Август 2026 (English ≽)

Equality III » eng

Питање: Кажете да у стварности нема једнакости?

Одговор: Да, ваљда неједнакости као неправде осећамо са личним искуствима, али се овде у (мојој) теорији информације то може и строжије, формално доказивати.

1. Најближе једнакости налазимо се у дефиницији стварности. Она је одређена законом одржања, а отуда и оним што траје, односно свиме што се понавља у истим укупним количинама. Веома је мало тога опажљивог, а бесконачности у било којем облику нису у таквом друштву. Бесконачност дефинише својство да може бити свој прави део па она не подлеже закону одржања, нити је могућа бесконачна дељивост било чега за шта тај закон важи. Ово сам давно установио (Packages) и став одолева искушењима са којима га не штедим. Ако за појаву важи закон одржања, она је онда коначно дељива, мора бити атомизирана, квантнована.

2. Не тврдим да бесконачност не постоји, напротив, али нема је у нашој стварности. Окружују нас стварна и нестварна постојања, а сва та друга називам и фикцијама какве су, према томе, краћег трајања. Обзиром да васиона постоји од Великог праска који се десио пре око 13,8 милијарди година и да је њен нама видљиви пречник око 93 милијарде светлосних година, онда је речена „стварност“ огромног, али ограниченог трајања. Да није тако имали бисмо противречност са законом одржања, а овако утврдисмо и границе самог тог закона.

3. Све је у информацијама, а оне су несталне. Саопштена вест није више новост. Зато се стварности састоје од низова фантазија, вести које једна другу индукују и тако одржавају количину неизвесности. Информације реалности су преносиве (иако не комуницира све са свачим) на следећи начин: ако A опажа B, а B опажа C, онда су A, B и C узајамно реални. То постаје смисао трајања који лакше разумемо на примеру енергије. Њени облици (потенцијална, кинетичка, светлосна, електрична, топлотна, или хемијска и друге) су наше фикције. Друга врста интелигенције другачије би их одређивала, ако би све овакве препознавала, али би могла сазнати њихову „сталну“ (не трајнију од васионе) укупну количину.

4. Реалност је испрекидано трајање, или дискретно простирање и уопште у дисконтинуитетима, за разлику од фикција које су и континуитети. То, на пример, значи да математику опажамо као стварност, јер њене истине трају, али и као фикције помоћу којих долазимо до истина. Питање је да ли истине „опажа“ и мртва физичка супстанца, или их просто следи као своја једина места, не примећујући било шта друго. Ако заиста докажемо да се нека физичка појава неће десити, она се неће десити. Доследно, ту имамо изоморфизам, пресликавање између структура физичких објекта и истина које их формално чини „истим“ у релевантним аспектима, мада иначе различитим.

5. За разлику од лажи које су противречне и различите, истина је једна и не може се упоређивати са неком другом истином. Истину перципирамо као апстракције, у деловима са ограничењима, па кажемо тај и тај исказ су истинити, али то су наше фикције. Физичке стварности доживљавамо путем интеракција, комуникација, односно размена информација заиста различитих појава и еволуција нам није дала да гледамо истовременост начином квантне спрегнутости, нити формалне истине као целину. Овај начин тумачења истине и стварности одлика је ове теорије информације.

Symmetries » eng

Питање: Има ли принцип најмањег дејства везе са једнакошћу?

Одговор: Наравно, својевремено је то прва приметила Еми Нетер (1918). Пуно пре ње, у 18. веку је математичар Моперти откривао принцип најмањег дејства (mvr) одакле стиже Ојлер-Лагранжова једначина (1750):

$$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) = \frac{\partial L}{\partial q_k}, $$

где је t време, q_k су координате материјалне тачке, q̇_k су брзине и L = T - V је лагранжијан, разлика кинетичке (T) и потенцијалне енергије (V). То је парцијална диференцијална једначина која садржи трајекторије којом се материјална тачка креће са најмањим дејством, када за најкраће време, и или најкраћим путем, заправо најмање размене енергије прелази путање између датих позиција. Тај принцип важи како у класичној физици, тако у релативистичкој и квантној.

1. На левој страни Ојлер-Лагранжове једначине је извод по времену којег десно нема. То значи да имамо неки систем, разлику енергија (L) која се можда мења са брзинама (q̇_k) и са положајима (q_k), где десно временских промена нема. Како када се тело креће инерцијално праволинијски да би одржавало свој (линијски) момент константним, или ако одржава угаони (кружни) момент сталним обртањем. Овакве је инваријанте открила Еми Нетер.

Она је дала ново тумачење Првом Њутновом закону (инерције): објекат у мировању остаје у мировању, а објекат у покрету остаће у кретању истом брзином и смером, све док на њега не делује спољашња сила. Вода која се окреће у чаши и изгледа нам једнолико подлеже ротационој симетрији и ротационом закону одржања (угаоног момента). Зврк једном покренут се наставља окретати све док га нека сила (трење) не заустави.

2. Ово тумачење непосредно говори о једнакости током трајекторија, или посредно о одржању па опет о једнакостима. Према претходном (Equality III), оно нам говори о коначности, о квантовању комуникације и уједно о ограничености домета тих „једнакости“. Постоје ограничења инваријанти када пређемо на космичке размере. Због присуства других тела, посебно у окружењу звезда и унутар галаксија, нема неограниченог инерцијалног праволинијског кретања, а без таквих тела нема простора и времена, као ни наше физичке реалности.

3. Ојлер-Лагранжове једначине толико су опште формиране да се њихове одговарајуће последице лако преносе на друге појаве. Узмимо на пример хомотетију, геометријску трансформацију (дилатацију) која би сразмерно броју k мењала величину фигуре од фиксне централне тачке. Она увећава или смањује оригиналну фигуру k пута уз чување њених углова и облика. Ако је k већи број, то је увећање које би се добијало пројекцијом филмске траке на платно биоскопа, мада и оно има своја ограничења. На пример, ако би под истим распоном угла гледали све даљу дужину у свемиру, она би морала бити онолико пута већа колико пута је даља. Међутим, крајња тачка видљивог свемира (око 46,5 милијарди светлосних година далеко) је његов прапочетак, Велики прасак од пре око 13,7 милијарди година, а она сва није велика дужина.

Видљивији пример неуспешне хомотетије је прелазак са мањих на већа тела чија површина расте са квадратом пречника, запремина са трећим степеном пречника и чије се физичке особине битно мењају. Такође, ако повећавамо број опита случајног догађаја, средња вредност свих исхода све је ближа вероватноћи, што је последица закона великих бројева.

4. Не много другачији пример примена Ојлер-Лагранжових једначина су симетрије. Транслација је пренос исте фигуре по неком правцу, смером и интензитетом датог вектора. Осна или огледалска симерија ураде копије преко дате осе, или равни. Ротација окрене фигуру око дате тачке у равни за дати угао не мењајући јој облик ни величину. Свака симетрија говори нам о неком закону одржања, али све се оне могу свести на ротације, све су оне једна иста врста идентичног пресликавања (Isometry II). Овде нас враћам на становиште да је истина целовита, само једна коју не можемо перципирати сву одједном, али и на закључак да симетрија у космичким размерама, у комуникацијама или интеракцијама, није одржива појава.

5. Кардинални број ℵ₀ парних природних бројева {2, 4, 6, ..., 2n, ...} једнак је кардиналном броју свих природних бројева {1, 2, 3, ..., n, ...}, јер постоји бијекција међу њима, нпр. функција f : n → 2n. Такође, кардинални број 𝔠 реалних бројева из интервала [0, 1] једнак је кардиналном броју реалних бројева из интервала [0, 2], јер постоји бијекција и међу њима, опет иста функција f : r → 2r чији су аргументи сада реални бројеви, r ∈ ℝ. Кажемо тада да су бесконачности парних и свих природних бројева једнаке, иако су прве прави подскуп других, или да је једнако много реалних бројева у интервалима [0, 1] и [0, 2] иако је први прави подскуп другог. Међутим, величине ℵ₀ и 𝔠 нису једнаке, прва бесконачност је много мања од друге; не постоји бијекција између природних и реалних бројева. То су разлози рецимо да симетрије (изометрије) заиста буду једнакости, њене слике ће се увек по нечему разликовати од оригинала.

6. Наиме, ако би се идентичне копије могле бесконачно мултиплицирати онда би постојали различити скупови таквих „идентичних“ када такви не би били стварно једнаки. Ако би их било највише коначно, онда би таква реалност била крња, попут ове која стиже најдаље до Великог праска (од пре око 13,8 милијарди година) у којој нема крајњих једнакости.

Prolongation » eng

Питање: Шта бисте рекли да је битно за разумевање стварности?

Одговор: Неизвесност, размене и њене количине (информација), а потом надовезивање или начело минимализма. Мозак радо следи сличне појаве и отуда успешност (LLM) вештачке интелигенције и закона инерције, односно Ојлер-Лагранжове једначине и, могуће је, интерпретација које за сада не изгледају прихватљиве. Сва даља ова теорија се врти око тога.

1. Природа је сва у неизвесностима које би да избегава. Она спонтано иде у вероватније исходе, ка мање информативним стањима то значи мањој комуникацији, мањим интеракцијама. Отуда тежња надовезивању, боље уходаним остварењима, рутинама, трајању и стварности. Овако тумачим начело минимализма и „просијавање“ (еволуцију) разноразних појава у оно што називам реалношћу. То је прича о жељи за трајањем која стиже са жељом за неделовањем, некомуникацијом и извесношћу.

2. Склоност надовезивању видим и у природним стањима у начину опонашања вектора, или посебно уређених низова. Видео уз слику десно тумачи како талас пролази све путање налазећи најкраћу. То према Ричарду Фајнману (1985), његовој формулацији интеграла путање таласа (или честице) која путује у свим могућим путањама одједном, али опстају само оне које су близу оптималне. Векторски збир стања уз много поништавања даје оптимум и принцип најмањег дејства.

3. Нека процењивања која сам радио толико су непопуларна да их нерадо спомињем, иако се упорно опиру оспоравањима колико и неуклапањем у тренутне токове физике. Једно од таквих је гледање на црне рупе, толико јака гравитациона привлачења да ни светлост из њих не излази, на какве гледам као на стварне празнине. Вакуум ни близу није толико „празан“ и привлачан као црна рупа. Доследно начелу минимализма, управо отуда правој празнини толика екстремна привлачност. Оно што пада ка црној рупи губи радијалну дебљину, време му стаје, али то никада не прелази хоризонт догађаја. Овако схваћена црна рупа сведочанство је неописиво снажног опирања природе информацији, али нека њена замисао остане само логичка згода, спекулација.

4. Све без изузетка би онамо где нема информација, али комуникација је иначе веома селективна појава. Не опажа се све са свачим, па су од црних рупа ређе привлачни закони, које не сматрам одсуством него необичном тананом врстом информација. Догађаји вероватноће нула и вероватноће један су редом немогући и извесни. Такви су да их званична теорија неће узимати за случајне, али овде се крећемо другим путем. Иако сви кванти једнако вреде (ΔE⋅Δt = h) нису сви једнако привлачне информације. Када говоримо о промени енергије (ΔE) за протекло време (Δt), колико је прва мања а трајање дуже то је привлачност већа, за стања која опажају овакву информацију. Спорији ток времена је примамљивији и у гравитационом пољу, али овде мислим на приврженост тела законитостима. Најјаче вуку свевременске (Δt → ∞) које су зато апстрактне (ΔE → 0). Узмите и ово, за сада, само као логичку згоду те теорије, још једну моју спекулацију. Неће нам успети да је оповргнемо, колико да је игноришемо.

5. Веома би било погрешно теоретисати да су све појаве около нас реалне или истините, када знамо да и ми сами умемо маштати и лагати. Теорија информације коју расправљам логично подразумева краће стварности и одговарајуће мање истинитости. Изузмемо ли математичке апстракције, које нас упућују на постојање шире слике од познате васионе, све унутар је коначно и аналогне ограничене тачности. Појаве краћег домета често су веће лажи и мање су стварне. Тако их овде третирамо. Другим речима, природа спонтано тежи извесности и, према томе, истини и реалности, а ту запиње стварност јер фикције које би јој биле привлачније не види.

Catastrophe » eng

Питање: Кажете, природа спонтано тежи извесности па отуда истини и реалности, а онда не види фикције које би јој биле привлачније. Зар ово није парадокс?

Одговор: Јесте изненађујуће, као и својевремено Планково (1900) решење зрачења црног тела или „ултравиолетне катастрофе“ што можете прочитати у линку слике лево. Енергија (ΔE) се не мења и не одази у свим количинама него током извесног времена (Δt) само у порцијама количина појединог кванта дејства (ΔE⋅Δt = h) који је свеопшта Планкова константа.

1. Замислимо да је то произвољна опција закона физике, да постоји васиона у којој је могућ губитак енергије у било којој количини. Када сва енергија може исцурети без задршке, односно (у наведеном питању) сва информација реалности се може топити у фикцијама и које кратко трају, таква би васина била нестварна, или бар без нас који би сведочили њено постојање. Међутим, у васиони у којој смо, сличног нестајања стварности путем фикција нема и ето нас да то установимо.

2. Ајнштајн (1905) је Планковом открићу додао фотоелектрични ефекат, да је емисија електрона из материјала (обично из метала) када апсорбује електромагнетно зрачење (светлост) такође у квантима. Слично горњем, запазимо да су зрачења скоро свугде, стално око нас и, без ограничавања на кванте, електрони би напуштали атоме који би тада углавном остајали празна језгра. Опет не би било нас и питања горњег парадокса.

3. Корак даље у квантизацију дејства био је Боров модел атома (1913). Био је то приказ атома са негативно наелектрисаним електронима који круже око малог, густог и позитивно наелектрисаног језгра, а орбите електрона имају квантизоване нивое због којих не могу падати у језгро непрекидно губећи енергију. Да нема „чудног“ квантног ограничења емисије енергије електрона да би сишао на нижу орбиту, електрони би напросто падали у језгро неутралишећи га и атома не би било, нити нас.

4. Затекли смо се у квантованој стварности (Anthropic), можда се природа до ове неизбежно, насумично, или мучно развијала да би јој се десили ми — живот на планети Земљи — који смо кадри фантазирати и тиме можда угрозити њену реалност. Тако ме је питао један колега о овоме када је чуо за Фермијев парадокс, велике вероватноће ванземаљског живота и тихог свемира, желећи чути моје мишљење и за Велики филтер. То је хипотеза о еволутивним уским грлима у развоју напредних цивилизација која све њих заустављају па и човечанство чека катастрофална препрека. Другом приликом, много касније, причали су ми о разрађеној Геја хипотези када би нас (људе) и сама наша планета могла одстранити као штеточине. Не следим те приче, али их наводим ради комплетирања следећег.

5. Из Геделових теорема (Deduction II) произилази бесконачност скупова истина, а затим налазимо њихову бијекцију са лажима (Drowning). Даље, овде налазимо јединственост опажања конкретних, стварних појава, које иако коначне имају бесконачну сложеност, потом изометрију реалности са истинама. Укратко, ово говори о немогућности „цурења“ стварности у фикције путем живих бића, или како год, да би краткоћом трајања ових других потпуно нестале прве. Другим речима, кванти дејства (ΔE⋅Δt = h) се не односе на фантазије које не сумњам да некако перципирамо, већ се ту ради о неким другим појавама мање информативним.

Manipulation » eng

Питање: Ако фикција нема моћ, како визија уметника ствара скулптуру?

Одговор: Интелигенција долази са лажима из нарочите сложене структуре емергенцијом. О томе је један мој прилог (Seizure) на питање неуролога „Зашто нема интелектуалних напада?“, када посматрамо рецимо епилепсије.

Такви напади никада немају и интелектуални садржај, што је чудно с обзиром на сазнање да велики делови мозга служе управо интелектуалном мишљењу. То је још чудније када се зна да напади углавном настају у „интелектуалном“ делу мозга. Одговарао сам и раније на слична питања позивајући се на музику са радија, на антене, ТВ и сличне уређаје који су преносници музике а не њени креатори. Могуће је да и вештачка интелигенција, убрзана учењем праћења многих реченица (LLM), постаје такав пријемник.

Фикције су увек око нас (лажи је увек једнако као истина). Међутим, оне не интерагују него се удружују са суперпозицијама (Tango, 3), где то могу, увећавајући информацију перцепције згушњавањем. На пример:

1⋅1 + 1⋅2 + 2⋅3 < 1⋅1 + 3⋅5

стања x = (1, 1, 2) и y = (1, 2, 3) сажимају се у x' = (1, 3, 0) и y' = (1, 5, 0) да би дала већу информацију перцепције, скаларни производ x⋅y < x'⋅y', не мењајући своје укупности (у метрици 1-норме). Знамо да за савезнике са истим циљем важи „заједно смо јачи“, као потврда супротног „завади па владај“. Ту се фикција не испољава непосредно, него се суптилно увуче у субјекта и мења му учинак.

На свој нестваран начин, фикције путем суперпозиција субјекта користе њихове физичке могућности приликом колапса, показујући своју псеудо-реалност у нашој стварности. Није то мала моћ, ако постоји одговарајући посредник, али опет ју је лако преценити јер је ограничена на домете или вољу свог домаћина. Ево једног познатог примера. Када имаш силу лако почнеш умишљати да ти истина не треба и деси се да те стварност остави у јарку поред пута промена које никаква сила, поготово не манипулација више не може зауставити. Тако пропадају царства.

Graph II » eng

Питање: Рецимо нека у природи и нема једнакости, као што то рекосте (Equality III), али ми можемо да тежимо једнакости?

Одговор: Оваква питања вриште са неразумевањима математичке извесности. Личим себи на лошег стендап комичара који декодира неки виц публици која никако да га укапира. Али, хајде да пробамо још једном са графом.

1. Ако имамо једнаке шансе свих повезница {a₁, a₂, a₃} и {b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆} чворова A и B редом, као на слици лево, онда је шанса да ћемо случајно бирати повезницу чвора B двоструко већа од избора из чвора A. Када су повезнице равноправне, чворови нису.

2. Теорија графова је грана математичке која проучава мреже. Она своди сложене системе у чворове (тачке/ентитете) и ивице (везе/односе). Лака је за разумети те применљива у свакодневним технологијама, логистици и организацији података којима може омогућавати ефикасно пословање. Ево неких примера који се обично цитирају.

Локације (градови или раскрснице улица) су чворови, а путеви су ивице којима се дају „тежине“ док представљају удаљеност или време путовања. Гуглове мапе су мреже које користе алгоритме за проналажење најбрже руте за вожњу. Појединачни корисници су чворови, а пријатељства или пратиоци су ивице. Програми попут Фејсбука користе графике веза ради покретања функције: „Особе које можда познајете“. Систем израчунава заједничке ивице (пријатеље) како би предложио нове везе. Складишта, продавнице и фабрике су чворови, а транспортне руте између њих значе ивице. Курирске компаније ослањају се на оптимизацију путем графова за дизајнирање рута испоруке. Рачунари, сервери и рутери су чворови, а оптички каблови, или обичне и бежичне везе постају ивице. Електране, трафостанице и куће су чворови, а далеководи су ивице. Нема краја овом набрајању, због лаке примене теорије графова и њене поузданости.

3. Посебна је и нежељена прича о примени графа на слободно тржиште. Рецимо, ако су равноправне повезнице токови новца, роба и услуга, онда су неравноправни чворови имаоци тих добара. Такође и обрнуто, дуално, када би имаоци били равноправни, токови не би. Математичка извесност коју назиремо из горње слике (1) стоји и када чворишта (људе или банке, тако и фирме, корпорације, или државе, лидере и чиновнике) ускратимо неком од њихових моћи (ефикасности, пропаганде, подмићивања) остаје математичка сигурност њихове неравноправности, неједнакости чворова, као неотклоњива изнад, упрокос свих покушаја, уколико инсистирамо на равноправности повезница.

4. Право да истом новчаницом свако може да плати исту вредност води у велике разлике у богатству појединаца, власника новца. Захтеви да свака лука прима исту количину робе водили би у неравноправности бродовља у сукобе превозника и њихових снабдевача. Како постоји јединична сила у физици, Њутн (1 N = 1 kg ⋅ m/s²), то значи да постоје физичке појаве са различитим силама. Ово исто важи за кванте (E⋅t = h), носиоце физичке информације, па отуда имамо и веома различите прилике информације. Теорија графова је толико неумољива да је лош избор игнорисати је.

5. Математика која стоји иза ових графова налаже да „реалност“ због свог трајања, односно непроменљивости исте појаве чини веома различитим. Различитост је последица те математичке извесности, једне суптилности, доказа можда тешко ухватљивог тзв. неталентованим, или нетренираним у математици. Није страшно када то не примећујете, главу горе, а живот ће вероватно ићи даље неометен тим незнањем. Има дражи у пркосу чак и самој математици; на тај се начин наука развијала.

Differences III » eng

Питање: Да ли је боље разумети неједнакости кроз теорију графова, или помоћу начелног минимализма?

Одговор: Математика нас учи да су тачне теорије једнако тачне у свом окружењу као и у осталим тачним срединама. То се мисли када се каже да је истина једна, односно да ми разумевамо само део по део некакве (бесконачне) целине. То значи да се разлике могу доказивати кроз линеарну алгебру, или у теорији графова, она следи начело минимализма, мање је познато да се различитост добија и класично начином ергодичке теореме (Differences II), уопште разним методама докле год су оне тачне. Избори метода дају нам увиде у поједине особине самих различитости и не оспорава њену нужност. Поновићу то уз неке новине.

1. Замислимо граф апстрактно, ради најширих примена, тако да одржава равноправност повезница. Када би у неком тренутку и чворови били тако равноправни (сви имају исти број повезница), додајући неком чвору нову повезницу истичемо га и увећавамо му шансе да он пре добије и следећу. Новим додавањима неравноправност чворова расте и постиже одређену средњу вредност (μ) и дисперзију (σ) повезница по чворовима о којима је такође могуће разговарати, али нећемо овом приликом. Покушајмо сада тај универзални граф открити у неким конкретним појавама.

2. На пример, посматрајмо понављања током трајања реалних појава као повезнице, а њихове многострукости као чворове. Јасно је да треба бити много појава дугих трајања, а из истог произилази да оне поседују и неке средње вредности (μ) и дисперзије (σ). Та нас статистика може навести да потражимо очекивања и дисперзије мање стварних појава. Рецимо, лажи има више које се боље држе, дуже опстају. Претпостављам да нисте тако о овоме размишљали; немате ништа слично на интернету нити у науци, а опет, верујем, не може се оспорити.

3. Уочимо једну динамичку равнотежу која се истиче методом графова. У већој различитости примена неког занимања има више универзалности, односно мање детаља који би га усмеравали. Ту мислим како на радничке послове, алатке из радионица или школовања за рад, па преко реченица из правних аката, и или ставова из математике. Производ из фабрике ако је излазио исти у дужим серијама нашао се на више различитих места са више судбина и употреба. Време и профит фабрику која би само трошила штанцајући производ не мислећи на тржиште доводи у ред. Ово је такође закључак који се обично не изводи из самих апстрактних графова.

4. Размотримо претходна два, (2) и (3), опет, а начелом минимализма. То што је вероватније чешће је и мање је информативно. Уједно, хомогена је расподела на датом интервалу најинформативнија (Екстреми) и природа је зато спонтано напушта, повлачи се у различитости. Отуда општа места стижу свукуда, угрђују се у разлите форме, односно сложености су састав једноставности. Мноштво комада са мало облика има и поновљивост, па је онда доследност у детаљима и универзалности. Да нас не смарам даље, станимо овде код изреке „ништа није практичније од добре теорије“, од Курта Левина, или Лудвига Болцмана, па и Имануела Канта и других.

5. Мали проценат људи (чворова графа равноправних повезница) стиче велику моћ да управља многима. Исту законитост виђамо са богатством, са познанствима (Шест степени раздвајања), или стручнијом употребом вештачке интелигенције данас, док је многи користе тривијално. Ако се комбинују такви „исти“ налази теорије графова и начела минимализма, добијају се неочекивани увиди у односе рутине и сложености. О томе је прича јединственог конкретног субјекта и распрострањеног апстактног. Недалеко од тога је „истина jе свачиjа, а лаж jе увек нечиjа“, мислећи на краће домете неистина, да не набрајам даље.

Guidance » eng

Питање: Како то да „садашњост креира стварност“, ако није лапсус?

Одговор: Није грешка, бавио сам се тиме па нисам успео оспорити и држим у резерви. Садашњости има више, док ово причамо, а све оне и прегрупишу и следе, али и стварају догађаје. Постоје исходи без узрока, сасвим случајни, као и навођени или мешавине из већ постојећих, а уколико је ово теже порећи толико је „реално“ — како налаже ова теорија. Попут писца коме радњу романа воде замишљени ликови док се он бави детаљима.

1. Не налазим да природа има неку врсту свести, нити да има „памети“ па ни на нивоу једне бактерије, него анализирам само домете математичких вероватноћа уз претпоставку да она има и „објективно случајних“ исхода (безузрочних). Забуну прави упрошћено мишљење да нешто случајно не може довести до нечег узрочног. Међутим, догађаји ако би се понављали уређују се, рецимо, на начине неједнакости Чебишева, једном од изведби закона великих бројева.

Стварност, односно свет наших истина, потопљен је увек у једнако много неистина досежних живим бићима. Оне им дају виталност и још слободе. Са становишта графова, такође математичке теорије, једнакости какве се понављају воде до разноврсности резултата као локалних слобода, али те садрже и опште токове. Са становишта начелног минимализма, још увек неоткривеног у науци, природа тежи мањој комуникацији, мањем броју опција, већој предвидљивости и миру, статусу кво.

2. Када дође до синергије стварних и нестварних чинилаца, догађа нам се и једна „аномалија“. Можемо померати чашу по столу на начин непознат законима физике, јер имамо вишак слобода у односу на мртву супстанцу, али можемо писати и текстове са мањком слобода у односу на насумичне низове слова (Letter Frequency). Да би продрли у стања испод уобичајеног нивоа информације, потребан нам је вишак информације. Ово је као када замахнемо пијуком и пробијемо површину под коју није уобичајено сићи. Тако настаје креација нашег интелекта која, заправо, не би постојала ако је и стварно не би било.

Врлудајући са „објективно случајним“ исходима природа се и сама може наћи испод тих површина, уобичајености, и открива понешто што би ми сматрали креативним. Испод тих површина пронашли смо точак (3500. п.н.е.), штампарску машину (1440), употребу електрицитета (18-19. век), парну машину (1700), антибиотике (пенцилин, 1928), транзистор (1947), интернет (1969/1989), а открили смо ДНК структуру (1953), које такође у беживотној природи нема. Нема потребе даље набрајати, разумели смо поенту, да има места за креативност у нашој стварности, тога поред чега би мртва природа прошла не приметивши, а да да понешто, веома мало од свега, она случајно може загребати. Не улазећи у треће могућности.

3. Максимално оптерећена информација шумом неће садржати шта год хоћемо, него такође има своје могућности и ограничења, али са толиким мноштвом првих да не можемо бити сигурни од чега је тачно настајала. Тако некако сам својевремено „објашњавао“ (то је једна од мојих замисли на чекању) Хајзенбергове релације неодређености. Овде користим ретке трагове тога, да будућност није записана, штавише да из мешавине улаза може испасти и непостојећи на излазу, али да садашњост неумољиво иде ка неком (непредвидљивом) правцу.

Други један део те замисли (на чекању) био би о почецима васионе све од црних рупа, апсолутних празнина и изузетно привлачних те стиснутих 2-дим информацијама по површинама хоризонта догађаја, стварајући тако екстремни шум који се полако (Хокинговим зрачењем) разлагао. Допада ми се та прича када је била опасност за мој „научни кредибилитет“ (сада ми небитан), али је заобилазим да не одбијем и оно мало колега који би ме нешто озбиљно питали. Елем, када би било ℵ₀ пребројиво бесконачно корака садашњости са опет неким бесконачним поднизом са по само две опције, опција би било 𝔠 = 2^ℵ₀, а то је непребројиво бесконачно. Укратко, васиона која дозвољава такве изборе има невероватно велике могућности за креативност.

4. Ту је и поента ове приче, не у црним рупама које нека остану збркане, ни у релацијама неодређености нејасног порекла, него у сазнању да има оволико стваралаштва у наизглед пустој интерактивној мртвој физичкој природи. Можда сте и сами приметили, реализоване честице, односно колапси без суперпозиција не би били могућа изведба ове васионе која, сада смо видели, има континуум могућности. Тек са кјубитима квантне механике било би могуће допунити то изобиље и креативност. А онда са квантним суперпозицијама могуће су манипулације нас живих бића, или сложених структура супстанце и виталности, тј. њихових емергенција.

Micro Mind » eng

Питање: Који је најмањи број „неурона“ да се постигне емергенција која може размишљати?

Одговор: Тешко питање. Не могу рећи „немам појма“, јер погледај видео уз слику десно који говори да није толико ствар у количини о каквој се обично мисли када се деси емергенција интелигенције. Данас се сматра да инсекти могу „размишљати“, не као животиње или људи, али да могу доносити добре одлуке о непознатом, а са милионима пута мање неурона.

Пчелињи мозак тежи мање од 1 mg, наводи се у том видеу, а садржи око милион неурона и чудесно је способан. Поређења ради, људски мозак са око 86 милијарди неурона тежине је око 1,4 kg и, наравно, решава разне и сложеније проблеме, али наше чуђење за способности мозга инсекта и даље остаје. Што се тиче горњег питања, величина није та привилегија.

1. Помислимо на милијарде људи, увек различитих појединих особа и на многе који су одавно умрли, или се нису ни родили. Множите тај број са још више милијарди живих бића живих, умрлих а и нерођених, која увек буду различите индивидуе, па се сетимо да је ℵ₀ пребројива бесконачност скупа природних бројева ℕ = {1, 2, 3, ...}, а такође и скупа целих бројева ℤ = {0, ±1, ±2, ...}, али и рационалних бројева ℚ, разломака чији су бројник и називних цели бројеви.

2. Ови трећи, ℚ, записују се помоћу периодичних децималних бројева, па 41/333 = 0,123123..., где се троцифрени низ 123 периодично понавља. Ако суперпозиције не би претходиле колапсима у честице током интеракција, или квантних мерења, имали бисмо највише пребројиве бесконачности у распоредима честица, али и то у сталном понављању ранијих коначности истим редом, као децимала рационалних бројева. Без креативности. Али опције, попут различитих цифара у низу децимала записа реалног броја, генеришу континуум могућности, ознаке 𝔠 и огромно веће бесконачности од ℵ₀. Ти нам избори долазе са суперпозицијама.

3. Својевремено је Хајзенберг (1925) приметио да тек мерењем електрону дефинишемо путању. Много касније (1935), чудећи се овоме, Шредингер је говорио о мачки у кутији која би случајем могла бити и жива и мртва а све док не отворимо кутију када та њена суперпозиција колабира у једно од два наведена. Данас дефинитивно знамо да квантни свет постоји бар у два стања, без и са мерењем, пре и после мерења, отприлике као новчић пре и након падања исхода („писмо“ или „глава“). Ствар се даље отежава открићем квантне спергнутости (Ајнштајн, 1935) и доказом (Бел, 1964) да она није „језива акција на даљину“, која се данас скоро рутински налази у експериментима. Затим се још компликује.

4. Физичари Универзитета у Бечу су 2019. године увели масивне, сложене молекуле који садрже до 2000 атома у стање квантне суперпозиције. Ту се открива проблем строге границе када настаје колапс у честицу-талас, а престаје суперпозиција. То је питање Вигнеровог пријатеља (Seizure) где онај који мери колапс (пријатељ) и онај ван просторије (Вигнер) немају иста опажања. Када узмемо у обзир истовременост квантно-спрегнутих и релативну њихову неистовременост за посматрача, налази се да једно од локалности, случајности и реалности за два посматрача не важи. Рецимо, ако се на удаљеном месту А (пријатељ) десио колапс, онда то спрегнуто Б (Вигнер) неће сазнати истовремено, односно за посматраче А и Б биће ту један период са две „реалности“.

5. Информација Перцепције је теорија о релативним односима субјекта и околних објеката. Она говори о јединственим опажањима од различитих субјеката (Riesz Lemma) до истог у различитим тренуцима, када субјекти и објекти стања представљена низовима особина, или уопште векторима. Отуда не видим контрадикцију у различитим „реалностима“, штавише те разлике су нужност линеарне алгебре. Оне друге разлике, између опција и исхода, односно суперпозиција и колапса, отварају врата перцепцијама виталних којих нема код мртве физичке супстанце (Manipulation). Начин на који они постижу емергенцију која може размишљати је сложеност, то је нова тема за истраживање, али није проста функција броја неурона.

Wigner » eng

Питање: Никако ми није јасан тај парадокс „Вигнеров пријатељ“, да ли можете то појаснити?

Одговор: Слика лево има линк на видео који то објашњава. Нема се ту пуно шта додавати, али ајде да покушам. У уоквиреној соби (A) је Вигнеров пријатељ измерио да је стање поларизације светлости вертикално, док Вигнер (B) чека резултат знајући да је фотон пре мерења у суперпозицији, када је у оба стања, и у хоризонталном и у вертикалном.

1. Док информација о колапсу фотона од пријатеља (A) путује до Вигнера (B) та два посматрача имају различите „реалности“ о стању ове светлости. Посматрач вани (B) може сматрати да је онај унутра (A) у везаном стању, у суперпозицији са фотоном. То је једно од накнадних тумачења оваквог „парадокса“ самог Јуџина Вигнера који је 1963. године добио и Нобелову награду за физику „за допринос теорији атомског језгра и елементарних честица, посебно за откриће и примену основних принципа симетрије”, а када је сковао назив „много светова“ за универзуме Еверета (1957) где се настављају све суперпозиције квантних честица-таласа.

2. Такав „парадокс“ је у мојој теорији информације перцепције нормално релативно стање опажања различитих посматрача, који су јединствени, а још увек смо далеко од тога да његово решење буде део званичне физике. Ајнштајнова релативност је само (својевремено непримећени) део таквих различитих опажања реалности (Free fall), а која је непосредно повезана и са додатним димензијама времена (Crash). У тим мојим разматрањима, посматрач из воза након заустављања и силаска на станици улази у ток времена посматрача који мирује на земљи. Ето зашто о свему не причам гласније, јер ни Нобеловац из физике нешто слично није успео ни самог себе убедити. Јуџин Вигнер је био истакнути критичар те Хју Еверетове интерпретације више светова (MWI).

3. Вигнер (1961) је објављујући свој наводни парадокс изнео мишљење о свести која прекида суперпозиције, што је замало оно како то разматрам у информацији перцепције. Обрнуто њему, сматрам да је мозак кадар да спроводи информације које су испод опажања наше физичке стварности али се могу мешати са њеним суперпозицијама и тако, посредно, утицати на колапсе. Дакле, са изворном и каснијим Вигнеровим тумачењима тог парадокса не слажем се, нити са многим објашњењима других аутора из периода током 65 година касније. Зато их не наводим, али признајем ни не познајем их добро. Не следим ту популарну идеју о свести која једина креира физичку реалност.

4. Не позивајући се на информацију перцепције, него само на специјалну релативност (Ајнштајн, 1905), када релативни посматрачи тела у кретању виде његов успорен ток времена, налазимо релативне мањкове догађаја у односу на сопствене покретног тела. То постаје у складу са претпоставком егзистенције објективне случајности која помоћу тополошке дефиниције открива додатне димензије времена. Објашњење је да се тело крећући се делом налази у релативним посматрачима невидљивим димензијама. То се, пак, догађа и када су два тела на растојању r и у узајамном мировању, јер друго тело опажа догађаје првог тек након времена r/c колико треба светлости да брзином c ≈ 300 000 km/s пређе пут r. Међутим, прошлост троши информацију која опет постаје мањкава, односно оно што далеко тело опажа није довољно тачно једнако ономе што је заиста било. Надам се да примећујете аналогију разлика стварности ових тела и Вигнеровог парадокса.

Entanglement III » eng

Питање: Можете ли ми још једном објаснити „квантну запетљаност“?

Одговор: Квантно испреплетање је запањујући квантни феномен где две и више честица постану нераскидиво повезане, а упркос физичке удаљеност између њих, да мерење стања једне честице тренутно одређује стање друге. Зовем је и квантна спрегнутост (Entanglement II), али и квантна истовременост чиме је доводим на терен линеарне алгебре, камо и припада.

1. EPR парадокс (1935) био је мисаони експеримент Ајнштајна, Подолског и Розена који открива „непотпуност“ квантне механике показујући да она садржи „језиво деловање на даљину“, да тиме крши принцип локалности по којем ништа није брже од брзине светлости. Више пута сам га тумачио и препричавао са објашњењем, укратко, да линеарна алгебра не користи време, те да се њене теореме о истовремености такве и преносе у квантни свет, где могу. Када су честице у стању њихове узајамне истовремености, настају парадокси релативних посматрача јер њима ти догађаји нити су у истом тренутку нити морају бити близу.

2. Интерпретација вектора у описима стања и процеса учинила је квантну механику најтачнијом облашћу физке икада. Међутим, таква стања, као и честице, атоми и молекуле такође су грађа наших тела и шире околине, па вреди подсетити се о чему се ту ради. Декартов правоугли систем има на апсциси тачку e₁(1, 0) и на ординати тачку e₂(0, 1). Такве посматрамо и као врхове вектора са заједничким исходиштем. Такође пишемо:

$$ \textbf{e}_1 = \binom{1}{0}, \quad \textbf{e}_2 = \binom{0}{1}. $$

Због лакоће дефинисања ове векторе називамо стандардном базом, овде 2-дим, векторског простора V којег којег чине све линеарне комбинације, вектори облика x = ξ₁e₁ + ξ₂e₂, са произвољним скаларима (реалним или комплексним бројевима) ξ₁, ξ₂ ∈ Φ. На пример, вектори:

$$ \textbf{v}_1 = \binom{3/5}{4/5} = \frac35\textbf{e}_1 + \frac45\textbf{e}_2, \quad \textbf{v}_2 = \binom{4/5}{-3/5} = \frac45\textbf{e}_1 - \frac35\textbf{e}_2. $$

Као и стандардна база, вектори v₁(3/5, 4/5) и v₂(4/5, -3/5) су јединичних дужина и узајамно су окомити, па такође чине једну ортонормирану базу истог простора V. Наиме, скаларни производи су:

⟨v₁|v₁⟩ = ∥v₁∥² = 1,     ⟨v₂|v₂⟩ = ∥v₂∥² = 1,
⟨v₁|v₂⟩ = v₁⋅v₂ = 0,     ⟨v₂|v₁⟩ = v₂⋅v₁ = 0.

Исто важи за стандардну базу, први ред су јединичне норме а други ред су скаларни производи који доказују њихову узајамну окомитост. Поента је у томе да иста стања, као векторе можемо писати у различитим базама при чему су она тада на различитим физичким местима и у различитим тренуцима, што прави забуну релативним посматрачима уколико су она узајамно истовремена.

3. Матрице су процеси који једна стања преводе у друга. На пример:

Ae₁ = w₁,     Ae₂ = w₂,

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ i & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ i & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}. $$

Матрица A преводи векторе стандардне базе, e₁ и e₂, у векторе w₁ и w₂ који нису нормирани, али јесу окомити:

⟨w₁|w₁⟩ = 1^*⋅1 + i^*⋅i = 2,     ⟨w₂|w₂⟩ = 1^*⋅1 + (-i)^*⋅(-i) = 2,
⟨w₁|w₂⟩ = 1^*⋅1 + i^*⋅(-i) = 0,     ⟨w₂|w₁⟩ = 1^*⋅1 + (-i)^*⋅i = 0.

Међутим, исти резултат у другој бази изгледа као други процес:

Bv₁ = w₁,     Bv₂ = w₂,

$$ \begin{pmatrix} \frac75 & \frac15 \\ \frac{-i}{5} & \frac{7i}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac35 \\ \frac45 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac75 & \frac15 \\ \frac{-i}{5} & \frac{7i}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac45 \\ -\frac35 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}. $$

Процеси A и B иако дају исте резултате, стања w₁ и w₂, не изгледају нам једнако јер их гледамо из различитих база (e₁, e₂) и (v₁, v₂). Ту је збрка и АПР парадокс, односно квантна увезаност (истовременост).

4. Намерно сам узео за пример ове процесе, A и B, који могу објашњавати поенту, али заправо нису могући јер им матрице нису ермитске (Adjoint). Ни једна од њих коњугована и транспонована није једнака себи (A^† ≠ A, а отуда и B^† ≠ B). Квантна теорија је у таквој алгебри конзистентна и сваки ермитски оператор у једној бази биће ермитски ако буде преведен у другу дозвољену базу квантне физике, али добро је да разумемо да није могуће све превести у свашта. Друго, видљиво из ове алгебарске истовремености такође је релативност посматрача која не долази само од кретања. Али та тема излази из постављеног ми питања.

5. Кратко речено, нејасноће „квантне запетљаности“ као и „калибрациона инваријантност“ аналогне су мерењу планине од центра Земље уместо од нивоа мора. Мењамо поглед, али не и стварну вредност. Инваријантност калибрације (Gauge invariance) је фундаментални физички принцип који тврди да се математички описи физичког система могу мењати са својим правилима без промене стварних, видљивих физичких резултата. Просто због редундантности у математичким методама чији вишеструки начини воде до идентичног физичког стања. Ово је моје приватно мишљење, оно није званични став физике о „квантној запетљаности“ и немојте га узети за озбиљно.

Changes III » eng

Питање: Како се мењају матрице променом базе векторског простора?

Одговор: Промена базе простора мења матрицу којом представља дату линеарну трансформацију и поглед на одговарајући поступак којим се мењају стања, али начин промене чува стварне вредности. Основна геометријска операција „шта“ остаје идентична, али њена нумеричка репрезентација „како“ се мења јер је сада пресликана на другу координатну мрежу.

Разлоге за мењањем базе вектора и једноставно објашњење начина погледајте на овом занимљивом видеу овде. На промер, од различитих добављача по различитим ценама набављате намирнице са угљеним хидратима, протеинима, мастима, или калоријама и слично које вам требају за ручак. Јело је инваријанта, цене и добављачи су базе. Мењамо базе тако да не мењамо исхрану.

1. Ако је A матрица која представља линеарни оператор (пресликава дати векторски простор на себе) у почетној бази, рецимо u₁, u₂, ..., u_n, а хтели би да пређемо на нову базу v₁, v₂, ..., v_n, може се рачунати нова матрица A' помоћу матрице P = P[v₁,v₂,...,v_n] за измену базе формулом A' = P^-1AP. Стара матрица A је у старој бази u, док је P матрица прелаза чије колоне су нови базни вектори v изражени преко старе базе u. Инверзна јој P^-1 је таква матрица да је P^-1P = PP^-1 = I, са I јединичном матрицом. Онда је A' матрица у новој бази.

2. На пример, узмимо (Entanglement III) стандардну базу u = e за прву, а она тамо v₁(3/5, 4/5) и v₂(4/5, -3/5) је друга. Тада су помоћне матрице:

$$ P = \begin{pmatrix} \frac35 & \frac45 \\ \frac45 & -\frac35 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{pmatrix} \frac35 & \frac45 \\ \frac45 & -\frac35 \end{pmatrix}, $$

чији је производ јединична. Она је сама себи инверзна. Даље је:

$$ \begin{pmatrix} \frac{21-4i}{25} & \frac{3+28i}{25} \\ \frac{28+3i}{25} & \frac{4-21i}{25} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac35 & \frac45 \\ \frac45 & -\frac35 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ i & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac35 & \frac45 \\ \frac45 & -\frac35 \end{pmatrix}, $$

A' = P^-1AP

матрица A из стандардне базе e₁(1, 0) = u₁ и e₂(0, 1) = u₂ је преведена у матрицу A' базе v₁(3/5, 4/5) и v₂(4/5, -3/5).

За разлику од матрице B задатог примера, која делујући на нову базу даје исте векторе као стара матрица A на стару базу, област деловања матрице A' је сасвим у систему писаним новом базом. Тамо смо имали BP = A, или B = AP^-1, па је A' = PB = PAP^-1, јер је P = P^-1, што се догађа када је матрица ортогонална (колоне су јој ортонормирани вектори) и уједно симетрична (једнака транспонованој).

3. Када радимо са две или више матрица у старој, па у новој бази, биће:

A'₁A'₂ = (P^-1A₁P)(P^-1A₂P) =
= P^-1A₁(PP^-1)A₂P = P^-1A₁A₂P,

A' = P^-1AP.

Исто налазимо када матрицу (процес) раздвајамо A' = A'₁A'₂ и A = A₁A₂, и налазимо да делови (кораци) у првој од база имају одговарајуће кораке у другој бази. Отуда се релативни посматрачи могу држати сваки само свог виђења једнако сматрајући да је управо његово оно право.

4. Две квадратне матрице, A и A', каже се да су „сличне“ ако представљају исту основну линеарну трансформацију посматрану из два координатна система (или базе). Повезане су матрицом промене базе P кроз релацију:

A' = P^-1AP.

Сличне матрице имају једнаке суштинске математичке особине, једнаке детерминанте det A = det A', једнаке трагове, једнаке димензије простора који разапињу колоне rank A = rank A', обе матрице имају исте својствене вредности λ у карактеристичним једначинама Aλ = λv и A'λ = λv' и имају исте карактеристичне полиноме. У интерпретацији ове особине сличних матрица преносимо на процесе са становишта различитих посматрача и, наглашавам, њихова различита виђења нису противречности како се то може наћи у тумачењу „калибрационе инваријантности“, па „Вигнеровог пријатеља“, или „квантне запетљаности“.

Matrices » eng

Питање: Нису ми јасне те промене базе и матрица, нити та становишта посматрача, можете ли ми то појаснити?

Одговор: За почетак, покушајте проучити прилог на слици лево. На пример, примените то затим на Галилејеве трансформације:

x' = x - vt,   y' = y,   z' = z,   t' = t,

за тачку која се креће апсцисом, x'-осом дуж x-осе брзином v, где је t протекло време. То је једно-димензионално кретање и када задајете по две вредности, брзине и времена, добијате трансформације.

1. Мало тежи пример су Лоренцове трансформације:

$$ x' = \gamma(x - \beta \mathcal{T}), \quad y' = y, \quad z' = z, \quad \mathcal{T}' = \gamma(\mathcal{T} - \beta x), $$ $$ \mathcal{T} = ct, \quad \beta = \frac{v}{c}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}, $$

где је 𝒯 пут који пређе светлост брзином c ≈ 300000 km/s за време t, а константе β и још чешће тзв. Лоренцова γ су уобичајене у специјалној релативности. Када су у датим мерењима брзине светлости превелике, тада c → ∞, па β → 0 и γ → 1, а Лоренцове трансформације се своде на Галилејеве.

Пример. Посматрач на насипу је видео две светлости испред и иза воза које су се затим среле тачно на његовој средини, али путник у средини тог вагона прво је видео светлост из предњег извора, због кретања воза брзином v ка њему. Када је удаљеност између извора Δx израчунајмо размак Δt та два времена стизања предње пре од задње светлости до путника. Па ставимо Δx = 90 m и v = c/5 m/s.

Решење: У теорији релативности се подразумева да је брзина светлости c једнака за оба посматрача и користимо Лоренцове трансформације:

Δx' = x'₂ - x'₁ = γ(x₂ - x₁) = γΔx.

Када је Δx' дужина коју види посматрач са насипа, онда ту дужину путник види као Δx = Δx'/γ = Δx'√(1 - β²) = Δx'√[1 - (v/c)²]. То је познати израз за контракцију дужина, а ми тражимо даље трансформацију времена:

Δt' = Δ𝒯'/c = γ(Δ𝒯 - βΔx)/c = 0,

ово је једнако нули (Δt' = 0), јер посматрач са насипа види да се светлости срећу на средини, па је:

Δ𝒯 - βΔx = 0 ⇔ Δt - (v/c²)Δx = 0,

Δt = vΔx/c² = Δx/(2c) = 90 m/(5⋅3⋅10⁸ m/s) = 6⋅10^-8 s.

Време од 10^-8 секунди (10 наносекунди) је приближно трајање сусрета и везивања два протеина током дифузије у биолошким ћелијама. ∎

2. Ортонормиране базе у 2-дим систему увек се трансформушу као неке ротације, попут $\vec{v} \to \vec{u}$ ротације:

$$ P = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}, $$

за угао α, на слици лево. Ознака P је матрице из (Changes III), јер то је управо то.

На пример, нека је вектор $\vec{w}$ дат у систему базе $\vec{v}_k$. Тада је $\vec{w}' = P\vec{w}$ исти вектор посматран из базе $\vec{u}_k$, затим је $A\vec{w}$ процес у тој бази, који је посматран из полазне базе $\vec{v}_k$ бива враћен за угао α. На њему је укупна трансформација A' = P^-1AP, а то је управо оно наведено у том објашњењу.

3. Лоренцове трансформације кретања брзином v дуж апсцисе (x-осе) не мењају координате дуж ординате (y-осе) и апликате (z-осе) у најчешћим ознакама Декартових правоуглих система (Oxyz), па остају видљиве само дужина x и време t. Поставимо их у комплексну раван са ознаком τ = ict, имагинарног пута који светлост пређе за време t брзином c. Уврстимо то у Лоренцове трансформације, добијамо:

τ' = γ(τ - iβx),     x' = γ(x + iβτ),

$$ \begin{pmatrix} \tau' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & - i\gamma\beta \\ i\gamma\beta & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tau \\ x \end{pmatrix}. $$

Приметимо да су колоне ове матрице ортонормирани вектори, јер:

$$ \gamma^2 + (i\gamma \beta)^2 = \frac{1}{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2} + \frac{-\left(\frac{v}{c}\right)^2}{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2} = 1, $$

па је Лоренцова трансформација такође ротација, cos α = γ и sin α = iγβ. Овде имамо неки имагинарни угао ζ = iα и хиперболни простор тада са хиперболним синусом sh α = -i sin iα и косинусом ch α = cos iα, па горње трансформације постају:

$$ \begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{ch}\,\alpha & -\text{sh}\,\alpha \\ -\text{sh}\,\alpha & \text{ch}\,\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix}. $$

Помоћу Ојлерове формуле e^iφ = cos φ - i sin φ лако налазимо:

$$ \text{ch}\,\alpha = \frac{e^\alpha + e^{-\alpha}}{2}, \quad \text{sh}\,\alpha = \frac{e^\alpha - e^{-\alpha}}{2}, $$

такође и ch²α - sh²α = 1. У „обичној“ тригонометрији је cos²α + sin²α = 1.

4. Ротације аналогне Лоренцовим трансформацијама могуће је пронаћи и локално око тачака у гравитационом пољу. Детаљније о томе видећете у мојој књизи (Простор-Време, 2017). Овде укратко.

Теорема 1.4.4. Дате су трансформације диференцијала:

$$ \begin{cases} dr = \chi\,dr' + i\gamma^{-1}\sqrt{1 - \gamma^2\chi^2}\,cdt' \\ cdt = i\gamma^{-1}\sqrt{1 - \gamma^2\chi^2}\,dr' + \gamma^2\chi\,cdt', \end{cases} $$

где је i имагинарна јединица, γ = (1 - 2GM/rc²)^-1/2, а χ ∈ ℂ произвољан параметар. То су опште трансформације које метрику гравитације:

$$ ds^2 = \left(1 - \frac{2GM}{rc^2}\right)^{-1}dr^2 - \left(1 - \frac{2GM}{rc^2}\right)\,c^2dt^2 $$

преводе у инерцијалну метрику ds² = dr² - (dct)². ∎

Доказ ове теореме погледајте у наведеној књизи и то да су ово (локалне) хиперболне ротациjе, односно Лоренцове трансформациjе. Занимљиво је да је то релативистичко гравитационо поље, а опет сложено од локалних (инфинитезималних) ротација, линеарних трансформација. Параметри γ и χ говоре о два степена слободе у гравитационом пољу, брзини тачке и снази поља.

Light III » eng

Питање: Реците нешто о теорији графова једнаких повезница?

Одговор: У теорији графова, када говоримо о „једнаким везама“ то углавном буду графови ивица са истим тежинама (пондерисани), чворова истих степена (графови регуларних ситуација), такође и тополошку еквиваленцију (тада изоморфизам графова). Главне примене (помињао сам) се лако налазе у економији, на пример, равноправне повезнице воде до неравноправних чворова (или обрнуто) што значи: равноправни токови новца воде до неједнакости имаоца новца. У уводу је добро позвати се на познато, али у наставку волим додати и понешто чега нигде нема.

1. Светлост, назив фотони дао је Луис (1926), је електромагнетно зрачење енергије E = hν, где је h = 6.62607015×10^-34 m² kg/s Планкова константа и ν фреквенција, које нам омогућава да видимо. Увек исте брзине у вакууму c = 300 000 km/s, па је променљиве таласне дужине λ и фреквенције, јер је λν = c. Људи могу опажати само мали део тог спектра таласних дужина између 400 и 700 нанометара. Када су једнаке брзине повезнице, онда су чворови неједнаке енергије фотона.

2. Због једнаких брзина светлости и неједнаких фотона, можемо причати о њиховој расподели вероватноћа (Refraction). Највеће таласне дужине су црвене боје видљиве светлости и она се најмање прелама, а најкраћа боје љубичаста, највише. Што је већа таласна дужина фотона (честице-таласа светлости) неодређеност му је положаја већа и мања густина вероватноће налажења на датом месту, што са становишта „информације перцепције“ значи мању могућност перцепције таквог. Отуда црвену светлост призма најмање прелама, а љубичасту највише, јер је у том поретку и њихова моћ интеракција, вероватноћа „запињања“ продором кроз оптичку средину.

3. Нескалирана мрежа (Scale-free network) је граф коме расподела степена прати степенасти закон, барем асимптотски. Вероватноћа P(k) чвора у мрежи са k веза који иду ка другим чворовима, када је k велике вредности:

P(k) ∼ k^-α,

где је експонент обично 2 < α < 3, али узмемо ли λ уместо k, када је реч о светлости, биће α = 1, или k није исто што и таласна дужина. Таква необична аналогија инспирисала ме је у неким одговорима (In and Out), али не узимајте је преозбиљно. Теорија графова не иде тамо, још увек.

4. Међутим, када једном приметите те необичне правилности, виђате их свукуда. На пример, у Комптоновом расипању (Catch a Light), ако су веће таласне дужине мањих вероватноћа путање, онда је потребан неки судар или сила да светлост скрене на путању веће таласне дужине. Додат томе је закон одржања вероватноће (Light) — због путања светлости. Отуда је и принцип најмањег дејства, због штедње комуникације, она из тежње ка мањој информацији, а ова јер мања информација (неизвесност) значи већу вероватноћу. Да не набрајам даље.

5. Теорија графова је можда превише једноставна за прецизирање таквих појава које само набрајам, евентуално инспиришем читаоца. То нарочито у случају (Light II) када израчунавам брзину кретања садашњости, такође тему коју немојте узимати превише озбиљно, јер је нема у литератури. Ту полазим од нулте брзине протицања времена фотона који отуда постоји само са становишта релативног посматрача, што значи да се заправо они, посматрачи, крећу брзином светлости, односно да им садашњост иде том брзином у будућност.

На први поглед, тема нема везе са графовима, осим ако мислимо на увек исте фотоне (чворове) са неједнаким посматрачима, опаженим путањама (повезницама). Када би то био само један фотон, који скакуће тамо-овамо (One-electron universe) био би у противречности са теоријом графова, што је у математици недопустиво.

Refraction III » eng

Питање: Кажете да светлост увек иде истом брзином, а онда се прелама јер иде различитим брзинама. Није ли то мало чудно?

Одговор: У вакууму светлост јури увек брзином c = 3⋅10⁸ m/s, а без обзира на брзину извора, али ако пролази кроз (провидне) средине таласи светлости се размењују са тамо присутним честицама и кад изађу из те групе могу наставити као светлост паралелна улазној. Кажимо да таласи комуницирају мислећи на интеракције, односно интерференције и суперпозиције. Било би чудније да је та мешавина иста она светлост као у вакууму, па су логичне различите брзине „светлости“ у различитим оптичким срединама (Refraction II).

1. Аналоган би се пренос „нестварних“ података могао дешавати (Seizure) путем мозга као радио предајника. Мислим на утицаје на суперпозиције физичке реалности појава које иначе са њом не интерагују. На овај начин имамо фантазије и способност да лажемо, коју физичка стварност нема, а опет путем колапса „обогаћених“ суперпозиција имамо додатне опције да мењамо реалност. О томе је реч у опажањима испод радара која ће мртвој физичкој супстанци дати виталност, вишак слободе у односу на принцип најмањег дејства теоријске физике али у оквиру начелног минимализма. Тим додатним обманама се премошћавају стварности. Ово није ревизија него је примена Геделове теореме (коректан систем је непотпун), рецимо када приметимо да у математици користимо и истине ⊤ и неистине ⊥, па дођемо до нових истина. Острва коректности (стварности) спајамо путем неистина (фикција) такође.

2. Стварност је трајна, истинита и перцептибилна. Али, иако су опажања субјеката јединствена, истине се понављају и налазе у слојевима, боље је рећи у безбројним пресецима стварних појава. Фотони делују у квантима док се крећу различитим геометријским путањама, рецимо таквима да је средња линија троугла паралелна основици и једнака њеној половини (6. задатак). На такве имплицитне садржаје истина у стварности мислим, јер и њих можемо перципирати, што самој физичкој реалности није могуће. Та изузетна поновљивост теорема (равноправних повезница) сагласна је са мноштвима различитих примена, места (чворова) слободних графова, аналогно светлости у претходном одговору.

3. Прво, Максвелове једначине (Light in a Medium) одређују c = 1/√(μ₀ν₀) као брзину електромагнетних таласа (светлости), где су обе константе, μ₀ пермеабилност и ν₀ пермитивност вакуума, независне од брзине кретања посматрача. Празан простор нема наелектрисања (ρ = 0) и нема струја (J = 0). Полазећи од Фарадејевог и Ампер-Максвеловг закона преко рачуна ротора (оператора парцијалног деривирања) а дивергенција електичног поља је нула (∇⋅E = 0), формира се таласна једначина:

$$ \nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\nu_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}, $$

а отуда брзина (μ₀ν₀ = 1/c²) и инваријантност тих таласа. Међутим, када такав талас пролази кроз (провидну) супстанцу, набијене честице њених молекула титрају па му додају електромагнетне таласе (иначе мало веће пермеабилности и пермитивности), формира се групни талас „светлости“ за којег више не вреди горња једначина. То је још једно објашњење овог успоравања које нам помаже да лакше разумемо и везивање фикција за реалности, односно способност лагања живих бића.

4. Има и симболике у преламању „светлости“ када она успори када пролази кроз стаклене плочице и скреће, па излази онаква каква је била, што видимо на слици лево, са вишком слобода (виталношћу) која нас посећује током живота и напусти остављајући супстанцу.

У стварности се догађа и више од тога, са тиме што структура дате „виталности“ није иста тој стварне супстанце, за разлику од електричних поља улазне светлости и додатих у медијуму. Више се разликују и алати, оператори са којима представљамо трајне појаве (истине и реалности) од привремених (Hindering II).

Triangulation » eng

Питање: Привукао ме прилог Триангулација (2014) да поставим питање о проблему надзора објеката камерама?

Одговор: Позната је Хваталова (Václav Chvátal) теорема чувања кажемо уметничке галерије. Она утврђује да је ⌊n/3⌋ довољан број стражара (камера) ако би чували просторију тлоцрта простог n-то угла, полигона са n темена.

На слици десно је грубљи доказ триангулацијом. Поделимо n-то угао објекта на троуглове, у тим теменима доделимо по три боје. Било која од тих боја може бити стражар.

На слици је 11-то угаоник који је са ⌊11/3⌋ = 3 довољна стражара. Ако, бирамо ли плава темена, доњи десно је вишак, што значи да посебне ситуације могу проћи са ⌊n/4⌋ стражара. Детаљи су у прилогу слике.

1. Банкари и други бирократи су по цео дан заузети стварањем поверења (Noah Harari) које гради нашу цивилизацију и чине je везаном. Један-на-један човек је слабији од сваког шимпанзе, лава или слона, али ће људи побеђивати у контексту са милион људи и милион шимпанзи. То је због способности сарадње и поверења, а још дубље због језика и записивања. Оно што је кисеоник за људе и друге животиње, то је бирократија за ВИ (вештачку интелигенцију), а наше поверење у људе данас биће поверење у ВИ сутра, ако дође до њеног преузимања контроле над људима и даље.

Новац је вредност због поверења, бирократије и речи. Ниво сложености људског језика и организације поверења чини да ми владамо кравама и кокошкама, али да оне не могу на исти начин трговати са собом. Тај код људске цивилизације је тек недавна ВИ дешифровала. За сав преостали живи свет на Земљи бирократија је потпуно невидљива појава. Додајем то претходним прилозима о мозгу који се понаша попут антене и радио пријемника, за физичкој реалности невидљиви свет полуистина и лажи који чини виталност. Слично, када се речима додаје трајање (поверење), оне добијају на стварности (истинитости).

2. Данашња ВИ настаје ишчитавањем огромног броја текстова, датотека и учењем највероватнијих наставака реченица и речи (LLM). Приликом тога се у једном апстрактном, много-димензионалном, простору речима додељују тачке, са метриком када „ближи“ значи „чешћи“. Речи „мачка“ биће ближа речи „пас“ него речи „сазвежђе“, јер је са првом она чешће у контексту. Док структура тог простора постаје мрежа, замислимо и други тип ВИ који посматра само слике, не знајући ништа о речима, која прави своју мрежу у сличном апстрактном много-димензионалном простору, а где слике постају тачке са аналогном метриком, тада када „ближи“ значе „чешћи“ у контексту слика. Тако настају Платонове репрезентације, а оне су увод у оно што желим истаћи. То можете још боље сагледати из видеа AI Has Proven, укратко, да се те две мреже више поклапају када ВИ уче на више узорака.

3. Са све више прегледаних реченица/слика нова ставка је ограниченија односом са претходнима и све се прецизније позиционира ка апстрактној шеми реалности — којој обе шеме конвергирају. У граничном случају, ВИ речи знаће све о мачки што зна ВИ слика, али и обрнуто. То је једна нова потврда идеје изоморфизма истина и стварности коју користим али да би је проверавао. Аналогно, корацима, са све више ставки мрежа коју те ВИ формирају све мање је лажна и све више истинита. Отклањајући слободе, право на грешке које нам даје виталност, остаје нам чистија стварност.

Вратимо ли се на број ⌊n/3⌋ стражара који чува n-то угаоне галерије. Када је поверење у порасту, мањи је број крађа реликвија и смањује се потреба за чуварима, а ова ситуација нас подсећа на машинско учење (2). Кључну реч „поверење“ заменимо са „истинитост“ и опет долазимо на мој терен, а вредност експоната добија значење реалности.

4. Триангулација је процес одређивања тачне позиције тачке или објекта мерењем углова у односу на две познате референтне тачке, формирајући троугао. Широко се користи у геодетским мерењима и GPS навигацији, а реч има специфична, различита значења и у психологији, истраживању и политици, такође и овде у (мојој) теорији информације. Ако сте читали прилог (Триангулација) из питања, лакше ћете разумети следеће.

5. Појмови (речи, или слике) које нека од поменутих (2) ВИ формира као тачке у неком n-димензионалном векторском простору X, биће вектори, попут u = (u₁, u₂, ..., u_n) и v = (v₁, v₂, ..., v_n). Међутим, исходиште O тог и било кога додатог му 2-дим Декартовог правоуглог система координата Oxy, дефинише их и векторима u = (u_x, u_y) и v = (v_x, v_y) у једној равни у којој граде троугао Ouv површине [u, v] = (u_xv_y - u_yv_x)/2. Те површине заправо су „комутатори“ о којима је реч у поменутом пасусу (4), а њена мања (апсолутна) вредност значи да су појмови u и v блискији.

Machine Learning » eng

Питање: Како машинско учење организује податке?

Одговор: Машинско учење орга-низује податке математичким представљањем информација као нумеричких вектора и матрица, а затим их групише или трансфор-мише на основу научених обра-заца. Уместо коришћења крутих људских правила, алгоритми гр-упишу сличне тачке података, раздвајају их помоћу граница или издвајају заједничке каракт-еристике како би класификова-ли, предвидели или генерисали нове информације. То је резиме стандардног објашњења које даље можете пратити на линку слике лево.

1. Треба разумевати да машинско учење (МУ) прави такву врсту вештачке интелигенције (ВИ) каквој рачунари обављају задатке без експлицитног програмирања. Алгоритми се тренирају подацима како би препознавали образце, прво за проналажење веза међу њима и касније прилагођавали моделе ради успешнијих предвиђања. Подаци су тачке, чворови графова и векторског простора, које су гушће ако су чешће у контексту добијених података. Лабава статистичка учесталост у растућој количини података постаје извесност, па нови подаци добијају прецизнија одредишта новог простора где им се смањују слободе (Triangulation, 3).

У анализи фреквенције слова текстова (Letter Frequency, 2022) показао сам да је смисленији текст мање информативан, јер му расподела слова није униформна када би информација била максимална (Екстреми), да су самогласници А, И, Е, О, ... овим редом најчешћи српских текстова, а слова E, I, T, N, ... тим редоследом водећа су у енглеским. Разлике међу ауторима су незнатне, али дефинишу им стил. То ми говори како писци својом виталношћу, вишком слобода у односу на мртву природу, стижу испод нивоа статуса кво којем таква природа спонтано тежи.

2. Када имамо две тачке A и B датог растојања d(A, B), оне са исходиштем O образују троугао OAB који је део паралелограма орјентисане површине једнаке комутатору [A, B] чије особине сам навео у Триангулацији (2014). Када је висина h троугла из темена O на основицу c = AB већа, површина троугла ch/2 је већа, па треба транслирати (паралелно померити) дуж AB што даље ако хоћемо да та површина буде што већа. Са друге стране, овај комутатор одређује „вањску информацију“ (In and Out) која га повезује са околним тачкама, а информативније значи неизвесније, зато тачке датог растојања смештамо даље од исходишта ако су мање вероватне. Густину око O чине учесталији подаци, она је центар апстрактне привлачне силе, попут силе вероватноће.

3. Ако се удаљеност O од средине C дужи AB не мења а подножје O' висине h = OO' све је даље од ње, површина:

Π = [A, B]/2 = (A_xB_y - A_yB_x)/2

троугла OAB све је мања. Остаје константна ако центар C ротира око O, или ако се AB транслира дуж свог правца ℓ. Отуда је била идеја о централној константној сили из O, која нестаје са квадратом удаљености (доследно неједнакости Чебишева) и покреће набоје по коникама. Тада сам узимао да се (набој) тачка A премешта у положај B или обрнуто, покретана том силом из O, а утицаја једнаког комутатору и инспирисан Кеплеровим законима. Сада имамо опет аналогију, али са организацијом података током машинског учења. Причам о личним замислима непознатим званичној науци.

4. У таквом опису запажамо једну „аномалију“. Када права ℓ која садржи тачке A и B пролази тачком O, тада централна „сила“ као да изгуби свој утицај на њих. Површина троугла постаје нула, Π = 0, односно A_x : A_y = B_x : B_y без обзира на позицију оса Декартовог правоуглог система (Oxy). Држећи се претходног објашњења, онда налазимо да то мање вероватан даљи положај убрзава (+) тачку ка исходишту, и обрнуто (-) када је сила одбојна, или се тачка креће једнолико без силе у исходишту. Сада, пак, то могу бити појмови A и B исте врсте и различитих таласних дужина λ, као светлост где је дуже λ већа неизвесност.

5. Ове идеје нисам до краја проверио, лаптопом ограниченог капацитета и у собним условима, нити кажем да би изложена организација података била добро машинско учење, него просто тестирам претходне идеје (ове) теорије информације кријући се иза постављеног питања.

Represent » eng

Питање: Зашто користите комутатор а не векторски производ вектора?

Одговор: Када је информација 2-дим, онда комутатор боље истиче ту површину и, поред тога, често податке налазимо у апстрактним више-димензионалном простору. Векторски производ вектора два контраваријантна u^ν и v^κ, такође два коваријантна u_ν и v_κ, вектора у простору n = 3 димензије је:

w_μ = e_μνκu^νv^κ,   w^μ = e^μνκu_νv_κ.

Овде користимо Леви-Чивита симбол e_μνκ. Вредности је 1 уколико је μνκ парна пермутација (123, 312, 231), а -1 када је μνκ непарна (132, 321, 213), или 0 је ако су бар два од датих индекса једнаки. Назива се и релативни тензор. По Ајнштајновој конвенцији, сабира се по поновљеном доњем и горњем индексу и налазимо:

w₁ = u²v³ - u³v²,     w₂ = u³v¹ - u¹v³,     w₃ = u¹v² - u²v¹.

Аналогно важи за три пута контраваријантни релативни тензор e^μνκ. Ови су начини згодни за поопштавања на n-димензионалне просторе.

1. На слици десно и у прилогу су много чешће ознаке векторског производа вектора посебне за 3-дим просторе, крст-производ:

$$ \vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}, $$

када је резултат $\vec{c}$ вектор окомит на раван коју разапињу фактори и усмерен правилом десне руке.

То важи и за ортове $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$, који су јединични вектори оса, редом, правоуглог система Oxyz. Отуда $\vec{i}\times\vec{j} = \vec{k}$, $\vec{j}\times\vec{k} = \vec{i}$ и $\vec{k}\times\vec{i} = \vec{j}$, а $\vec{b}\times\vec{a} = -\vec{a}\times\vec{b}$, мења предзнаке промена редоследа.

2. Примењено на било која два вектора, нека су то $\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$ и $\vec{b} = b_x\vec{i} + b_y\vec{j} + b_z\vec{k}$, добијамо:

$$ \vec{c} = (a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k})\times (b_x\vec{i} + b_y\vec{j} + b_z\vec{k}), $$ $$ \vec{c} = (a_yb_z - a_zb_y)\vec{i} + (a_zb_x - a_xb_z)\vec{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\vec{k}. $$

Ту исту вредност помоћу три детерминанте другог реда пишемо:

$$ \vec{c} = \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix}\vec{k}, $$

или све заједно помоћу једне детерминанте трећег реда:

$$ \vec{c} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}. $$

Сваки од ових израза за вектор $\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}$ је коректан, а по потреби их бирамо. У том збиру, уз вектор $\vec{k}$ окомит на Oxy раван као фактор стоји комутатор $[\vec{a}, \vec{b}]_z = a_xb_y - a_yb_x$ који овде најчешће подразумевамо и како знамо мењати варијабле тако је он добар представник.

3. Вратимо се сада на такође репрезентативну слободну честицу, или на објашњење уз њену слику горе лево. Комутатор је толико апстрактан, па зато многоприсутан, да га посматрамо и као површину (пројектовану на раван z = 0) коју разапињу његови вектори и као утицај датих вектора са (на) њиховог исходишта. Када имамо било које три тачке (оне су увек у једној равни), комутатор је мера утицаја две на трећу и обрнуто, а управо његова одвојеност од 3-дим производа увећава му апстрактност па зато и применљивост. Са друге стране, имамо и скаларни производ вектора који представља инофрмацију перцепције. Комутаторску називам и вањском информацијом, а скаларна је унутрашња.

Према претходном одговору, ова горња слика добро приказује повећане наборе таласа већих амплитуда (шанси мерења) око тренутног положаја таласа-честице и краћим таласним дужинама напред (мање неизвесним положајима) него назад. Њена функција (Free particle) је:

$$ \Psi(\vec{r},t) = Ae^{i(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)} = Ae^{i(\vec{p}\cdot\vec{r} - Et)/\hbar}, $$

где је A амплитуда и, у случају честице без масе угаона брзина је ω = kc, а са масом m биће ω = ℏk²/(2m), односно E = p²/(2m). При томе за таласни вектор интензитет је $k = \|\vec{k}\|$, за вектор импулса $p = \|\vec{p}\|$, било би такође за положај $r = \|\vec{r}\|$ и импулс $p = \|\vec{p}\|$, док кретање само дуж апсцисе има таласни вектор:

$$ \Psi(x,t) = Ae^{i(kx - \omega t)} = Ae^{i(p_xx - Et)/\hbar}, $$

где је p_x пројекција импулса на апсцису (x-осу), где изостављамо индекс када се апсциса подразумева. У оба случаја t је ознака за протекло време а c за брзину светлости. Осим несиметрично набораних амплитуда, овде све поменуто је добро познато квантонј механици.

4. Приметимо да комутатори (Triangulation, 2014) нису једино линеарни оператори. На пример, трансформација 𝒜 = (𝒶_ij) као „матрица“ типа 3×3, каква вектору v = (v_x, v_y, v_z) мења координате у v' = (v_x + α, v_y + β, v_z + γ), увећава их за вектор σ = (α, β, γ), није линеарна трансформација. Наиме, претпоставимо да јесте:

𝒜 v = v',
𝒜 v = v + σ,
𝒜v - v = σ,
(𝒜 - I)v = σ,
ℬv = σ.

На левој страни је матрица ℬ = 𝒜 - I која било какав вектор v = (v_x, v_y, v_z) увећава за константан вектор σ = (α, β, γ). Када σ није нула вектор, то није могуће, нити има функције (v = ℬ^-1σ) која σ преводи у сваки вектор. Зато ни 𝒜 није матрица, линеарни оператор.

5. Трансформације вектора неким другачије одређиваним „операторима“ ипак су могуће. На пример, нека је такав један Ã = (ã_x, ã_y) где ã_x означава померање врха вектора v = (v_x, v_y, v_z) за 1 по x-оси, а ã_y помера тај вектор за 1 по y-оси, а нека Ñ = (ñ_y, ñ_z) са ñ_y помера врх вектора v за 1 дуж y-осе, а ñ_z помера врх тог вектора за 1 паралелно z-оси. Тада комутатор:

[Ã, Ñ] = ã_xñ_z - ã_yñ_y

гура исходиште O, нулти вектор (v = 0), у тачку [Ã, Ñ]v = (1, -2, 1). Наиме:

[Ã, Ñ](0, 0, 0) = ã_xñ_z(0, 0, 0) - ã_yñ_y(0, 0, 0) =
= ã_x(0, 0, 1) - ã_y(0, 1, 0)
= (0, 0, 1) - (0, 2, 0)
= (1, -2, 1).

Нема тог линеарног оператора који множен нулом не даје нулу, па већ и стога видимо да ови комутатори нису класични оператори алгебре. Ово наглашавам, али то не значи да они нису предмет алгебре.

6. Сиже одговора на питање је у апстрактности, одвајању комутатора ван векторског производа вектора да би му се повећале могућности примене, и додатно повећале особине вектора (стања) који би могли представљати информације. Аналогно тумачењу гравитације као утицаја, који су израз таквих комутатора, тражим њихове остале репрезентације. При томе, под „утицај“ подразумевам могућност мењања слобода. Када узајамни односи појава A и B могу бити различити, али појава C им тада условљава нешто посебно, своје.

Influence » eng

Питање: Рекосте ли да се у тој слободној честици (Represent, 3) гужвају амплитуде према напред?

Одговор: Да, али то много лакше приметимо код уздужних таласа (звука). Када честица-талас иде у неком смеру вероватнија места су јој напред, па очекујем да су тамо њој краће таласне дужине. Талас у ширењу, међутим, чува таласне дужине, а амплитуде му опадају. Таласна дужина преноси импулс, а амплитуда околну интеракцију. Према томе, није комплетна слика фотона који таласа попречно када се не помиње његов импулс уздужно.

1. Талас се помера транслацијом и посматрамо (различита) места којима су једнаке амплитуде. Оператори импулса и енергије (простора p = p_x):

$$ \hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}, \quad \hat{E} = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}, $$

добили су називе јер својствене вредности (λ) карактеристичне једначине ($\hat{M}\vec{v} = \lambda\vec{v}$), које иду уз таласни вектор, управо су те физичке величине:

$$ \hat{p}\Psi = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} Ae^{i(px - Et)/\hbar} = p\Psi, \quad \hat{E}\Psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} Ae^{i(px - Et)/\hbar} = E\Psi. $$

Припадна својствена функција за обе је таласна функција:

$$ \Psi(\vec{r},t) = Ae^{i(\vec{p}\cdot\vec{r} - Et)/\hbar} $$

у претходном одговору поменута (Represent, 3). У наставку, у p простору, налазимо да би аналогни оператор „положаја“, тада $\hat{x}' = i\hbar \partial_p$, делујући на таласну функцију дао $\hat{x}'\Psi = -x\Psi$, дакле нетачну својствену вредност. Зато оператор положаја дефинишемо просто са $\hat{x}\Psi = x\Psi$ и једнако тако оператор времена $\hat{t}\Psi = t\Psi$.

2. Размотримо у наставку иначе познати комутатор оператора положаја и импулса, на начин који није виђан у физици. Прво, познато је:

$$ [\hat{x}, \hat{p}]\Psi = \hat{x}\hat{p}\Psi - \hat{p}\hat{x}\Psi = \hat{x}p\Psi - \hat{p}x\Psi = $$ $$ = xp\Psi + i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\left(xAe^{i(px - Et)/\hbar}\right)\Psi $$ $$ = xp\Psi + i\hbar Ae^{i(px - Et)/\hbar} \Psi - xp Ae^{i(px - Et)/\hbar}, $$ $$ [\hat{x}, \hat{p}]\Psi = i\hbar \Psi, $$ $$ [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar, $$

јер претходна једнакост важи уопште за ту таласну функцију Ψ. Слично је израчунавање за комутатор времена и енергије:

$$ [\hat{t}, \hat{E}] = i\hbar. $$

Ова два ненулта комутатора нас директно воде принципу неодређености положаја и импулса, односно времена и енергије, којим нам забрањује да истовремено измеримо обе променљиве са неограниченом прецизношћу.

Наиме, Коши-Шварцова неједнакост примењена на уопште процесе $\hat{A}$ и $\hat{B}$ (опсервабле) даје:

$$ \sigma_A^2\sigma_B^2 \ge \left(\frac{1}{2i}\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle\right)^2. $$

У угластим заградама је средња вредност (то је уобичајен начин писања у квантној механици), а σ² је варијанса. Супституција положаја и импулса, односно времена и енергије, даје:

$$ \sigma_x\sigma_p \ge \frac{|\langle i\hbar \rangle|}{2} = \frac{\hbar}{2}, \quad \sigma_t\sigma_E \ge \frac{|\langle i\hbar \rangle|}{2} = \frac{\hbar}{2}, $$

што тумачимо производима неодређености положаја и импулса, односно времена и енергије (ΔxΔp ≥ ℏ/2 и ΔtΔE ≥ ℏ/2), који нису мањи од h/4π.

3. Други део није званичан. Два су начина за посматрање неодређености положаја и импулса дуж апсцисе, ΔxΔp ≥ ℏ/2: ка напред и у назад. Први, напред се иде са мањом неизвесношћу положаја Δx и већим импулса Δp, а други, назад се иде обрнуто, са већом неизвесношћу положаја и мањом импулса. Овде „неизвесност“ читамо као „шансу реализације“. Слично је са неизвесношћу времена Δt и енергије ΔE, када веће енергије одговарају мањим таласним дужинама и вероватнијим испољавањима. Оба случаја немају противречност, за сада, иако можда изгледају одбојно.

То су процеси који утичу једни на друге, где под „утицај“ подразумевамо могућности мењања слобода. На пример, утицај силе која измени стање кретања. Промена положаја утиче на стање импулса а свака појединачно је независна појава. Време утиче на стања енергије, али има и другачијих енергија за иста времена.

5. Са друге стране имамо комутативне процесе, чији су комутатори нуле. Показује се да они у корену имају „скривени“ оператор, рецимо:

$$ \hat{T} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

који их генерише, а ево како. Посматрајмо два полинома p(x) = x² + x - 2 и q(x) = x² - 2x - 3 када им варијаблу x сменимо са датом матрицом:

$$ \hat{P} = \hat{T}^2 + \hat{T} - 2\hat{I} = \begin{pmatrix} 6 & 12 \\ 18 & 24 \end{pmatrix}, $$ $$ \hat{Q} = \hat{T}^2 - 2\hat{T} - 3\hat{I} = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 9 & 11 \end{pmatrix}, $$ $$ \hat{P}\hat{Q} = \begin{pmatrix} 120 & 168 \\ 252 & 372 \end{pmatrix} = \hat{Q}\hat{P}. $$

Комутатор исчезава $[\hat{P}, \hat{Q}] = 0$, јер процеси комутирају, а то се догађа јер су полиноми са истом варијаблом.

Уопште, ако су $\hat{P}$ и $\hat{Q}$ произвољни оператори комплексног Хилбертовог простора, а постоји оператор $\hat{T}$ и полиноми p и q такви да је $\hat{P} = p(\hat{T})$ и $\hat{Q} = q(\hat{T})$, онда $\hat{P}$ и $\hat{Q}$ комутирају. Другим речима, оператори комутирају само ако у корену имају „скривени“ оператор (овде $\hat{T}$) који их генерише оба. Такви процеси немају узајамно деловање, или пренос информације са једног на друго, већ су попут једног тела са две стране гледаног.

PageRank » eng

Питање: Можете ли ми навести неке примере примене теорије графова?

Одговор: Начелно са одговорима, у овом блогу, избегавам причати познате теме, осим их имати као уводе у новине, али које се неће лако оспоравати. На слично сам питање недавно одговарао, али можда посредно (Triangulation), па ми ово отвара нови проблем. Прво прочитајте текст иза слике десно, о теорији графова и њеној употреби са 5 примера проблема из стварног живота, па обратимо пажњу на четврти.

1. До краја 1990-их у односу на каснији период, претраживачи интернета су били веома лоши у релевантном решавању задатака. Они су углавном користили густину кључних речи (фреквенцију појаве на страници), што се лако могло манипулисати и било је лоше за кориснике. Тада је настао Гугл са Лари Пејџом и Сергејем Брином који су Светску мрежу схватили као масивни, усмерени граф. Чворови су појединачне веб странице, док су ивице хиперлинкови који повезују парове страница.

Они су изумитељи алгоритма Пејџ Ранк који користи структуру графа за мерење важности веб страница. Основна идеја је једноставна колико је и револуционарна. Страница се сматра толико важном колико друге важне воде до ње. Хиперлинк са знатно траженог сајта (YouTube, ChatGPT, или Wikipedia и слични) носи много већу „тежину“ од линка са неког личног блога и мање познате адресе.

2. Пејџ Ранк израчунава вероватноћу да насумични клик на линк отвори одређену страницу међу свим могућим целог веб графа. Захтеван задатак масивног множења матрица на милијардама чворова са циљем да добије стабилну вероватноћу покушајмо размотрити у веома поједностављеном графу са четири чвора A, B, C и D, а рецимо да процену радимо за чвор A. На самом почетку узимамо да су све повезнице међусобно равноправне и такође сви чворови, па сваком од тих додељујемо вероватноћу Pr = 1/4.

Нека B има линкове на сва три чвора, C на A и B, а D само на A. Страница B је расута на три дела па на A преноси само трећину свог рангирања, то је Pr(B)/3. Чвор C преноси половину свог ранга, Pr(C)/2, а чвор D све, тј. Pr(D)/1, па је Pr(A) = Pr(B)/3 + Pr(C)/2 + Pr(D)/1 = 11/24 ≈ 0,458. Из тога општа формула:

$$ \Pr(\nu) = \sum_{\mu \in A_\nu} \frac{\Pr(\mu)}{L(\mu)}, $$

где је вероватноћа Pr(ν), ранг дате странице (A), збир датих вероватноћа Pr(μ) чворова подељен са L(μ) бројем линкова тих чворова којекуда. Ово је основна формула која се даље прилагођава.

3. Страница са пуно линкова ка вани брзо губи тежину (унутрашњи се не рачунају), па се није добро тако повезивати ако желите имати видљивост. Ако алгоритам рачуна и ваша узимања садржаја других страница (може, али не мора), оно што чешће отварате чешће ће вам се нудити и остајете у балону личних претраживања — тога што вас интересује — а ту процену о вама власник алгоритма може чак продавати трговцима и свим којима таква приватност може бити занимљива.

Оно што се даље може приметити је сличност таквог „балона“, у који нас алгоритам окружује нашим интересовањима и заробљава, на пример, са простором иначе око нас. Ближе предмете боље видимо, али и оне даље ако су сјајнији. Сличан пример је и модел (Triangulation, 2) апстрактног много-димензионалног простора који ствара вештачка интелигенција у машинском учењу из много текстова (LLM). Пример даје такође и (Riesz Lemma) откриће јединствености опажања субјеката васионе и заправо је специфичност ове теорије информације.

4. Као две особе у истој соби који све разгледају са различитих позиција и предмете виде под различитим угловима, а онај иза вазе види део који не види особа испред вазе, па кажу: „Ми видимо исту реалност“. Занимљиво је поредити ове балоне којима нас наша интересовања окружују када смо на мрежама са просторима вештачке интелигенције у машинском учењу и са јединственошћу опажања субјеката васионе, са појмом „реалности“. Наведени примери су поучни за схватање, рецимо, тврђења „математика јест једнако реалност“, или сличних.

Подсећам се да је истина целина, бесконачност коју опажамо део по део, са увек коначним доменима. Та опажања су парцијална, не трају и зато нису сва реалност која је трајна, опажљива и истинита. Наглашавам ову разлику између коначности интеракција, перцепција, или честица које стижу колапсом суперпозиција у свет наших опажаја и подлоге тог света са којом физичка стварност не комуницира.

Август 2026 (English ≽)

Забава:

Баба, деда и унук играју „Не љути се човече“, Бања Лука, 21.06.2026.