Фебруар 2025 (English ≽)

The bell » eng

Питање: На какву то „правилност“ насумичности се позивате?

Одговор: Дистрибуција верова-тноће је статистичка функција која описује све могуће вредно-сти и вероватноће које случајна променљива може да поприми у датом опсегу.

На слици десно приказана је таква нормална, или Гаусова расподела. То је „звонаста крива“ са вредностима непрекидних случајних променљивих x дуж апсцисе. Површине изнад апсцисе и до криве линије су њихове интегралне вероватноће променљивих (a ≤ x ≤ b):

\[ \Pr[a, b] = \int_a^b\rho(x)\ dx, \]

где је ρ(x) густина вероватноће на месту x, односно густина варијабле x, а ординате криве су ρ = ρ(x), где је густина вероватноће:

\[ \rho(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}. \]

Најгушће вероватноће су око варијабле μ коју називамо очекивање (енг. Expectation) и оно у општем случају износи:

\[ \mu = E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\rho(x)\ dx, \]

Друго слово σ на слици је корен средњег квадратног одступања од средње вредности чији квадрат називамо варијансом:

\[ \sigma^2 = E[(X - \mu)^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2\rho(x)\ dx. \]

Дисперзија је уопште назив за расипање око неких вредности, па се ова сигма понекад назива и дисперзијом. На слици се види да променљиве од μ - σ до μ + σ садрже 68,2 одсто свих вероватноћа Гаусове расподеле. Променљиве од μ - 2σ до μ + 2σ покупиће приближно 95,4 одсто таквих вероватноћа, а оне од μ - 3σ до μ + 3σ садрже скоро све вероватноће ове нормалне расподеле.

Гаусова расподела је називана „нормална“ након научних публикација у 19. веку које су откривале многе природне појаве са безмало правилним одступањима од средње вредности. Идеју о „нормалној променљивости“ учинио је популарном природњак Галтон у раду „Природно наслеђе“ из 1889. године. Међутим, финансијске и неке друге појаве не прате сасвим нормалну расподелу него знају бити мање или више слегнуте.

Међутим, централна гранична теорема, која важи за низове независних случајних променљивих са истом расподелом вероватноће, са коначним очекивањем и дисперзијом, тврди да ће расподела узорака тих средњих вредности бити нормална када је величина узорка довољно велика. Без обзира да ли популација има нормалну, Пуасонову, биномну, или било коју другу расподелу, дистрибуција узорка те исте средње вредности ће бити нормална. Отуда велика применљивост Гаусове расподеле.

Када је X₁, X₂, X₃, ... низ случајних променљивих из неког истог простора вероватноће, а једнаких и узајамно независних расподела вероватноћа те коначних μ и σ, посматрамо n-ту парцијалну суму:

S_n = X₁ + X₂ + ... + X_n.

Лако видимо да S_n има очекивање nμ и варијансу nσ². Стандардизована случајна променљива:

\[ Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \]

када n → ∞ тежи нормалној расподели средње вредности 0 и варијансе 1. То је садржај поменуте централне граничне теореме и он се на овај начин рутински користи у статистици.

Приметимо да формирајући стандардизовану случајну променљиву Z_n у овом случају сабирамо једнолике независне расподеле X_k у вредности S_n које тада постају нове случајне променљиве. Прво, ми тиме дефинишемо треће случајне променљиве Z_n са унапред задатом средњом вредношћу μ и дисперзијом σ. Друго, до ње долазимо хомогеном расподелом, иначе са највећом информацијом од свих на задатом интервалу.

Наиме, када могући исходи нису подједнаких шанси и дешавају се чешће вероватнији, таква је појава мање информативна, мање је неизвесна. Оно што формирањем Z_n правимо је супротно таквим, расподела уједначених шанси дате дисперзије σ. Она ће због тога постати максималне Шенонове информације. Међутим, знамо од раније (Екстреми, 1.7) да дате коначне варијансе σ² највећу информацију \(S \le \ln(\sigma\sqrt{2\pi e})\) има управо нормална расподела и само она.

Ово информатичко објашњење (доказа) централне граничне теореме је уједно и образложење узрока одступања природних појава од нормалне расподеле, које знају бити мање или више слегнуте. Наиме, природа ће спонтано тежити стањима мање информације. Она не воли једнакости и покушава доћи до реда у различитостима.

Chebyshev » eng

Питање: Шта је са „правилностима“ расподела које нису нормалне?

Одговор: Чебишевљева неједнакост је општија верзија за ограничење процената густина од наведених за нормалне расподеле. У овој слици леви граф скицира нагомилавања густина Гаусове расподеле, а десни општих Чебишевљевих. Око 75 одсто свих шанси налази се у распону између μ - 2σ и μ + 2σ вредности случајних променљивих, а близу 89 одсто је у распону од μ - 3σ до μ + 3σ.

Следећа теорема утврђује Чебишевљеву неједнакост са доказом за општи случај очекивања μ. Раније сам наводио доказе ове неједнакости посебно за непрекидне расподеле и посебно дискретних, оба за очекивања μ = 0.

Теорема. За произвољну расподелу случајних варијабли из скупа X, са математичким очекивањем μ = E[X] и варијансом σ² = V[X] = E[(X - μ)²], за произвољан реални број r > 0 важи неједнакост вероватноће:

\[ \Pr[|X - \mu|\ge r] \le \frac{\sigma^2}{r^2}. \]

То је Чебишевљева неједнакост.

Доказ: У општем случају (∀μ ∈ ℝ) је:

\[ \sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2\rho(x)\ dx \ge \] \[ \ge \int_{-\infty}^{\mu - r}(x-\mu)^2\rho(x)\ dx + \int_{\mu + r}^{\infty} (x-\mu)^2\rho(x)\ dx \] \[ \ge \int_{\infty}^{\infty} r^2\rho(x)\ dx + \int_{\mu + r}^\infty r^2 \rho(x)\ dx \] \[ = r^2\left(\int_{-\infty}^{\mu - r}\rho(x)\ dx + \int_{\mu + r}^\infty \rho(x)\ dx\right) \] \[ = r^2\Pr[|X - \mu|\ge r], \]

а отуда наведена Чебишевљева неједнакост. ∎

На пример, у неком разреду дат је тест на којем је постигнути просек био μ = 60 од сто могућих бодова са дисперзијом σ = 15 процената. Питамо се колико је ученика надмашило, или подбацило просек за више од r = 30 одсто бодова:

\[ \Pr[|X - 60| \ge 30] \le \frac{15^2}{30^2}. \]

То је четвртина, односно 25 одсто ученика.

Лако је даље разумети зашто примена Чебишевљеве неједнакости иде и далеко изван статистичке анализе. Она је важна алатка за проналажења отклона од „правилности насумичности“, у откривању лажних података, или за постављање норми, уопште моделирања, па и машинског учења.

Чебишевљева неједнакост открива нам да постоји и граница вероватноћа на удаљености r од средње вредности μ. То је граница која опада начином сталних централних сила — са квадратом удаљености. О тој повезаности апстрактног простора вероватноћа и физичког простор-времена написао сам пуно тога (локално, приватно) што је углавном обједињено у скрипти Спрега Информација (1.2.4 Конусни пресеци).

Укратко, може се доказати да ма какве константне централне силе, попут Њутнове гравитације, такође Кулонове електрицитета, морају опадати са квадратом удаљености. Затим да оне покрећу набоје по линијама коника тако да потег који спаја центар и набој у једнаким временима пребрише једнаке површине. Када силе нема коника је права линија. Када је сила привлачна те конике су елипсе и параболе, а ако је сила одбојна, коника је хипербола.

Чебишевљева неједнакост говори нам о одбојној сили неизвесности чије граничне линије вероватноћа опадају са квадратима удаљености задатих (очекивањима μ и дисперзијама σ) апстрактних простора вероватноћа.

Conics » eng

Питање: Како користите Чебишевљеву неједнакост?

Одговор: На разне начине. Њена употреба у теорији информације и физици за моје потребе је мало необична, па ћу то елаборирати.

На слици лево замишљамо да се тачка A → B креће по хиперболи, зеленој кривој линији. Њене две пројекције на апсцису су A' и B', а ординате висине E₁ и E₂ на удаљености редом t₁ и t₂ од исходишта O. Ако је хипербола yx = const, односно Et = const, онда су и површине троуглова OA'A и OB'B једнаке, јер су производи катета једнаки.

1. Замишљамо да је тачка набој покретан силом F⋅x² = const. из центра O по хиперболи y = 1/x. Рад силе на путу захтева енергију dE = F⋅dx, а отуда елиминишући силу и интегралећи налазимо E⋅x = const. Затим рачунамо да је пут x = ct такав који пређе светлост за време t. Укратко препричано, ово је објашњење горње слике помоћу одбојне централне силе која опада са квадратом удаљености и покреће набој по путањи која је хипербола.

2. Друго објашњење истог било би наглашавајући да је физичко дејство производ енергије и времена и да је оно „еквивалент“ информације (не постоји физичка информације без дејства нити постоји физичко дејство без преноса информације). Тада производ катета OA'⋅A'A = OB'⋅B'B ових правоуглих троуглова због њихових једнаких површина, сада производи енергија и времéна, говоре нам о констатности укупног дејства трајањем времена. Закон одржања информације тиме изједначавамо са силама из центра које опадају са квадратом удаљености.

Чак и ако је на слици сва васиона, са Великим праском у O, трајањем OA од око 13,8 милијарди година и садашњошћу AA', биће то интерпретација у скаду са овом теоријом информације. Реалност је оно што траје, коме се важи закон одржања, а она зато има све дужу историју и све плићу текућу садашњост. Информација је сва реалност са неизвесношћу у бити.

3. Слика десно приказује момент импулса, вектор \(\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}\). Тај је векторски производ два вектора:

\[ \vec{r} = \overrightarrow{CA}, \quad \vec{p} = \overrightarrow{AB}, \]

редом положаја и импулса, са θ орјентисаним углом међу њима.

Знамо да је овај производ вектор окомит на раван вектора фактора смера правила десне руке, са интензитетом L = rp sin θ, тј. површином троугла ABC. У одсуству сила момент импулса се одржава истим док материјална тачка једнолично клизи апсцисом, A → B. Аналогно, површина je троугла стално иста јер је та полупроизвод константне висине CO и основице AB.

Одсуство силе и одржање момента импулса садашњости васионе, као код претходног пасуса, значило би да и даље важи закон одржања, такође да постоји све дужа историја, али да садашњост не губи информацију. То би помало обезвредило начелни минимализам и, мада занимљива, није ми приоритетна интерпретација.

4. Слика лево инспирише једну, можда још привлачнију замисао од претходне, мени такође мање приоритетну. Општи Кеплеров други закон, за централне силе које опадају квадратом даљине, потег који спаја силу и набој ће у једнаким временима пребрисати једнаке површине.

Површина троугла OAB таквих константна је, а онда аналогија са свемиром и са свом његовом историјом постаје очигледна.

Садашњост интензитета AB вектора „импулса“ \(\vec{p}\) вуче се по елипси жиже у тачки O. Она околином препуном неодређености бива гурана ка центру O, можемо рећи и привлачена силом вероватноће где јој је неодређеност ређа, односно где је извесност већа, мења засићеност своје информације периодично у револуцијама око извора извесности.

5. Горњи елиптични модел константног дејства прихватљивији је када га посматрамо локално. Такве групе информација постоје у садашњости са прошлошћу сталне укупне количине и са оним што управо видимо, сада, са мањом или већом неизвесношћу зависном од становишта посматрача. То има смисла када узмемо да „иста“ вест није свакоме исто изненађење.

Већ сам објашњавао да различити посматрачи, рецимо због сопствених јединствености и информације као ткива простора, времена и материје, не могу једнако перципирати реалности. Стварност стога не постоји као неки апсолут. Зато и елиптични модел интеракција толико више вреди разматрати. Узимам га озбиљно, али не преозбиљно.

La Ola » eng

Питање: Можете ли тек тако заменити пут x = ct са временом t које треба светлости да брзином c пређе тај пут?

Одговор: Да, сматрам, пре свега у ширењу зрачења, простирањима вакуума. То су баждарни бозони: фотони, глуони, гравитони, па и друге „честице“ без масе које би се кретале брзином светлости. И потсећам, таквима време (скоро) стоји, а оно што се перципира су заправо њихови континуитети у временском току посматрача. Уз све ово, садашњост напредује ка будућности брзином светлости и то је то.

На тај начин су ти модели (Conics) веома верни. Градим те изразе тако да неизвесности неким виртуелним дејствима гурају предмете и појаве, или процесе од себе (не заборавимо да су стања вектори, а они су и линеарни оператори), па добијамо поступке привлачења од стране веће извесности. На пример, размотримо таласање групе људи као на горњој слици десно и приложеном линку.

Група људи може преносити пакет из руке у руку, али тај није стигао док не стигне цела група. Тако може изгледати да светлост путује и „брже од светлости“ кроз облак атома цезијума, што су приметили истраживајући у институту Принстона (New Jersey, 2000), налазећи светлост која изађе и пре него што уђе у такав облак. Међутим, пажљива анализа открива да се ради о „таласу унутар таласа“, фази таласа, која попут додаване поште унутар групе људи неће стићи на одредиште пре групе.

Многи који су гледали точкове који се обрћу на филмовима различитих брзина, могли су приметити да зависно од фреквенције слика окретања која се врте супротно од хода возила. Зависно од релативног временског тока процеса такав може имати „талас у таласу“, фазу таласа која путује супротним смером од самог таласа. За разлику од илузије видео снимка, стварно опажање имаће и стварне последице.

Тако можемо узимати да виртуелна сфера из негативно наелектрисаног електрона, са становишта позитивног наелектрисања, има супротан ток фазе од самог таласа. У евентуалној интеракцији, она ће му таква „дати“ негативан импулс и резултат је привлачење негативног са позитивним наелектрисањем. У истосмерној фази са таласом биће ефекат одбијања, као у случају истоимених наелектрисања.

Супротни смер окретања точка, пропелера, па и других наизменичних понављања, виђа се на убрзаним снимцима такође. Пробране, убрзане фреквенције смењивања слајдова приказиваће супротан смер кретања демонстрирајући привлачну силу центра веће извесности из окружења споријег тока времена. У претходним одговорима, подразумева се да је средина све већих неизвесности „живља“ у смислу бржих фреквенција догађања и бржег тока времена, а зато и одбојна.

Ово не би било у противречности са ранијим мојим описом (Current), ако усвојимо да електрони у мировању имају виртуелне сфере фотона чије се фазе крећу супротним смеру таласа. Ова релативна опажања истоимених наелектрисања у узајамном мировању, у релативном кретању видели би се са фазама које се крећу у смеру таласа. У узајамном мировању једнаки набоји би се привлачили, али чим се покрену (у било ком смеру) они би се одбијали и даље настављали да се одбијају.

Slit in Time » eng

Питање: Тврдите ли да светлост до субјекта стиже истовремено из више слојева времена?

Одговор: Да, али то није особина само светлости (Conics). Слика са линком лево је Њутнова призма, када је он (1665) „честице“ белог светла разлагао на елементарних седам боја. На, од горње до доње: црвену, наранџасту, жуту, зелену, плаву, индиго и љубичасту. Како су биле различито гравитационо привлачене од честица провидне средине (сматрао је Њутн), боје су се различито преламале.

То је постала историјска грешка када је 1801. године Томас Јанг осмислио нови експеримент „двоструки отвор“, сматрајући да је он једном за свагда доказао таласну природу светлости, уместо честичне. Такође у Њутновом „честичном доказу“ као и следећем, приметимо, прећутно се подразумева деловање на даљину. Овде је то продор светлости (информације) из више слојева времена у исту садашњост посматрача.

На слици десно видимо приказ Јанговог експеримента (Double-slit). Талас светлости наилази на равну препреку која има два уска отвора кроз које светло цури. На излазу имамо два таласа који ће интерферирати и оставити слику дифракције, наизменично трака јачих и слабијих интензитета, на евентуалном застору.

Не бавимо се овде „квантном мистиком“ тог експеримента, а коју сам рационализовао раније предајом информације на отвору, ако би се покушало мерити кроз који отвор честица светлости пролази, чиме би се губио њен таласни ефекат. Уместо тога посвећујемо се „деловањима на даљину“ самог процеса интерференције. Суперпозиција таласа не долази удруживањем самих садашњости, истовремености, јер и најмање даљине раздваја време због ограничења брзине преноса информација.

На слици лево је скица (Time Slit) опита, Империјални колеџ 2023. Тада је по први пут експлицитно доказана интерференција слична Јанговом двоструком отвору, али светлости пуштане у различитим тренуцима t₁ и t₂ у размаку од Δt, односно t₂ - t₁, трајања неколико фемтосекунди (1 fs = 10^-15 s).

На вертикалној оси је време (t), на хоризонталној је пут (x). У два наврата (t₁ и t₂) шаље се светлост ка плочици индијум тин оксида ITO од којих се праве површине екрана мобилних телефона. Она има за овакву прилику фантастично својство да може наизменично пропуштати и рефлектовати (одбијати) светлост у року од неколико fs интервала времена (Δt). Тада се догађала интерференција претходне и будуће светлости, забележена на екрану (E₁ и E₂) у два различита трена (Slit in Time).

Сада, ако смо утврдили ову врсту „деловања на даљину“ (разликујмо је од квантне спрегнутости), успоравање светлости која пролази кроз оптички гушће средине видимо као интерференцију светлости и материјала кроз који она пролази. Брзина се усклађује, усредњава са брзинама таласа тог материјала, а светлост веће фреквенције (плава) више је томе подложна и она се више прелама од црвене која спорије осцилује. Светлост већих фреквенција, живља, радије се адаптира на спорије токове, а у наставку била би то прича о начелном минимализму.

Информација до субјекта стиже истовремено из више слојева времена, али та временска дубина Δt заправо је веома плитка. Због тога честица-талас није велика, њен пакет је ограничен капацитетом неодређености њеног положаја. Већа неизвесност места значи већу таласну дужину λ и мању неодређеност импулса p = h/λ, сада можемо рећи, сагласно већим захватима из окружења. Међутим, због велике брзине светлости и још већег њеног квадрата, сила која опада са квадратом удаљености x = ct, обзиром за нас уобичајено t, има веома плитак меморијски домет.

Torque » eng

Питање: Може ли се момент силе повезати са информацијом?

Одговор: На слици десно видимо момент силе (енг. torque), који се назива и укупни моменат спреге, само момент, па и замах. Једнак је векторском производу вектора положаја r и силе F:

τ = r × F,

интензитета τ = rF_⊥ = rF sin θ, где је θ = ∠(r, F) угао између вектора положаја и силе. Одговор на постављено питање је очекивано позитиван, пре свега због претпоставке о свеприсутности информације.

1. Како је момент импулса вектор L = r × p, где је вектор импулса p = mv, а m је маса множена вектором брзине v, то је извод по времену:

\[ \frac{\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{p}}{dt} + \frac{d\mathbf{r}}{dt}\times \mathbf{p} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} + \mathbf{v}\times\mathbf{p} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}, \]

јер су брзина и импулс паралелни, па је v × p = 0. Дакле, момент силе је промена момента импулса временом. Момент импулса смо повезивали са вероватноћом (Conics, 3), па и отуда веза са информацијом, као отпор начелним минимализмом. Како је L израз спонтаности, тако је τ његова промена којој се опире.

2. Потражимо момент силе за централне силе. Користимо ознаку r₀ као уобичајену \(\hat{r} = \vec{r}/r\), за јединични вектор вектора положаја r, а варијансу σ²k₀ ставимо сразмерну гравитационим GMm, посебно са k₀ = 1:

τ = r × F =

\[ = \mathbf{r} \times \frac{\sigma^2}{r^2}\mathbf{r}_0 = \frac{\sigma^2}{r^2}\mathbf{r} \times \mathbf{r}_0 = 0, \]

dL/dt = τ = 0,     L = const.

Дакле, нема обртног момента (момента силе) који врши централна сила, а угаони замах (момент импулса) је константан.

3. На слици лево је центар силе у тачки O. Размотримо последице одржања угаоног момента:

L = const.

Мала промена површине троугла OAB је dS = rh/2 = rv sin θ dt/2, а отуда dS/dt = rv sin θ = L/2m. То је Кеплеров други закон. У једнаким ће временима радијус вектор набоја пребрисати једнаке површине, просто, због одржања угаоног момента.

4. Физичко простор-време, тачке A(x, y, z, ct), посматрамо као апстрактни простор вероватноћа случајних варијабли положаја и користећи само, за сада, Чебишевљеву неједнакост налазимо јаке аналогије са понашањем тела у гравитацији. На исти начин је момент силе везан са вероватноћом, а она са информацијом. Ако нема даљих питања, ово је одговор на горње.

Orbits » eng

Питања: Не могу се начудити лакоћи којом баратате овим формулама, колико упорности да нам објасните како је то све једна „научна шала“. Мислите ли заиста да је „неозбиљност“ све ово о чему пишете?

Одговори: То о чему вам пишем је мање него врх леденог брега, а понекад ми измакне и понешто наводно озбиљно. Догађа ми се, али писати озбиљно по мрежама затим повлачи бескрајне горке расправе са „зналцима“ који вас могу са невиђеном енергијом и ентузијазмом убеђивати како нисте у праву. Отуда је „нисте добро разумели; не занима ме наука него научна фантастика“ та спасоносна моја реченица. Одговорићу вам сада и на друго питање, о орбитама.

1. Држећи се поменуте аналогије варијансе са гравитациом, σ² = GMm, где је G гравитациона константа, а M и m су масе већег и мањег тела, у наставку је:

F = GMm/r² = σ²/r²,

где је r растојање између центара две масе. Из F = ma следи σ² = mar², где је a убрзање, а посебно и σ² = mv²r када је a = v²/r центрифугално убрзање (Спрега Информација, 3.2.2 Зврк). Наравно, горњу једнакост варијансе и гравитације можете заменити пропорцијом, али то овакву идеју неће битно променити.

2. Центрифугална сила уравнотежује небеска тела са гравитацијом, је:

a = v²/r = GM/r²

\[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

То је брзина тела (планете) на орбити око масе M, на удаљености r од њеног центра. Изведимо Кеплеров Трећи закон: квадрати орбиталних периода T планета су директно пропорционални кубовима r великих полуоса њихових путања.

3. Кеплеров трећи закон каже да је T² = r³ за планете, где је T орбитални период мерен у годинама, r је растојање од Сунца, мерено астрономским јединицама (AJ). Ово важи за Земљу, где је T = 1 година и r = 1 AJ. Како је обим кружнице 2πr = vT, биће:

\[ \sqrt{\frac{GM}{r}} = \frac{2\pi r}{T}, \] \[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3. \]

То је општа размера о којој говори Трећи Кеплеров закон. Међутим, за масу M Сунца, вредност константе 4π²/GM = 2,96×10^-25 s²/cm³, а има 31 милион секунди у години и 1 AJ = 1,3×10¹³, па је та константа вредности један, у јединицама година и астрономским јединицама, како је Кеплер поставио.

4. Замена варијансом, σ² = GMm, могућа је и у изразима за кинетичку E_k и потенцијалну E_p енергију тела масе m у гравитационом пољу масе M:

\[ E_k = \frac12mv^2, \quad E_p = - \frac{GMm}{r}, \]

где је v брзина тела у орбити када се налази на удаљености r од центра гравитације. За разлику од потенцијалне, кинетичка енергија не може бити негативна, а за ма како издужену елипсу увек је E_k + E_p ≤ 0. Овде важи једнакост ако је брзина:

\[ v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

брзина бежања (енг. escape) из орбите. За гравитацију Земље ова брзина на удаљености r километара од центра износи v_e = 894/√r [km/s]. Стога, за полетање са површине земље, r = 6378 km, потребна је почетна брзина v_e = 894/√6378 = 11,19 km/s.

***

Из свега овога видимо да су јединице варијансе σ² рецимо kg m³ s^-2, или је то димензија коефицијента k₀ у изразу σ²k₀ = GMm када је варијанса σ² бездимензионална.

Polar » eng

Питање: Како у поларним координатама изгледа орбитално кретање?

Одговор: На слици лево, тачка A(x, y), правоуглих Декартових, пише се као A(r, φ) у поларним координатама. Тада је:

x = r cos φ,     y = r sin φ,

\[ r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \varphi = \text{arctg}\frac{y}{x}. \]

Све што затим изводимо користи ове трансформације. Ево како.

1. Укључимо и једначине кретања Декартових координата:

r = x i + y j,     F = F_x i + F_y j,

где су i и j ортови (јединични вектори) Декартове апсцисе и ординате (x и y осе). Овај први, r = (x, y), је радијус вектор положаја, а други F = (F_x, F_y) је вектор силе.

2. Сила је производ масе и убрзања, па имамо:

\[ \mathbf{F} = m\ddot{\mathbf{r}} = m(\ddot{x}\ \mathbf{i} + \ddot{y}\ \mathbf{j}) = F_x\ \mathbf{i} + F_y\ \mathbf{j}. \]

Када је ово централна сила, усмерена ка исходишту O, биће (F = |F|):

\[ F_x = \mathbf{F}\cdot \mathbf{i} = -F\cos\varphi = -F\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \] \[ F_y = \mathbf{F}\cdot \mathbf{j} = -F\sin\varphi = -F\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}. \]

Отуда, са F(x, y) = F, једначине кретања:

\[ \ddot{x} = - \frac{xF(x,y)}{m\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \ddot{y} = - \frac{yF(x,y)}{m\sqrt{x^2 + y^2}}. \]

Лако се проверавају уврштавањем у горње.

3. Означимо јединичне векторе са e_r = r/r дуж радијуса и са e_φ окомитог на њега. Тако је:

r = r e_r,     e_r = cos φ i + sin φ j,

\[ \dot{\mathbf{r}} = \dot{r}\mathbf{e}_r + r\dot{\mathbf{e}}_r, \quad \dot{\mathbf{e}}_r = r(-\sin\varphi\mathbf{i} + \cos\varphi\mathbf{j})\dot{\varphi} = \mathbf{e}_\varphi \dot{\varphi}, \] \[ \dot{\mathbf{r}} = \dot{r}\mathbf{e}_r + r\dot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi. \]

Први сабирак је радијална компонента брзине, од исходишта равно вани, а други сабирак је попречна (трансферзална, тангенцијална) компонента брзине, она иде линијом кружнице, окомито на радијус.

4. Да нађемо једначине убрзања, диференцирамо ову брзину:

\[ \ddot{\mathbf{r}} = \ddot{r}\mathbf{e}_r + \dot{r}\frac{d}{dt}\mathbf{e}_r + \frac{d}{dt}(r\dot{\varphi})\mathbf{e}_\varphi + r\dot{\varphi}\frac{d}{dt}\mathbf{e}_\varphi = \] \[ = \ddot{r}\mathbf{e}_r + \dot{r}\mathbf{e}_\varphi \dot{\varphi} + (\dot{r}\dot{\varphi} + r\ddot{\varphi})\mathbf{e}_\varphi + r\dot{\varphi}\frac{d}{dt}\mathbf{e}_\varphi. \]

Извод јединичног вектора угла је:

\[ \frac{d}{dt}\mathbf{e}_\varphi = \frac{d}{dt}(-\sin\varphi \mathbf{i} + \cos\varphi \mathbf{j}) = -\cos\varphi \dot{\varphi}\mathbf{i} - \sin\varphi\dot{\varphi}\mathbf{j} = -\mathbf{e}_r \dot{\varphi} \]

и због тога:

\[ \ddot{\mathbf{r}} = \ddot{r}\mathbf{e}_r + \dot{r}\mathbf{e}_\varphi \dot{\varphi} + (\dot{r}\dot{\varphi} + r\ddot{\varphi})\mathbf{e}_\varphi - r\dot{\varphi}^2\mathbf{e}_r = \] \[ = (\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2)\mathbf{e}_r + (2\dot{r}\dot{\varphi} + r \ddot{\varphi})\mathbf{e}_\varphi. \]

При томе је:

\[ 2\dot{r}\dot{\varphi} + r\ddot{\varphi} = \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\varphi}). \]

Дакле, једначине убрзања су:

\[ \ddot{\mathbf{r}} = (\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2)\mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\varphi})\mathbf{e}_\varphi. \]

Први сабирак, у загради, је радијална компонента убрзања, а у другом, фактор јединичног вектора e_φ, је тангентна компонента.

5. Сажето, резултати деривирања 3. и 4. су једначине брзине и убрзања:

\[ \dot{\mathbf{r}} = \dot{r}\mathbf{e}_r + r\dot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi \] \[ \ddot{\mathbf{r}} = (\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2)\mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\varphi})\mathbf{e}_\varphi \]

Ове једначине смо добили у поларним координатама за централну силу, не узимајући у обзир интензитет силе.

6. Даље настављамо са централним силама, производима масе m и ових убрзања, f(x, y) = f(r):

\[ m\ddot{\mathbf{r}} = m(\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2)\mathbf{e}_r + \frac{m}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\varphi})\mathbf{e}_\varphi = f(x,y)\mathbf{e}_r \]

а компонента силе окомита на радијус је нула:

\[ \frac{m}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\varphi}) = 0 \ \Rightarrow \ r^2\dot{\varphi} = s = \text{const}. \]

Ова константа s говори и о одржању момента импулса и Кеплеровом другом закону, што смо већ видели (Torque) на мало другачији начин. Стављајући dφ/dt = s/r², имамо:

\[ m(\ddot{r} - \frac{s^2}{r^3}) = f(x,y). \]

Две координате x и y замењиве су једним вектором r = (x, y), па можемо рећи да се овде ради о диференцијалној једначини другог реда само једне непознате.

7. Из ових једначина и Њутновог другог закона налазимо закон одржања енергије:

\[ \int m\dot{\mathbf{r}}\cdot\ddot{\mathbf{r}}\ dt = \int \dot{\mathbf{r}}\cdot(m\ddot{\mathbf{r}})\ dt = \int \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}\ dt = \int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, \] \[ \frac12m|\mathbf{r}|^2 - \int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \text{const}. \]

Лево је израчунат први претходни интеграл, као кинетичка енергија. Од њега се одузима енергија као рад силе на путу, а која је V(r) потенцијална енергија у случају конзервативних сила (којима рад по путу зависи само од крајњих тачака). Тада имамо потенцијал, функцију V такву да важи једнакости F = -∇V и претходну једнакост можемо писати:

\[ \frac12m|\mathbf{r}|^2 + V(\mathbf{r}) = E \]

где је E укупна константна енергија система. Она је збир кинетичке и потенцијалне енергије система. Упоредите ово са помало другачијим извођењем истог у претходном одговору (Orbits, 4).

8. Овде стижемо другачијим поступком до истог резултата као у књизи Спрега Информација (1.2.4 Конусни пресеци), а коначно и до Бинетове формуле (1.4) коју ћемо такође извести доследно овом путу. У познату трансформацију ставимо смену радијуса:

\[ \frac{du}{d\varphi} = \frac{du}{dt}\frac{dt}{d\varphi} = \frac{1}{\dot{\varphi}}\frac{du}{dt}, \quad u = \frac{1}{r}. \]

Таквој u налазимо први и други извод по времену:

\[ \frac{du}{dt} = \frac{1}{\dot{\varphi}}\left(\frac{-1}{r^2}\right)\dot{r} = - \frac{\dot{r}}{s}, \] \[ \frac{d^2u}{d\varphi} = \frac{dt}{d\varphi}\frac{d}{dt}\left(\frac{-\dot{r}}{s}\right) = - \frac{1}{s\dot{\varphi}}\ddot{r}. \]

Другачије писано, ово даје:

\[ \ddot{r} = -s\dot{\varphi}\frac{d^2u}{d\varphi^2} = -s(su^2)\frac{d^2 u}{d\varphi^2} = -s^2u^2\frac{d^2u}{d\varphi^2}. \]

Опет \(s = r^2\dot{\varphi} = \dot{\varphi}^2/u^2\), одакле \(\dot{\varphi} = su^2\), па једначину силе (6) пишемо:

\[ m\left(-s^2u^2\frac{d^2u}{d\varphi^2} - \frac{1}{u}(su^2)^2\right) = f(1/u), \] \[ \frac{d^2u}{d\varphi^2} + u = -\frac{f(1/u)}{ms^2u^2}, \]

а то је управо поменута Бинетова формула (2S = s).

9. У наведеној књизи (Спрега Информација, стр. 24), показано је да је Бинетова формула, иначе једначина трајекторије у поларном систему, једначина коника (19. задатак). Тамо је уврштавана општа једначина коника у поларном систему:

\[ \frac{1}{r} = \frac{1 + \varepsilon \cos\varphi}{\varepsilon d}, \]

са ексцентрицитетом ε и директрисом d и показано да задовољава Бинетову формулу тако да је сила:

\[ f(r) = \frac{4ms^2}{\varepsilon d}\frac{1}{r^2}, \]

дакле, таква да опада са квадратом удаљености. Сходно претходном (Orbits), где је варијанса била σ² = GMm, сада је σ² = 4ms²/εd. Отуда излази GM = 4s²/εd.

Већина планета сунчевог система има веома мале ексцентрицитете ε приближно кружних орбита. Земља има ексцентрицитет ε = 0,0167. Њена удаљеност до Сунца у афелу (око 4. јула) за око 3,3% већа је од перихела (око 3. јануара). Комете имају веома висок ексцентрицитет, близу 1 и веома издужене елипсе орбита.

10. Урадимо овде обрнуто од решавања у књизи, пођимо од Њутнове гравитационе силе и скраћенице σ² = GMm, решавамо једначину:

\[ -f(r) = \frac{GMm}{r^2} = \frac{\sigma^2}{r^2}, \] \[ \frac{d^2u}{d\varphi^2} + u = \frac{\sigma^2}{ms^2}, \] \[ u = C_1\cos\varphi + C_2\sin\varphi + \frac{\sigma^2}{ms^2}. \]

Лако проверавамо да је ово решење те диференцијалне једначине; два пута диференцирајући и сабирајући са u, а обзиром да је извод σ²/ms² нула. Ово можемо писати и у облику:

\[ u = \frac{1}{r} = C\cos(\varphi - \alpha) + \frac{\sigma^2}{ms^2}, \]

где смо фазно померили угао φ → θ = φ - α, за неки произвољни α. Све три константе интегрирања C, C₁ и C₂ такође су произвољне. Отуда:

\[ \frac{ms^2}{\sigma^2r} = 1 + \frac{Cms^2}{\sigma^2}\cos\theta, \] \[ \frac{\ell}{r} = 1 + \varepsilon \cos\theta. \]

Ово је коника поларних координата, директрисе ℓ и ексцентрицитета ε. Као што знамо, ако је ексцентрицитет ε = 0 ова крива је кружница, када је 0 < ε < 1 она је елипса, када је ε = 1 то је парабола, а ако је ε > 1 онда је хипербола. При томе су директриса и ексцентрицитет:

\[ \ell = \frac{ms^2}{\sigma^2} = \frac{s^2}{GM}, \quad \varepsilon = \frac{Cms^2}{\sigma^2} = \frac{Cms^2}{GMm} = \frac{Cs^2}{GM}. \]

Планете сунчевог система се већином крећу елипсама (ε блиског нули) приближно кружним. Из овог решења, као и Кеплеровог првог закона, знамо да им је Сунце у жижи. На основу Кеплеровог другог закона, да радијус r у константним временима (нека је то време T) пребрише исте површине (површину sT/2), примењено на целу елипсу, налазимо да је s/2 једнако површини елипсе подељеном периодом обрта.

Иначе, површина елипсе са великом полуосом a и малом b је πab. Отуда, време потребно планети да обиђе Сунце (једна револуција) је T₁ = 2πab/s. Такође је ℓ = a(1 - ε²), b² = a²(1 - ε²) и ℓ = s²/GM, па израчунавамо:

\[ T_1^2 = \frac{4\pi a^2b^2}{s^2} = \frac{4\pi a^2b^2}{GM\ell} = \] \[ = \frac{4\pi a^2b^2}{GMa(1 - \varepsilon^2)} = \frac{4\pi a^2b^2}{GMa(b^2/a^2)} = \frac{4\pi a^3}{GM}, \] \[ \frac{T_1^2}{a^3} = \frac{4\pi}{GM}. \]

Добили смо Кеплеров трећи закон, да су квадрати орбиталних периода планета директно пропорционални кубовима великих полуоса њихових путања, на начин мало другачији од претходног (Orbits, 3). Овај однос не зависи од избора планете (не зависи од масе m), него само од масе Сунца (масе M).

***

Ово је та „поезија“ математике којој се дивимо и због које јој верујемо у астрономији. Сви наведени прорачуни су одавно познати физици, па и употреба смене σ² = GMm, осим што таквој дајемо другачије ознаке и не називамо је варијансом. Иначе, приватно у сличним изразима варијансу означавам и са σ² = GM у јединицама kg m²/s², поред наведене, а неретко користим и коефицијент испред да тај појам σ², из вероватноће, оставим бездимензионалним.

Рекли бисмо да је физика „тачнија“ од математике, јер тражи конкретну потврду „истина“, а опет и да је због потребе експерименталних потврда „нетачнија“ од математике, јер је слепа за остале „истине“. Приватно сам на овом другом, истезању идеје „дејства еквивалентног информацији“ до максимума у тражењу њене границе пуцања. До даљњег та прича „држи воду“ — кроз спонтану тежњу природе ка „реду у различитости“. За сада је и поменута „поезија“ математике у астрономији само још један доказ таквог концепта.

Graph » eng

Питање: Говорите ли „спонтана тежња природе ка реду у различитости“ као о неком начелу ове теорије?

Одговор: Не, начелна је тежња мањем деловању, информацији, или већој вероватноћи. Иза тога долази кретање ка различитости и реду као последице. Објаснићу још једном.

1. Једнолична расподела шанси је најнеизвеснија, садржи највећу информацију (Екстреми, 1.5), а то је лако разумети интуицијом, без формула. Наиме, када је неки исход вероватнији од преосталих и чешће се дешава и изненађења су ређа. Стога, спонтани развоји ка различитостима.

2. Мање опција имамо када тачније знамо шта нам је радити. Правила томе служе: да би смањила неизвесности, лутања, да будемо ефикаснији, или да се не замарамо дилемама шта даље и зашто. Слично се догађа са општим спонтаним током ка реду. У физици на полазишту свега налази се принцип најмањег дејства, али једнако таквом, али мање схваћена као таква, је приврженост материје законима природе.

3. Теорија графова такође има много примера начелног минимализма и поменутих последица, да не говоримо само о теоријској физици. Узмимо на пример горњу слику десно, графа са шест чворова A, B, C, D, E, и F, са осам повезница AB, AC, AE, AF, BF, CF, DF и EF. Потребне су нам не више од две повезнице за спајање произвољна два чвора. Чвор F има их пет, A четири, чворови B, C и E имају по две, а чвор D само једну повезницу.

Када спајамо сваки од n = 6 чворова са сваким, број повезница је:

\[ N = \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} = 15. \]

То је много више од ових осам на слици, али би постојао прелаз од сваког чвора до било којег другог у само једном кораку. Међутим, повезнице би доминирале графом. Била би то ситуација као познанство свакога од нас на свету (осам милијарди људи је данас) са сваком другом особом. Сва та непосредна познанства нису могућа прво због граница нашег памћења, а дубље гледајући због начелног минимализма.

Начин природне штедње управо је минимализам информације који нас тако уређује да се било ко са било ким на планети може повезати у само шест корака (Six degrees of separation). За још већи број чворова (од осам милијарди) тај број корака био би већи од шест, али број повезница неће тако брзо расти као када би свако био непосредно повезан са сваким. То је бољи начин изградње телефонских централа, далековода електричне струје, компјутерских мрежа, до којег градитељи долазе и интуитивно.

4. Ову ефикасност расподеле, полазећи од равноправних повезница која води до неравноправности чворова, разумемо и са самом вероватноћом кроз изградњу мреже. Наиме, замислимо да у једном тренутку градимо мрежу равноправних повезница и равноправних чворова. Тада је сваки чвор са једнако много повезница и све повезнице су једнако вероватне. Додајемо ли нову повезницу водећи се за претходним нарушаваћемо ту равнотежу и равноправност ће повезница узроковати неравноправност њихових крајева.

Ако неки чвор има више повезница, као што је то чвор F на датој слици, шансе да би нови чвор био непосредно повезан са F него са A су 5 : 4, а у односу на остале још мање, у односу на D чак 5 : 1. Прерачунамо ли ове шансе у једну расподелу вероватноћа (енг. Probabilities), добићемо:

\[ \Pr = \begin{pmatrix} A & B & C & D & E & F \\ \frac{4}{16} & \frac{2}{16} & \frac{2}{16} & \frac{1}{16} & \frac{2}{16} & \frac{5}{16} \end{pmatrix}. \]

Горе је ознака чвора, а испод ње је вероватноћа да ће бити бирана његова повезница. На пример, на првој слици лево је Pr(A) = 4/16. На другој тој слици је Pr(B) = 1/8. Чворови са више (равноправних) повезница имаће их доградњом мреже још и више упоређени са осталим. Нове расподеле су, ако је бирано A и када је бирано B:

\[ \begin{pmatrix} A^* & B & C & D & E & F & G \\ \frac{5}{18} & \frac{2}{18} & \frac{2}{18} & \frac{1}{18} & \frac{2}{18} & \frac{5}{18} & \frac{1}{18} \end{pmatrix}, \] \[ \begin{pmatrix} A & B^* & C & D & E & F & G \\ \frac{4}{18} & \frac{3}{18} & \frac{2}{18} & \frac{1}{18} & \frac{2}{18} & \frac{5}{18} & \frac{1}{18} \end{pmatrix}, \]

а осталих четири је затим лако дописивати. Равноправност токова води неравноправности станица. На пример, тако је на слободном тржишту новца, роба и услуга, чије богатство покреће неравноправност власника.

5. Израчунавања која полазе од вероватноће сугеришу да иза неједнаке расподеле повезница по чворовима стоји начело минимализма, па ипак до тога званична наука за сада не долази. То значи да одговор на горње питање није баш једноставан, па ево и додатног објашњења. Наиме, сама „тежња ка реду у различитости“ одвела би мрежу до једног чвора са свим повезницама, а свим осталим чворовима са по само једном.

То се не догађа, јер би тада имали равноправност (скоро) свих чворова, а природа заправо не воли равноправност (в. 1). Дакле, обрнемо ли ствар и претпоставимо минимализам, онда као последицу добијамо ефикасност у реду и различитости. Да ствари буду још компликованије, нема сасвим равноправних повезница.

Saturation » eng

Питање: Када се детаљи нагомилавају настаје презасићеност и кошмар и све је мање „реда у различитости“, зар не?

Одговор: Не, јер шири концепт дрвећа је шума. Погледајте само претходни одговор (Graph, 4) са огромном сложеношћу насталих графова изградњом и обухватом визијом која налази правилност у њиховом раслојавању.

Та прва расподела Pr почиње са шест исхода (A, ..., F), а следећа има седам (A, ..., F, G). Исходи прве се могу разложити на 16 елемената, друге на 18. Додавањем мрежи једне повезнице, добија се по један нови чвор, али настаје расподела са два елементарна исхода више. Делитељи вероватноћа, корацима повезница, расту далеко брже од дељеника, зато што се сви доњи (називници) увећавају за број два, док само по један од горњих (бројник) бива већи за један. Све је више исхода и све су ситније вероватноће.

Са једне стране, имамо Борел-Кантелијеву лему, која каже (свакако је да ред ових вероватноћа конвергира) да се са укупном вероватноћом 1 може реализовати само коначно много опција. Према томе, бесконачно много исхода постају ирелевантни. Заиста, процесом додавања нових настајаће усамљени чворови, са по једном повезницом са неким из мреже. Када је таквих више, расте шанса да се неком од њих прикључи нова повезница, да њих изолованих буде мање. Ово иде уз примедбу да природа не жели једнакост, па нити оваквих усамљеника, због чега ће избећи и ситуацију једног јединог чвора са свим повезницама.

Са друге стране, ако постоји бесконачан низ ових додавања, који је стога „само“ пребројиво бесконачан и кардиналности ℵ₀, у случајевима много додавања повезница одједном у корацима, настало би континуум 𝔠 = 2^ℵ₀ избора. Наиме, како је 0,abc... бинарни запис позитивног реалног броја мањег од један, при чему цифре a, b, c, ... чине бесконачан низ нула или јединица, а има их континуум таквих записа, то значи да се скуп избора не може сместити у скуп повезница, или чворова. Наиме, јер континуум је бесконачност вишег реда од пребројиве бесконачности.

Слично, даље замишљамо бесконачност 2^𝔠 вишег реда од континуума 𝔠, да закључимо да нема бесконачности уопште, или је и њих бесконачно много. Стојим уз ово друго држећи се објективности случајности као и последица, попут додатних димензија времена. Нарочито се тада може рећи да и ми овакви, ограничени у коначним опажајима који успевамо докучити толике бесконачности, па како онда сумњати у ентитете, као посебне субјекте, на вишим нивоима сложености.

Међутим, не морамо ићи тако далеко да приметимо да скоро бесконачан број молекула супстанце има за наша схватања уредну масу, или брзину, запремину и слично. Природа је у давању смисла „презасићеним“ веома издашна. Нешто од свега добро препознајемо, о пуно тога можемо само размишљати, а највећи део појава природе до сада нисмо били кадри ни замишљати.

Afterlife » eng

Питање: Постоји ли живот после смрти?

Одговор: Наизглед глупо, али и често ми постављано питање које разумем да циља на тему теорије информације, жељно смисленог и писаног одговора. Нема глупог питања до глупог одговора.

Овде реалност дефинишем путем три критеријума: опажљивошћу, одржањем и истинитошћу. Прво је да субјекат B може опазити објекат A, да C може опазити B, ... да X може опазити нешто из претходног низа, из чега у случају „континуитета могућности“ појаве A, B, C, ..., X кандидују се за узајамно „реалне“. Нема потребе са сталним, непрестаним међусобним зурењима, нити могућностима за таквима, него за постојање само шанси за неке некада интеракције поменутих.

Из реченог следи трајање, које ипак и посебно наглашавам, не мање него као закон одржања. Узор је закон одржања, конзервирања, енергије чији се облици мењају али количина опстаје, који затим видим као последицу одржање дејства, а овог изводим из одржања информације. На тај начин први и други услов „реалности“ су замало еквивалентни. Слично, отуда и трећи услов о тачности. Природа није у стању лагати (доказиво немогуће неће се десити), па се физичко дејство односи само на истинитости.

Међутим, није све што постоји „реално“. Постоје и „фикције“, бар онакве које можемо перципирати (предмети маште), којa трају као Пинокио док трају наша сећања на њега, а који је у том смислу истински лик. Укратко, оно што не испуњава сва три критеријума „реалности“, али ћемо држати „постојећим“, називам „фикцијом“. Затим, требало би одредити „живот после смрти“, а то је појам са којим се, искрено речено, још нисам бавио.

На питање „Постоји ли живот после смрти?“ волим да шеретски питам „А имате ли Ви живот пре смрти?“, када се толико занимате за касније. Или, како је Сократ једном испричао: „Смрти заправо и нема, јер када има нас нема смрти, а када има смрти, нема нас“. Уколико смислим нешто боље, јавићу вам.

Quandary » eng

Питање: Зашто нас могућност бирања чини нервознима?

Одговор: Неспокојнима ће нас направити и мањак као и вишак алтернатива, зависно од нарави околности. Стављајући у центре деловања неизвесности, теорија информације показује још нека поред познатих објашњења.

1. Живо биће, упоредно у односу на неживу супстанцу од које се састоји, располаже са додатним опцијама које понекад називам „виталност“. Оно је „заробљено“ у личном појасу између доње и горње количине избора који га чине спокојнима. Доњем га вуче нагон смрти, тј. начело минимализма, горњем радозналост, односно потреба одржања количине неизвесности (информације) које укупно поседује. Другачије дефинисано, изнад доње границе држи нас жеља за слободом, а испод горње страх од непознатог.

2. Десно видимо граф функције:

y = -x⋅ln(x) - (1 - x)⋅ln(1 - x).

Апсциса и ордината су x ∈ (0, 1) и y ∈ (0, ln 2), редом вероватноћа и информација. Највиша вредност функције y = ln 2 ≈ 0,69 постиже се вредношћу x = 0,5.

3. Практично, гледамо случајни догађај који се може десити, са вероватноћом 0 < p < 1 представљеном на апсциси, или се неће десити са вероватноћом q = 1 - p. Информација је те бинарне расподеле вероватноћа, односно суперпозиције стања, ордината. Највећу информацију има униформна расподела, када је бити једнако са не бити.

Већу неизвесност опција имамо са уједначенијим шансама. Та бирања од нас траже веће напоре воље, а ове и већу виталност, већи пркос начелном минимализму информације, односно појачана дејства. Када се подижемо преко горње границе удобности нервоза и пуцање природни су одговори. Када избори бити или не бити постану такође неке посебне неизвесности, ствари се додатно компликују и траже већи пркос начелу минимализма, спонтаној тежњи природе ка мањој информацији.

4. Испитајмо тако бинарне расподеле P и Q збира вероватноћа p₁ + p₂ = 1 и q₁ + q₂ = 1 које су исходи треће бинарне расподеле A збира вероватноћа a₁ + a₂ = 1. Са вероватноћом a₁ дешава се нешто из P, а са вероватноћом a₂ десиће се нешто из Q. Узимамо да је P_i догађај из P вероватноће p_i, а Q_j догађај из Q са вероватноћом q_j, где су индекси i, j ∈ {1, 2}. Удружену, ми тако правимо нову расподелу вероватноћа a₁p₁ + a₁p₂ + a₂q₁ + a₂q₂ = 1. То је лако проверити. Све ове вероватноће су позитивне реалне константе.

5. Рецимо да су P₁ ∈ P и Q₁ ∈ Q жељени исходи у некој игри жетона (Gain). Када се деси P₁ играч добија жетон, а губи жетон ако се деси P₂. Такође, у игри Q, ако се догоди Q₁ играч добија жетон, а губи жетон када се догоди Q₂. Када је p₁ > p₂ тада играч P низом потеза статистички добија (некада губи, некада добија, али у дужем низу добија). Такође, у случају q₁ > q₂ ће играч Q низом потеза статистички добијати, иначе губи.

6. Удружени, каскадни случај, у којем се деси A₁ ∈ A и P₁ значиће добитак жетона са вероватноћом a₁p₁. Такође, добитак жетона је када се деси A₂ и онда Q₁, што ће бити са вероватноћом a₂q₁. Дакле, добитак жетона је ако:

a₁p₁ + a₂q₁ > a₁p₂ + a₂q₂,

a₁p₁ + (1 - a₁)q₁ > a₁(1 - p₁) + (1 - x₁)(1 - q₁),

a₁(p₁ - q₁) + q₁ > 1 - a₁(p₁ - q₁) - q₁,

a₁(p₁ - q₁) + q₁ > 0,5.

Када је ова неједнакост супротна, игра је губитничка. У Парондовој игри, коју сам навео у прошлом блогу (овде линком), није q₁ + q₂ = 1, а трик у њој је и вишак ситуација бројева који нису дељиви са три.

7. Занимљиво ми је питање једном постављено, када сам једва разумео на шта заправо саговорник мисли, али прилика је да га сада обновим. Када расподела два исхода, рецимо ових A, активира расподеле P или Q, да ли је и зашто информација зависна од информација P и Q?

Сматрам одговор очекиваним, али ћу га образложити. Три посебне горње расподеле имају Шенонове информације:

I(P) = -p₁⋅ln p₁ - p₂⋅ln p₂,

I(Q) = -q₁⋅ln q₁ - q₂⋅ln q₂,

I(A) = -a₁⋅ln a₁ - a₂⋅ln a₂.

Шенонова информација удружених, надовезаних расподела, је:

I(A; P, Q) = -a₁p₁⋅ln a₁p₁ - a₁p₂⋅ln a₁p₂ - a₂q₁⋅ln a₂q₁ - a₂q₂⋅ln a₂q₂ =

= -a₁p₁⋅(ln a₁ + ln p₁) - a₁p₂⋅(ln a₁ + ln p₂)
- a₂q₁⋅(ln a₂ + ln q₁) - a₂q₂⋅(ln a₂ + ln q₂)

= -a₁⋅(p₁ + p₂)⋅ln a₁ + a₁⋅(-p₁⋅ln p₁ - p₂⋅ln p₂)
- a₂⋅(q₁ + q₂)⋅ln a₂ + a₂⋅(-q₁⋅ln q₁ - q₂⋅ln q₂)

= -a₁⋅ln a₁ - a₂⋅ln a₂ + a₁⋅(-p₁⋅ln p₁ - p₂⋅ln p₂) + a₂⋅(-q₁⋅ln q₁ - q₂⋅ln q₂),

I(A; P, Q) = I(A) + a₁⋅I(P) + a₂⋅I(Q).

Информација тако удружених расподела једнака је средњој информацији расподела исхода увећаној за информацију њиховог бирања.

8. Ова врста надовезивања лако се поопштава у расподелу A са исходима A₁, ..., A_m вероватноћа a₁, ..., a_m, позитивних реалних бројева збира један. Сваки поједини k = 1, ..., m исход A_k активира једну расподелу P^k чији су исходи P^k₁, ..., P^k_n вероватноћа p^k₁, ..., p^k_n. Тако дефинишемо удружену, надовезану у два корака, расподелу са mn вероватноћа:

a₁ p¹₁, a₁ p¹₂, ..., a_m p^m_n.

Чине је позитивни (може и ненегативни) реални бројеви збира један. Та има Шенонову информацију:

I(A; P¹, ..., Pⁿ) = I(A) + a₁I(P¹) + ... + a_mI(P^m),

где су I(P¹), ..., I(P^m) информације исходних расподела.

9. Стигли смо и до бонуса на одговор горњем питању. У развоју васионе, или њених делова одвојених система, од неизвесности које су прошлост узима се просек по новим вероватноћама (уколико је A расподела) чија информација додата просечној претходној постаје нова вредност. Тренд сличног понављања садашњости при томе не иде у више информативну будућност ако I(A) не расте, а исходи нових вероватноћа не фаворизују информативније P^k расподеле (униформне). На тај начин васиона се може развијати у извеснију.

Collapse II » eng

Питање: Можете ли ми објаснити колапс таласне функције?

Одговор: Квантнa механика има израз „колапс таласне функције“, који назива и редукција вектора стања — за опис прелаза таласне функције из суперпозиције више својствених стања у једно од њих услед интеракције са околином.

Ова интеракција је посматрање (енг. observation) и представља бит мерења квантне механике које повезује таласну функцију са класичним опсерваблаима као што су позиција и импулс. Колапс је први од два процеса са којима се стања квантних система развијају временом, а други је континуирана еволуција вођена Шредингеровом једначином. Даље објашњавам „колапс“ са становишта моје теорије информације, а треба знати да је исти још увек загонетан у званичној физици.

1. Поменути колапс размотримо помоћу расподеле вероватноћа. Након бацања две коцке, као на горњој слици десно, пашће један од 36 парова бројева из скупа S = {(1,1), (1,2), ..., (6,6)}. Да су догађаји, рецимо, (4,3) и (3,4) различити утврдићемо понављајући бацање много пута и, када су коцке фер, констатујући јављање појединог у приближно 1/36 случајева. Дешава се један и само један исход из скупа S и тада ову расподелу пред бацање посматрамо као суперпозицију, а њен колапс — исходом.

2. Колапс је чин истовремености. Шенонова информација исхода једнака је таквој (количини неодређености) претходне расподеле и то је један од израза закона одржања информације. Такође, укупна неизвесност неког стања садашњости не мења се, конзервирана је, пре и после колабирања суперпозиције. На пример, у случају квантне спрегнутости (говорим што није познато званичној физици), две честице се удаљавају тако да имају, рецимо, нулти укупни импулс или спин. Како су истовремене, испорука ће информације једне на једном месту бити истовремено изјашњавање и друге на другом месту.

3. Оно што мислимо да је „садашњост“ заправо је мноштво појединих и елементарних садашњости. На пример, виртуелна сфера фотона која се шири око електрона је по себи истовремена, али је други посматрачи не виде таквом. Истовременост система у кретању није таква за релативног посматрача. Због њихове уситњености и мноштва, разне истовремености у макро свету гледамо усредњено, приближно и то нас за сада збуњује.

Свако релативно кретање поседује посебну истовременост, а знамо да се све око нас креће и креће се у односу на све око нас. Зато немамо избора него рачунати на апроксимације „садашњости“ и на ограничења оваквог заокруживања. Међутим, треба знати да је она само приближна процена која нас понекад може изневерити.

4. Анализа „нервозе због могућности бирања“ (Quandary, 8) уједно је и објашњење деловања будућих неизвесности на појаве временског тока. Суперпозиције, често малобројних исхода (бар два), тамо означених као расподеле A, које колабирају у A₁, A₂, ..., редом са вероватноћама a₁, a₂, ... реализације су садашњости у даље појаве одговарајућих опет расподела тамо означених горњим индексима P¹, P², ... у процесу који стално траје свакој од садашњости на њима својствене начине.

5. Поред свега овога, колапс таласне функције нам указује и на реалности непребројиве бесконачности, ево како. Као и расподела више могућности која се реализује само једном од њих (1), такође и евентуално бесконачни кораци временског тока (4) који од више опција задржавају само једну по једну, они личе на записе реалног броја у бази b ∈ {2, 3, ...} који је обично бинарни (b = 2) или декадни (b = 10).

Гледајући и саме реалне бројеве из интервала (0, 1), којих има континуум (непребројиво) бесконачно много, сваки се може записати јединственим облицима 0,b₁b₂..., са бесконачним низом цифара b_k ∈ {0, 1, ..., b}, а дају намa начине да са пребројивом бесконачношћу „опажамо“ непребројиву бесконачност (Скупови). Одсечен тај број на првих n ∈ ℕ цифара, моћи ће записивати bⁿ различитих бројева, односно вредности. Када број цифара неограничено расте (n → ∞) њихов низ постајаће пребројиво бесконачан (ℵ₀), а број вредности непребројиво бесконачан (континуум, 𝔠).

На тај начин, математичким перцепцијама истина, на први поглед самa коначна садашњост омогућује нам увиде у бесконачности. Остварује се први од критеријума „реалности“, њена опажљивост. Други је трајност, што се за бесконачности као делове математике подразумева. Истине су неуништиве, за разлику од неистина. А трећи критеријум „реалности“ је истинитост, у овом случају очигледно испуњен. Обзиром да континууми спадају у врсте реалности, такве су и додатне димензије времена.

Retrospective » eng

Питање: Како објашњавате деловање садашњости на прошлост?

Одговор: Мислите ваљда на ону познату Хајзенбергову реченицу (1926) како „мерењем електрона стварно обликујемо и претходну његову путању“, или на мисаони опит „Шрединбергова мачка“.

1. Вектори репрезентују квантна стања. Међутим, оператори опет су вектори, а такви као квантни процеси спадају у врсте квантних стања. Стога ће колапс, односно исход, таласне функције бити и колапс квантног процеса. При томе се „мерење електрона“ као аутентичне појаве разликује од мисаоног експеримента „мачке“ код које закон великих бројева (теорије вероватноће) значајно поништава последице неизвесности.

У микро свету је мерење драматична појава. Опажање, било да је судар или емисија фотона, у макро свету би имале карактер катастрофе за обе стране комуникације. Тако велика промена информације пошиљаоца би му значајно смањила неодређености да бисмо лако уочили пораст његове извесности, укључујући и боља дефинисања његових претходних стања. Управо то се догађа у микро свету на микро нивоу, који њима тамо није тако „микро“ каквим га ми видимо.

2. Када са X означимо векторски простор са компонентама скаларима Φ (реалним или комплексним бројевима), онда је X^* ознака њему дуалног векторског простора. Дуал је простор линеарних пресликавања (Спрега Информација, Функционеле), вектора X у скаларе Φ. Стога су и збирови производа дуални векторски простори, они просторима n-торки бројева (скалара), па се према реченом могу интерпретирати како стањима тако и процесима. Они су облици информације перцепције.

Препознатљива је форма збира производа:

Q = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n

као скаларног (унутрашњег) множења вектора-низова, a = (a₁, a₂, ..., a_n) и b = (b₁, b₂, ..., b_n). То пишемо алгебарски Q = a⋅b и квантно-механички Q = ⟨a, b⟩, свеједно у случају да су скалари реални, али је овај други увид прецизнији када су скалари комплексни бројеви. Други, квантни начин одговара микро свету и стварним, елементарним истовременостима. Та информација перцепције, дакле, самим чином настанка исцрпљује неке неизвесности учесника, укључујући и оне из њихове недавне прошлости.

3. Дуални простор X^* векторског простора X, скалара Φ комплексних или реалних бројева, је простор линеарних функционела на X ознаке ℒ(X, Φ). Када су X и Y коначно димензионални векторски простори, онда ℒ(X, Y) означава простор линеарних пресликавања X → Y чији дуални простор је ℒ(X, Y)^*. Простори ℒ(X, Y)^* и ℒ(X^*, Y^*) исте су димензије и као такви они су изоморфни, тада постоји линеарна бијекција између њих.

Унутрашњи (скаларни) производ простора ℒ(X^*, Y^*) може се дефинисати са ⟨A, B⟩ = Tr(A^*B). То је траг производа пресликавања A, B ∈ ℒ(X, Y) међу којима је први фактор адјунгован. Из Рисове теореме о представљању за свако линеарно пресликавање A ∈ ℒ(X, Y)^* следи да A : X^* → Y^*. Наводим ово читаоцима евентуалним познаваоцима дуалних векторских простора, због којих тему не треба детаљисати.

Довољно нам је приметити да постоји велика ширина употребе појмова стања и процеса унутар самих њихових интерпретација помоћу вектора. У микро свету простори су ермитски, са комплексним коефицијентима и реалним својственим вредностима, а у осталим случајевима симетрична пресликавања су достатна као и стохастичке матрице (Марков ланац).

4. Стохастичке матрице су оне чије колоне су неке расподеле вероватноћа и зато су добре за објашњавања могућности бирања (Quandary). Рецимо:

\[ \begin{pmatrix} p_1 & q_1 \\ p_2 & q_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a'_1 \\ a'_2 \end{pmatrix}, \]

краће писано Sa = a', када су им све колоне неке расподеле вероватноћа, један је од тих примера. Стохастичка матрица не мора бити симетрична (једнака транспонованој) али увек ће имати λ = 1 за једну од својствених вредности са својственим вектором v = (v₁, v₂)^⊤, тако да је Sv = v, који је нека расподела (ненегативних коефицијената збира један). Овде је:

\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} \frac{q_1}{q_1 + p_2} \\ \frac{p_2}{q_1 + p_2} \end{pmatrix}, \]

што је лако проверити. Када је ова матрица симетрична имаћемо p₂ = q₁ и v = (1/2, 1/2)^⊤. Композиција константних стохастичких матрица чини Марков ланац и знамо да Sⁿa → v, када n → ∞, ако и само ако det(S) ≠ 1.

Другим речима, када генератор Марковљевог ланца (матрица S) не губи сигнал, није изометрија, ланац не постаје „црна кутија“. Он тада не чини низ трансформација након којег се из излазне поруке не сазнаје улазна. Примењено на развој догађаја, ми се налазимо на излазу у позицији да читамо улазну поруку. Што даљу прошлост гледамо нејасније је видимо. Неодређеност нам је њена већа што је улазна порука старија. Услед тога бисмо поверовали да је будућност васионе све извеснија.

5. Са ове тачке гледишта, садашњости из које видимо прошлост а не и будућност, са претпостављеном неизвесношћу у развоју васионе, наша садашњост и будућност одређују прошлост. Наиме, стигли смо овде где смо, а могли смо бити и нешто друго, стога је садашњост тиме сведок, а учињеним изборима и креатор своје прошлости.

Фебруар 2025 (English ≽)