Април 2025 (English ≽)

Clarity » eng

Питање: Шта је добро за јасноћу сигнала?

Одговор: Технички говорећи, да бирамо преноснике веће брзине, са мањим техничким сметњама и шаљемо кодове мањих дужина — препоруке су већег домета, стога и побољшања квалитета преноса података.

1. Демонстрираћу то на бинарној симетричној матрици канала:

\[ K(t) = \begin{pmatrix} \frac{1 + e^{-2\lambda t}}{2} & \frac{1 - e^{-2\lambda t}}{2} \\ \frac{1 - e^{-2\lambda t}}{2} & \frac{1 + e^{-2\lambda t}}{2} \end{pmatrix}. \]

Ово је пример дупле стохастичке матрице, комплетнога Марковог ланца. Њене колоне (ове и редови) представљају расподеле вероватноће, они су позитивни бројеви збира један. Множећи њоме векторе који су расподеле вероватноћа, добијамо такође расподеле. Независно од улазне расподеле p = (p₁, p₂), за t → ∞ добијамо излазну расподелу q^* = (1/2, 1/2). Она тада постаје „црна кутија“, преносник чији излаз нам ништа не говори о улазу.

Уколико је време t > 0 преноса краће, такође што су сметње преноса λ > 0 мање и што је мање елемената преноса, то је копија ближа оригиналу. То следи из:

\[ \begin{pmatrix} \frac{1 - e^{-2\lambda t}}{2} + e^{-2\lambda t}p \\ \frac{1 + e^{-2\lambda t}}{2} - e^{-2\lambda t}p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1 + e^{-2\lambda t}}{2} & \frac{1 - e^{-2\lambda t}}{2} \\ \frac{1 - e^{-2\lambda t}}{2} & \frac{1 + e^{-2\lambda t}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ 1 - p \end{pmatrix}, \]

као и из чињенице да се сваки део поруке преноси на овај начин, а да је онда вероватноћа тачног преноса производ појединих вероватноћа.

2. Теорема. (Експоненцијални процес) Када је вероватноћа F(t), појаве неког сигнала, непрекидна и растућа функција времена таква да је:

    (i) независна од почетка периода t,
    (ii) независна од претходних сигнала,

тада је F(t) = 1 - e^λt, где је параметар λ ненегативан реалан број.

Доказ: Означимо са p вероватноћу да се сигнал неће појавити у периоду јединичне дужине t = 1, а сам период поделимо у n једнаких дисјунктних интервала. Означимо са p₀(1/n) вероватноћу да се сигнал неће појавити у периоду t = 1/n. Због услова независности, (i) и (ii), је:

\[ p = \left(p_0(\frac{1}{n})\right)^n, \quad p_0(\frac{1}{n}) = p^{\frac{1}{n}}. \]

Отуда је за било које k = 1, 2, 3, ..., вероватноћа да се сигнал неће појавити за време t = k/n једнака:

\[ p_0(\frac{k}{n}) = p^{\frac{k}{n}}, \quad F(\frac{k}{n}) = 1 - p^{\frac{k}{n}}, \quad \lambda t = -\frac{k}{n}\ln p, \]

а то је оно што је требало доказати. ∎

3. Непрекидна бинарна симетрична матрица канала (1) је типичан ланац Маркова, као што се види из теореме (2), за канале без меморије. Када су параметри ламбда у колонама различити немамо симетрију. У ситуацији са више редова нема бинарности, имамо више дисјунктних исхода. Свака та могућност одржава горњи закључак, да је (а) тачнији пренос података са преносником веће брзине, са (б) мање техничких сметњи (ламбда) и са (ц) мањом дужином кода (n ∈ ℕ).

Због Борељ-Кантелијеве леме, да се са вероватноћом 1 може реализовати само коначно много догађаја бесконачне расподеле, трећи (ц) од горњих услова и није толико битан колико на први поглед изгледа. Случајеви са великим дужинама n кода имаће мањи број од свих сигнала преношен са вероватноћом већом од нуле. Међутим, ситуације n → ∞ реалније су, иако често та мноштва начина перцепција не примећујемо око себе.

Fading » eng

Питање: Можете ли мало елаборирати канале горњег типа?

Одговор: Временска варијација снаге примљеног сигнала због промена у медијумима преноса, или путевима се назива фединг. Блеђење зависи од различитих фактора. У фиксном сценарију, разлагање (бежичног преноса) зависи и од временских услова као што су падавине, муње итд. Покретни сценарији бежичног фединга зависе од препрека на путу, или жичани од структуре преносника порука.

1. Оно што нас посебно интересује у каналима, K = (κ_ij), горњег типа:

q_j(t) = ∑_i p_i κ_ij(t),

индекса i, j = 1, 2, ..., n, су домети расподеле p = (p₁, p₂, ..., p_n), или онаква вредност параметра t када излазни сигнал није више сличан полазном:

\[ \frac{dq_j(t)}{dt} = \sum_i p_i\cdot\frac{d\kappa_{ij}(t)}{dt} = \sum_i p_i \cdot \sum_l \kappa_{il}(t) = \sum_{i,l} p_i \cdot \kappa_{il} \cdot\lambda_{lj}, \] \[ \frac{dq_j(t)}{dt} = \sum_l q_l(t) \cdot \lambda_{lj}. \]

То су једначине Колмогорова за континуиране Маркове ланце, у облику:

\[ \frac{d \mathbf{q}(t)}{dt} = \mathbf{q}(t)\cdot\Lambda, \quad \mathbf{q}(0) = \mathbf{p}. \]

Дакле, исту зависност од параметра сметњи, Λ = (λ_ij), има излазна распо-дела као и врста канала K(t). Без обзира како да дефинишемо домет сас-вим је сигурно да се он неограничено повећава када свако λ_ij → 0.

Иначе, претпоставка да сметња у проводнику не зависи од сигнала којег проводник носи може се изразити условом:

\[ \lambda_{ij} = \begin{cases} -(n-1), & i = j, \\ \lambda, & i \ne j. \end{cases} \]

2. По дефиницији је:

\[ \lambda = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\kappa_{ij}(\Delta t)}{\Delta t}, \]

те је λ ≥ 0. Константа λ представља густину вероватноће да произвољан i-ти сигнал, док прође кроз мали део проводника, изађе као другачији j-ти сигнал. У условима савремених поштанских-телефонских мрежа видимо да је λ > 0 веома мали број.

3. Сабирци са десне стране горњих једначина (Колмогорова) су сада сви множени истим коефицијентом λ осим једног. Оне се своде на:

\[ \frac{dq_j(t)}{dt} + n\cdot\lambda \cdot q_j(t) = \lambda, \quad \mathbf{q}(0) = \mathbf{p}. \]

То је линеарна диференцијална једначина првог реда са константним коефицијентима. Њено опште решење је:

\[ q_j(t) = \frac{1}{n} + C_j\cdot e^{-n\lambda t}, \quad j = 1, 2, ..., n, \]

где су C_j = p_j - 1/n константе одређене почетним условима. Када t → ∞, тада q_j(t) → q^*_j = 1/n. Према томе, крајње вероватноће имају расподелу (равномерну) са максималном информацијом. Зато су, у природи, ове промене далеко повољније.

4. Због једнакости e^x ≥ 1 + x, биће -e^-nλt ≤ -(1 - nλt), тј.

|p_j - q_j(t)| ≤ λt|1 - np_j|,     j = 1, 2, ..., n.

Како је 0 ≤ p_j ≤ 1 добијамо даље:

0 ≤ |p_j - q_j(t)| ≤ λt|n - 1|.

Коефицијент (λ_ii) уз t је густина вероватноће грешке при преносу сигнала на основном делу проводника. Претпостављамо да је тај број веома мали. Брзине преноса сигнала могу бити огромне (блиске брзини светлости) да је укупно време t врло мало. На пример, сигнал обиђе Земљу за мање од 1 sec.

***

Све ово је из књиге „Математичка теорија информације и комуникације“ (1995, а писао сам је пет до десет година раније), наћи ћете тамо детаљно. Без промена оно вреди једнако и данас, осим, на пример, што тада нисам примећивао да су ентропија и информација супротне величине (идући за Шеноном и његовим следбеницима).

Transitions » eng

Питање: Тек ми сад ништа није јасно. Може ли то још једноставније?

Одговор: У реду. Када је случајни процес независан од претходних података називамо га Марковљев процес. Слика десно је увезана са примером једног таквог.

Три дисконтна стања продавнице су 5%, 15% и 20%. Нови купци ће почињати са попустом од 5%. Када затим нешто купе и до рока од недељу дана, померају се за један ниво више, или остају на највишем нивоу. Када ништа не купују током следећих недељу дана, прелазе на нижи ниво, или остају на најнижем нивоу. Вероватноћа да купац нешто купи седмично је 0,75 и, према томе, да ништа не купи 0,25. То је процес Маркова са слике.

1. Колоне одговарајуће матрице овог процеса су расподеле вероватноћа и са елементима су A = (α_ij) индекса i, j ∈ {1, 2, 3}:

\[ A = \begin{pmatrix} \frac14 & \frac14 & 0 \\ \frac34 & 0 & \frac14 \\ 0 &\frac34 & \frac34 \end{pmatrix}. \]

Овде α₂₁ = 3/4 значи условну вероватноћу Pr(15%|5%), преласка купца са дисконта 5% на 15%, док је α₂₂ = 0 је вероватноћа Pr(15%|15%) да ће купац дисконта 15% остајати на истом нивоу попуста, а α₂₃ = 3/4 је вероватноћа да купац задржава највиши попуст.

2. На исти процес, са слике, може се гледати и на следећи начин. Нека је p_ij(t₁, t₂) вероватноћа да купац из тренутка (седмице) s и нивоа дисконта j пређе на ниво дисконта i у тренутку r. Тада се рецимо са нивоа j = 2, тј. са попустом 15%, може стићи до нивоа i = 1 и попуста 5%, тако што се оде са другог на први преко сваког од три нивоа у некој од међу-седмица m. Па:

p_ij(s, r) = p_i1(s, m)⋅p_1j(m, r) + p_i2(s, m)⋅p_2j(m, r) + p_i3(s, m)⋅p_3j(m, r)

вероватноћа је преласка са j-тог на i-ти ниво попуста из седмице s у r али преко међу седмице m. То је пример Чапман-Колмогоровљеве једначине. При томе се узимају седмице у корацима s < m < r.

3. Поопштимо ово на хомогени Марков ланац X₀, X₁, ..., X_n, ... простора стања {1, 2, ..., N}. Тражимо условне вероватноће P(X_n = j | X₀ = i), да ће нулта карика ланца прећи у n-ту из i-тог у j-то стање. Стања су, рецимо, тачке у којима се у n-том кораку нађе члан Марковог низа. Ради тога се подсетимо рачуна вероватноће:

\[ \Pr(AB | C) = \Pr(A|BC) \cdot \Pr(B|C) = \frac{\Pr(ABC)}{\Pr(BC)}\cdot\frac{\Pr(BC)}{\Pr(C)} = \frac{\Pr(ABC)}{\Pr(C)}. \]

Као што знамо, ови производи AB догађаја значе пресеке скупова A ∩ B, или конјункцију A ∧ B. Тако налазимо условне вероватноће:

\[ \Pr(X_2 = j | X_0 = i) = \sum_{k=1}^N \Pr(X_2 = j \wedge X_1 = k | X_0 = i) = \] \[ = \sum_{k=1}^N \Pr(X_2 = j | X_1 = k \wedge X_0 = i) \cdot \Pr(X_1 = k | X_0 = i). \]

При томе својство Маркова каже да је за предвиђање понашања система у будућности довољно размотрити само садашње стање система, да није битна прошла историју, па догађај X₀ = i у првој вероватноћи није битан. Овај резултат постаје збир производа вероватноћа:

\[ \Pr(X_2 = j | X_0 = i) = \sum_{l = 1}^n \alpha_{l j}\cdot \alpha_{i l}, \]

а то је члан квадрата Марковљеве матрице A² = (α_ij)².

4. Даље се методом математичке индукције може доказати да је:

Pr(X_n = j | X₀ = i)

елеменат матрице Aⁿ, тј. n-тог степена Марковљеве матрице A = (α_ij). При томе:

\[ \Pr(X_{n+m} = i | X_0 = i) = \sum_{l=1}^N \Pr(X_{n+m} = i | X_m = l)\cdot \Pr(X_m = l | X_0 = j) \]

су једначине Чапман-Колмогорова. Прираштај Pr(X_n+1 | X_n) вероватноће при једном кораку, промене једног степена од Aⁿ до Aⁿ⁺¹, је у претходном одговору поменута брзина промене сигнала у n-том тренутку. Гледана на тај начин, та ће дискретна једначина постати диференцијална једначина Колмогорова.

Conception » eng

Питање: У реду. Заправо, ово ми је сјајно објашњење једначина Чапман-Колмогорова. Међутим, какве оне имају везе са теоријом информације са којом се бавите?

Одговор: Ово је лакши део. Прво покушајмо разумети шта збуњује читаоца у питању постављеном у линку слике лево. Па погледајмо одговор из тог прилога, потом и моје информатичко објашњење.

1. Препричаћу прва два. Укратко, у време t₁ имамо поставке x₁, као на слици лево, па каквим би год развојем ишле, преко t₂ ∈ (t₁, t₃), доспеваће у исте поставке x₃ када дође време t₃. Односно, резултат укључује све могуће претходне путеве, па се процес понаша једнако попут неког без памћења. То је у претходном одговору својство Маркова, или:

\[ \Pr(x_3, t_3 | x_1, t_1) = \sum_{x_2} \Pr(x_3, t_3 | x_2, t_2) \Pr(x_2, t_2 | x_1, t_1). \]

писано вероватноћама у облику једначина Чапман-Колмогорова.

Приметите мој додатак: „каквим год развојем иду...“ своди се на „процес без памћења“. Другим речима, ако је резултат сублимација свих слобода, или последица која укључује све могуће путеве развоја, онда слобода није ни било. Шта год бирали, долазимо на исто.

2. Специфичност мога тумачења теорије информације је „реалност“ која је: перцептибилна, трајна и истинита појава. Поменуте једначине тумаче појаве без памћења, па иако су саме оне „реалне“, оно што анализирају су „фикције“ (нереалности које сматрамо да постоје). Процес који траје има прошлост, а ако је нема, макар био истинит и приметан, није реалност у поменутом смислу.

Када такав процес сместимо у реалност, он дегенерише. Парадоксално је тада што реалним, у реалним условима третирамо нереално. Онда ће оно као добар, пре свега тачан третман, наћи неодрживост предметне појаве у смислу нестајања, или њеног трајног мењања, или пак претварања тих облика у неке стабилне. Резултат неће побећи начелу минимализма. Ово је основна разлика такође, рецимо, статистичког ансамбла (честица гаса коме расте ентропија) и појединих молекула (које се крећу насумице, не марећи за промену ентропије).

3. Када је Маркова матрица попут горње A, (Transitions, 1) изометрија; то је у случају det(A) = ±1, тада представља процес који не памти иако траје (памти га околина); онда нема поменуте дегенерације. У свим другим је случајевима, -1 < det(A) < +1, Aⁿ → 0, када n → ∞, односно да бесконачно дуги пренос ланцем Маркова неизбежно губи полазну информацију. Тај ланац постаје „црна кутија“, преносник чија излазна порука нам не каже ништа о улазној.

Ово следи и из непосредне алгебре, да нису реверзибилни процеси чије су детерминанте нуле, те да су псеудо-реверзибилни они детерминанти |det(A)| ≠ 1. Ови други су, рецимо, стохастички (Марковљеви) који могу ићи напред, али не и назад, иако могу преносити неку информацију. То ћу демонстрирати решавањем поменуте матрице.

4. Од друге колоне детерминанте матрице A одузмимо прву и развијмо добијену детерминанту по првом ретку:

\[ \det(A) = \begin{vmatrix} \frac14 & \frac14 & 0 \\ \frac34 & 0 & \frac14 \\ 0 & \frac34 & \frac34 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac14 & 0 & 0 \\ \frac34 & -\frac34 & \frac14 \\ 0 & \frac34 & \frac34 \end{vmatrix} = \] \[ = \frac14\begin{vmatrix} -\frac34 & \frac14 \\ \frac34 & \frac34 \end{vmatrix} = \frac14( -\frac{9}{16} - \frac{3}{16}) = -\frac{3}{16} = -0,1875. \]

Дакле, -1 < det(A) < +1, па имамо неки пренос информације, међутим не и реверзибилни стохастички процес. Наиме, инверзна матрица овој је:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -\frac13 \\ 3 & -1 & \frac13 \\ -3 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \]

што је лако проверити непосредним множењем када се добија јединична матрица AA^-1 = A^-1A = I. Дакле, из излаза q = Ap можемо проценити улаз p, али инверзна матрица A^-1 није стохастичка, нема процеса A^-1 : q → p.

Степеновањем, Aⁿ → A^*, када n → ∞, налазимо:

\[ A^* = \begin{pmatrix} 0,07692308 & 0,07692308 & 0,07692308 \\ 0,23076923 & 0,23076923 & 0,23076923 \\ 0,69230769 & 0,69230769 & 0,69230769 \end{pmatrix}. \]

Да је ово тачно лако се проверава са AA^* = A^*A = A^*. Детерминанта ове матрице има једнаке ретке што значи да јој је вредност нула. Матрица детерминанте нула нема инверзну матрицу. Ова множена било којим вектором расподеле (x + y + z = 1) даје:

\[ \begin{pmatrix} 0,07692308 & 0,07692308 & 0,07692308 \\ 0,23076923 & 0,23076923 & 0,23076923 \\ 0,69230769 & 0,69230769 & 0,69230769 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,07692308 \\ 0,23076923 \\ 0,69230769 \end{pmatrix}. \]

Стога је A^* црна кутија.

Null Space II » eng

Питање: Шта је нула простор стохастичке матрице?

Одговор: Стохастичке матрице немају „нула просторе“ у скупу вектора расподела вероватноћа.

Наиме, свака квадратна матрица A = (α_ij) ненегативних елемената (α_ij ≥ 0) збира један сваке колоне (∑_i α_ij = 1) је стохастичка. Колоне стохастичке матрице означавају расподеле вероватноћа. Ако том матрицом множимо расподелу резултат је опет нека расподела.

1. Нула простор (Домени) матрице чине вектори које та матрица преводи у нула векторе. Ако је Ma = 0 биће a вектор нула-простора матрице M. На пример:

\[ \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

матрица M типа 2×3 множи вектор a (матрицу типа 3×1), а то резултира нула вектором b (матрицаом типа 2×1). У матричној једначини Ma = b, овде је a ∈ Null(M), вектор припада нула простору матрице, а b = (0, 0), вектор је нула вектор. Дакле, разликујемо нула векторе од вектора нула простора.

2. Вектори нула простора зависе од матрице, а могу и не морају бити нула вектори. У случају (стохастичке) матрице из претходног одговора:

\[ A = \frac14\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} \]

имамо нула простор матрице, Null(A), који садржи само један вектор који је нула вектор a = (0, 0, 0). Наиме, једначина:

\[ \frac14\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

има само једно, тзв. тривијално решење x = y = z = 0. Свака матрица има овакво тривијално решење и, према томе, бар један (нула вектор) који је елеменат њеног нула простора. Нула вектор је припадник нула простора сваке матрице. Алгебра лако доказује да (квадратне, регуларне) матрице ненултих детерминанти имају по само један вектор својих нула простора и ти су, наравно, нула вектори.

3. Физичке интерпретације нула вектора x матрице A су стања (тада су то интерпретације вектора x) које процес (интерпретација оператора A) не мења. На горњој слици десно је линк који је објашњава. Сунце (процес A) обасјава предмете (зелени, црвени и плави вектор x) који праве сенке на подлози (пројекције, вектори Ax). Онај од предмета који даје сенку нулте дужине (црвени вектор Ax = 0) био би из сунчевог нула простора. Ово је наставак прилога Null Space.

Null Space III » eng

Питање: Да ли и докле нула простор расте са степеном матрице?

Одговор: Да, нула простор може расти, али не и опадати са степе-новањем матрице. То повећање има крај.

Када процес траје и траје, форма-лно имамо степеновање матрице:

A → A² → A³ → ..., Aⁿ, ...

чији степени делују на евентуал-на почетна стања (ако таква пос-тоје и у будућности). Али, што је већи степен n = 1, 2, 3, ..., то је већи нула простор Aⁿ.

1. Теорема. Нека је A матрица реда k ∈ ℕ (квадратна типа k × k). Тада, нула простор степена A задовољава:

{0} ⊆ Null(A⁰) ⊆ Null(A¹) ⊆ Null(A²) ⊆ ... ⊆ Null(Aⁿ)

за сваки не-негативан цели број n.

Доказ: Пошто је А⁰ = I, јединична матрица, а 0 једини вектор пресликан у нулти вектор трансформацијом идентитета, имамо Null(A⁰) = {0}. Нека је x ∈ Null(A^n-1) за било који природан број n ∈ ℕ. Тада је A^n-1x = 0 и када обе стране множимо са A добијамо Aⁿx = 0, што значи да x ∈ Aⁿ, односно Null(A^n-1) ⊆ Null(Aⁿ), а то је и требало доказати. ∎

Интерпретирано, неизвесности реалности временом не расту. То можемо рећи обзиром да „реалност“ сматрамо опажљивом, трајном и истинитом, а у нула простору стања (вектори) су који процесом исчезавају. Речено то другачије, у свету око нас постоје „фикције“ (нереалности) чији број се не смањује. То је још једна потврда начелног минимализма.

Неизвесности опадају временом, али не могу сасвим исчезнути. Ово је јасно из начелне неизвесности природних токова. Међутим, са позиција нула простора и претходне теореме, исто излази из следеће две теореме.

2. Теорема. Нека је A матрица реда k ∈ ℕ. Ако постоји број n ∈ {1, 2, ...} такав да је Null(Aⁿ) = Null(Aⁿ⁺¹), онда је Null(Aⁿ) = Null(A^{n + m}) за сваки број m ∈ {1, 2, 3, ...}.

Доказ: Довољно је доказати да из Null(Aⁿ) = Null(Aⁿ⁺¹) следи то исто за корак више Null(Aⁿ⁺¹) = Null(Aⁿ⁺²), јер се тада добија ланац једнакости, уопште Null(Aⁿ) = Null(A^n+m) редом за m = 1, 2, 3, ..., при чему знамо да Null(Aⁿ) ⊆ Null(A^n+m) из претходне теореме.

Како Aⁿ⁺²x = 0 значи исто што Aⁿ⁺¹Ax = 0, то је вектор Ax ∈ Null(Aⁿ⁺¹). Међутим, по претпоставци је Null(Aⁿ) = Null(Aⁿ⁺¹), па је Ax ∈ Null(Aⁿ), односно AⁿAx = 0, тј. Aⁿ⁺¹x = 0, па x ∈ Null(Aⁿ⁺¹).

Дакле, сви чланови из Null(Aⁿ⁺²) припадају и Null(Aⁿ⁺¹). Сада имамо и инклузију Null(Aⁿ⁺²) ⊆ Null(Aⁿ⁺¹) која са претходном постаје једнакост Null(Aⁿ⁺²) = Null(Aⁿ⁺¹). Отуда индукцијом и тражено тврђење. ∎

Заустављање раста нула простора свакако настаје, јер се не могу све неизвесности поништити. Заправо о томе говори следећа теорема.

3. Теорема. Нека је A матрица реда k ∈ ℕ. Тада је Null(A^k) = Null(A^k+1).

Доказ: Из претходне две теореме непосредно је Null(A^k) = Null(A^k+1), јер димензија матрице A није већа од њеног реда k, а тиме нити број базних вектора уопште, па ни број независних вектора њеног нула простора. ∎

Row Space » eng

Питање: Шта је то простор редака (колона) матрице?

Одговор: Постоје четири основна подпростора матрица: i простори врста и ii колона, iii нула простор и iv транспоновани нула простор (леви нула простор). Погледајмо њихова значења, интерпретације и разлоге неких окомитости.

1. Простор колона (такође врста) матрице A типа m×n је векторски простор који те колоне разапињу. На пример, три колоне матрице:

\[ A_{2\times 3} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

разапињу 2-дим простор базе било које две од њене три колоне, такође и свака два независна 2-компонентна вектра. Међутим, врсте ове матрице опет су независни вектори, али то су два 3-компонентна вектора. Задати вектори, рецимо v₁ и v₂, формирају линеарне комбинације u = av₁ + bv₂ са произвољним реалним (комплексним) бројевима a и b, простора који дати вектори разапињу. Нула простору ове матрице припадао би рецимо вектор w = (-5, 1, 1)^⊤, јер је:

\[ A\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0. \]

Очигледно су реци матрице окомити на векторе њеног нула простора. А „леви нула простор“ настаје транспоновањем и множењем вектора лево од матрице.

2. Пример. Да ли су следећи вектори у нула простору дате матрице:

\[ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -3 & -1 & -2 \\ 0 & 7 & -1 \end{pmatrix}. \]

Проверити да ли су окомити на векторе њених врста (колона).

Решење: Множењем налазимо Au = (0, 0, 0)^⊤ и Av = (-1, -3, -17)^⊤. Другим речима, u ∈ Null(A) и v ∉ Null(A). Ово значи да су реци матрице окомити на вектор u, али не и на вектор v. Колоне матрице нису такве. Транспоно-вањем добијамо једначине u^⊤A^⊤ = (0, 0, 0) и v^⊤A^⊤ = (-1, -3, -17), па оваква окомитост прелази са редова на ступце. ∎

3. Детерминанта матрице примера је нула, det(A) = 0. Само су две од три њене врсте (колоне) линеарно независни вектори. Отуда и постоји тачно један нетривијални вектор у нула простору димензије dim Null(A) = 1, да би са две димензије простора којег разапињу њене врсте (колоне) укупно биле три димензије, односно ред матрице (типа 3×3).

Из реченог, систем линеарних једначина Ax = b има (бар једно) решење када и само ако је вектор b у простору којег разапињу колоне матрице A. То је добро позната ставка алгебре и не наводим је као неку посебност. А, да већи степен матрице има мањи простор колона — ређе знамо и вреди више за следеће новине теорије информације.

4. Теорема. Нека је X простор свих k×1 колона матрице A типа k×k. Тада за простор колона степена матрице важи:

X = Col(A⁰) ⊇ Col(A¹) ⊇ Col(A²) ⊇ ... ⊇ Col(Aⁿ)

за било који природан број n ∈ ℕ.

Доказ: Како је A⁰ = I, то је x = A⁰x за сваки x ∈ X. Према томе, Col(A⁰) = X. За произвољан природан број n нека је x ∈ Col(Aⁿ). Тада, по дефиницији простора колона, постоји y ∈ X такав да је Aⁿy = x, а што се може писати A^n-1(Ay) = x. Отуда x ∈ Col(A^n-1). Према томе, сви чланови Col(Aⁿ) уједно су и чланови Col(A^n-1). Другим речима Col(A^n-1) ⊇ Col(Aⁿ). ∎

Простор колона се смањује тачно за онолико колико нула-простор расте, степеновањем матрице, тако да је збир димензија једног и другог стално остаје исти, једнак реду дате матрице. У претходној интерпретацији, овде се током процеса, Aⁿ када n → ∞, ради о допуни реалности фикцијама. У случају ланца Маркова, када низањем броја карика он тежи црној кутији и само једном независном вектору колоне (врсте), гранична вредност је једно непрестано константно трајање на које не утичу полазне поруке.

5. Шире гледајући, укључујући и огромне размере васионе, немамо увек понављања истих процеса ни степене константних матрица. Немогуће је то и ради еквиваленције истина и неистина (бијекције заменама „тачно“ са „нетачно“ у изразима алгебре логике). Немогуће је смањивање укупне количине истинитих исказа (реалности) без једнаког опадања неистина (фикција). Излаз из овог парадокса, поред осталог, је у променама како самих генератора процеса тако и онога што они процесуирају.

Такав „излаз“ је нарочито у духу овакве теорије информације где радимо са информацијом као структуром простора, времена и материје, чија бит је неизвесност. Будућност тече ка вероватнијој, мање информативној, тј. извеснијој и уређенијој, мирнијој и може бити ефикаснијој, али и мање маштовитој. У природи реалности је да траје, те има све дужу прошлост (такође информативну), талог који усмерава и ограничава њену текућу садашњост.

Row and Column » eng

Питање: Зашто мислите да простори врста и колона матрице имају исте димензије?

Одговор: Није то „моје откриће“, него је то одавно утврђена ствар линеарне алгебре (Ранг). Ево о томе још неколико детаља.

1. Матрица A типа m×n имаће m редова, називамо их и врстама, a n ступаца, односно колона. Нека су то k-димензионални вектори. Свакако је k ≤ max{m, n}.

Дакле, постоји база E = {e₁, e₂, ..., e_k} од k вектора, e_i редом i = 1, 2, ..., k, који разапињу простор колона Col(A) матрице A. Колоне су линеарне комбинације вектора те базе. Формирајмо матрицу B[e₁, e₂, ..., e_k] чије колоне су вектори базе E. Тада је A = BC, где је C матрица колона које су координате колона A представљених помоћу базе E.

Слично даје множење транспонованих A = C'B', где је B'[e'₁, e'₂, ..., e'_k] матрица врста са векторима e'_j базе E' у којој се може записивати сваки вектор врста матрице A. База E' разапиње простор Row(A) врста матрице A, а редови матрице C' чине коефицијенти тих развоја.

База E не може имати више вектора од компоненти својих, од n, тачније од ранга базе врста матрице A. Отуда dim Col(A) ≤ dim Row(A). Међутим, важи и обрнуто, база E' нема више вектора него својих компоненти, нема их више од m, или тачније нема их више од ранга базе колона матрице A, а отуда dim Row(A) ≤ dim Col(A). Из ове две неједнакости произилази да простори врста и колона имају исте димензије.

У оба случаја множење даје исту матрицу A, линеарне трансформације свих вектора на које A делује воде у исте резултате, па су и базе оваквих простора истих димензија, dim Col(A) = dim Row(A). Приметимо, ово не значи да су вектори база E и E' једнаки.

2. Пример. Дата је матрица типа m×n (2×3):

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

Напишимо неке базе и одговарајуће матрице из (1).

Решење: За колоне матрице A имамо редом:

\[ E: \quad \mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \] \[ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 1\cdot \mathbf{e}_1 + 2\cdot \mathbf{e}_2, \quad \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 2\cdot \mathbf{e}_1 + 1\cdot \mathbf{e}_2, \quad \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = 3\cdot \mathbf{e}_1 + 0\cdot \mathbf{e}_2, \]

па је C = A и A = BC. У случају врста матрице A налазимо:

\[ E': \quad \mathbf{e}'_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}'_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \mathbf{e}'_1 + \mathbf{e}'_2, \quad \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} = 2\mathbf{e}'_1 - \mathbf{e}'_2, \] \[ C' = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}. \]

Множењем матрица, сада лако проверавамо A = C'B'. ∎

3. У овој теорији, субјекат не опажа оно какав објекат јесте него његову дуалну стварност. Сваки је субјекат на тај начин јединствен. Ако имамо стање субјекта x = (x₁, ..., x_n) и могућа стања опажања y = (y₁, ..., y_n) она подразумевају векторе, низове истих дужина n = 1, 2, 3, ..., а различите варијантности. Тако је информација перцепције:

\[ \mathbf{x}^\top \mathbf{y} = \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = x_1y_1 + \cdots + x_ny_n. \]

Ово се може писати:

\[ \mathbf{x}^\top y = (A^\top u)^\top y = u^\top A y = u^\top (Ay) = u^\top v, \]

што значи да је опажање првог x једнако опажању неког другог субјекта u, сада објекта v = Ay, тада другачијег, а истог оног y промењеног неким пресликавањем A. Транспоновањем колоне мењамо врстама и обрнуто, а димензије перцепција остају исте, иако број њихових елемената не мора бити исти (m ≠ n) када матрица (A) није квадратна.

Знамо да немају све биолошке врсте иста чула. За птице важан је вид, за слепе мишеве звук, шумским животињама мирис, али и када имају иста чула животиње не опажају исте боје светлости, или фреквенције звука и хемикалије. Наравно да постоји пуно више таквих чула, односно начина комуникације са околином, или интеракција. Зато поменута матрица не мора бити квадратна, али ти припадни субјекти и објекти су делови исте реалности истог броја димензија.

Column Space » eng

Питање: Имате ли још нешто да додате о простору колона?

Одговор: У линеарној алгебри, простор колона (такође имена домен или слика) матрице A је опсег (свих линеарних комбинација) њених вектора колона. Он Col(A) је окомит на нула простор Null(A) те матрице као што је том транспоновани простор редова Row(A) окомит на транспоновани нула простор исте матрице. Међутим, ово су познате ствари и верујем да од мене очекујете да сазнате нешто другима непознато. Погледајмо прво пар познатих ставова алгебре који утврђују претходно непосредније.

1. Теорема. Нека је A матрица типа k×k. Ако постоји неки n = 1, 2, 3, ..., природан број такав да је Col(Aⁿ) = Col(Aⁿ⁺¹), тада је Col(Aⁿ) = Col(A^n+m) за сваки природни број m.

Доказ: Довољно је доказати да из Col(Aⁿ) = Col(Aⁿ⁺¹) произлази следеће Col(Aⁿ⁺¹) = Col(Aⁿ⁺²), јер тражено тврђење затим следи индукцијом. За сада већ знамо (Row Space, 4. теорема) да Col(Aⁿ⁺¹) ⊇ Col(Aⁿ⁺²), а треба нам инклузија у другом смеру.

Нека је X простор свих колона вектора k×1. Узмимо произвољно x ∈ X и нека је u = Aⁿx. По дефиницији u ∈ Col(Aⁿ), а затим из Col(Aⁿ) = Col(Aⁿ⁺¹) следи u ∈ Col(Aⁿ⁺¹). Тако, постоји y ∈ X да је u = Aⁿ⁺¹y, или u = Aⁿ(Ay). То двоје даје Aⁿx = Aⁿ(Ay). Према томе, доказали смо да је иза сваког x ∈ X неко y ∈ X, па управо нађено важи.

Даље, претпоставимо u ∈ Col(Aⁿ⁺¹). Тада постоји x ∈ X такво да Aⁿ⁺¹x = u, или AAⁿx = u. Из горњег, постоји y ∈ X да је AAⁿx = AAⁿ(Ay) = Aⁿ⁺²y = u. Другим речима, добили смо u ∈ Col(Aⁿ⁺²). То значи да су сви чланови из Col(Aⁿ⁺¹) такође и у Col(Aⁿ⁺²), те је Col(Aⁿ⁺¹) ⊆ Col(Aⁿ⁺²). Тиме је доказ завршен. ∎

Простор колона степеновањем матрице A опада (тачније, не повећава се), а њен нула простор расте (не смањује се). Ако се за неки степен n ∈ ℕ деси застој у том опадању, тенденција опадања сасвим престаје. Проверимо да се такав застој сигурно дешава.

2. Теорема. Када је A матрица типа k×k, онда је Col(A^k) = Col(A^k+1).

Доказ: Из претходне теореме је Col(A^k) = Col(A^k+i) за сваки природни број i, јер колоне ове матрице разапињу највише k димензија. ∎

Опадање простора колона, узастопним пресликавањима A, A², A³, ... се завршава са истим експонентом када и раст нула простора ове матрице, јер им је збир димензија, првог и другог, једнак рангу (броју димензија) те матрице. Ово је на други начи утврђено и у претходним одговорима. Толико околишим да учиним уверљивијим прелазак са ове апстракције на њену интерпретацију у теорији информације, на парадокс који тада добија занимљив расплет.

3. Процес који траје, Aⁿ са растућим експонентом n, спонтано производи извеснија стања. При томе, простор колона интерпретирам „реалним“ за разлику од нула простора који би био „фиктивни“ (Null Space). Апсурдно је смањивање првог на рачун другог, обзиром на њихову еквиваленцију, шире гледајући. Али, на примеру промена енергије, знамо за различита локална нарушавања равнотеже током њеног глобалног одржавања. То сам већ помињао и није довољно ново за одговор овде.

Прво схватимо да брзину чамца који клизи по води сабирамо са брзином воде која тече да бисмо добили брзину чамца у односу на обалу. Затим да то важи и за брзине као усмерене дужи чији „збир“ је дијагонала парале-лограма коме су оне странице. Говорим о поопштавању у векторе и идеју векторског простора који има само четири аксиоме а обухвата сабирање сила, импулса, полиноме, решења диференцијалних једначина, па стања квантне механике и ко зна шта још.

Слично је сазревала теорија вероватноће, од Паскалових спорадичних и неповезаних, али уредних решења (16. век), све до три Колмогоровљеве аксиоме (1933) са којима је ту теорију превео у заокружену целину. Овај начин генералисања, преведен у физичку реалност и милијарде година развоја космоса који спонтано иде у већу извесност (према овој теорији информације), учинили би да реда буде више, а распарчаних исправних теорија буде мање. Просто, када би их производио мањи број начела.

На тај начин било би више истина, реда и правила, са заправо све мање теорија. Простор фантазија локално би изгледао већи, због већег броја комбиновања, са заправо глобалним смањивањем. Као у случајевима са „великим бројевима“ теорије вероватноће, наилазили бисмо различита решења за мали и велики свет.

Enlarging » eng

Питање: На чему заснивате хипотезу о смањивању брзине светлости у вакууму са старењем васионе?

Одговор: Да, то је још увек само радна хипотеза. Међутим, имам је у пакету са сазревањима због начелног минимализма. Такав важи и за свемир. Спонтано он једнако тежи више вероватним стањима, не информативним и извеснијим. Преопширно је за такву набрајати све разлоге, од многих које сам већ наводио и, зато, ево само једног тог каквог (одавно) нисам помињао.

1. Закон великих бројева инспирише. Када се прелази са мало на много исхода, он чини да случајности прелазе у правилности. Ова „необична“ појава, смештена у апстрактни простор вероватноћа са метриком, биће попут успорених кретања небеских тела галаксије у односу на кретања електрона у атому, када их сместимо у исти оквир. Потребно је око сто хиљада година да светлост пређе са краја на крај наше галаксије, а тек мали делић секунде да електрон прелети дужину атома.

Тај макро свет галаксија постаје врстом физике мањег света у којем би се брзина светлости у вакууму смањила, када бисмо је уместо садашњих око 300 000 km/s сводили на рецимо неких 30 km/s, али не само у плазмама, него доследно у свим природним законитостима.

2. Када доследно смањујемо брзину светлости у свим законима физике, тада ћемо водити рачуна да се производ таласне дужине и фреквенције фотона, λf = c, такође смањује сразмерно рецимо по сто пута. Ово веома лако може подразумевати смањивање свих димензија микро света тако да добијамо опет исту физику, осим што себе стављамо у позицију нечег већег, односно свега осталог мањим. Нашли бисмо се у стању упоредних посматрача који ће у оба релативна система кретања сопствена времена доживљавати једнако.

Садашњост би се понашала као тело који пропада у црну рупу, са стано-вишта посматрача изван гравитације, односно из далеке прошлости. То би било успоравање фреквенција догађаја и, сходно мањим количинама исхода, мањим информацијама. Велико је питање да ли би то тада дало не само мирнији, него и извеснији свет.

3. Потврду описаног убрзавања светлости имамо, за сада, само у далекој прошлости васионе у време њене космичке инфлације. Тада се граница простора ширила брже од светлости, али нисмо сасвим сигурни да ли су се евентулни парчићи (честице) тадашњег простора могли кретати оним увећаним брзинама, нити да ли је теорија инфлације поуздана (јесте то званична физика, али такве су биле и многе пре оспоравања).

Закон великих бројева такође нас упозорава да ово не мора бити обична хомотетија. На пример, илузија ширења свемира (Universe II), којом ова идеја почиње, због све мањих наших јединица дужина давала би стварно средње удаљавање галаксија и граница свемира (видљивих и других). То би значило растућу прошлост, затим и трајање, па „реалност“ космоса на начин моје дефиниције.

Стварно удаљавање галаксија значи проређивање супстанце свемира те опадање густине информације садашњости. Ово је у складу са начелним минимализмом, али и са успореним током времена маса којима простор између брже бежи у будућност. Међутим, неке приметне, лакше мерљиве разлике брзине светлости у вакууму сада и онда десиле би се тек на веома великим удаљеностима, као у случају дилатације времена видљивој само за брзине блиске брзини светлости.

Diagonal » eng

Питање: Тужна је та прича о свемиру, суморна. Мени је таква васиона депресивна, зар није?

Одговор: Кажете, заробљеници смо једне космичке „илузије“ и стјешњени у нама једино такво простор-време, али зар је ових 13,8 милијарди година мало?

Ово је детаљ из разговора које почесто прођем, док се трудим објаснити узбудљивије ставове алгебре и њихове интерпретације. Тај, занимљивији део разговора, смо водили око налажења степена матрице и завршавања таквих у „црним кутијама“ процеса уопште (не само Марковљевих).

1. Линк горње слике лево води до матрице са два својствена вектора:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad v_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \]

са својственим вредностима λ₁ = 3 и λ₂ = -1, тако да важи својствена, тј. карактеристична једначина Av_k = λ_kv_k за оба индекса k ∈ {1, 2}. Лако је проверавање множењем, али није тако лако налажење ових бројева (λ) или вектора (v). Међутим, када их већ имамо, тада имамо и једначину:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}, \]

односно A = PDP^-1, где је P[v₁, v₂] матрица чије су колоне својствени век-тори, а P^-1 њој инверзна матрица. Матрица D је дијагонална, она на гла-вној дијагонали има редом својствене векторе матрице A. Проучите ово, па да идемо даље.

2. Полазећи од A = PDP^-1 степеновањем налазимо:

A² = (PDP^-1)² = (PDP^-1)(PDP^-1) = PD(P^-1P)DP^-1 = PD²P^-1,

A³ = A²A = PD²P^-1 PDP^-1 = PD³P^-1,

Aⁿ = PDⁿP^-1,     n = 0, 1, 2, 3, ...,

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}, \] \[ A^n = \frac12\begin{pmatrix} 3^n + (-1)^n & 3^n - (-1)^n \\ 3^n - (-1)^n & 3^n + (-1)^n \end{pmatrix}. \]

Ово је један од начина налажења степена матрице, дијагонализацијом.

3. Када степеновање матрица посматрамо као процес и извучемо рецимо заједнички фактор 3ⁿ ове степене матрице, добијамо Aⁿ = 3ⁿB_n, где други фактор даје матрицу:

\[ B_n \to B = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}, \quad n \to \infty. \]

Ова гранична, B, је стохастичка матрица и „црна кутија“ интерпретирана као преносник расподела. Све (бинарне) расподеле она пресликава у исту хомогену (1/2, 1/2). Њене копије не откривају оригинале. Другим речима, процес који би се тако представио, на излазу дугог степеновања, давао би једну лажирану поруку да је на улазу била нека безличност, као космичка каша раних фаза Великог праска.

4. Теореме о простору колона (до Column Space) говоре о овоме сужавању простора колона стпене матрице, без обзира да ли таква има реалне или комплексне коефицијенте. На овај начин ће „црној кутији“ конвергирати Марковљеви ланци, квантни процеси, или реални (макро света) које овде често узимам за пример. Смањивање димензија простора колона, степен-овањем матрице, значи њену конвергенцију ка једнаким колонама, какве посматрачу на крају ланца (из садашњости) дају „лажну“ слику безличне далеке прошлости.

У том смислу ми јесмо заробљеници једне верзије развоја космоса, такве да би можда могла бити и другачија, али о којој можемо само маштати и жалити се на своју „суморну“ судбину. Међутим, зар није свет са толиким милијардама година свог трајања и растојања, са безбројним галаксијама у огромним пространствима, довољан да се не осећамо неслободни?

Degeneracy » eng

Питање: Шта када матрица има дупле својствене вредности?

Одговор: Није увек случај да k×k матрица има свих k различитих својствених вредности. На слици је такав резултат, а линк води у поступак налажења својствених вредности λ₁ = 2, λ₂ = 2 и λ₃ = 1 матрице:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

и одговарајућих (v_k) својствених вектора, редом:

\[ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \]

тако да Av_k = λ_kv_k, редом за k = 1, 2, 3. Ова матрица је линеарни оператор који векторе v₁ и v₂ удвостручује не мењајући им правце, вектор v₃ остаје исти, а свим осталим не нултим векторима свог простора деловања мења смерове и евентуално интензитете.

1. Ова матрица је дегенерисана, јер има поновљене својствене вредности (λ₁ = λ₂) са линеарно независним својственим векторима. Има својствене векторе v₁, v₂ и v₃ који разапињу 3-дим векторски простор. Ти су колоне помоћне матрице P[v₁, v₂, v₃], односно:

\[ P = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Ова друга је инверзна првој, тако да је производ PP^-1 = P^-1P = I јединична матрица. Међутим, A = PDP^-1, где је:

\[ D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

дијагонална матрица. Њени су дијагонални елементи редом својствене вредности матрице A и сви остали су нуле. Степеновањем, као у горњем одговору, налазимо Aⁿ = PDⁿP^-1, односно Aⁿ = 2ⁿB_n са матрицом:

\[ B_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 - 2^{-n} & 1 & 1 - 2^{-n} \\ -1 + 2^{-n} & 0 & 2^{-n} \end{pmatrix} \to B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad n \to \infty. \]

Гранична матрица B није стохастичка, јер има негативне коефицијенте, иако је збир сваке колоне један. Две њене колоне су идентичне, простор колона јој је 2-дим тако да на основу излазног вектора y = Bx не можемо тачно одређивати улазни x.

2. Замислимо да имамо три посуде са вредностима нечега (нпр. новца). Процес A кораком вредности прве удвостручи, а удвостручи и вредност друге којој још дода једнаке затеченим вредностима прве и треће, да би из треће посуде узео део вредности једнак првој.

Када у првој и трећој посуди нема вредности (v₁) тада процес A у даљим корацима само удвостручава вредност друге посуде, остављајући прву и трећу на нули. Слична равнотежа опстаје када једнака количина мањка из прве посуде колико је има у трећој, при чему је друга празна (v₂). Све три количине тада се удвоструче, али су њихови релативни односи исти. Коначно, трећи својствени вектор (v₃) је празно стање вредности у првој посуди са онолико дуга у другој колико има вредности у трећој. Дејство A тада уопште не може да промени нити односе ни вредности посуда.

Непрестаним понављањем процеса A, постајаће све јасније (B) удвостру-чавање вредности прве посуде корацима, којима износи друге буду збир количина све три, а треће негативној количини прве. Даље ови узајамни односи вредности посуда остају исти. Када нормирамо ове векторе, како се подразумева у квантној механици, онда занемарујемо коефицијент 2ⁿ испред матрице B.

3. Покушавам да примерима олакшавам разумевање навођења резултата понављањем операција. Копијама копија оригинали се мењају, али неки смерови опстају и доминирају. Они се намећу и трају као притајена сила која спонтано усмерава вередности, прилагођава копије стањима која се више неће мењати. Овако изречена, она је врста начелног минимализма у апстрактном облику линеарне алгебре.

Ако радимо са интерпретацијама вектора као стањима физичких система и линеарних трансформација њихових процеса, дакле, не можемо далеко од принципа минимализма. Стања се прилагођавају процесима, али су и процеси вектори, па се и процеси прилагођавају процесима. Цели космос се организује и поједностављује. То је смисао теорема о простору колона.

Taking Over » eng

Питање: Појасните ми шта сте мислили под „преузимањем“ ономад?

Одговор: Слично позајмљивању, тада (из једног од неформалних разговора) речено „преузимање“ односи се, да кажем драматично, на управљање космосом помоћу вишка слободне воље коју ми са виталношћу имамо у односу на мртву физичку супстанцу од које се састојимо. Та супстанца следи принцип најмањег дејства, а ми много лабавији минимализма и стога имамо вишак воље.

1. Имајући изборе које нежива физичка супстанца нема, ми мењамо своју судбину, своје окружење и токове. Мењајући стања и процесе којих не би било без наше воље, мењамо и саму васиону. Тако долазимо до неколико питања, од којих је једно: Колико су такве промене далекосежне? Да ли је то само гребање по површини нечега превеликог, или је попут прелазака из једне собе у неку сасвим другу? Зашто? — биће најбоље парче одговора на ово питање.

2. Разматрања простора колона степена матрица показују нам да процеси понављањем теже сталном смањивањем разлика претходних стања да би их водили својим исходима. Они су тихи опоненти нашој слободној вољи који на дуге стазе редовно побеђују. Као по закону „акције и реакције“ ми улажемо свој вишак избора у односу на мртву физичку твар да би нам тај мртви свет дао део себе. Колико дајемо толико добијемо и ништа више.

3. Са друге стране имамо и теорију детерминистичког хаоса која види да постоје мали окидачи, мала дејства која кумулативно стижу до крупних последица. Зато што су детерминистичке на те појаве није лако утицати, али оне су периодичне и тако постају ограниченог домета (Attractor). Та хаотична понашања прво су примећена и проучавана у метеоролошким појавама. Један од оснивача теорије хаоса, Едвард Лоренз (1917 – 2008), био је математичар и метеоролог.

4. Као у случају лажи, која нас привуче својом лагодношћу (неистинитој, дефицитарној информацији, сходно начелном минимализму), потом би да иде ка отрежњењу и разочарењу преварених. Она отвара тај проблем тада да покрије ствар сада, преузимајући решење из будућности и као у некој игри нултог збира (колико један добија толико други губи) и вуци сити и овце на броју. Када се дешава и добар лажов тада, онда ова „игра преузимања“ може да траје и траје. Као у таквим случајевима, поремећај мртве физичке стварности може прећи велике удаљености (просторне и временске).

Преносећи се на велике удаљености, поремећај истине у својим корацима мора добијати додатне импулсе за наставак. Такви су и процеси физичке стварности иначе, када примећујемо да свака физичка информација има своје дејство и ако је кретање садашњости из прошлости у будућност оно што приповеда ова теорија информације. Спонтана тежња ка већој веро-ватноћи, зато мањој информацији, односно мањем дејству фундамент је теорије, при чему је потпуно одсуство дејства немогуће. Међутим, само је дошао до изражаја закон одржања и преузимање „колико дајеш толико добијаш“.

5. Слично описаном поремећају истине котрљају се и виталности, путем живих бића, њихових умирања и рађања, преноса наследних особина те „бирања прилагођених“ (еволуције). На том нивоу не ради се више само насумичним бирањем једнако вероватних него ка трајању живота иде и начело минимализма. На пример, тежећи ослобађању од информације, жива јединка своје слободе предаје колективу, рецимо ради сигурности. Поправак ефикасности често је мањи утрошак информације (дејства) за исти износ комуникације (интеракције).

Пренос поремећаја је и развој науке, технике и уопште знања. Њутн је, када су га питали како је успео откривати физику и гравитацију (1687), одговорио да је стајао на раменима дивова. Тежећи реду, слично току давања личних слобода групи, доминацији и ефикасности, ми желимо законитости, односно мање неизвесности и мање опција. Поткрадајући будућност (желећи већи ред тада), истраживач непознатог себе излаже непријатности бројнијих опција (креативности) сада.

5. Математика је аналоган процес спајања и удруживања у веће логичке конгломерате. Ово је врлим делом примећивао и Поенкаре (1854 – 1912) филозофирајући о математици као вештини спајања сличних слика, или симбола, односно појмова. Својом вештином (користећи и лаж у тражењу истине) математичар премошћује (Bridging, 6) и ствара веће групе острва истина, иначе недоступних дедуктивној теорији која би била од истина и само истина. Међутим, тако ради и природа у развоју космоса начелним минимализмом, претпостављам.

Recursion IV » eng

Питање: Имате ли још неки начин налажења n-тог степена матрице сем дијагонализацијом?

Одговор: Како да не. Могло би се рећи да је рекурзија онај типичан начин тражења степена матрице. Иначе, питање о рекурзијама ми је често долазило (Recursion III).

1. Рекурзивна релација:

a_n + αa_n-1 + βa_n-2 = 0,

има индексе n = 1, 2, 3, ... који ће означавати вредности варијабли a₁, a₂, a₃, ..., где по две узастопне дефинишу трећу. При томе су α и β произвољне константе. Њој припада карактеристична једначина са решењима x₁ и x₂:

x² + αx + β = 0,

\[ x_{1,2} = \frac{-\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 4\beta}}{2}. \]

Када су решења различита (x₁ ≠ x₂), опште решење дате рекурзије је:

a_n = c₁x₁ⁿ + c₂x₂ⁿ,

где су c₁ и c₂ непознате константе које дефинишу почетни услови. Када карактеристична једначина има двоструко решење (x₁ = x₂ = x₀), онда је опште решење дате рекурзивне релације:

a_n = c₁x₀ⁿ + c₂nx₀ⁿ,

где су опет c₁ и c₂ константе одређене почетним условима.

Да су ово заиста решења дате рекурзивне релације, лако се проверава уврштавањем. На пример, када су корени карактеристичне једначине различити (x₁ ≠ x₂), имамо:

a_n + αa_n-1 + βa_n-2 =

\[ (c_1x_1^{n+1} + c_2x_2^{n+1}) + \alpha(c_1x_1^n + c_2x_2^n) + \beta(c_1x_1^{n-1} + c_2x_2^{n-1}) = \] \[ = c_1(x_1^{n+1} + \alpha x_1^n + \beta x_1^{n-1}) + c_2(x_2^{n+1} + \alpha x_2^n + \beta x_2^{n-1}) \] \[ = c_1x_1^{n-1}(x_1^2 + \alpha x_1 + \beta) + c_2x_2^{n-1}(x_2^2 + \alpha x_2 + \beta) = 0. \]

Слично се проверава двоструко решење (x₁ = x₂).

2. Иста рекурзивна релација (m = n - 2) може се писати матрично:

\[ a_{m+2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\beta & -\alpha \end{pmatrix}^m \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}. \]

Наиме, за m = 1, проверавамо:

\[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\beta & -\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\beta & -\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = a_3, \]

а отуда -βa₁ - αa₂ = a₃, односно горња релација за m = 2. Следећи корак:

\[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\beta & -\alpha \end{pmatrix}^2 \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \] \[ = [\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\beta & -\alpha \end{pmatrix}][\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\beta & -\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}] \] \[ = \begin{pmatrix} -\beta & -\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \]

а то је -βa₂ - αa₃ = a₄, што даје горњу рекурзивну релацију за m = 3. Даље провере следе индукцијом. Доказ математичком индукцијом следи из:

\[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\beta & -\alpha \end{pmatrix}^m \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \] \[ = [\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\beta & -\alpha \end{pmatrix}] [\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\beta & -\alpha \end{pmatrix}^{m-1} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}] \] \[ = \begin{pmatrix} -\beta & -\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_m \\ a_{m+1} \end{pmatrix} = a_{m+2}, \]

где је претпоставка индукције у другој угластој загради.

3. Пример. Наћи опште решење рекурзије:

a_n = 2a_n-1 - a_n-2,

са почетним условима a₁ = -1 и a₂ = 1.

Решење: Први начин. Карактеристична једначина је x² - 2x + 1 = 0, са двоструким решењем x₀ = 1. Из (1) опште решење је a_n = c₁ + nc₂, па уврштавајући почетне услове, из система линеарних једначина:

a₁ = c₁ + c₂ = -1,     c₁ + 2c₂ = 1,

налазимо c₁ = -3 и c₂ = 2, а отуда тражена рекурзија a_n = -3 + 2n. То је низ бројева: a₁ = -1, a₂ = 1, a₃ = 3, a₄ = 5, a₅ = 7, ...

Други начин. Како је α = -2 и β = 1, биће:

\[ a_{m+2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}^m \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \]

где смо у матрицу-колону (вектор) уврстили почетне вредности. Отуда:

\[ a_{m+2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -m + 1 & m \\ -m & m + 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 2m + 1. \]

Сменом m = n - 2 испада претходно нађена рекурзија и њен низ. ∎

4. Потражимо m-ти степен матрице другог реда. Тада је:

\[ M^{m+1} = \begin{pmatrix} a_{m+1} & b_{m+1} \\ c_{m+1} & d_{m+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{m+1} = \] \[ = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^m = \begin{pmatrix} aa_m + bc_m & ab_m + bd_m \\ ca_m + dc_n & cb_m + dd_m \end{pmatrix}, \] \[ \begin{cases} a_{m+1} = aa_m + bc_m & b_{m+1} = ab_m + bd_m \\ c_{m+1} = ca_m + dc_n & d_{m+1} = cb_m + dd_m \end{cases} \]

Из прве и треће од ове четири једначине налазимо:

\[ a_{m+1} = aa_m + bc_m, \quad c_{m+1} = ca_m + dc_m, \] \[ a_{m+2} = aa_{m+1} + bc_{m+1} = aa_{m+1} + b(ca_m + dc_m) = \] \[ = aa_{m+1} + bca_m + d(a_{m+1} - aa_m) \] \[ = aa_{m+1} + bca_m + da_{m+1} - ada_m. \]

Сличним поступком и сређивањем, па сменом m = n - 2 добијамо:

a_n - (a + d)a_n-1 + (ad - bc)a_n-2 = 0,

b_n - (a + d)b_n-1 + (ad - bc)b_n-2 = 0,

c_n - (a + d)c_n-1 + (ad - bc)c_n-2 = 0,

d_n - (a + d)d_n-1 + (ad - bc)d_n-2 = 0.

То су горње рекурзије (1), свака са евентуално посебним коефицијентима α_s = -a - d и β_s = ad - bc, за s ∈ {a, b, c, d}, због разлика почетних услова.

5. Пример. Показати да је n-ти степен матрице другог реда:

\[ \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} \frac23\cdot 5^n + \frac13\cdot 2^n & \frac23 \cdot 5^n - \frac23\cdot 2^n \\ \frac13\cdot 5^n - \frac13\cdot 2^n & \frac13\cdot 5^n + \frac23 \cdot 2^n \end{pmatrix}. \]

Решење: Када не знамо решење, крећемо од карактеристичне једначине:

x² - 7x + 10 = 0,

чија су решења x₁ = 5 и x₂ = 2, дакле различита. Четири групе почетних услова наћи ћемо из s_n = α_s⋅5ⁿ + β_s⋅2ⁿ и:

\[ \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 18 & 14 \\ 7 & 11 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}^3 = \begin{pmatrix} 86 & 78 \\ 39 & 47 \end{pmatrix}. \]

Ту је више него довољно бројева за одређивање почетних услова:

a₁ = 4,   a₂ = 18,   a₃ = 86,
b₁ = 2,   b₂ = 14,   b₃ = 78,
c₁ = 1,   c₂ = 7,   c₃ = 39,
d₁ = 3,   d₂ = 11,   d₃ = 47.

Подсећам, они вежу коефицијенте првих чланова низова:

a₃ = α_a⋅a₂ + β_a⋅a₁ = α_a⋅18 + β_a⋅4 = 86,
b₃ = α_b⋅b₂ + β_b⋅b₁ = α_b⋅14 + β_b⋅2 = 78,
c₃ = α_c⋅c₂ + β_c⋅c₁ = α_c⋅1 + β_c⋅7 = 39,
d₃ = α_d⋅d₂ + β_d⋅d₁ = α_d⋅11 + β_d⋅3 = 47.

Међутим, сви осим првих парова служе за проверу. Наиме, из:

a₁ = α⋅5 + β⋅2 = 4,   a₂ = α⋅5² + β⋅2² = 18,

па множењем прве једначине са -2 и сабирањем са другом излази α = 2/3. Ово уврштавамо у једну од те две (било коју) једначине па израчунавамо да је β = 1/3. Према томе, дати коефицијент a_n степене матрице тачан је. Слично проверавамо и остала три коефицијента наведеног решења. ∎

Коефицијенти матрице су бирани тако да оба решења карактеристичне једначине буду реални бројеви, што они обично нису. Али, чак и када су низови реални, наравно, биће то и са комплексним карактеристичним.

6. Решења карактеристичне једначине (1) су својствене вредности ових степена матрица, попут оне из (5) примера. Наиме, из Av = λv следи да Aⁿv = λⁿv, па израчунавамо:

Aⁿv + αA^n-1v + βA^n-2v = 0,

λ^n-2(λ² + αλ + β)v = 0.

λ² + αλ + β = 0,

па је λ корен карактеристичне једначине. Наводио сам посебне примене овог запажања о рекурзији степеновања матрица (Pest), али такво има и шире интерпретације.

Једна је да доминантни правци стања у која их процеси са понављањем гурају постају својствени датом процесу. Са онолико виталности колико је трошимо против природних процеса на толико вештачких последица можемо рачунати. Толико још отклона од својствених смерова можемо задржавати колико можемо успорити њихову конвергенцију. Утисај ће сићушне слободне воље на космос бити сићушан.

Fractals » eng

Питање: Рекурзије су самој себи сличне појаве?

Одговор: Такви су фрактали, они су геометријски ликови које могу разлагати на мање делове који су приближне и сразмерно смањене копије целине. Рекурзије су исто такве, или мало комотније. Врло су кориштене код програмирања обе (Practice), функције у којима се дефинирајућа функција опет примјењује унутар дефиниције.

Љуштење лука је живописан ток рекурзија, са последњим слојем, када љуштење више није могуће као основним слојем. Породично стабло је мало бољи пример, када за сваког од родитеља тражимо њихове роди-теље (бабе и деде деце), све до оних којима више не налазимо порекло.

Без основних случајева рекурзивни позиви могу измаћи контроли (stack overflow), а рекурзивни начини решавања знају бити спорији од других, због претераног кориштења меморије. Те две важне препоруке иначе су за компјутераше, али говоре нам и нешто значајно уопште за ову теорију информације. Задржаћу се само на оним које раније нисам наглашавао.

1. Када се утврди да је појава „стварна“ (опажљива, трајна и истинита), а затим одвоји оно што је јединствено остаће поновљиво. Они делови који нису конкретни су теоријски, вишеструко се понављају на много места и начина. Укратко, међу „реалне“ спадају и конкретне и апстрактне појаве које прве од других разликује различитост од редундансе.

Очигледно да фрактали имају поменуту поновљививост. Међутим, када их проналазимо у стварности наилазимо на њихову недоследност. Тако, на горњој слици лево, фракталима представљено „острво“ може бити са коначном површином али бесконачног обима. Други пример фалинке у фрактала стварао би закон великих бројева мењајући макро у односу на микро свет. Слична томе је промена запремине тела са кубом дужине, а површине са квадратом.

2. Програми за решавање лавиринта често користе рекурзије. Не бавимо се овде њиховим варијантама, него примећујемо да неефикасност таквих метода није у природи стварности. У природи понашања честица-таласа, материјалних честица као и већих тела није да спознју све могуће путеве између два места свог кретања да би нашли најкраћа растојања, времена путовања, или најмањи утрошак дејства. Такво расипање ресурса било би у противречности са захтевима опште штедње.

Уместо разбацивања меморијом, тражењима около и временом, начелно минимално је срљање, али онакво које је увек себи доследно. Испоставља се да природа на тај начин може функционисати и да тако функционише. У случају мртве природе довољно је слепо држати се принципа најмањег дејства. То се догађа и са присуством виталности, али је мање видљиво и лакше је рећи да тада важи начелни минимализам.

3. Чување прошлости имало би исти проблем са ефикасношћу, када би се држало крајње доследности, детерминизма. Реалност је таква да траје, па зато има растућу прошлост. Могућност сећања на прошлост, постојаност и истинитост чине је стварном, а у овој теорији и информативном текућој својој будућности (нашој садашњости). Стога историја стално бледи, губи информације о себи и што је старија у том смислу вероватније је тања.

Када би се прошлост и мењала, поред тога што исијава информације ка стањима својих настанака (садашњости), преоптеретила би стварност и не би одржавала њену укупност. Оно што је било (веома) је једносмерно током информација, управо зато што је део реалности (која конзервира количину информације). За себе, догађаји из прошлости могу тећи и ка другим смеровима, што се ове теорије тиче, па се и расипати свукуда све док њихов доток садашњости тачно (не)достаје закону одржања.

4. Промена догађаја коју наша садашњост не опажа, просто речено, била би развој тог догађаја у другим димензијама времена. Тачније речено, то се тиче ове теорије и њој је прихватљиво објашњење. Тако долазимо и до раније помињаног, а сада инспирисаног фракталима, приоритета статуса кво као обједињујућег над принципом најмањег дејства теоријске физике и начелом минимализма ове теорије информације.

Реалност захтева непроменљивост, али дозвољава и фикцију. На пример, као што имамо конзервирање укупне енергије заједно са мењањем њених облика, или у математици острва чистих истинитости повезана (Bridging) неистинитостима, тако остављамо могућност реалности да борави и тамо где нас нема. Догађај (A) наше (B) прошлости, када је то прошлост и неке (C) паралелне реалности, према захтеву ове теорије чине једну заједницу реалности (A-B-C). Међутим, можете прву (A) називати само стварношћу, другу (B) прошлошћу, а (C) псеудо-реалношћу.

In and Out » eng

Питање: Какве су то унутрашње и вањске информације?

Одговор: Питање се односи на нетријвијалне појаве, прво на „информацију перцепције“, а друго на „комутаторе“ и даље примењено на централне силе, посебно Кеплеров други закон. Сувише банално било би стога причати о информацијама које чувамо или не чувамо за нешто, или сличном, па ћу такве делове одговора оставити за неку другу прилику.

1. Обратимо пажњу на Мопетјеов принцип о одржању дејства (S = mvx). Природа настоји одржати производ масе импулса и пређеног пута, или импулса и пута, константним. То је оно о чему говорим у „информацији перцепције“, ево како. Интелигенција I, у смислу способности или моћи обраде информација, директно је пропорционална дејству S, схваћеном као извесна „количина могућности“, а обрнуто је пропорционална H, тј. хијерархији, односно ограничењима. Тако, I = S/H, а отуда S = IH.

Ову формулу широко схватам, не само примењену на физичку материју, него и на жива бића. Тако, већа интелигенција иде већем деловању, које је на тај начин и већа слобода, али већем деловању помоћи ће и увећање хијерархије. То је необично једноставна и веома далекосежна формула о појавама које су само делом интуитивно лако схватљиве. Рецимо, ту је у претходном одговору наведен „приоритет статуса кво као обједињујућег над принципом најмањег дејства и начела минимализма“.

2. Слично Њутновим (1687) телима која остају у стањима мировања или једноликог праволинијског кретања све док на њих не делују нека друга тела или силе, овде налазимо тежњу информације (количине опција) да задржи статус кво, поред све претходне физичке материје. Као тело које је на који год начин доспело у стање, рецимо, веће кинетичке енергије и настоји га одржати, тако ће и мало вероватна појава, када се већ десила, настојати да опстане.

Узроци су различити тим сличним последицама. У телу које је покренуто стекла се нека кинетичка енергија које би се оно решило сваком згодном приликом, али која не наилази, као и у неизвесној појави која је једнако акумулација неке енергије, импулса, тада извесности која наставља своје трајање. Уосталом, за укупну неизвесност, или информацију, важе неки закони одржања који неће дозволити тек тако њихово нестајање.

3. Таквим поређењем долазимо до унутрашње и вањске информације као сопствене брзине, какву објекат види из сопственог оквира, тј. система из мировања, мерено сопственим временом које тече спорије од релативног, наспрам вањске брзине у којој тело види релативни посматрач. Обе имају неке „законе инерције“, свака на посебан начин. Прва информација лежи у грађи тела, а другом тело комуницира са околином.

Посматрано у једној равни (Oxy), са само два степена слободе x и y, прва и друга информација (зависно од дефиниција вектора, стања A и B) су:

A⋅B = {A, B} = a_xb_x + a_yb_y = ab cos φ,

A×B = [A, B] = a_xb_y - b_xa_y = ab sin φ,

где угао φ = ∠(AOB) представља отклон између датих стања. Раније сам ове, информацију перцепције и комутатор, записивао као скаларни или векторски производ, помоћу заграда, односно производа интензитета и косинуса и синуса углова, па је тако и овде. Може и овако:

ab e^iφ = ab(cos φ + i sin φ),

где је i² = -1. Ово је укупна информација (реалних величина) писана као комплексан број.

4. Када се тело нађе испред баријере великог мањка или вишка вањске информације, неће је олако прећи, као што се углавном неће одрицати присутне, или прихватати додатну унутрашњу, спрегнуту информацију. Мало по мало улазиће, рецимо, у гравитационо поље којем тело улази, сматрам, одричући се вишка информације, идући ка местима која су му вероватнија. Супротна врста баријера је између паралелних реалности.

Паралелну реалност, ако би постојале као додатне димензије времена, имале би иста тела (на сличне начине), дакле попуњене капацитете, тј. једнаке укупне количине информација (енергија) и биле би телима са других страна одбојне. Истом приликом када се реализује неки случај једним исходом у једној реалности, а са другим у другој, та два исхода постају један другом одбојни и остају заточени у својим окружењима.

5. Вањска информација (Conics) у релацији је са „силама“ које из околине делују на делове тела. У случајевима тачака из каквих тих деловања нема, када би такве биле једине, тело се креће једнолико праволинијски, али су такве реткост, или веома удаљене. Према томе, околина ће скоро сигурно комунирицати (бити у интеракцији) са сваким телом, па није свеједно да ли је она презасићена као, рецимо, у паралелној реалности.

Barrier » eng

Питање: Јесте ли сигурни да је „презасићеност“ главни узрок раздвајања „паралелних реалности“?

Одговор: Наравно да нисам. Не само да ми таква презасићеност изгледа као главни узрок раздва-јања светова, него ми не изгледа нити као обичан узрок. Међутим, ако већ нагађам трудим се да ми изгледа као да погађам, али када се нешто једном утврди као баш сигурно, оно тада бива досадно.

1. Вероватноћа догађаја A под условом да се догодио догађај B је условна вероватноћа коју означавамо Pr(A|B). Догађај A је независан од догађаја B када је Pr(A|B) = Pr(A), уколико су условна вероватноћа и вероватноћа једнаке. Такође, независни су догађаји ако Pr(AB) = Pr(A)Pr(B), односно када је вероватноћа њиховог пресека (заједно оба) једнака као производ њихових вероватноћа. При томе, aко су догађаjи A и B независни, онда се они не искључуjу (Independence).

Са друге стране, aко се догађаjи A и B искључуjу, онда су они зависни. На пример, поменуте „паралелне реалности“ нису независне, јер имају нека заједничка исходишта у реализацијама које су их повеле ка различитим исходима. Такав је тренутак дилеме падања „писма“ или „главе“ баченог новчића када сваки од исхода одлази у другачију реалност, или слободе наше воље да одлучимо хоћемо ли ово или оно којом бирамо будућност. То нам говори да се „паралелне реалности“ узајамно искључују.

2. Слично се догађа са колапсом суперпозиције квантног стања у неку од обзервабли датог мерења. Такве обзервабле се узајамно искључују, јер су произашле из исте суперпозиције. Оне затим воде своје одвојене животе у „паралелним реалностима“ начином субјеката који не могу међусобно комуницирати. Таква раздвајања подсећају на распад тела и удаљавање његових честица које се затим удаљавају да се више никада не би среле.

Такав разлог раздвајања „паралелних реалности“ лично ми је допадљив, више од поменуте презасићености, али не кошта ме ништа да испробам оне алтернативе. Примети да је ово још увек мој приватни сајт и наводи му нису за јавне објаве. Управо зато су ми и интересантни истраживању, хоћу рећи да знам да паралелне реалности заиста постоје, ко зна бих ли се њима уопште бавио (забавља ме и ово извртање језика).

3. Какву би занимљивост могло произвести алтернативно промишљање погледајмо из следећег примера. Два предмета која се удаљавају видеће (фотоне) црвени помак оног другог. То значи развлачење свих таласних дужина светлости, изворних какве би они сами имали, односно њихова повећања „неизвесности положаја“ у тумачењу Хајзенбергових релација неодређености. Доследно, оне иду ка већој извесности.

Ова паралела са ходом ка већој извесности поготово одговара схватању „све садашњости“ као неког тела које се креће од неизвесности, односно удаљава од прошлости, обзиром да је тело које се удаљава све даље у тој прошлости. Тело које нам се приближава, има скраћене таласне дужине светлости, дакле положаје мањих неизвесности, а са друге стране, према специјалној релативности оно нам стиже из будућности. Са претходним, ми вероватније идемо ка будућности.

4. Сада са друге стране, опет долазимо до тога да „паралелне реалности“ раздваја немогућност комуникације (не комуницира све са свачим), пре него „презасићеност“ која је неретко такође баријера између (неких). Па тако, након разматрања обе могућности, бар знамо да су та два тумачења праве алтернативе, да се узајамно искључују, или да можемо узети једну без друге. Остају отворена питања: колико тога је обједињено у појединој од „паралелних реалности“, шта их држи скупа и како се пронађу сродни исходи.

Април 2025 (English ≽)