|
|
|
Модерна рачунарска индустрија започела је откривањем ЕНИАК-а 1946. године, масивног, раног електронског рачунара, и оснивањем компанија од стране његових твораца, Џона Моклија и Џ. Преспера Екерта, затим и изградњом комерцијалних рачунара. Џорџ Бул, енглески математичар, је открио алгебру логике у својој књизи „Математичка анализа логике“ век раније, 1847. године. Тај рад као темељ модерног дигиталног рачунарства нашао је примену у електричним колима или капијама, које су овде тема.
AND OR gate » eng
Питање: Повезујете конкретно са апстрактним да бисте установили овог другог тачност?
Одговор: Тако је, између осталог (Packages III). Поредећи тврђења са нечим реалним утврђујемо да су она истинита у стварности, јер мртва природа не уме лагати. То што бисмо заиста доказивали да није тачно, не дешава се у покусу физике. Поред тога располажемо и открићем контрадикције, када имамо среће да у датом проблему на такав доказ наиђемо, а онда ту је и груба процена популарности. Има тога, а међу многих осталих можда је најзанимљивија прича логичких електро прекидача.
Једине константе алгебре логике су „тачно“ (ознака ⊤) и „нетачно“ (⊥). На пример, као ако би једина стања електричног кола била „има струје“ и „нема струје“. Прекидач који мења то стање била би негација, она „тачно“ преводи у „нетачно“ (¬⊤ = ⊥) или обрнуто (¬⊥ = ⊤). Истинитосне варијабле могу узимати само једну од две вредности константи, A, B, C, ... ∈ {⊤, ⊥}, трећег нема. Математички исказ је сложеница, тј. реченица која може зависити од више варијабли, али је такође варијабла. Оваква је „дисјункција“ (A1 ∨ A2 ∨ A3 ∨ ...), исказ који је увек тачан осим ако су му све варијабле (Ak, за све k = 1, 2, 3, ...) нетачне. Таква је и „конјункција“ (A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧ ...), исказ који је увек нетачан (⊥) осим ако су му све варијабле (Ak = ⊤, за све k = 1, 2, 3, ...) тачне. На горњој слици лево два електрична кола представљају конјункцију и дисјункцију.
Практично је уместо ⊤ користити број 1 и уместо ⊥ број 0. Дисјункција је тада збир (A + B + C), а конјункција је производ (A⋅B⋅C), када све веће од 1 бива 1, а све мање од 1 је 0. Ово добија на смислу због иначе неизбежног пада напона у колу, у објашњењу „бубица“ (грешака) раних рачунара па све до разумевања „количине истинитости“ у мојим расправама које се односе на огромне количине електричних кола, или сличних система. Негације варијабли се често означавају и са цртом изнад ($\bar{A}$, $\bar{B}$, $\bar{C}$).
Пример. На следећој слици су Де Морганови образци и видео.
Објашњење: Негација дисјункције ¬(A + B) је исказ који је тачан само са A + B нетачним, а то је када су обе (све) варијабле нетачне, односно када је нетачно и A и B, а тачна конјункција (¬A)⋅(¬B). То је прва једнакост:
¬(A + B) = (¬A)⋅(¬B), ¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B).
Други Де Морганов образац је друга од ових једнакости алгебре логике. Наиме, негација конјукције тачна је само са нетачном конјункцијом, тј. са нетачним A ∧ B. То ће бити када су обе (иначе све) варијабле нетачне, односно са тачним уједно и ¬A и ¬B, отуда њиховом дисјункцијом. ∎
Изоморфизам је пресликавање које чува структуру између математичких структура, за које постоји инверзно пресликавање. Оно утврђује да су две структуре фундаментално исте, чак и ако су им елементи различити, јер су односи између елемената очувани. То опет значи да се једна структура може преобразити у другу просто мењањем „имена“ њених елемената, на пример, променама „исказ у „коло“ и пратећих појава у случају рачунара. У томе је идеја повезивања апстрактног са конкретним ради установљења тачности првог, из насловног питања.
Canonical » eng
Питање: Логичких могућности има безброј. Како знате да су прекидачи за негацију, конјункцију и дисјункцију довољни да их све представљају?
Одговор: На слици десно је детаљ излагања о канонским логичким формама. Дат је исказ, функција F(x, y, z) са укупно 23 = 8 могућих вредности, јер њене варијабле:
x, y, z ∈ {0, 1}
могу бити од само по две логичке константе. Ма како их смислимо, избор на слици десно је неки низ попут следећег иза једнакости:
a: F(0, 0, 0) = 0 b: F(0, 0, 1) = 0 c: F(0, 1, 0) = 1 d: F(0, 1, 1) = 1 e: F(1, 0, 0) = 0 f: F(1, 0, 1) = 1 g: F(1, 1, 0) = 0 h: F(1, 1, 1) = 1
1. Обратимо пажњу само на оне ретке који дају тачно, F = 1. Издвајамо такве и правимо њихову дисјункцију (сабирамо их) у збир четири минтерма:
F(x, y, z) = c + d + f + h F(x, y, z) = x̅yz̅ + x̅yz + xy̅z + xyz
Користећи ознаке алгебре логике то исто пишемо као исказ:
F = (¬x ∧ y ∧ ¬z) ∨ (¬x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ ¬y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z)
Он се зове и нормална дисјунктивна форма. Приметимо да све вредности F = 0 излазе аутоматски уколико не дају тачност у бар некој од те четири конјункције у заградама, што значи да смо F(x, y, z) тачно дефинисали за свих осам њених могућих вредности.
2. На сличан начин издвајамо само негативне вредности функције F = 0 и формирамо њене негације:
a + b + e + g x̅y̅z̅ + x̅y̅z + xy̅z̅ + xyz̅
Ова дисјунктивна форма је негација функције, јер је ¬F = 1. Са ознакама алгебре логике пишемо је:
¬F = (¬x ∧ ¬y ∧ ¬z) ∨ (¬x ∧ ¬y ∧ z) ∨ (x ∧ ¬y ∧ ¬z) ∨ (x ∧ y ∧ ¬z)
Негирамо је, примењујемо Де Морганове образце (Пример из претходног одговора) и налазимо четири макстерма:
F = (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ ¬z) ∧ (¬x ∨ y ∨ z) ∧ (¬x ∨ ¬y ∨ z)
Ту исту вредност пишемо помоћу других ознака:
F = (x + y + z)(x + y + z̅)(x̅ + y + z)(x̅ + y̅ + z)
Ово је нормална коњуктивна форма и пише се на другачији начин, али даје једнаке вредности функције F(x, y, z) као и претходна дисјунктивна.
3. Сваки исказ математичке логике могуће је записати помоћу самих три операција {¬, ∨, ∧} и две константе {⊥, ⊤}, на више начина. То значи да се и све остале логичке операције, које користимо ради уштеде, могу свести на ове три, а свака се затим може представити логичким капијама. Тиче ли се постављено ми питање математичких истина, дакле, све што има у њеној логици има и у физичкој стварности. Питање које би могло наићи иза овога је важи ли и обрнуто? О том потом.
Логика са само две константе (тачно, нетачно) назива се двовалентна или бинарна. Међутим (у математици) постоје и поливалентне логике (тачно, можда, нетачно) где средње „можда“ може бити низ вредности, али може се она свести на бинарну. Тиме за шире вредновање истине (лажи), када радимо у веома сложеним ситуацијама, има смисла тражити еквиваленте у појавама мртве природе (Packages III). Приметимо да доказ овога следи из дискретности (атомизираности) исказа, а тај је последица дискретних појава самих информација (Packages).
Transistor » eng
Питање: Шта су стварно ти прекидачи који дефинишу електрична кола?
Одговор: Погледајте видео на слици лево који на популаран начин објашњава имитирање одлучивања у компјутерима и свођење тог на Булову логику.
Видимо два транзистора, A и B, који имају по три ножице, три проводника којима може тећи струја. Када струја долази на средњу ножицу (Input A) тада струја тече кроз вањске две транзистора (A), али када нема улаза на средњу жицу (Input B) онда нема проласка са прве на трећу (B). Инпути ка средњој жици ова два транзистора, на начин како су они распоређени у колу, симулирају конјункцију (енг. AND gate):
IA IB ∧ 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Зависно од инпута на срењим жицама транзистора A и B, на следећој слици десно, добијамо симулацију дисјункције (енг. OR gate):
IA IB ∨ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
На слици, нема струје на средњој жици ни провог (A = 0) ни другог (B = 0) транзистора, па струја не тече (A ∨ B = 0). Идеја тог распореда је иста и у неким другим прилозима који се могу учинити штедљивији жицама. Слично томе, следећи приказ лево један је од начина симулирања негације (енг. NOT gate):
I ¬ 0 1 1 0
Без инпута (I = 0) транзистор не проводи струју (Current) тако да она излази (Output = 1), али ако има инпут (I = 1) транзистор ће провести струју и њу уземљити (енг. Ground), тако да се она не појавује на регистрованом излазу (Output = 0).
Иначе, транзистор је полупроводнички уређај употребљив за појачавање или преспајање електро сигнала и снаге. Он делује као мали електронски прекидач или појачало; контролише проток струје између два терминала на основу напона или струје примењене на трећи терминал. Транзистори су основни градивни блокови у модерној електроници, у микрочиповима и разним електронским уређајима.
Брзина појединачних електрона у проводнику је веома спора, милиметар у секунди, док је брзина електричне струје (електричног сигнала) знатно већа, до 90% одсто брзине светлости. То значи да умножавањем оваквих капија рачунар постаје паметнији, међутим постаје све спорији са увидом у све исходе и мора почети процењивати шта је битно, а одбацивати пуно осталог. Већ у шаховској игри ће, колико је бољи играч више се ослонити на процене, а камо ли вештачка интелигенција у својим још сложенијим ситуацијама. Она тада мора почети грешити, лагати хтијући испуњавати своју намену, па и бивати неправедна због „нагона одржања“ (Toaster).
Circuits » eng
Питање: Реците нешто укратко о основним логичким колима?
Одговор: На слици десно видите техничке ознаке шест најчешћих логичких кола. Прочитајте линк, а даље понављам оно најважније и понешто још што тај прилог не помиње.
NAND коло, или ¬(A ∧ B), негира конјункцију. Даје излаз једино са оба активна инпута активна. Она се пише и са ¬A ∨ ¬B када се види њен запис негацијама и дисјункцијом. NOR коло, или ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B, је негација дисјункција а ову десну страну једнакости дају Де Морганови образци. XOR коло, или ексклузивна дисјункција је тачна само ако њене варијабле нису једнаке. То је (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B), према Canonical (1).
Сваки од додатних прекидача могуће је симулирати помоћу негације ¬A, дисјункције A ∨ B и конјункције A ∧ B, али откривамо их и производимо ради уштеде ресурса, времена и бољег одлучивања рачунара у условима велике сложености захтева и поплаве података. У даљем се том развоју неће моћи ићи само на пуко штанцање прекидача, него ће бити потреба за иновативним математичким открићима на начине тежње природе за мањом комуникацијом. Потребне су новија открића, попут теорије шест степени раздвајања, можда овде минимализма.
Fredkin II » eng
Питање: Да ли бисте написали нешто о Фредкиновом колу?
Одговор: Да, а већ сам писао у овом блогу (Fredkin), а и у књизи Квантне Механике (стр. 28). Фредкиново коло, односно капија са контролисаном заменом (CSWAP), на слици горе, је реверзибилна логичка капија са три улаза и три излаза која замењује последња два бита када, и само када је први бит 1. Универзална је и чува број јединица и нула, чиме је добра за реверзибилно и квантно рачунарство јер не губи информације.
1. Кратки запис слике лево је:
|000⟩ → |000⟩ |100⟩ → |100⟩ |001⟩ → |001⟩ |101⟩ → |110⟩ |010⟩ → |010⟩ |110⟩ → |101⟩ |011⟩ → |011⟩ |111⟩ → |111⟩
2. Кјубит |abc⟩ је запис три бита, а значи њихову суперпозицију. Када је бит a = 0 тада се b и c не мењају:
a = 0: b → āb + ac = 1⋅b + 0⋅c = b a = 0: c → ab + āc = 0⋅b + 1⋅c = c
Али, ако је бит a = 1 тада b и c замене своје вредности:
a = 1: b → āb + ac = 0⋅b + 1⋅c = c a = 1: c → ab + āc = 1⋅b + 0⋅c = b
Дакле, формуле на слици лево су тачне, а такође и запис помоћу кјубита. Из (1) табеле пресликавања кјубита видимо да је то бијекција (обострано једнозначно), да је Фредкиново коло реверзибилна логичка капија.
3. Матрица унитарне трансформације за три кјубита има формулу:
U = |φ0⟩⟨000| + |φ1⟩⟨001| + |φ2⟩⟨010| + |φ3⟩⟨011| + + |φ4⟩⟨100| + |φ5⟩⟨101| + |φ6⟩⟨110| + |φ7⟩⟨111|.
Уврштавањем, налазимо:
$$ U = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$Ово читамо из табеле кјубита (1), сада ознаке |φk⟩ где k = 0, 1, ..., 7 означава редом по једну од осам врста (такође ступаца, матрица је унитарна). Ово је матрица Фредкинове капије.
4. Вектори |φk⟩ чине стандардну базу, са 1 на k-тој позицији и осталим 0, а представљају 3-цифрен бинарни запис декадног броја k:
010 → 0002 110 → 0012 210 → 0102 310 → 0112 410 → 1002 510 → 1012 610 → 1102 710 → 1112
На пример, имамо матрично множење U⋅610 = U⋅1102 = 1012 = 510, или:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. $$Тако трасирамо рачунарство: логика → техника → алгебра матрица.
Qubit II » eng
Питање: Шта је кјубит?
Одговор: Пробаћу тај кјубит сада, надам се, још мало појаснити. То је јединица информације унутар квантног рачунарства, као што је бит (BInary digiT) класичног. За разлику од класичног бита, који може бити тек 0 или 1, кјубит је суперпозиција оба истовремено. Овакво својство даје рачунарима способност да складиште, или да обрађују знатно више информација и потенцијално је убрзање решавања одређених сложених проблема.
1. Један кјубит има два бита. Понашају се као позиције бројева писаних у бинарном систему, где једном цифром можемо написати два броја {0, 1}, са две цифре четири бинарна броја {00, 01, 10, 11}, са три цифре (као што смо видели са горњом матрицом) осам бројева, а уопште са n = 1, 2, 3, ... бинарних цифара пишемо 2n различитих вредности. Свака од n позиција може имати једну од две цифре (0 или 1), па у низу имамо 2⋅2⋯2 укупно n фактора двојки и толико различитих распореда. Како у рачуну кјубита експоненцијално расте број комбинација, тако расте и брзина рачунања квантних компјутера у односу на класичне.
2. Када кјубите пишемо бинарним бројевима у кет загради, на пример уз претходну матрицу (Fredkin II, 4), подразумевамо стандардну нотацију. Тада, у случају једноцифреног кјубита, обично је:
$$ |0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. $$Међутим, ови вектори су само база за представљање разних линеарних комбинација са комплексним скаларима, које пишемо:
$$ |\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle. $$Ово је суперпозиција писана кјубитима, која би се у случају интеракције сводила (колабирала) у један од два исхода вероватноћа |α|² и |β|², што значи да је |α|² + |β|² = 1, а ови бројеви могу бити комплексни (α, β ∈ ℂ). То је са становишта већ измереног стања. Али, мерење може и да омане, или да се интеракција уопште не деси, па у томе теоријском стању (пред исход случајног догађаја) постоји и трећа вероватноћа — да до тражене комуникације са околином неће доћи. Ово се у литератури (углавном) и не помиње.
3. Додатни начини писања кјубита су помоћу тензорског множења. Тако |0⟩⊗|0⟩ постаје |00⟩, или |0⟩⊗|1⟩ = |01⟩, па |1⟩⊗|0⟩ = |10⟩, а |1⟩⊗|1⟩ = |11⟩. Називамо их и Кронекерови производи. Даље множење иде једноставно, на пример:
|ψ1⟩⊗|ψ2⟩ = (α1|0⟩ + β1|1⟩)⊗(α2|0⟩ + β2|1⟩) = = α1α2|0⟩⊗|0⟩ + α1β2|0⟩⊗|1⟩ + β1α2|1⟩⊗|0⟩ + β1β2|1⟩⊗|1⟩ = α1α2|00⟩ + α1β2|01⟩ + β1α2|10⟩ + β1β2|11⟩.
Сада имамо четири исхода суперпозиције са вероватноћама |αjβk|² ≥ 0 индекса j, k ∈ {1, 2} и збира:
|α1α2|² + |α1β2|² + |β1α2|² + |β1β2|² = = |α1|²(|α2|² + |β2|²) + |β1|²(|α2|² + |β2|²) = |α1|²⋅1 + |β1|²⋅1 = 1.
Дакле, оне такође чине суперпозицију, односно једну добро дефинисану расподелу вероватноћа по Борновом закону, што констатујемо пошто се заврши мерење.
4. Занимљив „геометријски“ начин представљања јединичних кјубита је помоћу Блохове сфере. Сфера јединичног полупречника је са центром у исходишту правоуглог система Oxyz са вектором |0⟩ у горњем положају, али са |1⟩ у доњем тако да то нису само супротни вектори, него, рецимо, репрезентације горњег и доњег спина честице.
На пример, када је угао тих кјубита према вертикалној z-оси θ = 90°, тада су пројекције на z-осу редом $\cos(\theta/2)|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle$ и $\cos(\theta/2)|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |1\rangle$, а они су међусобно окомити вектори. Њихов збир:
$$ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle $$је линеарна комбинација и такође је суперпозиција (расподела), јер:
$$ |\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 + |\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = \frac12 + \frac12 = 1. $$На горњој слици десно, видимо тај вектор |ψ⟩ у окомитој равни (Oxy) на вертикалну (Oz) осу.
Bloch sphere » eng
Питање: Објасните ми X, Y и Z капије Блохове сфере?
Одговор: Слика лево је Блохова, јединична сфера са центром у O исходишту оса правоуглог Оxyz система координата. Горе и доле на продору z-осе са сфером стоје кјубити (квантни бити):
$$ |0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. $$Они су ортогонални вектори, тј. ⟨0|1⟩ = 0, а не супротни као што би било у класичним системима. На пример, представљају горњи и доњи спин честице. Раван Oxy је окомита на вертикалну z-осу и овде представља ℂ, комплексну раван са реалном x и имагинарном y осом. Назива се „фаза“, ево зашто.
1. X, Y и Z капије на Блоховој сфери су квантне капије са једним кјубитом које врше ротације од 180 степени око X, Y и Z оса, респективно. X капија је операција обртања битова, док Y и Z капије такође уводе фазне помаке у кјубит. Такве ротације су фундаменталне за манипулацију кјубитима у квантном рачунарству, при чему су Паулијеве матрице (капије), које тада означавамо са:
$$ X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$неопходне за алгоритме и квантну корекцију грешака. Оне су ротације вектора за 180° редом око три осе.
2. На пример, ротација |ψ⟩ из претходног одговора за 180° око z-осе:
$$ Z|\psi\rangle = Z(\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}Z|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}Z|1\rangle = $$ $$ = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $$ = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle $$даје резултат „коњугован“ почетном. Вектори |ψ⟩ и Z|ψ⟩ се понашају као коњуговано комплексни бројеви. Делујући са Z поново на резултат Z|ψ⟩ добијамо почетни вектор, Z(Z|ψ⟩) = |ψ⟩, јер овај вектор лежи у „фази“, тј. у равни окомитој на z-осу. Окретање у тој комплексној равни аналогно је фазном кретању таласа.
3. У комплексној равни Блохове сфере, вектор (|0⟩ + |1⟩)/√2 има смер x-осе и (|0⟩ + i|1⟩)/√2 има смер y-осе, а оба су јединична. Необичност је:
X(α|0⟩ + β|1⟩) = β|0⟩ + α|1⟩, Y(α|0⟩ + β|1⟩) = -iβ|0⟩ + iα|1⟩,
али она значи да су X и Y капије (матрице) ротације вектора редом око x и y за по 180°. То значи да су све три ове капије (X, Y и Z) инверзне саме себи (X² = Y² = Z² = I), јер два пута примењене ротирају вектор за пуни круг, за 360°. То проверите и непосредним множењем, тј. квадрирањем ових (иначе Паулијевих) матрица.
Уопште је кјубит у Блоховој сфери:
$$ |\psi\rangle = \cos\frac{\theta}{2}\ |0\rangle + e^{i\phi} \sin\frac{\theta}{2}\ |1\rangle $$где је θ угао отклона вектора |ψ⟩ од z-осе, а ϕ је угао у x-y равни. Ови параметри се пресликавају у 3D вектор, познат као Блохов вектор:
r = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ)
а било којем чисто кјубитном стању одговара јединствена тачка на површини сфере.
4. Са квантним компјутерима покушаваћемо да „украдемо“ ефикасност и организованост природе, али је проблем што ће она стално измицати, јер је и случајност њој својствена, објективна је појава. Слично немогућности поштења (Honesty), неће нама бити довољно постићи екстремну физичку штедљивост јер ћемо заостајати и због неизбежних неизвесности које ће нам природа повремено правити. Као и истина нама виталнима, тако је реалност неухватљива свм учесницима, живим или неживим. Међутим, они који спадају са текућег тока не губе се само у „лажима“, него полако стварно заостају. Неживе физичке појаве за актуелном димензијом, док живе додатно и од својих намера, првобитних циљева.
Toffoli » eng
Питање: Да ли је Тофоли коло три-кјубитно као и Фредкиново?
Одговор: Да, Тофолијево коло, познато и као CCNOT капија, је логичка капија са три кубита која мења стање циљног излаза акко су оба контролна улаза у стању 1. Коло је реверзибилно квантно и може симулирати сва класична логичка кола, а и универзално је када се упари са другим. Писао сам о томе (Квантна Механика, стр. 27).
1. Објаснићу детаљно, а пре тога подсетимо се ексклузивне дисјункције. Ексклузивна дисјункција је логички оператор који је тачан само када је један од његових услова тачан, али не оба. Често се назива „искључиво или“ (XOR) и нетачан је ако су оба услова тачна или ако су оба нетачна. На пример, исказ попут „Данас је или петак или субота“ је ексклузивна дисјункција, јер може бити само једно или друго, не оба. Ево табеле:
A B ⊕ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
Пишемо такође, на пример, ⊤ ⊕ ⊥ = ⊤ или ⊤ ⊻ ⊤ = ⊥.
2. Друго, поновимо и конјункцију. Логичка конјункција је операција над двема исказима која је тачна ако и само ако су оба исказа тачна; иначе је нетачна. Представља се симболом ∧ и чита се као „и“. На пример, ако је исказ a „хладно је“ и исказ b је „пада снег“, њихова конјункција, a ∧ b, је „хладно је и пада снег“. Табела конјункције је:
a b ∧ 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Пишемо је такође, на пример, ⊤ ∧ ⊥ = ⊥ или ⊤ AND ⊤ = ⊤.
3. Коначно, Тофоли операција је ексклузивна дисјункција конјукција, односно a3 ⊕ (a1 ∧ a2). Табела Тофоли је:
a1 a2 a3 T 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
Ову табелу можемо написати као функцију:
$$ \text{T}(a_1, a_2, a_3) = \begin{cases} (a_1, a_2, \neg a_3), & a_1 = a_2 = 1, \\ (a_1, a_2, a_3), & \text{иначе}. \end{cases} $$Отуда и једноставнија Тофоли функција:
$$ \text{T}'(a_3) = \begin{cases} \neg a_3, & a_1 = a_2 = 1, \\ a_3, & \text{иначе}. \end{cases} $$Ова функциjа, T или T', ниjе повратна, jер не чува информациjу о првоj и другоj вариjабли (a1 и a2). Али jесте универзална, ево како:
Негација: T(1, 1, a3) = a3 ⊻ (1 ∧ 1) = a3 ⊻ 1 = ¬ a3, Конјункција: T(a1, a2, 0) = 0 ⊻ (a1 ∧ a2) = a1 ∧ a2 → a3.
Дисјункција је ту сложенија и користи, на пример, Де Морганове законе, A ∨ B = ¬(¬A ∧ ¬B). Комбиновањем три Тофолијеве капије изражавајући негацију и конјукцију, гради се коло које обавља дисјункцију.
4. Унитарна матрица која пресликава векторе, попут U|110⟩ = |111⟩, биће:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. $$Број |a1a2a3⟩ је бинарно писани редни број ретка матрице U, а једнако и вектора у пресликавању. Ова матрица преводи редне, декадне бројеве, а њихове бинарне записе, 610 = 1102 у 710 = 1112, када се бинарни 3-цифрен чита као 3-кјубит. Она пресликава табелу (3) на начин као и Фредкинова унитарна матрици (Fredkin II, 3).
5. Видели смо (Canonical) да сваку логичку реченицу може представити негација, дисјункција и конјункција, а сада разумемо да је то могуће и са самом негацијом и конјункцијом. Невероватно је да таква једноставност може исказати толику сложеност, а онда додатно налазимо да је до истог постигнуће могуће доћи и самом Тофоли функцијом. У природи маленог света откривамо ту новост кодирања свега.
Hadamard » eng
Питање: Зашто не напишете нешто о капијама простих кјубита?
Одговор: Па, писао сам о таквима и у овом блогу (Bloch sphere), тад о ротацијама X, Y и Z око три осе Блохове сфере, а да не спомињем колико пута сам их помињао пре тога као Паулијеве матрице (Spin III, 10) σx, σy и σz, на пример.
1. Укратко, узимамо стандардна два проста следећа кјубита:
$$ |0\rangle = \binom{1}{0}, \quad |1\rangle = \binom{0}{1}. $$Ови кјубити чине ортонормиран скуп вектора, базу векторског простора: ⟨0|0⟩ = 1, ⟨0|1⟩ = 0, ⟨1|0⟩ = 0 и ⟨1|1⟩ = 1. Њима формирамо остале векторе у простору којег разапињу, линеарне комбинације |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ = $\binom{\alpha}{\beta}$, са α, β ∈ ℂ произвољним скаларима. Затим су ротације око Блохових оса:
$$ X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$за које лако проверавамо X|0⟩ = |1⟩ и X|1⟩ = |0⟩, па X|ψ⟩ = $\binom{\beta}{\alpha}$. Проверите такође Y|0⟩ = i|1⟩ и Y|1⟩ = -i|0⟩, или Z|0⟩ = |0⟩ и Z|1⟩ = -|1⟩.
2. Хадамарова капија је:
$$ H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{X + Z}{\sqrt{2}}. $$Она делујући на стандардне кјубите, |0⟩ и |1⟩, који су горе и доле Блохове сфере, даје предњи и задњи положај (x-осе), посебне векторе:
$$ H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle \equiv |+\rangle, $$ $$ H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle \equiv |-\rangle. $$Лако се провери да узастопна примена две Хадамарове капије на основне кјубите даје те исте кјубите, H(H|0⟩) = |0⟩ и H(H|1⟩) = |1⟩. Отуда налазимо H(H|ψ⟩) = |ψ⟩ за њихову произвољну линеарну комбинацију (Линеал). То значи да је Хадамарова операција сама себи инверзна.
3. Када се примени на кубит иницијализован у класичном стању, као што је |0⟩ или |1⟩, Хадамардова капија га измени у једнаку суперпозицију оба стања. Она је отуда фундаментални градивни блок квантних алгоритама, првенствено за креирање суперпозиција и омогућавање паралелизма, тј. обраду више могућности одједном у квантним прорачунима.
Квантна Фуријеова трансформација (QFT, краће Q) је квантно рачунање, квантни аналог класичној дискретној Фуријеовој трансформацији (DFT):
$$ Q(|x\rangle) = \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=0}^{n-1} e^{2\pi i xk/n}|k\rangle. $$QFT, овде Q, извршава се као коло квантне Фуријеове трансформације. Оваква се састоји од низа Хадамарових и контролисаних капија фазног померања. Улазно квантно стање се пресликава у суперпозицију базних стања, кодирајући Фуријеове коефицијенте, а за квантни регистар са n-димензионалним стањем базних вектора (|0⟩), |1⟩), ..., |n⟩)), где је вектор x укупна суперпозиција представљена датом једначином.
4. Квантним компјутером бисмо да симулирамо природне токове микро-света. Држећи се суперпозиције, јер је њена укупна информација једнака једном од исхода након колапса, штедимо дејство (производ енергије са протеклим временом) размењиво интеракцијом и уједно обрађујемо низ могућности (садржаној у суперпозицији кјубита). Отуда та супериорност брзине квантних компјутера против класичних, у ситуацијама сложених обрада података, која расте експоненцијално. Међутим, експененцијалне расподеле имају максималне информације са задатим очекивањем, што је потенцијална нежељена ситуација природи која их у изјашњавању не жели. Ово, пак, прави разне препреке градњи великих суперпозиција.
2-Qubit » eng
Питање: Каква је разлика између простог кјубита и 2-кјубита?
Одговор: Разлику између један-кјубита и два-кјубита приказује слика десно. Суперпозиције, па можемо рећи и 2-компонентни вектори $\vec{a} = \binom{\alpha_1}{\alpha_2}$ и $\vec{b} = \binom{\beta_1}{\beta_2}$, су:
|α1|² + |α2|² = 1, |β1|² + |β2|² = 1,
односно расподеле вероватноћа са само по два исхода. Међутим, њихов је тензорски производ $\vec{a}\otimes\vec{b}$ расподела вероватноће са четири исхода, а што је недавно показано (Qubit II, 3). Разликујмо тензорско множење $\vec{a}\otimes\vec{b}$ од „или-или“ исказа A⊕B који је „тачан“ само када су A и B различити, даље у следећа два примера.
1. Пример 2-кјубита је квантно CNOT коло, на слици лево, са два улаза (x, y) и два излаза (x, x⊕y). Први остаје исти, а други се мења акко је једнак првом. Даје четири реда бинарних бројева:
|00⟩ → |00⟩ |01⟩ → |01⟩ |10⟩ → |11⟩ |11⟩ → |10⟩
Ово дефинише четири линеарне једначине из којих изводимо унитарну матрицу, на пример, U|10⟩ = |11⟩, за трећи ред:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. $$Она тако (декадно и бинарно писан) број 310 = 102 пресликава у 410 = 112.
2. Други пример 2-кјубита дају капије Белова стања. Таква се односе на Хадамарове и CNOT капије заједно које максимално спрежу пар кјубита, слика десно. Примењује Хадамардову капију на прво стање тако да добијемо суперпозицију 50/50, потом иде C-NOT капија и други кубит |0⟩ који делује као контролни.
У првом кораку, Хадамарова капија мења |x⟩ = |00⟩ = (1, 0, 0, 0)⊤ у стање суперпозиције (H|0⟩)|0⟩, односно |y⟩ = (H⊗I)|x⟩, где је:
$$ H\otimes I = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}. $$Множењем |x⟩ матрицом H⊗I добијамо вектор |y⟩ = (1, 0, 1, 0)⊤/√2 што је прва колона матрице. Затим се примењује претходна CNOT капија, њена унитарна матрица U да добијемо |z⟩ = U|z⟩ = (1, 0, 0, 1)⊤/√2. Овај вектор се може писати у облику:
$$ |z\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}} \equiv |\Phi^+\rangle, $$а то је квантно Белово стање, тзв. фи-плус.
3. На слици лево је шема капије тзв. фи-минус квантног Беловог стања:
$$ (I\otimes Z)|\Phi^+\rangle = $$ $$ =(I\otimes Z)U(H\otimes I)(|0\rangle \otimes |0\rangle = \frac{|00\rangle - |11\rangle}{\sqrt{2}} \equiv |\Phi^-\rangle. $$Ако уместо Z капије употребимо X капију добијамо пси-плус стање:
$$ (I\otimes X)|\Phi^+\rangle = (I\otimes X)U(H\otimes I)(|0\rangle \otimes |0\rangle = $$ $$ = \frac{|01\rangle + |10\rangle}{\sqrt{2}} \equiv |\Psi^+\rangle. $$Коначно, ако у овом случају на X капију надовежемо Z капију, добијамо пси-минус стање:
$$ (I\otimes Z)|\Psi^+\rangle = \frac{|01\rangle - |10\rangle}{\sqrt{2}} \equiv |\Psi^-\rangle. $$Пси-плус (\(|\Psi ^{+}\rangle \)) и пси-минус (\(|\Psi ^{-}\rangle \)) стања су два од четири максимално испреплетена (квантно спрегнута) Белова стања са два кубита, основа су за описивање уопште квантних стања два кубита.
4. Оно што би даље било занимљиво биле би и Шенонове информације, рецимо у случајевима један и два-кјубита:
Sa = -|α1|²⋅ln |α1|² - |α2|²⋅ln |α2|², Sb = -|β1|²⋅ln |β1|² - |β2|²⋅ln |β2|², Sa⊗b = -|α1β1|²⋅ln |α1β1|² - ... - |α2β2|²⋅ln |α2β2|²,
односно упоређивање вредности таквих бројева. Већа информација мање је пожељна у случају колапса, па њеним усложњавањем ова потенцијална непријатност биће већа. Другим речима, спонтана тежња суперпозицији и избегавања колабирања је последица минимализма. Такође и обрнуто, због истог постоји и спонтана тежња ка мање сложеној суперпозицији. А то су теме овде на још један, веома другачији начин (In and Out).
Entanglement II » eng
Питање: Зашто капије 2-кјубита (2) и (3) називате запетљаним (квантно спрегнутим)? Можете ли, молим вас, разјаснити ову запетљаност лаику попут мене, на једноставан и детаљан начин? Никада ми није била јасна.
Одговор: Прецизније речено, те капије нам говоре о максимално испреплетеним (квантна спрега) Беловим стањима са два кубита. Одговорићу, али прво погледајте видео, линк на слику десно, који једноставно објашњава квантну запетљаност (спрегнутост) и евентуално мој прилог (Entanglement) који такве појашњава, или мало другачије објашњава.
1. Приповедач тог видеа каже, наручили сте хотдог и хамбургер и добили их у два иста пакетића. Ви тада не знате шта има у којем од два паковања, али када отворите први и видите хотдог, ма како они тада били удаљени, ви знате да је у другом хамбургер. Слична томе биће квантна уплетеност. Додајем, ако су догађаји истовремени то значи да су њихови одговори на вањске утицаје истовремени, тј. делујемо ли на једног значи да делујемо и на другог, ма како нама они тада били удаљени.
Ову квантну повезаност догађаја открио је Ајнштајн (Парадокс, 1935). Он је њу коментарисао као „језиву акцију на даљину“ због чега је посумњао у математичке основе квантне механике. Замислио је пар рукавица, леву и десну, у два једнака пакета послата на различита места. Не знамо у којем пакету је лева у којем је десна, док не отворимо један од пакета, али тада истовремено сазнајемо садржај оба, ма како две пошиљке у том тренутку биле удаљене. Да то сазнање не би било брже од светлости, Ајнштајн даје предлог „скривених параметара“ у поменутим основама. Међутим, Бел је (Теорема, 1964) доказао да ови параметри не решавају тај проблем. Даље је прилог (кликните на слику лево) који препричава тај део физике.
2. Наратор видеа испред себе има две кутије A и B од којих се свакој може убацити било новчић од 1 £ (фунте) или 2 £, како би из кутије свеједно искочила фигурица зеца или пса. Замишља даље да се тим кутијама играју Алиса (кутија А) и Боб (B). Међутим, важе следећа три правила (Беловог доказа):
i. Ако Алиса убаци новчић 1 £, њена кутија даће зеца; ii. Ако обоје, Алиса и Боб, у своје кутије убаце по 2 £ новчиће, кутије ће избацити по једног зеца и пса, небитно који из које; iii. Свака друга комбинација даће пар зечева, или пар паса.
На тој слици лево видимо четири могућности са четири пара кутија A-B. Када Алиса у своју кутију (A) ставља новчић од 1 £ и, сходно правилу (i), добија зеца, тада Боб добија зеца. Зец је дакле у првој, другој и четвртој колони, због правила (iii), па још једна комбинација пас-зец, као горњем десном пару, није могућа. Штавише, шта год урадили, Алиса и Боб, овај проценат од 75% не могу поправити.
3. На први поглед ова квантна повезаност подсећа на узроке-последице теорема у математици. Такве законитости су такође „истовремене“, као физичке појаве биле би свевременске или одједном свугде присутне. Ту често наилазимо на неочекиване закључке, контраинтуитивне, или оне који оповргавају дугогодишње претпоставке. На пример, 1110:6 = 185, а 11101:17 = 653 и користимо Дирихлеов (Pigeonhole) принцип, препричан: када имамо 11 голубова и 10 кавеза и сви голубови су у кавезима, онда ту има кавез са бар 2 голуба. Па одједном, имамо следећи став.
Теорема. Сваки природни број је вишекратник неког броја који садржи само цифре 0 или 1.
Доказ: Нека је дат n ∈ ℕ. Посматрајмо низ 1, 11, 111, ..., 11...1 (n чланова). Када бројеве низа делимо са n остаци дељења могу бити 0, 1, ..., n-1. Ако имамо 0 тврђење теореме је тачно. Када није 0, тада је један од осталих остатака, али бројева датог низа има више од њихових остатака. Према Дирихлеовом начелу, постоје бар два броја са истим остатком. Њихова разлика је дељива са n, а та разлика је број само цифара 0 и 1. ∎
Попут „квантне повезаности“, већ и само Дирихлетово начело, као и ова теорема примери су сличне „математичке повезаности“. Међутим, овој другој потребан је додатак неизвесности да буде ближа првој. Знамо да Алиса мерећи, иначе пре тога непредвидљив, спин једне од „повезаних“ честица истовремено одређује спин оне друге ма како далеке од прве. То би било како када бисмо на случајан начин бирали могуће претпоставке (аксиоме, теореме) одређујући тиме друге (аксиоме, теореме). При томе претпостављајући да су избори првог толико различити да проузрокују (ограничена) изненађења у последицама другом учеснику такве игре.
4. Пример. Датој јединичној дужи на случајан начин бирамо две тачке прелома. Нађимо вероватноћу да се тим одсечцима, страницама, може формирати троугао?
Решење: Нека је прва тачка од почетка удаљена за x, а друга за y. Први случај, ако је x ≤ y, имаће троугао страница x, y - x и 1 - y. Ово је могуће ако важе неједнакости троугла (страница је мања од збира остале две):
x < (y - x) + (1 - y), (y - x) < x + (1 - y), (1 - y) < x + (y - x).
Отуда налазимо, редом:
x < 1/2, y < x + 1/2, y > 1/2.
Резултат је зелено шрафирани, горњи троугао на слици десно. Има 1/8 површине јединичног квадрата, 0 < x, y < 1. Други је случај, y ≤ x, симетричан овом, смеђи нижи троугао и још 1/8. Дакле, вероватноћа да ћемо са насумичним тачкама исећи троугао је 1/4, тј. 25 одсто. ∎
Ово је попут горе помињане могућности дириговања Алисе исходима код Боба, на основу Белове теореме. Мерећи неизвестан спин првог електрона на месту A, постаје известан спин са њим квантно повезаног електрона на месту B. Не само као математичка извесност, претпоставке → последице, него динамички, физикално, повезаних себи истовремених електрона, а са Алисом и Бобом који не деле истовременост таквих електрона, можда реда величине кретања електрона унутар атома или мањом.
5. Идеја о „квантној спрегнутости“ као особини „садашњости“ је предлог физици из ове теорије. Садашњост сматрам релативом (Ајнштајн, 1905), па и Хајзенбергову неодређеност (ΔE⋅Δt ≈ h), да краћи периоди (Δt) иду са већим разменама енергије (ΔE) и обрнуто, тако да је производ таквих реда величине Планкове константе (h = 6,62607015 × 10-34 m2 kg/s). То значи да садашњост има „дебљину“ релативног трајања и која зависи од енергије честица које представља. Грубо процењено, трајање садашњости (Δt) је реда величине трајања интеракције.
Када се две честице из контакта разилазе, оне су у истој садашњости коју њихова околина види другачијом. Збуњује нас „истовременост“ њихових реакција када их видимо раздвојене, удаљене и као различита догађања. Даље од нас више нам је у прошлости, отуда све сложеније тело све теже може бити у некој својој истовремености. Али, када му то успева, што је веће енергије (ΔE), садашњост је тања, краћа им је „истовременост“.
Spooky II » eng
Питање: Како је могуће да спрегнути електрони комуницирају брже од светлости, а да не комуницирају брже од светлости?
Одговор: Ха, ха, не комуницирају они, него корелирају. Како бисмо упоредили резултате мерења или било како потврдили евентуалну корелацију „квантно повезаних“ електрона рабимо информацију која није бржа од светлости.
Линк слике лево води на прилог о дифракцији таласа-фотона иза једног прореза. Исто објашњење може послужити и у случају таласа електрона, штавише, посебно једине честице. Док имамо таласну функцију |ψ⟩ немамо честицу све до могуће интеракције, тзв. колапса суперпозиције, односно предаје информације која је у пакету. Сва информација неизвесности, рецимо, бацања коцке, једнака је информацији једног од исхода, на пример, падању „броја три“. То знамо већ из Шенонове дефиниције информације, а аналогно важи и овде у случају изјашњавања суперпозиције.
Оно што је Ајнштајн (1947) у писму Максу Борну називао „језивим“ у том концепту је, рецимо, колапс укупне дифракције тог екрана десно у једну честицу. Прецизније речено, то је питање како други делови тог таласа-електрона знају да је дошло до интеракције и формирања једне честице-електрона, па одустају и предају се тој новонасталој јединки? Ово је део проблема који је Ајнштајна мучио од 1927. године (Солвеј конференција), па и након 1935. године када је објавио АПР, данас свој чувени парадокс (Gloves).
Таласна функција |Ψ-⟩ = (|01⟩ - |10⟩)/√2, односно детаљније:
$$ |\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A\otimes|1\rangle_B - |1\rangle_A\otimes|0\rangle_B) $$након интеракције даје две честице, на првој и другој позицији, редом A и B. Ако је укупни спин ове дупле-честице 0, а мерен на месту A, рецимо +1, онда је -1 евентуално мерено на месту B. Да бисмо били информисани о оваквом исходу потребно је довести податке на исто место, а тај процес онда тече брзином не већом од брзине светлости. Дакле, имамо дато |Ψ-⟩ као суперпозицију дво-честице, или корелацију „различитих“ честица по мерењу.
Теоријско усклађивање тих различитих је истовремено, а практично исто утврђујемо мерењем у којем нема преноса информације, односно дејства, бржег од светлости. Заправо, слично се догађа и са узрочно-последичним појавама у физичким законитостима. Наиме, ако у опиту на једном месту установимо да из X следи Y, а „знамо“ да је та законитост очекивана и на другом месту, потврда очекивања долази нам као информација која није бржа од светлости. Ово разликујмо од „дебљине“ садашњости (в. прошли одговор), рецимо у времену израчунавања последице (брзог компјутера), односно времену потребном самој интеракцији.
Ваше питање и сличне нејасноће о квантној спрегнутости долазе из слабо знаног нам односа суперпозиције (таласа пре интеракције) и стања након колапса (честице након интеракције). Расподела и исход једним су делом добро поређење, али расподела вероватноће има само један исход, док се суперпозиција може свести на више честица. Друго, до колабирања сама суперпозиција је виртуелна честица, она не преноси импулс, спин и све оне појаве за које важи закон одржања, па је по дефиницији реалности не сматрам стварном. Свет се према томе дели на стварни и нестварни део, на реалност и фикције, или истине и лажи.
Under Cover » eng
Питање: Да ли су нестварне појаве исто што фикције и лажи?
Одговор: Не верујем. У прошлом одговору који помињете, новина је можда она подела „постојећих“ појава на стварне и нестварне. У овим другима поред виртуелних честица већ разликујем фикције од појединих неистина. Развијам гледишта информатике која виде жива бића таквима каква су, као спој лажи и материје, али бежим од метода психологије, социологије или политике. Држим се математике, теоријске физике и сличних у тим разматрањима, попут алатки и циља.
1. Две честице могу остати квантно повезане преко огромних удаљености, чак и преко галаксија, кроз појаву која се назива квантна уплетеност. Ако су честице тако спрегнуте одлике су им повезане тако да мерење на првој тренутно утиче на другу, без обзира на њихову евентуалну удаљеност. Та веза је бржа од светлости и није материјални сигнал који се креће између њих (Spooky II), концепт који је Ајнштајн чувено назвао „сабласно дејство на даљину“. Ово нам говори о разлици „подземне“ и „надземне“ физике.
Током спрегнутости, њихова таласна функција |Ψ±⟩ = (|01⟩ ± |10⟩)/√2 као и особине говоре нам о „неразлучивости“ која тада значи да нема начина да се означи поједина од њих. У случају знака плус, ова таласна функција |Ψ+⟩ је симетрична, јер заменом места честице она остаје иста, а у случају знака минус, она је антисиметрична Ψ-(x1, x2) = -Ψ-(x2, x1). Прва говори о бозонима, а друга о фермионима. Први могу бити исти на истом месту, а други не. То важи када су они „стварне“ честице (након интеракције), али не и док су „нестварни“ таласи (пре интеракције). Ево једног примера.
2. Видео Quantum Physics популарно објашњава бозоне и фермионе, али без таласне једначине пара честица коју ћу сада навести. Шредингерову једначину са појединостима решавања разних потенцијалних препрека за једну честицу наћи ћете у књизи Квантна Механика (стр. 314-323), па овде могу мало убрзати тај рачун.
Посматрајмо два електрона у потенцијалној рупи, потенцијала V(x) = 0 положаја -L/2 < x < L/2, а потенцијала V(x) = ∞ изван ове тзв. рупе, или кутије. Ради мањег рачуна претпостављамо да се електрони не одбијају међусобно и формирамо њихову Шредингерову једначину:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x_1,x_2,t)}{\partial x_1^2} - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x_1,x_2,t)}{\partial x_2^2} = E\Psi(x_1,x_2,t). $$Упоређујући са решењима из књиге, или непосредно решавајући ову парцијалну једначину (раздвајањем варијабли), налазимо:
$$ \Psi(x_1, x_2, t) = A\sin\left(\frac{2\pi x_1}{L}\right) \cos\left(\frac{2\pi x_1}{L}\right) e^{-iEt/\hbar}, $$или у другом облику где су само синус и косинус заменили места. Обе имају исту енергију:
$$ E = \frac{\hbar^2}{L^2}\frac{\pi^2}{L^2}(2^2 + 3^2). $$Иако су то физички различите честице оне су овде неразлучиве.
Интерпретација таласне функције је вероватноћа |Ψ(x1, x2)|² dx1 dx2. To je густинеа |Ψ(x1, x2)|² у малој области пута њена површина dx1dx2. Ово је вероватноћа да је прва честица на месту x1 у интервалу dx1, а друга на месту x2 у распону dx2. Поменути видео објашњава зашто „идентичне“ и „неразлучиве“ честице нису исто, па погледајте. Наведене две, Ψ(x1, x2), су неразлучиве.
3. Квадрирањем, |±Ψ(x1x2)|², губи се предзнак у густини вероватноће, па за ову функцију постаје небитно да ли је честица симетрична (бозон) или је антисиметрична (феримион). То даје још једну разлику суперпозиције таласа и честице након колапса. Квантно спрегнуте честице губе штошта од оног идентитета којег би имале у „горњем“ свету, међутим, ту разлику оне чувају за евентуално „израњање“ (колапс). Ову особину немају лажи, које дефинишем као непостојане, нити је имају разне фикције.
Ова примедба подиже нова питања, рецимо, да ли су појаве „подземне“ физике повезане са неким нефизичким, пре свега, нашим фантазијама. Не верујем да су оне исто што и фикције, али занимљиво је истражити блаже могућности. Будући да је квантна спрега датих честица далеког домета, све присутна је попут законитости, па је можда и пријемчива за „слепе путнике“ кратког трајања, налик неистинама. Подсећам, теорија коју истражујемо третира нашу садашњост као објекат са неизвесношћу према својим садржајима и ка спољашности и у односу на вањски свет.
4. Квантна спрегнутост је много чешћа појава него што се обично мисли. Полазећи од тога да је то особина истовремености и да је за два догађаја могуће наћи „тежиште“ за такав однос. Садашњост чине блиски и такви слични догађаји, па спрегнутости могу бити у више нивоа: мало, средње и веома спрегнуте честице. Верујем да ће се и то показати, да затим иду могућности увезивања васионе на сада несхватљиве начине. Ово отвара везе физикалне реалности са неким фикцијама овде помињаним, на још неоткривене начине.
Indistinguishable » eng
Питање: Не објасниште ми шта су „неразлучиве“ честице?
Одговор: У праву сте, пожурио сам да преко спрегнутости што пре стигнем до поенте теорије информације (Under Cover). А објашњење неразлучивости у видеу Parth G препоручујем, и само укратко ћу га изнети као увод у наставак. На слици лево је линк и на википедијин прилог.
1. На слици видимо узвишења као вероватноће налажења прве и друге честице дуж две суседне странице квадрата у подножју. Два брега лево слике су вероватноће фермиона, промена положаја првог повећава му вероватноћу налажења а другог смањује и обрнуто. Једна висија десно слике је вероватноћа бозона, они се могу налазити на истом месту и те вероватноће положаја се сабирају. Таласне функције пара фермиона и бозона су редом:
$$ |\Psi_f(x_A, x_B)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A\otimes|1\rangle_B - |1\rangle_A\otimes|0\rangle_B) = \frac{|01\rangle - |10\rangle}{\sqrt{2}}, $$ $$ |\Psi_b(x_A, x_B)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A\otimes|1\rangle_B + |1\rangle_A\otimes|0\rangle_B) = \frac{|01\rangle + |10\rangle}{\sqrt{2}}. $$Када се изједначе стања феримона она се поништавају (|01⟩ - |10⟩)/√2, а код бозона се повећавају (|01⟩ + |10⟩)/√2.
2. На слици десно су фермиони A и B, иако идентичне честице, они стоје на различитим енергетским нивоима, |0⟩ и |1⟩, јер не могу два истих вредности стајати на истом месту истовремено. Фермиони су антисиметричних функција:
Ψf(xA, xB) = -Ψf(xB, xA)
таласа и полуцелог су спина 1/2, 3/2, 5/2 ... Они су идентични али су тада разлучиви. За разлику од фермиона, бозони су идентичне и неразлучиве честице. Због знака плус између, њима су таласне функције симетричне:
Ψb(xA, xB) = Ψb(xB, xA).
Бозони су честице са целобројним спином 0, 1, 2, ... и више их може бити на истом месту истовремено. Када их много заузима нулто |0⟩ енергетско стање формирају тзв. Бозе-Ајнштајнов кондензат. Оно је такво стање гаса бозона који су охлађени на температуре мало изнад апсолутне нуле.
3. Ради још бољег разликовања „идентичних“ од „неразлучивих“ бацимо новчић два пута и тај опит поновимо сто пута (двеста бацања). Са сваким од бацања имамо, рецимо једнако вероватне, могуће исходе: „писмо“ или „глава“, елементе скупа {п, г}. У сваком пару бацања биће четири могућа пара исхода {пп, пг, гп, гг}, сваки вероватноће 1/4, јер стране новчића се понашају као фермиони. Чак и када су најбоље исполиране и голим оком не видимо разлике, две стране новчића разлучиве су, падање „писма“ па „главе“ за њих је различит исход од падања „главе“ па „писма“. Доказ за ово је у пребројавању сваког од четири пара исхода {пп, пг, гп, гг} након сто, или више бацања. Сваки од ових парова груписаће се око четвртине свих понављања.
Када би две стране новчића биле на истој страни, оне би се понашале као бозони. Могло би их више бити на истом месту у исто време и биле би неразлучиве. Говоримо о интерпретацији квантно механичких појмова „идентична“ и „неразлучива“ честица. Разуме се да ови појмови у другој области могу имати другачије значење. Даље видимо зашто би се Бозе-Ајнштајнова расподела разликовала од Ферми-Диракове, али то није овде тема.
4. Сва макро-супстанца са којом се свакодневно срећемо понаша се попут страна новчића, као фермиони. Са тог становишта бозони нам изгледају „нестварно“, иако су стварни. Бозон је фотон (спина 1), Хигсов бозон (0), гравитон (2), а то су и глуони (1), W и Z бозони (честице велике масе које преносе слабу силу). Прост рачун показиваће да композитна честица коју чини мешавина бозона и фермиона бива фермион када садржи непаран број фермиона, а бозон ако садржи паран број фермиона. Видели смо са новчићем да то некако постаје небитно код веома великог броја честица и таква се структура понаша као фермион.
Ternary » eng
Питање: Шта кажете о „тернарној“ логици?
Одговор: Трити су заправо били претече бита, много ефикаснији производ Совјета у рачунарској техници, који су изгубили трку против комерцијалног Запада. Слика лево има линк на видео који уводи појмове терцијалне логике: тачно (True), неодређено (Undetermined) и нетачно (False). При томе и њихове логичке операције: негацију, дисјункцију и конјункцију.
1. Практичније ознаке су тачно (+1), неодређено (0) и нетачно (-1). Тада су варијабле бројеви A, B ∈ {-1, 0, +1}, па имамо негацију која је промена предзнака, ¬(-1) = 1 и ¬(+1) = -1, а ¬0 = 0. Дисјункцију пишемо A + B, као збир, али резултат је већи сабирак. Конјункцију пишемо A ⋅ B, производ, али резултат је мањи од фактора:
| A | B | A + B | A ⋅ B |
|---|---|---|---|
| -1 | -1 | -1 | -1 |
| -1 | 0 | 0 | -1 |
| -1 | 1 | 1 | -1 |
| 0 | -1 | 0 | -1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | -1 | 1 | -1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Табелу ћемо лакше памтити када дисјункцију и конјункцију гледамо као максимум и минимум, редом max{A, B} и min{A, B}. Ово важи и у дужим изразима, дисјункција је max{A, B, C, ...} а конјункција је min{A, B, C, ...}.
2. Искључиву дисјункцију XOR тада пишемо:
A ⊕ B = (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)
и када применимо претходне вредности налазимо (компактнију) табелу:
| A ⊕ B | ⊤ | ? | ⊥ |
|---|---|---|---|
| ⊤ | ⊥ | ? | ⊤ |
| ? | ? | ? | ? |
| ⊥ | ⊤ | ? | ⊥ |
Овде су употребљене ознаке тачно (⊤), неодређено (?) и нетачно (⊥), али свеједно, видимо да тринарна искључива дисјункција одговара бинарној тамо где су им заједничке вредности, а бинарне су {⊤, ⊥}. Такође важе:
¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B), ¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B),
као и Де Морганови образци бинарне логике. Сада видимо како се исказ бинарне логике лако преводи у тернани, па све оно што важи у класичној логици има своје одговарајуће форме у овој проширеној. Када то додамо на претходни одговор (Indistinguishable), или још боље на начин мерења истинитости сложених садржаја (Packages III), примећујемо и предности тернарне логике над бинарном.
3. Следеће је питање техничке употребе тернарне логике. Ту разликујемо комуникацију од процеса обраде података и складиштења. Прво од првог је капацитет преноса.
Капацитет канала (енг. Capacity) је највећи износ података који се може послати по комуникационом каналу без грешке, док је шум (Noise) свако нежељено ометање која смета сигналу. Релацију међу њима даје Шенон-Хартлијева теорема, која каже да је капацитет канала директно размеран пропусном опсегу (Bandwidth) и логаритму односа сигнал-шум: $$ C = B\cdot \log(1+ \frac{S}{N}). $$
Стога, већа снага сигнала (S) у односу на шум (N) и већи пропусни опсег (B) доводе до већег капацитета (C) канала.
Магистрала за тернарну логику преноси више информација по јединици простора од бинарне (има већи B). Најоптималнија база за ефикасност те врсте у рачунарству била би e ≈ 2,718, а 3 јој је најближи цео број и зато је ефикаснији од базе 2. Постиже се иста ефикасност тернарних система са мање хардвера и мање напајања за исту рачунарску снагу. Али, бинарни системи су отпорнији на електро сметње јер имају једино два различита, добро раздвојена нивоа напона (укључено/искључено). Друго, садашња производња полупроводника је у великој мери оптимизована за бинарну логику и прелазак на тернарну логику захтевао би масовно мењање целог тог система.
4. Ево како бројимо у систему бројева базе три, на доле па десно:
0 10 20 100 110 120 200 210 220 ... 1 11 21 101 111 121 201 211 221 ... 2 12 22 102 112 122 202 212 222 ...
То значи да последња цифра расте корацима 0, 1, 2 а после нека три пута корака отвара се нова позиција са леве стране да би се запис броја увећао за једну позицију. Другим речима, тринарни број 210 је 21 децимално:
210 = 2⋅32 + 1⋅31 + 0⋅30 = 2⋅9 + 1⋅3 + 0⋅1 = 21
Уопште, ако је t3t2t1t0 запис у бази три, t ∈ {0, 1, 2}, тада је то децималнo:
t3⋅33 + t2⋅32 + t1⋅31 + t0⋅30.
Обрнуто, када преводимо децимални број у базу три делимо га са три и остатке (у загради) запишемо обрнутим редоследом:
21:3 = 7(0), 7:3 = 2(1), 2:1 = 0(2)
и децимални број 21 у бази три је 210. У горње тзв. уравнотежене ознаке логике, ове аритметичке ознаке лако преводимо: 0 → -1, 1 → 0, 2 → 1.
Reversible » eng
Питање: Зашто квантне капије морају бити реверзибилне?
Одговор: Стандардно питање али одговорићу детаљно као на ново. Све квантне операције унитарне су, а то долази из Шредингерове једначине. Мерење није па оно и није капија. Класична и квантна механика реверзибилне системе називају затвореним, а отворени су иреверзибилни, осим уз ретка ограничења. Изузетак је мерење које је колапс суперпозиције без чувања свих улазних опција. Мерење отприлике имитира поступак бацања коцке (суперпозиција) чији је исход (колапс) одређени број.
1. Ландауер (1961) је нашао да брисање једног бита информација његових рачунарских процеса захтева извесну минималну количину енергије која се губи у топлоту (Ландауерова граница). Доказао је да бинарна логичка кола изграђена коришћењем традиционалних иреверзибилних електро кола неизбежно воде у расипање енергије, без обзира на технологију која се користи за реализацију тих кола односно капија. Показало се (Bennett, 1973) да ту снагу не би расипало бинарно логичко коло које је изграђено од реверзибилних капија. Исто је и за вишезначне реверзибилне логике.
2. Писао сам о томе популарно (Квантни рачун, 2019) сугестијом да дати информацију значи пренети енергију, да је стога комуникација напорна и неспонтана, супротна начелу минимализма. Вероватнији исходи биће чешћи, јер су мање информативни, а природа спонтано иде ка стањима мање неизвесности. То толико често помињем, да нам је некима постала досадна прича, јер је у званичној физици још увек terra incognita и увек наилазим на школоване физичаре који ме упитају „Одакле ти то?“, или просто кажу „То не може бити тачно“.
3. На слици десно видимо прилог о доказу Снеловог закона. Таласи се крећу брзином v1 изнад линије AD, брзином v2 испод. Брзине су константне и v2 < v1 па скрећу ка доле и таласне дужине λ1 и λ2 им постају краће:
λ1 : λ2 = v1 : v2 = sin α1 : sin α2
где вертикала на AD има углове алфа са правцима таласа.
Таласна дужина λ и фреквенција ν дају брзину таласа v = λν, а производ је импулса (Δp) са фреквенцијом (ν = 1/Δt) сила (F = Δp/Δt). Фреквенција је таласа одређена извором, а не срединином кроз коју талас путује, тако да се преламањем у спорију средину мењају (скраћују) само таласне дужине. Де Брољеви таласи материје имају константан производ таласне дужине и импулса (λp = h), односно импулс је обрнуто пропорционалан таласној дужини, па у случају преламања таласа, p1 : p2 = v2 : v1, импулс расте са опадањем брзине таласа када талас улази у средину где се креће спорије.
На слици лево, то се показује на примеру преламања светлости. Краће таласне дужине, плава и љубичаста више скрећу од дуже жуте и црвене боје. Доње боје су „тврђе“, већег импулса. Фотони плавог светла већег су импулса од жутог светла. Скрећући у тој оптичкој призми, валови светла као да упијају импулсе честица-таласа призме са којима полако интерферирају, што их успорава и закреће. Веће таласне дужине више сакривају информацију, сазнање је ове теорије (In and Out), стога слабије комуницирају са околином.
4. Поједностављено речено, докле год имаш суперпозицију имаш таласе, интерференцију, очување, кажемо реверзибилност и уопште изометрију. Међутим, када дође до колапса, дакле комуницирања са околином, онда имаш честицу и немаш реверзибилност. А мерење је комуникација.
Tools » eng
Питање: Да ли нешто препоручујете за креативност у науци?
Одговор: Радио сам у настави, али не мислим да сам добар у паметовању другима. Рецимо, покушајте са дугим шетњама ради инспирације. Бежите од рутина у спознајама. Почесто користим оловку и папир, али волим правити симулације на рачунару. Теоретичари немају много избора.
Мали програми, као помоћне калкулације у Питону, познати су и досадни у оваквим прилозима, а они велики су преопширни и ко би их читао. Међутим, могу увек изненадити и добро је радити их макар као проверу. Такође и превођење мисли, идеја на друге језике. Вежбајте се у одвајању истина од лажи, јер овим другима се лакше препуштамо (не кажем да је истину лако симулирати) и оне нас као порок заробљавају. Ево неколико мањих Питон програма који иду са горњим примерима.
1. NumPy је скраћеница од Numerical Python и основна Python библиотека за научно рачунарство. Подршка је великим низовима или матрицицама са огромном колекцијом математичких функција високог нивоа за рад на таквима. На пример, кет вектор |0⟩ = (1, 0)⊤ је матрица-колона коју овако уносимо:
import numpy as np
ket_0 = np.array([[1],[0]])
print('\nket_0:')
print(ket_0)
Ево резутата:
ket_0: [[1] [0]]
2. Горе (Qubit II) се помињу два кет вектора као база 2-дим кјубита. Други је |1⟩ = (0, 1)⊤ и ортонормирани су: узајамно окомити, бра-нула пута кет-један ⟨0|1⟩ = (1, 0)⋅(0, 1)⊤ = 1⋅0 + 0⋅1 = 0, а јединични ⟨k|k⟩ = 1, бра-кет за оба k ∈ {0, 1}. Питон програм је:
import numpy as np
ket_0 = np.array([[1],[0]])
ket_1 = np.array([[0],[1]])
dot_01 = np.vdot(ket_0,ket_1)
dot_11 = np.vdot(ket_1,ket_1)
print('\n<0|1>:')
print(dot_01)
print('\n<1|1>:')
print(dot_11)
На екрану излази:
<0|1>: 0 <1|1>: 1
3. Тензорско, или Кронекерово множење вектора је, на пример:
$$ |1\rangle \otimes |0\rangle = \binom{0}{1}\otimes\binom{1}{0} = \binom{0\binom{1}{0}}{1\binom{1}{0}} = \binom{\binom{0}{0}}{\binom{1}{0}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = |10\rangle. $$Иначе, 10 је бинарно писани децимални број 2, трећи у бројању од нуле: 00, 01, 10, 11, па резултат испада као да смо намерно поставили 1 баш на то треће место колоне-вектора, тј. кет-вектора. Исто уради и програм:
import numpy as np
ket_0 = np.array([[1],[0]])
ket_1 = np.array([[0],[1]])
kron_10 = np.kron(ket_1,ket_0)
print('\nKroneker_10: \n',kron_10)
Излаз на екран је:
Kroneker_10: [[0] [0] [1] [0]]
4. Природно је имати „нагон смрти“, ако под тим у основи мислимо на начело минимализма. Тежњу избегавања неизвесности, комуникације, замарања; потребу за смирајем, рутинама, ефикасношћу. Међутим, то је и највећи проблем креативноси и разлог зашто откривамо законитости. Апсурно и ништа посебно, јер и сва природа се састоји од информација које заправо не жели.
Thinking » eng
Питање: О чему компјутер размишља?
Одговор: Каже се да нема глупих питања колико глупих одговора, али тешко је превазићи глупост овог питања. Рачунар не „мисли“ у људском смислу, већ обрађује информације користећи методе разлагања проблема, налажење образаца и креирање упутстава корак по корак. Могу даље само покушати бити духовит на овај начин, ако не довољно паметан.
Пођимо од прислушкивања, као и свака такве намене а технички добро опремљена служба. Улаз и излаз напона процесора може се разликовати због губитака струје путем транспорта њиховим сићушним далеководима, које ћемо процењивати и одавно познатим начинима. Затим је ту шум канала, па онда и најновија ствар коју ћу управо разданити.
Знамо како се сваки математички исказ може написати помоћу негација, дисјункција и конјункција. Па неће ваљда бити да је компјутер паметнији од математике саме, а онда почнимо бројати трошкове ових прекидача:
A → ¬A (A, B) → A ∨ B (A, B) → A ∧ B 0 → 1 (0, 0) → 0 (0, 0) → 0 1 → 0 (0, 1) → 1 (0, 1) → 0 0 → 1 (1, 0) → 1 (1, 0) → 0 1 → 0 (1, 1) → 1 (1, 1) → 1
Узмимо да је 0 стање „нема струје“, а 1 је стање „има струје“. Прво нека је константа „нетачно“ (⊥) а друго нека буде логичка константа „тачно“ (⊤), при томе само друга троши један импулс (мали удар) напона. Мноштвом флип-флопова таквих напона отварају се могућности за статистички рад, обраде и процене излаза и поређења са улазима струје. За почетак, нека су једнако вероватна стања 0 и 1 на улазу процесора.
Од наведене три табеле прва је негација (¬A). Од четири могућа улаза два су импулси, а исто толико их је излазних. Следеће табеле су дисјункција и конјункција (A ∨ B и A ∧ B). Обе имају по осам могућих улазних начина од којих су четири-четири без и са импулсом, међутим три импулса излаз су прве а само један из друге. Према томе, дисјункција троши три пута више струје од конјункције и ту је квака. Више се троши на прикупљање (унију) него на пресек.
Шта би све могли бити искази, идеје оних који више користе дисјункцију од конјункције занимљива је прича (за неку другу прилику). Рецимо, ако пођемо од становишта Декарта, који је рекао „мислим, дакле јесам“, они који више користе дисјункцију постоје више него они који дају предност конјункцији. Са друге стране ту је и Котардов синдром ходајућег леша са делузионим веровањем особе да је мртва, кажимо „мислим, дакле нисам“ када схватимо да објективна реалност није баш објектива како бисмо од ње наивни очекивали. Треће су цика-цаке по формалној логици.
Capacity » eng
Питање: Што има више дисјункција, компјутер више размишља?
Одговор: То су духовити примери (Thinking), али има неке истине у тим причама, да што више нешто мозак троши то више „мисли“. А, при томе, нећемо „размишљање“ одређивати по потрошњама, сем у веома посебним случајевима.
1. Знамо да суперпозицију чине таласи који могу колабирати, а затим се понашати као честице. Налик реализацијама случајних догађаја у један, неки од унутра могућих исхода, честице доносе физичку стварност, размењују енергију, импулс, спин и слично. Након те интеракције, рецимо мерења електрона, електрон добија тачнију путању. Шредингер је то описао помоћу „мачке у кутији“ (Broke Reality, 2). Томе је претходила и квантна спрегнутост (Spooky II).
2. Сва ова страница блога бави се стањима која се тада трансформишу, а писана су кјубитима, односно векторима чију базу интерпретирамо, када је то могуће, опсерваблама. Најбољи избор су опсервабле ортонормирани вектори, као медији који не могу комуницирати међусобно, па се виђају путем посредника. Ово је попут каскадне поларизације (Adaptation III), када светло прође кроз вертикални па кроз хоризонтални поларизатор биће потпуно угашено, али не и ако између та два пролази и кроз коси поларизатор.
На горњој слици десно видимо то каскадно пројектовање, вектора OA на OB па на OC, тачкама A → AB → ABC. Директна пројекција OA на OC била би ближа тачка AC ≠ ABC. Да посредовање може повећати домет знамо и из свакодневне праксе, употребом појачала, поштанских услуга, комшије која ће уместо нас отићи да пренесе поруку. Вратимо се сада на ову слику да је опет употребимо за једно ново, можда још занимљивије, запажање.
3. Нека су вектори на слици јединични, угао алфа је фиксиран а мењајмо угао бета. Посматрамо збир скаларних производа за β ∈ (0, π/2):
$$ f(\alpha) = \int_0^{\pi/2} \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\ d\beta = \int_0^{\pi/2} (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta)\ d\beta = $$ $$ = \cos\alpha\sin\beta\Bigg|_0^{\pi/2} - \sin\alpha\cos\beta\Bigg|_0^{\pi/2} = \cos\alpha + \sin\alpha. $$Потражимо максимум ове функције, када је њен извод нула:
$$ f'(\alpha) = -\sin\alpha +\cos\alpha = 0, $$ $$ \text{tg}\ \alpha = 1, $$ $$ \alpha = \frac{\pi}{4}. $$Дакле, стање једнако отклоњено од обе координатне осе (OC, OD), имаће највећи „капацитет“ (нова одредница), има највећу моћ комуникације са околином (попут OB). У стратегијама сложених игара (Reciprocity), када се укупна снага не мења, онда је боље имати више равноправних избора. Тада „снага неизвесност“ надјачава изоловане могућности.
4. То је управо оно што се догађа код преламања светлости (Reversible, 3). Она интерферирајући узима део импулса околних таласа и губи брзину, а без промене своје енергије, што увек може вратити преламајући се према бржој средини. Она светлост која више интерагује више скреће. То можда изгледа као замах, узимање даха, али заправо је само прилагођавање. Да ли се ово зове мимикрија, адаптација, или овде глобална конвергенција, свеједно, ради се о избегавању вишка опција и минимализму. Стања која су и за компјутер мање „напорна“ путеви су мањег „размишљања“.
Fractals II » eng
Питање: Ако је нешто случајно и тотално непредвидљиво, како то онда може бити предвидљиво, зар то није бесмислено?
Одговор: На први поглед сте у праву. Неизвесност је одсуство извесности, а управо о таквој, или објективној немогућности предвиђања је реч у овој теорији информације. Међутим, природа не воли једнакости, а таква је и „једнакост у неизвесности“. Теорија вероватноће препознаје те разлике и вреднује их интензитетом вероватноће, бројем p ∈ (0, 1), а затим, рецимо, и количинама понављања, па познајемо законитости великих бројева по којима неизвесности постају извесности. Овај видео нарочит је прилог о томе, о генерисању троугла Сјерпинског на случајан начин, а имате га на Тик-Току. Често ме питају за такве фрактале, али ово је нови моменат.
Ова теорија има један, свој концепт „глобалне конвергенције“ (Hermitian II), о иначе у алгебри познатом „приближавању“ вектора x ка својственом вектору v линеарног пресликавања  када се оно узастопно понавља. Реч је о низу x1 = Âx, x2 = ²x, x3 = ³, ..., xn = Ânx, ... → v, када n → ∞, а вреди тзв. карактеристична једнакост Âv = λv, при чему је својствена вредност λ највећа од евентуално више њих, а одговара јој својствени вектор v. Овде интерпретирамо  као природни процес, а xn → v су природна стања које тај процес моделира, кроз које x еволуира ка v.
Са једне стране ово значи да опажањима, као ни израчунавањима, нити уопште егзактним теоретисањима о „Великом праску“ не треба веровати. Наиме, управо тај рачун глобалне конвергенције каже нам да је то стање далеке прошлости фиктивно, а не постоји ништа јаче за оспоравање саме математичке извесности. То ако је доминантни својствени вектор развоја ове васионе баш та „врућа каша“ од пре 13,8 милијарди година која би се затим ширила, хладила и раслојавала. Са друге стране, сила вероватноће чини управо промену процеса неизвесности у извесности, које нам у овом стадијуму развоја васионе дају значајну илузију детерминизма.
Мртва природа, крајњи закони физике, као и теореме слепо се држе голе истине. Прва Геделова теорема немогућности (Deduction II) утврђује како изван такве концепције, ма како она била велика, увек има још такве која се из дате не може извести. Прецизније, ма колико био велик дедуктивни систем истина и самих истина, увек има истина које он на своје начине не може извести. Другим речима, морамо користити фантазије. Управо је то оно што радимо и у математици када комбинујемо са ⊤ и ⊥ да дођемо до неке теореме, или када пођемо од нетачног тврђења да га спроводимо до контрадикције, а онда говоримо да је математика истина и само истина.
Та Геделова теорема, да коректан систем није потпун, је још једно место где главом ударамо у зид, када спознају укочи неизвесност. Што се тиче васионе пре „Великог праска“, пошто је не можемо тачно спознавати ми витални још увек можемо нагађати. Тада нам је природа на други начин одшкринула врата, овде такође важан, јер нагађања су такође различито вероватна. Једно од таквих је да васиона постоји и пре реченог „Праска“ и да би начелног минимализма било и тада као и сада. Васиона би тако била у неуморној еволуцији из неизвесности ка извесности, на путовању свога гашења у смислу овог информативног модела.
|
|
|