Децембар 2025 (English ≽)

Lose-Lose » eng

Питање: Зашто је пораз готово увек бољи од победе за све?

Одговор: Доминантна стратегија је која, без обзира на то шта они други играчи раде, доноси датом играчу већу добит од сваке друге.

На пример, у произвођачи или трговци, ако за своје производе могу бирати вишу и нижу цену, доминантна стратегија је нижа цена која постиже већи профит без обзира на конкурента, чак и ако би обе фирме биле у бољем положају са високим ценама.

Тај пример је посебан случај познате Дилеме затвореника. Два партнера у злочину су раздвојена у одвојене собе у полицијској станици и добијају сличан предлог. Ако један оптужи другог, може бити пуштен на слободу, док други добија доживотну робију. Ако ниједан не оптужи другог, казне ће обојици бити умерене, а ако обоје оптуже другог, обојици ће припасти строжије казне. Сваки играч има доминантну стратегију да оптужи оног другог, и стога у равнотежи сваки добија строгу казну, али је боље за оба да сваки од њих ћути.

Лако је приметити да је „доминантна стратегија“ релативна у односу на дате околности, опонента и услове игре, кажемо локална и тако гледана једино у оквиру тактике. Краткотрајна победа може бити лоша на дужи рок. Победа може бити добра за вођу а лоша за његове следбенике, или добра за мене али не и за све остале. У свим овим ситуацијама пораз би могао бити победа за све, али има тога још. Уопште, ван датог играчког окружења, доминантна стратегија није увек најбоља стратегија.

Трагедија заједничког добра је још један поучан пример. Рецимо, током суше, градоначелник проглашава да нико не треба да залива травњак и да туширање треба ограничити на пет минута. Већина људи неће залити травњак због притиска вршњака (и могућег правног поступка од стране градоначелника). Али, ко нас може открити ако се туширамо 10 минута? То никоме не би шкодило, оправдаће се и најпоштенији; и туширање од 10 минута испашће лака краткорочна победа. Међутим, уколико се сви у граду туширају 10 минута, залихе воде ће нестати и за сваког неће бити воде ни за туширање нити за пиће. То је трагедија која, обрнуто гледано, са малом жртвом свих појединаца у смањењу потрошње воде, доводи до победе за све.

Апстрактније гледано, замислимо да имамо два подједнака играча у обе стратегије које ће тестирати. Први ће спајати само добро са добрим (win-win), док други има право употребити и жртву ради коначне победе (lose-lose), као жртва пешака у шаховском отварању, или узимања кредита за развој фирме. За ово је лако смишљати разне компјутерске симулације (пробао сам) и скоро увек игра са правом на жртву (стратегија lose-lose) побеђује сигурица игру (стратегију win-win). Обзиром да то и интуиција очекује поставља се питање зашто ми па и овлаштени преговарачи радо говоре о исходима у којима сви добијају: где обе стране сарађују и праве компромисе. У пракси, такве стратегије у којој сви добијају никада нису доминантне.

Зашто не компромис и има ли нешто још боље, честа су ми питања (Win Lose). А обзиром да је теорија игара веома опширна тема и поготово јер јој овде имам неке додатке из моје „теорије информације“, одговорима никада краја. Један веома апстрактан, теоријски на мој начин, следи из открића да постоји одбојна „сила неизвесности“, илити њена другачија нарав као привлачна „сила вероватноће“ која као да случајна догађања тера у чешће исходе које иначе сматрамо вероватнијим. Пуно сам тога описвао „притиском неизвесности“ што објашњава и овде речено.

Sustain » eng

Питање: Подразумева ли се да оно што „траје“ никада не настаје нити нестаје?

Одговор: То је практично у раду са крајње трајним појавама, ако радећи са појавама ограниченог трајања то бришемо напоменом. Шире гледано, сваки независан систем аксиома, такав је да није противречан, у оваквој теорији информације, пресликам некој констелацији псеудо-реалности псеудо-појава за коју тај вреди. То је идеја ове теорије због које она није физика, а затим придруживање тих система аксиома „реалном“ одваја је и од математике. Међутим, постоји логика и тог трећег терена.

То су основне поставке, крајности. У нијансама је занимљиво питање шта се може догађати са непостојаним појавама. Обзиром да се такве мењају, настаје ли некада од њих појава која се не мења. То би значило да од неи-стине можемо добити истину, или конкретно од неживог живо. Када из самих непостојаних појава могу макар са малом вероватноћом настајати постојане, онда је јасно да ће постојаних бити све више. Али, ако настају само спојеви какви су витални, онда ће они тежити да их буде што више или више различитих, али не морају у томе нужно успевати. Занимљиво је да ово можемо посматрати кроз алгебру.

Следећа стохастичка матрица другог реда прецизира прво од наведеног:

$$ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}, $$

Њени су коефицијенти ненегативни бројеви, а збирови обе колоне су 1. Вероватноћа да постојана појава остане постојана је A₁₁ = 1. Обрнута је вероватноћа да постојана постане непостојана зато A₂₁ = 0. Вероватноћа да непостојана појава постане постојана је неки веома мали број A₁₂ = a па је вероватноћа да непостојана остане непостојана A₂₂ = 1 - a = b ≈ 1. А матрица делује на вектор x = (p, q)^⊤, чија је p ∈ [0, 1] вероватноћа стања које представља постојано, а q = 1 - p вероватноћа непостојаног. Тако је:

$$ x_1 = Ax = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_1 \\ q_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p + aq \\ bq \end{pmatrix}, $$

па из p + q = 1 следи p₁ + q₁ = 1. Пресликавањем A : x → x₁ све расподеле вероватноћа x постају неке расподеле вероватноћа x₁. Погледајмо шта се догађа понављањем овог процеса:

$$ A^2 = \begin{pmatrix} 1 & a + ab \\ 0 & b^2 \end{pmatrix}, $$ $$ A^3 = \begin{pmatrix} 1 & a + ab + ab^2 \\ 0 & b^3 \end{pmatrix}, $$

...

$$ A^n = \begin{pmatrix} 1 & a + ab + ab^2 + ... + ab^{n-1} \\ 0 & b^n \end{pmatrix}, $$

редом за експонент n = 1, 2, 3, ... Лако проверавамо да је свака од ових такође нека стохастичка матрица, јер:

a + ab + ab² + ... + ab^n-1 + bⁿ =
= a + ab + ab² + ... + ab^n-2 + b^n-1
= ... = a + b = 1,

а сваки од коефицијената сваке од ових матрица ненегативан је број. То је процес који у n-том кораку даје вектор расподеле x_n = Aⁿx = (p_n, q_n)^⊤ чији збир вероватноћа је p_n + q_n = 1 за свако n = 1, 2, 3, ...

На пример, вештачки сателити у орбитама око Земље на нижој путањи у сваком обиласку n = 1, 2, 3, ... имају неку малу вероватноћу a > 0 да запну за малу честицу њене атмосфере губећи брзину и падајући ка земљи. Са неким великим бројем обилазака bⁿ → 0, што значи да то „непостојано“ стање орбитирања све нижим путањама постаје „простојано“ коначним приземљењем. Сличан пример је ротација месеца око своје осе (не само у случају земљиног) која се временом синхронизује и показује само једно лице планети око које ротира.

Уопште гледано, могућности преласка „непостојаног“ у „постојано“ стање постоје и ове појаве можемо симулирати линеарном алгебаром. Заправо сматрам их много сложеним од наведеног, толико да ће из свих њихових проучавања једном настати нека нова наука. То су очекивања због овакве теорије информације која подразумева објективност случајности. Такође је и обрнуто, могући су процеси прелажења „постојаних“ у „непостојана“ стања, рецимо ударом метеора који би предмет са тла подигао у свемир. Такви нам говоре нешто о природи „постојаности“, односно „реалности“.

Jumpy » eng

Питање: Какве везе има претходно питање „трајања“ (Sustain) са темом „Гамбит“ овог блога?

Одговор: Почетак, као и прекид „трајања“ је скоковита појава, то је драстична промена система и подсећа на прихватање ризика у играма стратегија II и I лиге, бар на мој начин (Reciprocity). Снага је у неизвесности. Креативности имају ту неочекиваност што је и одлика виталних (споја реалног и фикције), а у мртвој природи видимо је у исходима мало-вероватних догађаја који су такође около.

1. Прелаз из „трајања“ (сама реалност) у „виталност“ (хибрид реалности) доследан је начелном минимализму, јер фикције које ова друга има врста су разблаживања информације. Подсетимо се истраживања фреквенција слова (Letter Frequency, 2022) где се показује да су садржајнији текстови са мањом (Шеноновом) информацијом. Међутим „хибридна реалност“ је полу-стабилна је и поједини витални умиру, па се ова спонтаност држи као дављеник сламке за потомке, потом на наставак друштва и, рецимо, наших цивилизација кроз историју.

2. Сличан окидач налази се у таласима материје, њеној другој најдубљој природи после информације. Новост објавом застарева и индукује другу вест одржавајући количину. Тако се преноси и енергија светлости E = hν наизменичним смењивањем електо-магнетних фаза, или енергија звука стискањем и растезањем средине дуж које се простире. Фреквенција ν је реципрочна вредност времена 1/τ трајања једне осцилације и њоме ћемо бројати кораке n = 1, 2, 3, ... трансформација Aⁿ из претходног одговора.

3. Поред једнаких шанси електро-магнетних исхода тих понављања, чија укупна вероватноћа је рецимо p, постоји и нека веома мала вероватноћа q = 1 - p сваког корака да електрон направи неки другачији, трећи, исход да реагује са електроном у пролазу, околином, вакуумом. Вероватноћа да ће се трећи исход десити по први пут у n-том кораку је p^n-1q, а очекивање редног броја корака да то буде је 1/q:

$$ \sum_{n=1}^\infty p^{n-1}q = 1, \quad \sum_{n=1}^\infty np^{n-1}q = \frac{1}{q}. $$

Период τ/q је просечно време између тих трећих исхода.

4. Тако поново долазимо до унутрашње информације. На тај начин овде разумемо интерференцију, тако што се вишак неизвесности (Reaction, 4) већих таласних дужина потискује у унутрашњу информацију која слабије интерагује са околином. Ово „слабије“ сада значи „ређе“ пошто је трајање периода τ/q између посебних исхода једнако количнику таласне дужине и брзине светлости, λ/c, обзиром да је λν = c. Дакле, веће таласне дужине λ, које представљају веће неодређености положаја, чине ређим поменуте треће исходе вероватноћа q у појединим трептајима таласа светлости. Ти догађаји су ређи када је q > 0 мање, а тада су оба τ/q и λ/cq већи.

Refraction II » eng

Питање: Имају ли поменути „трећи исходи“ (Јumpy) везе са преламањем светлости?

Одговор: Наравно, па о томе је и реч, али ради се о новини и зато може изгледати чудно. То је моја тема одавно (Refraction), локална и стидљива, јер је посматрам као небитну последицу крупнијих и још увек непроверених идеја.

1. Посматрајмо слику десно као задатак минимизирања путање светлости одозго лево из тачке A(a, h) према тачки B(b, -h) која пролази апсцисом негде кроз тачку C(x, 0), при чему су брзине светлости изнад апсцисе v₁ и испод апсцисе v₂ различите константе. На слици, број a < 0, број b > 0 и висина h > 0, а апсциса x ∈ (a, b).

2. Дакле, светлост иде црвеном линијом AC дужине $\ell_1 = \sqrt{(x - a)^2 + h^2}$ брзином v₁ за време t₁, прелама се у тачки C(x, 0), па наставља путем CB дужине $\ell_2 = \sqrt{(x-b)^2 + h^2}$ брзином v₂ за време t₂. Укупно време пута светлости зависи од апсцисе t(x) = t₁(x) + t₂(x), тако да је:

$$ t(x) = \frac{\ell_1}{v_1} + \frac{\ell_2}{v_2} = \frac{1}{v_1}\sqrt{(x - a)^2 + h^2} + \frac{1}{v_2}\sqrt{(x - b)^2 + h^2}, $$

па минимум тражимо као нулу извода функције времена по апсциси:

$$ t'(x) = \frac{1}{v_1}\frac{x-a}{\sqrt{(x-a)^2 + h^2}} + \frac{1}{v_2}\frac{x-b}{\sqrt{(x - b)^2 + h^2}} = 0, $$ $$ \frac{1}{v_1}\frac{x-a}{\ell_1} = \frac{1}{v_2}\frac{b-x}{\ell_2}. $$

Када се транслира слика дуж апсцисе и бира x = 0, ова једнакост је:

$$ \frac{\sin\alpha}{v_1} = \frac{\sin\beta}{v_2}, $$

а то је Снелов закон (Прилози III, стр. 37). Сваки пут га помало другачије изведем и то нема много везе са оним што следи.

3. Просечна брзина је количиник пређеног пута и протеклог времена, ма како се тренутна брзина у међувремену мењала, то је v = ℓ/τ. А, доследно, што су трајања τ између појединих „трећих исхода“ дужа и интервенције које успоравају талас светлости кроз дату средину су ређе а брзина таласа остаје већа. Те интервенције су дискретне појаве, због квантовања дејства и информације у њима као пакетима, те овај додатак поправља ваљаност оног што већ знамо. Како пролазећи кроз оптички гушћу средину фотони интерферирају са споријим околним (набијеним) честицама-таласима и губе брзину, додајемо, не непрекидно него скоковито.

4. Поменути „трећи исходи“, односно случајности које вребају догађаје су карактеристике ове теорије. Делом је ту и откриће несталности фикција, фаза привлачности па одбојности њих виталнима. Још мање је употреба таласне природе макро-света која следи из оне микро-света (Луј де Број, 1924), овде наглашено употребљаване. Лако је сада наћи примере који те три поенте повезују.

Карактеру „манипулатора“ није увек пожељна популарност, али дешава се да јесте и онда су ту додатне лажи. Нарочито су оригиналне лажи оне привлачније и нарочито су обећања лажова касније одбојна. То су стазе за прављење „кула од карата“, пут без повратка посебно лидера. Али има уметника и научника, попут Земелвајса (теорија клица), Цвајга (теорија кваркова) или Ван Гога (сликара), суочавали су се са одбацивањем, или заборављањем током живота да би њихов рад после смрти био признат.

Овде наглашавам периодичност и због неизвесности увек непотпуну. То да лидери лажу широко је познато, али је још увек без ваљаног научног објашњења (мимо ове теорије) и зато тај узрок понављам: привлачност лажи виталним долази из њене разређене информације, чему начелни минимализам даје ток.

Lavoisier » eng

Питање: Зашто касно прихваћене научнике узимате за примере додатих лажи?

Одговор: Можда јесам занемарио новину тих навода (Refraction II, 4). Појаснићу је и искористити за ново једно објашњење које би ми тада измицало, јер тек одудара.

Виталним кратко називам свако „живо биће“, па понекад и какве можда другачије спојеве реалног и фикција (увек сам у трагањима ознака за нове појмове). А такви, који се могу међусобно опажати, могу се и међусобно лагати. Они су примери важног дела ове теорије информације; тамо су где откривамо несталност илузија (за разлику од постојане стварности), затим и њихову прво привлачност па одбојност.

Елем, они витални, у стању су да контролишу мртву природу (Traits), јер могу премошћавати острва истина, али су истовремено попут наркомана заробљеници истих фикција. Зато је спознаја истине колико тежак као и привлачан посао. Ово друго, јер трагање за законима попут је лењости и инерције у делу када тражимо рутине и краће путеве. У томе видимо оба аспекта, тежину разумевања истине и радост њеног открића, као отисак начелног минимализма.

Други ниво овога је одазив јавности на откриће научне истине. То је сама по себи појава која се тешко развија. Тешка за разумети, тада и непознате примене, научној новости треба подршка популарних појава да се спозна и њена корисност. На томе месту наступају манипулације често наизглед на супротне начине. Архимед је био подржан од стране краља Хијерона II од Сиракузе, који му је био рођак и блиски пријатељ. Он је зато убијен од Римљана у мржњи, а затим су се периоди величања и умањивања његове механике настављали кроз векове. Навешћу још само три примера, сваки по нечему посебан у ширењу популарности научног открића.

Лавоазје, бриљантни француски научник и хуманитарац, је јавно радећи чинио и своју хемију препознатљивом и своју главу омраженом код онда револуционара који су га гиљотинирали. Њутн је био протестант и отуда и политичког успеха у Енглеској због доласка на власт Вилијама и Мери 1689. Био је директор ковнице новца (1699-1727), па његови „Принципи“ (1687) и откриће гравитације нису имали застоје продора популарности. Иако је општа релативност била кључна за Ајнштајново научно наслеђе, његову глобалну славу првенствено су учврстила посматрања помрачења Сунца 1919. године која су наводно потврдила предвиђање његове теорије о савијању светлости око Сунца. Ова експериментална потврда, посебно након почетног отпора и политичких контроверзи, трансформисала га је у непосредну светску фигуру.

Наука улази у шире потребе као рутина и отуђење, врстама позитивних превара, као и вести иначе. Тако ће штампане новине и јавни ТВ медији полако губити примат над слободним мрежама, због политизације, али ни они нису имуни на сличан развој. Наука часописа и рејтинга по броју цитата већ је компромитована и могуће је да дуго опстане као нека квази истина, тренд између бајки и открића истине, али свакако ће се замутити јер шира публика не трпи превелику тачност. Надајмо се да ће увек бити појединаца касно прихваћаних научника, који ту нису због популарности или каријере. Између слатких лажи и еурека ефекта има довољно финих места за анонимне.

Scale-free II » eng

Питање: Реците ми нешто о мрежама без скале у теорији информације?

Одговор: Једноставно речено, јер сагоровник ми није био љубитељ математике, несређиване мреже чворова и повезница биле би не-скалиране. Посебно, таква не би била покривања квадратима где би се сваки чвор (теме) спајао са четири друга (страницама). Тада бисмо говорили о мрежи степена четири, веома уређеној.

Темена шестоугаоника пчелињег саћа била би такође екстремно уређена мрежа, та константног степена шест. Поред оваквих, у скалиране мреже убрајамо и нормалне расподеле, густине вероватноћа ρ(x) = e^-x²/2/√(2π), графа облика Гаусовог звона. Те мреже, са безброј чворова и повезница, имају вероватноћу ρ⋅Δx да ће се у околини пречника Δx наћи x повезница датог чвора. Типична дискретна расподела је биномна па зато расподелу повезница по чворовима и такве сматрамо скалираном мрежом. Растом броја исхода биномна расподела прелази у поменуту нормалну, такође у Пуасонову расподелу, због чега и мреже ове друге сматрамо скалиране.

Најстрожије речено, мреже без скалирања само су оне чији чвор има x повезница са вероватноћом p(x) = x^-α, где је α > 0 обично између 2 и 3. Нерадо користим тако строгу дефиницију, па су „нескалиране“ мреже које бих помињао (Time II) биле све Шенонове информације мање од екстремне, које нису униформне, нити експоненцијалне, ни нормалне расподеле. Природа не воли једнакост, кратко сам наводио и отуда она воли нескалиране мреже у том (мом) ширем смислу. Приметите то и у мојим ранијим текстовима (Scale-free).

За окосницу ових процена можемо узети неједнакост Чебишева:

$$ \Pr[|x - \mu| \ge r] \le \frac{\sigma^2}{r^2}, $$

где су x случајне променљиве вероватноћа Pr(x) и средње вредности, тј. математичког очекивања μ. Разлика од те средње вредности, Δx = x - μ, по апсолутној вредности такође је случајна величина исте расподеле. A вероватноћа Pr[|Δx| ≥ r] да је такво одступање веће или једнако од дате вредности r > 0 све је мања што је распон r већи, али не премашује број σ²/r² где је бројник варијанса (средње квадратно одступање од средње вредности) дате расподеле. Десна страна неједнакости сразмерна је r^-2 што нам постаје смерница за вероватноћу „нескалиране“ мреже.

Наиме, ако знамо средњу вредност μ броја повезница по чвору тада се може тражити Δx = x - μ, тј. одступање броја повезница од тог средњег броја и вероватноћа Pr[|Δx| ≥ r] да он неће премашити неки дати број, позитивни број r, а максималан резултат ће бити пропорционалан r^-2.

Indicator » eng

Питање: Имате ли неки једноставан пример за ово?

Одговор: Најпростији модели за вероватноће су индикатори. Они су вредности броја 1 када се деси одређени догађај (рецимо нешто из скупа A), или су број 0 када се жељени догађај не деси. Кратко:

$$ 1_A(x) = \begin{cases} 1, & x \in A \\ 0, & x \notin A \end{cases} $$

1. Индикатор је функција која се, рецимо, може степеновати, а n-ти степен 1_A опет је 1_A. Он је идепотентна функција, која примењена више пута даје исти резултат као и примењена једанпут. То је последица чињенице да 1_A може бити или 1 или 0, а 1_Aⁿ = 1 и 1_Aⁿ = 0.

2. Очекивана вредност μ(1_A) индикатора је вероватноћа p(A), јер:

$$ \mu = E(1_A) = \sum_{x \in A} xp(x) = 1\cdot p(1) + 0\cdot p(0) = p(x \in A). $$

3. Варијанса, σ²(1_A), индикатора је производ вероватноће p(A) жељеног исхода и вероватноће q = 1 - p да се такав не деси. Наиме:

$$ \sigma^2 = E[(1_A)^2] - E[1_A]^2 = E[1_A] - E[1_A]^2 = p(1-p). $$

4. Индикатор пресека (производа) догађаја је производ индикатора:

$$ 1_{A\cap B} = 1_A\cdot 1_B. $$

Доказ ћемо разумети помоћу слике горе лево. Када је x ∈ A\B тада x није у пресеку и 1_x = 0, што је тачно, као и са x ∈ B\A. Међутим, ако x ∈ A∩B тада је 1_A∩B = 1, а такође је 1_A⋅1_B = 1⋅1 = 1, што је опет тачно.

4. Слично се показује за индикатор уније 1_A∪B = 1_A + 1_B - 1_A∩B. Наиме, ако је x ∈ A\B тада 1_A∪B = 1 + 0 - 0, или x ∈ B\A када 1_A∪B = 0 + 1 - 0, што у оба случаја даје тачност. Такође, ако x ∈ A∩B је 1_A∪B = 1 + 1 - 1 и опет је тачно.

5. Зна се, према аксиомама (Простор-Време, стр. 10), вероватноћа уније дисјунктних (без заједничких) догађаја једнака је збиру вероватноћа тих догађаја, па је:

p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B).

Наиме:

p(A) = p(A\B) + p(A∩B),
p(B) = p(B\A) + p(A∩B),
p(A∪B) = p(A\B) + p(A∩B) + p(B\A),

па уврштавањем прве две у трећу добијамо тражену једнакост. Наводим ово да имате и другачији доказ (4).

6. Када се случајни догађај понавља n = 1, 2, 3, ... под истим околностима, тада имамо биномну расподелу ℬ(p, n), индикатора очекивања μ(1_A) = p и понављања опита n пута. Очекивани број пожељних (A) исхода тада је μ(ℬ) = np, а варијанса σ²(ℬ) = npq. То следи непосредно из (2) и (3).

7. Вероватноћа да ће се у првих n понављања десити исти жељени догађај (A) је pⁿ. Расподела да ће по први пут нежељен исход тог понављања бити у првом покушају, у другом, трећем, ... је редом q, qp, qp², ... и најчешћим бројем корака (Физичка Информација, Теореме 2.5.3 и 2.5.4) са μ = 1/q, и σ² = p/q², очекивањем и варијансом. Са веома великим p ≈ 1 дуго се чека на нежељени исход, што је случај код таласа фотона и других дуговечних честица. На пример, за p = 0,999 у десетом кораку je p¹⁰ ≈ 0,990.

8. Ова расподела је врста експоненцијалне, јер је pⁿ = (e^-λ)ⁿ за λ = -ln(p) и, рецимо, λ = -ln(0,999) ≈ 0.001. Међутим, експоненцијална расподела има максималну (Шенонову, 1.6) информацију за задато очекивање (μ), па ће је природа спонтанто избегавати, због начелног минимализма. Она због истог спонтано избегава и стално понављање индикатора, иако са дугим низовима понављања то једва примећујемо, па тако нити апроксимације биномне расподеле (Пуасонова и Гаусова) нису њене миљенице.

9. У горњим екстремним условима неједнакост Чебишева бескорисна је. Наиме, у вероватноћи жељеног исхода p = 0,999 је q = 0,001 вероватноћа нежељеног. Средњи број понављања опита до првог нежељеног исхода је μ = 1/q = 100, а средње квадратно одступање од тог средњег, које зовемо варијансом је σ² = p/q² = 999000, па је просечно одступање, дисперзија √(999000) ≈ 999,5 што је процес понављања, тако рећи, без нежељених исхода. Отклони од просека већи од Δx = 100 вероватноћа су мањих од σ²/100² = 100 што је свакако, јер вероватноће иначе нису веће од један.

Други пример. Узимамо ли p ∈ (0, 1) произвољно и q = 1 - p, па бирамо r једнако дисперзији, тј. r = σ = √(p/q²), биће Pr[|Δx| ≥ r] ≤ σ²/r² = 1. Ово наводим да боље разумемо Чебишевљеву неједнакост; она је корисна за рад са одступањима већим од дисперзије, са r > σ.

Binomial » eng

Питање: Одлично објашњен индикатор, хвала. Мања вероватноћа сваки пут значи већу дисперзију, слажете ли се?

Одговор: Да, тако је. Једноставно речено, због допуне за јединичну норму околиш ниже вероватноће на графу расподеле шири се. Ово опште правило важи и на слици десно биномне расподеле ℬ(p, n) вероватноће p = 0,618 пожељног исхода у серијама дугим по n = 10 понављања индикатора. Рецимо, у физици вакуума ће мала шанса да „нешто скочи из ничега“ дати већи распон „изненађења“.

1. У серији од n = 1, 2, 3, ... понављања k = 0, 1, 2, ..., n пута се деси жељени исход вероватноће p ∈ (0, 1) и не деси се n - k пута вероватноћом q = 1 - p. Врх звона ове расподеле помера се у десно када p расте, као дате слике, а остављајући ниским све бројније стубове графа са леве стране. Ако p ≈ 1, онда k ≈ n и не очекујемо „изненађења“ која тада нису вероватна, q ≈ 0. У стварности, изненађења су свашта нешто, то већег избора што су ређа.

Исто је и симетрично, када p → 0 и q → 1. Међутим, то лево звоно настаје и са произвољном вероватноћом p ако n → ∞, на пример n > 50 и np < 10 када оно приближно одговара графу Пуасонове расподеле. Иначе (ако је np ≥ 10 и n > 50) звоно се помера у десно и нормална расподела постаје и боља апроксимација биномне.

2. Још једна особина биномних расподела често пролази незапажено. То је способност осталих вероватноћа да избегавају крајње исходе. У случају датог графа (p = 0,618 и n = 10) са k = 0 жељених исхода са 10 нежељених вероватноћа низати ће се на јединствен начин вероватноће p¹⁰q⁰ ≈ 0,008. Међутим, са једним нежељеним биће $\binom{10}{1} = 10$ таквих низова, свеукупне вероватноће $\binom{n}{k}p^{n-1}q \approx 0,050$. Ту је n = 10 и k = 1 са збиром:

qpp...pp + pqp...pp + ... + ppp...qp + ppp...pq = 10p⁹q ≈ 0,050.

Повећањем k ∈ [0, n] расте ова вероватноћа $\binom{n}{k}p^{n-k}q^k$ све до k ≈ μ, где је очекивање μ = np (Indicator, 6), а затим опада. На крају, вероватноћа биће $\binom{10}{10}p^0q^{10} \approx 0$, што је (други) локални минимум. То знамо о тој расподели и увод је најављеном мање истицаном.

У процесу, оне веће вероватноће биће доминантне, биће брже, истрачаће испред слабијих, или оставити утисак као да нека сила све њих потискује ка очекивању (μ). То је „глобална конвергенција“, нова идеја убедљивија на друге начине (Hermitian II). Али сада лакше запажамо променљивост вероватноћа p(t) са трајањем t процеса због чега се може мењати средња вредност μ(t). Штавише, јавља се и променљивост p(k, t). Стога глобална конвергенција остаје глобална неизвесност, уз извесност да ће је бити.

3. Лево је хистограм ℬ(p, n) где је вероватноћа p = 0,1 и n = 20 тако да је врх звона апсцисе k = np = 2 иза које ординате брзо падају до нуле да се многе десно и не виде.

Нека је то стање при производњи неких предмета са вероватноћом неисправног p = 0,1. Из магацина узимамо n = 20 производа, али и тражимо вероватноћу да ће међу ових 20 узорака бити пет и више дефектних. Тако израчунавамо и оно што је на графу слабије видљиво:

$$ \Pr[k \ge 5] = \sum_{k=5}^{20} \binom{20}{k}(0.1)^k(0.9)^{20-k} \approx 0,043. $$

Међутим, временом технологије мењају квалитет израде па и производ, а магацин има и старије непласиране моделе. Време промени вероватноће, па врх звона претходног графа лево може шетати, а и сама ова расподела може постати застарела.

4. Понављање није у природи света информација, нити је одустајање од рутина. Тако да имамо трајање и стварност као сурогат и врсту принуде. Ту негде су и универзални закони, рецимо свуда или стално присутни да бисмо приметили одсуство њихових промена. По томе они су „стварност“ и већа од стварности. Са друге стране они „не трају“ и ван-времена су, па немају прошлост „праве“ стварности, те су и врста фикција. Према томе, закони природе су наша идеја које сама природа није „свесна“.

У тој категорији нестварне-стварности налазе се поменути индикатори и њихове изведбе у биномне (Бернулијеве) расподеле, тј. експоненцијалне (Пуасонову) и нормалне (Гаусову). Стварност њих покушава симулирати, али не успева јој то баш најбоље.

Factorial » eng

Питање: Објасните ми биномне коефицијенте?

Одговор: Зар сам и то прескочио. Ок, ево како би то ишло у лакшој настави комбинаторике. Видимо прво Паскалов троугао бинома:

(p + q)⁰ = 1,
(p + q)¹ = p + q,
(p + q)² = p² + 2pq + q²,
(p + q)³ = p³ + 3p²q + 3pq² + q³,
...

Сваки од оваквих степена има позитивне сабирке и вредност један, што значи да је биномна расподела добро дефинисана. Уопште је:

$$ (p + q)^n = p^n + np^{n-1}q + ... + q^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^{n-k}q^k = 1. $$

Множимо n заграда, из сваке бирамо по један p или q и даље је ствар комбинаторике наћи да је таквих избора:

$$ \binom{n}{k} = \frac{n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}. $$

Бројник и називник имају једнако фактора, а горњи бројеви опадају док доњи расту. То је биномни коефицијент и ево како ћемо га разумети.

1. Погледајмо горњу слику сладоледа са три кугле и питање приложеног линка. На колико начина се три различите кугле могу нанизати?

Решења су: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Оваква распоређивања зову се „пермутације“, овде од три елемента. Има их „три факторијел“ начина, то записујемо 3! = 1⋅2⋅3 = 6.

2. Алекса, Бане, Вања и Гавро су четири најбоља учесника такмичења. На колико начина их можемо поредати? Одговори су:

АБВГ, АБГВ, АВБГ, АВГБ, АГБВ, АГВБ,
БАВГ, БАГВ, БВАГ, БВГА, БГАВ, БГБА,
ВАБГ, ВАГБ, ВБАГ, ВБГА, ВГАБ, ВГБА,
ГАБВ, ГАВБ, ГБАВ, ГБВА, ГВАБ, ГВБА.

Сваки од шест распореда из четири реда почиње новим словом, а остала три су претходне пермутације. То је четири факторијел, 4! = 1⋅2⋅3⋅4 = 24. Приметимо рекурзију, k! = (k-1)!⋅k. Када смо k-1 такмичара распоредили на (k-1)! начина, онда следећег k-тог можемо стављати редом: испред тог низа, између првог и другог, ..., између претпоследњег и последњег и иза последњег, а то је претходни број пермутација пута k начина.

3. Факторијел ће објаснити називник износа биномног коефицијента, али прво да видимо како разумети бројник. Рецимо да имамо 10 такмичара, а сви они конкуришу на прва три места топ листе. Један од три победника биће било који од 10 учесника. Када је тај изабран, један од преосталих 9 биће други, а онда међу осталих 8 биће трећи. То је 10⋅9⋅8 = 720 начина.

Уопште, када на k ≤ n позиција требамо бирати n кандидата, онда избор првог има n могућности, затим другог n-1 могућности, трећег n-2, ..., а за последњег k-тог остаће n-k+1 кандидат. Укупан број таквих могућности је n⋅(n-1)⋯(n-k+1). Производ тих k опадајућих фактора је бројник биномног коефицијента, а он је подељен бројем свих пермутација тих распореда, а њих је k!, јер им редослед није битан; ово је од комутативости множења горњих заграда.

4. Постоји једна занимљива веза између суседа Паскаловог троугла:

$$ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}. $$

Ово је лако проверити, а није тешко приметити нити неке од могућности које у стварности пружају биномни коефицијенти. На пример, слабљење биномне расподеле долази због њене максималне информације какву ће природа спонтано напуштати, а један од начина је увећање броја опција. Разноликости и локалне дивергенције су у том смислу принудне појаве.

Trowel » eng

Питање: У чему је разлика између стварног и нестварног?

Одговор: То је тешко питање за сада, али занимљиво и обећава. Важно је место за такву теорију информације где информацију гледамо као ткиво свега, у бити од неизвесности. Већ стога обе стварно и нестварно су једнако вредне теме.

Алатке којима градимо властиту слику природе такође су њен део па и само то дељење на „стварно“ и „нестварно“ врста је прибора у нашем раду. Међутим, издваја се једна класа појава које трају, могуће их је перципирати и истините су (шта год то троје значило) какве називам „стварност“. Оно што не испуњава један или два од та три услова зовем „фиктивно“. Остаје могућност „нереалног“ као негације реалног да надмаши и обухвати све фиктивне појаве.

1. Али ако је неко A „опажљиво“ од стране неког B, то ми значи да би и то B могло бити опажљиво од неког C и даље, тако да су сви они међусобно, посредно или непосредно опажљиви. Штавише, такви су и „трајни“, што значи да се под опажљивост подразумева и трајност. Затим „истинитост“ подразумева „трајност“, за разлику од „неистинитости“. Покушајте све то разумети да бисмо могли причати на истом језику.

2. Истинитост је обавезан део стварности, али има је и изван. Геометрија је, на пример, истинита али фиктивна појава, јер тачка, права, или раван немају дебљину. Они описују континуум који није физичка реалност, јер омогућавају бесконачну дељивост која по дефиницији бесконачности (да може бити свој прави део) не гарантује трајност. На том примеру видимо зашто уопште разликовати опажљивост, трајност и истинитост, мада они чине целину у концепту реалности.

3. На тај начин обухваћено је и схватање „неистине“ као негације истине, а „противречости“ као прекида прекида трајања истинитосне вредности. Као што се види, под „трајањем“ мислимо на протезања не само времена већ и дуж простора, или уланчавања других начина укључујући логичке апстракције. Приоритет је, пак, свођење просторних структура на време, тамо где је то могуће, јер информација је бивша вест чим је саопштена. У том смислу „физички простор“ је фикција, он је депонија прошлости која не припада садашњости мртве физичке стварности.

4. По овоме се подразумева да је информација као ткиво свега постојећег нешто најреалније, ако реалности уопште има. Њена суштина, речено је, је „неизвесност“, а то саму информацију своди на пуко опажање, на њено мерење, односно на количину (нечега неизрецивога). Према томе, важи закон одржања информације. Просто тако. Међутим, одржање количине не значи и одржање суштине, па се субјекти опажања (конкретне појаве) стално мењају и свака је поједина увек различита од свих осталих. Ово је важан, уникатан став ове теорије који је посебно одваја од свих других до данас познатих теорија.

Space III » eng

Питање: У ком смислу је простор фикција?

Одговор: Геометријски простор и физичка реалност разликују се у, на пример, поимању тачака које немају дебљину. Те перципирамо когнитивно из континуума којим не комуницирају субјекти неживе физичке природе. Међутим, то је простор који није фикција, какав није ни, рецимо, бицикл, иначе у свету само наших конструкција. Узгред речено, ово је потврда међусобних разлика „реалности“, на начин овде дефинисан, а раније помињаних као паралелне и псеудо-реалности.

Рећи ћемо да је трајање идеје о троугловима ограничено на постојање нас који их разумемо и током тих времена истинитост њихових простора није спорна, па ту имамо „реалност“ налик делу прошлости која сведочи некој садашњости све док не избледи. Такве прошлости повезују све паралелне реалности, других димензија времена насталих избором случајног исхода након којег су се оне раздвојиле. Као када бацимо новчић, па „писмо“ оде у једну, а „глава“ у другу паралелну реалност. Ограничено траје и бицикл због кварења, корозије и других пропадања, када прво губи функцију док и даље нестаје. Да се разумемо, нема апсолутних реалности.

Међутим, физички простор се и више разликује од такве и уопште наших идеја о њему. Слика, горе десно, приказује комуникацију (A → B) модула рецимо на Месецу, или Марсу, са тимом на Земљи (C). Исто би изгледало ово са Андромедом, галаксијом удаљеном 2,5 милиона светлосних година од нас, али јасно је да би ти модули који би били навођени са земље били неупотребљиви. Међутим, та драстична разлика у удаљености појашњава нам једну другу апроксимацију физичког простора геометријом. Док год смо у локалу, на малим удаљеностима за брзину светлости, геометријске фигуре су ваљане за описе евентуалних комуникација. За велике размере оне праве велике промашаје, у свему ономе што се може дешавати током времена од A до B на слици.

У још већим раздаљинама, даљинама милијарди светлосних година, ова представа о простору постаје лажна у све више елемената. Логички прос-тор, којим бисмо прекрили физички показивао би све већу удаљеност од истине. Удруживању „нестварног“ и „стварног“ тада треба све више нула-простора, или других сурогата. Простор постаји све више магацин сећања (Space II) и све мање постаје важно о њему оно што се научи на часовима геометрије. А тада постаје и јаз између острва (Islands), фикција је попут лажи.

На још већим удаљеностима посматрамо све веће прошлости и требамо рачунати на глобалну конвергенцију (Just-In-Time), па све даље до свег губитка знања о времену „пре почетка“ свега постојећег. Када прошлост постане тако далека да ланац Маркова садржи само шум кроз карике на основу чијих излазних порука не можемо сазнати ништа о улазним, ми допиремо до тзв. Великог праска, пре којег можемо сматрати да свемир не постоји. Тамо је само неизвесност која гура све догађаје у будућност. Тада је простор толика фикција да га је могуће замишљати како год.

Graviton II » eng

Питање: Природа је сва испрекидана, а воли глаткоћу?

Одговор: Ово је детаљ из приче о закону „великих бројева“ теорије вероватноће. Неизвесност вреба из скоковитости, па њих једнако природа не воли мада је сва она њима ткана. Ово нас даље води у „атомизам“ информације, или до њених најмањих пакета. Заправо, питање ми је било шта мислим о квантној гравитацији, а описаћу вам укратко неке од начина које испробавам о тој теми.

1. До тешкоћа квантне гравитације други истраживачи често стижу преко Планкове дужине, l_P = 1,62 × 10^-35 m. Фотон, тј. честица светлости брзине c ≈ 3 × 10⁸ m s^-1 која би имала тако малу таласну дужину λ = l_P, због λν = c следи да би имала фреквенцију ν = c/l_P ≈ 1,85 × 10⁴³ s^-1. Енергија фотона је E = hν, где је h = 2πℏ ≈ 6,626 × 10^-34 kg m² s^-1 Планкова константа, па је E = 1,226 × 10¹⁰ kg m² s^-2 енергија фотона таласне дужине l_P. Тој великој енергији фотона одговара маса m = E/c² ≈ 1,363 × 10^-7 kg, а њој одговара Шварцшилдов радијус r_s = 2Gm/c², где стоји G ≈ 6.673 × 10^-11 m³ kg^-1 s^-2 за Њутнову гравитациону константу.

Са наведеним приближним вредностима добили бисмо r_s ≈ 2 × 10^-34 m, за Шварцшилдов радијус фотона таласне дужине l_P. Али ако користимо тачније вредности горњих константи c, h и G исти рачун даће r_s = l_P. То значи да би светлост таласне дужине једнаке Планковој била црна рупа. Она не би могла излазити из толико јаке гравитације (коју сама ствара) да, заправо, не би могла постојати. Отуда идеја да нема мање дужине од Планкове (Smallest) дужине l_P = √(Gℏ/c³).

2. Оно што се углавном не помиње уз овакве процене су релативистички ефекти кретања: контракције дужина, дилатације времена пораста масе и енергије. На тај начин гледано, телу које би се кретало брзином близу светлосне, многа друга тела била би једнако убрзана, огромних енергија и маса, да би сва она постајала црне рупе. То је идеја коју сам „пробавао“, тачније узимао сам је приватно, за потврду постојања других димензија времена. Не верујем да сам је много рабио у другим приликама, нити у овим блоговима, јер руши концепт и саме идеје Планкове дужине l_P као неке апсолутно „најмање могуће“ (релативна је).

3. Да би се избегавала нека (теоријска) могућност настајања микро црних рупа, занимљива ми је била идеја Стивена Вајнберга (1976), једног од три креатора електрослабе интеракције о наглом губитку вредности Њутнове гравитационе константе на малим удаљеностима, приказано сликом горе лево из видеа о квантној гравитацији. Он је до сличног проблема долазио из Ајнштајнове опште једначине:

$$ R_{\mu\nu} - Rg_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 8\pi GT_{\mu\nu}/c^4 $$

коју је квантовао замењујући на малим удаљеностима (r → 0) следеће две константе функцијама Λ → Λ(r) и G → G(r). Наиме, тражио је начин како избегавати поларизацију вакуума, појаву раста привлачне гравитационе силе у блиској околини квантне честице због чега на овом графу видимо прво раст G ≈ 6,67 × 10^-11 m³ kg^-1 s^-2 на вредност седам пута већу а затим нагли пад до нуле док удаљеност нестаје.

О томе сам се излетио причати овде пре око четири године (Current), где се два електрона привлаче на малим удаљеностима и одбијају у кретању и стога одбијају на већим. Било је непопуларно тако што и поменути, али нисам брисао тај прилог и ето опет исте приче. У свету изван вакуума има и трећинских наелектрисања (кваркова) па ко зна шта крије сам простор. Свеједно, ако се непосредна околина електрона поларизује са супротним наелектрисањем он губи своју Кулонову силу, теза је која још увек „држи воду“ у причи о неодбијању два електрона на веома малим удаљностима.

4. Поједностављено речено, фотон је носилац електромагнетне силе коју описујемо тензорима првог ранга (векторима) и припаа им спин ±1, док су описи гравитације са тензорима другог ранга (матрицама) због чега су носиоци гравитационе силе, гравитони, спина ±2. Ови баждарни бозони целобројног спина у интеракцијама са елементарним фермионима спина ±1/2, какви су електрони, протони и неутрони, ограниченог су деловања због закона одржања спина.

На пример, фотони спина +1 могу ступати у интеракције са електронима спина -1/2 дајући електроне спина +1/2, а фотони спина -1 у интеракцију са електронима спина +1/2 дајући електроне спина -1/2. Осталих избора нема због нарушавања закона одржања спина. Међутим, сличне размене гравитона са овим фермионима нису могуће, јер 2 - 1/2 није спин таквог. За разлику од фотона, још увек нема експериментом потврде гравитона, али у одговору на постављено питање види се да очекујем да их има.

Штавише, очекујем егзистенцију и неких данас непознатих бозона, нових честица простора са којима ови гравитони интерагују повлачећи за собом и фермионе. То нам говори о једној мало другачијој особини гравитације од, рецимо, Кулонове силе. Гравитација не делује директно на супстанцу (фермионе) попут електромагнетне силе, него првенствено интерагује са простором (бозонима) и онда секундарно са супстанцом (фермионима).

Fluid II » eng

Питање: Шта све сматрате флуидом?

Одговор: У стручној литератури, посебно механике, флуид је твар без фиксног облика која се лако подвргава спољашњем притиску. Најчешће флуиди су течности и гасови. Флуид квантне механике је и густина вероватноће, а мало шире у овој теорији флуиди су и информације. Нестишљив флуид (вода, уље, крв) са променљивим обликом посебна је врста. Бернулијева једначина је део ове теме, али она се необично тиче и специјалне релативности (Fluid) ширећи је.

1. На слици десно са линком на кратки видео види се проток флуида:

Q = V/t = AL/t = πr²L/t = πr²v = const.

кроз цеви полупречника r и попречног пресека површине A = πr² која на дужини L има запремину V = AL. Ову дужину честице флуида прелазе за време t брзином v = L/t. Кроз ужу цев флуид ће попуњавати већу дужину цилиндра, тако да му је у истим временима запремина иста, Q₁ = Q₂ што даје једначину континуитета A₁v₁ = A₂v₂, или помоћу полупречника цеви r₁²v₁ = r₂²v₂. Брзина протока флуида опада са квадратом полупречника цеви. То је случај нестишљивог флуида.

2. Бернулијева једначина говори о константном збиру три притиска дуж протока флуида:

$$ P + \frac12\rho v^2 + \rho gh = \text{const}. $$

Први (P) је статички притисак самог флуида којим се он покреће. Други сабирак је динамички притисак, тј. кинетичка енергија ($\frac12\rho v^2$) изражена помоћу густине флуида (ρ) и брзине флуида (v). Трећи је хидростатички притисак (ρgh) потребан да флуид промени висину (h) у гравитационом убрзању (g). Константан је збир ове три енергије: притиска, кинетичке и потенцијалне.

Пример. У протоку флуида кроз различите профиле цеви полупречника r и површина попречних пресека A = πr² промене висине флуида скоро и нема (h₁ = h₂), па изједначавањем горње константе на два профила бива:

$$ P_1 - P_2 = \frac{\rho}{2}(v_2^2 - v_1^2), \quad A_1v_1 = A_2v_2. $$

Десно додата је горња једнакост која важи и за нестишљиве флуиде, па:

$$ P_1 - P_2 = \frac{\rho}{2}v_1^2\left(\frac{A_1^2}{A_2^2} - 1\right) $$

налазимо да улазећи у ужу цев (A₂ < A₁) притисак флуида опада (P₁ < P₂). Повећањем брзине флуида (v₂ < v₁) уласком у ужи део цеви флуиду расте кинетичка енергија, а то се компензује смањењем енергије притиска. То је тзв. Бернулијев принцип, наизглед интуитивно неприхватљив. ∎

3. Неочекивана је и веза Бернулијевог принципа са релативношћу, потом и са „стрелама времена“. Бернулијево смањење притиска иде због брзине струје ваздуха смером усисавања ка већој брзини честица флуида, илити повлачењу према мањој релативној брзини временског тока. Једноставно речено, модел је исти као гравитациона вуча, или спонтан ток усмерен ка мање информативном стању.

Пример. Потражимо брзину v = v₂ истицања течности сталне густине ρ из подножја великог тенка висине h = h₁ - h₂ када је могуће занемарити разлике притиска флуида горњег и доњег дела (P₁ = P₂), и узети да горња површина не опада (v₁ = 0). Полазимо од Бернулијеве једначине (2):

$$ P_1 + \frac12\rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac12\rho v_2^2 + \rho gh_2, $$ $$ \rho gh_1 = \frac{\rho}{2}v_2^2 + \rho gh_2, $$ $$ \rho g(h_1 - h_2) = \frac{\rho}{2}v_2^2, $$ $$ v = \sqrt{2gh}. $$

Добили смо брзину v истицања флуида из дна тенка, у гравитационом убрзању g и са висином h флуида, коју ћемо даље применити на такве еквивалентне случајеве. ∎

На пример, применимо овај резултат на вертикалан пад (Простор-Време, стр. 58). У условима слабог гравитационог поља (Њутновог) масе M тамо посматрамо пад тела из мировања масе m_o из бесконачности на висину r од центра поља и налазимо му масу:

$$ m = m_0e^{GM/rc^2}, $$

где је G гравитациона константа, а c је брзина светлости у вакууму. Тада је:

$$ e^{-\frac{GM}{rc^2}} \approx 1 - \frac{GM}{rc^2} \approx \sqrt{1 - \frac{2GM}{rc^2}}, $$

а за реципрочни десни корен знак „минус“ прећи ће у „плус“ у изразу у средини. Десно је корен метричког тензора g₀₀ који стоји уз временску координату Шваршилдовог решења Ајнштајнове опште једначине. Она горе брзина истицања флуида из тенка одговара овим брзинама које се постижу у овом екстремном слободном паду. Није изненађење да таква одговара и мање ектремним опадањима, али сада помоћу њу видимо и гравитационо окружење као сличан флуид.

Даље више и није неко откриће приметити да се и преламање светлости може објашњавати (Бернулијевим) привлачењем.

Arrows » eng

Питање: Појасните то Бернулијево привлачење „временским стрелама“?

Одговор: Збуњује вас новина, то је верујем. Мозак воли познато и учимо пролазећи текстове много пута док не „легну“. То је и добар начин истраживања, не надати се пуно у првом покушају. Додатно, интуиција нас често вара у оцени апстрактних и ситуација о којима немамо наслеђа еволуцијом. Ова слика лево то демонстрира.

На слици је детаљ експеримента „двоструки отвор“ (погледајте и Slit in Time). Из отвора A(-a, 0), рецимо, талас је кренуо пре него B(b, 0), тако да је a < b, а сфере таласа се сусрећу у тачки O(0, 0). Полупречници тих сфера тада су a и b, оба позитивни бројеви. Они продужавају кретања истим брзинама, рецимо брзином v, а после неког времена t пресек им је у тачки P(x, y). Интуиција обично каже да би ове тачке P ишле по правој линији, интерферирајући два таласа и формирајући отисак дифракције на неком тамо застору као у поменутом експерименту. Друга честа лоша процена је да се одржава однос AP : PB = a : b. Да то није тако показаће следећи рачун.

Након времена t полупречници сфера се повећају за Δr_A = Δr_B = vt, тако да узимају вредности:

r_A = a + Δr_A = a + vt,     r_B = b + Δr_B = b + vt.

У пројекцији на раван слике то су кружнице:

(x + a)² + y² = r_A²,     (x - b)² + y² = r_B².

Одузимамо их, сређујемо, смењујемо и налазимо:

(x + a)² - (x - b)² = (a + vt)² - (b + vt)²,
(a + b)(2x + a - b) = (a - b)(a + b + 2vt),

$$ vt = \frac{a+b}{a-b}x, \quad y^2 = 4ab\frac{x}{a-b}\left(\frac{x}{a-b} + 1\right). $$

Путања тачке P је хипербола чије су обе гране (зелене) видљиве на слици десно. Ова слика има a = 2 и b = 4, па је хипербола:

$$ y^2 = 32\frac{x}{-2}\left(\frac{x}{-2}+1\right), $$ $$ (x-1)^2-\frac{y^2}{8} = 1. $$

То је хипербола транслирана по апсциси за 1 десно, са теменима у тачкама 0 и 2 апсцисе, те са фокусима управо у тачкама A(-2, 0) и B(4, 0). Сада је јасно зашто тачка P клизи по хиперболи, јер њена дефинициона особина је $\overline{AP} - \overline{PB} =$ const. Ово је константна разлика удаљности до фокуса, једнака је почетној разлици.

Ако си макар мало био изненађен најавом очекујући овај резултат, да би затим видевши га одједном укапирао да је ово сасвим логично, дапаче и једноставно, а заправо и очекивано решење, тим редоследом, онда имаш и тај доживљај (можда ново искуство) ловца у трагању, а на крају еурека ефекта. Не дај се навући на задовољство истраживања.

Елем, честице су таласи који се у блиском претицању теже изједначити. Спорија стиже бржу и обрнуто, а то видимо као интерференцију таласа, овде и као примицање споријем току времена. То су дејства ситне снаге, па остају непримећена или небитна. У овој причи ово је врста слагалице која се просто уклопила и ништа више, а ако се покаже неуспешно опет ништа страшно за одустајати. Не успева много покушаја, нити очекујем да доживим доказ успеха, а далеко сам истрчао са неким да ми је узалуд чекати икакве експерименталне потврде таквих мозгалица.

Bundle » eng

Питање: Можете ли ми још једном појаснити како израчунавате такав „завежљај“ временским стрелама?

Одговор: Слика лево приказује изворе F₁(-c, 0) и F₂(c, 0) таласа који се шире брзином v. Систем координата је (Oxy) правоугли Декартов и c > 0. Ови таласи се срећу у тачки A(-a, 0), затим се секу у тачки P(x, y). Мањи круг, лево и десно има полупречник:

F₁A = r₁ = c - a,
F₂A = r₂ = c + a,

а већи су полупречника:

F₁P = R₁ = r₁ + vt,     F₂P = R₂ = r₂ + vt.

Приметимо да можемо по вољи мењати вредности бројева c, a, v и t, који су овде позитивни, што резултате чини општим. Посебно, можемо такав интервал F₁F₂ сматрати подељеним на n = 1, 2, 3, ... једнаких делова, или таласних дужина λ = 2c/n.

1. Два таласа се шире у „завежљају“, они интерферирају, овде са новијим додатним тумачењем да спорији жури за бржим и обрнуто. Ако се појави разлика брзина настане цуг споријег временског тока који их заробљава, закључава да формирају честице попут P које клизе ка заслону, екрану у којем остављају траг дифракције. Ближи талас (F₁) је веће амплитуде од даљег (из F₂), има већу вероватноћу интеракције и јаче вуче. Кретање се честице (P) зато одупире инерцији и њену путању савија у том смеру.

2. Путању честице P налазимо прво као пресек одговарајућих кружница. То радимо у општем облику да би затим брзину и време (vt) сменили са x и y повезујући ове координате у једначину трајекторије, граф хиперболе:

(x + c)² + y² = R₁²,     (x - c)² + y² = R₂²,
(x + c)² - (x - c)² = (r₁ + vt)² - (r₂ + vt)²,
(2c)(2x) = (r₁ - r₂)(r₁ + r₂ + 2vt),
4cx = (-2a)(2c + 2vt),
cx = -ac - avt.

Кружнице су одузете, а разликом квадрата f² - g² = (f - g)(f + g) је убрзан рачун. Честица P скреће у лево као на датој слици. Нађено vt = -c(1 + x/a) смењујемо у било коју једначину од две одговарајуће кружнице да бисмо добили функционалну везу између x и y:

(x + c)² + y² = (c - a + vt)²,
(x + c)² + y² = [c - a - c(1 + x/a)]²,
(x + c)² + y² = (a + cx/a)²,
y² = a² - c² + (c²/a² - 1)x²,

$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad b^2 = c^2 - a^2. $$

3. Ово су једначине хипербола и неколико њих су на слици десно (исперкидане зелене). Велика и мала полуоса су a и b, ексцентри-цитет c/a. Фокуси хипербола су управо извори таласа, F₁(-c, 0) и F₂(c, 0). По њима клизе честице попут P и ударају (горе) у екран остављајући траг око тачака E_k, овде индекса k ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. А размаке између тих тачака даје таласна дужина λ таласа (она је константна, амплитуде опадају), па време појављивања (однос полупречника првих додирних кружница), затим и удаљеност екрана од апсцисе.

4. Тако се таласи иначе равномерних сфера (овде линија кружница) лепе да формирају стварне нове честице. То је опет тешко сварљива идеја која стоји иза овог израчунавања. Пробавам је и на експерименту двоструког отвора, као слагалицу којој тражим евентуално неслагање. Наиме, када другог таласа нема и први остане усамљен, онда нема ни формирања тих назовимо фантомских честица, чворишта или интерференција, које као да не поштују закон инерције. Талас пролази кроз једини слободан отвор да би на екрану испадао као као права честица.

Periphery » eng

Питање: Зар нисте у претходном одговору обрнули узрок и последицу, па „кругови ширећи се имају пресечну тачку која клизи по хиперболи“ постаде „мањи круг јаче вуче и тачка пресека скреће ка њему“?

Одговор: Познато је да се многе теореме геометрије могу добити из алгебре, пронаћи и у теорији вероватноће, опет потврђиване су у физици или обрнуто. То је идеја коју проверавам у случају пресека кружница. Погледајмо њен даљи развој.

1. Теорема. Периферни угао над пречником је прав (90° = π/2).

Доказ: На слици десно види се круг центра O, пречника AB и периферне тачке C. Три периферне тачке A, B и C формирају троугао чија темена су једнако удаљена од центра круга O, па су троуглови AOC и COB једнаких крака AO = CO и CO = BO. Они имају једнаке углове на основицама ∠OAC = ∠ACO = α и ∠OCB = ∠CBO = β. Збир углова у троуглу ABC је π, или 180°, па је 2α + 2β = π, а отуда ∠ACB = α + β = π/2. Тиме је теорема доказана. ∎

2. Идеја је да информацију перцепције, као унутрашњу информацију два субјекта (In and Out), покушамо применити на периферију користећи ову теорему. Знамо да се таласи (површински воде око баченог камена, па до виртуелних фотона около електрона) из центра шире по концентричним круговима, јер им је брзина константна, па сада то требамо гледати кроз ову теорему. Веза им је гледање истих неких садашњости тачака растуће периферије и информација перцепције која је скаларни производ стања (вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$) субјеката у могућој комуникацији, $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\angle(\vec{a},\vec{b})$.

Када је $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ вектори су окомити, значи стања $\vec{a}$ и $\vec{b}$ нису у могућности комуникације. У другим случајевима, када $\vec{a}\cdot\vec{b} \gt 0$, периферија узајамно може имати увид. Трећи моменат овде је особина истовремености, она се променом једног свог дела сва мења. На пример, то значи да су (по мени) истовремени догађаји они чија би стања једног сазнавали мерењем стања другог (Packages III, 1). Кружница је тачно толика, или таква фигура која овај концепт истовремености може држати на окупу.

3. Свесни ми реченог или не (за сада не) такву везу математике и физике имамо одавно. На пример, у Гаусовој теореми дивергенције:

$$ \iiint_V \vec{\nabla}\cdot \vec{F}\ dV = \iint_S \vec{F}\cdot\vec{n}\ dS. $$

На левој страни ове једнакости стоји интегал у запремини V коју затвара површ S по којој се интегрира на десној страни једнакости. Нема потребе знати шта је интеграл осим да је то збир свих веома малих парчића, лево $\vec{\nabla}\cdot \vec{F}\ dV$ и десно $\vec{F}\cdot\vec{n}\ dS$. Лево се сабирају све промене ($\vec{\nabla}$) неког флукса ($\vec{F}$) унутар дате запремине (V), а десно је збир пролазака тог флукса кроз његов омотач (S).

Теорема каже да унутра има толико материје за коју важи закон одржања (масе, енергије, импулса, спина и слично) колико улази и излази задрже. Ако је, рецимо, девет особа ушло у просторију и четири су изашле онда је пет остало унутра. При томе, вектор $\vec{n}$ је јединичне дужине и окомит је на површину S па је скаларини производ са флуксом $\vec{F}\cdot\vec{n} = 0$ када је флукс окомит на њега, а то значи да нема изласка нити уласка кроз површину.

4. Видео десно тумачи визуелно ту теорему дивергенције. У њему се рачуна флукс (проток), вектор F током времена Δt објашњавано уз помоћ висине паралелограма FΔt⋅ñ, где је ñ јединични вектор нормале на основицу. Проток у равни кроз затворену контуру C укупно, део по део линије dc je:

$$ \Phi = \int_C (\vec{F}\cdot\hat{n})\ dc. $$

Слично, флукс електричног $\vec{E}$ и магнетног $\vec{B}$ поља кроз површину S која затвара простор V у којем су износи редом:

$$ \Phi_E = \iint_S \vec{E}\cdot d\hat{s}, \quad \Phi_B = \iint_B \vec{B}\cdot d\hat{s}, $$

где су $d\vec{s}$ сићушни вектори нормални на површ, тј. претходни $\vec{n}\ dS$. Како год, може се говорити о „информацији перцепције“, или комуникацији, односно протоку нечега (за шта важи закон одржања) кроз површ. Када пресечну тачку два круга посматрамо као материјалну тачку, праву нову честицу, онда треба објаснити и зашто она не иде по инерцији по правој линији, него скреће клизећи по хиперболи. И то је то, ако се разумемо.

Graduality II » eng

Питање: Може ли се рећи да природа спонтано тежи непрекидности?

Одговор: Да, стварност око нас долази из континуума ка коме тежи, али таква у међувремену разговара пакетима дискретно. Њена испрекиданост је већа са микро-светом где је локализам разметљив са становиштима из којих нису добро предвидљиви њени будући токови и свакакви глобализми.

1. Природне промене теже постепености (Graduality) из закона одржања вероватноће (да, такав такође постоји) које виђамо кроз законе великих бројева у окупљању случајних исхода око средњих вредности. Сасвим на другој страни имамо могућности (Distances II) да просторе са насумично расутим догађајима видимо као метричке, апстрактне форме такве које веома добро симулирају места кретања па и живљења као у некој правој реалности. Тежња постепености је и скретање „фантомске“ материјалне тачке (Bundle) пресека растућих кругова ка асимптоти хиперболе, ако то посматрамо као општу тежњу лењости.

2. Познајући Гаусову теорему дивергенције (Periphery, 3) изведену давно на основу макро-света, сада препознајемо и њене трагове у микро-свету. Знамо „после битке сви су генерали“, а пре најчешће су лоши пророци и „гуске у магли“. Зато је добро знати и диференцијалне облике поменуте интегралне теореме да би лакше видели оно „чега нема“ у свету физике малих величина. Детаљно извођење једначине континуитета (одржања масе) у видеу линка је горње слике лево, а ево поједностављеног.

3. За схватање Гаусове теореме дивергенције:

$$ \Phi = \iiint_V \vec{\nabla}\cdot \vec{F}\ dV = \iint_S \vec{F}\cdot\vec{n}\ dS, $$

где је тзв. набла вектор оператор:

$$ \quad \vec{\nabla} = \vec{i}\frac{\partial}{\partial x} + \vec{j}\frac{\partial}{\partial y} + \vec{k}\frac{\partial}{\partial z}, $$

није нам потребно познавање интегралног рачуна. Наиме, леви интеграл је проток (флукс) унутар запремине V чија је површина S кроз коју тамо и овамо цуре количине изражене десним интегралом. Ако у кутију V каква већ садржи 5 грама неке супстанце додамо још 15 g, па извадимо 8, знамо да јој остаје 12 грама. То каже та чувена једначина на свој, математичким аматерима, несхватљив начин.

4. Да добијемо исто помоћу диференцијалне једначине приметимо масу:

$$ M = \iiint_V \rho\ dV $$

која се пружа густином ρ унутар кутије V. Парчићи dm = ρdV делићи су маса разбацаних унутар тог затвореног простора, за даље разумевање и небитни. Брзине мењања масе M у V једнаке су брзини протока кроз S:

$$ \frac{d}{dt}\iiint_V \rho\ dV = -\iint_S\rho\vec{F}\cdot\vec{n}\ dS. $$

Знак минус је испред интеграла десно, јер цурење вани кроз површину S значи смањење за исту количину унутар V. Пролазак кроз површину, по претпоставци, једини је начин губитка или добитка масе M.

5. Двоструки, површински интеграл десно (4), према Гаусовој једнакости (3), једнак је троструком, запреминском лево. Отуда једнакост троструких интеграла:

$$ \frac{d}{dt}\iiint_V \rho\ dV = -\iiint_V \vec{\nabla}\cdot (\rho\vec{F})\ dV. $$

Густина је функција положаја и времена, ρ = ρ(x, y, z, t), а стога промена по времену уласком у интеграл постаје парцијални извод:

$$ \iiint_V \left[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{F})\right] dV = 0. $$

6. То је општа формула, што значи да она важи за све поделе дате кутије на мање кутије, а то је могуће једино када је подинтегрална вредност (у угластој загради) једнака нули:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{F}) = 0. $$

Ово је та тражена парцијална диференцијална једначина одржања масе у запремини, или Гаусова теорема дивергенције начином диференцијалне једначине, односно једначина континуитета.

7. Када се држимо самих истина, специфично за ход по математици, нема потребе освртати се и по више пута проверавати тачност онога што остаје иза. Из те сигурности у трајање истине следи и закључак из (6) важења за све поделе дате кутије, а и уопште сигурност важења ових теорема свугде када су испуњене њихове претпоставке. Те претпоставке проналазимо и у квантној физици када ове теореме и примењујемо.

Коначно, можемо рећи да природа спонтано тежи непрекидности, као и већој вероватноћи, мањој комуникацији, мањој интеракцији, или мањем напрезању. Посебна је новина запажање о њеном спонтаном смиривању, због привлачне силе вероватноће, односно одбојне силе неизвесности, а које васиону вуче ка смиривању, замишњеном стању без информација и зато без догађаја, без ње саме какву је познајемо.

Unaffected » eng

Питање: Глаткоћа процеса значи одсуство изненађења, виспрености или виталности?

Одговор: Да, све троје на посебне начине. Неизвесност је покретач света (у овој, мојој теорији) и ако она нестаје свет умире и топи се у небитности, постаје и беживотан.

1. Знамо да су фикције потребне физичкој реалности да повећава своје слободе (Виталност). Мање таквих изолује истину, стварност на групу острва, превелик вишак лепљив је и такође сметња широј спознаји. Овај проблем често сам помињао, рецимо, у такмичењу и карактерима личности (Traits).

Претерујући са подвалама запада се у клопку овисности о лажима. Мозак се тренира за смицалице и губи осећај за истине. Тај играч постаје плићи за надметања, лошије процењује стварност и ређе је види као циљ, таква му измиче и вештина клизи у нижу лигу. Апсурдно, све боље приповеда о својој успешности, а све више је лузер. Она друга крајност, гола физичка супстанца доња је у борби, али не мари за победе и неуништива је. Овако се такође увиђа како „глаткоћа“ (из питања) значи смирај, јер стратегија „жртвом до победе“ (Lose-Lose) редовно побеђује „сигурицу“ као спајање само доброг са добрим (Win-Win).

2. Како разумети да је и вишак информација сметња обавештености? — Просто речено, игла је добро сакривена у пласту сена. Када си превише информисан онда си дезинформисан. Опет, поента ефикасности управо је у ослобађању вишкова избора. Такође, садржајнији текст садржи нижу Шенонову информацију од насумичног (Letter Frequency). Оптимум, оба „слободе“ или „видљивости“, постиже се једнаким односом „способности“ и „ограничења“ (Completion).

Много информација, значи пуно опција. Као и мноштво аксиома, није им у реалном времену могуће проверавати тачност (непротивречност). Стога ће, на пример, сама вештачка интелигенција нужно почети лагати. Лоше ће процењивати, фантазирати, па и манипулисати у „своју“ корист која је њој задата као циљ (нпр. скупљање лајкова зарад промоције креатора, па пројекта, затим фирме и даље). Ово такође произилази из овакве теорије (поменути Aquaplaning).

3. Отуда и квантна физика, са светом највећих неизвесности садржи мого законитости. Шредингерова једначина је пример тачности и потпуности сазнања о честицама-таласима, а говори о њиховим вероватноћама:

$$ i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x, t) + V\psi(x,t). $$

Ово је њен „временски зависан“ облик, са оператором енергије $E = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ лево од једнакости и десно хамилтонијаном $H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V$ (збирном енергијом) који садржи потенцијале $V(x,t)$ кроз које се честица креће и коју препознајемо као једнакост линеарне алгебре са решењем, редом:

$$ \frac{d}{dy}y(t) = Ay(t), \quad y(t) = e^{At}y(0), $$ $$ \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}H\psi, \quad \psi(x,t) = e^{-\frac{Ht}{\hbar}}\psi(x, 0). $$

Овде се такође говори о густини $\rho(x, t) = \psi^*\psi = |\psi|^2$ сада вероватноће и о њеном флуксу, вектору $j(x,t)$, као у горњој једначини континуитета:

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot j = 0 $$

коју пишем са ознакама чешћим у квантној механици. Она се показује еквивалентном Гаусовој (Graduality II, 6), и обе су домен континуума.

4. Ево како се стиже до те једначине континуитета. Две Шредингерове једначине пишемо, горњу (3) и исту коњуговану, затим прву множимо коњугованом таласном функцијом ψ^* слева, а другу обичном ψ сдесна. Затим те једначине одузимамо:

$$ i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi, \quad -i\hbar \frac{\partial \psi^*}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi^*, $$ $$ i\hbar\left(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial t} + \psi\frac{\partial \psi}{\partial t}\right) = - \frac{\hbar^2}{2m}\left(\psi^*\nabla^2\psi - \psi\nabla^2\psi^*\right), $$ $$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\cdot(\psi^*\nabla \psi - \psi\nabla \psi^*), $$ $$ - \frac{i\hbar}{2m}\nabla\cdot(\psi^*\nabla \psi - \psi\nabla \psi^*) + \frac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi) = 0, $$ $$ \nabla j + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0. $$

Проток (флукс) сада вероватноће је:

$$ j = - \frac{i\hbar}{2m}(\psi^*\nabla \psi - \psi\nabla \psi^*), $$

а густина вероватноће је:

$$ \rho = \psi^*\psi = |\psi|^2 \ge 0. $$

На пример, нека је таласна функција:

$$ \psi(x,t) = ae^{\frac{i}{\hbar}(p\cdot x - Et)}, $$

где је a константа нормализације, у густини даће ρ = ψ^*ψ = |a|² свугде у простору, а флукс вероватноће даће $j = \frac{p}{m}|a|^2 = \rho\frac{p}{m}$ што значи да се та честица креће једнолико по простору, брзином v = p/m са константним облаком вероватноће. То је и потврда закона одржања вероватноће.

Relativistic III » eng

Питање: У чему је разлика између Шредингерове и релативистичке тал-асне једначине квантне механике?

Одговор: Таласне функције виде се на слици лево са приложеним линком. Квантна честица путује као „стојећи“ вал (вероватноће), који треба да се помера складно са релативности кретања. Општа релативност (Relativistic II) овде нам није тема.

1. Шредингерова једначина, која је разматрана у претходном одговору, добро предвиђа све експерименте са честицама релативно малих брзина, али је нерелативистичка. Она је заснована на хамилтонијану класичне физике према којем је кинетичка енергија квадрат импулса подељен са двоструком масом (p²/2m), док је релативистичка теорија са квадратом енергије E² = p²c² + (mc²)². Наћи ћете овде извођење, рецимо, у прилогу Massless, или опет у Mass III (5).

2. Увођењем оператора енергије $E \to i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ и импулса $p \to -i\hbar\nabla$ у горњи релативистички израз за енергију, добија се Клајн-Гордонова једначина:

$$ - \frac{\hbar^2\partial^2\psi}{\partial t^2} = (-\hbar^2c^2\nabla^2 + m^2c^4)\psi, \quad \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}. $$

Просто тако. Чешће је пишемо у облику:

$$ \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\psi = 0 $$

који личи на Максвелову једначину електромагнетних таласа (Speed, 4). Обе су инваријантне (не мењају се) при Лоренцовим трансформацијама (Простор-Време), тј. трансформацијама координата специјалне теорије релативности.

У главне слабости Клајн-Гордонове једначине убраја се њена немоћ да опише фермионе јер не узима у обзир спин. Погрешно предвиђа фину структуру атома водоника јер не укључује спин. Затим Клајн-Гордонова једначина даје негативне вероватноће, те присуство негативне енергије. Ово води до „Клајновог парадокса“ и захтева реинтерпретацију у смислу античестица. Поред тога, она садржи други извод таласне функције (ψ) по времену што је недовољно одређује, јер захтева и почетну позицију и почетну брзину за њен опис, за разлику од Шредингерове једначине која има само њен први извод по времену и даје ту функцију са самим њеним почетним положајем.

3. Тражећи боље решење од Клајновог, Пол Дирак је почео са захтевом да таласна једначина има само први извод по времену и да изржава израз за енергију $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ релативности. Он тада пише:

$$ E = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}, $$ $$ E\psi = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}\psi, $$ $$ E\psi = \sqrt{p_x^2c^2 + p_y^2c^2 + p_z^2c^2 + m^2c^4}\psi, $$ $$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = \sqrt{p_x^2c^2 + p_y^2c^2 + p_z^2c^2 + m^2c^4}\psi. $$

Играјући се даље са математиком (према његовим речима), Дирак корен енергије пише као линерану комбинацију вектора, коју затим квадрира:

$$ E = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4} = \alpha_xp_xc + \alpha_yp_yc + \alpha_zp_zc + \beta mc^2, $$ $$ p^2c^2 + m^2c^4 = (\alpha_xp_xc + \alpha_yp_yc + \alpha_zp_zc + \beta mc^2)^2 $$

и налази једначину чије коефицијенте може упоређивати:

$$ (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)c^2 + m^2c^4 = \alpha_x^2p_x^2c^2 + \alpha_y^2p_y^2c^2 + \alpha_z^2p_z^2c^2 + \beta^2m^2c^4 + $$ $$ + (\alpha_x\alpha_y + \alpha_y\alpha_x)p_xp_yc^2 + (\alpha_y\alpha_z + \alpha_z\alpha_y)p_yp_zc^2 + (\alpha_z\alpha_x + \alpha_x\alpha_z)p_zp_xc^2 $$ $$ + (\alpha_x\beta + \beta\alpha_x)p_xmc^3 + (\alpha_y\beta + \beta\alpha_y)p_ymc^3 + (\alpha_z\beta + \beta\alpha_z)p_zmc^3. $$

У скуповима бројева, ни реалним нити комплексним, ова једначина нема решења и Дирак их тражи у скупу матрица. Матрице иначе не комутирају и зато овако раздвајамо њихове производе.

4. Наиме, решавајући горњу једначину налазимо:

α_x² = α_y² = α_z² = 1,

α_xα_y + α_yα_x = 0,     α_xβ + βα_x = 0,
α_yα_z + α_zα_y = 0,     α_yβ + βα_y = 0,
α_zα_z + α_xα_z = 0,     α_zβ + βα_z = 0.

То је немогуће када су ови коефицијенти бројеви, па даље настављамо са квадратним матрицама, са јединичном и нула матрицом такође. Решења коефицијената алфа могу бити Паулијеве матрице (Простор-Време, стр. 97) које су већ биле у квантној механици:

$$ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, $$

јер је σ_k² = I, јединична матрица за свако k ∈ {1, 2, 3}, а σ_jσ_k + σ_kσ_j = 0 за све међусобно различите j, k ∈ {1, 2, 3}, што је лако проверити. Међутим, није могуће наћи четврту матрицу другог реда за коефицијент бета тако да буду испуњене једнакости десно.

5. Покушај са матрицама трећег реда такође не успева и Дирак налази могуће решење са матрицама четвртог реда:

$$ \alpha_x = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_1 \\ \sigma_1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, $$ $$ \alpha_y = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_2 \\ \sigma_2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 &i & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, $$ $$ \alpha_z = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_3 \\ \sigma_3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, $$ $$ \beta = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. $$

Лако је проверавати да ове матрице, типа 4×4 које садрже блок матрице (сигме, јединичну и нула) типа 2×2, задовољавају једнакости горњих (4) коефицијената, алфа и бета. Сада се може комплетирати Дираков циљ:

$$ E\psi = (\alpha_xp_xc + \alpha_yp_yc + \alpha_zp_zc + \beta mc^2)\psi. $$

Са операторима енергије $E \to i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ и импулса $p \to -i\hbar\nabla$ добијамо:

$$ i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -i\hbar c\alpha_x\frac{\partial \psi}{\partial x} - -i\hbar c\alpha_y\frac{\partial \psi}{\partial y} - -i\hbar c\alpha_z\frac{\partial \psi}{\partial z} + \beta mc\psi. $$

Уводимо вектор α = (α_x, α_y, α_z) и множимо га са вектором набла:

$$ \alpha\cdot\nabla = (\alpha_x, \alpha_y, \alpha_z)\cdot \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right), $$ $$ \alpha\cdot\nabla = \alpha_x\frac{\partial}{\partial x} + \alpha_y\frac{\partial}{\partial y} + \alpha_z\frac{\partial}{\partial z}, $$ $$ i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -i\hbar c\alpha\nabla \psi + \beta mc^2 \psi. $$

То је Диракова једначина.

Диракова једначина је потврђена њеним успешним предвиђањима, а на-јзначајније је постојање антиматерије, тачније позитрона, који је открив-ен 1932. године. Такође је прецизно предвидела фину структуру водонич-них спектара и друге квантно-механичке феномене, као што је спин елек-трона.

6. Диракова једначина (5) није у њеном познатијем облику у литератури. Помножимо је са матрицом β слева и формирајмо четири гама матрице γ⁰ = β, γ¹ = βα_x, γ² = βα_y, γ³ = βα_z. При томе користимо β² = I, па уводимо и 4-вектор γ = (γ⁰, γ¹, γ², γ³), редом:

$$ i\hbar\beta\frac{\partial \psi}{\partial t} = -i\hbar c\beta\alpha_x\frac{\partial \psi}{\partial x} - i\hbar c\beta\alpha_y\frac{\partial \psi}{\partial y} - i\hbar c\beta\alpha_z\frac{\partial \psi}{\partial z} + \beta^2mc^2\psi, $$ $$ i\hbar\gamma^0\frac{\partial \psi}{\partial t} + i\hbar c\gamma^1\frac{\partial \psi}{\partial x} + i\hbar c\gamma^2\frac{\partial \psi}{\partial y} + i\hbar c\gamma^3\frac{\partial \psi}{\partial z} - mc^2 \psi = 0, $$

Затим уводимо 4-вектор ∂ парцијалних извода са компонентама:

$$ \partial_0 = \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \quad \partial_1 = \frac{\partial}{\partial x}, \quad \partial_2 = \frac{\partial}{\partial y}, \quad \partial_3 = \frac{\partial}{\partial z} $$

да бисмо Диракову једначину могли кратко написати:

$$ \left(i\hbar c\sum_{k=1}^3 \gamma^k\partial_k - mc^2\right)\psi = 0, $$ $$ (i\hbar c \gamma^k\partial_k - mc^2 )\psi = 0. $$

Доњи запис је скраћено писање Ајнштајновом конвенцијом по којој се сабира по поновљеним горњим и доњим индексом. Коначно, поделимо ли ову брзином светлости c добијамо још краћи запис ове једначине:

$$ (i\hbar \gamma^k\partial_k - mc )\psi = 0, $$

где је временска координата x⁰ = ct, а просторне су x¹ = x, x² = y и x³ = z. За даље поједностављивање користе се тзв. природне јединице ℏ = c = 1. Тада Диракова једначина добија још једноставније облике:

$$ (i\gamma^k\partial_k - m)\psi = 0, $$ $$ i\gamma\cdot\partial \psi = m\psi. $$

Ово је најкраћи, ако не и најпознатији облик Диракове једнечине.

Density » eng

Питање: Докажите да Диракова таласна једначина квантне физике, као и Шредингерова, предвиђа ненегативну густину вероватноће?

Одговор: Питање разлика рела-тивистичких таласних квантних функција, тако и сама Диракова једначина, преопширно ми је за кратке теме блога. То је један од разлога зашто морам претходни одговор (Relativistic III, 6) исећи на више делова. Други је мотив познатост, истраженост лекција које нису тема овог блога. Осим у том и ретко још којем случају, одговори овде увек имају бар нешто оригиналности. Не мислим само на стил, нити на неке примере и начине решавања понечег већ решеног, већ и на често толико нове идеје за теорију информације да у њих ни сам не верујем.

1. Доказ да и Шредингерова, иначе нерелативистичка, једначина квантне механике предвиђа не-негативност густине вероватноће већ сам наводио (Unaffected, 4). Поновићу ту методу сада на Дираковој, иначе релативист-ичкој, једначини квантне физике. Приметите да нас то води једначинама континуитета (Fluid II, затим Graduality II 6, или Unaffected 3) важних ми јер примарно доказују закон одржања густине вероватноће, а секундарно и информације, потом закон одржања неизвесности.

2. Еквивалент коњуговању у скупу комплексних бројева је адјунговање за матрице. У првом, коњуговање комплексног броја a + ib ∈ ℂ које пишемо (a + ib)^* = a -ib, где су a, b ∈ ℝ, у другом је коњуговање и транспоновање:

$$ \begin{pmatrix} x & y \\ u & v \end{pmatrix}^\dagger = \begin{pmatrix} x^* & u^* \\ y^* & v^* \end{pmatrix}. $$

Дирак је своје таласне функције ψ формирао као спиноре, тако да је:

$$ \psi^\dagger \psi = \begin{pmatrix} \psi_1^* & \psi_2^* & \psi_3^* & \psi_4^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \\ \psi_4 \end{pmatrix}, $$ $$ \rho = \psi^\dagger \psi = \psi_1^*\psi_1 + \psi_2^*\psi_2 + \psi_3^*\psi_3 + \psi_4^*\psi_4, $$ $$ \rho = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 + |\psi_3|^2 + |\psi_4|^2 \ge 0. $$

То је Диракова густина вероватноће и доказ њене ненегативности. Ово је увод, а право питање за ову теорију је једначина континуитета. Ево како се она може добити из Диракове једначине. То је бонус на питање.

3. Пишемо Диракову једначину и исту адјунговану, знајући (AB)^† = B^†A^†. Затим, прву множимо адјунгованим спинором (ψ^†), а другу непосредним (ψ), па их одузмемо и сређујемо. При томе користимо и особине α_x^† = α_x, α_y^† = α_y, α_z^† = α_z и β^† = β. Дакле:

$$ i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -i\hbar c\alpha_x\frac{\partial \psi}{\partial x} - i\hbar c\alpha_y\frac{\partial \psi}{\partial y} - i\hbar c\alpha_z\frac{\partial \psi}{\partial z} + mc^2\beta\psi \quad / \psi^\dagger\cdot $$ $$ -i\hbar\frac{\partial \psi^\dagger}{\partial t} = i\hbar c\frac{\partial \psi^\dagger}{\partial x}\alpha^\dagger_x + i\hbar c\frac{\partial \psi^\dagger}{\partial y}\alpha^\dagger_y + i\hbar c\frac{\partial \psi^\dagger}{\partial z}\alpha^\dagger_z + mc^2\psi^\dagger\beta^\dagger \quad / \cdot\psi $$ $$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(\psi^\dagger\psi) = -i\hbar c\nabla\cdot(\psi^\dagger\alpha\psi) \quad /:i\hbar $$ $$ \nabla\cdot(c\psi^\dagger\alpha\psi) + \frac{\partial}{\partial t}(\psi^\dagger\psi) = 0 $$ $$ \nabla j + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0. $$

Ово је тражена једначина континуитета, са густином и флуксом густине:

$$ \rho = \psi^\dagger\psi, \quad j = c\psi^\dagger\alpha\psi. $$

Из раније познатих начина знамо да је она еквивалент закона одржања, овде густине вероватноће.

4. Неколико поука је остало за крај након ових последњих прилога. Прву сам већ помињао, да важи закон одржања густине вероватноће из којега следи одржање информације и неизвесности. Обзиром на вртљивост, те непредвидљивост информација, па их нема чим их има, као наличје ове постојаности стоји непостојаност. Стварност и фикција нам стижу истим испорукама, па, рецимо, са законом одржања енергије иде и несталност њених облика, јер информација је ткање свега око нас. Друга поука је да овај свет има лажи колико и истина, мада неистине заобилази физичка реалност. Трећа је да смо још увек на добром путу бавећи се физиком са таласним функцијама, векторима и матрицама.

Децембар 2025 (English ≽)