Децембар 2026 (English ≽)

Pover Sum III » eng

Питање: Зашто да у Pover Sum II збир степена корена полинома просто не изразимо Виетеовим коефицијентима, уместо да толико рачунамо?

Одговор: Квадратна једначина:

x² + e₁x + e₂ = 0

се лако решава квадратурама:

$$ \alpha_{1,2} = \frac{-e_1 \pm\sqrt{e_1^2 - 4e_2}}{2} $$

где за тзв. Виете коефицијенте важе једнакости e₁ = - α₁ - α₂ и e₂ = α₁⋅α₂. Решења, корене (енг. root, radix) једначина означавамо и са α_1,2, или r_1,2 уместо x_1,2, да избегнемо забуне у дужем тексту.

Међутим, решење кубне једначине x³ + e₁x² + e₂x + e₃ = 0 квадратурама мало је већи рачунски залогај (Vieta). Квартичне (четвртог степена) имају још сложенија решења квадратурама, а квинтичке, петог и вишег степена нису увек решиве квадратурама, нису на исти начин изразиве Виетеовим коефицијентима — иако постоје бијекције (обострано једнозначне слике) међу њима. Ето зато.

1. Посматрајмо општи полином трећег степена и кубну му једначину:

p₃(x) = x³ + e₁x² + e₂x + e₃ = 0,

са за сада непознатим решењима x ∈ {α₁, α₂, α₃}. Таквих има три (не увек различитих) према основној теореми алгебре, што значи да исту можемо писати:

p₃(x) = (x - α₁)(x - α₂)(x - α₃) = 0,

па множењем и упоређивањем налазимо тзв. Виете коефицијенте кубне једначине:

e₁ = -α₁ - α₂ - α₃,     e₂ = α₁α₂ + α₁α₃ + α₂α₃,     e₃ = α₁α₂α₃.

Те везе постоје и ако не знамо решења α_i, нити e_j, за i, j ∈ {1, 2, 3}. Толико је чудна та математика? Уврстимо свако од решења, па све три једначине саберимо, добићемо:

S₃ + e₁S₂ + e₂S₁ + e₃ = 0

где је S_k = α₁^k + α₂^k + α₃^k, за k ∈ {1, 2, 3}. Ето обострано једнозначних веза између корена α_i = 1, 2, ..., n, коефицијената e_ј и збира степена S_k, за i, j, k ∈ {1, 2, ..., n} полиномске једначине произвољног степена n ∈ ℕ, као и за n = 3. Примећујемо да „постојати“ овде не значи и знати му и детаље, нити „познавати“ га у уобичајеном смислу.

2. Њутнови (1666) идентитети дају односе између два типа симетричних полинома, збира степена S_k и елементарних симетричних e_j полинома, а без стварног налажења корена α_i. Касније је о истом откривен ранији рад Жирара (1629) који временом постаје само занимљивији. Њихов садржај је у рекурзијама које смо већ доказали множењем полиномске једначине коренима и сабирајући, али на начин који је лако проширити на све целе бројеве индекса-експонената, па и на рационалне. Ево лакшег примера и, надам се, појашњења реченог.

3. На пример, у случају квадратне једначине, Њутн-Жираров рачун је:

S₀ = α₁⁰ + α₂⁰ = 2,     S₁ = α₁¹ + α₂¹ = - e₁,
S₂ = α₁² + α₁² = (α₁¹ + α₂¹)(α₁¹ + α₂¹) - 2α₁α₂ = -e₁S₁ - e₂S₀,
S₃ = α₁³ + α₁³ = (α₁ + α₂)(α₁² + α₂²) - α₁α₂(α₁ + α₂) = -e₁S₂ - e₂S₁,
...
S_k = α₁^k + α₂^k = (α₁ + α₂)(α₁^k-1 + α₂^k-1) - α₁α₂(α₁^k-2 + α₂^k-2) = -e₁S_k-1 - e₂S_k-2

и даље за свако k ∈ ℕ, што је рекурзија коју имамо, S_k + e₁S_k-1 + e₂S_k-2 = 0. Међутим, из ранијег извођења ове рекурзије, лако налазимо њене облике и упште за све целобројне експоненте, k ∈ ℤ, па онда и за k ∈ ℚ.

Рецимо, квадратној функцији претходне слике одговарајућа једначина је p₂ = x² - 3x + 2, са Виете бројевима e₁ = -3 и e₂ = 2. Њутн-Жираров рачун, не сазнавајући саме вредности корена (α₁ = 1 и α₂ = 2), даје:

S₀ = α₁⁰ + α₂⁰ = 2,     S₁ = α₁¹ + α₂¹ = 3,
S₂ = -e₁S₁ - e₂S₀ = 3⋅3 + 2⋅2 = 5,
S₃ = -e₁S₂ - e₂S₁ = 3⋅5 + 2⋅3 = 9,
...

даље добијамо S₄ = 17, S₅ = 33, S₆ = 65, S₇ = 129 , S₈ = 257, S₉ = 513, ...

4. Међутим, радећи на претходни начин, онда ћемо лако формулисати и облике S_k за негативне индексе и експоненте k. Наиме, делећи квадратну једначину x² + e₁x + e₂ = 0 коренима (α₁⋅α₂ ≠ 0) налазимо:

$$ \begin{cases} \alpha_1 + e_1 + e_2 \alpha_1^{-1} = 0 \\ \alpha_2 + e_1 + e_2 \alpha_2^{-1} = 0 \end{cases} $$

затим сабирајући излази S₁ + 2e₁ + e₂S_-1 = 0. Делећи дату са квадратима:

$$ \begin{cases} 1 + e_1\alpha_1^{-1} + e_2 \alpha_1^{-2} = 0 \\ 1 + e_1\alpha_2^{-1} + e_2 \alpha_2^{-2} = 0 \end{cases} $$

отуда сабирањем 2 + e₁S_-1 + e₂S_-2 = 0. Делећи исту са кубовима и вишим степенима, резултат постаје формално уједначен:

S_-1 + e₁S_-2 + e₂S_-3 = 0,
...
S_k + e₁S_k-1 + e₂S_k-2 = 0,

редом за k = -1, -2, -3, ... У конкретнијем случају, x² - 3x + 2 = 0, биће то формуле:

S₁ - 6 + 2S_-1 = 0,
2 - 3S_-1 + 2S_-2 = 0,
S_-1 - 3S_-2 + 2S_-3 = 0,
...

из којих налазимо конкретне вредности:

S_-1 = (S₁ - 6)/2 = 3/2,
S_-2 = (3S_-1 - 2)/2 = 5/4,
S_-3 = (3S_-2 - S_-1)/2 = 9/8,
...

Ово проверавамо израчунавањем збира степена корена:

S_-1 = α₁^-1 + α₂^-1 = 1 + 1/2 = 3/2,
S_-2 = α₁^-2 + α₂^-2 = 1 + 1/4 = 5/4,
S_-3 = α₁^-3 + α₂^-3 = 1 + 1/8 = 9/8,
...

Резултати се слажу.

Processes III » eng

Питање: Има ли везе између процеса и збира степена корена полинома?

Одговор: Да, наравно да збирови степена корена полинома, попут:

S_k = λ₁^k + λ₂^k + ... + λ_n^k,

имају везе са „процесима“. То је заправо преширока област која се не да сместити у мали оквир овог одговора, па ћу описивати само један њен домен.

1. Велико откриће 20. века била је квантна механика, нарочито због пре тога у физици невиђеног слагања њене математичке основе, теоријских предвиђања са резултатима мерења и изузетне несхватљивости, дапаче необјашњивости тих поклапања, а „неразумна ефикасност математике“ (Вигнер, 1960) постала је пословична у круговима познавалаца. Узмимо само откриће да се свако квантно стање, сваки процес или свака честица може одредити као вектор (оператори и матрице такође су неки вектори) тако да ми, особе и окружења, нисмо само скупови честица или физичке појаве, него смо и вектори. Сваки субјект или објекат је јединствен вектор са огромним бројем компоненти.

2. Линеарни оператори, на пример $\hat{A}$, дефинишу процесе којима мењају правце и јачине вектора $\vec{x}$, тада стања природних појава које преокрећу у $\vec{y} = \hat{A}\vec{x}$, али постоје и тзв. својствена стања $\vec{v}$ којима дати процес не мења правац већ само интензитет λ пута. То λ називамо својственом вредношћу њеног својственог вектора $\vec{v}$ њиховог процеса ако важи карактеристична једначина $\hat{A}\vec{v} = \lambda\vec{v}$. Такво усмеравање необично је важан део алгебарског разумевања природе. На пример:

$$ A\mathbf{v}_1 = \mathbf{v}_1, \quad A\mathbf{v}_2 = 2\mathbf{v}_2, $$ $$ \begin{pmatrix} 1 & N \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & N \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N \\ 1 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} N \\ 1 \end{pmatrix}. $$

Посебна матрица A неког оператора $\hat{A}$, има два својствена вектора v₁ и v₂ одговарајућа редом својственим вредностима λ₁ = 1 и λ₂ = 2. У другачијој бази истог векторског простора, та би матрица могла бити B = S^-1AS, када је S^-1S = SS^-1 = I. Међутим, збир њених дијагоналних вредности, тзв. траг остајао би исти, tr(B) = tr(A). Тај траг је збир својствених вредности λ₁ + λ₂ којима се, очито је из произвољног a и N, могу додељивати разни (али не произвољни) својствени вектори. Близу смо одговора на горње питање.

3. Када је D[λ₁, λ₂] дијагонална матрица која садржи својствене вредности дате A, онда помоћна матрица P[v₁, v₂] колона својствених вектора даје:

$$ A = P\cdot D\cdot P^{-1}, $$ $$ \begin{pmatrix} 1 & N \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & N \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{a} \begin{pmatrix} 1 & -N \\ 0 & a \end{pmatrix}. $$

Тада је tr(A) = tr(D) = λ₁ + λ₂, док је tr(A²) = tr(D²) = λ₁² + λ₂², затим даље tr(A^k) = tr(D^k) = λ₁^k + λ₂^k и то је тај збир степена корена полинома. Овде се ради о полиному оператора, односно минималном полиному матрице, или полиному својствених вредности. На пример:

$$ \det(A - \lambda I) = 0, $$ $$ \begin{vmatrix} 1 - \lambda & N \\ 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = 0, $$ $$ \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0. $$

Регуларна (независних колона) матрица трећег реда биће димензије три (n = 3) и имаће кубну једначину за свој полином. Важи се даље, да таква матрица n-тог реда има полиномску једначину n-тог реда која дефинише њене својствене вредности λ₁, λ₁, ..., λ_n својим решењима и има Виетеове коефицијенте:

e₁ = -λ₁ - λ₁ - ... - λ_n,   e₂ = λ₁λ₂ + λ₁λ₃ +... + λ_n-1λ_n,   ...,   e_n = (-1)ⁿλ₁λ₂...λ_n.

Затим наступа оно што знамо о симетричним полиномима, посебно овде претходних одговора.

4. Посебно, ово значи да простор процеса A разапињу његови својствени вектори (ништа он не види ван тог света), па му се произвољно стање на који може деловати представља са x = ξ₁v₁ + ξ₂v₂ + ... + ξ_nv_n, тако да када процес делује и делује на такво k = 1, 2, 3, ... пута, биће:

A^kx = A^k(ξ₁v₁ + ξ₂v₂ + ... + ξ_nv_n) =
= ξ₁A^k(v₁) + ξ₂A^k(v₂) + ... + ξ_nA^k(v_n)
= ξ₁λ₁^k + ξ₂λ₂^k + ... + ξ_nλ_n^k.

Па ако постоји водећа, кажемо и доминантна својствена вредност λ_μ, по модулу већа од свих осталих, ∥λ_μ∥ > ∥λ_ν∥ за све μ ≠ ν, тада када k → ∞, ће правац произвољног вектора тежити ка правцу доминантног својственог. За неке скаларе ξ, биће x → ξv_μ. То је глобална конвергенције која је, уз локалну дивергенцију, важна ставка ове теорије информације.

Inflation » eng

Питање: Зашто би овај збир (Processes III, 4) k-тих степена конвергирао највећем ламбда, када k → ∞?

Одговор: Зато, јер је (λ_ν/λ_μ)^k → 0 када је |λ_ν/λ_μ| < 1 и када k → ∞, па сви сабирци збира степена теже нули када се испред збира извуче фактор λ_μ^k, када је |λ_μ| < |λ_ν| ако постоји неко μ за све ν из индекса {1, 2, ..., n}. Али то није све.

1. Негде 80-их година из 20. века био сам „појектант и програмер информационих система“ у банци које су тада радиле са „великим“ пословним рачунарима Honeywell, са Џикосом оперативним системом и Кобол програмирањем. Повремено би долазило до велике инфлације домаћих валута земаља корисника, када би стотину милиона новчаних јединица једва било довољно за векну хлеба, да сутра тај новац вреди још мање. Прво решење било је банкама да ревалоризују те износе множећи их коефицијентом брзине инфлације и тако имајући неку „стварну“ вредност новца. Практично, месечно или чешће вршила би се та ревалоризација и након k периода тај коефицијент r < 1 постајао би r^k који тежи нули, али због коначног броја децимала новчаног записа и он постајао нула. Де-ревалоризацијом касније, множећи ту нулу са 1/r^k, без обзира што би такав инверзни коефицијент тада био огроман број, би стара новчана вредност остала нула. Тај проблем је био толико тежак да су велике компаније радо сарађивала са нама малим програмерима.

2. Смањивање броја, рецимо π ≈ 3,141 592 653 589 793, множењем бројем, коефицијентом 0,1¹⁰, добијамо број 0,000 000 000 314 159 који опет има 15 децимала, па множећи га инверзним коефицијентом 10¹⁰ вратиће нам се број 3,141 590 000 000 000 који више није тачно једнак претходном. У наставку корака k = 10, 11, 12, ... коефицијент 0,1^k постаје све мањи и све је нетачније враћање старог записа. Стварност свугде има такву тешкоћу, јер су све природне појаве коначно дељиве. Одржања количине нема са бесконачном дељивошћу, јер бесконачност може бити свој прави део па је претходна „банкарска потешкоћа“ заправо проблем уопште опажљиве физичке реалности. Она је важно место ове (моје) теорије информације.

3. Аналогију са овим видим и у „паковању“ генетског кода биљке у семе које засађено може израсти у чудесно сложено дрво. Како смањивањем број губи мање значајне децимале и повећањем враћа, оживљава само оне значајније, тако и живот филтрира вредности наслеђивањем кроз потомке, прилагођава се околини. У томе видим начело минимализма, спонтан развој мање информативним стањима, односно вероватнијим. Исто „бежање“ од неизвесности (сила вероватноће) подсећа и на развој васионе, из које је пре 13,8 милијарди година могло настајати било шта, но дешава нам се ово што видимо као остатак тог „филтрирања“. Општа конвергенција природних појава, са друге стране, последица је локалне дивергенције на коју се надовезује закон великих бројева.

4. Закон великих бројева теорије вероватноће (Chebyshev) нам говори и о деловању прошлости на садашњост. Он прича о елиминацијама лошијих узрочно последичних веза, односно отпадању мање вероватних исхода у просијавању догађаја временом. Ако то гледамо као „борбу“ за трајањем, онда природа тежи конзервацији, јер избегава неизвесности. Као и сами ми, наша васиона као да има „страх“ од непознатог. Свакако да је и ово занимљива тема, али она излази из оквира текућег питања.

Absurd » eng

Питање: Шта велите да је апсурдно у закону великих бројева?

Одговор: Објективна случајност почива на неузрочности, које ни нема у правом смислу, јер имамо законе великих бројева у теорији вероватноће (Chebyshev). А даље, ако нас и сама неузрочност води у неку узрочност, ми смо делови ширег контекста те повезаности која није кадра да суди сопствену истинитост. Чудан, али не сасвим неоснован, нити непознат парадокс који ме наговарате да објасним.

1. Исказ „ја лажем“ је противречност (Three-valued, 3), јер ако сам искрен онда лажем а ако сам неискрен онда говорим истину. Контрадикторна је и сложенија структура: „Ана каже да Бобан говори истину, а Бобан каже да Ана лаже“. Да не набрајам даље, закључци би били да системи немају валидне истине о себи. Оно што повезани могу рећи о себи у целини, није релевантно са становишта истинитости, макар то била математика сама за коју од Гедела знамо да не може доказати сопствену тачност. Причали смо о томе али се нисмо разумели, да узрочности као целини није могуће давати суд о себи у који ваља веровати или не веровати.

2. У неком опуштеном дружењу неко је цитирао наводно Ајштајна да „ако не можеш објаснити једноставно онда не разумеш“ па ме мој саговорник изазивао питањем: „ајде сада фрајеру, једноставно нам докажи Геделову теорему“. Отуда претходна аргументација која је због веселог контекста, помало неозбиљна, остала незапажена. Други разлог када сам је (1) мало „озбиљније“ користио било је у објашњавању (моје) дефиниције „живог бића“: ако заиста зна да лаже онда је „живо“, или ако може „својевољно“ лагати. То је такође пролазило незапажено због примедбе да сам (овим другим) само рекао, на пример „бело је бело“ или сличну неупотребљиву таутологију. Иначе, не користим тај аругмент сем када ми неко децидно каже „ја знам да сам ...“ и настави се хвалисати, када помислим: „да овај ишта зна о логици знао би колико нема појма шта прича“.

3. Ако нежива физичка супстанца може да халуцинира о себи, онда није нежива. Уз то, узимамо да мртва природа не лаже, јер ако заиста можемо доказати да се нешто не може десити то се ни стварно нити у покусу неће десити. Такве су теоријска физика и сва њена пракса, па би „животност“, рецимо камена, била у нескладу са горњом дефиницијом „живота“ (који може својевољно лагати). Са друге стране, назовемо ли „живим“ оно што може својевољно лагати биће сагласно са (1) непоузданошћу онога што може исказати о себи. Ако не може лагати мртво је и нема исказа о себи, па је тај круг затворен и конзистентан. Додатно приметимо занимљивост у евентуалном повезивању вештачких интелигенција. Ако се могу везати више њих, мањих у веће „особе“, онда иако интелигентне оне не постижу да су особе у смислу свести о себи, самовредновања. То је посебна тема.

4. Реалности истог временског тока су разних садашњости са историјама, али чине један узрочно-последични систем. Према реченом, унутар истог 4-дим простор-времена, самог без нових димензија времена, нема тачних исказа о реалности (тачности) целине и отуда субјективни идеализам код Џорџа Берклија (1710), да сам материјални свет не постоји независно од ума (esse est percipi: бити значи бити опажен). Отуда убедљивост таквих или сличних учења о илузијама о реалности. Она су логична, дедуктивно необорива, али нетачна са становишта других временских токова, када се претпостави објективност случајности, односно постојање неузрочности. Горе непоменута од две Геделове теореме каже да конзистентан систем (тачан и само тачан) непотпун је, слаже се са овим.

Existence III » eng

Питање: Кажете, ако нема тачних исказа о реалности (тачности) целине, онда постоји и њена околина?

Одговор: Нити је то званично ни претежно филозофско мишљење о стварности, али га се држим ту, у мојој теорији информације, док се не покаже нетачним. Ево како се оно одржава.

1. Према Ничеу „нема чињеница, само тумачења“, овде то кажемо блаже „халуцинирамо тиме што размишљамо“. Свако превођење математичких истина нужно нам је приближно, помало неистинито, јер природа наше комуникације, почев од наслеђа еволуцијом због потреба преживљавања, па и више од тога, је пресликавање без симетрија. Такво не одражава трајање, истинитост или непосредну опажљивост од стране мртве природе која следи истину и само истину.

2. О каквој противречности причамо препознајемо на примеру квадратне једначине x² -2x + 2 = 0 која садржи само рационалне коефицијенте, али чија решења су коњуговано комплексни бројеви x_1,2 = 1 ± i, гдеi² = -1, ако познајемо теорију група Галоа (Field). Због замењивости ових корена, без промене форме једначине, њена решења није могуће обухватити записом рационалним коефицијентима. Аналогно је са једначином x² - 2 = 0, чија решења x_1,2 = ±√2, опет нису рационални бројеви. Трећи пример је сада прича, ако имамо једину целовитост која тада мора бити обоје, и тачна и нетачна, што је заправо нетачно обзиром да сматрамо да је „материјална“ (мртва физичка твар) само тачна. Није то проблем који је само мени пао на памет, претпостављам, али излаз видим у томе да има нешто и изван такве целовитости, унутрашње материјалности.

3. Ово је складно Геделовој теореми немогућности (конзистентна теорија је непотпуна), да систем истина и само истина ма како био опширан увек остаје без неких истина које не може дохватити. Међутим, не ради се сада о интерпретацији те Геделове теореме, него о прилазу и њеној потврди са сасвим нове стране, отуда где говорим о премошћавању. Истине су острва која, на пример истражујући их у математици, превладавамо и са лажима користећи табеле операција са исказима тачно ⊤ и нетачно ⊥. Када такве ретроспективе, израчунавања или размишљања нема, остаје само нежива твар, односно истина и само истина. Тада кажем остаје противречност, а не подразумевајући да је мртва твар заправо жива, него да има нешто ван ње. Тај део је Геделова теорема која се онда наслања на додатак лажљива живота истинама. Са друге стране, у живом има и неживог (Existence II).

4. Ако би то био свему крај, престанак могућности реалности ван целине дате реалности, опет се не би могла отклонити ова противречност. Знам да је то тешко разумети, па ћу завршити са једним примером који нам у томе може бити нека помоћ. Зна се да једначине петог и већег степена не можемо у општем случају решавати квадратурама (Abel-Ruffini theorem). Таква је на пример xⁿ - ax - b = 0 са произвољним a, b ∈ ℂ, чије се решење може писати помоћу бесконачно угњеждених корена:

$$ x = \sqrt[n]{b + a\sqrt[n]{b + a\sqrt[n]{b + ...}}} $$

а које се рецимо код квинтне n = 5, за a = b = 1, не може писати коначним квадратурама. Тада кажемо да је „нерешива“. Тема се овим тек отвара.

Swap » eng

Питање: О каквом замењивању корена квадратне једначине говорите из теорије група Галое?

Одговор: Појаснићу поново. Ове параболе графа десно су:

y(x) = x² - 3x - 1,
y'(x) = x² + 3x - 1,

зелена и црвена, десна па лева. Заједно су f(x) = x² - cx - 1 када кажемо да настају обиласком коефицијента c ∈ ℂ неке затворене, кружне линије, тако да прође реалне вредности c = ±3. Једним таквим обиласком корени A, B = (-3 ± √13)/2 пређу у A', B' = (+3 ∓ √13)/2. Они се пресликају осно симетрично око ординате док c прође један круг унутар комплексне равни. Након пресликавања y → y' → y кружењем коефицијента c, после којег парабола остаје иста, њени корени замене места. То није могуће да се запише самим алгебарским операцијама +, -, ×, ÷, без корена. Отуда је корен у запису решења квадратне једначине.

За разлику од квадратне, рецимо, линеарна једначина x + c = 0 има само један корен x₁ = -c супротног предзнака од коефицијента, што значи да се они у комплексној равни пресликавају централном симетријом. Ако c ∈ ℂ кружи у позитивном смеру, на пример у првом квадранту, њена решења x₁ ∈ ℂ круже у негативном смеру у трећем квадранту и могуће их је свако записивати само простим алгебарским операцијама (и коефицијента).

На пример, кубна једначина x³ - cx - 1 = 0 замењиваће своја три корена у паровима, док c ∈ ℂ прави тада и два круга (осмицу) око пара критичних тачака. Зато ће опште решење кубне једначине имати и корене у корену (Cardano). Једначину четвртог степена још увек је могуће записивати и коначним бројем корена, али је тај запис толико компликован да се и не наводи. Опште једначине петог и вишег степена немају ни такве, записе коначног броја угњеждених корена под кореном.

Дубљи разлог одсуства општег решења квадратурама једначина петог и већег степена, по теорији Галоа група, је некомутативност композиције тада симетрија. Обично се наводи пример правилног петоугла чија једна симетрија σ₁ је ротација у равни петоугла, а друга σ₂ је једна од његових осних симетрија. Тада је σ₁ ∘ σ₂ ≠ σ₂ ∘ σ₁, што је могућа посебна ситуација замене његових корена када се кружно мења неки коефицијент, због чега је немогуће дефинисати јединствен запис решења. Аналогно се пронађе у некомутативним узроцима временског тока (нпр. облачење поткошуље и кошуље), када на основу датог не можемо тачно дефинисати будуће.

Наставиће се ...

Децембар 2026 (English ≽)

Лучиндан:

У гостима, Свети Лука, 31.10.2026.