Фебруар 2026 (English ≽)

Boiled frog » eng

Питање: Постепено смицање поларизатора светлости (Evasion, 4) веома ме подсећа на методу куване жабе?

Одговор: У праву сте, то је добро запажање. Ова позната алегорија „кувана жаба“ говори о жаби која ће утећи из изненада вреле воде, али стављена у хладну воду која се полако загрева остајаће тамо и биће скувана. О општем и нашем не примећивању опасности док не буде прекасно. Питање је има ли то примене у корелацијама?

1. Корелација је количник коваријансе, величине повезаности X и Y пара случајних променљивих и дисперзија, стандардних девијација (средњих одступања од средњих вредности):

$$ \kappa_{x,y} = \text{corr}(X,Y) = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_x\sigma_y} = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i - \mu_x)(y_i - \mu_y)}{\sqrt{\sum_{j=1}^n(x_j-\mu_x)^2\sum_{k=1}^n(y_k-\mu_y)^2}}. $$

Аритметичка средина низа, n-торке, је број μ_x = (x₁ + x₂ + ... + x_n)/n, а низ његових разлика чине бројеви Δx_i = x_i - μ_x. Средња вредност квадрата тих разлика је варијанса, σ_x² = (Δx₁² + Δx₂² + ... + Δx_n²)/n, а корен варијансе је стандардна девијација σ_x. Коваријанса је средња вредност из скаларног производа разлика, cov(x, y) = (Δx₁ Δy₁ + Δx₂ Δy₂ + ... + Δx_n Δy_n)/n.

2. На пример, x = (22, 35, 29, 34, 39, 42, 45) и y = (12, 24, 17, 23, 29, 33, 36) су 7-члани низови средњих вредности:

μ_x = (22 + 35 + 29 + 34 + 39 + 42 + 45)/7 ≈ 35,143
μ_y = (12 + 24 + 17 + 23 + 29 + 33 + 36)/7 ≈ 24,857

На основу њих формирамо разлике, низове одступања чланова низа од његове средње вредности, овде грубо (за μ_x = 35 и μ_y = 25):

Δx = X - μ_x = (-13, 0, -6, -1, 4, 7, 10)
Δy = Y - μ_y = (-13, -1, -8, -2, 4, 8, 11)

Збирови квадрата (грубо) нађених низова дају варијансе:

$$ \sigma^2_x = \frac{1}{n}\sum_j^n (x_k - \mu_x)^2 = (169 + 0 + 36 + 1 + 16 + 49 + 100)/7 = 53,00 $$ $$ \sigma^2_y = \frac{1}{n}\sum_k^n (y_k - \mu_y)^2 = (169 + 1 + 64 + 4 + 16 + 64 + 121)/7 \approx 62,71 $$

а корени ових су стандардне девијације:

σ_x ≈ 7,28     σ_y ≈ 7,92

Израчунавамо коваријансу као средину скаларног производа:

cov(x, y) = (169 + 0 + 48 + 2 + 16 + 56 + 110)/7 ≈ 57,29

То је бројник корелације, а у називнику су две стандардне девијације:

$$ \text{corr}(x,y) = \frac{\text{cov}(x,y)}{\sigma_x\sigma_y} \approx \frac{57,29}{7,28\cdot 7,92} \approx 0.994 $$

Иначе, корелација је реалан број од -1 до +1, при чему је +1 у случају савршене директне, растуће линеарне везе, а −1 у случају савршене инверзне, или супротне, опадајуће линеарне везе (антикорелације).

3. На пример, у Питону (Python 3.11.0), то исто израчунавамо овако:

import numpy as np

def korelacija(X,Y):
    if len(X)==len(Y):
        Sum_xy = sum((X-X.mean())*(Y-Y.mean()))
        Sum_x_squared = sum((X-X.mean())**2)
        Sum_y_squared = sum((Y-Y.mean())**2)       
        corr = Sum_xy / np.sqrt(Sum_x_squared * Sum_y_squared)
    return corr
            
# Define the dataset
x = np.array([22, 35, 29, 34, 39, 42, 45])
y = np.array([12, 24, 17, 23, 29, 33, 36])
z = np.array([10, 20, 30, 40, 50, 60, 70])

xy = korelacija(x,y)
yz = korelacija(y,z)
zx = korelacija(z,x)

print('corr(x,y):', xy)    
print('corr(y,z):', yz)
print('corr(z,x):', zx)

corr(x,y): 0.9943382674616695
corr(y,z): 0.9201519915209659
corr(z,x): 0.9126423311754243

Навео сам три низа x, y и z са три на крају наведене корелације 0.99, 0.92 и 0.91, да бисмо лакше разумели шта значи производ две корелације три променљиве и да такав, рецимо corr(x,y) ⋅ corr(y,z), није увек мањи/већи од треће corr(z,x). Међутим, корелацију таквог пара ограничава производ остала два: corr(x,z) ≥ 2 corr(x,y) corr(y,z) - 1.

4. Примећујемо да наизглед различити случајни низови могу имати врло високе корелације. То може збуњивати тако да граница прва два, као тих 2⋅0,994⋅0,920 - 1 ≈ 0,829, буде прилично лабава корелација, близу 0,829. У низу надовезаних оваквих парова x, y, z, ..., ако гледамо само на парове суседних и њихове корелације corr(x, y), corr(y, z), corr(z, u), ..., може нам се учинити да се стање не мења и да не примећујемо опасности све док не буде прекасно, или рецимо да имамо жабу стављену у хладну воду која се полако загрева и која у незнању остаје тамо све док не буде скувана. Није то само привид, него је рационално објашњивава појава, јер низ оваквих степена (па и броја 0,99) експоненцијално брзо опада.

Restriction » eng

Питање: Знам да корелација није преносива (транзитивна), али има ли неких ограничења корелација κ_ac, ако су познате корелације κ_ab и κ_bc?

Одговор: Да, корелација заиста није транзитивна. На пример, са независним променљивим X и Y нека су A = X, B = X + Y и C = Y. У општем случају, из вредности

κ_ac = corr(a, b),   κ_bc = corr(b, c)

немогуће је сасвим тачно имати κ_ac = corr(a, c), али постоје неке грубе процене. О томе имате и у књизи Информација Перцепције (2016) у делу „3.6 Стереометриjа статистике“, стр. 79-83. Да ме неко тада имао ово питати навео бих тамо и одговоре које ћу сада додати. Јасноће ради, део тог садржаја ћу поновити.

1. Негде су задате две n-торке случајних променљивих A(a₁, a₂, ..., a_n) и A'(a'₁, a'₂, ..., a'_n) са n-торком U(1, 1, ..., 1). Они чине три вектора $\vec{a}$, $\vec{a}'$ и $\vec{u}$ неког n-дим векторског простора. Са јединственим исходиштем (O) ови вектори у паровима разапињу равни приказане на слици горе десно, са углом између датих случајних вектора ∠(AOA') = φ.

При томе, пројекција тачке A на правац OU је тачка M у коју се пројектује и нека тачка B правца OA', док се тачка A' пројектује у M' истог тог правца OU. Затим имамо углове ∠(MAO) = α, ∠(MBO) = β и ∠(AMB) = γ. Спојнице су вектори:

$$ \vec{s}_a = \overrightarrow{MA}, \quad \vec{s}_{a'} = \overrightarrow{M'A'}, \quad \vec{s}_b = \overrightarrow{MB} $$

окомити на вектор $\vec{u}$. Доказ да је троугао OAM правоугли, где ∠M = 90°, дат је у наведеној књизи (Теорема 3.6.1.), а полази се од тачака:

$$ \overrightarrow{OM} = \mu_a\,\vec{u}, \quad \overrightarrow{OM'} = \mu_{a'}\,\vec{u}, $$

где су μ_a = (a₁, a₂, ..., a_n)/n и μ_a' = (a'₁, a'₂, ..., a'_n)/n аритметичке средине датих случајних низова.

2. Са (исте) слике читамо и израчунавамо:

$$ \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{OA}, \quad \overrightarrow{OM'} + \overrightarrow{M'A'} = \overrightarrow{OA'}, $$ $$ \vec{s}_a = \vec{a} - \mu_a\,\vec{u}, \quad \vec{s}_{a'} = \vec{a}' - \mu_{a'}\,\vec{u}. $$

Ово значи да су компоненте спојница Δa_i = a_i - μ_a и Δa'_j = a'_j - μ_a' редом, са индексима i, j = 1, 2, ..., n. Скаларни производ таквих спојница је:

$$ \vec{s}_a\cdot\vec{s}_{a'} = \Delta a_1\,\Delta a'_1 + \Delta a_2\,\Delta a'_2 + ... + \Delta a_n\,\Delta a'_n = \sum_{k=1}^n \Delta a_i\,\Delta a'_i, $$ $$ \text{cov}(a, a') = \vec{s}_a\cdot\vec{s}_{a'}/n. $$

Њихови интензитети су:

$$ \|\vec{s}_a\|^2 = \sum_{j=1}^n (\Delta a_j)^2, \quad \|\vec{s}_{a'}\|^2 = \sum_{k=1}^n (\Delta a'_k)^2, $$ $$ \sigma^2_a = \|\vec{s}_a\|^2/n, \quad \sigma^2_{a'} = \|\vec{s}_{a'}\|^2/n. $$

Дакле, корелација датих случајних низова је:

$$ \kappa_{a,a'} = \frac{\vec{s}_a\cdot\vec{s}_{a'}}{\|\vec{s}_a\|\,\|\vec{s}_{a'}\|} = \cos\gamma, $$

што добијемо након скраћивања разломка са n и обзиром да је вектор подељен интензитетом јединичне дужине. Скаларни производ вектора иначе је производ интензитета и косинуса угла између вектора.

3. Када имамо три случајна низа, n-торке бројева, имамо векторе:

$$ \vec{a} = (a_1, a_2, ..., a_n), \quad \vec{a}' = (a'_1, a'_2, ..., a'_n), \quad \vec{a}'' = (a''_1, a''_2, ..., a''_n), $$

на чије парове можемо применити претходно разматрање. Добијамо:

$$ \kappa_{a,a'} = \cos\gamma, \quad \kappa_{a',a''} = \cos\gamma', \quad \kappa_{a'',a} = \cos\gamma''. $$

То су корелације парова датих вектора, нису углови међу векторима, него су углови између спојница $\vec{s}_a$, $\vec{s}_{a'}$ и $\vec{s}_{a''}$ окомитих на $\vec{u} = (1, 1, ..., 1)$:

$$ \gamma = \angle(\vec{s}_a,\vec{s}_{a'}), \quad \gamma' = \angle(\vec{s}_a',\vec{s}_{a''}), \quad \gamma'' = \angle(\vec{s}_{a''},\vec{s}_{a}). $$

На слици лево је зеленим додата n-торка $\vec{a}''$ на претходне две. Она се пројектује у OM'', односно низ (μ_a'', μ_a'', ..., μ_a''), где је μ_a'' такође аритметичка средина елемената датог вектора. Хомотетијом ова спојница продужена је до тачке M у спојницу $\vec{s}_c || \vec{s}_{a''}$. Са слике се види да би угао γ могао бити из интервала од разлике до збира друга два угла, од |γ' - γ''| до |γ' + γ''|, тј.

$$ \cos(\gamma' + \gamma'') \le \cos\gamma \le \cos(\gamma' - \gamma''), $$ $$ \cos\gamma'\cos\gamma'' - \sin\gamma'\sin\gamma'' \le \cos\gamma \le \cos\gamma'\cos\gamma'' - \sin\gamma'\sin\gamma'', $$ $$ \kappa_{bc}\kappa_{ca} - \sqrt{1 - \kappa^2_{bc}}\sqrt{1 - \kappa^2_{ca}} \le \kappa_{ab} \le \kappa_{bc}\kappa_{ca} + \sqrt{1 - \kappa^2_{bc}}\sqrt{1 - \kappa^2_{ca}}, $$

јер √(1 - κ_bc²) = √(1 - cos²γ') = sin γ' и једнако тако √(1 - κ_ca²) = sin γ''. А, још тачније, на левој страни ових неједнакости треба бирати већи од -1 или вредност датог израза, а на десној мањи од +1 и дати. То је једна од релација поменутих ограничења.

4. Посматрајмо исти претходни налаз на мало другачији начин. Косинус било којег угла није већи од један и, треће, познат је косинус збира:

cos(γ' + γ'') = cos γ' cos γ'' - sin γ' sin γ'',     cos(γ' + γ'') ≤ cos γ ≤ 1.

Отуда cos γ' cos γ'' - 1 ≤ -sin γ' sin γ'', па 2 cos γ' cos γ'' - 1 ≤ cos γ, односно:

$$ 2\kappa_{bc}\kappa_{ca} - 1 \le \kappa_{ab} $$

То је неједнакост наведена као коментар на крају ставке из претходног одговора (Boiled frog, 3).

Intensity » eng

Питање: Како да упоређујем рестрикције из „стереометрије статистике“ са поларизацијом светлости?

Одговор: Пројекција дужи A₀ на осу између којих је угао θ износи A = A₀ cos θ. Са друге стране, 100 W светла батерије (као на слици лево) пројектоване на површину 4 m², по квадратном метру даће једну четвртину тог интензитета, па је I = I₀ cos²θ. То друго знамо као Малусов закон. Оно што се догађа приликом поларизације светлости је пропуштање интензитета. То разликујемо од самог опадања амплитуде светлости и, заправо, то је оно што мери Борнов закон.

1. Када пројектујемо раван са углом (φ), врх угла и тачке на крацима нису једнако удаљене до својих пројекција тако да је добијени угао (γ) већи од оригинала (φ ≤ γ). То има на поменутим сликама (претходног одговора). Зато што је угао између спојница, $\angle(\vec{s}_a,\vec{s}_b) = \gamma$ већи од углова случајних низова $\gamma \ge \alpha = \angle(\vec{a},\vec{a'})$, па косинус пројектованог буде већи од косинуса пројекције (cos φ ≥ cos γ). Зато је скаларни производ тамо изведен путем „стереометрије статистике“, јер је корелација тако тачнија. Квадрирањем се косинуса већег угла може смањити грешка косинуса мањег.

2. Мерење у квантној механици је налажење опсервабли оператора Q које су његови својствени вектори v, такви да могу решавати карактеристичну једначину Qv = λv, где је λ ∈ ℝ својствена вредност. Ови вектори v₁, v₂, ..., сваки са припадном својственом вредношћу λ₁, λ₂, ... чине базу квантног система, векторског простора који разапињу. Сличне матрице (Q' ∼ Q са Q' = P^-1QP) имају исте својствене вредности, не исте припадне својствене векторе. Зависно од базе система у којем дефинишемо матрицу добијамо њене различите репрезентације.

Таква матрица Q = (q_jk) представља квантни систем са пресликавањем Q: x → y, или писано Qx = y, где су вектори из њеног простора:

x = (ξ₁, ξ₂, ...) = ξ₁ v₁ + ξ₂ v₂ + ...
y = (η₁, η₂, ...) = η₁ v₁ + η₂ v₂ + ...
η_j = q_j1ξ₁ + q_j2ξ₂ + ...,   j = 1, 2, ...

Такви вектори су стања квантног система дефинисаног матрицом Q. Када их меримо, пројектују се на осу (својствених вектора) вероватноћом, први |ξ_k|², или други |η_j|². Квадрати модула комплексних бројева ξ_k, η_j ∈ ℂ су реални бројеви, а можемо их разумевати и као квадрате косинуса углова вектора према осама који су такође позитивни бројеви збира један (као и расподеле вероватноћа). Ове квадрате косинуса, опет, можемо разумети и као корелације. Најчешће нађемо оно што је највероватније, односно оно што је у најбољој корелацији са условима мерења.

3. Три фамозне Паулијеве матрице (Bloch sphere):

$$ \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

можемо посматрати као „вектор“ $\vec{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$. Дефинишимо оператор спина дуж јединичног вектора û као:

$$ \hat{S} = \frac{\hbar}{2}\,\vec{\sigma}\cdot\hat{u} = \frac{\hbar}{2}\,(\sigma_x a_x, \sigma_y a_y, \sigma_z a_z), $$ $$ \hat{S} \psi = \frac{\hbar}{2}\,\vec{\sigma}\cdot\hat{u}\,\binom{\psi_1}{\psi_2}. $$

Када је спин честице одређен својственим стањем, односно вектором ψ, оператора Ŝ, онда је Ŝψ = λψ за λ ∈ ℝ. Рецимо, ако меримо спин дуж z-осе када је û = (0, 0, 1), тада је $\vec{\sigma}\cdot\hat{u} = \sigma_z$, па за једначину Ŝ_z ψ = λψ, детаљно:

$$ \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} = \lambda\begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} $$

налазимо два решења, својствена стања:

$$ \psi_+ = \binom{1}{0}, \quad \psi_- = \binom{0}{1}, $$

својствених вредности λ₊ = ℏ/2 и λ_- = -ℏ/2.

Уместо Ŝ пишемо само оператор $\vec{\sigma}\cdot\hat{u}$, без Планкове константе, а тада имамо лепше својствене вредности ±1 за спин „горе“ и „доле“. Уопште, честица у смеру û има измерени спин-горе, када је својствена вредност +1, а спин-доле ако је својствена вредност -1. Поларизацији светлости у јакој корелацији је са овим.

4. У сферном систему координата када је отклон од z-осе угао θ, тада са произвољним φ у равни Oxy, имамо û = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) и:

$$ \vec{\sigma}\cdot \hat{u}\, \psi = \lambda \psi, $$ $$ (\sigma_x\cos\theta\cos\varphi + \sigma_y\sin\theta\sin\varphi + \sigma_z\cos\theta)\psi = \lambda \psi, $$ $$ \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\cos\varphi - i\sin\theta\sin\varphi \\ \sin\theta\cos\varphi + i\sin\theta\sin\varphi & -\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}, $$ $$ \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\, e^{-i\varphi} \\ \sin\theta\, e^{i\varphi} & -\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}, $$

па опет налазимо својствене вредности λ = ±1 са припадним својственим векторима ψ_±. На пример, за φ = 0 и θ = 60° биће:

$$ \begin{pmatrix} \frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac12 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac12 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} \frac12 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}. $$

Својствена вредност λ оператора $\vec{\sigma}\cdot \hat{u}$ увек је +1 или је -1, нема треће. Ово значи да постоји само „спин-горе“ или „спин-доле“, без трећег у пуштању честица кроз магнет у односу на орјентацију магнета север-југ. Оно што у таквим експериментима треба пронаћи су средње вредности $E[(\vec{\sigma}\cdot \hat{u})\,\psi]$ интензитета струја честица.

5. У Штерн-Герлаховом експерименту, након вертикалне селекције ће, од полазних атома сребра кроз нагиб магнета θ скретање на горе имати део cos²(θ/2) струје, а доле sin²(θ/2). Средња вредност преусмерених честица спина-горе је средњег нагиба, угла θ/2, а квадрат косинуса угла долази из Малусовог закона који говори о интензитетима.

Када је вероватноћа скретања горе |ψ|² = p за вредност варијабле λ = +1, а вероватноћа скретања доле |ψ|² = q варијабле λ = -1, тада очекивање, или средња вредност, износи E[ψ] = (+1)p + (-1)q, при томе p + q = 1 и p, q ≥ 0. По Малусовом закону то очекивање је E[ψ] = cos²(θ/2) - sin²(θ/2) = cos θ. Немамо противречности у преносу методе рестрикције из стереометрије статистике на поларизацију светлости, нити на скретања због спина.

Expected » eng

Питање: У статистици имамо теоријску очекивану вредност на основу практичних исхода, а у квантној физици испада обрнуто, очекивана је вредност практична а могућности су теоријске?

Одговор: Тако је, оштроумни сте. Након мерења електрона настаје и његова претходна трајекторија (Хајзенбрерг, 1927), односно, тек отварањем „кутије са мачком“ се дефинише је ли ова „мачка“ пре тога била жива или мртва. Тако стоје ствари у квантној физици. Не и у макро-свету када закони великих бројева прикрију њене случајности.

1. Када случајно извлачимо једну од четири једнаке куглице означаване бројевима из скупа X = {1, 2, 3, 4} редом, очекивана је вредност извучене:

E[X] = ∑(број)×(вероватноћа) = (1 + 2 + 3 + 4)/4 = 2,5.

Међутим, нема такве куглице. У макро-свету тај резултат има смисла као средња вредност бројева извучених куглица након много извлачења.

Експеримент (Intensity, 5) лево, иза окомитог север-југ магнета сноп честица атома сребра тече кроз нагнути магнет за угао θ у односу на први. Угао меримо у равнима окомитим на струју. А очекивање је обрнутог значења: спин атома сребра када пролазе кроз магнет теоријски може да има пуно смерова, али се мерена струја честица дели у само два тока, тј. спин-горе и спин-доле (Bohm and Aharonov [Phys. Rev. 108, 1070 (1957)]). Тек са мерењем се дефинише претходно стање квантних честица.

На слици, горе десно, према поменутом експерименту биће $\langle \vec{\sigma}\cdot\hat{a}\rangle = \cos\theta$ средња вредност (очекивање). Ово је уједно и корелација, број од -1 до +1. Сада кориштењем ознака бра-кет (квантне механике) за средњу вредност наглашавамо мало другачији смисао истог тог рачуна, иначе дела теорије вероватноће. Јединични вектор $\hat{u}$ усмерења магнета сада је $\hat{a}$, као Алиса, јер у наставку нам треба и $\hat{b}$, као Бобан.

На тој слици је граф косинусоиде који показује да ће највећу вероватноћу за спин-горе имати млаз честица угла θ = 0 нагиба јединичног вектора $\hat{a}$ према оси север-југ магнета. Ова вероватноћа опада са косинусом угла, а за θ = π/2, када је cos θ = 0, расподеле струјања спина-горе и спина-доле постају једнаке. За даље углове θ ∈ (π/2, π) још увек је теоријски бивало и честица спина-горе, као што би их за углове θ ∈ (0, π/2) било са спином-доле.

2. Трећа слика, десно, је квантна запетљаност (спрегнутост) какву читају Алиса и Бобан. Стрелице показују орјентацију магнета са претходне слике и оне не морају бити паралелне, него под углом θ, као у том Штерн-Герлаховом експерименту. Први магнет (вертикални) сада је Алиса, а други (нагнути) је Бобан, али овде се ради о отрићу (EPR paradox) из 1935. године.

Алиса и Бобан израчунавају дато синглет стање, квантну спрегнутост, али из различитих система координата. Пишу свако своју формулу, редом:

$$ A: \quad \Psi(x_1,x_2) = \sum_{n=1}^\infty \psi_n(x_2)u_j(x_1) \quad \to \quad u_k(x_1), \quad \psi_k(x_2), $$ $$ B: \quad \Psi(x_1,x_2) = \sum_{s=1}^\infty \varphi_s(x_2)v_k(x_1) \quad \to \quad v_r(x_1), \quad \varphi_r(x_2). $$

Када раде са сличним матрицама датог процеса, А и Б израчунавају исте својствене вредности, са њима се одређује спин горе/доле, али не и исте својствене векторе. Стрелице десно показују први и други налаз Алисе и Бобана са њихових становишта. Ознаке су из оригиналног Ајнштајновог папира (овде), али не и тумачење у којем сада видимо корелацију и горе описану рестрикцију.

Основни неспоразум те квантне спрегнутости долази од истовремености догађаја који Алиса и Бобан не виде као истовремене. Честице A и B они виде на различитим местима и различитим тренуцима, док је то синглет стање по себи истовремено и деловање на A значи деловање на B такође, о чему сам раније писао па сада не бих дужио. Додајем овде да мерењем A то стање колабира из суперпозиције и повлачи изјашњавање свог дела B такође. Колапси се одвијају у толико кратким времнима (нивоа атома) да их сматрамо нултим. Реално, треба времена да информација од Боба стигне до Алисе, уколико су веома удаљени, па је спекулативно питање колико су ови догађаји за Алису заиста истовремени.

3. За разлику од класичне корелације, појединачна стања спрегнутих, тј. квантно испреплетених честица нису унапред одређена. Честице постоје у суперпозицији која их дефинише само када се једна од њих измери. У тренутку када измерите једну честицу, стање друге се тренутно одређује — чак и ако је светлосним годинама удаљена. Ово нелокално понашање пркоси уобичајеној логици физике, или схватању да је последица неких скривених варијабли које је предлагао Ајнштајн са колегама, по открићу тог парадокса (1935). Међутим, Беловом теоремом (1964) је доказано да таквих параметара нема, затим је низ физичких експеримената утврдио постојање те чудне спрегнутости.

Обична корелација се увек може објаснити заједничким информацијама из прошлости. Међутим, квантно преплитање нема локалних корелација које прате класичну вероватноћу, а ово је потврђено Беловом теоремом и сродним експериментима. У томе је идеја Беловог доказивања, да тајних параметара у квантном преплитању нема, да на такав примењен концепт класичне корелације доведе у контрадикцију. Са друге стране, исто може значити захтев за ширење схватања „корелације“.

4. Класична корелација κ(x, y) = corr(x, y) низа x = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n) са низом y = {η₁, η₂, ..., η_n} је реалан број од -1 до +1 добијен израчунавањем:

$$ \kappa(x,y) = \frac{\sum_{i=1}^n (\Delta \xi_i\,\Delta \eta_i)}{\sqrt{\sum_{j=1}^n (\Delta \xi_i)^2}{\sqrt{\sum_{k=1}^n (\Delta \eta_k)^2}}} = \frac{\Delta x \cdot \Delta y}{\|\Delta x\| \|\Delta y\|}, $$

где су промене Δξ_i = ξ_i - μ_x и Δη_i = η_i - μ_y за i = 1, 2, ..., n, а μ_x и μ_y су средње вредности, или очекивања низова x и y. У бројнику разломка десно стоји скаларни производ низова разлика, Δx⋅Δy, а у називнику фактори су два интензитета тих низова разлика, ∥Δx∥ и ∥Δy∥. Према томе, корелација је:

$$ \kappa(x,y) = \hat{x}\cdot\hat{y}, \quad \hat{x} = \frac{\Delta x}{\|\Delta x\|},\ \hat{y} = \frac{\Delta y}{\|\Delta y\|}. $$

То је скаларни производ нормираних, дакле јединичних низова разлика, тј. вектора Δx = (ξ₁ - μ_x, ξ₂ - μ_x, ..., ξ_n - μ_x) и Δy = (η₁ - μ_y, η₂ - μ_y, ..., η_n - μ_y). Једна од њених интерпретација ове теорије информације је информација перцепције. Другим речима, тада када постоји квантна спрегнутост, онда не постоји пренос информације, односно комуникација, или интеракција између честица. Када је могуће, овај се запис лако преводи у интегрални облик.

Singlet » eng

Питање: Појасните ми део (Expected, 2) уз трећу слику. Шта то значи да Алиса и Бобан виде синглет истих својствених вредности спина, међутим неједнаких својствених вектора u и v?

Одговор: У линеарној алгебри сличне матрице A и B представљају исто линеарно пресликавање унутар неког векторског простора, али дато из две његове базе. Тада постоји матрица P таква да је A = P^-1BP, својствене вредности ових матрица једнаки су скупови, али скупови одговарајућих својствених вектора им могу бити различити.

На горњој слици видимо шта се догађа када се једно стање, тада кажемо синглет, раздваја на два дела интерпретацијом у различитим базама тог истог квантног простора, а то значи својствених вектора којег разапињу матричне формулације задатог процеса. Приметивши ново физикално тумачење линеарне алгебре, Ајнштајн са сарадницима (1935) открио је квантну спрегнутост, сматрајући ово последицом или неких скривених параметара, или неадекватности те алгебре у квантној механици.

1. Посебно, разматрамо ситуацију са две честице које се разилазе, укупно нултог импулса и нултог спина, које се одбијају тако да је импулс прве p, па је импулс друге -p. Било да је цели или полуцели број, честице имају спин-горе (+1) и спин-доле (-1), али не зна се који којој припада све док нема интеракције. Када су у суперпозицији спин поједине заправо није формиран. Прва честица је на позицији x₁, друга је транслирана у x₂.

Суперпозиција колабира у један исход попут бачене коцке које резултира једним бројем, односно изјашњавањем у један од својствених вектора али јединих могућих својствених вредности које остваре укупни нулти спин. За Алису то је колапс у стање u_k(x₁) када друга честица постаје φ_k(x₂), а за Бобана то је колапс у стање v_r(x₁) када друга остаје у φ_r(x₂).

2. Ајнштајнова идеја скривених параметара, које је Бел означавао истом ознаком λ као својствене вредности од којих их требамо разликовати, да имамо $A(\hat{a}, \lambda) = \pm 1$ и $B(\hat{b}, \lambda) = \pm 1$. Белов параметар λ може бити било који скуп величина (вектора, тензора и слично), али једноставно нека је скалар. Претпоставка је да резултат A мерења $\vec{\sigma}_1\cdot\hat{a}$ стиже од јединичног вектора â Алисине базе и скривених параметра λ, док резултат B мерења $\vec{\sigma}_2\cdot\hat{b}$ зависи од јединичног вектора Бобанове базе али истих скривених параметра, без утицаја â на B и обрнуто.

Бел ово формулише помоћу корелације:

$$ \kappa(\hat{a},\hat{b}) = \int A(\hat{a},\lambda)B(\hat{b},\lambda)\rho(\lambda)\,d\lambda $$

где је ρ(λ) густина вероватноће догађања ових опажања. Интегрира се по свим вредностима параметра. На пример, када су јединични вектори (са слике) једнаки, дакле паралелни и угла θ = 0 између, па cos θ = 1, биће:

$$ \kappa(\hat{a},\hat{a}) = \int (\pm)(\mp)\rho(\lambda)\,d\lambda = -1, $$

јер је вероватноћа по свим могућностима извесност, ∫ ρ(λ) dλ = 1. Када су јединични вектори супротни, угла θ = π између и косинуса -1, биће таква корелација κ(â, -â) = 1. Када су наведени јединични вектори окомити, осе поларизације стоје међусобно окомито и једнаке су шансе да спин скрене горе или доле, а корелације нема, κ = 0.

Разматрајући овакве и сложеније примере, Бел је нашао контрадикцију коју је (веома шкрто и тешко за читати) објавио у свом чувеном папиру. Детаљнија објашњења која овде скраћујем налазити ћете у издашнијим предавањима квантне механике, али она нису поента ове приче колико ограничења знане корелације и информације перцепције (Expected, 4).

3. Приметимо узгред да наведена три (екстремна) примера корелације:

κ(↑, ↑) = -1,     κ(↑, →) = 0,     κ(↑, ↓) = +1,

могу бити објашњена помоћу „скривених параметара“. Она се подударају са квантним очекивањем $\langle \hat{a}, \hat{b}\rangle = \hat{a}\cdot\hat{b} = \cos\theta$ чији косинуси су вредности та три броја. Приметимо да и случај усамљене честице можемо објаснити помоћу „скривеног параметра“ који је угао θ ∈ (0, π) отклона (замишљене орјентације) спина пре мерења које резултира са само две вредности +1 и -1, спин-горе и спин-доле, током честица у два смера.

Слика лево демонстрира мерење спина параметром $\vec{\lambda}$, јединичног вектора, чији је угао θ над такође јединичним вектором $\vec{a}$ смера од севера ка југу магнета док њиме пролазе усамљене честице. Ова је представа логична док год нема другог посматрача, када можемо узети дужину лука кружнице, јер радијан је управо то, $\theta = \angle(\vec{a}, \vec{\lambda})$ је дужина лука јединичне полу-кружнице колико разапињу ови вектори. Све пројекције ламбде које падају на горњу половину имају спин-горе, док све пројекције изван осенченог полукруга имају спин-доле. Ламбда је теоријски спин, припада суперпозицији, а пројекција је вредност колапса и мерења.

На слици десно видимо графику истог где испод љубичасте праве линије, f(θ) = 1 - 2θ/π, лежи спин-горе, а изнад спин-доле, као што смо видели у једном претходном одговору (Expected). Иако тачан за једну честицу, овај увид нема поклапање са квантним графом, са косинусном линијом, на овој слици, али то није много битно све док се не појављују и друге честице или други посматрачи. Како настаје несклад те две интерпретације у случају укључивања других, верујем да сада и сами видите. То је оно што је и Бел опазио у свом раду.

Питања само стижу и одговорићу и на ово. Нова слика лево мерење је спина синглета Алисе-Бобан, а можда и одвајања струје кроз два магнета. Када су исходи зависни од скривеног параметра λ, а угао између две орјентације није нула, онда ће се догађати и непријатне ситуације. Суперпозиције падају и у смеру и контра. То нам квари рачун квантне корелације, и води у противречност (из питања ми). Наиме, показује се да оно што би мерили и оно што израчунавамо није исто, односно да сама идеја скривених параметара не функционише.

Reset » eng

Питање: Како то мислите (Singlet, 3) да последња слика, мерење спина синглета Алисе-Бобан, је „можда и одвајања струје кроз два магнета“?

Одговор: Претпостављам да мало збуњује „ресетовање спина“, како се појава коју ћу описати понегде назива, а која долази из начелног минимализма, данас непознатог концепта у физици, а иначе пуно ширег. Идемо корак по корак.

1. На слици десно струја атома (сребра) пролази кроз колиматор, направу за стварање паралелног снопа, затим кроз магнет вертикално усмераване осе север-југ, који се затим раздваја на два дела горњи и доњи. Јужно иду честице спина-југ, а доле спина-север. Спин је суштински облик угаоног момента који носе елементарне честице, а самим тим и сложене честице као што су хадрони, атомска језгра и атоми. За спин важи закон одржања слично маси, енергији или импулсу, па очекујемо да заустављањем доњег тока, односно узимањем само горњег у струји атома више нема честица спина-доле.

2. На слици лево, струја атома је раздвојена првим магнетом који је орјентације југ-север у смеру z-осе, па је горњи ток пропуштен још једном кроз такав магнет и, заиста, нема доњег тока. На том другом излазу све су честице са спином-горе. Приметимо да се исто може разумевати и помоћу Малусовог правила, I = I₀ cos θ, који говори о пројекцијама интензитета тока. Међутим, за сада, то може изгледати као да је први магнет „очистио“ флукс од спина-доле и стога „наравно“ остао је само спин-горе. Слика има линк на Википедију.

3. На следећој слици десно су два претходна магнета кроз које тече струја честица, осим што је други (југ-север) нагиба 90° у односу на први. Други преузима само спин-горе честице првог али их поново раздваја, десно и лево, кажемо у спин-горе и спин-доле у односу на x-осу. То потпуно руши старо објашњење да је први магнет „очистио“ флукс од спина-доле и „оставио“ само честице спина-горе.

Оно што се могло дешавати је „ресетовање“ орјентације спина, при чему је група честица и даље истог збирног спина. Улажемо енергију да би се покренуо точак (Whirligig, 2), а он се даље може сам окретати све док га нека друга енергија (сила) не заустави. Спин је енергија коју садржавају ове честице код којих тада нема „окретања“ попут точка или зврка. Ова енергија је унутрашња самих тих честица и не обухвата смерове њихове поларизације. Сама поларизација честица као да тежи „нереду“.

Према начелном минимализму, или спонтаности ка већој вероватноћи и мањој информацији, или недејству, развој топлотних система ка увећању ентропије морао би бити пут ка мањој информацији! То што би нама био „неред“, у случају разбијене чаше, заправо је смањење свеукупних опција (неизвесности) са којима њени парчићи комуницирају. У случају речене поларизације честица које „као да теже нереду“ видимо враћања у стања суперпозиције, избегавања изјашњавања, минимализам.

4. Нова слика лево приказује још сложенији и још интересантнији експеримент у три магнета. Сноп честица пролази кроз први, опет вертикални магнет из којег спин-горе иде у други хоризонталан, а спин-доле је блокиран. Онај који пролази наилази на вертикалан магнет и раздваја се у два смера, спин-горе и спин-доле. Ово није очекивано, ако би било транзитивности корелације ових раздвајања.

Корелација није транзитивна, не преноси се као, рецимо: мешовити скуп парних и непарних бројева B има елемената скупа парних бројева A, али има заједничких елемената и са скупом непарних бројева C, док скупови парних A и непарних C немају заједничких елемената, када је A ∩ B ≠ ∅ и B ∩ C ≠ ∅ не мора бити A ∩ C ≠ ∅. Сличност у томе (Singlet, 3) има мерење спина Алиса-Бобан са одвајањем струје (атома сребра) кроз два магнета.

Због наводног ресетовања орјентације спина, али не и промене количине спина, нема преноса орјентација кроз три магнета, нема транзитивности корелације. Узрок „ресетовања“ орјентације, међутим, долази са начелом минимализма, спонтаног избегавања емисије и апсорпције информације, а која је последица одбојне „силе неизвесности“. Природа спонтано тежи стањима мањих избора, тамо где може, а то значи нечињењу, јер преноси информација врше дејства као и обрнуто, а колапс је напрезање у односу на саму суперпозицију.

Linear » eng

Питање: Можете ли ми још појаснити разлику параметарских (1 - 2θ/π) и квантних (cos θ) очекивања, средњих вредности?

Одговор: Убацио сам делове оног разговора (окт. 2025) у одговоре фебруарског блога (Expected). Tај је писан децембра 2025. за нешто друго, али може послужити и као увод овде, у следеће.

Слика десно још је боља за такву тему. Она прати излагање Белове теореме (1964), односно мноштва њених објашњења сигурно бољих од мојих излагања (верујем, стил ми није популаран). Косинусна крива κ_f(θ) = -cos θ ∈ (-1, 1) или „квантна“ корелација, коју сам недавно објаснио (Intensity, 5), укршта се са правом линијом параметарске корелације κ_λ(θ) = -1 + 2θ/π иначе радијана, мере угла дужином јединичне кружнице. Њих две се секу у три тачке (L, C, T), што ми је такође била недавна тема блога (Singlet, 3).

1. Процес $\vec{\sigma}$ мерења спина дат је Паулијевим матрицама (Intensity, 3 и 4) и има својствене вредности је ±1, што значи да ће мерења давати највише две вредности, спин-горе и спин-доле, у односу на $\vec{a}$, било који јединични вектор задате орјентације Штерн-Герлахових магнета. Користимо ознаке Беловог папира, а такође посматрамо пар фермиона (полуцелог спина) у синглет спин стању који се слободно крећу супротним смеровима. Када се у првом стању мери $\vec{\sigma}_1\cdot\vec{a} = +1$, онда је на оном другом $\vec{\sigma}_2\cdot\vec{a} = -1$ и обрнуто. Уводи се хипотеза да постоји параметар ламбда (било да је тај једна варијабла или скуп, или скуп функција, небитно дискретних или непрекидних), а даље се тај λ третира као један непрекидан параметар.

Резултат A мерења $\vec{\sigma}_1\cdot\vec{a}$ тако је одређен са $\vec{a}$ и λ, а резултат B мерења $\vec{\sigma}_2\cdot\vec{b}$ у исто време одређен је са $\vec{b}$ и истим λ, када је:

$$ A(\vec{a},\lambda) = \pm 1, \quad B(\vec{b},\lambda) = \pm 1. $$

При томе, резултат B друге честице не зависи од магнета $\vec{a}$, нити резултат A прве честице зависи од поставке магнета $\vec{b}$. Нека је густина вероватноће производа поменутих налаза ρ(λ) тако да је корелација производа:

$$ \kappa(\vec{a},\vec{b}) = \int A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)\rho(\lambda)\,d\lambda, \quad -1 \le \kappa \le 1. $$

Она би требало бити једнака квантно-механичкој корелацији:

$$ \langle \vec{\sigma}_1\cdot\vec{a}, \ \vec{\sigma}_2\cdot\vec{b}\rangle = - \vec{a}\cdot\vec{b} \in [-1, 1], $$

а Бел доказује да то није могуће. Скривене варијабле λ се могу раздвајати у два скупа, али обзиром на ширину поставки овде је и то укључено.

2. На пример, ако је $\vec{b} = \vec{a}$, што одговара углу θ = 0 између поларизација, па обзиром да су мерења спина синглет стања супротна, A = -B, биће:

$$ \kappa(\vec{a},\vec{a}) = \int(\pm 1)(\mp 1)\rho(\lambda)\,d\lambda = -\int\rho(\lambda)\,d\lambda = - 1, $$

и даље (Singlet), налазимо три заједничке вредности, тачке L, C и T дате слике, те две корелације. Због претпостављеног пара фермиона синглета који се слободно крећу супротним смеровима, координате ових тачака су L(0), C(π/2) и T(π). Такође, корелација су растуће функције угла θ ∈ [0, π] између (јединичних вектора) поларизација. Позната, квантна корелација (Intensity, 5), тиме је сведена на угао:

$$ \kappa_f(\theta) = - \vec{a}\cdot\vec{b} = - \cos\theta. $$

Када бисмо имали само једну честицу (фермион) у чистом спин стању са датом поларизацијом, јединичним вектором $\vec{p}$, а кроз магнет јој узимали само спин-горе, тада је она поларизована спин-горе. Јединични вектор $\vec{\lambda}$ који би имао униформну вероватноћу расподеле, у горњој хемисфери дао би $\vec{\lambda}\cdot\vec{p} \gt 0$. На тај начин скривени параметар прати орјентацију $\vec{p}$, само на једној половини сфере а не на другој. Када се упореди са $\vec{a}$, једним од два стања Штерн-Герлаховог експеримента, даће:

$$ \langle \vec{\sigma}\cdot\vec{a}\rangle = \vec{p}\cdot\vec{a} = \cos\theta. $$

Дакле, можемо говорити и о неком јединичном вектору $\vec{a}'$ усмерења дате поларизације таквом да нам мерење даје вредности $\text{sign}(\vec{\lambda}\cdot\vec{a}')$, које су +1 за спин-горе и -1 за спин-доле, односно плус када је ламбда у хемисфери са поларизацијом и минус када није. Између горње и доње полусфере (на екватору) вероватноћа ламбде и овај производ су нуле. Према овоме, сада је очекивање $\langle \vec{\sigma}\cdot\vec{a}\rangle = 1 - 2\theta'/\pi$, где је угао $\theta' = \angle(\vec{a}',\vec{p})$, пре свега јер ова расподела вероватноћа је униформна.

3. На слици лево видимо шта све се догађа када параметар ламбда покушава да прати поларизације. За угао θ' је полусфера $\vec{a}'$ нагета у односу на полусферу $\vec{a}$, док је ова нагиба θ према другом вектору $\vec{b}$. Свакој од оваквих одговара права линија корелације:

$$ \kappa_\lambda(\theta) = -1 + 2\theta/\pi, $$

али почеци мерења угла (θ = 0) нису једнаки, не крећу од истих тачака (A'₁, A₁ и B₁), нити имају исте завршетке (A'₂, A₂ и B₂) па им се ни те праве линије не поклапају.

Што се тиче Белове теореме довољно је приметити неслагање једне, било које од тих праволинијских графова, са косинусоидом. На горњој слици десно, црвена косинусоида је испод плаве праве за углове θ ∈ (0, π/2). То значи негативнију квантну корелацију, κ_f < κ_λ, од очекиване скривеним параметром. За углове θ ∈ (π/2, π) имамо обрнуто, али такође неслагање κ_f > κ_λ. Међутим, косинусоида је стационарна у крајњим тачкама L и T, има минимум и максимум са тангентама паралелним апсциси. То права линија нема и то је још једно, суптилно неслагање, али математички оно је довољно да угрози идеју „скривених параметара“. Бел је и то запазио у свом доказу.

Parameter » eng

Питање: Расправљали смо о једначинама (9) у Беловом папиру и нисмо могли да се сложимо око $B(a,b) = -\text{sign }\vec{b}\cdot\vec{\lambda}$. Можете ли то објаснити?

Одговор: То је лапсус калами. Та Белова грешка промакла је и при рецензијама. Треба стајати (9):

$$ \begin{cases} A(\vec{a},\vec{\lambda}) = \text{sign }\vec{a}\cdot\vec{\lambda} \\ B(\vec{b},\vec{\lambda}) = -\text{sign }\vec{b}\cdot\vec{\lambda} \end{cases} $$

Отворите линк слике десно. Ту је хипотеза, коју Бел оспорава, да постоји параметар ламбда који одређује спин-горе на месту A тако да се на месту B истовремено мери спин-доле. Посматрачи на тим местима у каснијој литератури обично су називани Алиса и Бобан, а замишљани су тако удаљеним да брзина светлости не може стићи ту истовременост, па Бел оспорава и могућност да постоји неки други „скривени параметар“ (Ајнштајнов предлог) ламбда који би омогућио синхронизацију мерења на тим местима.

Позиције A и B комуницирају само са овом ламбдом, тада вектором због давања смера, а која у начину излагања једнако може бити матрица или тензор и слично. Претпоставка је да се посматра мерење парова квантно спрегнутих фермиона (полуцелог спина) укупног нултог спина, какви се крећу супротним смеровима и отуда супротни предзнаци. Њихове једине вредности ±1, посебна су прича о својственим вредностима мерења спина (Intensity). Ако се отклони и та могућност синхронизације, помоћу неког скривеног параметра, онда квантна испреплетеност постаје веома чудан феномен; истовремено Бобан зна шта ради Алиса мада су веома далеко.

Наиме, пре мерења смер спина није изјашњена величина, попут могућих исхода пре бацања коцке. Спин је тада суперпозиција више стања која ће колабирати у само једну од својих могућности. Тај исход меримо. Сва та његова информација тачно је једнака количини неизвесности која јој је претходила. Другим речима, исход тог синглета након мерења код Алисе не оставља ништа од претходне неизвесности за Бобана, а то онда значи да Бобану остаје само извесност. Ако је код Алисе мерење дало спин-горе, онда је код Бобана показало спин-доле, и обрнуто. Пре мерења није било начина да се предвиди исход на било којем од два места, а одједном, иза мерења једног знају се резултати оба. То је та „магија“ квантне механике која збуњује данашњу науку.

Unequal » eng

Питање: Објасните ми и неједнакост (15) у Беловом папиру, ако можете, никако је не успевам схватити?

Одговор: Са том неједнакошћу:

$$ 1 + \kappa(\vec{b},\vec{c}) \ge |\kappa(\vec{a},\vec{b}) - \kappa(\vec{a},\vec{c})| $$

Бел утврђује доказ (Linear, 3) да је косинусоида, κ_f(θ) — квантног предвиђања, стационарна у обе крајње тачке L и T, односно има екстреме и тангенте паралелне апсциси, а нема их права линија предвиђања скривеним параметром λ. Због те разлике је идеја скривених параметара такође лоша за квантну механику. Да се то објасни, као на овој слици лево, замишља се да код B (Бобана), поред $\vec{b}$ постоји алтернативна мало нагнута магнетна оса $\vec{c}$. Та је онај трећи (јединични) вектор дате неједнакости корелација (15).

1. Пролазећи кроз магнет сноп се честица (атома сребра) раздваја у два тока, кажемо спина-горе и спина-доле у односу на (вертикалну) линију полова магнета. Тачно тако како то предвиђају Паулијеве матрице као оператори (Intensity, 3) таквог процеса. Уз претпостављени параметар ламбда мерења Алисе и Бобана могу бити $A(\vec{a},\vec{\lambda}) = \pm 1$ и $B(\vec{b},\vec{\lambda}) = \mp 1$. Нормирана дистрибуција густине вероватноће, ∫ ρ(λ) dλ = 1, даје њихову корелацију (производа) не мању од -1 и не већу од +1:

$$ -1 \le \kappa_\lambda(\vec{a},\vec{b}) = \int A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)\rho(\lambda)\,d\lambda \le +1. $$

Ово описује све могуће смерове спина унутар суперпозиције, пре колапса, пре мерења. Међутим, $A(\vec{a},\lambda) = -B(\vec{a},\lambda)$, јер исходи Алисе и Бобана су супротни због претпостављеног нултог укупног спина, па имамо:

$$ \kappa_\lambda(\vec{a},\vec{b}) = -\int A(\vec{a},\lambda)A(\vec{b},\lambda)\rho(\lambda)\,d\lambda. $$

Уз помоћ ове примедбе добијамо (15), ево како.

2. Сменом у наведену корелацију и одузимањем, налазимо:

$$ \kappa_\lambda(\vec{a},\vec{b}) - \kappa_\lambda(\vec{a},\vec{c}) = -\int [A(\vec{a},\lambda)A(\vec{b},\lambda) - A(\vec{a},\lambda)A(\vec{c},\lambda)]\rho(\lambda)\,d\lambda = $$ $$ = \int A(\vec{a},\lambda)A(\vec{b},\lambda)[A(\vec{b},\lambda)A(\vec{c},\lambda) - 1]\rho(\lambda)\,d\lambda, $$

јер је $A(\vec{b},\lambda)A(\vec{b},\lambda) = (\pm 1)^2 = 1$. То пише у концизном Беловом папиру и, надам се, да је сада јасно откуда је: из $A(\vec{b},\lambda)A(\vec{b},\lambda)A(\vec{c},\lambda) = A(\vec{c},\lambda)$ и A = ±1, такође B = ±1. Због последњег, пак, имамо и следеће.

3. Јасно је да важи $A(\vec{a},\lambda)A(\vec{b},\lambda) \le 1$, па докажимо даље:

$$ \int [A(\vec{a},\lambda)A(\vec{b},\lambda) - A(\vec{a},\lambda)A(\vec{c},\lambda)]\rho(\lambda)\,d\lambda \le \int [1 - A(\vec{b},\lambda)A(\vec{c},\lambda)]\rho(\lambda)\,d\lambda, $$

или краће писано:

$$ \int x[y - 1]\rho(\lambda)\,d\lambda \le \int [1 - y]\rho(\lambda)\,d\lambda, $$

односно x(y - 1) ≤ 1 - y, за свако x, y ∈ {+1, -1}. Само су четири могућности:

(x = +1, y = +1):     1(1 - 1) ≤ 1 - 1,   ⇒   0 ≤ 0,
(x = +1, y = -1):     1(-1 - 1) ≤ 1 - (-1),   ⇒   -2 ≤ -2,
(x = -1, y = +1):     -1(1 - 1) ≤ 1 - 1,   ⇒   0 ≤ 0,
(x = -1, y = -1):     -1(-1 - 1) ≤ 1 - (-1),   ⇒   2 ≤ 2

и за све четири неједнакост је тачна.

4. Коначно, интегрирајући десну страну претходне неједнакости, је:

$$ |\kappa_\lambda(\vec{a},\vec{b}) - \kappa_\lambda(\vec{a},\vec{c})| \le 1 + \kappa_\lambda(\vec{b},\vec{c}). $$

Лево је апсолутна вредност, јер је та страна мања од десне у оба смера одузимања. Ово је Белова неједнакост (15) која би важила у квантном мерењу (истовремено Алисе и Бобана), подсећам, ако би се оно могло представити помоћу скривених параметара. Бел, затим, примећује да је ова корелација линеарна са разликом углова, или са $|\vec{b} - \vec{c}|$, па $\kappa_\lambda(\vec{b},\vec{c})$ није стационарно у минималној вредности (-1, када $\vec{b} = \vec{c}$) па закључује да то не може бити једнако квантно механичкој вредности.

5. У случајевима када су углови између орјентација већи поготово долази до неслагања ове неједнакости, корелације изведене из претпостављеног скривеног параметра за управљање исходима спина код Алисе и Бобана. А највеће неслагање је за угао 60°. Наиме, тада су квантне корелације:

$$ \kappa(\vec{a},\vec{b}) = -\cos 60^\circ = - \frac12, $$ $$ \kappa(\vec{a},\vec{c}) = -\cos 120^\circ = \frac12, $$ $$ \kappa(\vec{b},\vec{c}) = -\cos 60^\circ = - \frac12, $$

па је:

$$ |-\frac12 - (-\frac12)| \le 1 + (-\frac12), $$

односно 1 ≤ 1/2, а то је видљиво нетачно. Дакле, претпоставка скирвених параметара који би управљали исходима истовремених мерења спина на удаљеним местима квантно спрегнутих честица лоша је замисао.

Criterion II » eng

Питање: Каква је то корист од неједнакости, попут Белове (15) из 1964, када је она нетачна?

Одговор: Белова неједнакост и њени касније изведени облици згодни су критеријуми квантне спрегнутости, или уопште теста присуства скривеног параметра иза корелације уопште. Просто речено, Белова неједнакост даје горњу границу вероватноће хоће ли се Алиса и Боб срести, што је дато у прилогу слике десно, али као и у тој баналној примени, те сакривају много корисне физике и математике.

1. Све се креће око процеса $\hat{Q}$ као линеарног оператора и питања да ли су пар његових вектора, стања или честица, синглет, квантна спрегнутост, а чије две матричне репрезентације, Q' и Q'', имају Алиса и Бобан.

На слици лево је ротација за угао θ са паром ортогоналних вектора неке базе пре и после копирања:

$$ \begin{cases} |x''\rangle = \cos\theta |x'\rangle + \sin\theta |y'\rangle, \\ |y''\rangle = -\sin\theta |x'\rangle + \cos\theta |y'\rangle. \end{cases} $$

Ово је пример промене која мења скуп својствених стања, вектора $\vec{v}$ који су решења карактеристичне једначине $\hat{Q}\vec{v} = \lambda \vec{v}$, како их мере Алиса и Бобан, али не мењајући и њихове својствене вредности λ. У овој теорији информације стојим иза незваничног тумачења (до даљњег) да та квантна испреплетеност долази од истовремености самих посматраних честица или догађаја, које Алиса и Бобан не виде као истовремене појаве. Другим речима да се промена у векторском простору са слике истовремено одражава на обе базе и да то заправо интерпретирамо као квантну спрегнутост.

То је наизглед веома далеко од критеријума за „игру“ као могућности код живих али не и неживих бића, али и није када прихватимо јединственост субјеката васионе (Riesz Lemma), такође специфичност ове теорије. Томе припада и запажање да потврди резултата мерења Бобана треба времена да стигне до Алисе, дакле да су та запажања апстрактно-истовремена, тј. квази-истовремена. Као догађаји сада на Земљи и замишљани догађаји „сада“ на планети неког сазвежђа из галаксије милијардама светлосних година удаљене.

2. Квантно стање, вектор |Ψ_s⟩, чине две сепарабилне честице, редом:

$$ |\psi_1\rangle = \alpha_1 |0'\rangle + \beta_1 |1'\rangle, \quad |\psi_2\rangle = \alpha_2 |0''\rangle + \beta_2 |1''\rangle, $$

где користимо комплексне скаларе и имамо нормираност, редом:

$$ \alpha_1, \beta_1, \alpha_2, \beta_2 \in \mathbb{C}, \quad |\alpha_1|^2 + |\beta_1|^2 = |\alpha_2|^2 + |\beta_2|^2 = 1, $$

при чему су |0⟩ и |1⟩ вектори стандардне базе, када се оно може писати као тензорски производ:

$$ |\Psi_s\rangle = |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle. $$

Несепарабилно квантно стање било би:

$$ |\psi_n\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0'\rangle\otimes |1''\rangle + |1'\rangle \otimes |0''\rangle). $$

Оно се не да написати на претходни начин, помоћу тензорског производа датих честица као посебних индивидуа.

Несепарабилне су честице које би једну Алиса мерила у стању |0'⟩ а другу Бобан (истовремено) мерио у стању |1''⟩, или прву Алиса пронашла стања |1'⟩ а другу Бобан са стањем |0''⟩. Онда би оне биле квантно преплетене.

3. Неједнакост Клаузер-Хорн-Шимони-Холт (CHSH) је кључна алатка за квантну физику, |S| ≤ 2, детаљније:

$$ |\kappa(\alpha,\beta) + \kappa(\alpha,\beta') + \kappa(\alpha', \beta) - \kappa(\alpha', \beta')| \le 2. $$

Та је неједнакост изведена из Белове теореме и поставља ограничења на корелације између мерења на одвојеним честицама. Она је тачна када су честице регулисане локалним скривеним променљивим, само за локалне теорије. Међутим, статистика квантна механика предвиђа њена кршења до 2√(2) за испреплетене честице, утврђујући када природа није локално реалистична.

Извор генерише пар честица које Алиса и Бобан мере у својим системима координата. Алиса у ортонормираним базама $|0_\alpha\rangle$, $|1_\alpha\rangle$ и $|0_{\alpha'}\rangle$, $|1_{\alpha'}\rangle$, Боби у ортонормираним базама $|0_\beta\rangle$, $|1_\beta\rangle$ и $|0_{\beta'}\rangle$, $|1_{\beta'}\rangle$. Додељујемо им:

$$ f_x = \begin{cases} 1, & |1_x\rangle \\ -1, & |0_x\rangle \end{cases} \quad \kappa(x,y) = \langle f_x\cdot f_y\rangle, \quad x \in \{\alpha, \alpha', \beta, \beta'\}. $$

То су четири функције, две за Алису и две за Бобана, које даље дефинишу четири корелације. Ако оне испуњавају горњу неједнакост онда се ради о локалном деловању између Алисе и Бобана, иначе о квантној спрези.

4. На пример, посматрамо поларизацију светлости кроз вертикални |1⟩ и хоризонтални |0⟩ филтер. Скривени параметар λ нека је претпостављени угао фотона. Када фотон прилази поларизатору под неким углом γ, он ће се мерити у вертикалном стању |1_γ⟩, или спин-горе, ако је λ ближе γ или γ+180° него неком од углова γ±90°, иначе је у хоризонталном |0_γ⟩ стању, или спин-доле. То је, дакле, случај када постоји скривени параметар.

Ово значи, мерени фотон са претпостављеним углом λ, базе вертикалног |1_45°⟩ и хоризонталног |0_45°⟩ стања, када упада углом из првог (од 0° до 90°) или трећег (од 180° до 270°) квадранта налазимо вертикално стање, односно +1. Када наиђе са углом из другог (90° — 180°) или из четвртог (270° — 360°) квадранта, меримо хоризонтално стање, односно -1.

Тада, за Алису имамо A(λ, α) = 1 када је |λ - α| ≤ π/4 или је |λ - α| > 3π/4, а иначе A(λ, α) = -1. За Боба B(λ, β) = 1 када је |β - λ| ≤ π/4 или |β - λ| > 3π/4, иначе је -1. Затим израчунавамо интеграле κ(α, β) = ∫ A(λ, α)B(λ, β)ρ(λ) dλ по вредностима угла λ. За горњу (CHSH) неједнакост израчунавамо:

$$ S = \kappa(\alpha, \beta) + \kappa(\alpha, \beta') + \kappa(\alpha', \beta) - \kappa(\alpha', \beta'), $$ $$ S = \int A(\lambda, \alpha)B(\lambda, \beta)\rho(\lambda)\,d\lambda + \int A(\lambda, \alpha)B(\lambda, \beta')\rho(\lambda)\,d\lambda + $$ $$ + \int A(\lambda, \alpha')B(\lambda, \beta)\rho(\lambda)\,d\lambda - \int A(\lambda, \alpha')B(\lambda, \beta')\rho(\lambda)\,d\lambda, $$ $$ S = \int A(\lambda, \alpha)[B(\lambda,\beta) + B(\lambda,\beta')]\rho(\lambda)\,d\lambda + $$ $$ + \int A(\lambda, \alpha')[B(\lambda,\beta) - B(\lambda,\beta')]\rho(\lambda)\,d\lambda, $$

Како су вредности A, B ∈ {+1, -1), то су ове подинтегралне вредности или ±2 или 0. Прецизније, ако је унутар првог од ових интеграла вредност ±2, онда је у другом 0, и обрнуто, ако је у првом 0 у другом је ±2. Вредност је збирног интеграла зато између -2 и +2, тачније -2 ≤ S ≤ 2, тј.

$$ |S| \le 2. $$

Ово важи уопште када постоје скривене варијабле.

5. Други пример нека је квантна корелација чији подаци су дати на слици десно. Црвено би била мерења Алисе и Бобана, опет са фотоном који иде поларизатору са углом γ. Поново су |1_γ⟩ и |0_γ⟩ вертикална затим хоризонтална поларизација. У квантној спрези нема скривеног параметра λ. Корелација углова је збир вероватноћа:

$$ \kappa(\alpha, \beta) = \Pr|1_\alpha 1_\beta\rangle - \Pr|1_\alpha 0_\beta\rangle - \Pr|0_\alpha 1_\beta\rangle + \Pr|0_\alpha 0_\beta\rangle. $$

Вероватноће израчунавамо скаларним множењем, на пример:

$$ \Pr|1_\alpha 1_\beta\rangle = |\langle \Psi | 1_\alpha 1_\beta\rangle|^2 = \frac12\cos^2(\alpha - \beta). $$

Тако, за исти пар углова, налазимо:

$$ \Pr|1_\alpha 1_\beta\rangle = \Pr|0_\alpha 0_\beta\rangle = \frac12\cos^2(\alpha - \beta), $$ $$ \Pr|1_\alpha 0_\beta\rangle = \Pr|1_\alpha 0_\beta\rangle = \frac12\sin^2(\alpha - \beta). $$

За дати пар углова горе наведена корелација је:

$$ \kappa(\alpha, \beta) = \frac12\cos^2(\alpha - \beta) - \frac12\sin^2(\alpha - \beta) - \frac12\sin^2(\alpha - \beta) + \frac12\cos^2(\alpha - \beta), $$ $$ \kappa(\alpha, \beta) = \cos^2(\alpha - \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \cos[2(\alpha - \beta)]. $$

Рецимо, нека је α = 0° и α' = 45°, па β = 22,5° и β' = -22,5°. Применимо ову корелацију четири пута:

$$ S = \kappa(\alpha, \beta) + \kappa(\alpha, \beta') + \kappa(\alpha', \beta) - \kappa(\alpha', \beta') = $$ $$ = \cos 45^\circ + \cos 45^\circ + \cos 45^\circ - \cos 135^\circ, $$ $$ S = 2\sqrt{2}. $$

Ова вредност је већа од 2, највеће коју дозвољава (CHSH) неједнакост за корелације са скривеним параметром. Иначе је таква, S = 2√(2), највећа која се може добити у квантној статистици где она може бити и мања од 2. Међутим, за резултате веће од 2 знамо засигурно да опажања Алисе и Бобана нису вођења скривеним параметром, да је квантна спрегнутост.

CHSH-Bell » eng

Питање: Какву ја користист имам од Белове неједнакости и како знате да је та CHSH тачна?

Одговор: Тема разговара је она претходног питања Criterion II, али сам у необичној ситуацији, да браним лаику немогућу тезу да од истине не постоји ништа корисније, за сада само научне или математичке. Доказаћу ту неједнакост CHSH-Бела (1975), надам се, на довољно уопштен начин да ће је неком приликом негде примењивати на за сада, а можда и тада многима, потешко схватљиве начине у свакодневном животу.

1. До сада смо кванту спрегнутост препознавали у EPR-парадоксу (1935), у Беловој теореми, користећи је посебно на поларизацију светлости, или Штерн-Герлаховом експерименту наводећи сноп кроз два поларизатора или два магнета, али најчешће то су истовремена мерења синглета Алисе и Бобана. Али, новија Белова неједнакост (1975) дозвољава још лабавије поставке у смислу доказа егзистенције скривених параметара, тада истог узрока за нека наизглед неповезана мерења Алисе и Бобана на удаљеним местима у исто време. На пример, да Алиса вози ауто брзином α ∈ [-a, a] ка Београду или од Београда, док Бобан вози други аутомобил брзинама β ∈ [-b, b] у околини Владивостока, а ми се тада питамо постоји ли какав заједнички узрок, попут скривених параметара ламбда, њихових брзина вожње.

2. Дакле, имамо Алису и Бобана са вредностима α ∈ [-a, a] и β ∈ [-b, b] па и уопште из скупа S_a и S_b редом. Налази њихових мерења су две случајне променљиве x ∈ [-a, a] и y ∈ [-b, b], истим редом. Требају нам заједничке вероватноће, Pr(X, Y), скупова случајних догађаја x ∈ X и y ∈ Y да се таква два, или више, догађаја нађу истовремено. У математици их означавамо обично са Pr(X ∩ Y), пресеком њихових појављивања, али ово значи и са вероватноћом 2-чланог низа Pr(X, Y) подразумевајући целовитост (X, Y) попут јединственог „вектора“ компонената скупова случајних догађаја. А овде користимо и ознаке x ∈ S_a и y ∈ S_b да би се нагласило учешће Алисе и Бобана, неких замишљених судионика експеримената физике.

3. Условна вероватноћа Pr(A|B) је вероватноћа догађања A под условом да се десило B. Она смањујуе могуће исходе (простор узорка A) само на оне где се догађај из B догодио. Записује се са Pr(A|B), тако да је:

$$ \Pr(A|B) = \frac{\Pr(A\cap B)}{\Pr(B)}. $$

Из тога излази Pr(A ∩ B) = Pr(B) Pr(A|B), па Pr(B) Pr(A|B) = Pr(A) Pr(B|A), за било које елементе датих скупова случајних догађаја A и B. Ако имамо Pr(A|B) = Pr(A), онда знамо да су догађаји из A и B независни. Слично је у случају здружених догађаја. У горњем случају Pr(X Y|λ) ознака је условне вероватноће да се реализује исход (x, y) ∈ (X, Y), под условима присуства неког случајног параметра λ ∈ Λ чија вероватноћа је q(λ) = Pr(λ). Понекад вероватноће пишемо појачаним словом ℙ да те функције разликујемо од осталих, или простим P када нема опасности до забуне.

4. Посматрајући условну вероватноћу здружених догађаја као јединствен низ попут вектора, лакше је разумети следеће раздвајање на факторе:

ℙ_α,β(X, Y|λ) = ℙ_α(X|λ) ℙ_β(Y|λ),

које не значи независност условних вероватноћа. Међутим, растављање на факторе ℙ(X, Y) = ℙ(X) ℙ(Y) јесте знак независности скупова случајних догађаја X и Y. Примењујемо ово на два мерења, посебно Алисе бројем α неким од случајно променљивих x из скупа X односно S_a = [-a, a] и уједно Бобана са бројем β из случајно променљивих скупа Y или S_b = [-b, b]. Ове вероватноће зависе од параметара α и β што ћемо назначити стављајући им их у доње индексе. Посебно је присуство (непознатог) параметра λ ∈ Λ који узима вредности из неког скупа Λ са вероватноћама q(λ). Локалност произилази из написаног разлагања условних вероватноћа на факторе. А све ово превише понављам због примедби других да им је доказ изузетно тежак за разумети.

5. Тражену (CHSH-Bell) неједнакост можемо написати и у облику:

|Κ(α, β) + Κ(α, β')| + |Κ(α', β) - Κ(α', β')| ≤ 2ab,

где се корелација дефинише помоћу очекивања, Κ(α, β) = 𝔼_α,β(X, Y), а која важи за све α, α' ∈ S_a и све β, β' ∈ S_b. Тада је:

$$ K(\alpha, \beta) = \int XY\,d\mathbb{P}_{\alpha,\beta}(X,Y) = $$ $$ = \int dq(\lambda)\int XY\,d\mathbb{P}{\alpha,\beta}(X,Y|\lambda) $$ $$ = \int dq(\lambda)\, \int X\,d\mathbb{P}_\alpha(X|\lambda)\,\int Y\,d\mathbb{P}_\beta(Y|\lambda), $$ $$ K(\alpha, \beta) = \int dq(\lambda)\, \mathbb{E}_\alpha(X|\lambda)\,\mathbb{E}_\beta(Y|\lambda), $$

а ово примењено више пута даје једнакости:

$$ K(\alpha, \beta) + K(\alpha, \beta') = \int dq(\lambda)\,\mathbb{E}_\alpha(X|\lambda)[\mathbb{E}_\beta(Y|\lambda) + \mathbb{E}_{\beta'}(Y|\lambda)], $$ $$ K(\alpha', \beta) - K(\alpha', \beta') = \int dq(\lambda)\,\mathbb{E}_{\alpha'}(X|\lambda)[\mathbb{E}_\beta(Y|\lambda) - \mathbb{E}_{\beta'}(Y|\lambda)]. $$

Узимањем апсолутних вредности и сабирањем налазимо:

$$ |K(\alpha, \beta) + K(\alpha, \beta')| + |K(\alpha', \beta) - K(\alpha', \beta')| \le $$ $$ \le \int dq(\lambda)\,[|\mathbb{E}_\alpha(X|\lambda)| |\mathbb{E}_\beta(Y|\lambda) + \mathbb{E}_{\beta'}(Y|\lambda)| + $$ $$ + \int dq(\lambda)\,|\mathbb{E}_{\alpha'}(X|\lambda)| |\mathbb{E}_\beta(Y|\lambda) - \mathbb{E}_{\beta'}(Y|\lambda)|] $$ $$ \le \int dq(\lambda)\,2ab = 2ab. $$

Тиме је тражена (CHSH-Bell) неједнакост доказана.

6. Неколико познаваоцима можда непотребних објашњења појасниће завршницу доказа многима. Пре свега, |x| ≤ a и |y| ≤ b ограничења су случајних варијабли интервалима S_a = [-a, a] и S_b = [-b, b] из којих их узимамо. Зато и за очекивања (средње вредности) таквих такође важе иста ограничења, |𝔼_α(X|λ)| ≤ a и |𝔼_β(Y|λ)| ≤ b, а у интегралима то беше фактори испред апсолутних вредности разлике и збира очекивања. За наведени збир разлике и збира важи опште позната неједнакост:

|ξ + η| + |ξ - η| ≤ 2c,     ξ, η ∈ [-c, c],

коју само треба применити два пута под интегралима.

7. Када се интервали нормирају, S_a подели са a и S_b подели са b, случајне променљиве се ограниче на исти интервал x, y ∈ [-1, 1], а резултат је да се претходна корелација Κ(α, β) = 𝔼_α,β(X, Y) сведе на раније κ(α, β). Онда ће и горња (CHSH-Bell) неједнакост постати:

κ(α, β) + κ(α, β') + κ(α', β) - κ(α', β') ≤ 2

коју чешће наводимо као CHSH Белову неједнакост. Разуме се да ни ова лева страна није већа од два ако претходна (и скраћена са ab) апсолутна вредност није већа од два.

CHSH Game » eng

Питање: Објасните ми каква је то игра CHSH квантне запетљаности?

Одговор: Слова CHSH долази од аутора — Џона Клаузера, Мајкла Хорна, Абнера Шимонија, Холта Ричарда — рада из 1969. године у којем је та „игра“ откривена. Они то нису описали као игру, већ као експеримент. Међутим, опис као игре је и природан и интуитиван.

1. Алиса и Бобан су једна екипа која игра против судије Чарлија, али тако да међусобно не комуницирају; A и B су попут синглета. Судија шаље по бит x Алиси и y Бобану, да од Алисе добије неки одговор a и од Бобана b зависно од статегије (x, y, a, b ∈ {0, 1}). Судија затим упоређује конјункцију свог упита, x ∧ y, вредности 1 само за x = y = 1, са одговорима у ексклузивној дисјункцији, a ⊕ b, која је 1 само када a ≠ b. Установи ли да је x ∧ y = a ⊕ b проглашава победу екипе Алиса-Бобан у тој размени.

2. Детерминистичка стратегија Алисе је са одговорима на могући упит x помоћу неке од функција a: {0,1} → {0,1}. Постоје само четири такве:

1.     a(0) = 0     a(1) = 0,
2.     a(0) = 0     a(1) = 1,
3.     a(0) = 1     a(1) = 0,
4.     a(0) = 1     a(1) = 1.

Ако и Бобан користи детерминистичку стратегију, комбиновано са ове четири Алисине, екипа Алиса-Бобан има укупно 16 могућих начина за детерминистичке одговоре. То је једна врста класичних одговора, које начелно разликујемо од квантних.

3. На пример, Алиса-Бобан одлучили су да свако од њих на сваки упит судије одговоре са 0. То је једна од детерминистичких стратегија какву може описати табела игре:

(x, y)	(a, b)	x ∧ y	a ⊕ b	поен
(0, 0)	(0, 0)	0	0	⊤
(0, 1)	(0, 0)	0	0	⊤
(1, 0)	(0, 0)	0	0	⊤
(1, 1)	(0, 0)	1	0	⊥

Након много понављања слања битова (x, y) од судије ка Алиси и Бобану које он (Чарли) униформно насумице бира, статистички број позитивних (⊤) и негативних (⊥) поена тежи односу 75-25 одсто. Једнаке статистичке учинке победа чине и константни одговори 1 Алисе и Бобана на све упите судије. Тај учинак од 75 одсто победа заправо је и максимум за класичне стратегије.

4. Класична стратегија и још увек детерминистичка била би у негираним одговорима. На упит 0 и Алиса и Бобан одговарају са 1, а на упит 1 они би одговарали са 0. Табела такве игре је:

(x, y)	(a, b)	x ∧ y	a ⊕ b	поен
(0, 0)	(1, 1)	0	0	⊥
(0, 1)	(1, 0)	0	1	⊤
(1, 0)	(0, 1)	0	1	⊤
(1, 1)	(0, 0)	1	0	⊥

Понављање ове игре, са насумичним једноликим упитима судије, дало би 50—50 одсто победа—пораза (⊤—⊥) екипе Алисе и Бобана. Исти скор има давање сагласних одговора, када сваки од играча на 0 одговара са 0, а на 1 одговара са 1. Те две стратегије су лошије од претходне две, а ништа боља није ни стратегија насумичних одговора.

5. Погледајмо сада како пар Алиса-Боб може постићи статистичке победе до 85% са квантном стратегијом. За то прво погледате неки од прилога да се подсетите квантних ознака и оператора (Hadamard). Кјубит је вектор и стање квантног система:

$$ |\psi_\theta\rangle = \cos\theta |0\rangle + \sin\theta |1\rangle, $$

где је сваки реални број неки угао у радијанима. На пример:

$$ |\psi_0\rangle = |0\rangle = \binom{1}{0}, \quad |\psi_{\pi/2}\rangle = |1\rangle = \binom{0}{1}, \quad |\psi_{\pm\pi/4}\rangle = |\pm\rangle = \frac{|0\rangle \pm |1\rangle}{\sqrt{2}}. $$

У трећем случају иде било плус или минус на сва три места одједном. Два стања скаларно множена даће:

$$ \langle\psi_\alpha | \psi_\beta\rangle = (\cos\alpha\langle 0| + \sin\alpha \langle 1|)(\cos\beta|0\rangle + \sin\beta |1\rangle) = $$ $$ = \cos\alpha\cos\beta \langle 0|0\rangle + \cos\alpha\sin\beta \langle 0|1\rangle + \sin\alpha\cos\beta \langle 1|0 \rangle + \sin\alpha\sin\beta \langle 1|1 \rangle, $$

па због ⟨0|0⟩ = 1, ⟨0|1⟩ = 0, ⟨1|0⟩ = 0 и ⟨1|1⟩ = 1 добијамо:

$$ \langle\psi_\alpha | \psi_\beta\rangle = \cos(\alpha - \beta). $$

Толико уводно са сепарабилним стањима.

6. Међутим, Алиса и Бобан би за бољи скор морали ући у несепарабилно, спрегнуто 2-кјубитно стање (Criterion II, 2) и то у нарочито стање једнаке суперпозиције када су једнаке вероватноће мерења Алисе и Бобана:

$$ |\phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}. $$

Скраћени опис иначе сложеног израчунавања наћи ћете у линку слике, а детаљнији у мало озбиљнијим предавањима (CHSH strategy). Поента је у раду са по две ортонормиране базе, Алисе и Бобана, какве их могу водити до квантне стратегије са очекивањем максималне победе:

$$ \cos^2\frac{\pi}{8} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0,85355 $$

а то је значајно више од (3/4 = 0,75), иначе најбоље класичне стратегије.

7. Алиса примљени x бит мери у ортонормираним базама:

$$ x = 0: \quad |\alpha_0\rangle = \binom{\cos\alpha_0}{\sin\alpha_0}, \quad |\alpha'_0\rangle = \binom{-\sin\alpha_0}{\cos\alpha_0}, $$ $$ x = 1: \quad |\alpha_1\rangle = \binom{\cos\alpha_1}{\sin\alpha_1}, \quad |\alpha'_1\rangle = \binom{-\sin\alpha_1}{\cos\alpha_1}, $$

при чему су ти углови α₀ = 0 и α₁ = π/4 = 45° за очекивани максимални скор, а онда су вектори прве базе |0⟩ и |1⟩, и вектори друге базе |+⟩ и |-⟩. Приметимо да је друга база ротирана прва за угао π/4.

На другој страни је Бобан који свој примљени бит y мери базама:

$$ x = 0: \quad |\beta_0\rangle = \binom{\cos\beta_0}{\sin\beta_0}, \quad |\beta'_0\rangle = \binom{-\sin\beta_0}{\cos\beta_0}, $$ $$ x = 1: \quad |\beta_1\rangle = \binom{\cos\beta_1}{\sin\beta_1}, \quad |\beta'_1\rangle = \binom{-\sin\beta_1}{\cos\beta_1}, $$

при чему су његови углови β₀ = π/8 и β₁ = -π/8. Слично Алиси, Бобанова друга база ротирана је прва за угао -π/4, а у оба случаја примован угао је непримован увећан за π/2, тј. α'_j = α_j + 90° и β'_j = β + 90° за оба j = 0, 1.

8. Скаларно множење (5) сада даје ⟨ψ_α, ψ_β|Φ⁺⟩ = cos(α - β)/√2, a помоћу тога и узимајући горње углове, брзо налазимо верованоће екипе Алиса-Бобан за поједине послате битове:

x = 0, y = 0:   |⟨α₀, β₀|Φ⁺⟩|² + |⟨α'₀, β'₀|Φ⁺⟩|² = cos²(α₀ - β₀),
x = 0, y = 1:   |⟨α₀, β₁|Φ⁺⟩|² + |⟨α'₀, β'₁|Φ⁺⟩|² = cos²(α₀ - β₁),
x = 1, y = 0:   |⟨α₁, β₀|Φ⁺⟩|² + |⟨α'₁, β'₀|Φ⁺⟩|² = cos²(α₁ - β₀),
x = 1, y = 1:   |⟨α₁, β₁|Φ⁺⟩|² + |⟨α'₁, β'₁|Φ⁺⟩|² = cos²(α₁ - β₁).

Међутим, нису све комбинације оваквих углова победничке, нити ће оне увек резултирати најбољом статистиком победа. Једна од тих најбољих управо је за наведене углове α₀ = 0, α₁ = π/4, β₀ = π/8 и β₁ = -π/8, када и прве три ове комбинације (x, y) дају вероватноће cos²(π/8) ≈ 0,85 што би био и најбољи скор.

Ово је само скица далеко сложенијег и прецизног израчунавања каквог има пуно у квантој механици. Успех њеног рачуна у експерименталним потврдама, која по егзактности предвиђања превазилази све претходно виђано у физици, као да потврђује познату изреку да „нема бесплатног ручка“. Када добијамо на детаљности, губимо се у сложености.

Analogy » eng

Питање: Тешка ми је ова квантна механика, признајем, али мора бити неког интуитивног лакшег објашњења, на пример, нарушавања Белове неједнакости у случајевима квантне спрегнутости?

Одговор: Добијам разна слична питања која ме подсете Ричарда Фајнмана када је одавно тврдио: када помислите да сте разумели квантну механику, онда је нисте разумели. Њен је проблем као и претераних перфекциониста са теоријом вероватноће, хоћете ли да схватите узроке који доводе до исхода бацања новчића, онда ту теорију нисте схватили. Нешто слично открива и линк слике лево, а шта то тачно видећете из објашњења на мој начин.

1. Парафразирајући видео, помоћу локалних квантних стања (|ψ⟩_A = |0⟩ и |ψ⟩_B = |+⟩) можемо добити глобално стање:

$$ |\psi\rangle_{AB} = |0\rangle\otimes|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |01\rangle), $$

али није могуће и обрнуто, приметимо да изучавајући локалне сазнајемо и глобалне појаве, али да обрнути процеси не иду тако лако. Топећи се у глобално неке локалне појаве нетрагом нестају (Localism) да би остајали облици заједнички многима (Global Convergence). Зато нас експеримент у физици зна толико изненадити својим открићима, нарочито све мањег света али и локализама уопште, колико нам теоријска успева помагати у увезивању њихових различитости. По аналогији ово су различитости до јединствености субјеката опажања насупрот апстрактних законитости, а попут „свачијих“, које се стално негде понављају.

2. У овој теорији физичке реалности која подразумева да се у пребројиво бесконачаном низу тренутака са неким бесконачним поднизом реализује по једна од бар две могућности, постоји континуум (непребројиво много) могућности. Ова, ознаке 𝔠, неизмерно је већа бесконачност од дискретне, ознаке ℵ₀, а врста је „локализма“ који се исходима, реализацијама својих могућности топи у „глобализам“ наше реалности. Па како онда да из овог нашег стварног окружења спознамо све опције тог континуума, а нисмо у стању познавати нити све физичке појаве које су пред нама као на тацни.

3. Ту је и одговор на питање нарушавања Белове неједнакости када дође до квантне спрегнутости. Као што исти круг унутар мањег оквира делује већим, или још бољи пример је прелазак са локалног квантног стања на глобално (1), тако да преживеле величине постају стјешњене и значај им расте, корелације порасту. Редукцијама локалног повећава се видљивост глобалног, а онда нема назад, као у деловању начела минимализма. Ако једном пређете у вероватније стање, у мање информативно, теже вам се вратити назад ка мање вероватном него остати тамо међу тада и мањим интеракцијама.

4. Као у стешњеном оделу, Белова неједнакост пуца по шавовима у вишку извесности, или што је исто, од губитка неизвесности. Тако некако видим извесно-неизвесно налик празнини и пуноћи, где је малтене произвољна нулта граница а мислећи на Дираков вакуум. Када фали мање сигурности исхода и праве информације, онда постаје видљива квантна спрегнутост. То је стање пуке садашњости, претесно информацији, као и изван домета брзине светлости, када се квантна преплетеност појави „од никуда“.

Restriction II » eng

Питање: Зашто је Блохова сфера толико успешна за описивање спина и корелација?

Одговор: Зато што је тачна, боља је у квантним интерпретацијама вектора, или једноставнија међу другим методама. Нешто од тога је, ваљда, а ево због чега је и то.

На слици десно је 2-дим приказ „стереометриjе статистике“ мог претходног извода (Restriction), иначе из (незапажене) књиге о информацији перцепције још из давне 2016. На слици су вектори, низови случајних бројева:

$$ \vec{a} = (3, 1), \quad \vec{b} = (3, 0.5), \quad \vec{c} = (1, 2). $$

Средње вредности (аритметичке средине) њихових координата су, редом μ(a) = 2, μ(b) = 1.75 и μ(c) = 1.5. Симетралу тог квадранта усмерава вектор $\vec{\ell}$ = (1, 1) који затим одређује векторе $\vec{m} = \mu\vec{\ell}$, редом:

$$ \vec{m}_{a} = (2, 2), \quad \vec{m}_{b} = (1.75, 1.75), \quad \vec{m}_{c} = (1.5, 1.5), $$

тако да су спојнице, вектори:

$$ \vec{s}_a = \vec{a} - \vec{m}_a = (1,-1), $$ $$ \vec{s}_b = \vec{b} - \vec{m}_b = (1.25, -1.25), $$ $$ \vec{s}_c = \vec{c} - \vec{m}_c = (-0.5, 0.5). $$

Они су окомити на $\vec{\ell}$.

1. Проверимо окомитост, да је $\vec{s}_a$, $\vec{s}_b$, $\vec{s}_c$ ⊥ $\vec{\ell}$. Наиме, вектори су окомити ако и само ако им је скаларни производ нула, па израчунавамо:

$$ \vec{s}_a\cdot \vec{\ell} = (1,1)\cdot (1,1) = 0, $$ $$ \vec{s}_b\cdot \vec{\ell} = (1.25, -1.25)\cdot (1,1) = 0, $$ $$ \vec{s}_c\cdot \vec{\ell} = (-0.5, 0.5)\cdot (1,1) = 0. $$

Дакле, спојнице датих низова случајних бројева заиста су окомите на симетралу квадранта (правоуглог Декартовог система координата).

2. Према поменутом изводу, корелација (Пирсонов коефицијент) је скаларни производ нормираних вектора спојница:

$$ \kappa(\vec{a},\vec{b}) = 1, \quad \kappa(\vec{b},\vec{c}) = -1, \quad \kappa(\vec{c},\vec{a}) = -1. $$

Попут мерења спина честице магнетом, постоји потпуна корелација или потпуна антикорелација. У томе лежи успех Блохове сфере, она користи само две реалне димензије комбиновано са Паулијевим матрицама.

Напомињем још једном, корелација је косинус угла између спојница, а не између самих случајних низова. Спојнице случајних променљивих увек су окомите на симетралу квадранта и, у случају 2-дим не нултих низова, угао између њих или је нула или испружен, па је косинус 1 или -1. Лако проверавамо наведене неједнакости (Restriction, 3 и 4):

$$ \kappa_{bc}\kappa_{ca} - \sqrt{1 - \kappa^2_{bc}}\sqrt{1 - \kappa^2_{ca}} \le \kappa_{ab} \le \kappa_{bc}\kappa_{ca} + \sqrt{1 - \kappa^2_{bc}}\sqrt{1 - \kappa^2_{ca}}, $$ $$ 2\kappa_{bc}\kappa_{ca} - 1 \le \kappa_{ab}, $$

где скраћено пише κ_ab уместо κ(a, b) и даље циклично. Ова ограничења три корелација три пара од три n-торке случајних променљивих треба разликовати од три корелације κ(a, b), κ(b, c) и κ(c, d) од четири n-торке случајних променљивих за које не постоје ограничења, јер корелација није транзитивна.

3. Пут од јединичних вектора повезница, до кјубита, преко стандардне базе |0⟩ = (1, 0)^⊤ и |1⟩ = (0, 1)^⊤ па до чистих стања |ψ⟩ = α₀|0⟩ + α₁|0⟩, са комплексним бројевима |α₀|² + |α₁|² = 1, није далек:

|Ψ⟩ = α₀|0⟩ + α₁|0⟩ =
= |α₀|e^iφ₀|0⟩ + α₁|e^iφ₁α₁|0⟩
e^iφ₀(|α||0⟩ + |α₁|e^{i(φ₀ - φ₁)}|1⟩,

а отуда уобичајено „чисто стање“ кјубита:

|Ψ⟩ = |α||0⟩ + |α₁|e^iφ|1⟩.

Због cos²(θ/2) + sin²(θ/2) 1 за све θ ∈ [0, π], то пишемо:

$$ |\Psi\rangle = \cos\frac{\theta}{2}\,\binom{1}{0} + \sin\frac{\theta}{2}\,e^{i\varphi}\binom{0}{1}, $$

а ти јединични вектори заправо су тачке Блохове сфере.

4. На слици лево видимо Блохову сферу и векторе дуж апсцисе (x), ординате (y) и апликате (z):

$$ |\pm\rangle = \frac{|0\rangle \pm |1\rangle}{\sqrt{2}}, $$ $$ |\pm i\rangle = \frac{|0\rangle \pm i|1\rangle}{\sqrt{2}}, $$ $$ |0\rangle = \binom{1}{0}, \quad |1\rangle = \binom{0}{1}. $$

Свакој тачки овакве јединичне сфере одговара јединствен пар углова θ и φ. За φ = 0 добија се велика кружница сфере у равни апсциса-апликата (xz), а са φ = π/2 имамо велику кружницу у комплексној равни ордината-апликата (yz). Као што смо видели, само једна комплексна оса (y) шири горњи 2-дим реални систем на комплексни квантне механике.

Додавање ове имагинарне y-осе схватимо као слободе које је пре колапса у само једно од два стања спина (±) имала честица у суперпозицији. Није могуће имати их реално. Ово је сагласно Копенхагенској интерпретацији квантне механике коју су почетком 20. века заступали Бор и Хајзенберг, о квантним системима који постоје у суперпозицији свих могућих стања до мерења, након којег таласна функција „колабира“ у једно стање.

Strategy » eng

Питање: Да ли је истина да помоћу корелације мерите стратегије игара?

Одговор: Да, то је једно необично откриће у теорији Информације Перцепције, након што сам њену основну идеју почео користити у анализи алгоритама неких игара надметања. Погледајте, рецимо, прилог слике десно да утврдимо познатије појмове корелације, па ћу наставити са мање познатим.

1. У класичној теорији игара, под стратегијама се подразумевају и дорађују модели по узору на Фон Нојманову минимакс теорему, укратко, да је одузимање противникових најбољих потеза добар пут ка победи. Аналогно, корелација се повећава када из низова одстрањујемо „лоше“ чланове, одређујући их као оне који су „добри“ за опонента. Није једноставно питање како их вредновати, па нека то остане отворено. За сада држимо се макар какве скале бројева и, понављајући одређену игрицу, корацима је поправљајмо. На пример, она може бити вредности од -1 до +1 реалних бројева, усклађено са недавним одговором (Expected, 4).

Приметимо (CHSH Game) да корелацијама одређиване стратегије важе и за Нешов еквилибријум или још даље примере игара од Фон Нојманових. Међутим, снага „методе корелација“ за вредновање стратегија највећа је тамо где класична теорија игара не допире. Наиме, старе тзв. затворене и отворене игре, попут покера или шаха, или игара нултог нивоа (први има колико други нема), углавном су преједноставне за ситуације ако постоји превише комбинација или нема се довољно времена за најбољи потез. А, додатно, када потези опонента пљуште са свих страна одједном и слично томе се мора на њих одговарати, као у економији, политици или рату.

2. Од низова x = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n) и y = (η₁, η₂, ..., η_n) одузимамо низове μ_x ≠ 0 и μ_y ≠ 0, њихових средњих вредности, да добијемо разлике Δx_k = ξ_n - μ_x и Δy_k = η_n - μ_y, па није ни угао φ = ∠(x, y) једнак углу γ = ∠(s_x, s_b). А низови s_x = (Δx_k) и s_y = (Δy_k) су спојнице, односно вектори окомити на симетралу квадранта до датих n-торки (Restriction). Пирсонова корелација, која нам је тема, је косинус угла између спојница (cos γ), није између датих низова (cos φ), што мало отежава задатак. Ако немате ништа боље, препорука је, крените са μ_x = μ_y = 0 па методом покушај-грешка-исправка понављајући игрицу дођите до све бољих средњих вредности.

3. Средње вредности μ случајних догађаја су очекиване, највероватније у стварности и у том смислу витална бића дегенеришу реалност. Природа спонтано тежи вероватнијим стањима, што значи мањим изненађењима, мањој комуникацији и мањем дејству. Ту спадају и тежње очекиваним (μ) случајним догађајима. Међутим, додатак виталности природном процесу повећа шансе, па ми можемо померити чашу на столу и када се она не би могла померати без нас. На тај начин су разлике Δx_k и Δy_k мере деловања виталности у спонтаним природним токовима ствари, тако да је косинус угла између низова s_x и s_y тих разлика мера интензитета вештине игре.

Описујем циљеве у формирању чланова низова x и y. Њима покушавамо што тачније оценити могућности виталности опонената у одговарајућим компонентама игре. Градећи стратегију неке игрице то постаје занимљив и нимало једноставан посао. Усамљеном програмеру он може бити попут изградње небодера пред зидаром мада доброг са мистријом, малтером и циглама. Када га препуштамо машинском учењу, добија на замаху, али и губи нешто од својих дражи.

4. Са друге стране су теоријске користи од ове методе. Наиме, обзиром да је корелација:

κ(s_x, s_y) = (s_x/∥s_x∥)⋅(s_y/∥s_y∥) = cos γ,
κ(s_x, s_y) = ξ₁η₁ + ξ₂η₂ + ... + ξ_nη_n,

која расте са виталношћу играча као виталност саме игре датих играча. А како је косинус већи што је угао γ мањи, то је виталност игре већа када су играчи блиских способности, када су вектори x и y паралелнији. Обзиром да капацитети играча, интензитети ∥x∥ и ∥y∥ за самог тока игре нису лако променљиве величине и мере су талента и претходних припрема, онда се лакше бавити прерасподелом интензитета самих коефицијената ξ_k и η_n у низу k = 1, 2, ..., n.

Помињао сам ову методологију (Win Lose), иначе нову за познату теорију игара, али без намера да је популаришем и тако њена прича чека у сенци. Укратко, ако бисте да нешто из овога научите, доброј стратегији блиска је тзв. метода реципроцитета, а на основу снаге успешности могућ је и опис карактера личности (Traits) опет без пандана (упоредног концепта), сада, у психо-социјалним или друштвеним наукама.

Transitivity » eng

Питање: Како ћемо нетранзитивност корелације преносити на процене стратегија?

Одговор: Природно. Погледајмо магични квадрат бројева 3×3, на слици лево. Рецимо да су колоне тимови A, B и C, прецизније број бодова које су освојили на неком такмичењу. Тако је тим A против B играо 2:7, 9:5 и 4:3, дакле у две победе и једним поразом освојио је укупну победу. Тим B против C такође је два пута победио (7:6 и 5:1) и једном је поражен (3:8), па је укупно победник. Опет, тим C победник је тима A са две победе (6:2 и 8:4) и једним поразом (1:9).

Дакле A > B > C > A, побеђивања у тимском спорту нису транзитивна, као што корелације такође нису транзитивне. Ове разликујемо од узрочности и дедукција увиђајући допринос виталности играма. Мртва природа неће лагати, неће се играти, нити уме пркосити принципу најмањег дејства из теоријске физике и по томе се разликује од виталних живих бића.

1. Транзитивност је математичка операција преношења. На пример, дрво је биљка, бор је дрво па је бор биљка. Слично, прелазни глаголи као у „ја кувам ручак“ где субјекат (ја) радим нешто (кувам) некоме или нечему, за разлику од непрелазних глагола као у реченици „ја тугујем“ где нико или ништа не трпи радњу, она се не преноси. Формално, преносе разматрамо као инклузије (лат. inclusio), укључивања или обухватања као скуповна. У контексту скупова A ⊆ B она означава да је скуп A садржан у B, па ако је и B ⊆ C онда је A ⊆ C. То је транзитивност.

2. Један од чешће помињаних али и општих примера нетранзитивности корелације је са три независне нормалне (Гаусове) расподеле случајних променљивих A, B и C којима дефинишемо три нове случајне X = A + B, затим Y = B + C па Z = C - A. Корелација између прве две corr(X, Y) = 0,5 позитивна је, корелација између друге и треће corr(Y, Z) = 0,5 такође је позитивна, али трећа корелација са првом је негативна corr(Z, X) = -0,5. То показује да се јаке корелације парова не преносе уланчано и да неће осигурати корелацију између крајњих елемената.

Наћи ћете много конкретних примера нетранзитивности корелације, као следећи. А је воћна салата прављена од папаје и банане, Б је воћна салата од банане и јагоде, Ц је јело од јагода и павлаке. Када цена банана расте, повећавају се цене салата А и Б, па су А и Б позитивно корелирани. Када цена јагода порасте, цене Б и Ц ће се повећати, па Б и Ц имају позитивну корелацију. Међутим, А (папаја и банана) и Ц (јагоде и павлака) немају заједничке састојке, тако да ће вероватно корелације њихових цена бити близу нуле, цене ће им бити некорелиране.

3. Разликујемо три типа (не)повезивања појава: насумичност, корелацију и узрочност. Потпуна неповезаност је униформна расподела, када су сви исходи једнако вероватни. Крајњу повезаност виђамо у теоремама, као у формули 2 + 3 = 5 њеној извесности да два „нечега“ и три истога дају пет таквога. Највеће информације (Екстреми) имају једнаке вероватноће на датом интервалу (a, b), затим експоненцијално опадајуће са одређеним очекивањем μ, па нормалне (Гаусовог звона) са задатом дисперзијом σ. Због начелног Минимализма, природа ће спонтано излазити из таквих, па ће клизити из насумичности ка повезаности.

4. Централна гранична теорема примењује слабе законе великих бројева теорији вероватноће и тврди да збир великог броја независних случајних променљивих X_k, где је k ∈ {1, 2, ..., n}, са једнаким средњим вредностима μ и варијансама σ², тежи нормалној расподели вероватноће. Дакле, да:

$$ Y_n = \frac{X_1 + X_2 + ...+ X_n}{n} $$

скоро сигурно конвергира очекивању μ и варијанси σ² када n → ∞. Та има гранични облик дистрибуције:

$$ Z = \lim_{n\to \infty} \sqrt{n}\left(\frac{Y_n - \mu}{\sigma}\right), $$

а то је нормална (Гаусова) расподела вероватноће. Постоје разне верзије исте теореме, у некима и није потребно да променљиве буду са једнаком расподелом вероватноће, ако нити једна променљива нема доминантан утицај на коначну суму. Овде их помињем да приметимо законе великих бројева са њиховим моћима обликовања неизвесности, давно познатим.

5. Униформну расподелу 𝒰(a, b) дефинишемо и са густином вероватноће (Физичка информација, стр. 61):

$$ \rho_{\mathcal{U}}(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & x \in [a, b] \\ 0, & x \notin [a, b] \end{cases} $$

где је a < b. Њено очекивање и варијанса тада су:

$$ \mu_{\mathcal{U}} = \frac{b + a}{2}, \quad \sigma^2_{\mathcal{U}} = \frac{(b - a)^2}{12}, $$

а информација:

$$ S_{\mathcal{U}} = \ln(b-a). $$

Нормалну расподелу 𝒩(μ, σ²) дефинише густина:

$$ \rho_{\mathcal{U}}(x) = \frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}. $$

Њено очекивање је μ, варијанса σ² и (Физичка информација, стр. 65) информација:

$$ S_{\mathcal{N}} = \ln\sqrt{2\pi e\sigma^2}. $$

Смењујући варијансу претходне у ову, налазимо:

$$ S_{\mathcal{N}} = \ln\sqrt{2\pi e\frac{(b-a)^2}{12}} = \ln(b-a) + \ln\sqrt{\frac{\pi e}{6}}, $$ $$ S_{\mathcal{N}} = S_{\mathcal{U}} + 0,176... $$

што значи да је информација нормалне расподеле (S_𝒩) за око 0,176 већа од информације поједине унуформне расподеле (S_𝒰), али ово је премало обзиром на дуги низ униформних расподела X₁, X₂, X₃, ... које учествују у формирању нормалне расподеле. Тај дефицит, сматрам, дело је начелног минимализма.

Spearman » eng

Питање: Пирсонова корелација је линеарна, а Спирманова није?

Одговор: Да, за разлику од Пирсонове корелације, која тражи линеарну везу, Спирменова метода је флексибилнија и на нелинеарне корелације. На тој слици горе, наведена су три упоредна случаја. На првом графу је коефицијент Спирманове корелације максималних (ς = 1), јер упоређују две променљиве (x_i, y_i) које су монотоно повезане (обе растуће), мада им однос није линеаран. Али исти парови дају не тако савршену Пирсонову корелацију (κ = 0,88).

На другом (средњем) графу, података приближно елиптичног распореда, без истакнутих аномалија, Спирманова (ς = 0,35) и Пирсонова (κ = 0,37) корелација дају сличне вредности. На трећем (десно) графу исте слике је Спирманова корелација (ς = 0,84) мање осетљива од Пирсонове (κ = 0,67) на јаке аутсајдере који се налазе у реповима оба узорка. Спирманов ς тада игнорише аутсајдере и ограничава се на вредности домена осталих. Честа ознака Пирсоновог коефицијента корелације је r, Спирмановог ρ, а овом другом по општости сличан је Кендалов обично ознаке τ. Та два задња су коефицијенти засновани на рангу; они су непараметријске су корелације, за разлику од Пирсонове тзв. параметарске.

1. Формула Спирманове корелације је:

$$ \rho = 1 - \frac{6\sum d^2_i}{n(n^2-1)} $$

где се случајне променљиве рангирају по редоследу вредности, затим се узимају разлике d_i = x_i - y_i за све i = 1, 2, ..., n њихових редоследа које се квадрирају и сабирају. Детаљно како то, погледајмо на једном примеру израчунавања Спирманове корелације успеха десет ученика из два теста, енглеског и математике. Добили су следеће бодове, редом:

Енглески:         56     75     45     71     62     64     58     80     76     61
Математика:   66     70     40     60     65     56     59     77     67     63

Рангирамо сваки посебно, топ-листом од најбољег до најлошијег:

Енглески:         9     3     10     4     6     5     8     1     2     7
Математика:   4     2     10     7     5     9     8     1     3     6

Затим израчунавамо разлике и квадрате разлика:

d:       5     1     0     3     1     4     0     0     1     1
d²:   25     1     0     9     1     16     0     0     1     1

Квадрате разлика сабирамо и уврштавамо у горњу формулу:

$$ \rho = 1 - \frac{6\sum d^2_i}{n(n^2-1)} = 1 - \frac{6\cdot 54}{10(10^2-1)} = 1 - \frac{324}{990} \approx 0,673 $$

Ово је јака позитивна веза између показаног успеха, рангова које су појединци постигли на испитима из математике и енглеског језика, односно, који су били боље рангирани из математике били су боље рангирани и из енглеског језика, и обрнуто.

2. На слици десно је линк на још један пример са мало детаљније објашњеном истом корелацијом, сада осам компјутерских играча којима је мерено време реакције упоредно са њиховим годинама. Колона испод сата је сортирана, колона година јој је придружена тако да лако рачунамо разлике:

d₁ = 1 - 1 = 0
d₂ = 2 - 3 = -1
...
d₈ = 8 - 8 = 0

Збир квадрата ових разлика је 8, а број учесника n = 8, па израчунавамо Спирманову корелацију:

$$ r_s = 1 - \frac{6\cdot\sum_{i=1}^8 d^2_i}{n(n^2-1)} = 1 - \frac{6\cdot 8}{8(8^2 - 1)} = 0,9047619... $$

То је веома јака корелација. Растуће године старости веома корелирају са продужавањем времена реакције (рефлекса). Тај прилог додатно садржи поређења Пирсонове, Спирманове и Кендалове корелације, а приде ту је и објашњење тестирања хипотеза. Додао бих да у случају неких једнаких вредности којима правимо топ листу треба узети средњу вредност ранга и доделити је свим тим истим.

3. Индикатор је функција 1_A(x) ∈ {1, 0} дефинисана на скупу A за коју је 1_A(x) = 1 када x ∈ A, али 1_A(x) = 0 ако x ∉ A. Често иде уз вероватноћу да x припада скупу A која износи p ∈ (0, 1), односно да x не припада скупу A која износи q = 1 - p. Поред осталих, индикатори су једна од тема и моје књиге Физичка Информација (стр. 68.).

У наставку посматрајмо понављање истог случаjног експеримента све до првог поjављивања „повољног“ догађаjа (вероватноће p). Вероватноћа да ће се повољан исход десити у првом покушају је p, а да ће се прво десити неповољан па повољан је qp. Да ће се тек у трећем понављању догодити повољан исход вероватноћа је q²p. Уопште је вероватноћа да ће се тек у n-том покушају по први пут десити повољан исход је q^n-1p, јер се пре тога n - 1 пута десио неповољан исход вероватноће q = 1 - p. Када су задате две вероватноће p_x = 0,5 и p_y = 0,6 израчунавамо два таква низа:

n	px = 0,5		py = 0,6
1	0,500		0,600
2	0,250		0,240
3	0,125		0,096
4	0,062		0,038
5	0,031		0,015
6	0,016		0,006
7	0,008		0,002
8	0,004		0,001
9	0,002		0,000
10	0,001		0,000

Ово су бесконачни низови који експоненцијално конвергирају, па се већ након ових 10 корака у збир првог накупило приближно z_x = 0,999023 и збир другог z_y = 0,999895.

Наводим их као пример једнако рангираних за Спирманову корелацију и која је због тога тачно 1. Они максимално корелирају према Спирмановој методи, али не и на Пирсонов начин. Наиме, средње вредности покушаја су μ_x = 1/p_x = 1/0,5 = 2 и μ_y = 1/p_y = 1/0,6 = 5/3, па су различити низови s_x и s_y (Restriction) тако да Пирсонова корелација κ није тачно 1.

4. Међутим, дубљи мотив овог примера су тражења могућности варирања локалних слобода евентуалних учесника информације перцепције док се укупни капацитети њих појединих не мењају. Без тих могућности нестаје смисао стратегија, бар не у домену мењања јачине игре појединца упркос његовом (не)таленту. Сортирање и одреднице мерења другачијих метода корелација сведоче у корист тих могућности, креативног побољшања или слабљења игре, али када пажљиво гледамо и она су само један од облика локалних дивергенција (Localism) и глобалних конвергенција.

Monotonic » eng

Питање: Спирманова корелација слабије мари за узроке повезивања?

Одговор: Необично сте то рекли, али тачно је. Посматрајући пука рангирања, упоређивања самих пласмана учесника турнира, топ листе освојених бодова, немамо директан увид у уложене напоре учесника. Отуда и разлике ових мерења, Спирмана и Пирсона. А дугорочно, труд и таленат учине своје, па се ипак покаже да опет статистика (понављање узорака) делује кроз законе великих бројева, да прошлост утиче на будућност, као да такве појаве вапе за реалношћу.

1. Монотоност је овде двоструко пожељна. Прво ради рангирања, редања вредности сирових података, случајних променљивих. А друго долази из потребе доследности, поменутог формирања „прошлих“ који би да утичу на „будуће“. Пре свега, уверимо се да је форма Спирманове корелације и Пирсонова, да се једна своди на другу када са сирових података:

x = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n),     y = (η₁, η₂, ..., η_n),

пређемо на ранг једног и другог. Када сваки од ова два низа поредамо по величини, њихови првобитни упоредни елементи распариће се, њихови пласмани им могу мењати редослед. Редни број елемента ξ_k нека је ξ'_k, а редни број η_k нека је η'_k. Тако налазимо два низа редних бројева из скупа {1, 2, ..., n}, несортираних:

x' = (ξ'₁, ξ'₂, ..., ξ'_n),     y' = (η'₁, η'₂, ..., η'_n),

Када бисмо први сортирали тако да је монотоно растући (или опадајући), други не мора бити такав а управо њихова евентуална различитост утиче на (не)корелацију у Спирмановом смислу. Може бити много комоције за мењање вредности појединих чланова сирових низова, x или y, али тако да им поредак x' или y' остаје исти.

2. Проверимо да ће Пирсонова корелација ранг листа:

$$ \kappa(x', y') = \frac{\text{cov}(x',y')}{\sigma(x')\sigma(y')} $$

сирових низова величина x и y дати Спирманову корелацију:

$$ \varsigma(x,y) = 1 - \frac{6\sum_{k=1}^n d^2_k}{n(n^2-1)} $$

где се случајне променљиве рангирају по редоследу вредности, а затим се узимају разлике d_k = ξ'_k - η'_k за све k = 1, 2, ..., n њихових редоследа које ту квадрирамо па сабирамо.

3. За израчунавање коваријансе, оба су низа из скупа {1, 2, ..., n}, тражимо средње вредности тих низова. То је n-ти део аритметичке средине A низа, па прво њу израчунајмо. Потпишимо је овако:

A = 1 + 2 + ... + (n-1) + n,
A = n + (n-1) + ... + 2 + 1

и саберимо. Добијамо:

2A = [1 + n] + [2 + (n-1) + ... + [(n-1) + 2] + [n + 1],

A = n(n + 1)/2,     μ = A/n = (n + 1)/2.

Прво (A) је позната формула збира првих n природних бројева, а друго (μ) је тражена средња вредност која нам треба за коваријансу.

Једнако рангирани били би они са једнаким полазним вредностима, нпр. ξ_i = ξ_j, којима додељујемо средњу вредност, (ξ'_i + ξ'_j)/2. Рецимо, када су на позицијама 6 и 7 исте полазне вредности обе добијају ранг 6,5. Тада треба разликовати очекивање E(x') = μ_x' од E(y') = μ_y', иначе не.

4. За израчунавање варијансе тражимо средњу вредност збира квадрата B истих бројева. Имамо то B у разликама кубова, од 1 до n, које сабирамо:

$$ \sum_{k=1}^n [k^3 - (k-1)^3] = \sum_{k=1}^n [k^3 - (k^3 - 3k^2 + 3k - 1)], $$ $$ n^3 = \sum_{k=1}^n (3k^2 - 3k + 1) = 3B - 3A + n, $$ $$ B = \frac13 n^3 + A - \frac13n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, $$ $$ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, $$ $$ \sigma^2 = \frac{1}{n}B - \mu^2 = \frac{n^2 - 1}{12}. $$

Када су сви рангирани ξ'_k, η'_k ∈ {1, 2, ..., n}, тада је σ_x' = σ_y' и μ_x' = μ_y'.

5. Затим, израчунавамо (2):

$$ \kappa(x',y') = \frac{E(x'y') - E(x')E(y')}{\sigma(x')\sigma(y')} = \frac{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi'_k\eta'_k - \mu_{x'}\mu_{y'}}{\sigma_{x'}\sigma_{y'}}, ... $$

Приметимо да у бројнику стоји:

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi'_k\eta'_k - \mu_{x'}\mu_{y'} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac12[\xi'^2_k + \eta'^2_k - (\xi'_k - \eta'_k)^2] - \mu_{x'}\mu_{y'} = $$ $$ = \frac12\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \xi'^2_k + \frac12\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \eta'^2_k - \frac{1}{2n}\sum_{k=1}^n d^2_k - \mu^2 $$ $$ = \left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \xi'^2_k - \mu^2\right) - \frac{1}{2n}\sum_{k=1}^n d^2_k $$ $$ = \sigma^2_{x'} - \frac{1}{2n}\sum_{k=1}^n d^2_k $$ $$ = \sigma_{x'}\sigma_{y'} - \frac{1}{2n}\sum_{k=1}^n d^2_k. $$

Вратимо ово у бројник и уврстимо (4), добијамо:

$$ \kappa(x',y') = \frac{\sigma_{x'}\sigma_{y'} - \frac{1}{2n}\sum_{k=1}^n d^2_k}{2n\cdot\frac{n^2-1}{12}} = 1 - \frac{6\sum_{k=1}^n d^2_k}{n(n^2-1)}, $$

а ово Пирсоново κ(x', y') је Спирманово ς(x, y), горе наведено.

6. Оно што опажамо никада није оно „што јесте“ (не постоји такво што), него су то дуалне слике (Conjugated) и никада нису потпуно једнаке код различитих субјеката, штавише нису исте ни код једног истог учесника комуникације у различитим временима (Спрега Информација, стр. 121). Са друге стране, нема децидног разговора о „узроцима“ једино на основу корелације (Transitivity, 3), па постављено питање постаје депласирано. Међутим, искористио сам прилику да нагласим да дуалност опажања и јединственост субјеката сарађују са корелацијама.

Kendall rank » eng

Питање: Није ми на Википедији јасан овај Кендалов коефицијент корелације ранга. Можете ли ми тај појаснити?

Одговор: Погледајте објашњење уз слику десно. Боље је од сваке моје приче и евентуално га могу само коментарисати за случај да се не да отворити видео, или вам енглески није добар (било коме на мрежи). Додатно, чувам овај одговор за касније.

На тој слици, рецимо, имамо две особе са рангираним успесима у шест дисциплина, или на шест тестирања. Желимо да проверимо колика је корелација њихових вештина, односно знања. Дисциплине су поредане према успесима првог учесника, а упоредо су пласмани другог. Тамо где је најбољи успех првог (ранг 1) другом је тек трећи (ранг 3). Када је особа лево са рангом 2 десна је са рангом 1, када леви осваја треће место, десни је четврти и даље редом низ табелу.

Затим посматрамо пласман самог десног учесника, одозго на доле. На првој позицији (број 3) је мањи од три броја испод {4, 6, 5} и већи је од два {1, 2}, што значи да је три пута сагласносан (енг. Concordant) и два пута несагласан (Discordant) са поретком рангирања. Следећи (број 1) је мањи од сва четири доња, односно 4 пута је сагласан и 0 пута несагласан са растућом табелом левог учесника. Трећи по реду (број 4) је два пута сагласан и једном није. Следећи (број 2) је оба пута сагласан, па долази број (6) који није сагласан са јединим (5) испод себе. Сагласности су у колонама десно „плусеви“ и има их C = 11, а несагласности су „минуси“ и има их D = 4. Кенделов коефицијент корелације је:

$$ \tau = \frac{C - D}{C + D} = \frac{11 - 4}{11 +4} = \frac{7}{15} = 0,47. $$

И то је то. Као и Пирсонов коефицијент овај Кенделов τ ∈ [-1, 1] са истим значењем. Тотална корелација биће τ = 1, одсуство било какве корелације даће τ = 0, а антикорелација (један расте други опада) је τ = -1. Брзи опис:

   0,1 ≤ τ ≤ 0,1   нема корелације,
   0,1 ≤ τ ≤ 0,3   слаба корелација,
   0,3 ≤ τ ≤ 0,5   средња корелација, 
   0,5 ≤ τ ≤ 0,7   јака корелација,
   0,7 ≤ τ ≤ 1,0   врло јака корелација.

Кенделов тау коефицијент углавном је мање вредности од Спирмановог коефицијента (обично ознаке ρ) и бољи је за мање низове, рецимо са бар 40 чланова. Свакако веће од 6 овог показног примера. У играма, примена Кенделовог тау коефицијента је мало згоднија од претходна два. Бржи је, троши мање меморије и лакше се своди на реално-нереално, или истину-лаж током текућих процена и управљања играча ка победи.

Подсећам, у примени ове теорије на сложене игре на победу, показује се коинциденција бољег читања позиције и „реципрочног“ (правовременог, одмереног и креативаног) одговора са успехом. Још конкретније, када се може мерити специфична „количина истине“ (Packages III), она такође коинцидира са јаким деловањем.

Фебруар 2026 (English ≽)