = \sum_{k=2}^\infty k(k-1)c_{k}x^{k-2} = 2c_2 + 6c_3x + 12c_4x^2 + .. \]

тако да за други извод имамо f''(a) = 2c₂. Настављајући овај поступак налазимо f^(k)(a)/k! = c_k уопште за k = 0, 1, 2, 3, ... и уврштавањем нађених c_k у полазни ред добијамо Тејлорову формулу. ∎

2.8. Маклоренов ред (Colin Maclaurin, 1698 – 1746, шкотски математичар) добијамо стављајући a = 0 у Тејлоров ред. Сменом x ↦ x - a Маклоренов прелази у Тејлоров ред. Непосредним рачунањем извода, проверите развоје у Маклоренов ред:

\[ (1 - x)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + ..., \quad |x| \lt 1 \] \[ -\ln(1 - x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + ..., \quad |x| \lt 1 \] \[ \ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ..., \quad |x| \lt 1 \] \[ e^x = \sum_{n=0}^n \frac{x^n}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ..., \quad \forall x \] \[ \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ..., \quad \forall x \] \[ \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ..., \quad \forall x \]

Сабирањем редова покажите да је cos x + i sin x = e^ix, где је имагинарна јединица i² = -1.

2.9. Лопиталово правило налази поједине лимесе са „неодређеним облицима“ помоћу извода.

13. Теорема (L'Hôpital's rule). Када су функције f и g дефинисане на реалном интервалу I\{c} ⊂ ℝ и на њему диференцијабилне, са особинама:

1. \( \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \ \lor \ \pm\infty \);
2. \( (\forall x \in I \setminus \{c\}) \ g(x) \ne 0, \ g'(x) \ne 0 \);
3. постоји лимес количника извода ових функција, када c → ∞.

тада је

\[ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}; \]

Доказ: Ако функције f и g додефинишемо у тачки c са f(x) = g(x) = 0, добијамо непрекидне функције на целом интервалу I. Оне задовољавају услове Кошијеве теореме, па за сваки x ∈ I\{c} вреди:

\[ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - g(c)}{g(x) - g(c)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}, \]

где је c_x ∈ (c, x). Када x → c, тада c_x → c из чега следи тврђење теореме. ∎

На пример:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{6x} = \frac16. \]

Лопиталово правило је употребљено три пута узастопно.

3. Интеграл

Инверзна релација изводу је неодређни интеграл. Другим речима, из f(x) = dF(x)/dx је F(x) = ∫ f(x) dx које се назива примитивна функција. Више је врста интеграла, међу њима најпознатији су неодређени, одређени, Стилтјесов и други зависно од потребе. Када је примитивна функција F(x) нека површина од апсцисе до дате функције, онда је њена подинтегрална функција f(x) = F'(x). Обрнуто, када имамо граф функције y = f(x), онда је њен интеграл површина од ње до апсцисе.

3.1. На слици десно је један такав граф, са датим површинама, позитивним изнад апсцисе, испод негативним. У првом случају је f(x) > 0, у другом f(x) < 0. Висина (дубина) одринате графа f(x) на месту тачке x, множена њеним малим помаком по апсциси Δx, даваће површине правоугаоника између графа и апсцисе (x-осе).

Лимес збира тих правоугаоника, када Δx → 0, је одређени интеграл

\[ \int_a^b f(x)\ dx = \int f(x)\ dx \ \Bigg|_a^b = F(a) - F(b) \]

представљен реченом површином, за вредности апсциса x ∈ (a, b). То је одређени интеграл, он је једнак разлици неодређених.

Обрнуто изражено

\[ F(x) = \int_c^x f(t)\ dt \]

је неодређени интеграл писан помоћу одређеног. Приметимо да је c произвољна вредност из домена функције f, па је C = -F(c) произвољна „константа интегрирања“. Наиме f(x) = [F(x) + C]' = F'(x).

3.2. Таблица интеграла обрнута је таблица извода (α ≠ -1):

\[ \begin{matrix} \int dx = x + C & \int x^{\alpha} \ dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C & \int x^{-1} \ dx = \ln x + C \\ \int \cos x \ dx = \sin x + C & \int \sin x \ dx = - \cos x + C & \int \frac{1}{\cos^2x}\ dx = \text{tg}\ x + C \\ \int b^x \ dx = \frac{b^x}{\ln b} + C & \int \frac{1}{\sqrt{b^2 - x^2}} \ dx = \arcsin \frac{x}{b} + C & \int \frac{1}{b^2 + x^2} \ dx = \text{arctg}\ \frac{x}{b} \end{matrix} \]

3.2. Из истог претходног текста, очигледне су основне особине интеграла:

1. \( \int f'(x)\ dx = f(x) + C \);
2. \( \left[ \int f(x)\ dx \right]' = f(x) + C \);
3. \( \int cf(x) \ dx = c\int f(x)\ dx \), c ∈ ℝ\{0};
4. \( \int [f(x) + g(x)] \ dx = \int f(x)\ dx + \int g(x)\ dx \).

3.2. Парцијална интеграција је правило који трансформише интеграле производа функција у друге, вероватно једноставније интеграле

\[ \int udv = uv - \int vdu. \]

Ово правило произилази из правила деривације производа:

\[ (uv)' = u'v + uv', \] \[ \frac{d(uv)}{dx} = \frac{du}{dx}\cdot v + u\cdot \frac{dv}{dx}, \] \[ d(uv) = (du)\cdot v + u\cdot (dv), \] \[ uv = \int (du)v + \int u(dv). \]

Одузимањем интеграла добијамо горње правило.

14. Пример. Израчунавамо примитивну функцију F(x) функције \( f(x) = e^{-x}\sin(\pi x) \):

\[ F(x) = \int e^{-x} \sin(\pi x) \ dx = -\int \sin(\pi x) \ de^{-x} = -e^{-x} \sin(\pi x) + \int e^{-x} \ d\sin(\pi x) = \] \[ = -e^{-x} \sin(\pi x) + \pi \int e^{-x} \cos(\pi x) \ dx = -e^{-x}\sin(\pi x) - \pi \int \cos(\pi x)\ de^{-x} \] \[ = -e^{-x}\sin(\pi x) - \pi[e^{-x}\cos(\pi x) - \int e^{-x}\ d\cos(\pi x)] = \] \[ = -e^{-x}\sin(\pi x) - \pi e^{-x}\cos(\pi x) - \pi^2 \int e^{-x}\sin(\pi x) \ dx \] \[ (1 + \pi^2)F(x) = -e^{-x} \sin(\pi x) - \pi e^{-x} \cos(\pi x), \] \[ F(x) = \frac{-e^{-x}}{1 + \pi^2}[\sin(\pi x) + \pi \cos(\pi x)]. \]

Примењивана је парцијална без стварне интеграције. □

Проверавамо F'(x) = f(x), израчунавањем извода. На слици лево приказан је тај граф, функције f(x) пригушених синусних осцилација. Површина A испод графа и изнад апсцисе од 0 до 1 износи

\[ A = F(1) - F(0) = \frac{\pi}{1 + \pi^2}(1 - e^{-1}) \approx 0,1827. \]

Површина B, између графа и апсцисе од 1 до 2, је B = π(1 + π²)^-1(e^-1 - e^-2) ≈ 0,0672. Збир површина A + B = F(2) - F(0) = 0,2499 уједно је и интегрална површина између графа и апсцисе од 0 до 2, када се узимају апсолутне вредности ордината. Површина између ордината и апсцисе десног дела графа је:

\[ \int_0^\infty f(x) = \lim_{x \to \infty} [F(x) - F(0)] = \frac{\pi}{1 + \pi^2} \approx 0,7585. \]

Ово је тзв. неправи инеграл (Improper integral). Сва ова тематика (лимес, извод, интеграл) у настави је виших разреда средњих школа (IV Математика) и њоме се овде не бавим детаљније.

3.3. Теорема средње вредности за интеграле. Ако су реалне функције f и g непрекидне на (a, b), а при томе g(x) ≠ 0, онда постоји апсциса c ∈ (a, b) таква да је:

\[ f(c) : g(c) = \int_a^b f(x)\ dx : \int_a^b g(x) \ dx. \]

Посебно, ако је g(x) ≡ 1, онда је

\[ f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\ dx. \]

Доказ: Нека су F и G примитивне функције функција f и g на интервалу [a, b]. Обзиром да су функције f и g непрекидне, то су F и G диференцијабилне на (a, b). Уз то, G'(x) = g(x) ≠ 0. Према томе, функције F и G испуњавају услове Кошијеве теореме, па постоји тачка c ∈ (a, b) таква да је

\[ f(c) : g(c) = F'(c) : G'(c) = [F(b) - F(a)] : [G(b) - G(a)] = \int_a^b f(x)\ dx : \int_a^b g(x)\ dx \]

и прво тврђење теореме је доказано. Друго следи из првог, ако ставимо g(x) ≡ 1. ∎

На слици десно видимо геометријски смисао ове теореме. Најнижа и највиша тачка графа задатог интервала имају апсцисе m, M ∈ (a, b). Површине правоугаоника испод, које оне дефинишу, су:

(b - a)⋅f(m) ≤ (b - a)⋅f(c) ≤ (b - a)⋅f(M),

где је лева површина мањег правоугаоника мања од интегралне површине испод криве док је десна већа, па онда сигурно постоји ордината f(c) која је формирала правоугаоник површине са средином вредности таквих. Када једнакост површина

\[ (b - a)f(c) = \int_a^b f(x)\ dx \]

поделимо са b - a добијамо резултат теореме.

3.4. У књизи Физичка Информација (2.4 Густина расподеле, стр. 50-55) наћи ћете нека потешка и зато ређе навођена израчунавања нормалне расподеле 𝒩(μ, σ²), густине

\[ \rho(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}. \]

Ту је x ∈ ℝ случајна варијабла, μ је њено очекивање, а σ² варијанса, што значи:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \rho(x)\ dx = 1, \quad \int_{-\infty}^{\infty} x\rho(x)\ dx = \mu, \quad \int_{\infty}^{\infty} (x - \mu)^2\rho(x)\ dx = \sigma^2. \]

Ова расподела је и апроксимација биномне расподеле ℬ(n, p). Вероватноћа датог исхода је p ∈ (0, 1), а да се тај неће десити је q = 1 - p. Број понављања опита је n = 1, 2, 3, ..., када μ = np и σ² = npq. Случајна варијабла X ће бити у интервалу (a, b) ⊂ ℝ са вероватноћом

\[ \Pr\{a \le X \le b \} = \int_a^b \rho(x) \ dx. \]

У истој књизи (Теорема 2.4.16, стр. 65) је Шенонова информација нормалне расподеле:

\[ \Phi = \int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x) \ dx = \frac12 \ln(2\pi e \sigma^2), \quad \varphi(x) = -\rho(x) \ln \rho(x). \]

Од свих густина расподеле са задатом дисперзијом (σ), нормална расподела има највећу информацију. Графови густина, плави нормалне расподеле ρ(x) и њене Шенонове информације φ(x), су на слици:

где су очекивање μ = 0 и дисперзија σ = 1. Ово апсурдно опадање Шенонове информације са мањим вероватноћама слаже се са претходним налазима (Disposition). Оно нам говори да, у условима макро-света, информација перцепције постаје већа када је вероватноћа већа.

3.5. Интегрирање рационалних функција почесто сводимо на интегрирање сабирака. Ево једног типичног примера:

\[ I = \int \frac{x^3 + 1}{x^4 - x^3}\ dx = \int \frac{x^2 + 1}{x^3(x - 1)}\ dx = \int \left(\frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{D}{x-1}\right)\ dx \]

сабирамо ова четири разломка, упоређујемо са датим и A + D = 0, -A + B = 1, -B + C = 0, -C = 1, па:

\[ I = -2\int \frac{dx}{x} - \int \frac{dx}{x^2} - \int \frac{dx}{x^3} + 2\int \frac{dx}{x-1} = -2\ln|x| + \frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} + 2\ln|x-1| + c. \]

Други пример уситњавања разломка полинома:

\[ q(x) = \frac{x^2 + 3x + 3}{x(x+2)^2} = \frac34\frac{1}{x} + \frac14\frac{1}{x+2} - \frac12\frac{1}{(x+2)^2}, \]

након чега се лако интегрира и налази

\[ \int q(x)\ dx = \frac34\ln|x| + \frac14\ln|x + 2| + \frac12\frac{1}{x + 2} + c. \]

Проверите и потражите сличне примере сами.

3.6. Ојлеров интеграл прве врсте назива се и Бета функција

\[ B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \ dt = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}, \]

где је за n = 1, 2, 3, ..., тј. природне бројеве Γ(n) = (n - 1)! = 1⋅2⋅...⋅(n - 1). Иначе, то је Ојлеров интеграл друге врсте који се назива Гама функција

\[ \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\ dt. \]

За z = 1 добија се израз Γ(n + 1) = nΓ(n) = n! који проширује појам факторијела на комплексне бројеве.

15. Пример. Покажимо да је Γ(z + 1) = zΓ(z) за све z ∈ ℂ.

Доказ: Користимо парцијалну интеграцију:

\[ \Gamma(z + 1) = \int_0^\infty t^ze^{-t}\ dt = -t^z e^{-t}\Bigg|_0^\infty + z\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\ dt = z\Gamma(z). \]

Према томе, једнакост је тачна. □

Отуда, на пример, \( \Gamma(\frac72) = \frac72 \frac52 \frac32\Gamma(\frac12) \).

16. Пример. Покажимо да је Γ(m)Γ(n) = B(m, n)Γ(m + n).

Доказ:

\[ \Gamma(m)\Gamma(n) = \int_0^\infty x^{m-1}e^{-x}\ dx \int_0^\infty y^{n-1}e^{-y}\ dy = \int_0^\infty \int_0^\infty x^{m-1}y^{n-1}e^{-(x+y)}\ dx dy, \]

то сменом x = θt и y = θ(1 - t) постаје:

\[ \Gamma(m)\Gamma(n) = \int_0^\infty t^{m-1}(1 - t)^{n-1}\ dt \int_0^1 \theta^{m + n - 1}e^{-\theta}\ d\theta = B(m, n)\Gamma(m+n). \]

То је и требало показати. □

Приметимо да овим примером доказујемо Ојлерове интеграле.

3.7. Чебишевљева неједнакост за непрекидну случајну променљиву X густине ρ(x) гласи

\[ \Pr(|X| \ge \alpha) \le \frac{E(X^2)}{\alpha^2}, \]

исто као и у дискретном облику. Доказ је такође једноставан:

\[ E(X^2) =\int_{-\infty}^{+\infty} x^2\rho(x)\ dx = \int_{|x|\ge \alpha} x^2\rho(x) \ dx + \int_{|x|\lt \alpha} x^2\rho(x) \ dx \ge \] \[ \ge \int_{|x|\ge \alpha} x^2\rho(x)\ dx \ge \int_{|x|\ge \alpha} \alpha^2\rho(x)\ dx = \alpha^2\int_{|x|\ge \alpha} \rho(x)\ dx = \alpha^2 \Pr\{|X|\ge \alpha\}. \]

Када се уместо X стави X - E(X) = X - μ, остаје варијанса облика σ² = E[(X - μ)²], то је средње квадратно одступање од средње вредности μ, па Чебишевљева неједнакост гласи

\[ \Pr(|X - \mu| \ge \alpha) \le \frac{\sigma^2}{\alpha^2}. \]

Она се у овом облику најчешће наводи.