Септембар 2026 (English ≽)

Infiltration II » eng

Питање: Радим пројекат о продирању флуида (течности, гасова и пара) и ширењу кроз чврсте супстанце, ткива и мембране. Какав математички модел бисте ми препоручили?

Одговор: Покушајте да користите „случајни ход“. Корацима, нека је p ∈ (0, 1) вероватноћа продирања, а q = 1 - p да се продор не дешава, након n = 1, 2, 3, ... корака десило би се тачно k = 1, 2, ..., n продора са вероватноћом:

$$ P(k, n) = \binom{n}{k}p^kq^{n-k}. $$

То је Бернулијева расподела. Добро је да разумете и стратегију „отпора“, начин на који се она може носити са наизглед јачим од себе, о чему сам такође писао (Infiltration).

1. Изненадиће вас обим и разноврсност начина за примену тог наизглед безазленог и апстрактог случајног хода тачке. Признајем да сам га некад користио за разматрања несиметрије у кретању садашњости ка будућим догађајима, као инспирацију више него нешто што бих износио другима. Рецимо, приметио сам тада да светлости време стоји, да се она заправо и не креће, него смо ми ти (сва стварност) који журимо брзином светлости у будућност. Да би релативност кретања (Ајнштајн, 1905) могла настати из таквог подешавања „корака“ и поменуте вероватноће p, али то није за ширу причу осим можда идеје о садашњости брзине светлости. Ево како.

Из начелне објективности случајности (моје теорије информације), уз све извесности, будућност садашњости је и неизвесна. Она срља и ни сама не зна шта ће јој се догодити. То је велики проблем за све који је покушавају пратити, рецимо у надметању (Traits) где играчи који је успешније следе чешће побеђују. Стварност тако креира и истинитост (други пример) које дефинишем по једнаком трајању па незванично налазим да сваки роман, фантазија, или покушај предвиђања будућности морају бити неуспешни. Није могуће смислити догађаје који би могли проћи тест стварности.

2. Са становишта субјекта, сопствена садашњост има му увек исти проток времена, једнаке јединице дужине, личне масе или енергије и слично, па бржи или дужи „корак“ и промену вероватноће p он види само релативно код других. То није неко откриће, али требало га је приметити. Такође је спорији ток времена неког другог предмета његово просторно померање, приметимо, просто због његовог заостајања у времену и простора који је акумулатор прошлости. Што је предмет одмакнутији, гледамо му старије догађаје. Тако се појављује и кретање из анализе „случајног хода“, а коју нисам одбацио него занемарио као тривијалност.

Да би светлости време стајало, са становишта субјекта који мирује па гледа предмет успореног тока времена, реконструкцијом назад познатог релативистичког доказа дилатације времена, доказује се нужност кретања предмета.

Слика лево плавим приказује време t, брзину v (коју тек треба одредити) возила и светлости c за релативног посматрача (у мировању), а црвеним исто c и друго t₀ за предмет (у кретању брзином v унапред непознатом). Питагорина теорема даје:

c²t² = c²t₀² + v²t²,
c²t² - v²t² = c²t₀²,
(c² - v²)t² = c²t₀²,
(1 - v²/c²)t² = t₀²,
t² = t₀²/(1 - v²/c²).

Отуда позната формула за дилатацију времена:

$$ t = \frac{t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, $$

а овде је то доказ кретања брзином v ≠ 0 предмета на слици.

3. Ево још једног незваничног примера случајног хода. Као и истинитост, све појаве делим по трајању, од најкраћих лажних до стварних најдужих. Међутим, оне наилазе и на случајне начине, па се истинитије задржавају дуже и, уколико их уопште има међу насумичним, бива их све више. Ова идеја води до настанка стварности гомилањем, ако „истинско“ одредимо као трајно. Она објашњава васиону као нагомилавање одрживих појава, попут неке еволуције или постојања са трагом у прошлости. Помогла ми је да схватим математику (најтрајније истине) као нешто чега је било пре Великог праска, а затим да разматрам и могућности померања почетака историје васионе ка будућности.

Углавном се држим (хипо)тезе о укупној информацији васионе сабрано и садашњости и прошлости. Садашњости које губе густину неизвесности на уштрб прошлости која је све дужа, али која се троши шаљући у будућност своје информације. Мање се бавим такође спекулативном идејом згртања стварности која се затим пушта низ прошлост када се њена информација не троши емитовањем назад

4. Када нема „трајања“ појам „истовремености“ нема смисла. Ако је један догађај „истовремен“ са другим, онда они постоје у истој „садашњости“ и деловање на један значи деловање на други, ма како они просторно били удаљени. Схватајући васиону на овај начин њен простор бива спремиште стварности, нечега што траје. То укључује и квантну спрегнутост, рецимо, постојаност особина „лева“ и „десна“ рукавица када их раздвојимо далеко у две кутије не знајући која је код нас, али након отварања наше и сместа знајући која је у другој. Тада „тренутно“ траје колико „истовременост“, то значи независно од удаљености кутија. Ето чиме се још можете занимати радећи свој пројекат о продирању флуида, а стално држећи се „случајног хода“ тачке.

Comparison » eng

Питање: Без „трајања“ појам „истовремености“ нема смисла, како то?

Одговор: Када немамо јединицу мере није могуће успостављање вредности. Немогуће је ставити број 1 у позицију са бројем 2 ако нема бројене осе. То једноставно речено постоји као неодређен и лоше дефинисан појам. Посебно у „истовремености“ имамо „исто време“, што већ подразумева да имамо неко „време“, а које нема смисла без „трајања“. То би биле само „небитне“ игре речи колоквијално, али су неозбиљне одреднице за текст који рачуна на егзактне исказе.

1. О овоме разговарамо у наставку претходног одговора (Infiltration II, 4), а тема је била „случајни ход“ тачке и гомилање појава које трају, односно појава „стварности“ и „истине“. То су наводно физикални појмови, јер је реч и о космосу, али не на начин званичне физике. Зато се око њих тако занимамо. Моје становиште је да постоји развојност реалности и истине, али не на начине да их има све више „некако“, него посебно истражујем да ли се она потврђује историјом васионе, развлачећи себе и померајући почетак сећања напред док се садашњост тањи са опцијама.

2. Рецимо да је наилазак, притисак неизвесности константан тако да има неку расподелу вероватноћа различитих трајања појава. Такве које живе краће брже нестају, а дуготрајније опстају и многе такође ипак пропадају. То подсећа на притисак воде на подморницу, који расте са дубином да би негде био уравнотежен са тежином оплате. Ако је Велики прасак био пре око 13,8 милијарди година, онда не радимо са физичким појавама дужих трајања, осим можда апстрактних математичких истина које су на разне начине уткане у физичке, овде такође расправљане. На тај начин живимо васиону која је у својеврсној равнотежи количина истинитости. Те појаве делим по трајању, од најдужих стварних до разних нестварних, где би ове друге на стварност деловале и преко живих бића.

3. То су ми за сада актуелне (хипо)тезе којим расте тежина релативношћу опажања уопште. Када би све било беле боје, без нијанси сиве, не би било облика нити бисмо рекли да има боја (укључујући белу). Две особе у соби исту виде различито, под различитим угловима. Фотографија нема своју дубину него је „видимо“ маштом и искуством. Зато имамо триангулацију, јер једна позиција гледања није довољна. Стварност коју овако описујемо је неограничено мноштво „илузија“, са парцијалним погледом присутних и увек недовољних субјеката чија укупност даје нови смисао. Посебан део те приче је простор који је запис прошлости и расте јер стварност траје.

4. Данас знамо да трајање долази са симетријама (Еми Нетер) и гледамо у теореме као свевременске појаве, дуже од материјалних, те постојаније од правила физике. Ово учвршћује идеју померања трајања васионе. Сав ток њене историје помера се напред уз сталне промене све те целине. То је толико радикална идеја, колико и тешка за оспорити, да је не износим вани, не покушавам њом оповргавати званичну физику. Овде се укључује и математика (кроз бесконачност које у физичкој стварности нема), а то је још једно место због којег ову теорију држим у леру.

Multiplier » eng

Питање: Објасните ми Лагранжове мултипликаторе?

Одговор: На слици лево видимо функцију f(x, y) чију m екстремну вредност тражимо када је g(x, y) једнако датој константи, овде је 1. Условна функција g и тражена f се у екстрему додирују. То значи да су им нормале у таквој тачки паралелне, ∇f = λ∇g, а отуда:

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \lambda \frac{\partial g}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \lambda \frac{\partial g}{\partial y}. $$

Додатна једначина је g = 1, тако да имамо три једначине са три непознате x, y и λ. Слика приказује разне вредности m = 4, 5, ..., 19 са испрекиданим гафицима главне функције f(x, y) = m, тада писане експлицитно y = y(x), и условне g = 1 до додира њихових графова:

$$ y(x) = \frac{m-18}{2\sqrt{2}}\frac{1}{x} + \frac{7}{2\sqrt{2}}x, \quad x^2 + y^2 = 1, $$

са пуном линијом у вредностима m₊ = 18,275 и m_- = 10,725. Како бројеви m од m₊ до m_- опадају кораком 1, јасно је да је први максимум, а други је минимум функције f, јер изван тог опсега немају заједничких тачака, тј. дата функција не испуњава задати услов. Монотона промена екстрема m до таквих заједничких, тангентних тачака чини вредности f екстремним уз ограничење g. Непознати параметар λ је Лагранжов мултипликатор.

1. Користим ово питање да објасним још нешто о стањима (векторима) и процесима (операторима), јер из квантне механике знамо да су они наша грађа као што су то и елементарне честице-таласи. Знамо да вектори овде обично буду n-торке бројева, x = (ξ_k) и y = (η_k), чији врхови су тачке истих ознака, а метрике су удаљености међу њима. Најчешће су:

$$ d_\alpha(x,y) = (|\xi_1 - \eta_1|^\alpha + |\xi_2 - \eta_2|^\alpha + ... + |\xi_n - \eta_n|^\alpha)^{1/\alpha}, $$

где је број α ≥ 1. Када је α = 2 то је стандардна, еуклидска метрика, а ако је α = 1 онда је то менхетн метрика коју овде обично срећемо уз стохастичке матрице. Норма вектора је његов интензитет, односно удаљеност врха од исходишта ∥x∥_α = d_α(0, x). Норма матрице је највећи интензитет вектора који она даје пресликавајући јединичне векторе:

$$ \|A\|_{\alpha,\beta} = \max_{x \ne 0} \frac{\|Ax\|_\alpha}{\|x\|_\beta}, $$

где су често норме слике (∥.∥_α) и оригинала (∥.∥_β) изједначене (α = β).

2. Пример. Покажимо да норма производа матрица, рецимо A и B, није већа од производа норми тих матрица, ∥AB∥ ≤ ∥A∥ ∥B∥.

Решење: Зато што је норма максимум, биће:

∥(AB)x∥ = ∥A(Bx)∥ ≤ ∥A∥ ∥Bx∥ ≤ ∥A∥ ∥B∥ ∥x∥,

а овде узимамо ∥x∥ = 1. ∎

3. Норму ∥A∥_α матрице A треба разликовати од својствене вредности μ те матрице, Av = μv; ту је v својствени вектор који одговара овој својственој вредности те матрице (Changes III, 4). Апсолутна својствена вредност |μ| никада није већа од норме ∥A∥ матрице, али може бити мања. Наиме, са B[v, ..., v] матрицом чије су колоне припадни својствени вектор, имамо:

|μ| ∥B∥ = ∥μB∥ = ∥AB∥ ≤ ∥A∥ ∥B∥,

а отуда ∥A∥ ≥ |μ| за све својствене вредности μ.

Глобалну конвергенцију чини процес који понављањем поступка A води било које дато стање w све ближе смеру својственог вектора v припадном доминантној (апсолутно највећој) својственој вредности |μ|. При томе је локална дивергенција слобода по смеру или интензитету пресликаваног вектора на путу ка тој граничној вредности. Разлика норме матрице од својствене вредности додатак је тој локалној слободи.

4. Вратимо се на горњу слику и пресликавање јединичног вектора ∥u∥ = 1, на пример, следећом матрицом A у вектор максималне норме ∥w∥:

Au = w,     max f(x, y) = ∥w∥² = m,     g(x, y) = ∥u∥² = 1,

$$ \begin{pmatrix} -3 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x + \sqrt{2}y \\ \sqrt{2}x + 4y \end{pmatrix}, $$

f(x, y) = (-3x + √2 y)² + (√2 x + 4y)²,     g(x, y) = x² + y²,

∂_xf(x, y) = -6(-3x + √2 y) + 2√2(√2 x + 4y),
∂_yf(x, y) = 2√2(-3x + √2 y) + 8(√2 x + 4y),

∂_xg(x, y) = 2x,     ∂_yg(x, y) = 2y.

Даље уводимо лагранжов мултипликатор:

∂_xf(x, y) = λ ∂_xg(x, y),     ∂_yf(x, y) = λ ∂_yg(x, y),

-6(-3x + √2 y) + 2√2(√2 x + 4y) = 2λx,
2√2(-3x + √2 y) + 8(√2 x + 4y) = 2λy,
x² + y² = 1.

Решавање ових је посебна прича, од задатка до задатка, овде добијамо:

λ₊ ≈ 18,27492     λ_- ≈ 10,72508

Ево како.

5. Сређивање прве две даје:

√2⋅y = (λ - 11)⋅x,     √2⋅x = (λ - 18)⋅y.

Множимо ове две једначине и резултат да скратимо xy ≠ 0, налазимо:

2⋅xy = (λ - 11)⋅(λ - 18)⋅xy,
2 = (λ - 11)⋅(λ - 18),
λ² - 29λ + 196 = 0,
λ_± = [29 ± √(29² - 4⋅196)]/2,
λ_± = [29 ± √(57)]/2,
λ₊ ≈ 18,27492     λ_- ≈ 10,72508

Због услова g = 1 и горње две једначине, није могуће xy = 0.

6. Ове ламбде враћамо у горње једначине и налазимо, заокружено:

(+)   y = (λ₊ - 11)⋅x/√2 = √2⋅x/(λ₊ - 18) = 5,14414⋅x
(-)   y = (λ_- - 11)⋅x/√2 = = √2⋅x/(λ_- - 18) = -0,19440⋅x

Примена услова g = 1 на координате значи њихово нормирање:

(+)   x₊ = 0,19082     y₊ = 0,98162
(-)   x_- = 0,98162     y_- = -0,19082

Уврштавањем ових парова у функцију налазимо:

$$ u_+ = \binom{0,19082}{0,98162}, \quad u_- = \binom{0,98162}{-0,19082}. $$

Квадрирањем и сабирањем компоненти проверите да је сваки од та два вектора јединични. Увршатавајући њихове компоненте у функцију f:

f₊ = 18,27492   и   f_- = 10,72508

Ово су квадрати норми, f = ∥w∥², а норма матрице A је већи корен:

(+)   ∥A∥₊ = 4,27492       (-)   ∥A∥_- = 3,27492.

Прво решење (+) је тражена норма, друго (-) је минимум који за норму не треба, али оба видимо на горњој слици.

7. Обе апсолутне својствене вредности μ исте матрице A, карактеристичне једначине Av = μv, управо су две „норме“ те матрице:

μ₁ = 4,27492     μ₂ = -3,27492

а припадни својствени вектори, v₁ = u₊ и v₂ = u_-, они су чији интензитети дефинишу те „норме“. Ту особину карактеристичних вредности линеарне алгебре ређе препознајемо од, на пример, ортогоналности (својствених) вектора, овде u₊⊥u_-, или уопште симетричних и ермитских матрица.

Direction II » eng

Питање: Вектори чији интензитети представљају норму дате матрице су водећи својствени вектори те матрице (Multiplier, 7)?

Одговор: За већину матрица није јој норма и доминантна (највећа) својствена вредност, док водећа сопствена вредност јесте једнака спектралној (2-)норми само када је матрица ермитска (Adjoint) и позитивно полудефинитна. Ако је матрица несиметрична, норма јој је скоро увек већа од највеће својствене вредности.

То је због норме која представља највеће „истезање“ које матрица прави векторима, а својствене вредности представљају истезање само својствених вектора. У једнакости Av = μv je A = (a_ij) квадратна матрица са по n ∈ ℕ колона и врста, скалар μ је реалан или комплексан број, а v је n-торка тих бројева, у примени то је и неко од стања система која мења A као процес (Directions). Са друге стране, норма матрице је ∥A∥ = max Au, узимано за све јединичне векторе ∥u∥ = 1 и важи неједнакост ∥A∥ ≥ |μ|, као што је ту и доказано (Multiplier, 4).

1. Пример. Матрична једнакост, Av = μv:

$$ \begin{pmatrix} 1 & N \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N \\ 1 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} N \\ 1 \end{pmatrix} $$

има две карактеристичне вредности, својствену вредност μ = 2 која иде уз својствени вектор v = (N, 1). Покажимо да норма матрице ∥A∥ ≠ 2, него је неограничено растућа када N → ∞.

Решење: Да бисмо у дефиницији норме ∥A∥ = max Au имали разне ∥u∥ = 1, узмимо да су координате тог јединичног вектора u(x, y) косинус x = cos φ и синус x = sin φ, са произвољним углом φ. Тада Au = w даје:

$$ \|A\| = \max_{\varphi \in (0, 2\pi)} \|w\|, $$

∥w∥ = (cos φ + N sin φ)² + (2 sin φ)² =
= 1 + N sin 2φ + (N² + 3) sin²φ,

∥A∥ → ∞, када N → ∞,

за скоро све углове φ. ∎

2. Пример. У општем облику, Av = μv, карактеристистична једначина 2-дим реалне симетричне матрице A је:

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \mu \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. $$

i. Покажимо да A има реалну својствену вредност, μ ∈ ℝ.

ii. Њој (μ) припадни својствени вектор v(x, y) има особину:

$$ y = \frac{c-a \pm \sqrt{(c-a)^2 + 4b^2}}{2b}x. $$

Разломак је тангенс угла, tg φ_μ, смера глобалне конвергенције процеса A.

Решење: Из Av = μv, отуда (A - μI)v = 0, следи det(A - μI) = 0, јер матрица у загради нема инверзну.

i. Зато је:

$$ \begin{vmatrix} a-\mu & b \\ b & c-\mu \end{vmatrix} = 0, $$

(a - μ)(c - μ) - b² = 0,
μ² - (a + c)μ + ac - b² = 0.

Дискриминанта ове квадратне једначине је:

D = (a + c)² - 4ac + 4b² =
= (a² + 2ac + c²) - 4ac + 4b²
= (a² - 2ac + c²) + 4b²,
D = (a - c)² + 4b² ≥ 0,

$$ \mu_{1,2} = \frac{a+c \pm \sqrt{D}}{2} \in \mathbb{R}, $$

јер је под кореном ненегативан број.

ii. Уврштавамо ове μ у полазну једначину Av = μv и налазимо систем:

ax + by = μx,
bx + cy = μy,

by = (μ - a)x,     bx = (μ - c)y, $$ y = \frac{c-a \pm \sqrt{(c-a)^2 + 4b^2}}{2b}x, $$

а то је и требало показати. ∎

3. Комплексна симетрична матрица може имати комплексне својствене вредности и векторе. На пример:

$$ \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix} \binom{1}{\pm i} = (1 \pm i) \binom{1}{\pm i}. $$

Овде на сва три места истовремено узимамо било горњи (+) или доњи (-) предзнак. Таква матрица је симетрична, једнака је себи транспонованој A = A^⊤, али има имагинарну јединицу i² = -1 у коефицијентима и кажемо да није реална. Ермитова матрица једнака је себи адјунгованој, коњугованој и транспонованој, али може имати комплексне коефицијенте, а реалних је својствених вредности и реалних или комплексних, али ортогоналних, својствених вектора. Реална симетрична матрица је посебан случај ових, ермитских матрица, тако да и таква има ортогоналне сопствене векторе и реалне сопствене вредности, али нема комплексне својствене векторе. То следи из 2. примера (ii), јер x ∈ ℝ повлачи y ∈ ℝ, а „својственост“ вектора се не мења када га множимо произвољном ненултом константом.

4. У примени, у квантној механици а зато и у великом свету, те операторе одређујемо тако да су им својствене вредности реалне физичке величине, рецимо положај, импулс, енергија и слично. Отуда дође интересовање за ермитске операторе и њихове матрице. Са друге стране, процеси таквих A (понављањем) конвергирају ка смеру својственог вектора v доминантне μ својствене вредности, када постоји таква апсолутно већа од свих осталих. Таква матрица (Av = μv), произвољан вектор (u → v) гура ка својственом, јер га највише „истеже“ ка таквом. Аналогно томе, иста матрица највише гура произвољне векторе ка смеру онога који јој дефинише норму, у том смеру их највише истеже. То је један интуитивни разлог да доминантни својствени вектор (ермитске) матрице буде једнак највећем w = uA када су u произвољни јединични вектори и да су такви најинтересантнији.

5. Потврда те интуиције су и примери, као матрица (a = -3, b = √2 и c = 4) у претходном одговору (Multiplier, 4) где сада (2, i) можемо израчунавати својствене вредности μ₁ = 4,27492 и |μ₂| = |-3,27492| и видети да су такве једнаке „нормама“ (максимум и минимум истезања јединичног вектора). Припадни јединични својствени вектори:

v₁:     x₁ = 0,19082     y₁ = 0,98162
v₂:     x₂ = 0,98162     y₂ = -0,19082

такође су једнаки водећим векторима u₊ и u_- чијим интензитетима слика тамо дефинишемо поменуте „норме“ матрице A. Трећу потврду, општим бројевима реалних 2-дим симетричних матрица, сада покушајте и сами.

Multiplier II » eng

Питање: И даље ми нису јасни Лагранжови мултипликатори, и како да решим задатак (Direction II, 5)?

Одговор: На слици лево виде се испрекидани графици функција y(x) = α/x + β⋅x разних вредности m = -6, -4, ..., 30, где су:

α = (m - 18)/(14√2),   β = 1/(2√2)

Услов, функција g(x, y) = x² + y² има константну вредност 1.

1. Прву развијамо и добијамо:

xy = α + β⋅x²,

$$ 14\sqrt{2}\,xy = (m-18) + 7\sqrt{2}\,x^2, $$ $$ 11x^2 + 14\sqrt{2}xy + 18y^2 = m, \quad x^2 + y^2 = 1, $$ $$ (9x^2 + 6\sqrt{2}xy + 2y^2) + (2x^2 + 8\sqrt{2}xy + 16y^2) = m, $$ $$ f(x,y) = (3x + \sqrt{2}y)^2 + (\sqrt{2}x + 4y)^2, \quad f(x,y) = m. $$

Тражимо екстреме, минимум m₁ и максимум m₂, функције f(x, y) = m са корацима m ∈ [-6, 30], док се граф извија и прелази кружницу g(x, y) = 1. На улазу у кружницу, када се f и g додирују, имамо минимум, а на излазу максимум m₁ ≤ f(x, y) ≤ m₂.

2. На пример, за матрицу A тражимо њену 2-норму по дефиницији:

$$ \|A\| = \max_{\|u\| = 1} Au. $$

У општем случају реалне симетричне 2-дим матрице Au = w постаје:

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ bx + cy \end{pmatrix}. $$

Тражимо максимум m функције f(x, y) = m уз услов g(x, y) = 1, опште и посебно, функција и услов:

f(x, y) = (ax + by)² + (bx + cy)²,     g(x, y) = 1,

f(x, y) = (3x + √2y)² + (√2x + 4y)²,     x² + y² = 1.

Препознајемо функцију графа са слике.

3. У ове две тачке додира тангенте кривих f и g се поклапају, што значи да су и нормале на њих две паралелне. Отуда услови:

$$\nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y), $$ $$ \frac{\partial}{\partial x}f(x,y) = \lambda \frac{\partial}{\partial x}g(x,y), \quad \frac{\partial}{\partial y}f(x,y) = \lambda \frac{\partial}{\partial y}g(x,y), $$

где је број, параметар λ, тзв. Лагранжов мултипликатор. Израчунавамо:

2a(ax + by) + 2b(bx + cy) = 2λx,
2b(ax + by) + 2c(bx + cy) = 2λy,

b(a + c)y = [λ - (a² + b²)]x,     b(a + c)x = [λ - (b² + c²)]y,
b²(a + c)² = [λ - (a² + b²)][λ - (b² + c²)],     xy ≠ 0,
λ² - [(a² + b²) + (b² + c²)]λ + (a² + b²)(b² + c²) - b²(a + c)² = 0.

Дискриминанта ове квадратне једначине је:

D = [(a² + b²) + (b² + c²)]² - 4(a² + b²)(b² + c²) + 4b²(a + c)² =
= [(a² + b²) - (b² + c²)]² + 4b²(a + c)²
= (a² - c²)² + 4b²(a + c)²,
D = (a + c)²[(a - c)² + 4b²] ≥ 0,

јер су коефицијенти реални бројеви, па су и ламбде реалне:

$$ \lambda_{1,2} = \frac{a^2 + 2b^2 + c^2 \pm \sqrt{D}}{2} \in \mathbb{R}. $$

Ове ламбде су Лагранжови мултипликатори којима ћемо наћи екстреме, минимум и максимум, дате функције f = m уз ограничења g = 1.

4. Посебно, за задате коефицијенте a = 3, b = √2 и c = 4 дискриминанта је D = 21². За њих ламбде су:

$$ \lambda_{1,2} = \frac{29 \pm 36}{2} = \begin{cases} 25 \\ 4 \end{cases} $$

Сада је a = 3 са λ₁ = 25 и λ₂ = 4, а у претходном примеру (Multiplier) било је a = -3 са истим b = √2 и c = 4, па је било λ₊ = 18,27492 и λ_- = 10,72508. У општем случају важи:

$$ \kappa = \frac{\lambda - (a^2 + b^2)}{b(a+c)}, \quad y = \kappa x, \quad x^2 + y^2 = 1, $$

1 - x² = κ²x²,   ⇔   x² = 1/(1 + κ²)   ⇒   x = 1/√(1 + κ²),   y = κx.

5. Посебно, сада (a = 3, b = √2 и c = 4) за λ₁ = 25 и λ₂ = 4, имамо:

$$ 1 - x_1^2 = \left(\frac{25 - (9 + 2)}{\sqrt{2}(3+4)}x_1\right)^2, \quad 1 - x_2^2 = \left(\frac{4 - (9 + 2)}{\sqrt{2}(3+4)}x_2\right)^2, $$ $$ 1 - x_1^2 = 2x_1^2, \quad 1-x_2^2 = \frac12x_2^2, $$ $$ x_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}, y_1 = \frac{\sqrt{6}}{3}; \quad x_2 = \frac{\sqrt{6}}{3}, y_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}. $$

Ове координате w₁ = (x₁, y₁) и w₂ = (x₂, y₂) дају екстреме функције:

m = f(x, y) = (ax + by)² + (bx + cy)²,

$$ m_1 = (3\cdot\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3})^2 + (\sqrt{2}\frac{\sqrt{3}}{3} + 4\cdot\frac{\sqrt{6}}{3})^2 = 25, $$ $$ m_2 = (3\cdot\frac{\sqrt{6}}{3} - \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + (\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3} - 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 4. $$

Ти екстреми се виде на слици, најмања m₁ = 4 и највећа m₂ = 25 вредност функције f док она прелази кружницу g = 1. Само максимум може бити и норма матрице, па је ∥A∥ = max{m₁, m₂}. Сада то је ∥A∥ = 25.

6. Ево како налазимо опште изразе за норме наведених матрица, реалних симетричних другог реда:

$$ \kappa = \frac{\lambda - (a^2 + b^2)}{b(a+c)} = \frac{a^2 + 2b^2 + c^2 \pm \sqrt{D} - 2(a^2 + b^2)}{2b(a+c)} = $$ $$ = \frac{c^2 - a^2 \pm (a+c)\sqrt{(a-c)^2 + 4b^2}}{2b(a+c)}, $$ $$ \kappa_{1,2} = \frac{c-a \pm \sqrt{(c-a)^2 + 4b^2}}{2b}. $$

Уврштавајући познате бројеве (a = 3, b = √2 и c = 4), знак плус (+) испред корена даје κ₁ = √2, а предзнак минус κ₂ = -1/√2 минус. Затим, уопште:

$$ 1 + \kappa_{1,2}^2 = \frac{(c-a)^2 + 4b^2 \pm \sqrt{(c-a)^2 + 4b^2}}{2b^2} = \begin{cases} 3 \\ 3/2 \end{cases} $$ $$ x_{1,2} = \frac{1}{\sqrt{1 + \kappa_{1,2}^2}} = \begin{cases} \sqrt{3}/3 \\ \sqrt{6}/3 \end{cases}, \quad y_{1,2} = \frac{\kappa_{1,2}}{\sqrt{1 + \kappa_{1,2}^2}} = \begin{cases} \sqrt{6}/3 \\ -\sqrt{3}/3 \end{cases} $$ $$ f_{1,2} = \frac{(a^2 + b^2) + 2b(a+c)k_{1,2} + (b^2 + c^2)k_{1,2}^2}{1 + k_{1,2}^2} = \begin{cases} 25 \\ 4 \end{cases} $$

Ради провере формула, додајем уврштене вредности десно у витичастим заградама. Као што видимо, ови резултати су једнаки претходним. Даље, примењено на норму матрице, нађени екстреми су квадрати интензитета вектора слике, f = ∥w∥², па је норма само корен већег ∥A∥ = 5. Приметимо да је ова норма опет једнака μ водећој својственој вредности, Av = μv. Ово значи да и водећи вектор, чији интензитет дефинише норму, такође има смер доминантног својственог.

7. Погледајмо то са још једне стране. Имамо редом:

b(a + c)y = [λ - (a² + b²)]x,
λ = [(a² + b²) + (b² + c²) ± (a + c)√[(a - c)² + 4b²]]/2,
b(a + c)y = = x[c² - a² ± (a + c)√[(a - c)² + 4b²]]/2,
b(a + c)y = x(a + c)[c - a ± √[(a - c)² + 4b²]]/2,
y = x[c - a ± √[(a - c)² + 4b²]]/(2b).

Дакле, тангенс угла y/x вектора w = (x, y) чији интензитет одређује норму матрице max ∥w∥ = max ∥Au∥ једнак је доминантној својственој вредности матрице Av = μv, при томе су ови вектори паралелни, w || v. Доказ је у 2.ii примеру претходног одговора (Direction II).

Сагласно овој теорији информације или глобалној конвергенцији, просто речено, матрица реалних величина (положај, импулс, или енергија) како својом доминантном својственом вредношћу тако и нормом, гура у истом смеру. Просто због највећих интензитета у том смеру.

8. Ево још једног примера. У литератури често пише да мултипликатори, овде λ ∈ {25, 4}, служе само као додатна варијабла да нађемо координате екстремних тачака, али погледајмо још једну њихову корист. Из прошлог одговора (2. Пример) узмимо формуле за својствене вредности, Av = μv, а из овог (3) једначине мултипликатора λ. Добијамо систем:

aμx + bμy = λx,     bμx + cμy = λy,

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mu x \\ \mu y \end{pmatrix} = \frac{\lambda}{\mu} \begin{pmatrix} \mu x \\ \mu y \end{pmatrix}. $$

Када ову матричну једначину поделимо својственом вредношћу μ, биће:

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{\lambda}{\mu} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, $$

што значи да је λ/μ својствена вредност истог својствног вектора v(x, y). Међутим, према дефиницији, један посебни својствени вектор одговара тачно једној својственој вредности за дату линеарну трансформацију. То значи да је λ/μ = μ, а отуда λ = μ². И заиста, ако из поменутог 2.i примера формулу применимо на ове вредности, добијамо μ ∈ {5, 2}.

Comparison II » eng

Питање: Шта је са ермитским операторима, како им се односе својствене вредности и норме?

Одговор: Норма ∥H∥ ермитовог H оператора или матрице једнака је сопственој вредности са највећом апсолутном вредношћу:

∥H∥ = max_k |μ_k|,   Hv = μv,

где су v_k припадни μ_k својствени вектори, док је k = 1, 2, ..., n, а n је димензија матрице. Једноставан доказ у пар корака иде овако.

1. Први корак, |μ_k| ≤ ∥H∥, даје дефиниција норме ∥H∥ = sup_∥u∥=1 ∥Hu∥, док Рејли-Рицова теорема обезбеђује другу страну ∥H∥ = max_∥u∥=1 |⟨u, Hu⟩|, а заједно дају да је норма ермитског оператора једнака његовој апсолутној највећој својственој вредности.

На пример, у недавном одговору (Multiplier, 4, 7) је A реална симетрична матрица са нормом једнаком својственој вредности, ∥A∥ = μ = 4,27492. То је посебна врста ермитских, са такође примером (Multiplier II) где је таква матрица ∥A∥ = μ = 5. Следећи примери су уводи у захтевне теме, међутим довољни су читаоцима из примењене математике.

2. Када је a, b ∈ ℝ и det H ≠ 0, ово је ермитска 2-дим матрица:

$$ H = \begin{pmatrix} a & c \\ c^* & b \end{pmatrix} $$

где ставимо a = 2, c = 1 + i, c^* = 1 - i, b = 3. Њена детерминанта је:

$$ \det H = \begin{vmatrix} a & c \\ c^* & b \end{vmatrix} = ab - cc^* = 4. $$

Својствене вредности налазимо решавајући једначину:

det(H - μI) = 0,

$$ \begin{vmatrix} a - \mu & c \\ c^* & b - \mu \end{vmatrix} = 0, $$

μ² - (a + b)μ + ab - |c|² = 0,

$$ \mu_{1,2} = \frac{a+b \pm \sqrt{(a-b)^2 + 4|c|^2}}{2} = \begin{cases} 4 \\ 1 \end{cases} $$

Према (1) норма матрице је ∥H∥ = max{μ₁, μ₂} = 4.

3. На горњој слици је испрекидани граф низа функција:

y(x) = (m/10 - 1,1)/x + 0,3⋅x,

редом за m = 19, 18, 17, ..., -1, -2. Тај граф демонстрира како се та функција извија прелазећи кружницу x² + y² = 1. Како се број m смањује, она улази у кружницу за вредност m₁, а излази за вредност m₂. Визуелно приказује да функција y(x) постиже максимум у тачки улаза m₁ ≈ 14,7 а минимум у тачки излаза m₂ ≈ 4,3. Множећи дату једначину са 10x и користећи услов x² + y² = 1, преводимо је у облик:

f(x, y) = 8x² + 10xy + 10y² = m,

f(x, y) = |2x + (1 - i)y² + |(1-i)x + 3y|² = m,

$$ f(x,y) = \|\begin{pmatrix} 2 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\| = m, $$

f(x, y) = ∥Hu∥ = m,

при чему се користе само реални бројеви јединичног вектора u = (x, y) и максимум √m₁ = 3,8 < ∥H∥ = 4. Пример доказује да када тражимо норму ∥H∥ = max ∥Hu∥ ермитског оператора H за услов ∥u∥ = 1 морамо бирати и комплексне компоненте x, y ∈ ℂ.

4. Тачније тражење норме ∥H∥ укључује комплексне бројеве x = x' + ix'' и y = y' + iy'', са реалним x', x'', y', y'' ∈ ℝ и i² = -1, али такве да је:

|x|² + |y|² = 1,
(x' - ix'')(x' + ix'') + (y' - iy'')(y' + iy'') = 1,
(x'² + x''²) + (y'² + y''²) = 1.

Ово значи да су горња претраживања била „кратка“ за x''² + y''². Иако су ти путеви имагинарни (Bypass), на нивоу квантних честица су активни и отуда су за тамошњу тачност неопходни ермитски оператори са реалним својственим вредностима али дозвољеним имагинарним путањама. Овде мислим и на даље излете честица од оних које је израчунавао Фајнман да би доказао да се сви њихови вектори сабирају у један (Prolongation, 2), и у принцип најмањег дејства.

5. Разноврсност је начелна ствар ове теорије, пре свега, јер уједначавање (на задатом интервалу) повећава информацију, а природа спонтано тежи њеној мањој вредности. Зато ово откриће има суптилну везу са недавним одговором (Comparison), рецимо без доживљаја мрака не бисмо схватили светло, или ако заиста нема нереалног како бисмо разумевали реално. То није једина веза заобилажења (Solenoid), али је гласна.

Position » eng

Питање: Важи ли претходна једнакост, норме и својствене вредности, ермитског оператора и за бесконачне матрице?

Одговор: Да, то се види из доказа (Comparison II, 1). Пример таквог је оператор положаја (Momentum II) квантне механике $\hat{x}\psi = x\psi$ са таласном функцијом ψ решењем из Шредингерове једначине дате ситуације (слободну честицу, или електрона у атому водоника итд.) коју третирамо даље као својствени вектор, а својствену вредност до тада непознатог оператора $\hat{x}$ прогласимо положајем x. Затим са сазнањима из квантне механике добијамо особине тог оператора, укључујући и његове матричне репрезентације попут следеће:

$$ \hat{x} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & ... \\ \sqrt{1} & 0 & \sqrt{2} & 0 & ... \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} & ... \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \end{pmatrix}. $$

То је бесконачна, реална симетрична матрица. Врста је ермитске и, према томе, њена својствена вредност (положај x) је реална и једнака је $\|\hat{x}\|$. Ова норма је „домет“ таласне функције, а када је њен домет неограничен биће и матрица неограничена.

1. На пример, узмимо да таласна функција има две опције, ψ = (ψ₁, ψ₂), за само два могућа исхода (Борнов закон) вероватноћа |ψ₁|² + |ψ₂|² = 1, па:

$$ \hat{x} \psi = x\psi, $$ $$ \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} \\ \sqrt{1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}, $$

према формули (Comparison II, 2) налазимо две својствене вредности, то су сада ознаке положаја x ∈ {-1, +1}. Честица може отићи лево или десно за по један корак зависно од вероватноћа ψ. Њен домет је $\|\hat{x}\| = 1$.

Компоненте таласне функције налазимо уврштавајући је сада у полазну једначину. За сваку од нађених својствених вредности (x = ±1), налазимо ψ₁ = ±ψ₂, што значи једнаке вероватноће опција, |ψ₁|² = |±ψ₂|² = 1/2. Ту стоје тзв. природне јединице, када ставимо ℏ/mω → 1.

2. У бесконачном случају, пресликавање $\hat{x}\psi = \phi$ даје вектор $\phi = x\psi$ чије су компоненте одређене низом једначина:

ϕ₂ = ψ₁,   ϕ₁ + √2ϕ₃ = ψ₂,   √2ϕ₂ + √3ϕ₄ = ψ₃, ...,

√(n-1)ϕ_n-1 + √(n)ϕ_n+1 = ψ_n,     n = 1, 2, 3, ...

Експлицитни облици ових наизглед једноставних израза нису лагани за рад и квантна механика се обично бави њиховим посредним тумачењем и то од случаја до случаја. Штавише, нерадо користимо баш ту матричну репрезентацију оператора положаја управо због поменуте сложености, а алтернативе су обично интегрални облици.

3. Својствена вредност је јединствен и мерљив број x којим представљамо локацију честице. Ово је било где у простору па позиција има бесконачан број могућих вредности какве у математици чине континуирани спектар. Било који реалан број из -∞ до +∞ могућа је својствена вредност. Са друге стране, својствени вектор је стање система када има одређену својствену вредност. Ако је честица савршено лоцирана на тачној тачки x₀, њена се таласна функција слива у бесконачно висок, бесконачно танак шиљак на тој локацији. Овај математички, графички скок се назива Диракова делта функција, записана као δ(x - x₀). Функција је једнака ∞ када x = x₀ а свуда другде је 0. То је уобичајени увод у поменуте интегралне облике.

Формула за својствени вектор центриран у позицији x₀ је ⟨x|x₀⟩, где је тај скаларни производ уједно амплитуда вероватноће налажења честице на позицији x₀. Познатији пример сличног „налажења“ је фотографисање птице у лету помоћу блица. Својствени вектори нам говоре да птица има 100% шансе да се нађе у тачно том бљеску и 0% шансе да се налази било где другде. Моје објашњење ове могућности је разлика у појединачном и групном опажању (Conspiratorial), које је дискретног појединог исхода и све више непрекидног стања као средње вредности мноштва.

4. Борел-Кантелијева лема у теорији вероватноће каже да конвергентан бесконачн збир вероватноћа вазда садржи неки коначан подниз збирне вероватноће један. Примењено, то значи да има смисла апроксимирати, да би то било довољно за апсолутну тачност, ако бисмо могли знати који је то подниз, али лема нам не дају и такав податак. Tеоријa информације коју тестирам слаже се са том лемом због коначности опажаја (Packages) затим по непредвидљивости (начелно, информација је ткиво опажљивог света).

5. Бесконачност је постојећа категорија шире васионе, она је трајна јер је истинита (део је математике) и парцијално нам је перцептибилна. Ту моћ повезивања, коначног и бесконачног, рабимо помоћу „подељеног мозга“, јавља ми дописник уз видео The Divided Brain, који вреди помена. Веома је добро погодио оно што покушавам у одговорима попут Comparison, да постоји потреба, или корист, од повезивања детаљисања и уопштавања, за нас и биолошки сличне врсте, јер нема јединствене стварности. Лева и десна хемисфера мозга је подела коју имају све животиње еволуирале са потребама сличним нашим, могуће је, настала је баш због немогућности сагледавања целине. Стога пут ка једноставној формули низа (2) постаје тако мукотрпан, као немогућа мисија, јер из „жабље перспективе“ би да види „птичију“.

Memory » eng

Питање: Шта је то меморија?

Одговор: Истина и стварност у покушају, меморија је то рекао бих, али толико сам заглавио у томе и одвојио се од званичне науке да ће та дефиниција без дебелог објашњења зазвечати глупо.

1. Сетимо се, важан део теорије коју градим је сећање простора. Да не понављам, прочитајте и одговор (Gravitational Memory), на усхићено питање ми једног дописника „знате ли да постоји гравитациона меморија“. Кратко, меморију у тежњи да буде истина или стварност, објашњава и један недавни одговор о ходу случајне тачке (Infiltration II), када се тај рачун примењује на непрестано наилажење стварности на свакакве фикције, дакле несталне појаве, чиме настаје талог појава са све дужим опстанком. Ту почиње стварна прича о меморији којој тежи све што постоји, живи и неживи свет, са настојањем да не изгуби корак са реалношћу. Међутим, само део ове теорије бави се виталношћу а претерана употреба речи „меморија“ пренагласила би га.

2. Када фигуру направљену од Лего коцкица раставимо и промешамо, од те гомиле коцкица можемо направити и нешто друго. Слично налазимо у информацији презасићеној шумом (Guidance, 3), па и у ономе што лежи у почетку васионе која се зато могла развијати и другачије. Велики прасак је стварао простор, време и законе физике и, док су температуре опадале да би се спајали неутрони и протони у атоме, могли су настајати и сасвим другачије константе и закони физике уместо важећих, градећи свет нама непознат и немогућ. Та принципијелна случајност траје и даље, све тања у садашњости што се историја васионе више истеже, тако да је и само то развлачење и блеђење неизвесности врста „борбе“ за сећање.

3. Супердетерминизам је екстремна врста детерминизма која тврди да је цео универзум унапред одређен. Према овом гледишту (John Bell, 1980), сваки догађај — укључујући и изборе које научници праве — има узроке који сежу до Великог праска. Користи се као рупа у закону за објашњење квантне механике без језивог деловања на даљину. Међутим, то није део моје теорије која је постулирана на управо супротном, потпуном одсуству узрочности — у неким догађајима које зовем „објективном случајношћу“. Заменска појава која креира ред овде ми је закон великих бројева теорије вероватноће (Chebyshev). Отуда и сила вероватноће која утире пут према вероватнијим стањима, а затим начело минимализма, или спонтаност ка мање информације. Ентропија је ту израз истог минимализма, али не као спонтани раст информације (хлађењем) како се редовно објашњава, него напротив, опадањем количине избора.

4. Општа тежња природе ка смањивању неизвесности, је врста жудње ка уређености коју препознајемо по томе што „мозак воли познато“, сматра се, јер то штеди енергију. Познате рутине делују као добро утабане стазе у нашем уму. Свачијем мозгу је потребно мање напора да обради познато у поређењу са непознатим и са познатим се одмах осећа безбедно и удобно. Овде то исто долази из начелног минимализма (информације). Међутим, ефекат је ширег значаја, од општег ленствовања и тражења законитости, од научника до њихових корисника. Ово такође спада у врсте „борбе“ за сећање, сада као жеља за мање слобода (Приче о Информацији, стр. 11). Приметимо да ово није просто „одвајање жита од кукоља“, у претходном случају (1), иако такође важи и за неживу природу.

5. Живот је карактеристика природних система који успевају избегавати принцип најмањег дејства физике, што значи који имају вишак слобода. Вируси су неживи пакети генетског кода са РНК или ДНК језгром унутар протеинске љуске који „отимају“ живу ћелију да би се копирали. Граница су живог-неживог света и иако су нулта карика, нису део праве еволуције живота. Еволуција почиње открићем смрти живих јединки и (генетским) преносом сећања на њихове следбенике. Верујем да је могуће говорити о развоју сећања скоро исто као о самом развоју живота, али сачекајмо да и билогија о томе да своју завршну реч.

Trust » eng

Питање: Зашто вируси не постају живе ћелије?

Одговор: На први поглед мени је ово питање било толико глупо да сам мислио да ме неко зеза. Али, касније сам приметио да га шаље колега из друге бранше са којим сам већ разговарао о „сукобима“ и да му се наводно сасвим допао мој одговор. Могло би бити да је опет чекао нешто таквог нивоа и, признајем, са тремом прелиставао сам прилоге попут линка слике лево.

1. Не знам да ли баш сви вируси не постају живе ћелије, али обзиром да њихове најезде трају вековима и да су на вратима фикција мора бити да се као јединке страшно пуно „свађају“, далеко жешће и упорније насрћу на ресурсе од физичке супстанце од које се састоје. Ову процену не дајем на основу биолошких, ни хемијских разлога, нити су њихови „сукоби“ као просте физичке неравнотеже, него пре као „борбе за истину“ живих бића (која умеју да лажу). Са друге стране, опстанак концепта борби утврђује њихову реалност, поновљивост у датим условима.

2. Појмови истина (⊤) и лаж (⊥) јесу из алгебре логике, а имам и аналогне из алгебре вектора (Hindering II), где се помоћу нилпотентних оператора представљају операције дисјункције, конјункције и негације (Drowning). Штавише, ова математика доказује да постоји еквиваленција неистина и истина, њих има једнако много, да су увек око стварности али невидљиве јој. Отуда истрајност вируса. Друга је ствар што непрецизне појмове као што је „сукоб“, или „поверење“, морам сада користити препричавајући те алгебарске. Узимајте их са резервом да би прилазили што се може ближе њиховим коренима у алгебри логике и вектора. Реч „поверење“ је рецимо блиска „заједничкој истини“, или „истовремености“, када нестаје „сукоб“.

3. Поверење је врхунски алат за сарадњу. Банкари и други бирократи су по цео дан заузети стварањем поверења, каже Харари (Triangulation, 1), које гради нашу цивилизацију и чине je везаном. Додаје, један-на-један човек је слабији од сваког шимпанзе, лава, или слона, али људи побеђују у контексту са милион људи и милион шимпанзи. То је због способности сарадње и поверења, а још дубље због језика и записивања. То му је увод у можда будућу супериорност вештачке интелигенције над људима, због моћи јачег таквог повезивања, а мени као увод у откриће „истине“ у свој снази, њеној истрајности. Вируси су могли окусити фикцију и постајати патолошки лажови, овисници као наркомани или коцкари, опчињавани њеним привлачећим блеском попут шибице којег морају понављати јер иза сваког долази тама. Остају заробљеници те „красоте“ и не успева им ширење међусобног „поверења“.

4. Концепт широког поверења није прихватљив крави, кокошки, вирусу, као када ви од непознатог банковног чиновника очекујете да донешени новац, комаде папира, сматра вредношћу и замени за другу вредност не помишљајући на превару. Зато је свака криминална организација (или преварантска) слабија од просечне нормалне државе, или организација живе ћелије јача од вируса. Говорим у статистици, па тако сагледавам и машинско учење које се дугим прегледима слика, или реченица (LLM) гради у вештачку интелигенцију. Увек ће неки вируси убити неке живе ћелије, неке животиње неке људе, а неки преваранти ће надиграти неке „здраве“ (које се не баве преварама) институције, јер игра манипулације је тактички (краткорочно) јака а стратешки (дугорочно) слаба.

Слагањем појмова тим учењем, доследно да „чешће“ постаје „ближе“ у метрици векторских простора, поверење постаје (алгебарска) истина. Отуда ће се исчитавањем слика, као и реченица, рецимо појам „мачка“ унутар оба модела (сликовни и текстовни) све више поклапати.

Illusion IV » eng

Питање: Изванредно вам је ово објашњење вируса (Trust), а било би још занимљивије да је истинито?

Одговор: Напротив, углавном нам је занимљивије оно што је неистинито, утолико више колико му верујемо. У томе је тајна привлачности фикција, великих уметника које нас усмере ка истини, једнако мањих који нас тад уводе у лоповлук. Обе на свој начин владају том привлачном магијом, са чијом истинитосном (математичком) позадинином се управо поигравамо. Немам намеру да моја „истина“ буде шире препозната, колико да сачувам своју игачку, па надам се, не ширимо моју причу даље. Све спонтано тежи стањима мање информације, а ипак могућ је живот који је стање вишака информације (Illusion III).

1. Ако причамо о тајном знању, моје је закопано унутар квантне механике да се свет дели на физичку стварност мерених појава, знаних које настају колапсима суперпозиција, и на свет самих суперпозиција. Такве су појаве попут пада „писма“ или „главе“ бацањем новчића и стања неизвесности у новчићу пре тог исхода. Онај свет суперпозиција, који лежи испод мерне физике, видим и као нову врсту „атома“ откриваних квантном теоријом и овим мојим истраживањима.

Први записани атомисти били сустарогрчки филозофи Леукип и његов ученик Демокрит у 5. веку пре нове ере. Учили су да је све из универзума направљено од сићушних, недељивих и неуништивих градивних блокова названих атоми (од грчке речи atomos , што значи „несечив“). Такође је и Руђер Бошковић (1711–1787, дубровачки научник српског порекла) чувен и по својој теорији атома. Открио је да на Месецу нема атмосфере, био је први који је прихватио и применио Њутнове Принципе, на пример, да су сатурнови прстенови раситњена тела. Аналогно његовом учењу о разним силама (касије заиста откриваним) у све мањим запреминама супстанце, овде се ради о новим аспектима материје на још нижим нивоима.

1. Ма како тренирали жабу од ње нећемо направити коња, или, додуше у много мањим промашајима, открива се и најбољи писац фикције. Многи ће читаоци откривати фикције у роману о Тарзану (Edgar Rice Burroughs, 1912), такође у роману „Пут у средиште Земље” (1864) француског писца Жила Верна, али некада нисмо сигурни. Петнаестак година након појаве теорије завере, да човек није крочио на Месец у Аполо 11, 1969. године, а које су се размахале након 1976. године и нарочито 1978. (филм Capricorn One), питали су ме за мишљење о томе. Обратите пажњу на развоје науке за тих година између и ухватићете у лажи теоретичаре завере.

На пример, месечев песак (реголит) изузетно је чичкав, зато је лепљив, а тај проблем су први пут открили и искусили управо астронаути током те Аполо мисије. Завереници су оштре ивице трагова чизама астронаута по прашини Месеца видели као наводну превару, а управо то их открива као неуке. Такође, звездано небо, које су они хтели видети у позадини слика са Месеца, фикција је. Велики контраст за тадашње камере приказивао је та неба тамна без звезда, колико би се појавио макар делић светле оплате брода или месечеве површине. Било је шест таквих заблуда завереника, а што је честа појава и пренаучених застарелим знањем. Њихова догма их је терала је да се подсмевају када сам тврдио да људи јесу били на Месецу и нарочито када сам рекао да самог Амнстронга треба упитати „Зашто то лажеш?” уколико би изјавио да никада није био на Месецу.

2. Ово су биле приче о немогућности маште да смисли истинитост која се није десила, али важи и обрнуто. Када заиста докажемо за нешто да није могуће, да није истинито, неће се потврдити физичким експериментом, и то је у основи идеје да физичка стварност не уме лагати, али и да постоји еквиваленција реалности и истина. Ово друго последица је премезаности стварности свим бојама математичких и других истина. Такви су слојеви безбројна тврђења из геометрије, попут (8. Пример) средине су страница произвољног четвороугла темена паралелограма. Међутим, није једино геометрија базен тих истина којих обично нисмо свесни када помислимо на „стварност”. У немоћи да их све сагледамо и у потребама за одлукама, халуцинирамо, као и од недавно вештачка интелигенција.

Фикције не могу комуницирати са исходима, са колапсима тј. честицама физичке реалности, али неке се могу мешати у њихове суперпозиције. Ту спадамо и ми, средства путем којих фикције могу управљати стварношћу. Према томе, мозак не ствара фикције (како се уобичајено мисли) него их спроводи попут радија или ТВ пријемника (Manipulation).

3. Разлика између лоповског карактера и врхунског играча, друге и прве лиге стратега (Traits), могла би бити непремостива, као између вируса и живих ћелија. Као између осредњег играча шаха и велемајстора, односно између просечног средњошколца математичара и неког од 50-ак златних медаљиста Међународне математичке олимпијаде. Зато играчи из горње лиге (из позадине) бирајући карактере „манипулатора“ (средња лига) за потребе управљања масама бирача (доња лига) држава у које се мешају, могу веровати да неће бити изневерени. Није то само навика роба да не може живети без господара, него и интелектуална блокада, ограничење свести нижих играча у уверењу да добро знају шта треба радити. Што је та свест суженија мање сумња у себе. Расел (1933) би то рекао: „Основни проблем данашњег света јесте то што су глупи људи превише сигурни у себе, док су интелигентни пуни сумње.“

4. Рекли бисмо као да су фикције пробирљиве, или да се тешко пробијају кроз слабији интелект, односно лошији преносник, може бити да су неке емергенције неурона или чега год успешније од других, свеједно, оне као прва дрога или прва коцкарска премија снажније делују на преносиоца и опчињеног заробе вером у илузије више него играча прве лиге. Мајстори владања стварним и њима нестварним „злоупотребиће“ фикцију, неће се дати заробити њоме него напротив, искорстиће је као алатку у откривању истине и праћењу стварности. Слично нешто радимо и у математици, обе истину и неистину, често подједнако користимо када доказујемо теорему. Неистина је привлачнија од истине, сходно начелном минимализму, јер је илузија, дезинформација, или полуинформација и информација мање густине. Зато се лажи шире брже од истине, али смо и генетски гадљиви на лажна обећања, јер еволутивно сећање бележи њихову неуспешност.

Antigravity » eng

Питање: Можете ли коментарисати антигравитацију?

Одговор: Уз питање добио сам и видео (слика лево, 18. јул 2026). На жалост, не могу. Не на основу тог рада. Иначе немам мишљење о антигравитацији, ни позитивно нити негативно. У неким давним текстовима спомињао сам је, али само као хипотетичке покушаје и нити један од тих није изражајан као, на пример, ширење васионе. Али идеја суперпозиције из видеа допада ми се и користим је. Оба стања таласа, изнад и испод, привлачни су средњем које се налази збуњено као у некој Лагранжовој тачки гравитације, или је, кажу у антигравитацији.

1. Боље ћу искористити пример о антигравитацији ако вам причам нешто о суперпозицији уопште. У црном систему координата (Oxy) на слици десно видимо светлост у поларизацији 50-50 одсто a_x и a_y, односно $\vec{a} = (a_x, a_y)$. Векторе такве таласне функције у физици би писали ψ, али нисам за лажно представљање. Опет |a_x|² = cos²α и |a_y|² = sin²α, што представља и вероватноће да ће посматрач Oxy мерити светлост поларизовану на a_x начин, рецимо хоризонтално, или на начин a_y (вертикално). Међутим, неки други посматрач, овде црвени систем Ox'y', види исту светлост 100% хоризонтално поларизовану. У случају мешане поларизације 50-50, нема сврхе такво окретање.

2. Идеја светлости за коју време стоји, a посматрачи je виде како одмиче брзином светлости, има доследан додатак да постоје и псеудо-реалности посматрача међу којима је и такав који би ову, за нас помешану, светлост видео 100% хоризонтално поларизовану. Ово се може бранити и помоћу тополошке дефиниције димензија времена, али не може се једнако тако пренети на суперпозицију квантне механике где би се радило о мешању као новом стању пре саме поларизације светлости. Таква би се изјаснила мерењем, односно тек тада преобразила у физичку реалност.

Мерење раздваја та два света, суперпозиције и колапса, непредвидљиво. Само мерење електрона одређује његову претходну путању и не можемо рећи која од њих ће бити у којем од псеудо-светова. Након колапса, или изјашњавања могућности из суперпозиције, одређења настављају свако на свој начин. То је основни концепт моје теорије информације који још увек одолева. На тај уврнути начин, тек након колапса појављује се неки посматрач у некој псеудо-реалности за сваку од опција суперпозиције.

3. Када претходну слику светлости посматрамо ванвременски, у ширењу неких таласа-честица из истог извора, пре интеракције њихове појаве су свету физичке реалности неодређене, а након интеракције су изјашњене. То видимо као парадокс квантне спрегнутости (EPR), иако таквог нема у алгебри која дозвољава два система, S и Q, посматрања истог ширења. То могу бити два посматрача на веома великој међусобној удаљености који посматрају A, B, C, ..., пре интеракције непредвидљиве исходе, али након интеракције међусобно искључиве особине таласа-честице. Какво год да стање мери посматрач S, исто ће мерити Q, као да она нису била случајне појаве. Односно, као да постоји тренутни пренос поруке између мерених. Ајнштај је ту синхронизацију коментарисао „језива акција на даљину“, а овде их узимам као чињеницу о подељености горњег (физички реалног) и доњег света васионе.

Тај „подземни“ свет као да не поштује концепт простор-времена онолико колико би „надземни“, или бар не колико му је до очувања искључивости особина A, B, C, ... када се појави у горњем. Ово је прилог непостојаности фикција, које интервенишу само у „доњем“ свету и бар помоћу виталних успевају нарушавати принцип најмањег дејства „горњег“ света. Оно што се још може извући из овог објашњења је необавезност „доњих“ и према растојању као и према трајању.

4. Грубо речено, у избегавању наших правила простор-времена уз уједно очување других (импулса, енергије и слично) лежи могућност „преваре“ закона гравитације „горњег“ света помоћу недоследних особина „доњег“. У свом прилогу Gravitational Force аутори виде могућу антигравитацију у стању ψ(p) ∝ βψ(p - δ_B) - αψ(p - δ_A), слика горе лево. Та таласна функција, коју они у свом прилогу образлажу на четири стране, за иначе нетипичну квантну спрегнутост већих маса, могла би значити одбојну гравитациону силу. Не бих на брзу руку предвиђао шта би то даље могло изродити.

Ghost Imaging » eng

Питање: Јесте ли чули за Фантазијско приказивање?

Одговор: „Fantasy Imaging“ даје слику објекта из правца где тај није. Један сноп пролази кроз објекат, али га „снима“ апарат који не снима; други сноп неће ни видети објекат, него његову спрегнуту слику. Рецимо, лево, објекат се види инфрацрвеним D1, а на другом D2 се појави и њен спрегнути део након што светлост D1 интерагује са објектом.

1. У претходном одговору (Antigravity, 1) задржавао сам се на разликама између поларизоване светлости и квантне спрегнутости, која промиче и професионалним физичарима, па је вреди још нагласити. Запетљаност, или спрегнутост квантних честица долази из њихове истовремености, је моје виђење те појаве. Зато их добијамо „избијањем“ (експлозијом и-па ширењем) из неке треће, да би биле снабдевене истовременошћу, која је увек лична, сопствена и ничија друга. Оне даље остају квантно спрегнуте до прве интеракције било које од њих, која се затим истовремено дешава обема. Ово је важно за разумевање речених „фантомских слика“, колико и деловања фикција путем нас на физичку реалност (Manipulation).

2. Ghost Imaging је напредна, нелокална техника снимања на којој се већ ради за скрининг рака дојке како би се добили безбеднији, јефтинији 3D рендгенски снимци са нижом дозом зрачења. Уместо рендгенских зрака стандардне технике, користе се парови подељених рендгенских снопова. Један сноп снима случајни просторни образац (служећи као референца) и никада не додирује дојку. Други сноп пролази кроз дојку и снима га у један, јефтинији „канта“ детектор (3D medical imaging). Корелација тог референтног снопа и података детектора реконструише 3Д слику високе резолуције. Овај приступ захтева делић фотона који се обично користе и значајно смањује дозу зрачења. Иако обећавајућа, рендгенска „духовна томографија“ за клинички скрининг дојки је још у фази истраживања и развоја.

3. Помоћу „духовне томографије“ могли смо разумети да фикције могу деловати на даљину и при томе се појачавати, али никада саме, увек са квантном спрегнутошћу и одговарајућим посредником. Схватамо како такве „приче о духовима“ морају бити наивне, неубедљиве пре открића квантне механике, која нам је и данас после више од века (од 1900. год) несхватљива, или чудна. Међутим, квантна спрегнутост присутна је али несхваћена у линеарној алгебри, од древних времена Кине, а на Западу открићем детерминанти (Cramer's Rule, 1750), па кватерниона (William Rowan Hamilton, 1843), или матрица (James Joseph Sylvester, 1848), па векторског простора (Giuseppe Peano, 1888) и да не набрајам. Квантна спрегнутост је домен алгебре вектора одавно, али су нам били потребни физички докази да бисмо њене истине појмили. Апсурдно је да смо тек мерењима успели прихватити те истине о немерљивом.

4. Ванвременске појаве уједно су и ванпросторне у физичком смислу, јер је потребно време да оно што гледамо допре до нас, брзином светлости c око 300 000 km/s. Ми гледамо у прошлост предмета, а фикције су у томе непоуздане. За разлику од стварности и истина које трају, нестварне или неистините појаве не држе се таквог простор-времена.

Када се зрака светлости расцепи на, рецимо, инфрацрвену фреквенцију да опажа топлоту и у боје видљиве светлости које је не опажају, обојени крак (Ghost Imaging) даће слику топлог тела када оно дође у контакт са инфрацрвеним светлом. Без обзира на удаљеност између та два смера и опажања, када би се нека нестварна појава умешала интерференцијом у један од два крака, реализације на оба биле би другачије, јер би укупна енергија светлости била иста. Повећање фреквенције на једном опажају биће смањење на другом и обрнуто. Ту је део Фантазијских приказивања у овом моделу теорије информације.

Deduction IV » eng

Питање: Није ми јасно зашто математичке истине нису јединствене као конкретна опажања, а кажете те појаве су еквивалентне?

Одговор: Ово је прошлогодишње заборављено, али важно питање мојих тема (Deduction III). Нећу да се понављам, па уђимо на ову тему са друге стране.

1. Логичка дедукција је извођење закључака који сигурно следе из премиса, из истинитих премиса закључак мора бити истинит. На пример, премиса 1. сви људи су смртни. Премиса 2. Сократ је човек. Зато (закључак) Сократ је смртан. Ту имамо један надскуп (премиса 1) и један његов подскуп (премиса 2), па закључимо, подскуп припада надскупу. И, заправо, сужавамо опције. Универзалније истине обухватају више својих подскупова. Што апстрактније су те прве премисе, корисније су алатка за налажење мање апстрактних истина. На репу тога су пуке конкретности.

2. На тој слици десно је експеримент „двоструки отвор“. Шаље се један по један електрон тако да одвојени наилазе на два уска прореза и пролазећи временом формирају дифракциону шару на екрану иза. На овај начин је Јанг (1800) доказивао таласну структуру светлости, а сада уочавамо један квантни феномен, да су појединачни електрони такође у интерференцији сами са собом. Занемаримо сада питање јесу ли електрони пакети таласа и колико су то „чврсте“ честице, да нам не побегне необичност запажања да они поједни као да интерферирају са другима који ту нису присутни у исто време. Приметимо, ако призовемо онај познати изговор да квантне честице чине таласи вероватноће, да одгађамо и не решавамо ту дилему. Бар не колико и тврђење да оне долазе из света који не поштује концепт простор-времена као ми (Ghost Imaging, 4).

3. Микро-честице у макро-свет улазе кроз законе великих бројева, а саме пре се држе апстрактних векторски простора од физичких. Важнија им је алгебарска законитост $\hat{H}\psi_k = E\psi_k$, рецимо Шредингерове једначине где оператор $\hat{H} = i\hbar\partial_t$ има својствену вредност енергију E задатих квантних система у својственим стањима ψ_k. То је апстрактна векторска појава, јер ће стања, ψ₁ и ψ₂ у линераној комбинацији ψ = aψ₁ + bψ₂, са било каквим скаларима (реалним или комплексним бројевима) a и b, једнако решити горњу једначину. Тим трагом је (ваљда) ишао и Фајнман (Prolongation, 2) када је указао да квантна појава иде у свим правцима да би се приликом интеракције сабирала у честицу и принцип најмањег дејства. Приметимо да оне као да стижу из виших апстракција у свет физичке реалности.

4. Узгред приметимо „доследност“ у самим особинама вектора. Веновим дијаграмима можемо цртати пример дедукције са Сократом (1), а правац и интензитет вектора интерпретирају смер и даљину дедукције. Ево како:

1. Сва лица оптужена за кривично дело имају право на адвоката.
2. Марко је оптужен за кривично дело.
3. Марко има право на адвоката.

Дакле, Марко нема нека произвољна права, него рецимо право правног заступања. Домет тог заступања није неограничен, него се подразумева одређено време и дати поступак. Други пример:

1. Загревањем, чврста супстанца прелази из чврстог у течно стање.
2. Сребро се загрева на 1000°C (тачка топљења му је 962°C).
3. Стога, сребро прелази у течност.

Врста супстанце и њена тачка топљења (b) две су одређене вредности које морају да се уклопе у прву премису (a) да би се добио исправан закључак (c). Немам намеру даље развијати такву „векторску“ причу. Апстрактност општих истина даје им велику применљивост, за разлику од конкретних опажања која су у том смислу потрошена. Толико је довољно, за сада.

Fuzzy Set » eng

Питање: Ако радите са „расплинутим скуповима“, појасните ми их?

Одговор: Од тада избегавам старе путеве, од када нисам у занимању математике, наставе ни примена. Али, добро је забавити се таквим скуповима који се баве мерењима припадности у вредностима од 0 до 1. Они су неизбежни у темама неизвесности.

На пример, особу висине 185 cm, у скупу „Високих“ бодујете са 0,8 али висине 165 cm дате само 0,3.

1. Класични детерминистички универзални скуп 𝒰 може имати функцију ν ∈ {0, 1} такву да је ν(x) = 1 када x ∈ 𝒰, а ν(x) = 0 када x ∉ 𝒰. Одговарајућа „расплинута“ функција била би μ(x) = 1 ако x ∈ 𝒰 и ν(x) = 0 ако x ∉ 𝒰, али μ(x) ∈ (0, 1) када је x можда елеменат скупа 𝒰. Овоме „можда“ најчешће се додају вредности троугаоног графа, попут слике горе лево („средњи“ од 0 до 40 година и „стар“ од 20 до 60).

2. Вредновање μ се преноси на унију (пресек) скупова бирањем веће (ма-ње) вредности за евентуално исте елементе. На пример:

A = {μ(a) = 0,3; μ(b) = 0,7; μ(c) = 0,6},
B = {μ(a) = 0,8; μ(b) = 0,5; μ(d) = 0,3},

A ∪ B = {μ(a) = 0,8; μ(b) = 0,7; μ(c) = 0,6; μ(d) = 0,3},
A ∩ B = {μ(a) = 0,3; μ(b) = 0,5}.

У комплементу скупа, A', узима се вредност μ' = 1 - μ, па је:

A' = {a: 0,7; b: 0,3; c: 0,4}.

У разлици скупова, A∖B, узима се мањи од μ(A) и 1 - μ(B). Тако је:

A ∖ B = {a: 0,2; b: 0,4; c: 0,6}.

Те вредности елемената се лако преносе у поливалентну алгебру логике.

3. Није тајна да сам се бавио нилпотентним операторима, као могуће је и неки други у овој области, па могу и о томе нешто рећи. Они су линеарне трансформације са нула простором (Домени). Оператор N је нилпотентан ако је његов n-ти степен нулти оператор, Nⁿ = 0, који произвољан вектор v преводи у нулу, Nⁿv = 0. Рецимо да је n ∈ ℕ најмањи степен који нулира N, јер и сваки већи уради исто, па нека је μ = 1 - r^-n истинитост процеса N. Када је r = 2 имамо низ μ = 1/2, 3/4, 7/8, ... за степене редом n = 1, 2, 3, ... који чешће користим у оценама „тачности“ неистина. На тај начин може се прећи са „расплинутих скупова“, као статичних стања или вектора, на динамичке процесе који су такође врсте вектора, а остајати у анализама фикција. Већ сам причао о томе (Hindering II). Иначе, нема суштинске разлике између та два и, друго, није то једини начин.

4. На пример, следећа матрица је нилпотентна (N³ = 0):

$$ N^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} -6 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 6 \end{pmatrix}, $$

али је лакше радити са троугаоним, са нулама на дијагонали (A³ = 0):

$$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 & a & c \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & ab \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$

За ab ≠ 0 је n = 3 најмањи степен који нулира ту матрицу. Она је процес који не траје после трећег корака, мале „истинитости“. Истините развоје добијамо заменом нула на главној дијагонали са β > 0:

$$ B^2 = \begin{pmatrix} \beta & a & c \\ 0 & \beta & b \\ 0 & 0 & \beta \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} \beta^2 & 2\beta a & ab+2\beta c \\ 0 & \beta^2 & 2\beta b \\ 0 & 0 & \beta^2 \end{pmatrix}^2, $$

а отуда се лако види да су сви већи степени Bⁿ такође матрице које нису нуле. Позитивни су и бројеви a, b, c > 0.

5. Имамо тип A матрице која представља непостојаност (нетачност) и тип B која представља постојаност (тачност). Негација прве даје другу ¬A = B и обрнуто ¬B = A. Отуда, негација негације је почетна матрица, ¬(¬A) = A и ¬(¬B) = B. Дисјункција (p ∨ q) постаје збир ових матрица, а конјункција (p ∧ q) је њихов производ. Проверавамо дисјункцију:

$$ C_1 + C_2 = \begin{pmatrix} \beta_1 & a_1 & c_1 \\ 0 & \beta_1 & b_1 \\ 0 & 0 & \beta_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \beta_2 & a_2 & c_2 \\ 0 & \beta_2 & b_2 \\ 0 & 0 & \beta_2 \end{pmatrix}. $$

Ово је очигледно, ако је β₁ + β₂ > 0 резултат је „тачно“ иначе је „нетачно“. Проверимо и конјункцију:

$$ C_1 \cdot C_2 = \begin{pmatrix} \beta_1\beta_2 & \beta_1 a_2 + \beta_2 a_1 & a_1b_2 + \beta_1 c_2 + \beta_2 c_1 \\ 0 & \beta_1 \beta_2 & \beta_1 b_2 + \beta_2 b_1 \\ 0 & 0 & \beta_1 \beta_2 \end{pmatrix}. $$

Када је бар један од бројева бета нула, β₁β₂ = 0, само тада биће производ ових матрица нилпотентна матрица, дакле непостојана је, а то одговара конјункцији која је тада нетачан исказ. Знамо да негација, дисјункција и конјункција могу дефинисати сваки исказ алгебре логике, што значи да са овако дефинисаним линеарним операторима имамо коректну замену.

De Morgan’s Laws » eng

Питање: Да ли бисте навели још неколико примера матричног рачуна за алгебру логике?

Одговор: Погледајте слику десно и линк са описом Де Морганових закона, рецимо логике:

¬(a ∨ b) = (¬a) ∧ (¬b),
¬(a ∧ b) = (¬a) ∨ (¬b).

Негација дисјункције је конјунк-ција негација и негација конјунк-ције је дисјункција негација. Ово аналогно важи за скупове, даље и за електричне прекидаче који су симболично приказани на тој слици. Да важи и за поменуте матрице помињао сам одавно (Hindering II, 3). Тада са нилпотентним матрицама другог реда, а сами то проверите за матрице трећег реда (Fuzzy Set, 4).

1. Такав рачун је примењив у теоретисању ситуација које су имали у виду оснивачи квантне механике, на пример, када су примећивали да „мерење дефинише претходну трајекторију електрона“. Та особина честица више је изражена код мањих и свих њихових интеракција. Када неки процес P мења стање u у стање w = Pu, и покаже се да је био збир, или дисјункција P = A + B, од којих је бар један сабирак одржив процес, тада је P одржив. Добијено стање w би могло још неко време имати сећања на фикције или „реалне“ последице за вањски свет, за појаве након мерења.

Када је поменути процес композиција, односно конјункција P = A⋅B два и више процеса, онда је P неодржив ако бар један од чиниоца није одржив. Ту мислим на стање w после мерења, међутим и на формалну алгебарску особину да је производ матрица нилпотентна матрица, ако је бар једна од фактора таква. Ово знамо јер нилпотентне матрице комутирају (редослед множења не мења исход) и апсорбују ненилпотентне матрице. Доследно, комутативност је особина и конјункција.

2. Пример. Покажимо да је:

$$ \begin{pmatrix} \beta & a & c \\ 0 & \beta & b \\ 0 & 0 & \beta \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} \beta^n & n\beta^{n-1}a & (3n-2)\beta^{n-2}ab + n\beta^{n-1}c \\ 0 & \beta^n & n\beta^{n-1}b \\ 0 & 0 & \beta^n \end{pmatrix}, $$

за матрицу n ∈ ℕ конјункција Bⁿ из (Fuzzy Set, 4).

Решење: За n ∈ {1, 2} тврђење је тачно, види се из поменутог одговора, а затим настављамо доказ кораком математичке индукције. Рецимо да то тврђење важи за неко n = k, па покажимо да важи и за k + 1. Матричним множењем налазимо:

$$ BB^{k} = \begin{pmatrix} \beta^{k+1} & n\beta^ka & [3(k+1)-2]\beta^{k-1}ab + n\beta^kc \\ 0 & \beta^{k+1} & n\beta^kb \\ 0 & 0 & \beta^{k+1} \end{pmatrix}. $$

То значи да тврђење важи и за n = k + 1. Просто, примењујући даље исто на n = k + 1 добијамо да тврђење важи и за n = k + 2, и тако даље. Овим је доказ математичком индукцијом завршен. ∎

Када број бета бирамо тако да је 0 < β < 1, дугом композицијом матрица B добијамо нилпотентну матрицу. Користећи ознаке претходног одговора (Fuzzy Set, 4), то значи да Bⁿ → A, када n → ∞. Полазећи од тога, процеси дугог трајања који не морају бити бесконачног трајања, могу употребити такве β ∈ (0, 1).

3. Чешћа примена конјункције, B = B₁⋅B₂, је β = min{β₁, β₂}, са сабирањем B = B₁ + B₂ када је β = max{β₁, β₂}. То је пракса конјункције и дисјункције у поли-валентним логикама коју налазимо и овде. На пример, узмемо ли први од горе наведених Де Морганових закона матрично, (A + B)' = A'⋅B', биће (β₁ + β₂)' = β'₁⋅β'₂, где су бете директно логичке вредности и бројеви (из интервала од 0 до 1), а прим је негација. Тада имамо логичке исказе као процесе са новим тумачењима.

Трансформација постаје процес када укључи време, а то значи физичку интеракцију, мерење. Леву страну једнакости, (A + B)', тако тумачимо са реализованом негацијом пара (групе) латентних промена A и B, а десну A'⋅B' као композицију негираних. Тешко се отети утиску да се време овде појављује као емергенција, додатак мерењу, којег сами учесници „доњег“ света (латентних суперпозиција), нису имали пре исхода (колапса). Ово добија на смислу када се сетимо да не постоји „апсолутно време“, оно је различитог темпа за све који се узајамно крећу.

4. Замислимо суперпозицију, рецимо електрона, да осцилује лево-десно мерећи време. Сваки помак десно нека значи једну јединицу времена, па применимо релације неодређености, или просто ону горњу реченицу да „мерење дефинише претходну трајекторију електрона“. Непосредно, ово значи да нема времена све до мерења честице. То је типичан пример који може јасније објаснити време из процеса интерпретације логике, него из саме алгебре логике. Подсећам, израз „доње“ користим понекад за описе квантног система пре колапса суперпозиције, када је систем у више стања одједном, односно када не мари за појмове простора и времена како би то ми „горњи“ из света опажања.

Deception IV » eng

Питање: Знате да нас мозак обмањује, можете ли нешто о томе додати?

Одговор: Писао сам о обманама које премошћавају „стварности“ (Deception III), али можда нисам нагласио да их треба прихватати и као дар, а не само као сметњу.

Морски сисари попут китова или делфина, заједно са ајкулама или рибом која живи на дну и зове се ража, уопште не разликују боје. А имају (монохроматски) вид којим своју околину гледају само у нијансама сиве, примећујући контрасте и кретање. Многе друге животиње су сасвим ограниченог вида боја уместо да буду потпуно сиве. Код људи се развила биолошка способност пуног спектра боја пре 30 до 40 милиона година, а та „обмана“ мозга није само мана (физика боје разликује по ферквенцији f светлости енергије E = hf) него и моћ да брже разликујемо оно што нам је битно за опстанак. Замислите да за сваку нову појаву морате решавати Шредингерову једначину ради процене је ли корисна или је опасна.

1. Ако нису стварни, ко зна зашто нас мозак обмањује и за шта су корисни догађаји очевидаца (загробног живота) у видеу горње слике лево. Можда су њихови утисци пријатности, љубави и доброте крајње халуцинације да умирућујег заштите од екстремне патње у којој су се нашли. Када трпимо огроман бол, можемо изгубити перцепцију бола. Алтернатива је умирање ћелија мозда од новијих ка старијим сећањима са сликом тунела на чијем крају је светлост која нас привлачи, када нам можда остају једино сећања рођења. Људи имају изузетно скорашње заједничко порекло у поређењу са многим другим врстама, па можда отуда сличности оваквих самртних доживљаја. Наравно, постоје и неке сличности суперпозиција, фикција и тих доживљаја, али и неуклапања. Не тврдим да они лажу, нити да су ти људи обманути, нити бих да им тек тако верујем.

2. Претпоставка је да имамо посла са мешавином много чега, сигуран сам не само познатих, па и несхватљивих појава. Са тих позиција гледам и на временски ток као на својство физичке супстанце, попут температуре али још више овисне о посматрачу. Нема значаја у придруживању вредности „брзине“ нечему што физички стварно не постоји, па онда ни особинама о њој овисним. Појаву која ће се реализовати тек мерењем, која још увек није физичка стварност, не треба посматрати као да јесте. То је тај „доњи“ свет (суперпозиција, фикција, неистина) који се, зачудо, може изучавати алгебром и на тај начин направити мост са „горњим“ светом физике. Тај квантна механика већ открива, али у ту територију још увек нисмо добро загазили и са правом смо опрезни. Када знамо да чином мерења настаје претходна трајекторија честице, брзоплето је одмах сматрати да је таква постојала; било би то „натезање“ математике.

3. У овој теорији информације, која је стигла до јединствености опажања сваког појединог субјекта, дискутабилно је и питање да ли је боја обмана, или још један начин виђења стварности. Слично је са емоцијама. Оне не постоје као физички предмети, али да ли су и физички предмети онакви какве их виђамо? Чврсто, округло, па и трајно, честично-таласне су авети које трепере или долазе из сложености, емергенцијом таквих, па постоје и покушаји симулирања емоција формализмом (углавном без успеха, за сада). Рецимо „љубав“, око које се врте те загробне приче са слике, била би „безусловна вера“ са ограничењима на задате особе, предмете жеље и време. Знамо да се она веже и за догму, па можда и математику.

4. Љубав се делом може везати за истину, одвратност за наследно сећање на скривене опасности од болести (патогени), или стратешких губитника (манипулатори), а отуда за неистину. Страх за живот, па затим формално преко виталности за претходна два. Потсећам, еволуција живота почиње открићем смрти и наслеђивања, када су живе ћелије јеле само супстанце хемије, да би се пре око две милијарде година и саме нашле на јеловнику. Вишећелијски организми били су одговори плена на грабежљивце, али и скоро сав каснији развој ток је те асиметричне „трке у наоружању“. Тако су и наш мозак и његова обмана стасали у надметањима „јести или бити поједен“ дугог низа наших предака. Бавећи се математиком истине (⊤) и неистине (⊥), на тај начин неизбежно упадам на туђе терене перцепција, обмана и емоција. Отуда има смисла да се забавим горњим питањем.

Obstacles » eng

Питање: Зашто је толико тешко откривање истине да је наш мозак треба упрошћавати и обмањивати нас?

Одговор: Према овој теорији, од које можда постоје и боље, свет настаје из хаоса и насумично се развија у вероватнија стања, ка мањој информацији или мањем дејству (минимализам). Настало је то што је, у чему смо, из иначе бесконачних могућности. Уз све то, у свету перцепција смо који је одржив и стога је коначан, а он је једино што можемо опажати. Тај је физичка реалност и као врста самодовољног окружења које се одупире осталим могућностима. Ово је теорија где је информација ткање света, а неизвесност је њена суштина. Али, ред који следи законе великих бројева теорије вероватноће забуни нас, јер нисмо сведоци микро-света.

1. Постојање бесконачности је доказиво, математика је прихвата, али смо је ретко свесни. На нивоу основних чула (вид, слух, мирис, укус и додир), које нам је развој изградио кроз непрегледне претке да бисмо опстајали (Deception IV), као да бесконачности и нема. Многи знамо да појединац и група могу толико различито видети свет около себе колико се разликују дискретна од континуум бесконачности, а то је недавно било непојмљиво (Conspiratorial). Таласи вероватноће суперпозиција континууми позиција су (непребројива бесконачност тачака простора и времена). Сходно томе, контроле сопствених опстанака јединки и продужетка врсте са коначним реакцијама су вођене против бескрајних акција. Еволуцији то успева, јер ето нас, али по цену отежаног разумевања дубљих закона природе.

2. Као река која има доток и одток са истом дубином воде, и садашњост се налива појавама разног трајања задржавајући равнотежу. Трајни наступи су истине и стварност, а они мање трајни су неистине и нестварност. Како се неистине, полуистине, дезинформације и танке информације налазе у „нестварним“, оне су према начелу минимализма привлачније од пуних информација, односно истина или стварности. И ту стоји један парадокс, или блаже речено проблем бране између света, доњег и горњег, односно суперпозиција и колапса, или могућности и исхода. Ако су горњима тако привлачни ови доњи, зашто стварност не јурне за лажима и уруши свет?

У односу на свет исхода, свет могућности је одбојан (силом неизвесности, супротној сили вероватноће), али када они могу комуницирати налазиће се у интеракцији, што значи оба или у горњем или у доњем стању, дакле оба као могућности или као једине опције. Приликом тог стапања, ако се дешава горе могућности губе опције и добијају време (краћег трајања), а ако се дешава доле исход добија могућности и постаје ванвременски. То је разлог отежане комуникације између та два света, по мени.

3. Када је једном утврђена, истина отвара путеве, смањује опције и лакше ју је следити чак и од конструкције лажи. Али, непозната истина коју тек треба откривати је тежи посао од измишљање лажи. У овој теорији то су просте последице начелног минимализма, због уређености законитости која смањује опције и у проценама шта даље привлачнија је, представља течнији ток. Зато што физичке законитости тако повлаче себи и физичке стварности (комуникације су селективне), сматрам их врстом стварности (законе перципирамо, трају и тачни су). Овде говорим само о тзв. горњем свету, измереним стањима која су реализована опције.

4. За витална створења, свет суперпозиција је извор слободних воља. Она им додаје опције уском принципу најмањег дејства физике, омогућава им да „варају“ законе физике, па оно што отуда добију сматрам неистинама различитих „истинитости“. Приметите (2) да „неистинитост“ није сасвим одређена појава, она је зависна од околности, а то имамо и у математици (Inconsistency). Видимо ли лажи као некакве истине из псеудо-реалности које се овде не уклапају у физичке законе, или као недовршене опције са бледом информацијом, онима који их могу опажати — привлачне су. Ова лепљивост (Aquaplaning), са друге стране, даје мозгу могућност обмане и олакшавања проблема који нас сачекују у преживљавању.

Local Truths » eng

Питање: „Истине“ су некада истините а некада нису, како то?

Одговор: Можда ми је (прошлом питању) остала недоречена тема о разликама локалних и нужних истина. Локалне, контингентне истине, су истините тврдње при датим околностима, али нису за друге прилике. На пример, исказ „код мене данас пада киша“ има ограничену тачност, за разлику од „2 + 2 = 4“ чија тачност скоро да нема ограничења. Та разлика су мало одшкринута врата свету лажи, које добри манипулатори умеју вешто користити. Особина је живих бића да умеју лагати.

Мимикријом се животиње штите од грабљиваца, или се маскирају да би дошле до плена. Неки цветови ће лажним мирисом или шарама привлачити или одбијати инсекте, али се и једноћелијски организми знају облагати протеинима да преваре имуни систем домаћина којег нападају. Често је тешко одредити границу између локалне истине и неистине, па ту особину преваранти нарочито користе.

1. Мисли не могу директно померати атоме путем телекинезе, али могуће их је померати индиректно користећи интерфејс мозак-рачунар (BCI). То се постиже детекторима (EEG) електричне активности мозга па софтвера који декодира ове сигнале у наредбе рачунару који их даље усмеравају ка алатима попут холографских оптичких пинцета, или скенера тунелским микроскопом. Другим речима, виталност, која живим бићима омогућује да не следе принцип најмањег дејства физике, као да је заробљена унутар физичког тела, или је тако заштићена од вањског деловања.

2. Ово ме враћа на тумачење тела (живог бића) које емергенцијом или на други начин (да не спекулишем) успе у моментима суперпозиција својих честица-таласа интерферирати (комуницирати) са свеприсутним доњим светом опција, које тако промењено може произвести другачије догађаје у горњем свету (исхода). Не тврдим да је то једино објашњење, него да га покушавам развити до контрадикције, или експлоатисати до апсурда да бих га могао са извесношћу негирати. При томе нису исто живот уопште, интелигенција, свесност и душа, а пажња мог рада је мање на последња два, ако је тамо уопште има.

3. Није „живот“ ако не може пркосити принципу најмањег дејства, а није „интелигенција“ ако то не успева користити за решавање задатака. Тиме се намеће питање „сиве зоне“, рецимо старог аута које се отме контроли па се возика тамо-овамо, или хаотичног кретања, којима се често може, али не увек, окривати чисто физикални узрок. У ту зону убрајам и неке емергенције као нове вредности колектива које немају појединци, када тешко одређујемо да ли су то знаци „живота“ у овом смислу. Група се на разне начине може понашати „глупо“ и, брзоплето бисмо рекли, то је то. Додатни критеријум била би склоност ритуалима (по Конфучију), каква налик сећањима на заједничке патње, уз митове и догме, постају лепак, окосница друштва. Томе доприносе локалне истине и праве неистине.

4. Са позиције света након колапса (горњи), свет суперпозиција (доњи) је нелогичан. Подсетимо се Вигнеровог парадокса, где посматрач даље од суперпозиције касније опажа њен колапс, па се поставља питање када се колапс суперпозиције тачно десио, или електрона који тек након мерења добија претходну физичку путању. Доњи, свет могућности нема концепт времена и простора какав има горњи, свет исхода. Са становишта горњег, концепт објективне случајности, безузрочности, је апсурдан, јер ако смо нешто учинили, били смо узрок. Да не набрајам даље, нелогичност доњег света са становишта горњег говори да је он фиктиван, те локално лажан. Али и горњи, са становишта доњег је нелогичан, локална халуцинација.

5. Алгебра квантне механике је стигла до открића квантне спрегнутости (EPR, 1935) деценијама пре експерименталних потврда. Слично је било и са решењима Шредингерове једначине и још многим открићима квантне физике која нам овде могу послужити да уочимо коректност математике у том „доњем“ свету (суперпозиција), ни мало мању од њене коректности „горњем“ свету (колапса). Таква је апсурдна дуалност, када један другоме изгледају нелогични, разрешива „баријером“, са релативношћу њихових међусобних опажања. Горњи доње виде као фикције, али и доњи горње, а заправо, оба су у својим световима једнако тачни. То су такође примери локалних тачности у каквим једни виде оне друге.

Novelty » eng

Питање: Објасните ми још једном, шта подразумевате под „креацијама“ васионе током њеног развоја?

Одговор: Кренувши са квантним стањима, попут x = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n) и y = (η₁, η₂, ..., η_n), или другачијим векторима, узимам да је све у том векторском простору X, такође од квантног система до све васионе, грађа таквих. Затим је скаларни производ стања:

⟨x|y⟩ = ξ₁^*η₁ + ξ₂^*η₂ + ... + ξ_n^*η_n

информација перцепције. То је оно што субјекат y опажа около, види као објекат x. Али, пресликавање вектора у скаларе (бројеве) зове се функционела φ за коју важи тврдња (22. Став), постоји јединствен вектор y ∈ X такав да је φ(x) = ⟨x, y⟩ за свако x ∈ X. Другим речима, не постоје два субјекта са истом информацијом перцепције о околини, укључујући и тај субјекат у различитим временима. Ово је важна ставка о јединствености, карактеристична за ову теорију информације. Са друге стране налази се трајање као мера истинитости и реалности.

1. Садашњост је скуп истовремених догађаја који раздвајају будућност од прошлости, од оних који се нису и који се јесу десили. Онакви који се јесу десили имају утолико дужу прошлост уколико су били стварнији и ако то своје присуство у прошлости могу евидентирати. Тако разликујемо једну количину датог догађаја сада и збирно, тренутно од свеукупности. Ако се делује на било који део садашњости, истовремено се делује се на све њене делове, и то је њена основна одлика. Међутим, садашњост је релативна и зависи од кретања посматрача. Отуда долази квантна спрегнутост, као да је неко фантомско деловање на даљину, када овде и сада нису једнаки за посматране појаве и посматрача. Тада деловање на било који део развали садашњост. Збирна и свеукупна количина постају важније од тренутне.

2. У односу на све те краткорочне и дугорочне догађаје васионе, субјекат има стално бар помало другачију информацију перцепције. Узимајући у обзир да је број атома видљивог свемира коначан (око 10⁸⁰), након неког времена сталног њиховог распоређивања долазило би до понављања. То би било противно поменутом ставу о јединствености опажања, па бисмо морали закључити да та математика није добра, или да би свемир после неког (веома дугог али коначног) времена морао стати, гасити се, умрети (назовите како год), или да постоје нове креације које то онемогућују.

3. Према званичној космологији, фотони и електрони су настајали скоро тренутно настанком васионе (унутар прве секунде), док су атоми настали знатно касније око 380 000 година након Великог праска. Свемир је тада био сувише врео и густ да би се ове честице спојиле у стабилне структуре. Тадашњи и каснији развој може се гледати једнако тачно и као креације, формирања неких закона физике, рецимо константне брзине светлости у вакууму c, Планкове константе h, или Њутнове гравитационе константе G, које су могле бити и другачије. Таква креативност је у време космичке инфлације била огромна да би јењавала са повећањем опција, све више и сада, након 13,8 милијарди година, је скоро неприметна, тешко доказива мерењем.

4. Светлости време стоји. То значи да се садашњости крећу ка будућности брзином светлости, што је веома брзо, недостижно масеним честицама и, ако томе додамо и непредвидљивост, видимо зашто такмичарима у игри на победу није могуће стизати стварност (Traits). Стратези прве лиге тада су најбољи, јер најбоље држе темпо, не губе се у манипулацијама и добро процењују шта би могло бити, желе и могу то стизати боље од осталих. У прављењу одрживих структура (држава, економских система, грађевина) слично је, неме структуре која би бесконачно одолевала. Садашњост нити сама не зна куда иде, а најиздржљивије конструкције су оне којима иначе спонтана тежња најмањој информацији (начелни минимализам) најдуже остаје близу минимума, у околностима које се стално мењају.

Matrices II » eng

Питање: У чему се разликује Марковљева од симетричне или ермитске матрице и за шта се користе?

Одговор: Прва од наведених је стохастичка матрица, ову другу лепо објашњава линк слике лево уједно као подврсту комплексних ермитских. Укратко ћу о њима са примерима матрица другог реда.

1. Формула потпуне вероватноће је: када су догађаји A₁, A₂, ..., A_n једно разбијање скупа Ω = ∑_k A_k, што значи да су они дисјунктни, јер се увек реализује један и само један од њих, тада је:

$$ \Pr(B) = \sum_{k=1}^n \Pr(B|A_k) \Pr(A_k), \quad B \subseteq \Omega $$

вероватноћа да се догоди нешто из скупа B из истог Ω. У наставку је n = 2, па су условне вероватноће Pr(B|A_k) коефицијенти матрице M другог реда.

2. Нека је m₁₁ = Pr(B|A₁) вероватноћа да порука A₁ буде тачно пренешена у очекивану поруку (B), а m₂₁ да не буде. Додатно, нека је m₂₂ = Pr(B|A₂) вероватноћа да друга порука A₂ буде тачно пренешена, а m₁₂ да не буде. Онда правимо стохастичку матричну једначину y = Mx, односно:

$$ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, $$

тако да су све четири колоне расподеле вероватноћа, тј. ненегативни су бројеви збира један. Ако је x расподела, сигурно је y расподела, јер је:

y₁ + y₂ = (m₁₁x₁ + m₁₂x₂) + (m₂₁x₁ + m₂₂x₂) =
= (m₁₁ + m₂₁)x₁ + (m₁₂ + m₂₂)x₂ = x₁ + x₂ = 1.

Сви су улазни бројеви ненегативни, зато су такви и излазни. Према томе, вектор y је расподела вероватноћа када год је такав вектор x. Одвојено су вероватноће x_k = Pr(A_k) и y_k = Pr(B_k) за k = 1, 2.

Гуглов алгоритам PageRank у вредновању веб страница и претрагама има такве стохастичке матрице за моделирање вероватноће прелазака са веба на веб, али много су већег броја компоненти од ових 2-чланих колона. Са коефицијентима овакве n-члане Маркове матрице реалним бројевима, са сваким m_jk = m_kj она се назива симетрична. Када су коефицијентни такве (увек квадратне) матрице n-тог реда комплексни бројеви, али m_jk^* = m_kj она је ермитска.

3. Норма матрице ∥M∥ је највећи интензитет у којег она може пресликати јединични вектор, па у 1-норми за стохастичку матрицу је ∥M∥ = 1. Отуда што су све расподеле нормиране биће ∥y∥ = ∥Mx∥ = 1. Највећа λ својствена вредност Mv = λv, стохастичке матрице M, је λ = 1. Када је матрица ермит-ска, или у случају реалне симетрична, тада је опет апсолутна највећа свој-ствена вредност једнака норми матрице (Comparison II, 1). Не само таква него, у случају ермитских матрица, све својствене вредности су реалне. А, на пример, ермитске су матрице спина.

4. Примене симетричних матрица су огромне, код матрица коваријансе и затим у статистичкој техници за смањење димензионалности података уз задржавање веће варијансе (PCA). У машинском учењу (SVM) има метода потпорних вектора, односно модел учења под надзором са припадајућим алгоритмима учења који анализирају податке за класификацију упоредо и регресиону анализу. Затим, ту су квадратне форме, па трансформације простора, растезања и скупљања дуж међусобно нормалних оса, а даље да не набрајам и ово је превише. Ермитске матрице су у темељу квантне физике и такође преопширна прича за одговор овде.

Септембар 2026 (English ≽)