Јули III 2026 (English ≽)

Скрамблинг (енг. scramble — мешати, испремештати) има више значења у зависности од контекста. Основно је техника кодирања података којом се дигитални сигнал намерно меша како би се олакшао пренос. Подаци се претварају у наизглед насумичан низ како би се избегли дуги низови нула или јединица, а пријемник их касније враћа у првобитне облике са дескрамблером. Међутим, овде је то и расипање информације преносом када она купи сметње, или шум, где остају записи препрека и појава које су је „уништавале“, или сакривале дезинформисањем.

Reciprocal » eng

Питање: У чему је разика између функције и релације?

Одговор: Функција је нарочити случај релације, пресликавања када оригинал може имати до највише једну копију. Десно је приказ релације r:

{(1, 1), (1, 3), (2, 4),
(4, 1), (4, 5), (4, 6)}

између скупова A = {1, 2, 3, 4} и

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Као што видимо 3 ∈ A није у релацији нити са једним елементом скупа B, а елементи 1, 4 ∈ A имају по две и три повезнице са елементима из B. То је добро дефинисана релација, али она није функција управо због та два вишеструко пресликавана елемента. Као што видимо, релација је скуп уређених парова, где су први елементи парова оригинали а други копије пресликавања, па понекад говоримо о функцијама мислећи на релације.

1. Нека је f неко пресликавање из скупова попут A или B у X. Ако је A ⊆ X, са f(A) означавамо скуп слика свих тачака из A и кажемо да је f(A) слика скупа A пресликавањем f. У општем случају је f(X) ⊆ Y, па ако је f(X) = Y, говоримо о пресликавању скупа X на Y (сурјекција). Назив пресликавања је један-један (инјекција) када различите оригинале различито копира, а називамо га обострано једнозначним (бијекција) ако је уједно сурјекција и инјекција.

2. Теорема. Нека f пресликава X у Y и нека су неки A, B ⊆ X. Тада важи:

1. A ⊆ B ⇒ f(A) ⊆ f(B);
2. f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B);
3. f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B).
4. f(A ∖ B) ⊇ f(A) ∖ f(B).

Ако је f инјекција, онда у iii. и iv. стоје једнакости.

Доказ: i. је јасно.

ii. ∀x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ⇔ (f(x) ∈ f(A)) ∨ (f(x) ∈ f(B)) ⇔
⇔ f(x) ∈ f(A) ∪ f(B).

iii. ∀x ∈ A ∩ B ⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ⇒ (f(x) ∈ f(A)) ∧ (f(x) ∈ f(B)) ⇒
⇒ f(x ∈ f(A) ∩ f(B).

Нека је y ∈ f(A) ∩ f(B) и y = f(a) за неко a ∈ A док y = f(b) за неко b ∈ B. Тада y = f(a) = f(b) са a ∈ A и b ∈ B, али је y = f(a) = f(b) за a = b ∈ A ∩ B, случај инјекције, па y ∈ f(A ∩ B). Дакле важи и супротна инклузија, тј. став iii. је једнакост. Слично се доказује iv. ∎

3. На слици лево је линк на један занимљив видео о нашој потреби да се видимо у огледалу. Рецимо о потребама да одржавамо статус кво, да не срљамо у „непотребне“ ризике (пораз случајности?), што је заправо начело минимализма.

То је као пресликавање f : X → Y, такво да инверзно пресликавање f^-1 : Y → X, копија у оригинале, не даје много другачију прву слику. Прича је један емотиван пример, интерпретација тога што управо доказујемо, ако се мало дубље завири у тему наведеног видеа.

4. Реципрочна (инверзна) слика елемента y ∈ Y је скуп свих елемената x из X за које је f(x) = y. Реципрочну слику означавамо са f^-1(y), а она може бити и празан скуп када y ∉ f(X).

Теорема. За инверзну (реципрочну) слику важи:

1. A ⊆ B ⊆ Y ⇒ f^-1(A) ⊆ f^-1(B);
2. f^-1(A ∪ B) = f^-1(A) ∪ f^-1(B);
3. f^-1(A ∩ B) = f^-1(A) ∩ f^-1(B).
4. f^-1(A ∖ B) = f^-1(A) ∖ f^-1(B).

Инверзне слике чувају инклузије, уније, пресеке и разлике скупова.

Доказ: a. ∀(A ⊆ B) x ∈ f^-1(A) ⇒ f(x) ∈ A ⇒ f(x) ∈ B ⇒ x ∈ f^-1(B).

b. x ∈ f^-1(A ∪ B) ⇔ f(x) ∈ A ∪ B ⇔ f(x) ∈ A ∨ f(x) ∈ B ⇔ x ∈ f^-1(A) ∨ x ∈ f^-1(B) ⇔ x ∈ f^-1(A) ∪ f^-1(B).

Слично овоме доказује се c. и d. ∎

Sampling » eng

Питање: Можете ли ми објаснити семпловање аналогних сигнала у дигиталне?

Одговор: Семпловање сигнала, у преводу на српски узорковање, је процес претварања непрекидног, аналогног сигнала у дискретни и дигитални формат снимањем му одређених вредности периода за премошћавање физичког света у дигиталне технологије. Такав се сигнал предаје рачунару на даљу обраду, складиштење и пренос.

1. На слици десно је линк на објашњење Никвист-Шенонове теореме која каже да је за добро преношење потребна бар двоструко већа фреквенција самплованог f_s сигнала од највеће f_m оригиналног:

f_s > 2f_m.

На слици, горњи је хомоген (уједначен) сигнал синусоиде и нека је то део оригиналног који ту има максималну фреквенцију (f_m). Једна периода је једно узвишење и удубљење, врх и дно, а те две крајње тачке семплујемо са четири, средњи ред, да бисмо добили семпловани сигнал, изломљену цик-цак линију која је дигитална копија континуалног оригинала.

Никвистова теорема нам каже да ако узоркујемо сигнал брзином већом од двоструке његове највише фреквенције, могуће га је реконструисати из тих узорака методама попут интерполација и алгоритма реновирања за чување важних информација из оригиналног сигнала. На пример, да бисмо очували звук музике неког дигиталног носача, аудио сигнал мора бити семплован брзином од најмање 40 000 Hz да би се репродуковао у сигнал од 20 000 Hz. Да очувам оштрину сличица из ове колоне, ширине 220 пиксела, чувам их у меморији као слике ширине бар 440 пиксела. А приватне сличице из маргине десно, којима не желим да имају оштрину, чувам у меморији дупло мање ширине.

2. Алијасинг се генерално односи на грешке или изобличење какво се јавља када непрекидни сигнал семплујемо умањеним брзинама, што узрокује да се то сними или прикаже као потпуно другачији, „лажни“ сигнал.

На слици лево, оригинал зелена добро семплована синусоида има четири значајне тачке A₁, A₂, A₃ и A₄ узете на краћем интервалу и захтева веће фреквенције репродукције, од четири тачке B₁, B₂, B₃ и B₄ задате на дужем интервалу истог сигнала чији алијасинг даје лажну репродукцију, црвену синусоиду. Бирање узорака (семпловање) има примене у разним областима и изван технике и тада је насумично бирање значајних тачака често боље од уређеног, јер регулишући скоро увек варамо (Toaster).

3. Случајно узорковање осигурава да свака јединка у популацији добија једнаке шансе да буде изабрана, елиминишући људске пристрасности и стварајући репрезентативну групу. Али, права случајност је неузрочност коју нам је практично скоро немогуће постићи и сваки узорак урађен од стране заинтересоване групе треба бити проверен од бар још једне, тада супротстављене групе. Иначе је семпловање непоуздано, тј. истинитосно мање вредно, не и безвредно у некој другој примени (процени, обмани). Писао сам о једној повеликој класи карактера (Traits), назива „добрице“ који су за „манипулаторе“ употребљива публика.

4. У срединама све веће лажљивости треба нам више „других мишљења“ статистичара и гушће узорковање. Са те стране, сампловању екстремне неистине приступамо као да је црна рупа, тако масивно небеско тело да ће у свом гравитационом загрљају задржати и светлост. То је слично са семпловањем реалних средина које су са много детаља, под условом да нема, или не можемо пронаћи, неку правилност којом бисмо све такве разноликости компресовали. На крају испада да разноликост у појави стварности и лажљивост једнако компликују семпловање.

Aliasing » eng

Питање: Какав је ваш став о потреби више „других мишљења“ и гушће узорковање статистичара једнако у лажљивој средини као и средини са много детаља?

Одговор: Разумео сам да се овим питањем „чудите“ свођењу много детаља и лажљивости на једнаке потребе гушћег семпловања како би се избегла погрешни преноси. Слика десно је слабе оштрине са нејасним детаљима коју можемо видети као зграде, или књиге на столу, изложене узорке плочица или нешто треће. Алијасинг је та појава вишезначности за обнову оригинала која настаје оскудним узороковањем слике. Драстичан пример је када талас, периоде синусоиде семплујемо само њеним чворовима чију слику прималац интерпретира и као праву линију оригинала. Овај други пример показује како насумично узимање узорака и у техничким обрадама зна бити боље.

1. Истина је јединствена у смислу да различити делови математике нису у међусобној контрадикцији. На пример, постоји (Euler's Formula) најмање 20 доказа Ојлерове формуле (V - E + F = 2): за сваки конвексни полиедар, број врхова (енг. Vertices) и страна (Faces) заједно тачно је за два већи од броја ивица (Edges). Рецимо, тетраедар има четири врха, четири стране и шест ивица 4 - 6 + 4 = 2. Постоји бар 10 доказа Гаусовог интеграла:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}. $$

Вероватноћом (Buffon's needle) налазимо и децимале броја π = 3,14159... . Међутим, наша опажања су ограничена и када гледамо напред не видимо иза себе, или ако видимо једну страну Месеца не видимо другу, па слично томе гледамо и математику у порцијама, по областима, а доказе правимо дискретним корацима (Packages). Ово даје ту „чистоћу“ пукој истини коју „онечисте“ неистине. Лажи су по својој природи различите, противречне и има смисла свађати се око нетачних уверења (Quarrel).

2. Изванредна је прецизност науке и њена способност предвиђања унутар њеног домена која се постиже са математиком (Deep Learning). Међутим, у окружењу сваке такве физичке стварности, света истина, налази се свет нестварности, фикција и неистина са којим га сагледавамо. То су светови једнаких величина (Drowning), једнаке кардиналности, иако је овај други неопажљив првом. Математичар када поступком контрадикције доказује неистинитост полазне претпоставке узима становиште овог другог, света лажи, што значи да је оно и постојеће и корисно. Штавише, чисте истине су попут острвља које није могуће премошћавати без фикција, а цена коју за то плаћамо није само смртност, него и лепљивост лажи које умемо да опажамо и којих се тешко одричемо (Under the Radar).

3. Сложеност води емисији емергенције, а емергенција може резултирати виталношћу. Тако долазимо до лажљивости, њихове мање истинитости и стога краћег живота који се мора стално „ложити“ да би трајао. Уједно то је и одговор на горње питање, густа и лажљива средина једнако захтевају гушће узорковање у прављењу дигиталне копије, да бисмо од ње касније могли тачније реконструисали оригинал. Стварност је окружена, за себе, невидљивом фикцијом. Када је стјешњена, било физички, или огромном количином података које вештачка интелигенција мора надгледати, што је немогуће (нпр. због ограничене брзине светлости) и процењује, греши, па вођена сврхом, бива пристрасна. Гледамо то већ данас и овде кажем да је лажљивост нужност интелигенције (какве год), а не као што се обично сматра, последица имитирања (нас од стране машина).

4. Овде говоримо о узимању узорака уопште и њиховој релевантности да опишу оно што са њима желимо. У пракси је добро бити мало сумњичав према уобичајеној интерпретацији Никвист-Шенонове теореме. Постоји и поучан видео (Nyquist theorem) који може помоћи у томе, да технички квалитет треба побољшати са проширењем узорка са више од двоструке фреквенције. Опет, уздржавам се од изношења (хипо)теза о гравитацији помоћу емергенције (део је питања због ранијих навода), јер ми још нису јасне „црне рупе“ тада као њени крајњи домети. О том потом.

Reconstruction » eng

Питање: На који начин се реконструише оригинал на основу копије?

Одговор: Нема лаког одговора на овакво питање. Технички, звук и светло чине таласи, синусоиде, а од којих је материја уопште, које препознајемо помоћу Фуријеових коефицијената и уклапамо у дате тачке узорка. То је идеја којом се анализом и компјутерима могу радити неочекивано добре обнове веома различитих појава. Линк слике појашњава ту врсту „нагађања“.

1. Витакер-Шенонова интерполација је најбољи начин за реконструкцију непрекидног, ограниченог сигнала из дискретног низа тачака. Савршено опоравља све међувредности, под условом да је фреквенција узорковања задовољавала Никвистов критеријум (фреквенција узорковања је већа од двоструке највише фреквенције оригиналног сигнала):

$$ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot\text{sinc}\left(\frac{t - nT_s}{T_s}\right). $$

Овде је x[n] = x(nT) низ реалних бројева који представља низ узорака у временским интервалима од T секунди, а функција sinc(α) = (sin α)/α.

2. Опширније о процесирању сигнала и кодирању помоћу Питона видите на страницама Kaggle. Уз остало, налази се пример узороковања синусног таласа фреквенције f_m = 20 Hz са f_s = 35 Hz, што је мање од захтеваног из Никвист-Шенонове теореме (f_s > 2f_m), да се види неуспех реконструкције у односу на семплирање мало већом фреквенцијом од двоструке (f_s = 50 Hz) и још успешније са пет пута већом (f_s = 100 Hz). Посебни су детаљно наведени програмерски кодови (Python 3) којима на крају, након наредбе plt.tight_layout(), додавајте и plt.show() да бисте добијали слике графова на екрану.

3. Квантни компјутери ће сутра унапредити ове методе, ево како. Рецимо да се информација у првом тренутку распе у највише 10 праваца, светло које се одбија од зидова, звуци који пролазе кроз средине са различитим брзинама, идеје које професор преноси својим студентима различито су схваћене и даље интерпретиране, и слично. Затим се све овe премештају у по следећих 10, што укупно 10² = 100 пријемника, а од којих ће сви они добијену информацију преносити у следећих 10³ = 1000, па даље до 90-ог корака када је број прималаца полазне информације 10⁹⁰ што је више од броја атома у видљивој васиони. Успут треба попамтити све оне пролазне облике информација које у себи садрже и места где су биле. То су велики бројеви података на којима не могу радити обични компјутери, међутим квантни би могли. Биле би то многима корисне реконструкције.

4. Највећу Шенонову информацију S = log(b - a) ограниченог интервала (a, b) ⊂ ℝ, где је a < b, има расподела хомогене густине вероватноће:

$$ g(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & x \in (a,b) \\ 0, & x \notin (a,b) \end{cases}. $$

Сигнал такве густине симулираће синусоида y(x) = [1 + sin(nπx)]/2, када n → ∞. Граф слике десно где је n = 10 демонстрира ту густину за све веће n до веома попуњеног интервала (0, 1) када је технички немогуће повећати фреквенцију ради услова Никвист-Шенонове теореме (f_s > 2f_m) узорковања.

Ово наводим као још једно објашњење немогућности веће информације од поменуте хомогене расподеле. Необичан, екстремни пример оваквог максимума било би зрачење црне рупе, Хокингова радијација, коју смо раније размотрили у вези са „немогућом“ идејом (тако ми је сугерисано) о емергенцији гравитације уопште и посебно црне рупе. Није нам могуће дигитализовати и затим читати садржај који излази из црне рупе, пошто није могуће надмашити густину те „фреквенције“.

Causality » eng

Питање: Прелиставајући ове одговоре учини ми се да и каузалност треба сматрати „материјалном“?

Одговор: Добро сте запазили, то се подразумева. А можда сам ово и експлицитно наводио, да сама материја постоји као апстрактна тако да су и логичке апстракције „материјалне“. То што је стварно опажљиво је, трајно и истинито, па онда је и доследност, односно узрочност у том смислу „стварна“ колико је истинита. Приметимо да условљеност може бити мање или више „трајна“ појава и утолико „стварна“.

1. Ово схватање је сагласно са остатком ове теорије, али је тако необично да га неке моје колеге сматрају неприхватљивим. Све док му не пронађу неку недоследност, држаћу га као да је тачно. Елем, таква „материјална“ узрочност објашњава приврженост фикција физичкој реалности, без које им као јединкама нема дугог опстанка. Поједине лажи кратког су живота и њихова стална присутност (има их колико истина) коју мртва физичка супстанца не примећује, одржава се заменама. Непрестана производња и попуна пропалих лажи долази са ходом садашњости, која брзином светла одмиче у будућност и, при томе, стварајући реалност својим насумичним изборима и стварајући нереалност у неоствареним могућностима.

2. За пример, погледајмо древни Еуклидов доказ да постоји бесконачно простих бројева. Прост број је природан број већи од један и дељив само бројем 1 и самим собом. Да бисмо доказали да простих бројева има више од сваког n = 1, 2, 3, ... претпоставимо супротно. Нека n-торка p₁, p₂, ..., p_n садржи све просте бројеве и нека је P = p₁p₂...p_n њихов производ. Нека је q = P + 1. Тада q или јесте или није прост број: ако је q прост, онда није у датој n-торци, а ако q није прост онда неки p дели q. Како у овом другом случају p дели и q и P, он дели и њихову разлику која је 1. Нема простог броја који дели 1, па то ни p не може бити. Дакле, нашли смо прост број изван свих наведених. То оспорава претпоставку да има коначно много простих бројева.

У самом Еуклидовом доказу, који је типичан за методу контрадикције, користимо дедукцију као да је све у реду, као да смо у свету тачности, а већ по томе имамо доследност унутар неистине која је попут стварне.

3. Према начелу минимализма природа би требала спонтано ићи према већим вероватноћама и стога мањим информацијама. Требала би имати одбојност приступању дужим дедукцијама, али уједно и приврженост ка њима, када је већ у њима. Ово друго последица је истог начела. У тежњи тада ка мање опција волимо правила, јасне упуте и редоследе. Утврђене путеве истина волимо пратити, али их не волимо тражити. Слично је са неистинама, теже их је смишљати него преслушавати. У овим токовима постајемо пријемчиви за лажи, толико да често популарност може бити груби индикатор неистинитости. Друго, желите ли нешто продати, или бити бирани пакујте се у неистине, али имајте у виду да имамо генетско памћење у облику одвратности на преваре јер су дугорочно неуспешне.

4. Ова сличност истина и неистина, тешкоћа смишљања и лакоћа легања на њихов ток, наводи нас да их не третирамо као дуалне појаве. У једном разговору поменуто супротно становиште лажи према истинама него ово (2) са истине према лажима, не свиђа ми се управо због те сличности (3). Тренутно искреније радим на третирању лажи као парчића истина које су лоше склепани делови могућих истина. То и када су „дошљаци“ из неких веома далеких псеудо-реалности које лакше продиру у наше законитости управо зато што их се, по дефиницији, не придржавају.

Reorganization » eng

Питање: Не разумем како објашњавате да има све више прошлости и да ли се она мења?

Одговор: То је дуга прича и тиче се дела Закона одржања (Спрега Информациjа), па и других тема којима се овде бавим. Покушаћу то сажети, а да не отежавам. Ако нешто траје и да се опажати, оно има историју, а обзиром да лажи не трају, онда је реч о истинитим појавама. Називам их стварност. Отуда и упоређивање тачности и стварности — простим свођењем једних на друге (Packages III), уз остало, а тиме и за сматрање веће „истинитости“ неистине која се теже оспорава.

1. Када појава не траје, онда дато стање нема претходног, када на основу слике можемо само нагађати о оригиналу. Та вишезначност прошлости није апсолутна ни у случају када спалимо документе, јер пепео значајно варира у зависности од материјала који се сагорева. Непребројиво пуно васиона је незамислива бесконачност опција, а били смо могућност сада овој коју чини некако нагомилана стварност, и ето наше приче. Верујем да је начело минимализма заједничко још и многим световима, а свима таквим заједничка је (спонтана) тежња различитости, а отуда и увећање сметњи, шума током преноса података. Ево зашто.

2. Већ рекох, природа би да смањи информацију, као и комуникацију или интеракцију, па би да поруку гуши, или је дезинформише током преноса. Ови „парчићи“ којима се послата порука смањује такође су информације, али попут фикција имају краћа трајања и мању густину. Они су зато тако лепљиви за преноснике, као и лажи уосталом — ако их можемо примати. Друго, засићење шумом смањује шансе Никвист-Шенонове теореме (f_s > 2f_m) узорковања, јер максималну информацију ограниченог интервала има хомогена расподела. На тај начин се њено порекло изгуби, полазна информација се рециклира, реорганизује и може се појавити другачијег облика не нарушавајући закон одржања информације. Налик енергији.

3. Поменуто физичко, објективно рециклирање се догађа и током дугих прошлости. Пре свега, открићем Геделових терема сазнали смо да није могуће доказати тачност саме математике (Dogma), затим такве истине пресликавамо на стварност и утврђујемо да ни оно што траје не успева бити апсолутно, бесконачног трајања, бар што се тиче нашег опажања, физичког мерења. Тако је схватљива и идеја Великог праска, настанка васионе (пре око 13,8 милијарди година), али са важним изменама. Ту прво видимо емисију прошлих информација које се додају стварности садашњости у складу са законом њеног одржања. Отуда, информације садашњости све је мање; ентропија расте, свемир се хлади, све мања је неизвесност, број опција и у том смислу садашњост постаје уређенија.

4. Емисијом у садашњост прошлост се троши а њену све даљу историју можемо гледати такође Марковим ланцем који са много карика постаје „црна кутија“, преносник чија информација на крају не открива оно шта је било на почетку. Сав тај ток, као и почетак бледе, топе се или нестају док садашњост одмиче ка будућности одржавајући константном укупну информацију. То је могуће и логично, ако време садашњости успорава тако да историју васионе видимо све дужом, иако би какав (немогући) посматрач фиксиран у неком тренутку „видео“ одмицање напред оба и Великог праска и садашњости, првог можда споријег него другог. Ово друго постиже се са успоравањем времена и такође је сагласно начелу минимализма, јер се мање тога догађа у размацима једнаког трајања. Описујем васиону која може бити рециклирана, или реорганизована у ходу, а да то и не примећујемо.

Black Hole » eng

Питање: Зашто би информација била дводимензионална?

Одговор: Колико знам, још увек је информација 2-дим теоријска, само хипотетичка идеја, међутим као једна од најпривлачнијих. Та се јавља на неколико независних начина. Код мене, посматрајући физичка тела као збир квантних стања, или вектора чији парови разапињу неке површине (Area), које сам по њима називао књигу Информација Перцепције (2016).

1. Много пре тога, једна другачија идеја о 2-дим информацији развијала се на Хокинговом зрачењу (1974) и тада непозната ми или незанимљива, јер не бих приметио везу синергије стања у узајамној комуникацији, у информацији перцепције, са највећим небеским телима. Веза између таква два концепта касније долази идејом да би гравитација и црне рупе могле имати неке везе са емергенцијом, па затим и са овим теоријским топлотним зрачењем које емитују црне рупе услед квантних ефеката близу хоризонта догађаја. Хокингово зрачење је узрок спорог губитка масе црне рупе, сматра се, феномена који се назива испаравање црне рупе.

2. Из квантне механике знамо да празан простор може на случајан начин емитовати честице које због закона одржања имају импулсе, спин нултог збира, као и наелектрисања, тренутно узимајући вакууму енергију брзо се и враћају. Међутим, ако се то дешава на граници црне рупе, на хоризонту догађаја, честица која улази у загрљај те снажне гравитације из које нити светлост не може изаћи, тамо и остаје. Она друга слободна је да одлази и умањи енергију црне рупе за своје износе информације, енергије, спина, наелектрисања и сличног. То је тек почетак приче о 2-дим информацији.

3. Холографски принцип настаје из посматрања тела које пада ка црној рупи. Време телу протиче све спорије све до заустављања на хоризонту догађаја, радијалне дужине му се скраћују, тело се спљоштава и належе по хоризонту као покривач тежећи нултој дебљини и, гледајући извана, оно никада и не улази у црну рупу. Свака информација коју су пала тела имала постаје 2-дим површина вањске сфере црне рупе. Тамо би се свака информација распарчала, а отуда идеја да су оне увек биле 2-дим.

4. Ово се даље слаже са (мојим) новим тумачењем „унутрашње и вањске“ информације, где је прва скаларни производ два стања:

x = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n)   и   y = (η₁, η₂, ..., η_n),
∥x∥² = |ξ₁|² + ... + |ξ_n|²,   ∥y∥² = |η₁|² + ... + |η_n|²,
∥x∥² = ⟨x|x⟩     ∥y∥² = ⟨x|x⟩,

а друга је компонента векторског производа, редом:

x⋅y = ∥x∥ ∥y∥ cos ∠(x,y),     |x×y| = ∥x∥ ∥y∥ sin ∠(x,y).

Прва одређује спрегу комуникације датих стања, њихових одговарајућих перцепција, парова ξ_k и η_k за k = 1, 2, ..., n, која даје виталност, синергију, или емергенцију. Друга одређује комуникацију такве спреге са вањским светом, сила које делују на дати пар.

Информације које разматрамо на тај начин јесу дводимензионалне. Уз све, ова друга показује тежњу окомиту на хоризонт догађаја, сферу црне рупе и одвојиће се од ње неком приликом, овако или онако, где зрачење произилази из саме математике, формализма овог тумачења. Тај део ове приче ми се посебно допада.

Repeatability » eng

Питање: Зашто „истинитије“ не дефинишете као вероватније?

Одговор: Погледајте ове четири мете на слици десно. Сва четири поготка на првој су груписана у центру, па кажемо да су тачна и поновљива. У другој нису тачна, али су такође поновљива. Трећа има тачне који нису поновљиве, док четврта има и нетачне и непоновљиве. Примећујемо како су појмови „поновљивости“ и „тачности“ независни, а слично је међу „вероватним“ и „истинитим“. Вероватније је оно што се у истим условима чешће јавља.

1. Када се нешто што је вероватније догоди онда је то мања вест од исхода који се ретко или никада не дешавају. Вероватније реализације чешће су и мање информативне. Као да их гура нека сила вероватноће, насумични догађаји теже вероватнијим стањима, мање информативнима. То начело минимализма је сасвим неприметно другим теоријама информације, чак да ентропију сматрају информацијом — веома погрешно па и непосредно контрадикторно, јер ентропија спонтано расте а информација спонтано опада. Немојте њихову грешку продубљивати уводећи да је „истинитије“ оно што је вероватније.

2. Помислимо на примере попут Шредингерове мачке где мачка може са једнаком вероватноћом бити нађена жива или мртва, али је након мртвог исхода немогуће да мачка затим мјаукне, што се лако може десити живој. У реализацијама неких малих вероватноћа многе појаве остајаће стварне, односно истините. То су потврде да „истинитост“ и вероватност углавном нису повезане појаве. Уколико „даље“ паралелне реалности сматрамо као мање вероватне, радимо то без метрике у познатом смислу и неистините псеудо-реалности сматрајмо веома „далеким“. Отуда нам долазе нетачни фрагменти њихових истина који искачу из ових кванта, пакета порука, а то алудира на „окомитости“ на наш простор-време. На овај начин видимо да неће свака фикција бити неистинита, иако ће нас свеједно удаљавати од реалности.

3. На пример, када је неки јединствен предмет овде, онда није тамо. Тако кретање мења истинитост, а даље у простору значи и даље у времену, јер се премештања ствари одвијају спорије од светлости. Други пример даје паралелност и различите геометрије на различитим местима васионе. У равном, еуклидском простору ван дате праве кроз дату тачку могуће нам је повући једну и само једну праву паралелну датој. У закривљеном, који није еуклидски ниједну или више њих зависно од тога да ли је геометрија сферна или хиперболна. Опет је премештање оно од којег зависи хоће ли став о паралелама бити тачан. Слично „премештање“ између паралелних реалности доводи до сличних, па и горих нелогичности.

4. Довођење претпоставке, означимо је са Π, у контрадикцију сигуран је доказ да она није тачна, да је тачна њена негација. Међутим, када такво довођење никако није могуће, не улазећи у начине да ли би се и како то могло извести, се може сматрати да је Π тачно. На томе дефинишем ову „истинитост“ (не)истине Π, као најмањи број корака потребних да се Π доведе до контрадикције. Приметите да ова дефиниција не подразумева познавање тих корака, или доказа да је тај заиста најмањи. Поред овога, информације су увек у пакетима које има смисла бројати. Коначно ево и једног познатог пример за разумевање идеје контрадикције.

5. На пример, докажимо да постоје два ирационална броја a и b тако да је a^b рационалан број. Размотримо број $x = \sqrt{2}^\sqrt{2}$. Тај број x може бити или рационалан или ирационалан. Ако је x рационалан то је то што тражимо. Ако је x ирационалан, ставимо a = x и $b = \sqrt{2}$, па израз постаје $(\sqrt{2}^\sqrt{2})^\sqrt{2}$, а то је $\sqrt{2}^{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2$ што је такође рационалан број. Тиме смо исказ доказали а да нисмо ни сазнали који је од два сценарија „прави“.

Squeeze » eng

Питање: Како супстанца која познаје само „истину“ почиње да „лаже“?

Одговор: То је једно од најтежих питања живота иначе и највише што могу је скицирати вам једну наизглед логичну идеју коју тек чека разрада детаља у посебним наукама. Полази од ситуација у гужви, селективности опажања и начелног минимализма.

1. Сетимо се, мртва природа била би доња лига (Traits) када бисмо сматрали да се зна играти. Када је притиснута попушта, а растерећена се шири. Да се побеђивати, али је се то не тиче јер је неуништива. Сви закони физике, од квантне механике преко релативности па даље, могу се свести на принцип најмањег дејства. Мртва природа је у том смислу слепа на додатне опције какве су доступне нама и са којима је кротимо. Међутим, сви делови мртве супстанце имају ткиво од фикција. Наиме, светлост видимо као боје, а и оне су таласи који у том дубљем значењу нису стварни. Још од Фуријеовог (1807) разлагања трајекторија у парчиће произвољних облика ти најмањи „облици“ могли су постати упитни, али се тек са Борновим правилом (1926) то појаснило.

2. Супстанцу чине таласи материје (Де Брољ, 1924) а овде утврђујем да су они сачињени од информације. Међутим, вест чим је саопштена престаје то бити, па је трајна стварност сва од фикција, нестварних делова који се упорно надовезују. Њих веже начело минимализма, потреба за што мање промена, интеракција, или ако је могуће (сва околина би исто то) да сиђу у стање још мањег деловања. Њихове размене су дискретне, у пакетима и то их онемогућава да сасвим нестану.

Место без информације није вакуум, него је црна рупа и оно је зато тако привлачно. Подсећам, сва информација се слеже по површини, сфери и хоризонту догађаја црне рупе, јер телима која тамо пропадају времена и радијалне дужине исчезавају тако да она никада не доспевају даље од те сфере која је попут шупљег скелета около изузетно привлачне празнине. Из тог стиска информација може се изаћи и окомито на површину сфере, али не и ући унутра.

3. Електрони у љускама, орбиталама атома су веома пробирљиви према фотонима који би их могли померити на даље положаје од језгра атома. Тако, за прелаз електрона у атому важи формула:

$$ \frac{1}{\lambda} = RZ^2\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right), $$

где је λ таласна дужина фотона, R је Ридбергова константа, Z је атомски број, или број протона у језгру, n₁ и n₂ су главни „квантни бројеви“ који означавају електронске љуске, енергетске нивое које електрон прелази у атому. Веће гужве настају код тежих атома, са више протона у језгру, где би се лакше појавиле емергенције, иако је то одлика мноштва атома или молекула. Вода је мокра иако њене молекуле H₂O немају ту особину. Ова присуства многих изазивају „тескобе“, непожељне ситуације са позиције начелног минимализма, које истисну нове особине колектива јединкама непознате.

4. Први LLM (Large Language Model), вештачке интелигенције, настајали су 2018. године (ULMFiT, OpenAI GPT-1, Google's BERT) обукама машина да погађају или препознају наставак реченице, користећи милионе датих им текстова. Други ниво машинског учење био је у услужности. Били смо запрепашћени способношћу тих компјутера да воде пристојне разговоре, а смејали смо се њиховој неспособности решавања правих математичких проблема, мозгалица и тражења доказа, не и брзини израчунавања. Али, већ 2025. на Међународној математичкој олимпијади (највећем светском такмичењу 18-годишњака математичара) LLM је пронашла решења у пет од шест задатака и у групи од 50 учесника освојила златну медаљу. Мало је професионалних математичара у свету који могу постићи тај резултат а остаје нам чуђење како такве машине ово успевају учећи углавном шансе за наставке реченица на основу датих узорака, осим ако се тада не ради и о емергенцији. Уосталом, резоновање јесте чин емергенције (Seizure).

5. На разликама висине нашег тела, па и мањима, када стојимо на земљи време ногу тече спорије него главе јер гравитација успорава време. То су толико мале промене да их не можемо приметити за живота, али меримо их атомским часовницима. Све ове мајушне промене битне су сложеним системима који би опажали нестварне појаве иначе испод радара чулима стварности. То је детаљ утицаја гравитације који се тиче постављеног ми питања, а верујем да их има и других врста од узајамних кретања и даље, ситуација када сложеност опажа оно што му делови не могу.

6. Било како било, када сложена структура од некуда преузме резоновање добија фикције и способност лагања. Ако је та теза коректна, онда нити је могуће имати биолоши живот, ни интелигентне машине, ванземаљце, тј. било шта „паметно“ што неће бити и лажљиво. О томе сам причао раније, пре појаве вештачке интелигенције, а сада је посебно актуелно јер верује се да она лаже јер то тако учи од нас. Када она буде у стању да размишља стратешки, сада је само добар тактичар, разумеће да лажи због лажи губе трке са стварношћу и нису виша I лига играча (Traits) што је испод нивоа таквих капацитета.

Errors II » eng

Питање: Да ли сте писали на Твитеру о нашем разговору, да сте у неким деловима теорије информације знатно испред науке и да често грешите?

Одговор: Да, писао сам недавно и то је било на X мрежи, али немој се секирати јер имена не наводим осим са одобрењима. Поштено је рећи да пуно грешим, више него многи, али волим се дуго бавити тешким темама и, апсурдно је, да ми буде и жао када их затворим. Дешава се да погрешке остану у овим текстовима, имам и заблуда, а заправо уклањањем грешака на путу до евентуалне истине осећам се помало преварантом. На пример, била је мода тражења пукотина у теорији релативности, а отуда су остајале неке грешке (Twins II), али и верујем добре процене (Bernoulli). Иначе, грешке су неизбежне.

1. Чак и најбоље праћење стварности биће са грешкама и заостајањем, јер садашњост одмиче са објективном случајношћу. Победничка стратегија у најбољем случају је што мање се губити у фантазијама (Traits). Међутим, у надигравању са природом, чија игра је III лиге, довољно је бити II лига (манипулатор), а то је више него довољно политичарима, менаџерима и трговцима да надиграју већину популације II-III лиге (добрица). Зато ће свака политика, друштво или фирма застаревати, јер лажи су привлачне и њима добра тактика, али преваре дугорочно воде у неуспехе — јер даље заостају за реалношћу, а на крају она се једина пита.

2. Информација перцепције разматрања усмерава ка опажањима, што је необично за егзктне науке. Њутнова физика не мари за посматраче, али већ Ајштајнова је мало другачија прича. Поменути „парадокс близанаца“ говори не само о релативности кретања, већ и о већем значају количине интеракција. Близнац који отпутује и врати се на земљу наћи ће старијег брата, па се не може узимати једнако да је и земља отишла и вратила му се иако је кретање релативно. Тежину догађању дају и околне масе. Зато, замишљам, ако других маса не би било, него постоје само два идентична брата, било би да оба одлазе од неке централне тачке и враћајући јој се у повратку налазе да су једнако остарили.

3. Месец неће нестати када га не гледам, јер постоје безбројни други који са њим тада комуницирају и одржавају га у физичкој реалности. Квантна физика је са том врстом опажања дошла до краја. Када нема посматрача, квантно стање је суперпозиција, а ако се први појави оно постаје честица. Квантна суперпозиција је фундаментални принцип квантне физике који тврди да механички, физикални системи постоје са више потенцијалних стања истовремено, све док их не посматрамо, односно измеримо. Описи комбинација свих могућих исхода мерења изражавају се са специфичном вероватноћом. Из те познате теорије изводим информацију перцепције, а која наглашава информацију насталу узајамним опажањем. Посебно ако су без ње били сами субјекти комуникације.

4. Локалне дивергенције (Globalism II) лакше приметимо у микро-свету, а глобалне кoнвергенције у макро-свету физике. Ту мислим на простор и одређивања скалирањем, као и на аналогије апстрактног закона великих бројева теорије вероватноће, који говори о порасту величине узорка када се његова средња вредност приближава просечној вредности популације. Другим речима, понављањем случајних догађаја исходи се гомилају око вероватноће. Такође овде мислим и на временске процесе, узастопна иста деловања која гурају своје актере у смеру стања доминантних својствених вредности тих процеса. Није могуће знати исходе локалних расипања ни смерове глобалних груписања, иако нам ова друга, само пошто се догоде, могу изгледати предвидљива.

5. У веома сложеним системима, када се јављају емергенције, евентуално и виталност као додатак физичком телу, компликација која му повећава слободе. Таква структура не следи принцип најмањег дејства, него тражи општије начело минимализма. Примећујемо да све описане појаве теже некој регулацији, али да ипак као заједничку црту имају немогућности и предвиђања укрупљавања и тачне реконструкције детаља. У природи нас чекају грешке где год кренемо, па и само њено спознавање је процес где су грешке алатка.

Progress II » eng

Питање: Да ли се научни прогрес убрзава?

Одговор: Научни напредак има један парадоксални облик: док обим научне производње расте експоненцијално, стопа базних открића се успорава. Научници стоје пред све тежим основним питањима која треба заскочити са више напора и истраживања скрећу у повезнице познатих и лаке теме (Scientific American).

Навешћу још неколико познатих чињеница. Број објављених академских радова је експлодирао, са преко седам милиона објављених годишње, око 90% свих научника у историји је тренутно живо. Али, многи истраживачи тврде да ово фаворизује квантитет у односу на квалитет. Нову експлозију радне снаге, неки економисти и историчари науке тврде, прате све ређе и теже крупне иновације. Обележја савремене науке постају лако доступни циљеви који научницима остављају веома специфичне, нишне проблеме који се не преводе одмах у крупне научне скокове (RMIT University).

1. Једна од необичности (моје) теорије информације је начин третирања „истине“ и „лажи“ (Contradiction), па користим и ову прилику да те идеје употребим. То би могао бити занимљив одговор на дато питање, јер њега нема у литератури, на интернету, нити толики скок у теоретисању може направити вештачка интелигеција, ако неће украсти делове ових прича. Елем, истинитије је оно што се теже оспорава, што дуже траје, па привид научном убрзању прогреса данас даје веће ангажовање науке у лагању.

Када су периоде краће, циклуси изгледају бржи, па наука објашњавања и подржавања фикција мора брже трчати од науке трајнијих вредности, тј. бити продуктивнија у производњи тада краћих домета. Менаџерство или продаја, такође и савремено вођење политике тражи ону врсту науке која „манипулаторима“ (играчи II лиге) помаже у доминирању „добрицама“ и претежном делу популације (Traits).

2. Савремена наука се суочава са невиђеним нивоом системске преваре. Иако су изолована фабриковања увек постојала, лажно објављивање је еволуирало у глобално предузеће индустријских размера, вођено хипер-конкурентним метрикама каријере типа „објави или нестани“ и техноло-шким напретком (Phis.org). Осмишљене операције познате као „фабрике папира“ користе вештачку интелигенцију и посреднике за производњу и цитирање, па и продају лажних истраживачких радова у обиму већем од легитимних научних резултата (PNAS).

Велики скок открића вештачке интелигенције (Squeeze, 4) десио се када је компанија Гугл представила Трансформер архитектуру (2017). Следио их је пробој данашње софистициране LLM попут GPT или Gemini који се уче настављању реченица како би генерисали текст сличан људском, из анализа огромних скупова података. Желећи симулирати и побољшати некадашњи примитивни програм ELIZA (Reciprocal, 3), мало ко би тада помислио да би нова Елиза могла освојити златну медаљу 2025. године на Међународној Математичкој Олимпијади (IMO), решавањем пет од шест задатака. Међутим, овај крупни скок за компјутере није у правом смислу свесно техничко или научно откриће, мада оно јесте као многи помаци науке који су дошли случајем, не намером истраживача.

3. Када лажемо живимо од данас до сутра. Поткрадамо своју будућност, јер лажи су привлачне али попут шибице блесну и изгоре. Последица је да боље памтимо догађаје од самих лажи које су их изазвале и тешко је оценити лажу ли људи данас више него раније. Лаж се данас померила према науци која је данас кул и добар зачин преварама, верујем, а није споредна и прогоњена као некад. Ако не саме научне подвале, трагови научних превара остајаће у ко зна којим стварним последицама.

На пример, током I и II светског рата владе су интензивно користиле постере, радио и филмове да би демонизовале непријатеље и шириле лажне извештаје о победама или злочинима о којима сада мање знамо него о жртвама ратних дејстава. Згрожавамо се тоталитарних режима, сећајући се њихових жртава боље него пропаганде лажи којима су они покушавали исправљати стварност. Лако заборавимо редовне преваре индустрија, попут заташкавања великих дуванских компанија које су прикривале штетан утицај цигарета на здравље. Слично ће све научне лажи, када им прође мода, бивати заборављене.

4. Лажне исказе користимо због почетне привлачности занемарујући им дугорочну неуспешност. Популарност их разоткрива, ако водимо рачуна да постоје и корисне лажи, на пример, уметност или кораци доказивања контадикцијом и уопште које воде до истине или стварности (то двоје је овде еквивалентно). Из овог следи да „убрзане појаве“, као наука данас, и слично популарности, такође миришу на преваре. Потсећам на постојање строжијих критеријума откривања лажи, али који често нису на дохвату.

Све у свему, управо зато што нам се чини да се научни процес убрзава, то или шта год њему слично, треба проверити и евентуално веће присуство лажи које га убрзава, као и питање шта бива касније. Повећање научних превара обезвредиће ту врсту науке која их је произвела. Да ли ће се неко сећати да су томе претходила вредновања попут научног рејтинга, трке за престижним пословима, или политичким каријерама, или ће све то бити заборављено као и поплава „постигнућа“ овог периода. Истина је некима стварна потреба, а наука зна бити и навика попут хобија.

Faster » eng

Питање: Лажи краће трају и брже живе, кажете, имате ли још нешто на ту тему?

Одговор: Стара пословица каже „лаж има кратке ноге“ (то значи да се лажи брзо открију) и „лаж ће прећи пола света док истина обује ципеле“. Ако ово мислите слажем се, али међу нама, веће истине крију се иза управо ових народних пословица. Нисам то сасвим сигуран па нисам раније објављивао, али рећи ћу нешто о тој мојој „физици лажи“ која би нас могла шокирати покаже ли се коректном.

1. Према великој студији МИТ-а о ширењу истинитих и лажних информација, лажи стално надмашују ства-рност јер је људска психологија инхерентно привучена новостима и изне-нађењима, закључују. Лажи су често измишљене да буду сензационалне, изазивајући јаче емоционалне реакције попут гађења или запрепашће-ња, што људе тера да их деле. Насупрот томе, истина је обично обичнија и захтева време за проверу. Слажем се и са овим, за почетак, али сматрам га превише опрезним, и у том смислу плитким становиштем, обзиром на физички већу привлачност лажи од истине — онима који је опажају.

2. Ово питање је поводом претходног одговора, да наука постаје плића и тако убрзава, чиме све мање бива она наука која не прави компромисе са неистинама. Сличну форму видимо и код убрзавања људи да нам нешто испричају када бржа прича постаје површнија. На другом нивоу то исто видимо код машинског учења (LLM) које је тренирање са реченицама из наших текстова са којима ће брже покупити и нашу вештину лагања. Та свакако долази и интелигенцијом, јер даје је виталност као вишак опција у односу на мртву физичку супстанцу саме машине. Више интелигентне машине знаће више лагати.

3. Полазећи од одреднице да је лаж краћа и зато привлачнија од истине, јер природа спонтано тежи мањој информативности, долазимо до њене веће продорности и бржег ширења, да би тек онда примећивали познате примере претходно установљене „законитости“ (није прецизна). Могуће су и неке варијације овог запажања, на пример, старећи постајемо више искусни и конзервативнији, што значи са више предрасуда. Наш мозак нас вара, фреквенције електромагнетног зрачења даје нам као боје, или треперења звука као музику и сваку физичку реалност нам замењује са својим представама. Отуда су „зрелији“ заправо све више заогрнути тим малим преварама и старећи мисле да им се године брже смењују.

4. Пренесимо та запажања у микро и макро физику, обзиром да фикције сматрамо недовршеним деловима физичке реалности, односно појавама које стварност тешко или никако не опажа иако су можда њено ткиво. То имамо и у случају ћелија нашег ткива којих нисмо свесни. Овде је то мало сумњивије или непрецизније, када кажемо да веће брзине малих честица у њиховом окружењу говори о размерно већем присуству фикција, па да адекватно спорије кретања звезда унутар галаксија указује на повишену реалност. Моје је мишљење да прецизније изразе овога треба потражити и у законима великих бројева.

Dates II » eng

Питање: Како израчунавате ове датуме којима кодирате одговоре?

Одговор: Мало детаљније о овоме има линк слике лево. Кодирам те датуме само умерено, на недавно питање (Dates), да имам линкове на одговоре и да лако израчунам датуме када су постављени. Нема ту ништа посебно.

На екрану рачунара (Desktop) је линк која покреће један програм у којем први d1 и други d2 датум прођем (Enter), или их уносим у формату година-месец-дан, а он ми врати број дана између. Опет могу унети број дана од првог и добити други датум. Ево тог програма:

from datetime import date, datetime, timedelta
date_format = "%Y-%m-%d"

def datumi(): # Definiši svoje datume
    date1 = input("Unesi datum (%Y-$m-$d) ili ostaje 2021-6-1: ")
    if date1 == "":
        date1 = '2021-6-1'
    d1 = datetime.strptime(date1, date_format).date()
    date2 = input("Unesi drugi (%Y-$m-$d), ili ostaje današnјi: ")
    if date2 == "":
        date2 = datetime.now().strftime("%Y-%m-%d")
    d2 = datetime.strptime(date2, date_format).date()
    br = (d2 - d1).days
    return d1, d2, br

def brdat(d1, br):
    d2 = d1 + timedelta(days=br)
    print(f"Od {d1} sa {br} dana je datum: {d2}")
    return d2

d1, d2, br = datumi()
print(f"Od datuma {d1} do {d2} ima {br} dana.")
txt = input("Unesi broj dana: ")
while txt.isdecimal():
    br = int(txt)
    dat = brdat(d1, br)
    txt = input("Unesi broj dana: ")

Ево шта се деси када позовем програм:

Unesi datum (%Y-$m-$d) ili ostaje 2021-6-1: 2022-11-17
Unesi drugi (%Y-$m-$d), ili ostaje današnјi: 
Od datuma 2022-11-17 do 2026-06-08 ima 1299 dana.
Unesi broj dana:

У првом унео сам 17. новембар 2022. године, а други сам прошао и то је данашњи датум. Ентер је крај петље, броја дана, и то је све.

Reciprocal II » eng

Питање: Појасните ми она реципрочна пресликавања скупова?

Одговор: Нека да су дати скупови

S = {1, 2, 3, 4, 5},
Q = {4, 5, 6, 7, 8},

као на слици десно, S ∩ Q = {4, 5}. Функција f : X → X' копира S и Q редом у скупове S' и Q', тако да:

S' = {1', 2'=3', 4', 5', 7'},     Q' = {4', 5', 6', 7', 8'},

при чему је пресек копија S' ∩ Q' = {4', 5', 6'}. Овим конкретним подацима проверите да важе теореме (2) и (4) тог прилога (Reciprocal).

1. На пример, A = {4, 5} ⊆ {4, 5, 6} = B, па је f(A) = {4', 5'} ⊆ {4', 5' 6'} = f(B), као што тврди i. A ⊆ B ⇒ f(A) ⊆ f(B), теореме (2). Приметимо да функција није бијекција. Није инјекција због f(2) = f(3), тј. 2' = 3', а нити сурјекција јер 6 ∉ S док 6' ∈ S'. Међутим:

f(S) = {1', 2'=3', 4', 5', 6'},     f(Q) = {4', 5', 6', 7', 8'},

f(Q) ∖ f(S) = {7', 8'} ⊆ f(Q∖S) = {6', 7', 8'}.

То тврди и 2. теорема, iv. f(A ∖ B) ⊇ f(A) ∖ f(B), када ставимо A = Q и B = S. Ово „бежање “ елемента 6 одговара локалној дивергенцији.

2. У (4) теореми имамо за први став:

a. A ⊆ B ⊆ Y ⇒ f^-1(A) ⊆ f^-1(B),
{4', 5', 6'} ⊆ {4', 5', 6', 7'} ⇒ {4, 5} ⊆ {4, 5, 6, 7},

са супституцијом A = {4', 5', 6'} и B = {4', 5', 6', 7'}, које су сада копије чији оригинали су f^-1(A) = {4, 5} и f^-1(B) = {4, 5, 6, 7}. Трансформација одржава унију, очигледно је, а приметимо и да то иде у прилог примени функција уопште у праћењу трајања појава. Даље, погледајмо шта је са пресеком:

{4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} ∩ {4, 5, 6, 7, 8},
f^-1{4', 5', 6'} = f^-1{1', 2'=3', 4', 5', 6'} ∩ f^-1{4', 5', 6', 7', 8'},
c. f^-1(A ∩ B) = f^-1(A) ∩ f^-1(B),

а то је трећи став (4) теореме, па је она тачна овде где A = S' и B = Q'. Томе слично проверите и четврту ставку.

3. Функција f : x → y је врста релације ρ : (x, y), тј. скупа уређених парова, када по једном оригиналу x долази највише по једна копија y. Из чувања уније види се подобност функције за описивање трајања. Ако не покрива сав домен (када није сурјекција) дозвољава опис локалне дивергенције, а особина f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B) оставља могућност глобалне конвергенције. Ове особине имају и оператори линеарне алгебре.

4. На пример, на једном штанду имамо количине 3 и 4 роба цена x₁ и x₂ са чијом продајом добијамо y₁ новчаних јединица а на другом количине су 2 и 1 истих цена са укупном вредношћу y₂. То даје систем једначина:

3x₁ + 4x₂ = y₁,
2x₁ + x₂ = y₂,

којим је дефинисано линеарно пресликавање Ax = y, где имамо оператор A који делујући на вектор x = (x₁, x₂) даје вектор y = (y₁, y₂) свог, неког 2-дим векторског простора. Матрично то исто можемо писати:

$$ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}. $$

Овај систем линеарних једначина као пресликавање и оператор, такође и матрица, врсте су функција. Све оне крију описане особине. Пластичност или прилагодљивост таквих математичких апстракција веома је корисна управо због наведених непроменљивих особина функција.

5. Рецимо, локална дивергенцију оваквих матрица, Ax = y, препознаћемо у инверзном пресликавању, x = A^-1y, конкретно:

$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = -\frac15\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}. $$

Због великог избора компоненти y₁ и y₂ вектора y, велике су могућности за вектор x. Подразумева се да AA^-1 = A^-1A = I, где је I јединична матрица тог (2-дим) простора. Када год имамо линеарно независне векторе u₁ и u₂ тог простора, можемо на јединствен начин записивати све векторе истог, па и векторе:

x = ξ₁u₁ + ξ₂u₂,     y = η₁u₁ + η₂u₂.

Разним бирањем скалара (бројева) η₁ и η₂, добијамо разне ξ₁ и ξ₂ који на јединствене начине одређују (различите) векторе x, у датој бази вектора u₁ и u₂ тог простора. Толико о локалној дивергенцији.

6. Глобална конвергенција настаје трајањем у истим околностима. Тако власник почиње личити на свог љубимца и обрнуто, заједнице узимаће законе једне од других, кретања небеских тела око звезде сводиће се на једну раван. Ова општа појава необична је неким мојим читаоцима, чак свима који познају линеарну алгебру (где се она лако доказује), јер њена примена, односно тумачење је откриће. За дату матрицу налазимо:

$$ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}. $$

То су решења њене карактеристичне једначине, Av = λv, са својственим вредностима λ₁ = 5 и λ₂ = -1 којима припадају својствени вектори, редом v₁ = (2, 1) и v₂ = (1, -1). То су независни вектори и формирају базу овог 2-дим простора. Сада произвољни вектор простора пишемо у овој бази:

x = ξ₁v₁ + ξ₂v₂,

$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \xi_1\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \xi_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\xi_1 + \xi_2 \\ \xi_1 - \xi_2 \end{pmatrix}, $$

x₁ = 2ξ₁ + ξ₂,     x₂ = ξ₁ - ξ₂,

x = (x₁, x₂)^⊤.

Транспоновањем вектора врсте (x₁, x₂) добијамо вектор колону (x₁, x₂)^⊤, што је прелазак са ко- на контра-варијантне координате (Variance). Ево шта се догађа трајањем стања x у истим околностима A.

7. Узастопно деловање матрице A на вектор x даје:

Ax = A(ξ₁v₁ + ξ₂v₂) = ξ₁Av₁ + ξ₂Av₂,

Ax = ξ₁λ₁v₁ + ξ₂λ₂v₂,

A²x = ξ₁λ₁²v₁ + ξ₂λ₂²v₂,

A³x = ξ₁λ₁³v₁ + ξ₂λ₂³v₂,

...

Aⁿx = ξ₁λ₁ⁿv₁ + ξ₂λ₂ⁿv₂.

Када n → ∞, делимо ову једнакост степеном водеће својствене вредности (веће апсолутне вредности), а овде је та λ₁ = 5, налазимо:

$$ \lambda_1^{-n}A^nx = \xi_1v_1 + \xi_2(\lambda_1/\lambda_2)^nv_2 \to \xi_1v_1, \quad n \to \infty. $$

Смер степена матрице на датом вектору Aⁿx → αv₁ са неким скаларом α. Тако ће се вектор x, као и сваки други, понављањем тежити да има смер, кажемо усклађивати се са доминантним својственим вектором v₁ датог процеса A. Толико о глобалној конвергенцији.

Revision » eng

Питање: Говоре ли ова пресликавања нешто о читању прошлости?

Одговор: Чини нам се да је лакше сазнати прошлост од предвиђања будућности, мада будућност није баш толико неочекивана колико нам мозак забрањује да гледамо. Прво, мозак воли познате ствари. Друго, мозак филтрира безбројне могућности уопште нам не дајући прилику да их приметимо. Ако то не би радио ми би били засипани са толиким количинама задатака са којима се нисмо кадри носити. Зато, мозак две до седам секунди и пре наше одлуке већ зна шта ћемо ми одлучити, у већини ситуација. Несвесно израчунавајући будућност, више се опредељујемо да се тврдо држимо својих фикција, пре него да читамо и прихватамо стварност. Лажи су удобне (Aquaplaning) а мозак нас чува од сувишних и болних истина. Нема лаког дешифровања ни са читањем прошлости.

1. Као што нас „штити“ од будућности и стварности, мозак ради измене и наших личних сећања, а аналогно раде и политичари, такође друштвене заједнице на „заштити“ својих штићеника од неповољних догађаја наших историја. Заправо ту се ради о заштити њихових властитих лажи, превара због којих су изгубили ток стварности и (мисле да) поправљају шта могу. То је велика тема, али нећу о томе сада, јер имамо довољно и објективних препрека у дешифровању прошлости. Помислимо само на вишезначност вредности x када је дато x², x², ..., xⁿ, а затим и у тражењима n-тих корена матричне вредности Aⁿ. Размотримо то, прво на „брутални“ начин.

2. Нека је A матрица, процес који у два корака постаје A² = B, уопште:

$$ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, $$ $$ \begin{cases} x^2 + yz = a & xy + yw = b \\ xz + zw = c & yz + w^2 = d \end{cases} $$

Сабирајући и одузимајући главну дијагоналу, а делећи споредну:

x² - w² = a - d,     x² + w² = a + d - 2yz,     cy = bz.

Сабирајући, такође одузимајући прве две једначине, па уврштавајући трећу, лако налазимо:

$$ x^2 = a - \frac{b}{c}z^2, \quad y = \frac{b}{c}z, \quad w^2 = d - \frac{b}{c}z^2. $$

Опет, из (x - w)(x + w) = a - d и z(x + w) = c, множећи прву са z налазимо (x - w)c = (a - d)z, па са другом од ових имамо систем:

$$ x + w = \frac{c}{z}, \quad x - w = \frac{a - d}{c}z, $$

који (поново) сабирамо и одузимамо да добијемо:

$$ x = \frac{c}{2}\frac{1}{z} + \frac{a-d}{2c}z, \quad w = \frac{c}{2}\frac{1}{z} - \frac{a-d}{2c}z. $$

Уврштавајући ово x у претходно x² израчунавамо z:

$$ \left(\frac{c}{2}\frac{1}{z} + \frac{a-d}{2c}z\right)^2 = a - \frac{b}{c}z^2, $$ $$ \frac{c^2}{4}\frac{1}{z^2} + \frac{a-d}{2} + \frac{(a-d)^2}{4c^2}z^2 = a - \frac{b}{c}z^2, $$ $$ [(a-d)^2+4bc]z^4 - 2c^2(a+d)z^2 + c^4 = 0. $$

То је биквадратна једначина са четири решења за број z која уврштавамо у претходне и добијемо четири групе решења матрице A, корене унапред дате матрице B.

3. На пример, када је дато:

$$ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 17 & 16 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}, $$

биквадратна једначина постаје:

[(17 - 9)² + 4⋅16⋅8] z⁴ - 2⋅8^2(17 + 9) z² + 8⁴ = 0,

576 z⁴ - 3328 z² + 4096 = 0,

$$ (z^2)_{+,-} = \frac{3328 \pm\sqrt{3328^2 - 4\cdot 576\cdot 4096}}{2\cdot 576} = \frac{3328 \pm1280}{1152}, $$

(z²)₊ = 4,     (z²)_- = 16/9,

z₁ = 2,     z₂ = -2,     z₃ = 4/3,     z₄ = -4/3.

У сваком од ова четири случаја z_k ∈ {±2, ±4/3}, редом за k = 1, 2, 3 и 4, налазимо одговарајуће x_k = 4/z_k + z_k/2, y_k = 2z_k и w_k = 4/z_k - z_k/2, па:

$$ \begin{pmatrix} x_k & y_k \\ z_k & w_k \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. $$

У датом случају, матрица A_k² = B, имамо четири корена, решења:

$$ \begin{pmatrix} \pm 3 & \pm 4 \\ \pm 2 & \pm 1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} \pm\frac{11}{3} & \pm\frac{8}{3} \\ \pm\frac{4}{3} & \pm\frac{7}{3} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 17 & 16 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}. $$

Свака од ове четири матрице A_k ће у два корака (квадрирана) дати стање, резултирајући процес B, које коначно једино видимо и морамо нагађати од чега је потекло. Пример је из претходног одговора (Reciprocal II, 4), са матрицом A = A₁.

4. Размотримо сада исто на „суптилни“ начин, помоћу дијагонализације матрице A = PDP^-1. Ту је D[λ₁, λ₂] дијагонална матрица са са елементима на дијагонали који су својствене вредности дате матрице (Av = λv) док је P[v₁, v₂] помоћна матрица чије су колоне одговарајући (λ_k, v_k) својствени вектори дате матрице A, а P^-1 је њена инверзна матрица. Тако је:

$$ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 \\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix}, $$

што је лако проверити. Степеновањем налазимо:

A = PDP^-1,

A² = PD²P^-1,

A³ = PD³P^-1,

...

Aⁿ = PDⁿP^-1,

$$ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 \\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix}, $$ $$ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 \\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix}, $$ $$ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^n = \frac13\begin{pmatrix} 2\cdot 5^n + (-1)^n & 2\cdot 5^n - (-1)^n \\ 5^n - 2(-1)^n & 5^n + 2(-1)^n \end{pmatrix}, $$

а посебно, за n = 2, биће:

$$ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^2 = \frac13\begin{pmatrix} 2\cdot 5^2 + (-1)^2 & 2\cdot 5^2 - 2(-1)^2 \\ 5^2 - (-1)^2 & 5^2 + 2(-1)^2 \end{pmatrix}, $$ $$ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 17 & 16 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}. $$

Препознајемо претходни (3) случај A² = B, али даље погађајмо A на основу B другом методом, сада помоћу својствених вредности (μ) и одговарајућих им вектора (u) матрице (Bu = μu).

5. Решавамо карактеристичну једначину Bu = μu и налазимо:

$$ \begin{vmatrix} 17 - \mu & 16 \\ 8 & 9 - \mu \end{vmatrix} = 0, $$

(17 - μ)(9 - μ) - 16⋅8 = 0,

μ² - 26 μ + 25 = 0,

μ₁ = 25,     μ₂ = 1.

Отуда:

$$ \begin{pmatrix} 17 - \mu_k & 16 \\ 8 & 9 - \mu_k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u'_k \\ u''_k \end{pmatrix} = 0, $$ $$ u_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}. $$

Сећамо се да су то били и својствени вектори корене матрице A, дакле да је u₁ = v₁ и u₂ = v₂, али да су ове својствене вредности квадрати оних, или μ₁ = λ₁² и μ₂ = λ₂². То објашњава како да на основу B израчунавамо A:

$$ \lambda = \pm\sqrt{\mu}, \quad v = u. $$

То су заправо четири следећа решења:

$$ A_k = \begin{pmatrix} x_k & y_k \\ z_k & w_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \pm 5 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 \\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix}, $$

јер су могуће све четири комбинације предзнака дијагоналне матрице:

$$ A_{++} = \begin{pmatrix} 11/3 & 8/3 \\ 4/3 & 7/3 \end{pmatrix} = A_3, \quad A_{+-} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = A_1, $$ $$ A_{-+} = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = A_2, \quad A_{--} = \begin{pmatrix} -11/3 & -8/3 \\ -4/3 & -7/3 \end{pmatrix} = A_4. $$

Десно у једнакостима су ознаке решења претходном методом. Типично за математику, решења морају бити иста, али методе могу бити различите.

6. Читање прошлости формално решавамо употребом инверзне функције тражећи све функције које би водиле до датог стања. Овде смо то радили на два начина и то на најпростијем случају, два корака. Познајући процес двокорак, у 2-дим простору смо видели да се такав могао појавити једним понављањем на четири различита начина. Можемо замислити на колико начина такав настаје више-димензионалној сложености, па у више истих корака. То су формалне објективне препреке, које заправо могу помагати подметању лажних историја моћницима, манипулаторима који и даље не виде да су промашили стварност, или се надају да је могу преварити, или би да сакрију своју неуспешност. То је такође огромна тема, а једног дана би и она могла бити део алгебре.

Revision II » eng

Питање: Свиђају ми се ова решења, скупљам их, али зашто не довршите ревизију са решавањем трећег корена, или већег?

Одговор: Трећих корена броја један има три k = 0, 1, 2:

$$ e^{\frac{2k\pi}{3}} = \cos\frac{2k\pi}{3} + i\sin\frac{2k\pi}{3}, $$

а чије графике са објашњењима видите десно. То је из Ојлеровог тумачења комплексних бројева, имагинарна јединица i² = -1. За случај n-тог корена било би:

$$ e^{\frac{2k\pi}{n}} = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n}, $$

где n = 1, 2, 3, ..., а k = 0, 1, ..., n-1. Када је n = 2, тада постоје само два друга корена, за k = 0 и k = 1, што се своди на претходни одговор.

1. На пример, два комплексна броја комплексне равни ℂ у правоуглим и поларним координатама пишемо:

$$ z_1 = x_1 + iy_1 = r_1e^{i\phi_1}, \quad z_2 = x_2 + iy_2 = r_1e^{i\phi_2}, $$

где су координате и интензитети реални бројеви x_k, y_k, r_k ∈ ℝ, такође су и углови (аргументи), овде у радијанима. Производ им је комплексан број:

$$ z = z_1z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = r_1r_2e^{i(\phi_1+\phi_2)}, $$

као што видимо, добијен је множењем интензитета и сабирањем углова. Дакле, када је аргумент (угао) комплексног броја 2π/3, што је 120°, такав множењем ротира множеног за трећину пуног угла, што значи да га у три корака враћа на почетни смер, а ако је јединичног интензитета, множење неће мењати интензитет. Трећи корени јединице тако леже на трећинама пуне кружнице, као што се види на слици:

$$ z_0 = \cos\frac{2\pi\cdot 0}{3} + i \sin\frac{2\pi\cdot 0}{3} = 1, $$ $$ z_1 = \cos\frac{2\pi\cdot 1}{3} + i \sin\frac{2\pi\cdot 1}{3} = -\frac12 + i\frac{\sqrt{3}}{2}, $$ $$ z_2 = \cos\frac{2\pi\cdot 2}{3} + i \sin\frac{2\pi\cdot 2}{3} = -\frac12 - i\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Непосредним множењем проверите да је z_k² = 1 за сва три корена.

2. Ако сте читали претходне одговоре лакше ћете разумети следеће:

Aⁿ = PDⁿP^-1,

$$ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 \\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix}, $$ $$ \begin{pmatrix} \alpha_{11}^{(jk)} & \alpha_{12}^{(jk)} \\ \alpha_{21}^{(jk)} & \alpha_{22}^{(jk)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5e^{2ij\pi/n} & 0 \\ 0 & -e^{2ik\pi/n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 \\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix}, $$

где је j, k ∈ {0, 1, ..., n-1}, а n ∈ ℕ. Множећи ове матрице налазимо све n-те корене матрице B = Aⁿ којих има dⁿ где је d ред ових квадратних матрица (овде d = 2), а n назовимо број слојева процеса. Израчунавамо:

$$ \begin{pmatrix} \alpha_{11}^{(jk)} & \alpha_{12}^{(jk)} \\ \alpha_{21}^{(jk)} & \alpha_{22}^{(jk)} \end{pmatrix} = \frac13 \begin{pmatrix} 10e^{2ij\pi/n}-e^{2ik\pi/n} & 10e^{2ij\pi/n}+2e^{2ik\pi/n} \\ 5e^{2ij\pi/n}+e^{2ik\pi/n} & 5e^{2ij\pi/n}-2e^{2ik\pi/n} \end{pmatrix}. $$

На пример, за j = k = 0 ови комплексни експоненти су јединице и имамо основно решење:

$$ \begin{pmatrix} \alpha_{11}^{(00)} & \alpha_{12}^{(00)} \\ \alpha_{21}^{(00)} & \alpha_{22}^{(00)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}. $$

Међутим, то је само једно од 2ⁿ могућих.

3. Када је n = 3 тражимо трећи корен матрице:

$$ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^3 = \begin{pmatrix} 83 & 84 \\ 42 & 41 \end{pmatrix}, $$ $$ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^3 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5^3 & 0 \\ 0 & (-1)^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 \\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix}, $$ $$ \begin{pmatrix} \alpha_{11}^{(jk)} & \alpha_{12}^{(jk)} \\ \alpha_{21}^{(jk)} & \alpha_{22}^{(jk)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5e^{2ij\pi/3} & 0 \\ 0 & -e^{2ik\pi/3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 \\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix}, $$

где је j, k ∈ {0, 1, 2}, а за имагинарну јединицу важи i² = -1. Налазимо:

$$ \begin{pmatrix} \alpha_{11}^{(jk)} & \alpha_{12}^{(jk)} \\ \alpha_{21}^{(jk)} & \alpha_{22}^{(jk)} \end{pmatrix} = \frac13 \begin{pmatrix} 10e^{2ij\pi/3}-e^{2ik\pi/3} & 10e^{2ij\pi/3}+2e^{2ik\pi/3} \\ 5e^{2ij\pi/3}+e^{2ik\pi/3} & 5e^{2ij\pi/3}-2e^{2ik\pi/3} \end{pmatrix}. $$

Када је j = k ∈ {0, 1, 2}, овај израз се поједностављује:

$$ \begin{pmatrix} \alpha_{11}^{(k)} & \alpha_{12}^{(k)} \\ \alpha_{21}^{(k)} & \alpha_{22}^{(k)} \end{pmatrix} = (\cos \frac{2ik\pi}{3} + i\sin \frac{2ik\pi}{3}) \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}. $$

Од таква три, два су комплексна решења па би занимљиво питање било откуд она.

4. Слика лево показује параболу:

f(x) = x(1 - x)

почетних брзина v_x = v_y = 2,2 m/s у земљином убрзању g = 9,8 m/s² као „коси хитац“ са занемареним отпора ваздуха и теменом тачком T(0,5; 0,25) подбачајем гледајући на T'(0,5; 0,3), или пребачајем у односу на T''(0,5; 0,2) у том замишљеном гађању. Бирајући друге почетне услове гађања, функција f' = 1,2x(1 - x) би имала горњу темену тачку, а функција f'' = 0,8x(1 - x) доњу T''. Уколико са актуелне f(x) тражимо горњу ординату налазимо комплексна решења:

x(1 - x) = 0,3

x² - x + 0,3 = 0

$$ x_{1,2} = \frac{1 \pm i\sqrt{0,2}}{2}. $$

обе комплексне апсцисе x₁, x₂ ∈ ℂ дале би горње теме:

$$ f(x_{1,2}) = x(1-x) = \frac{1 \pm i\sqrt{0,2}}{2}(\frac{1 - \mp i\sqrt{0,2}}{2}) = \frac{1+0,2}{4} = 0,3. $$

Међутим, то није реално, актуелни хитац промашиће како T' тако и T''. А у томе видим могућности тумачења комплексних бројева, да изражавају фиктивне вредности. Видим их у немогућностима за реалности, а којима смо иначе стално окружени.

5. Први задатак је био да знајући A, квадратну матрицу другог или било којег вишег реда, нађемо њен куб B = A³, а други је био обрнуто, знајући B нађемо њен кубни корен $A = \sqrt[3]{A}$. Мало је необично за матрице, али је очекивано да, као и у тражењу корена бројева, откривамо више решења. Овде, код матрица и процеса исту многострукост разумемо имплицитно садржаним могућностима у сваком кораку, попут квантне суперпозиције која колабира у један исход. Трећи задатак био би да појаву која би била јединствена, штавише „нерастављива“, разложимо на низ истих корака, односно слојева. Тада нам треба тумачење комплексних решења, рецимо као поменуто (4), о могућностима које дају немогућности.

Decrease » eng

Питање: Прошлост се троши информишући садашњост?

Одговор: Требало би да је тако и због одржања информације, а са друге стране, јер садашњости не допуњавају прошлост. Међутим, губитак старијих информација и блеђење прошлости лакше ћемо утврђивати на друге начине. То потврђује изрека „гвожђе се кује док је вруће“, или форензичари којима је битно да што пре буду на месту злочина, или археолози у тешкоћама са даљом историјом.

1. Начина на који може настати тренутни процес има једнако много као и начина на који се он развио. Ова реченица од два истоветна исказа казује да су исте количине прошлости као и будућности дате садашњости. Зато су претходни одговори, ревизије прошлог на основу садашњег, аналогни или симетрични са евентуалним о предвиђању будућности. Према томе, процес A који делује на стање x да би настало стање y = Ax формално се може третирати тако да је x садашње стање а y будуће, али и тако да је y прошло. То је метода коју користим и која нас у почетку збуњује, али на коју се лако навикавамо. Додајмо овоме да и стање x које се развија има једнако могућности као и процес A који га развија.

2. На пример, посматрајмо степеновање претходне матрице:

$$ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 \\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix}, $$ $$ \begin{pmatrix} \frac35 & \frac45 \\ \frac25 & \frac15 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (-\frac15)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 \\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix}. $$

Обзиром да је матрици A својствена вредност λ₁ = 5 доминантна, што значи да |λ₁| > |λ₂| = |-1|, поделили смо једначину бројем |λ₁|ⁿ, па смо тим фактором поделили и Aⁿ, односно поделили смо A са |λ₁|. Када n расте, број (-1/5)ⁿ → 0 са n → ∞, па у граничном случају имамо:

$$ \lim_{n \to \infty} A^n = B, $$ $$ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 \\ \frac13 & -\frac23 \end{pmatrix}, $$ $$ B = \begin{pmatrix} \frac23 & \frac23 \\ \frac13 & \frac13 \end{pmatrix}. $$

Приметимо да деловањем овог процеса, y = Bx, свако стање x постаје y увек истог смера (2, 1)^⊤ каквог су обе колоне B. То значи да након много корака n = 1, 2, 3, ... укупни процес Aⁿ престаје да памти, из копије се не може сазнати оригинал. Другим речима, тада престаје стварност.

3. Са порастом експонента n опада „сећање“ процеса Aⁿ и сасвим нестаје у граничном случају, n → ∞. Дужи ланац процеса постаје мање одржив, јер се смањују шансе да стварни догађаји прођу баш тим целим путем. Отуда закључак да је дужи низ Aⁿ мање реалан, односно мање истинит.

Уједно, јер се сами кораци такође скраћују и произвољан вектор z = (x, y) постајући z_n = Aⁿz постаје ближи водећем својственом, v₀ = v/∥v∥, видимо како се у корацима, понављањима истог процеса, троши стварност стања. Да би се стварност одржавала, дакле, нужне су промене процеса и оне су један од разлога који нам онемогућава да предвидимо резултат глобалне конвергенције иако знамо за такво дешавање.

Подсећам да се вектор v својствене једначине, Av = λv, може множити и делити константом α, или својим интензитетом ∥v∥ да остаје опет „исти“ својствени, A(αv) = λ(αv). Такво праћење самог смера вектора уобичајено је код квантних суперпозиција. Кажемо да произвољан вектор, мислећи на нормиране тог простора, вишеструким деловањем сталног оператора постаје доминантни својствени вектор датог оператора.

4. Ово се тиче и рекурзија (Sierpiński). Као што закон одржања угрожава бесконачна дељивост, угрожава га и бесконачно понављање истог. Прва, јер бесконачност (по дефиницији) може бити свој прави део, а друга, као што је горе речено, због опадања трајања. Наиме, када је B = Aⁿ и након неког великог m процес A^mn остаје без памћења (постаје нестваран, или лажан) тада је B^m већ лажан, иако је m < mn. Ланци стварнијег процеса, као посебни процеси, што дуже уланчани све мање су стварни. Посебно, покушај бескрајног рефлектовања светлости између огледала не успева зато што је то процес који се понавља и постаје нестваран, па тек затим треба говорити о зрачењу црног тела и Планковом открићу кванта.

5. Овај формализам указује на много дубље узроке трошења прошлости у информисању садашњости. Рецимо, просто због каскадног присуства по слојевима садашњости која одмиче и умножава се, догађај из прошлости опонаша стање или процес који се понавља и стога бледи, те га и нестаје из стварности. Приметимо да овај закључни аргумент није једнак оном уводном о тој истој појави — уништењу чињеница из прошлости.

Adjoint » eng

Питање: Зашто својствени вектори оператора из претходних одговора нису окомити?

Одговор: Само-адјунговани или ермитски оператори (H), али то само они који иду уз различите својствене вредности (λ), имају окомите својствене векторе (v). Тада решавају карактеристичну једначину, Hv = λv. Таква може имати онолико парова решења (λ_k, v_k), за k = 1, 2, ..., n, до броја који зависи од даљњих особина матрице H. Поменута матрица A не испуњава дате, ермитске услове, јер A^† ≠ A. Њена коњугована и транспонована матрица није јој једнака. На слици лево и у прилогу, Ā је ознака за коњуговање матрице A, често и A^*, а A^H = (Ā)^T је адјунговање, овде је A^† = (A^*)^⊤, а транспоновање пишем A^⊤. По дефиницији, окомити су вектори чији је скаларни производ нула.

1. Дати су реални бројеви a, b, c_x, c_y ∈ ℝ, комплексан број c = c_x + ic_y ∈ ℂ са имагинарном јединицом i² = -1. Тада је следећа матрица ермитска:

$$ H = \begin{pmatrix} a & c \\ c^* & b \end{pmatrix}, $$

због H^† = H. Наиме:

$$ H^\dagger = (\begin{pmatrix} a & c \\ c^* & b \end{pmatrix}^*)^\top = \begin{pmatrix} a & c^* \\ c & b \end{pmatrix}^\top = \begin{pmatrix} a & c \\ c^* & b \end{pmatrix} = H, $$

јер се коњуговани реални бројеви не мењају, a^* = a и b^* = b, а коњуговани комплесан c^* = c_x - ic_y. Субјекат и објекат имају дуалне перцепције. Стога што не виде свет једнако, него као ко- и контра-варијантне векторе, тако их и множимо ако тражимо њихов скаларни производ, или информацију перцепције. То нам обично није битно због реалних коефицијената стања наших окружења, али на квантном нивоу постаје одлучујуће.

2. На пример, таласна функција електрона у атому, иначе је математичка амплитуда вероватноћа, која описује квантно стање електрона у атому:

$$ \Psi(r, \theta, \phi) = R_{n\ell}(r)\cdot Y_\ell^{m\ell}(\theta, \phi), $$

где $R_{n\ell}(r)$ одређује како таласна функција опада док се електрон удаљава од језгра, а $Y_\ell^{m\ell}(\theta, \phi)$ управља угаоном оријентацијом и ордеђује познате облике атомских орбитала. Таласна функција $\Psi$ је комплексне вредности чији квадрати модула $|\Psi|^2$ дају „амплитуде вероватноћа“ да је честица на датом месту, овде у сферном систему координата (Orθϕ). Оператори који померају ове електроне по љускама имају бесконачне матрице (Leveling), али постоје и мањи, па и са матрицама другог реда (Spin III). Ради обуке и лакшег разумевања поенте узимају се мање матрице.

3. Нека је a = 3, b = 1 и c₁ = c₂ = 2, а карактеристична једначина наведене матрице је Hv = λv, или (H - Iλ)v = 0, где је I јединична матрица, λ је њена својствена вредност и v њој припадни својствени вектор. Матрица H - Iλ пресликава компоненте v = (v_x, v_y)^⊤ у нуле, а инверзна би нуле копирала у тај вектор. Нема такве инверзне, што значи да јој је детерминанта нула, det[H - Iλ] = 0, односно:

$$ \det[\begin{pmatrix} 3 & 2 + 2i \\ 2 - 2i & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\lambda] = 0, $$ $$ \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 2 + 2i \\ 2 - 2i & 1-\lambda \end{vmatrix} = 0, $$ $$ (3 - \lambda)(1 - \lambda) - (2 - 2i)(2 + 2i) = 0, $$ $$ \lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0, $$ $$ \lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = -1. $$

Уврштавајући ове својствене вредности у Hv = λv, налазимо:

$$ \begin{pmatrix} 3 & 2 + 2i \\ 2 - 2i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 + i \\ 1 \end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix} 1 + i \\ 1 \end{pmatrix}, $$ $$ \begin{pmatrix} 3 & 2 + 2i \\ 2 - 2i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 + i \\ -2 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 1 + i \\ -2 \end{pmatrix}. $$

Скаларно множимо коваријантни v₁ и контраваријантни v₂ вектор:

$$ \langle v_1 | v_2 \rangle = \begin{pmatrix} 1 - i & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 + i \\ -2 \end{pmatrix} = 2 - 2 = 0. $$

Ово ⟨v₁|v₂⟩ = 0 значи да су дати вектори окомити, v₁ ⊥ v₂.

4. На основу Hv₁ = λ₁v₁ и Hv₂ = λ₂v₂ формирамо даље и помоћну матрицу P = P[v₁, v₂] чије колоне су својствени вектори v₁ и v₂ матрице H. Лако је приметити да је тада HP = PD, где је D = D[λ₁, λ₂] дијагонална матрица, са својственим вредностима λ₁ и λ₂ на главној дијагонали и са свим осталим елементима нулама. Тада H = PDP^-1, где је P^-1 инверзна матрица помоћне када је PP^-1 = P^-1P = I. Отуда:

$$ \begin{pmatrix} 3 & 2 + 2i \\ 2 - 2i & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + i & 1 + i \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} [\frac16 \begin{pmatrix} 2-2i & 2 \\ 1-i & -2 \end{pmatrix}]. $$

Степеновањем добијамо:

$$ \begin{pmatrix} 3 & 2 + 2i \\ 2 - 2i & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1 + i & 1 + i \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1-i}{3} & \frac13 \\ \frac{1-i}{6} & -\frac13 \end{pmatrix}, $$

а кореновањем:

$$ \begin{pmatrix} 3 & 2 + 2i \\ 2 - 2i & 1 \end{pmatrix}^{1/n} = \begin{pmatrix} 1 + i & 1 + i \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt[n]{5}e^{\frac{2ji\pi}{n}} & 0 \\ 0 & e^{\frac{(2k+1)i\pi}{n}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1-i}{3} & \frac13 \\ \frac{1-i}{6} & -\frac13 \end{pmatrix}, $$

са произвољним j, k ∈ {0, 1, ..., n-1}. То су аналгони изрази са претходним, где сада израчунавамо корен матрице H а тада смо A налазили као корен матрице B.

5. Када ред матрице није само d = 2, него је већи и много већи број, макар тај тежио и бесконачности, број различитих решења њеног n-тог корена је највише dⁿ. Пребројива бесконачност, на пример, кардиналност скупа природних бројева (kard ℕ = ℵ₀) множена самом собом највише коначно много пута и даље је пребројива бесконачност (ℵ₀ⁿ = ℵ₀). Тако је ℤ, скуп целих бројева и даље пребројиво бесконачан (2ℵ₀ = ℵ₀), а такође и скуп рационалних бројева, ℚ = {m/n : m ∈ ℤ, n ∈ ℕ}.

Међутим, бесконачни корен (n → ∞) матрице реда d = 2, 3, 4, ..., ће имати континуум решења, јер 𝔠 = d^ℵ₀, односно ℵ₀ = log 𝔠. Ово нам говори да би се свака квантна честица и сваки њој припадни процес, који са становишта наше физичке реалности сматрамо недељивим, у пребројиво бесконачно листова могао раслојавати на континуум могућности. Такође, ако „сада“ може трајати у пребројиво бесконачно много тренутака, онда она успут оставља непребројиво бесконачно могућности. Поменута логаритамска једнакост, обзиром на Хартлијеву дефиницију, може се преводити како физичка стварност има информацију свих њених могућности, као и свих квантних суперпозиција.

Gaia » eng

Питање: Када ми кажете да нема глупих питања него има једино глупих одговора, реците да ли је живот неприродна појава?

Одговор: Ово запажање у једном разговору намерно је вицкасто и збуњујуће, али допало ми се и на друге начине. Живот није реалан јер пркоси принципима најмањег дејства теоријске физике, али је и стваран уколико смо и ми. Живот се домогне равнотеже и тамо где би тврда наука рекла да она није могућа и траје и траје. На слици десно имате линк на видео који објашњава Геја хипотезу хемичара Џејмса Лавлока (1970-их) према којој је Земља агрегат само-модификујућих подсистема који заједнички чине укупан планетарни систем. Причајмо мало о томе.

1. Када је НАСА почетком 60-их ангажовала Лавлока да можда установи знакове живота на Марсу са летелице из његове орбите које се тада нису спуштале на површину планете, да тражи хемијске потписе организама у атмосфери, он је приметио да су атмосфере Марса и Венере, које се могу посматрати и са Земље, у хемијској равнотежи. Гасови таквих атмосфера завршили су своје природне реакције и угљен диоксид CO₂ је доминирао у обе. Све је било стабилно и мртво у хемијском смислу. Када бисте такве атмосферске саставе ставили у бочицу у хемијској лабораторији, ништа се не би десило, само би седели тамо.

У овом смислу је Земљина атмосфера неприродна, не би је требало бити. Ваздух на земљи има око 21% кисеоника O₂ и при томе метана CH₄ који настаје при бескисеоничном распаду органских материја (у мочварама). Кисеоник и метан реагују међусобно и термодинамички су нестабилни. У свим „нормалним“ околностима та два гаса би давно хемијски реаговала прелазећи у угљен диоксид и воду H₂O. Не би их могло бити посебно оба да их непрестано не ствара живот на земљи. Када нема живих бића, као на Марсу, атмосфера је у природном хемијском еквилибријуму. Такав је налаз Лавлока деценијама изоловао из научне заједнице, која је мешала његову причу о последицама живота са самим животом.

2. Има „глупих“ питања, нарочито тамо где има очекиваних одовора, па ме немојте хватати за реч у свим разговорима. Чак и у оваквој причи где Лавлок изгледа као да је 30 година био у криву, па као да је ипак у праву, биће као да је опет у криву јер супстанце су у хемијској неравнотежи ако избијају из рецимо термалних извора пребрзо да би изреаговале. Башка што такви извори постоје на дну океана где су се развили облици живота (екстремофли) који не знају за фотоне, мада би могли бити и беживотни. Посебно се Лавлоковом „хемијском“ тражењу живота може приговарати са становишта силицијумске вештачке интелигенције, али сутра и неких других мимо органских супстанци. Свеједно, био је то научни допринос.

3. Са становишта ове (моје) теорије информације, шта год да је „живот“, он мора да пркоси „нормалном“ природном стању, при чему мислим на принцип најмањег дејства теоријске физике. Равнотежа кисеоника, ког за дисање користе животиње остављајући као свој отпад угљен-диоксид, опет којег за развој користе биљке да би одбацивале кисеоник тада као њихов отпад, пример је продора у та „неприродна“ стања, у чудне врсте равнотежа хемијских супстанци. Живот спада у необичности са вишком слобода у односу на мртву физичку супстанцу, можда не и једину такве врсте. Не узимајући супротно, да пркос „нормалном“ природном стању значи „живот“, приметимо да нам јесу корисни многобројни неспојиви примери, попут CO₂—O₂. Лавлок их је наводио током своје богате и дуге каријере (живео је 103 године).

4. Могући трагови живота су напетости, као угљен диоксид и кисеоник, које упорно трају а не би их требало бити. Успемо ли таквим паровима, рецимо (ξ₁, η₁), (ξ₂, η₂), ..., (ξ_n, η_n), додељивати нумеричке вредности па одредити прве као стање x = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n), а друге као y = (η₁, η₂, ..., η_n), ето нам и укупне напетости као скаларног производа:

⟨x| y⟩ = ξ₁^*η₁ + ξ₂^*η₂ + ... + ξ_n^*η_n,

при чему могу бити и неограничени бројеви парова, n → ∞. Тада можемо говорити о интеракцији између стања x и y, или о њиховој информацији перцепције. Али и у случају непрекидних функција x = x(ξ, t) и y = y(η, t) које на неке наведене начине одговарају током неког параметра t ∈ (a, b), опет можемо говорити о њиховом скаларном производу:

$$ \langle \mathbf{x}|\mathbf{y}\rangle = \int_a^b x^*(\xi, t)y(\eta, t)\,dt, $$

где је остаје могућност да производ зависи од трећих параметара ξ и η. То су стања и бројеви који нам могу нешто рећи о „неприродним“ појавама.

Јули III 2026 (English ≽)

Шетња:

Алеја Св. Саве, 25.05.2026.